Номер 6.21, страница 102, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов


Авторы: Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Александрова Л. А., Шварцбурд С. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки: белый, синий, зелёный с пазлами
ISBN: 978-5-09-102533-0 (ч. 1), ISBN 978-5-09-110648-0 (ч. 2)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 6 классе
42. Параллельные прямые. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.21, страница 102.
№6.21 (с. 102)
Условие. №6.21 (с. 102)
скриншот условия

6.21. Нарисуйте квадрат и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную его диагонали. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках получился?
Решение 1. №6.21 (с. 102)
6.21

АВСD – квадрат
Решение 2. №6.21 (с. 102)
Задача состоит из двух частей: построение фигуры и определение её вида.
Построение
1. Нарисуем исходный квадрат. Обозначим его вершины буквами $A, B, C, D$ против часовой стрелки.
2. Проведём в этом квадрате диагонали $AC$ и $BD$.
3. Теперь, согласно условию, через каждую вершину проведём прямую, параллельную одной из диагоналей. Чтобы получить замкнутую фигуру, будем проводить прямую через вершину параллельно той диагонали, которая не проходит через эту вершину:
- Через вершины $A$ и $C$ проведём прямые, параллельные диагонали $BD$.
- Через вершины $B$ и $D$ проведём прямые, параллельные диагонали $AC$.
4. Эти четыре прямые пересекутся в четырёх точках. Обозначим эти точки пересечения буквами $K, L, M, N$. Эти точки являются вершинами нового четырёхугольника.
Наглядно это можно представить на чертеже:
Анализ полученной фигуры $KLMN$
Чтобы определить, какой четырёхугольник получился, проверим его свойства: параллельность сторон, равенство углов и равенство длин сторон.
1. Параллельность сторон. По построению, прямая $KL$ (проходящая через $A$) и прямая $NM$ (проходящая через $C$) параллельны диагонали $BD$. Значит, $KL \parallel NM$. Аналогично, прямая $LM$ (проходящая через $B$) и прямая $KN$ (проходящая через $D$) параллельны диагонали $AC$. Значит, $LM \parallel KN$. Так как противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.
2. Углы. Рассмотрим угол при вершине $L$. Он образован пересечением прямых $KL$ и $LM$. Мы знаем, что $KL \parallel BD$ и $LM \parallel AC$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми другими двумя прямыми, которые им соответственно параллельны. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle K L M = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.
3. Длины сторон. Пусть сторона исходного квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда по теореме Пифагора длина его диагоналей $AC$ и $BD$ одинакова и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Сторона $LM$ нового прямоугольника равна расстоянию между параллельными прямыми $KL$ и $NM$. Это расстояние равно длине диагонали $AC$, так как прямые $KL$ и $NM$ перпендикулярны $AC$ (поскольку $KL \parallel BD$ и $BD \perp AC$). Таким образом, длина стороны $LM = AC = a\sqrt{2}$.
Аналогично, длина стороны $KL$ равна расстоянию между параллельными прямыми $LM$ и $KN$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, длина стороны $KL = BD = a\sqrt{2}$.
Мы получили, что смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны: $KL = LM = a\sqrt{2}$. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.
Ответ: Получившийся четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках является квадратом.
Решение 3. №6.21 (с. 102)

Решение 4. №6.21 (с. 102)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 6.21 расположенного на странице 102 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №6.21 (с. 102), авторов: Виленкин (Наум Яковлевич), Жохов (Владимир Иванович), Чесноков (Александр Семёнович), Александрова (Лилия Александровна), Шварцбурд (Семён Исаакович), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.