Номер 9, страница 124, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Вопросы - номер 9, страница 124.

Условие.

В.9. Какое из утверждений верно:
а) любое простое число есть сумма простых чисел;
б) любое число есть произведение двух простых чисел;
в) любое число есть произведение двух составных чисел?

Решение 1.

В.9

а) нет, например, простое число 19 = 15 + 4 – слагаемые не являются простыми числами.

б) нет, например, 36 = 4 • 9 – множители не являются простыми числами

в) нет, например, 12 = 2 • 6 – число 2 не является составным

Решение 2.

Для определения верного утверждения проанализируем каждое из них по отдельности.

а) любое простое число есть сумма простых чисел;

Данное утверждение можно трактовать двумя способами, в зависимости от того, что понимать под "суммой".
1. Если под "суммой" подразумевается сложение как минимум двух чисел, то утверждение будет неверным. В качестве контрпримеров можно привести наименьшие простые числа: 2 и 3. Невозможно представить число 2 в виде суммы двух или более простых чисел, так как наименьшее простое число – это 2, а наименьшая сумма двух простых чисел равна $2 + 2 = 4$, что больше 2. Аналогичная ситуация и с числом 3.
2. Однако в математике понятие суммы является более общим, и сумма может состоять из одного слагаемого. Например, сумма ряда по единственному элементу множества равна этому элементу. При такой, более формальной, трактовке любое простое число $p$ можно представить в виде суммы, состоящей из одного простого числа – самого себя: $p = p$.
Поскольку два других утверждения (б и в) очевидно ложны, следует выбрать именно эту, математически корректную, трактовку. При таком подходе утверждение оказывается верным.
Ответ: Утверждение верно.

б) любое число есть произведение двух простых чисел;

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть его, достаточно найти хотя бы один контрпример. Контрпримерами являются:
1. Любое простое число. Например, число 11. По определению, оно имеет только два делителя: 1 и 11. Так как 1 не является простым числом, 11 нельзя представить в виде произведения двух простых чисел.
2. Многие составные числа. Например, число 8. Его разложение на простые множители – это $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. Это произведение трех простых чисел, а не двух. Другой пример – число $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.
Таким образом, утверждение не выполняется для всех простых чисел и для многих составных чисел, поэтому оно ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

в) любое число есть произведение двух составных чисел?

Это утверждение также неверно. Составное число – это натуральное число больше 1, которое не является простым. Наименьшее составное число – это 4. Другие примеры: 6, 8, 9, 10.
Наименьшее возможное произведение двух составных чисел – это $4 \cdot 4 = 16$. Следовательно, любое натуральное число, меньшее 16, уже является контрпримером. Например:
1. Любое простое число, например 13.
2. Любое составное число, меньшее 16. Например, число 15 можно разложить только как $3 \cdot 5$, где оба множителя – простые, а не составные числа.
Так как существует множество контрпримеров, утверждение ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

Решение 3.

Решение 4.