Страница 100, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Какие два числа называют взаимно обратными? Приведите примеры.

Какое число обратно числу αb?

Какое число обратно натуральному числу m?

Как записать число, обратное смешанному числу?

Как найти частное смешанных чисел?

Как разделить дробь на натуральное число?

15. Действие деления смешанных чисел

Вопросы к параграфу

• два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1

• числу $\frac{a}{b}$обратно число $\frac{b}{a}$

• натуральному числу m обратно число $\frac{1}{m}$

• чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно:
  1) представить смешанное число в виде неправильной дроби вида $\frac{m}{n}$
  2) обратным будет число$\frac{n}{m}$

• чтобы найти частное двух смешанных чисел, надо представить их в виде неправильных дробей, а затем применить алгоритм деления дробей

• чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Какие два числа называют взаимно обратными? Приведите примеры.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Иными словами, если числа $a$ и $b$ таковы, что $a \cdot b = 1$, то они являются взаимно обратными. Важно отметить, что ни одно из взаимно обратных чисел не может быть равно нулю ($a \ne 0$ и $b \ne 0$).

Примеры взаимно обратных чисел:
- Числа $7$ и $\frac{1}{7}$, так как $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.
- Дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$, так как $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$.
- Десятичная дробь $0,2$ и число $5$, так как $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, а $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.

Ответ: Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Примеры: $7$ и $\frac{1}{7}$; $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$.

Какое число обратно числу $\frac{a}{b}$?

Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Таким образом, числом, обратным дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \ne 0$ и $b \ne 0$), является дробь $\frac{b}{a}$.

Это верно, потому что их произведение равно 1: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$.

Ответ: Число, обратное числу $\frac{a}{b}$, это $\frac{b}{a}$.

Какое число обратно натуральному числу $m$?

Любое натуральное число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $m = \frac{m}{1}$.

Чтобы найти обратное число, нужно, как и в случае с обычной дробью, поменять местами числитель и знаменатель. Для дроби $\frac{m}{1}$ обратной будет дробь $\frac{1}{m}$.

Проверим: $m \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{1} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{m} = 1$.

Ответ: Число, обратное натуральному числу $m$, это $\frac{1}{m}$.

Как записать число, обратное смешанному числу?

Чтобы записать число, обратное смешанному числу, необходимо выполнить два шага:
1. Представить смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель дробной части и к результату прибавляют числитель дробной части. Полученное число записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним. Например, $c \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b + a}{b}$.
2. Найти число, обратное полученной неправильной дроби, то есть поменять местами её числитель и знаменатель.

Пример: найти число, обратное смешанному числу $3 \frac{2}{5}$.
1. Преобразуем $3 \frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.
2. Находим обратную дробь для $\frac{17}{5}$. Это будет $\frac{5}{17}$.

Ответ: Сначала нужно превратить смешанное число в неправильную дробь, а затем "перевернуть" эту дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

Как найти частное смешанных чисел?

Чтобы найти частное смешанных чисел (то есть разделить одно смешанное число на другое), нужно:
1. Преобразовать оба смешанных числа (и делимое, и делитель) в неправильные дроби.
2. Выполнить деление дробей: умножить первую дробь (делимое) на дробь, обратную второй (делителю).
3. Если в результате получилась неправильная дробь, её можно сократить и преобразовать обратно в смешанное число.

Пример: найти частное $4 \frac{1}{2} \div 1 \frac{1}{5}$.
1. Преобразуем числа в неправильные дроби: $4 \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$; $1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
2. Выполним деление: $\frac{9}{2} \div \frac{6}{5} = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{45}{12}$.
3. Сократим дробь на 3 и выделим целую часть: $\frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4}$.

Ответ: Нужно преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби, а затем первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Как разделить дробь на натуральное число?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить знаменатель этой дроби на данное натуральное число, а числитель оставить без изменений.

Это правило можно записать в виде формулы: $\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b \cdot n}$.

Это правило является частным случаем деления дробей, так как натуральное число $n$ можно представить как дробь $\frac{n}{1}$. Тогда деление на $n$ равносильно умножению на обратную дробь $\frac{1}{n}$:
$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot n} = \frac{a}{b \cdot n}$.

Пример: разделить $\frac{3}{7}$ на $2$.
$\frac{3}{7} \div 2 = \frac{3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$.

Ответ: Нужно умножить знаменатель дроби на это натуральное число, а числитель оставить прежним.

2.407. Найдите произведение:

а) 9· 19; б) 123 · 23; в) 13101 · 10113 ; г) 99646 · 64699 ; д) 512 · 225 ; е) 256 · 617 ; ж) 415 · 3,75 ; з) 0,6 · 123 .

2.407

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }9 · \frac{1}{9} = \frac{\cancel{9}}{1} · \frac{1}{\cancel{9}} = 1;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{23} · 23 = \frac{1}{\cancel{23}} · \frac{\cancel{23}}{1} = 1;$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\bcancel{13}}{\cancel{101}}\mathbf{ }· \frac{\cancel{101}}{\bcancel{13}} = 1;$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{\cancel{99}}{\bcancel{646}} · \frac{\bcancel{646}}{\cancel{99}} = 1;$

$\mathit{д}\mathbf{)} \frac{5}{12} · 2\frac{2}{5} = \frac{\cancel{5}}{\bcancel{12}} · \frac{\bcancel{12}}{\cancel{5}} = 1;$

$\mathit{е}\mathbf{)} 2\frac{5}{6} · \frac{6}{17} = \frac{\cancel{17}}{\bcancel{6}} · \frac{\bcancel{6}}{\cancel{17}} = 1;$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{15} · 3,75 = \frac{4}{15} · 3\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}} = \frac{4}{15} · 3\frac{3}{4} = \\ = \frac{\bcancel{4}}{\cancel{15}} · \frac{\cancel{15}}{\bcancel{4}} = 1; \end{gathered}$$

$\mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }0,6 · 1\frac{2}{3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}} } · \frac{5}{3} = \frac{\cancel{3}}{\bcancel{5}} · \frac{\bcancel{5}}{\cancel{3}} = 1.$

а) Чтобы найти произведение, представим число $9$ в виде дроби $\frac{9}{1}$ и выполним умножение дробей. Числа $9$ и $\frac{1}{9}$ являются взаимно обратными, их произведение равно 1.

$9 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9}{1} \cdot \frac{1}{9} = \frac{9 \cdot 1}{1 \cdot 9} = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: $1$.

б) Представим число $23$ в виде дроби $\frac{23}{1}$ и выполним умножение. Числа $\frac{1}{23}$ и $23$ являются взаимно обратными.

$\frac{1}{23} \cdot 23 = \frac{1}{23} \cdot \frac{23}{1} = \frac{1 \cdot 23}{23 \cdot 1} = \frac{23}{23} = 1$.

