Номер 6.15, страница 100, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

41. Перпендикулярные прямые. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.15, страница 100.

6.15. Развивай воображение. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

а) пересекались;
б) не пересекались.

Выполните это задание для лучей. Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по–другому?

6.15

а)

б)

Да, отрезки и лучи могут располагаться по – другому.

а) пересекались;

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Чтобы два перпендикулярных отрезка пересекались, они должны иметь одну общую точку.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный отрезок, назовем его $AB$.
2. Выберите любую точку $O$, которая является внутренней точкой отрезка $AB$ (то есть лежит между $A$ и $B$).
3. Через точку $O$ проведите прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
4. На этой перпендикулярной прямой отметьте отрезок $CD$ так, чтобы точка $O$ была его внутренней точкой.

В результате отрезки $AB$ и $CD$ будут перпендикулярны ($AB \perp CD$) и будут пересекаться в точке $O$. Визуально это может напоминать знак «плюс» (+).

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут пересекаться. Для этого необходимо, чтобы точка пересечения содержащих их прямых принадлежала обоим отрезкам.

б) не пересекались.

Чтобы два перпендикулярных отрезка не пересекались, они по-прежнему должны лежать на перпендикулярных прямых, но при этом не иметь общих точек.

Для построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите две перпендикулярные прямые $m$ и $n$, которые пересекаются в точке $P$.
2. На прямой $m$ выберите отрезок $AB$ так, чтобы точка $P$ не принадлежала этому отрезку.
3. На прямой $n$ выберите любой отрезок $CD$.

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых, они являются перпендикулярными. Но так как они построены таким образом, что не имеют общих точек, они не пересекаются. Например, можно начертить вертикальный отрезок и горизонтальный отрезок, который находится полностью сбоку от вертикального и не касается его.

Ответ: Да, два перпендикулярных отрезка могут не пересекаться. Это возможно, если они лежат на перпендикулярных прямых, но не имеют общих точек.

---

Выполните это задание для лучей.

Рассуждения для лучей полностью аналогичны. Два луча называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

• Пересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча, выходящие из одной общей начальной точки в перпендикулярных направлениях (например, один луч направлен вправо, а другой — вверх). Они пересекаются в этой точке. Также возможно, чтобы один луч пересекал другой в точке, которая не является начальной ни для одного из них.
• Непересекающиеся перпендикулярные лучи: Можно начертить два луча на перпендикулярных прямых так, чтобы они не имели общих точек. Например, один луч начинается в точке с координатами $(0, 0)$ и идет вправо по оси $Ox$, а второй начинается в точке $(1, 1)$ и идет вверх параллельно оси $Oy$. Лучи никогда не пересекутся.

Ответ: Да, два перпендикулярных луча могут как пересекаться, так и не пересекаться.

---

Могут ли два отрезка (луча) на плоскости располагаться по-другому?

Да, кроме рассмотренных случаев перпендикулярного расположения, существуют и другие варианты взаимного расположения двух отрезков (или лучей) на плоскости. Основные случаи:

• Пересекаются не под прямым углом: Отрезки (или лучи) имеют одну общую точку, но угол между прямыми, на которых они лежат, отличен от $90^\circ$.
• Параллельны: Отрезки (или лучи) лежат на параллельных прямых. В этом случае у них нет общих точек.
• Лежат на одной прямой (коллинеарны): Отрезки (или лучи) расположены на одной и той же прямой. Здесь возможны несколько вариантов:
  • Они не имеют общих точек (между ними есть зазор).
  • Они имеют одну общую точку (касаются концами).
  • Они пересекаются по отрезку (частично накладываются друг на друга).
  • Один отрезок (луч) полностью является частью другого.

Ответ: Да, два отрезка (или луча) на плоскости могут также быть параллельными, пересекаться под произвольным углом (отличным от $90^\circ$) или лежать на одной прямой.