Номер 6.58, страница 107, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.58, страница 107.

6.58. Отметьте на координатной плоскости точку А(2; 5) и точку В с противоположными координатами. С помощью линейки выясните, лежат ли точки А, В и О (начало координат) на одной прямой. С помощью циркуля установите, верно ли, что ОА = ОВ.

Две точки координатной плоскости, имеющие противоположные координаты, называют симметричными относительно начала координат.

6.58

А(2; 5) и В(-2; -5)

Точки А, О и В лежат на одной прямой.

АО = ВО

Для решения задачи выполним следующие шаги: построим точки на координатной плоскости, а затем с помощью инструментов и вычислений проверим требуемые условия.

Отметьте на координатной плоскости точку A(2; 5) и точку B с противоположными координатами.

1. Построим систему координат с осями абсцисс (Ox) и ординат (Oy), пересекающимися в начале координат O(0; 0).

2. Чтобы отметить точку A(2; 5), отложим 2 единицы вправо от начала координат по оси Ox и 5 единиц вверх по оси Oy. Точка A будет находиться на пересечении перпендикуляров, проведенных из этих отметок.

3. Точка B имеет координаты, противоположные координатам точки A. Если координаты точки A равны $(x; y)$, то координаты точки B будут $(-x; -y)$. Для точки A(2; 5) противоположными будут координаты B(-2; -5).

4. Чтобы отметить точку B(-2; -5), отложим 2 единицы влево от начала координат по оси Ox и 5 единиц вниз по оси Oy. Точка B будет находиться на пересечении перпендикуляров из этих отметок. Точки A и B симметричны относительно начала координат.

С помощью линейки выясните, лежат ли точки A, B и O (начало координат) на одной прямой.

Чтобы проверить это с помощью линейки, нужно приложить ее к координатной плоскости так, чтобы она проходила через две из этих точек, например, через A и O. Если линейка при этом также пройдет через третью точку B, то все три точки лежат на одной прямой.

Выполнив это действие, мы обнаружим, что точки A(2; 5), O(0; 0) и B(-2; -5) действительно лежат на одной прямой.

Алгебраическая проверка: Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставим координаты точки A, чтобы найти коэффициент $k$: $5 = k \cdot 2$, откуда $k = 5/2 = 2.5$. Уравнение прямой AO имеет вид $y = 2.5x$. Теперь проверим, принадлежит ли точка B(-2; -5) этой прямой: $-5 = 2.5 \cdot (-2)$, что дает верное равенство $-5 = -5$. Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки A, B и O лежат на одной прямой.

С помощью циркуля установите, верно ли, что OA = OB.

Чтобы проверить равенство отрезков OA и OB с помощью циркуля, необходимо выполнить следующие действия:

1. Установить острие циркуля в точку O (начало координат).

2. Раздвинуть ножки циркуля так, чтобы грифель коснулся точки A. Таким образом, раствор циркуля станет равен длине отрезка OA.

3. Не меняя раствора циркуля, повернуть его и проверить, пройдет ли грифель через точку B.

При выполнении этого действия мы увидим, что грифель циркуля точно попадает в точку B. Это означает, что расстояние от O до A равно расстоянию от O до B.

Алгебраическая проверка: Найдем длины отрезков OA и OB по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина отрезка OA (расстояние от O(0; 0) до A(2; 5)):
$OA = \sqrt{(2-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Длина отрезка OB (расстояние от O(0; 0) до B(-2; -5)):
$OB = \sqrt{(-2-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

Так как $OA = OB = \sqrt{29}$, равенство верно.

Ответ: Да, верно, что $OA = OB$.