Ответ: $1$.

в) Дроби $\frac{13}{101}$ и $\frac{101}{13}$ являются взаимно обратными, так как числитель первой дроби равен знаменателю второй, а знаменатель первой равен числителю второй. Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

$\frac{13}{101} \cdot \frac{101}{13} = \frac{13 \cdot 101}{101 \cdot 13} = 1$.

Ответ: $1$.

г) Данный пример аналогичен предыдущему. Дроби $\frac{99}{646}$ и $\frac{646}{99}$ являются взаимно обратными.

$\frac{99}{646} \cdot \frac{646}{99} = \frac{99 \cdot 646}{646 \cdot 99} = 1$.

Ответ: $1$.

д) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь.

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10+2}{5} = \frac{12}{5}$.

Теперь выполним умножение. Дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{12}{5}$ являются взаимно обратными.

$\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{12 \cdot 5} = 1$.

Ответ: $1$.

е) Преобразуем смешанное число $2\frac{5}{6}$ в неправильную дробь.

$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{12+5}{6} = \frac{17}{6}$.

Теперь выполним умножение на дробь $\frac{6}{17}$. Полученные дроби являются взаимно обратными.

$\frac{17}{6} \cdot \frac{6}{17} = \frac{17 \cdot 6}{6 \cdot 17} = 1$.

Ответ: $1$.

ж) Преобразуем десятичную дробь $3,75$ в обыкновенную, а затем в неправильную дробь.

$3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{12+3}{4} = \frac{15}{4}$.

Теперь выполним умножение дробей.

$\frac{4}{15} \cdot \frac{15}{4} = \frac{4 \cdot 15}{15 \cdot 4} = 1$.

Ответ: $1$.

з) Преобразуем десятичную дробь $0,6$ и смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильные дроби.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь умножим полученные взаимно обратные дроби.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$.

Ответ: $1$.

2.408. Являются ли числа взаимно обратными:

а) 617 и 743; б) 45 и 140; в) 1,2 и 56; г) 212 и 0,4; д) 413 и 314; е) 0 и 1?

2.408

$\mathit{а}\mathbf{)} 6\frac{1}{7} · \frac{7}{43} = \frac{\cancel{43}}{\bcancel{7}} ·\frac{\bcancel{7}}{\cancel{43}} =1$- являются;

$\mathit{б}\mathbf{)} 45 · \frac{1}{40} = \frac{45}{40} = 1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{40}}}} = 1\frac{1}{8} \ne 1$ - не являются;

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1,2 · \frac{5}{6} = 1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} · \frac{5}{6} = 1\frac{1}{5} · \frac{5}{6} =$

$= \frac{\cancel{6}}{\bcancel{5}} · \frac{\bcancel{5}}{\cancel{6}} = 1$ - являются;

$\mathit{г}\mathbf{)} 2\frac{1}{2} · 0,4 = \frac{5}{2} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}} = \frac{5}{2} · \frac{2}{5} =1$ - являютя;

$\mathit{д}\mathbf{)} 4\frac{1}{3} · 3\frac{1}{4} = \frac{13}{3} · \frac{13}{4} = \frac{169}{12} = 14\frac{1}{12} \ne 1$- не являются;

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }0 · 1 = 0 \ne 1$ - не являются.

а) Два числа являются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это условие для чисел $6\frac{1}{7}$ и $\frac{7}{43}$.
Сначала представим смешанное число $6\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби:
$6\frac{1}{7} = \frac{6 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{42 + 1}{7} = \frac{43}{7}$.
Теперь умножим полученную дробь на второе число:
$\frac{43}{7} \cdot \frac{7}{43} = \frac{43 \cdot 7}{7 \cdot 43} = 1$.
Так как произведение чисел равно 1, они являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

б) Проверим, равно ли произведение чисел 45 и $\frac{1}{40}$ единице.
$45 \cdot \frac{1}{40} = \frac{45}{1} \cdot \frac{1}{40} = \frac{45}{40}$.
Сократим дробь: $\frac{45}{40} = \frac{9 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{9}{8}$.
Так как $\frac{9}{8} \neq 1$, числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.

в) Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим это для 1,2 и $\frac{5}{6}$.
Представим десятичную дробь 1,2 в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Теперь перемножим числа: $\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} = 1$.
Произведение равно 1, значит, числа взаимно обратные.
Ответ: да, являются.

г) Проверим, являются ли числа $2\frac{1}{2}$ и 0,4 взаимно обратными. Для этого найдем их произведение.
Переведем оба числа в обыкновенные дроби.
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Вычислим произведение: $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 5} = 1$.
Так как произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

д) Определим, являются ли числа $4\frac{1}{3}$ и $3\frac{1}{4}$ взаимно обратными.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Найдем их произведение: $\frac{13}{3} \cdot \frac{13}{4} = \frac{13 \cdot 13}{3 \cdot 4} = \frac{169}{12}$.
Произведение $\frac{169}{12} \neq 1$, следовательно, числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.

е) Проверим, являются ли числа 0 и 1 взаимно обратными.
Найдем их произведение: $0 \cdot 1 = 0$.
Произведение равно 0, а не 1. Кроме того, число 0 не имеет обратного числа, так как деление на ноль невозможно.
Ответ: нет, не являются.

2.409. Какое число обратно числу:

а) 710; б) 11; в) 25; г) 923; д) 19; е) 81315; ж) 0,6; з) 2,75?

2.409

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{7}{10 } \mathrm{и} \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7};$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }11 \mathrm{и} \frac{1}{11};$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{2}{5} \mathrm{и} \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2};$

$\mathbf{г}\mathbf{)} \frac{9}{23} \mathrm{и} \frac{23}{9} = 2\frac{5}{9};$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{9} \mathrm{и} 9;$

$\mathbf{е}\mathbf{)} 8\frac{13}{15} = \frac{133}{15} \mathrm{и} \frac{15}{133};$

$\mathbf{ж}\mathbf{)} 0,6 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{3}{5} \mathrm{и} \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3};$

$\mathbf{з}\mathbf{)} 2,75 = 2 \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}= 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4} \mathrm{и} \frac{4}{11}.$

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному, нужно 1 разделить на это число. Для обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ обратным числом будет дробь $\frac{b}{a}$. Если число представлено в виде целого, смешанного числа или десятичной дроби, его сначала нужно преобразовать в обыкновенную (или неправильную) дробь.

а) Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби $\frac{7}{10}$, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{10}{7}$. Эту неправильную дробь можно также записать в виде смешанного числа: $1\frac{3}{7}$.
Проверка: $\frac{7}{10} \times \frac{10}{7} = \frac{7 \times 10}{10 \times 7} = 1$.
Ответ: $\frac{10}{7}$.

б) Целое число 11 можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $11 = \frac{11}{1}$.
Число, обратное дроби $\frac{11}{1}$, это дробь $\frac{1}{11}$, так как нужно поменять числитель и знаменатель местами.
Проверка: $11 \times \frac{1}{11} = \frac{11}{1} \times \frac{1}{11} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{11}$.

в) Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{2}{5}$, меняем местами ее числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{5}{2}$. Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{2}$ или десятичной дроби $2,5$.
Проверка: $\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = 1$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

г) Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{9}{23}$, меняем местами ее числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{23}{9}$. Можно выделить целую часть: $\frac{23}{9} = 2\frac{5}{9}$.
Проверка: $\frac{9}{23} \times \frac{23}{9} = 1$.
Ответ: $\frac{23}{9}$.

д) Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{1}{9}$, меняем местами ее числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{9}{1}$, что равно целому числу 9.
Проверка: $\frac{1}{9} \times 9 = \frac{1}{9} \times \frac{9}{1} = 1$.
Ответ: 9.

е) Сначала представим смешанное число $8\frac{13}{15}$ в виде неправильной дроби.
$8\frac{13}{15} = \frac{8 \times 15 + 13}{15} = \frac{120 + 13}{15} = \frac{133}{15}$.
Теперь найдем число, обратное дроби $\frac{133}{15}$. Для этого поменяем местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{15}{133}$.
Проверка: $8\frac{13}{15} \times \frac{15}{133} = \frac{133}{15} \times \frac{15}{133} = 1$.
Ответ: $\frac{15}{133}$.

ж) Сначала представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной дроби.
$0,6 = \frac{6}{10}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 2:
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Теперь найдем число, обратное дроби $\frac{3}{5}$.
Получаем дробь $\frac{5}{3}$. Можно выделить целую часть: $1\frac{2}{3}$.
Проверка: $0,6 \times \frac{5}{3} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

з) Сначала представим десятичную дробь $2,75$ в виде смешанного числа.
$2,75 = 2\frac{75}{100}$.
Сократим дробную часть $\frac{75}{100}$, разделив числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $2,75 = 2\frac{3}{4}$.
Теперь представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.
Найдем число, обратное дроби $\frac{11}{4}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{4}{11}$.
Проверка: $2,75 \times \frac{4}{11} = \frac{11}{4} \times \frac{4}{11} = 1$.
Ответ: $\frac{4}{11}$.

2.410. Вычислите произведение:

а) 16395 · 57 · 75; б) 2,8 · 911 · 119; в) 4247 · 9,8 · 4742.

2.410

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{63}{95} · \frac{5}{7} · \frac{7}{5} =1\frac{63}{95} · \left(\frac{5}{7} · \frac{7}{5}\right) = \\ =1\frac{63}{95} · 1 =1\frac{63}{95}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2,8 · \frac{9}{11} · \frac{11}{9} = 2,8 · \left(\frac{9}{11} · \frac{11}{9}\right) = \\ = 2, 8 · 1 = 2,8; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{42}{47} · 9,8 · \frac{47}{42} = 9,8 · \left(\frac{42}{47} ·\frac{47}{42} \right)= \\ = 9,8 · 1 = 9,8. \end{gathered}$$

а) $1\frac{63}{95} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}$

В данном выражении присутствуют две взаимно обратные дроби: $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$. Произведение взаимно обратных чисел всегда равно единице.

Вычислим произведение этих дробей:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{35}{35} = 1$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$1\frac{63}{95} \cdot 1 = 1\frac{63}{95}$

Ответ: $1\frac{63}{95}$.

б) $2,8 \cdot \frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}$

В этом выражении также есть две взаимно обратные дроби: $\frac{9}{11}$ и $\frac{11}{9}$.

Их произведение равно единице:

$\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{9 \cdot 11}{11 \cdot 9} = \frac{99}{99} = 1$

Подставим это значение в исходное выражение:

$2,8 \cdot 1 = 2,8$

Ответ: $2,8$.

в) $\frac{42}{47} \cdot 9,8 \cdot \frac{47}{42}$

Воспользуемся переместительным свойством умножения (от перемены мест множителей произведение не меняется) и сгруппируем взаимно обратные дроби:

$(\frac{42}{47} \cdot \frac{47}{42}) \cdot 9,8$

Произведение взаимно обратных дробей $\frac{42}{47}$ и $\frac{47}{42}$ равно единице:

$\frac{42}{47} \cdot \frac{47}{42} = \frac{42 \cdot 47}{47 \cdot 42} = 1$

Теперь вычислим конечный результат:

$1 \cdot 9,8 = 9,8$

Ответ: $9,8$.

2.411. Найдите частное:

а) 1 : 3; б) 1 : 16; в) 1 : 0,2; г) 1 : 0,7; д) 1 : 712; е) 1 : 217; ж) 1 : 1,2; з) 1 : 1,5.

2.411

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 3 = \frac{1}{3};$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : \frac{1}{6} =1 · \frac{6}{1} = 6;$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 0,2 = 1 : \frac{2}{10} = 1 · \frac{10}{2} = 5;$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 1 : 0,7 = 1 : \frac{7}{10}= 1 · \frac{10}{7} = \\ = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}; \end{gathered}$$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : \frac{7}{12} = 1 · \frac{12}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7};$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 2\frac{1}{7} = 1 : \frac{15}{7} = 1 · \frac{7}{15} = \frac{7}{15};$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 1,2 = 1 : 1\frac{2}{10}= 1 : \frac{12}{10} = \\ = 1 · \frac{10}{12} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{12}}}} = \frac{5}{6}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }1 : 1,5 = 1 : 1\frac{5}{10}= 1 : \frac{15}{10}= \\ = 1 · \frac{10}{15} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} = \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти частное от деления $1$ на $3$, нужно записать это действие в виде обыкновенной дроби. Результатом деления является дробь, в числителе которой стоит делимое, а в знаменателе — делитель.$1 : 3 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Чтобы разделить единицу на обыкновенную дробь, нужно единицу умножить на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь).$1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{6}{1} = 6$.
Ответ: $6$.

в) Чтобы найти частное от деления $1$ на десятичную дробь $0,2$, можно сначала представить $0,2$ в виде обыкновенной дроби.$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.Теперь выполним деление:$1 : \frac{1}{5} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5$.
Ответ: $5$.

г) Представим десятичную дробь $0,7$ в виде обыкновенной дроби:$0,7 = \frac{7}{10}$.Теперь разделим $1$ на полученную дробь. Это эквивалентно умножению $1$ на обратную дробь:$1 : 0,7 = 1 : \frac{7}{10} = 1 \cdot \frac{10}{7} = \frac{10}{7}$.Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{10}{7}$.

д) Деление единицы на дробь $\frac{7}{12}$ равносильно умножению единицы на обратную дробь $\frac{12}{7}$.$1 : \frac{7}{12} = 1 \cdot \frac{12}{7} = \frac{12}{7}$.Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{12}{7}$.

е) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь.$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.Теперь выполним деление $1$ на полученную дробь:$1 : \frac{15}{7} = 1 \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15}$.

ж) Представим десятичную дробь $1,2$ в виде обыкновенной дроби, а затем сократим её:$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.Теперь разделим $1$ на эту дробь:$1 : 1,2 = 1 : \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

з) Представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби и сократим её:$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.Теперь выполним деление:$1 : 1,5 = 1 : \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.412. Выполните действия:

а) (47 + 37) : 100; б) (35 + 56) · 3043; в) (123 – 23) : 29; г) (821 – 27) · 1012.

2.412

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right) : 100 = \frac{7}{7} : 100 = \\ =1 : 100 = 0,01; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left({\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}} + {\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}\right) · \frac{30}{43} = \left(\frac{18}{30} + \frac{25}{30}\right) · \frac{30}{43} = \\ = \frac{43}{30} · \frac{30}{43} =1; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(1\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\right) : \frac{2}{9} = 1 : \frac{2}{9} = 1 · \frac{9}{2} = \\ = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{8}{21}- {\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}\right) · 10\frac{1}{2} = \left(\frac{8}{21}- \frac{6}{21}\right)· 10\frac{1}{2} = \\ = \frac{2}{21} · \frac{21}{2} =1. \end{gathered}$$

а) Первым действием выполним сложение в скобках. Так как у дробей $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{7} $ одинаковый знаменатель, сложим их числители: $ \frac{4}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4+3}{7} = \frac{7}{7} = 1 $. Теперь выполним деление полученного результата на 100: $ 1 : 100 = \frac{1}{100} $.
Ответ: $ \frac{1}{100} $.

б) Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{5}{6} $ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 — это 30. $ \frac{3}{5} + \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{18}{30} + \frac{25}{30} = \frac{18+25}{30} = \frac{43}{30} $. Теперь выполним умножение: $ \frac{43}{30} \cdot \frac{30}{43} = \frac{43 \cdot 30}{30 \cdot 43} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

в) Выполним вычитание в скобках: $ 1\frac{2}{3} - \frac{2}{3} $. Так как дробные части $ \frac{2}{3} $ одинаковы, при вычитании они дают 0, и остается только целая часть: $ 1\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 1 $. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $ 1 : \frac{2}{9} = 1 \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{2} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 4\frac{1}{2} $.

г) Сначала выполним вычитание в скобках: $ \frac{8}{21} - \frac{2}{7} $. Приведем дробь $ \frac{2}{7} $ к знаменателю 21, умножив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $. Теперь выполним вычитание: $ \frac{8}{21} - \frac{6}{21} = \frac{8-6}{21} = \frac{2}{21} $. Далее, преобразуем смешанное число $ 10\frac{1}{2} $ в неправильную дробь: $ 10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2} $. Выполним умножение: $ \frac{2}{21} \cdot \frac{21}{2} = \frac{2 \cdot 21}{21 \cdot 2} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

2.413. Решите уравнение:

а) 3150x = 1; б) 5162y = 1; в) 0,4a= 1; г) 0,9b = 1; д) 9101x = 9101; е) 136y = 136.

2.413

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \frac{31}{50} \mathrm{х} = 1; \\ \mathrm{х} = 1 : \frac{31}{50}; \\ \mathrm{х} = 1 · \frac{50}{31}; \\ \mathrm{х} = \frac{50}{31}; \\ \mathrm{х} = 1\frac{19}{31}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{19}{31}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \frac{51}{62} \mathrm{у} = 1; \\ \mathrm{у} = 1 : \frac{51}{62}; \\ \mathrm{у} = 1 · \frac{62}{51}; \\ \mathrm{у} = \frac{62}{51}; \\ \mathrm{у} = 1\frac{11}{52}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{11}{52}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,4 \mathrm{а} = 1; \\ \mathrm{а} = 1 : 0,4; \\ \mathrm{а} = 1 : \frac{4}{10}; \\ \mathrm{а} = 1 · \frac{10}{4}; \\ \mathrm{а} = \frac{10}{4}; \\ \mathrm{а} = 2,5. \\ \mathrm{Ответ}: 2,5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 0,9 \mathrm{b} = 1; \\ \mathrm{b} = 1 : 0,9 \\ \mathrm{b} = 1 : \frac{9}{10}: \\ \mathrm{b} = 1 · \frac{10}{9}:; \\ \mathrm{b} = \frac{10}{9}; \\ \mathrm{b} = 1\frac{1}{9}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{1}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} \frac{9}{101} \mathrm{х} = \frac{9}{101}; \\ \mathrm{х} = \frac{9}{101} : \frac{9}{101}; \\ \mathrm{х} = \frac{9}{101} · \frac{101}{9}; \\ \mathrm{х} = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{13}{6} \mathrm{у} = \frac{13}{6}: \\ \mathrm{у} = \frac{13}{6} : \frac{13}{6}; \\ \mathrm{у} = \frac{13}{6} · \frac{6}{13}; \\ \mathrm{у} = 1 \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

а) В уравнении $\frac{31}{50}x = 1$, переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, необходимо произведение (1) разделить на известный множитель ($\frac{31}{50}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$x = 1 \div \frac{31}{50} = 1 \times \frac{50}{31} = \frac{50}{31}$
Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:
$50 \div 31 = 1$ (остаток $19$)
Таким образом, $x = 1\frac{19}{31}$.
Ответ: $1\frac{19}{31}$.

б) В уравнении $\frac{51}{62}y = 1$, чтобы найти неизвестный множитель $y$, нужно произведение (1) разделить на известный множитель ($\frac{51}{62}$).
$y = 1 \div \frac{51}{62} = 1 \times \frac{62}{51} = \frac{62}{51}$
Выделим целую часть:
$62 \div 51 = 1$ (остаток $11$)
Следовательно, $y = 1\frac{11}{51}$.
Ответ: $1\frac{11}{51}$.

в) В уравнении $0,4a = 1$, чтобы найти $a$, разделим произведение (1) на известный множитель (0,4).
$a = 1 \div 0,4$
Для удобства вычислений можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$a = 1 \div \frac{2}{5} = 1 \times \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$
Преобразуем результат обратно в десятичную дробь: $a = 2,5$.
Ответ: $2,5$.

г) В уравнении $0,9b = 1$, чтобы найти $b$, разделим 1 на 0,9.
$b = 1 \div 0,9$
Представим 0,9 в виде обыкновенной дроби: $0,9 = \frac{9}{10}$.
$b = 1 \div \frac{9}{10} = 1 \times \frac{10}{9} = \frac{10}{9}$
Выделим целую часть:
$10 \div 9 = 1$ (остаток $1$)
Получаем $b = 1\frac{1}{9}$.
Ответ: $1\frac{1}{9}$.

