Номер 6.54, страница 107, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, часть 1, 2 Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, часть 1, 2

Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами

ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 6 классе

43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.54, страница 107.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№6.54 (с. 107)
Условие. №6.54 (с. 107)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 107, номер 6.54, Условие

6.54. Постройте треугольник АВС с вершинами А(3; 5), В(3; –2), С(–5; –2).
а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки.
б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

Решение 1. №6.54 (с. 107)

6.54

а) треугольник АВС – прямоугольный, ВС ⊥ ВА

б) BCKN = 84 = 2; BAKM = 73,5 = 2; ACMN = 63 = 2.

Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

Решение 2. №6.54 (с. 107)

а) Построим треугольник ABC в декартовой системе координат по заданным вершинам: A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2).

Чтобы убедиться, что треугольник является прямоугольным, проанализируем координаты его вершин. У точек A(3; 5) и B(3; -2) одинаковая абсцисса $x=3$. Это означает, что сторона AB параллельна оси ординат (оси OY), то есть является вертикальным отрезком. У точек B(3; -2) и C(-5; -2) одинаковая ордината $y=-2$. Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс (оси OX), то есть является горизонтальным отрезком. Поскольку оси координат перпендикулярны, то и отрезки AB и BC, параллельные им, также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними, $\angle ABC$, равен 90°, а треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки (катеты) — это AB и BC.

Для дополнительной проверки воспользуемся теоремой Пифагора. Найдем квадраты длин сторон по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

  • $AB^2 = (3-3)^2 + (-2-5)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 49$
  • $BC^2 = (-5-3)^2 + (-2-(-2))^2 = (-8)^2 + 0^2 = 64$
  • $AC^2 = (-5-3)^2 + (-2-5)^2 = (-8)^2 + (-7)^2 = 64 + 49 = 113$

Проверим равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $49 + 64 = 113$. Равенство выполняется, следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.

б) Найдем координаты середин K, M и N сторон AC, BC и AB соответственно, используя формулу координат середины отрезка $((\frac{x_1+x_2}{2}); (\frac{y_1+y_2}{2}))$.

  • K — середина AC: $K = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{3}{2})) = (-1; 1.5)$
  • M — середина BC: $M = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{-2+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{-4}{2})) = (-1; -2)$
  • N — середина AB: $N = ((\frac{3+3}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{6}{2}); (\frac{3}{2})) = (3; 1.5)$

Отрезки KM, MN и NK являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

  • Отрезок NK соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, $NK = \frac{1}{2} BC$.
  • Отрезок KM соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} AB$.
  • Отрезок MN соединяет середины сторон BC и AB. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из этих соотношений следует, что стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом пропорциональности $k=\frac{1}{2}$. $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$

Проверим это численно. Длины сторон треугольника ABC: $AB = \sqrt{49} = 7$, $BC = \sqrt{64} = 8$, $AC = \sqrt{113}$. Найдем длины сторон треугольника KMN:

  • $NK = \sqrt{(-1-3)^2 + (1.5-1.5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
  • $KM = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (-2-1.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{12.25} = 3.5$
  • $MN = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1.5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3.5^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25}$

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

  • $\frac{NK}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{KM}{AB} = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{MN}{AC} = \frac{\sqrt{28.25}}{\sqrt{113}} = \sqrt{\frac{28.25}{113}} = \sqrt{0.25} = \frac{1}{2}$

Все отношения равны $\frac{1}{2}$, что подтверждает пропорциональность сторон.

Ответ: Координаты середин сторон: K(-1; 1.5), M(-1; -2), N(3; 1.5). Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC, так как отношения соответствующих сторон равны $\frac{1}{2}$: $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.

Решение 3. №6.54 (с. 107)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 107, номер 6.54, Решение 3
Решение 4. №6.54 (с. 107)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков Александр Семёнович, Александрова Лилия Александровна, Шварцбурд Семён Исаакович, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, Часть 2, страница 107, номер 6.54, Решение 4

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.54 расположенного на странице 107 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.54 (с. 107), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться