Номер 6.54, страница 107, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов


Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами
ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 6 классе
43. Координатная плоскость. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.54, страница 107.
№6.54 (с. 107)
Условие. №6.54 (с. 107)
скриншот условия

6.54. Постройте треугольник АВС с вершинами А(3; 5), В(3; –2), С(–5; –2).
а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки.
б) Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.
Решение 1. №6.54 (с. 107)
6.54

а) треугольник АВС – прямоугольный, ВС ⊥ ВА
б)
Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.
Решение 2. №6.54 (с. 107)
а) Построим треугольник ABC в декартовой системе координат по заданным вершинам: A(3; 5), B(3; -2), C(-5; -2).
Чтобы убедиться, что треугольник является прямоугольным, проанализируем координаты его вершин. У точек A(3; 5) и B(3; -2) одинаковая абсцисса $x=3$. Это означает, что сторона AB параллельна оси ординат (оси OY), то есть является вертикальным отрезком. У точек B(3; -2) и C(-5; -2) одинаковая ордината $y=-2$. Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс (оси OX), то есть является горизонтальным отрезком. Поскольку оси координат перпендикулярны, то и отрезки AB и BC, параллельные им, также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними, $\angle ABC$, равен 90°, а треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки (катеты) — это AB и BC.
Для дополнительной проверки воспользуемся теоремой Пифагора. Найдем квадраты длин сторон по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:
- $AB^2 = (3-3)^2 + (-2-5)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 49$
- $BC^2 = (-5-3)^2 + (-2-(-2))^2 = (-8)^2 + 0^2 = 64$
- $AC^2 = (-5-3)^2 + (-2-5)^2 = (-8)^2 + (-7)^2 = 64 + 49 = 113$
Проверим равенство $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $49 + 64 = 113$. Равенство выполняется, следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.
Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным. Перпендикулярные отрезки: AB и BC.
б) Найдем координаты середин K, M и N сторон AC, BC и AB соответственно, используя формулу координат середины отрезка $((\frac{x_1+x_2}{2}); (\frac{y_1+y_2}{2}))$.
- K — середина AC: $K = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{3}{2})) = (-1; 1.5)$
- M — середина BC: $M = ((\frac{3+(-5)}{2}); (\frac{-2+(-2)}{2})) = ((\frac{-2}{2}); (\frac{-4}{2})) = (-1; -2)$
- N — середина AB: $N = ((\frac{3+3}{2}); (\frac{5+(-2)}{2})) = ((\frac{6}{2}); (\frac{3}{2})) = (3; 1.5)$
Отрезки KM, MN и NK являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.
- Отрезок NK соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, $NK = \frac{1}{2} BC$.
- Отрезок KM соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, $KM = \frac{1}{2} AB$.
- Отрезок MN соединяет середины сторон BC и AB. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} AC$.
Из этих соотношений следует, что стороны треугольника KMN пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом пропорциональности $k=\frac{1}{2}$. $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$
Проверим это численно. Длины сторон треугольника ABC: $AB = \sqrt{49} = 7$, $BC = \sqrt{64} = 8$, $AC = \sqrt{113}$. Найдем длины сторон треугольника KMN:
- $NK = \sqrt{(-1-3)^2 + (1.5-1.5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
- $KM = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (-2-1.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{12.25} = 3.5$
- $MN = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1.5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3.5^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25}$
Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:
- $\frac{NK}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
- $\frac{KM}{AB} = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$
- $\frac{MN}{AC} = \frac{\sqrt{28.25}}{\sqrt{113}} = \sqrt{\frac{28.25}{113}} = \sqrt{0.25} = \frac{1}{2}$
Все отношения равны $\frac{1}{2}$, что подтверждает пропорциональность сторон.
Ответ: Координаты середин сторон: K(-1; 1.5), M(-1; -2), N(3; 1.5). Длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC, так как отношения соответствующих сторон равны $\frac{1}{2}$: $\frac{NK}{BC} = \frac{KM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.
Решение 3. №6.54 (с. 107)

Решение 4. №6.54 (с. 107)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.54 расположенного на странице 107 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.54 (с. 107), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.