д) В уравнении $\frac{9}{101}x = \frac{9}{101}$ нужно найти неизвестный множитель $x$. Для этого разделим произведение ($\frac{9}{101}$) на известный множитель ($\frac{9}{101}$).
$x = \frac{9}{101} \div \frac{9}{101}$
Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно единице.
$x = 1$.
Ответ: $1$.

е) Уравнение $\frac{13}{6}y = \frac{13}{6}$ решается аналогично предыдущему. Чтобы найти $y$, разделим произведение ($\frac{13}{6}$) на известный множитель ($\frac{13}{6}$).
$y = \frac{13}{6} \div \frac{13}{6}$
$y = 1$.
Ответ: $1$.

6.9. Найдите семь последовательных целых чисел, сумма которых равна нулю.

6.9

$-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 0$

Для решения этой задачи обозначим среднее (четвертое по счетü) из семи последовательных целых чисел переменной $n$. Так как числа являются последовательными, то вся последовательность будет выглядеть симметрично относительно $n$.

Запишем все семь чисел через $n$:

$(n-3), (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), (n+3)$

Теперь найдем сумму этих чисел. Сложим все члены этой последовательности:

$S = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Если мы раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, то увидим, что положительные и отрицательные добавки к $n$ взаимно уничтожаются:

$S = 7n - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3$

$S = 7n + (-3+3) + (-2+2) + (-1+1)$

$S = 7n + 0 + 0 + 0 = 7n$

По условию задачи, сумма этих семи чисел равна нулю. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$7n = 0$

Решив это простое уравнение, получаем:

$n = 0$

Таким образом, среднее число в последовательности равно 0. Теперь, зная среднее число, мы можем найти всю последовательность:

• Первое число: $n-3 = 0-3 = -3$
• Второе число: $n-2 = 0-2 = -2$
• Третье число: $n-1 = 0-1 = -1$
• Четвертое число: $n = 0$
• Пятое число: $n+1 = 0+1 = 1$
• Шестое число: $n+2 = 0+2 = 2$
• Седьмое число: $n+3 = 0+3 = 3$

Получаем искомую последовательность чисел: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Выполним проверку, сложив все числа:

$-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -6 + 6 = 0$

Сумма действительно равна нулю, что соответствует условию задачи.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

6.10. С виноградника собрали 200 ц винограда. Из них 40 % отправили в город на продажу, 14 оставшегося винограда отправили в детские оздоровительные комплексы, а остальные – на плодоперерабатывающее предприятие. Сколько тонн винограда отправили на плодоперерабатывающее предприятие?

6.10

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 200 · 0,4 = 80$ (ц) – винограда направили в город на продажу;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }200 – 80 = 120$ (ц) – оставшийся виноград;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\stackrel{30}{\cancel{120} }· \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}= 30 · \frac{1}{1} = 30$ (ц) – винограда отправили в детские оздоровительные учреждения;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }120 – 30 = 90$ (ц) – винограда направили на плодоперерабатывающее предприятие.

Ответ: 90 ц.

1. Найдем количество винограда, отправленного в город на продажу.
Всего было собрано 200 центнеров (ц) винограда. В город отправили 40% от этого количества. Чтобы найти 40% от 200, нужно умножить 200 на десятичное представление процента ($40\% = 0,4$).
$200 \cdot 0,4 = 80$ ц.

2. Определим, сколько винограда осталось после отправки на продажу.
Для этого из общего количества вычтем количество, отправленное в город.
$200 - 80 = 120$ ц.

3. Вычислим количество винограда, отправленного в детские оздоровительные комплексы.
В комплексы отправили $\frac{1}{4}$ от оставшегося винограда.
$120 \cdot \frac{1}{4} = 30$ ц.

4. Найдем количество винограда, отправленного на плодоперерабатывающее предприятие.
Это оставшаяся часть винограда после отправки в детские комплексы. Вычтем из 120 ц ту часть, что ушла в комплексы.
$120 - 30 = 90$ ц.

5. Переведем полученное значение в тонны.
В задаче требуется дать ответ в тоннах (т). Мы знаем, что 1 тонна равна 10 центнерам ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).
$90 \text{ ц} \div 10 = 9$ т.

Ответ: 9 тонн.

6.11. В первый день туристы прошли 50 % намеченного пути, во второй день – 60 % пути, пройденного в первый день, а в третий день они преодолели последние 6 км пути. Сколько километров составлял весь маршрут туристов?

6.11

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,6 · 0,5 = 0,3$ всего пути – прошли туристы во второй день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 – (0,5 + 0,3) = 1 – 0,8 = 0,2$ всего пути – прошли в третий день;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ } 6 : 0,2 = 60 : 2 = 30$ (км) – маршрут туристов.

Ответ: 30 км

Для решения задачи обозначим всю длину маршрута переменной $x$ в километрах.

1. Вычислим, какую часть маршрута туристы прошли в первый день.По условию, в первый день они прошли 50% от всего пути. Выразим это в виде десятичной дроби и умножим на общую длину маршрута:

$0.5 \cdot x = 0.5x$ км.

2. Вычислим, какую часть маршрута туристы прошли во второй день.Во второй день они прошли 60% от расстояния, пройденного в первый день. Это составляет:

$0.6 \cdot (0.5x) = 0.3x$ км.

3. Составим уравнение.Общая длина маршрута $x$ равна сумме расстояний, пройденных за все три дня. В третий день туристы прошли 6 км. Таким образом, можно составить следующее уравнение:

$0.5x + 0.3x + 6 = x$

4. Решим уравнение, чтобы найти $x$.Сначала сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$0.8x + 6 = x$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону. Вычтем $0.8x$ из обеих частей уравнения:

$6 = x - 0.8x$

$6 = 0.2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.2:

$x = \frac{6}{0.2} = 30$

Следовательно, общая длина маршрута туристов составляет 30 км.

Проверим решение:

• Первый день: 50% от 30 км = $0.5 \cdot 30 = 15$ км.
• Второй день: 60% от 15 км = $0.6 \cdot 15 = 9$ км.
• Третий день: 6 км.
• Всего: $15 + 9 + 6 = 30$ км.

Расчеты верны.

Ответ: 30 км.

6.12. Старинная задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 11 голов и 34 ноги. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?

6.12

Пусть в клетке сидит х фазанов, тогда (11 – х) – кроликов, 2х ног – у фазанов, 4(11 – х) ног – у кроликов. Зная, что всего 34 ноги, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2х + 4(11 – х) = 34; \\ 2х + 44 – 4х = 34; \\ 2х – 4х = 34 – 44; \\ -2х = -10; \\ х = -10 : (-2); \end{gathered}$$

х = 5 – фазанов в клетке;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }11 – 5 = 6$ – кроликов в клетке.

Ответ: 5 фазанов и 6 кроликов.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $к$ — это количество кроликов, а $ф$ — количество фазанов в клетке.

Поскольку у каждого животного одна голова, а всего голов 11, то общее количество животных равно 11. Это дает нам первое уравнение:

$к + ф = 11$

Мы знаем, что у кролика 4 ноги, а у фазана — 2. Всего ног 34. Это позволяет составить второе уравнение, которое отражает общее количество ног:

$4 \cdot к + 2 \cdot ф = 34$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} к + ф = 11 \\ 4к + 2ф = 34 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $ф$:

$ф = 11 - к$

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$4к + 2(11 - к) = 34$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно переменной $к$:

$4к + 22 - 2к = 34$

$2к + 22 = 34$

$2к = 34 - 22$

$2к = 12$

$к = 6$

Итак, мы выяснили, что в клетке находится 6 кроликов.

Чтобы найти количество фазанов, подставим найденное значение $к=6$ в выражение $ф = 11 - к$:

$ф = 11 - 6 = 5$

Следовательно, в клетке 5 фазанов.

Для проверки убедимся, что наши результаты соответствуют условиям задачи. Всего голов: $6 + 5 = 11$. Всего ног: $(6 \cdot 4) + (5 \cdot 2) = 24 + 10 = 34$. Условия выполнены.

Ответ: в клетке 6 кроликов и 5 фазанов.

6.13. Выполните действия:

1) (2,25 · 49 – 2,25 : 214) · 5,7 – 5,7;
2) (3,25 · 413 – 3,25 : 314) · 9,3 – 9,3.

6.13

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(2,25 · \frac{4}{9} - 2,25 : 2\frac{1}{4}\right) · 5,7 - 5,7 = \\ = \left(\frac{225}{100} · \frac{4}{9} - \frac{225}{100} : \frac{9}{4}\right) · 5,7 - 5,7 = \\ = \left(\frac{225}{100} · \frac{4}{9} - \frac{225}{100} · \frac{4}{9}\right) · 5,7 - 5,7 = \\ =0 · 5,7 - 5,7 = 0 - 5,7 = -5,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left( 3,25 · \frac{4}{13} - 3,25 : 3\frac{1}{4}\right) · 9,3 - 9,3 = \\ = \left( 3,25 · \frac{4}{13} - 3,25· \frac{4}{13}\right) · 9,3 - 9,3= \\ = 0 · 9,3 – 9,3 = 0 – 9,3 = -9,3 \end{gathered}$$

Решим выражение $(2,25 \cdot \frac{4}{9} - 2,25 : 2\frac{1}{4}) \cdot 5,7 - 5,7$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

Сначала выполним действия в скобках. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби. Заметим, что $2,25$ и $2\frac{1}{4}$ представляют одно и то же число:

$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь выполним действия в скобках:

1. Первое действие в скобках — умножение:
$2,25 \cdot \frac{4}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9} = 1$

2. Второе действие в скобках — деление:
$2,25 : 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} : \frac{9}{4} = 1$

3. Третье действие — вычитание в скобках:
$1 - 1 = 0$

Теперь, зная результат в скобках, выполним оставшиеся действия:

4. Четвертое действие — умножение:
$0 \cdot 5,7 = 0$

5. Пятое действие — вычитание:
$0 - 5,7 = -5,7$

Ответ: -5,7

Решим выражение $(3,25 \cdot \frac{4}{13} - 3,25 : 3\frac{1}{4}) \cdot 9,3 - 9,3$ по действиям.

Как и в предыдущем примере, начнем с действий в скобках. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби. Заметим, что $3,25$ и $3\frac{1}{4}$ равны:

$3,25 = 3\frac{25}{100} = 3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Теперь выполним действия в скобках:

1. Первое действие в скобках — умножение:
$3,25 \cdot \frac{4}{13} = \frac{13}{4} \cdot \frac{4}{13} = 1$

2. Второе действие в скобках — деление:
$3,25 : 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} : \frac{13}{4} = 1$

3. Третье действие — вычитание в скобках:
$1 - 1 = 0$

Теперь выполним оставшиеся действия с полученным результатом:

4. Четвертое действие — умножение:
$0 \cdot 9,3 = 0$

5. Пятое действие — вычитание:
$0 - 9,3 = -9,3$

Ответ: -9,3

6.14. Проведите через точки А, В и С прямые, перпендикулярные прямой m (рис. 6.8).

6.14

a

Для построения прямых, перпендикулярных данной прямой $m$, воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых на координатной плоскости. Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ имеет вид $k_1 \cdot k_2 = -1$.

1. Найдём угловой коэффициент прямой $m$. Выберем на прямой $m$ две точки, находящиеся в узлах сетки. Двигаясь от одной точки к другой вдоль прямой, мы смещаемся на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Таким образом, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой $m$ равен $k_m = \frac{\text{смещение по вертикали}}{\text{смещение по горизонтали}} = \frac{1}{4}$.

2. Найдём угловой коэффициент перпендикулярных прямых. Обозначим его $k_{\perp}$. Из условия перпендикулярности $k_m \cdot k_{\perp} = -1$, получаем $k_{\perp} = -\frac{1}{k_m} = -\frac{1}{1/4} = -4$.

3. Построим перпендикулярные прямые. Угловой коэффициент $k_{\perp} = -4$ означает, что при смещении на 1 клетку вправо, прямая опускается на 4 клетки вниз. Чтобы провести прямую, перпендикулярную $m$, через каждую из точек A, B и C, нужно отложить от соответствующей точки 1 клетку вправо и 4 клетки вниз (или 1 клетку влево и 4 клетки вверх) и провести прямую через исходную и полученную точки. Все три построенные прямые будут параллельны друг другу.

Ответ: Через каждую точку (A, B, C) проводится прямая с угловым коэффициентом $k_{\perp} = -4$. Для построения на клетчатой бумаге из каждой точки откладывается смещение на 1 клетку по горизонтали и 4 клетки по вертикали в противоположном направлении.

б

1. Найдём угловой коэффициент прямой $m$. На рисунке (б) прямая $m$ при смещении на 1 клетку вправо опускается на 2 клетки вниз. Следовательно, её угловой коэффициент равен $k_m = \frac{-2}{1} = -2$.

2. Найдём угловой коэффициент перпендикулярных прямых. Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярных прямых равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_m} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

3. Построим перпендикулярные прямые. Угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{1}{2}$ означает, что при смещении на 2 клетки вправо, прямая поднимается на 1 клетку вверх. Через каждую из точек A, B и C проводим прямую, следуя этому правилу (например, откладываем от точки 2 клетки вправо и 1 клетку вверх и соединяем исходную и полученную точки).

Ответ: Через каждую точку (A, B, C) проводится прямая с угловым коэффициентом $k_{\perp} = \frac{1}{2}$. Для построения на клетчатой бумаге из каждой точки откладывается смещение на 2 клетки по горизонтали и 1 клетку по вертикали в одном и том же направлении.

в

1. Найдём угловой коэффициент прямой $m$. На рисунке (в) прямая $m$ при смещении на 1 клетку вправо опускается на 1 клетку вниз. Её угловой коэффициент равен $k_m = \frac{-1}{1} = -1$.

2. Найдём угловой коэффициент перпендикулярных прямых. Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярных прямых равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_m} = -\frac{1}{-1} = 1$.

3. Построим перпендикулярные прямые. Угловой коэффициент $k_{\perp} = 1$ означает, что при смещении на 1 клетку вправо, прямая поднимается на 1 клетку вверх. Такие прямые проходят по диагоналям клеток сетки. Через каждую из точек A, B и C проводим прямую, проходящую по диагоналям клеток.

Ответ: Через каждую точку (A, B, C) проводится прямая с угловым коэффициентом $k_{\perp} = 1$. На клетчатой бумаге это соответствует проведению прямых по диагоналям клеток сетки, проходящих через заданные точки.

6.15. Развивай воображение. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

а) пересекались;
б) не пересекались.

Выполните это задание для лучей. Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по–другому?

6.15

а)

б)

Да, отрезки и лучи могут располагаться по – другому.

а) пересекались;

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Чтобы два перпендикулярных отрезка пересекались, они должны иметь одну общую точку.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный отрезок, назовем его $AB$.
2. Выберите любую точку $O$, которая является внутренней точкой отрезка $AB$ (то есть лежит между $A$ и $B$).
3. Через точку $O$ проведите прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
4. На этой перпендикулярной прямой отметьте отрезок $CD$ так, чтобы точка $O$ была его внутренней точкой.

В результате отрезки $AB$ и $CD$ будут перпендикулярны ($AB \perp CD$) и будут пересекаться в точке $O$. Визуально это может напоминать знак «плюс» (+).

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут пересекаться. Для этого необходимо, чтобы точка пересечения содержащих их прямых принадлежала обоим отрезкам.

б) не пересекались.

Чтобы два перпендикулярных отрезка не пересекались, они по-прежнему должны лежать на перпендикулярных прямых, но при этом не иметь общих точек.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите две перпендикулярные прямые $m$ и $n$, которые пересекаются в точке $P$.
2. На прямой $m$ выберите отрезок $AB$ так, чтобы точка $P$ не принадлежала этому отрезку.
3. На прямой $n$ выберите любой отрезок $CD$.

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых, они являются перпендикулярными. Но так как они построены таким образом, что не имеют общих точек, они не пересекаются. Например, можно начертить вертикальный отрезок и горизонтальный отрезок, который находится полностью сбоку от вертикального и не касается его.

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут не пересекаться. Это возможно, если они лежат на перпендикулярных прямых, но не имеют общих точек.

Выполните это задание для лучей.

Рассуждения для лучей полностью аналогичны. Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

• Пересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча, выходящие из одной общей начальной точки в перпендикулярных направлениях (например, один луч направлен вправо, а другой — вверх). Они пересекаются в этой точке. Также возможно, чтобы один луч пересекал другой в точке, которая не является начальной ни для одного из них.
• Непересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча на перпендикулярных прямых так, чтобы они не имели общих точек. Например, один луч начинается в точке с координатами $(0, 0)$ и идет вправо по оси $Ox$, а второй начинается в точке $(1, 1)$ и идет вверх параллельно оси $Oy$. Лучи никогда не пересекутся.

Ответ: Да, два перпендикулярных луча могут как пересекаться, так и не пересекаться.

Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по-другому?

Да, кроме рассмотренных случаев перпендикулярного расположения, существуют и другие варианты взаимного расположения двух отрезков (или лучей) на плоскости. Основные случаи:

• Пересекаются не под прямым углом: Отрезки (или лучи) имеют одну общую точку, но угол между прямыми, на которых они лежат, отличен от $90^\circ$.
• Параллельны: Отрезки (или лучи) лежат на параллельных прямых. В этом случае у них нет общих точек.
• Лежат на одной прямой (коллинеарны): Отрезки (или лучи) расположены на одной и той же прямой. Здесь возможны несколько вариантов:
  • Они не имеют общих точек (между ними есть зазор).
  • Они имеют одну общую точку (касаются концами).
  • Они пересекаются по отрезку (частично накладываются друг на друга).
  • Один отрезок (луч) полностью является частью другого.

Ответ: Да, два отрезка (или луча) на плоскости могут также быть параллельными, пересекаться под произвольным углом (отличным от $90^\circ$) или лежать на одной прямой.

6.16. Ширина газона 8 м, а длина 20 м. Ширину увеличили на 30 %. Как изменилась площадь газона?

6.16

Ширина – 8 м; увеличили на 30% = 0,3

Длина – 20 м

S - ? м²

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 8 · 20 = 160$ (м²) – была площадь газона;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 8 · 0,3 = 2,4$ (м) – 30% от 8 м;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 8 + 2,4 = 10,4$ (м) – стала ширина газона;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }10,4 · 20 = 208$ (м²) – стала площадь газона;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{208}{160} · 100\% = 1,3 \mathrm{м} · 100\% = 130\%$ - стала площадь газона.

Ответ: площадь увеличилась на 30%.

Для того чтобы определить, как изменилась площадь газона, необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Сначала вычислим первоначальную площадь газона. Газон имеет форму прямоугольника, площадь которого находится по формуле $S = a \times b$, где $a$ – ширина, а $b$ – длина.

Исходные размеры:

• Ширина $a_1 = 8$ м
• Длина $b = 20$ м

Первоначальная площадь ($S_1$) составляет:

$S_1 = 8 \, \text{м} \times 20 \, \text{м} = 160 \, \text{м}^2$

2. Далее найдем новую ширину газона. По условию, первоначальную ширину увеличили на 30%. Сначала найдем, на сколько метров увеличилась ширина:

$8 \, \text{м} \times \frac{30}{100} = 8 \, \text{м} \times 0.3 = 2.4 \, \text{м}$

Теперь вычислим новую ширину ($a_2$), прибавив это увеличение к первоначальной ширине:

$a_2 = 8 \, \text{м} + 2.4 \, \text{м} = 10.4 \, \text{м}$

3. Теперь рассчитаем новую площадь газона ($S_2$), используя новую ширину и неизменную длину:

$S_2 = 10.4 \, \text{м} \times 20 \, \text{м} = 208 \, \text{м}^2$

4. Наконец, чтобы ответить на вопрос, как изменилась площадь, найдем разницу между новой и первоначальной площадями:

$\Delta S = S_2 - S_1 = 208 \, \text{м}^2 - 160 \, \text{м}^2 = 48 \, \text{м}^2$

Площадь газона увеличилась. Можно также отметить, что поскольку площадь прямо пропорциональна ширине (при постоянной длине), увеличение ширины на 30% приводит к увеличению площади также на 30%. Проверим это: $(\frac{48}{160}) \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$.

Ответ: Площадь газона увеличилась на 48 м².

6.17. В двух корзинках было поровну яблок. В первую корзинку доложили 8 яблок, а из второй забрали 4 яблока. После этого в первой корзинке стало в 5 раз больше яблок, чем во второй. Сколько яблок было в каждой корзинке?

6.17

Пусть х яблок – было в каждой корзине первоначально, (х + 8) яблок – стало в первой корзине, (х – 4) яблока – стало во второй корзине. Зная, что в первой корзине яблок стало в 5 раз больше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 8 = 5(х – 4); \\ х + 8 = 5х – 20; \\ х – 5х = -20 – 8; \\ -4х = -28; \\ х = -28 : (-4); \end{gathered}$$

х = 7 яблок – было в каждой корзине

Ответ: по 7 кг яблок.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество яблок в каждой корзинке.

Согласно условию, в первую корзинку добавили 8 яблок, значит, в ней стало $x + 8$ яблок.

Из второй корзинки забрали 4 яблока, значит, в ней осталось $x - 4$ яблока.

После этого в первой корзинке стало в 5 раз больше яблок, чем во второй. Это можно записать в виде уравнения:

$x + 8 = 5 \cdot (x - 4)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 8 = 5x - 20$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую. Для этого вычтем $x$ из обеих частей и прибавим 20 к обеим частям:

$8 + 20 = 5x - x$

$28 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{28}{4}$

$x = 7$

Таким образом, мы выяснили, что первоначально в каждой корзинке было 7 яблок.

Выполним проверку:

1. Изначально в обеих корзинках было по 7 яблок.

2. В первой корзинке стало: $7 + 8 = 15$ яблок.

3. Во второй корзинке стало: $7 - 4 = 3$ яблока.

4. Проверим, стало ли в первой корзинке в 5 раз больше яблок, чем во второй: $15 / 3 = 5$.

Условие выполняется, решение верное.

Ответ: 7 яблок.

6.18. Вычислите:

а) 21 + 9,7 · (3,4 – 3,7);
б) (134,31 : 3,3 + 4,4) : 1,1 + 8,8;
в) (0,7 – 720) · 229 – 0,4 : 1,8;
г) (2,28 – 1725) : 49 – 0,375 : 16.

6.18

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }21 + 9,7 · (3,4 – 3,7) = 21 + 9,7 \times \\ \times (-0,3) = 21 – 2,91 = 18,09 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(134,31 : 3,3 + 4,4) : 1,1 + 8,8 = \\ =(1343,1\stackrel{1}{ :} 33 + 4,4) : 1,1 + 8,8 = \\ = (40,7 + 4,4) : 1,1 + 8,8 = 45,1 : 1,1 + \\ + 8,8 = 451\stackrel{2}{ :} 11 + 8,8 = 41 + 8,8 = 49,8 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(0,7 - {\frac{7}{20}}^{\overline{)·5}}\right) · 2\frac{2}{9} - 0,4 : 1,8 = \\ = \left(0,7 - \frac{35}{100}\right) · \frac{20}{9} - \frac{0,4}{1,8} = \\ = \left(0,7 - 0,35\right) · \frac{20}{9} - \frac{4}{18}= 0,35 · \frac{20}{9} - \frac{2}{9} = \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{\underset{1}{\bcancel{5}}}{\cancel{100}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{20}}}}{9} - \frac{2}{9} =\frac{7}{1} · \frac{1}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \\ = \frac{5}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(2,28 - {1\frac{7}{25}}^{\overline{)·4}}\right) : \frac{4}{9} - 0,375 : \frac{1}{6} = \\ = \left(2,28 - 1,28\right) · \frac{9}{4} - 0,375 · 6 = \\ = 1 · \frac{9}{4} - 2,25 = {\frac{9}{4}}^{\overline{)·25}} - 2,25 = 2,25 - 2,25 = 0 \end{gathered}$$

а) $21 + 9,7 \cdot (3,4 - 3,7)$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций (сначала в скобках, затем умножение, потом сложение).
1. Выполним вычитание в скобках:
$3,4 - 3,7 = -0,3$
2. Выполним умножение:
$9,7 \cdot (-0,3) = -2,91$
3. Выполним сложение:
$21 + (-2,91) = 21 - 2,91 = 18,09$

Ответ: 18,09

б) $(134,31 : 3,3 + 4,4) : 1,1 + 8,8$

Решим по действиям: сначала деление и сложение в скобках, затем деление за скобками, и в конце сложение.
1. Выполним деление в скобках:
$134,31 : 3,3 = 1343,1 : 33 = 40,7$
2. Выполним сложение в скобках:
$40,7 + 4,4 = 45,1$
3. Выполним деление:
$45,1 : 1,1 = 451 : 11 = 41$
4. Выполним сложение:
$41 + 8,8 = 49,8$

Ответ: 49,8

в) $(0,7 - \frac{7}{20}) \cdot 2\frac{2}{9} - 0,4 : 1,8$

Для решения этого примера удобнее перевести все десятичные дроби в обыкновенные.
$0,7 = \frac{7}{10}$
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
Подставим значения в исходное выражение:
$(\frac{7}{10} - \frac{7}{20}) \cdot 2\frac{2}{9} - \frac{2}{5} : \frac{9}{5}$
Теперь решим по действиям:
1. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$\frac{7}{10} - \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{7}{20} = \frac{14}{20} - \frac{7}{20} = \frac{7}{20}$
2. Выполним умножение. Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{2}{9}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$.
$\frac{7}{20} \cdot \frac{20}{9} = \frac{7 \cdot 20}{20 \cdot 9} = \frac{7}{9}$
3. Выполним деление:
$\frac{2}{5} : \frac{9}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{2}{9}$
4. Выполним вычитание:
$\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) $(2,28 - 1\frac{7}{25}) : \frac{4}{9} - 0,375 : \frac{1}{6}$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений.
$2,28 = 2\frac{28}{100} = 2\frac{7}{25}$
$0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{3}{8}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$(2\frac{7}{25} - 1\frac{7}{25}) : \frac{4}{9} - \frac{3}{8} : \frac{1}{6}$
Решим по действиям:
1. Выполним вычитание в скобках:
$2\frac{7}{25} - 1\frac{7}{25} = (2-1) + (\frac{7}{25} - \frac{7}{25}) = 1 + 0 = 1$
2. Выполним первое деление:
$1 : \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$
3. Выполним второе деление:
$\frac{3}{8} : \frac{1}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$
4. Выполним вычитание:
$\frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0$

Ответ: 0