Номер 14, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Вопросы - номер 14, страница 125.

Условие.

В.14. Найдите, при каких m верно равенство:
а) |−m| = m;
б) |m| = −m;
в) |−m| = |m|.

Решение 1.

В.14

а) |-m| = m при m ≥ 0

б) |m| = -m, если m ≤ 0

в) |-m| = |m| при любых значениях m

Решение 2.

а) $|-m| = m$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа является неотрицательной величиной. Левая часть равенства, $|-m|$, всегда больше или равна нулю ($|-m| \ge 0$). Следовательно, для того чтобы равенство было верным, правая часть, $m$, также должна быть неотрицательной. То есть, должно выполняться условие $m \ge 0$.

Проверим это условие:
1. Если $m > 0$, то $-m < 0$. Тогда по определению модуля $|-m| = -(-m) = m$. Равенство $|-m| = m$ превращается в тождество $m = m$, что верно.
2. Если $m = 0$, то $|-0| = |0| = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что также верно.
3. Если $m < 0$, то правая часть равенства отрицательна, а левая (модуль) — неотрицательна. Равенство не может выполняться. Например, при $m = -5$ получим $|-(-5)| = |5| = 5$, а правая часть равна $-5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

Таким образом, равенство верно при всех неотрицательных значениях $m$.
Ответ: $m \ge 0$.

б) $|m| = -m$

Это равенство является одним из определений модуля. Модуль числа $|x|$ равен $-x$ тогда и только тогда, когда $x$ является неположительным числом ($x \le 0$). Применительно к нашей задаче, равенство $|m| = -m$ будет верным, когда подмодульное выражение $m$ неположительно.

Рассмотрим все случаи:
1. Если $m < 0$, то по определению модуля $|m| = -m$. Равенство принимает вид $-m = -m$, что является верным тождеством для всех $m < 0$.
2. Если $m = 0$, то $|0| = 0$ и $-m = -0 = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что верно.
3. Если $m > 0$, то $|m| = m$. Равенство становится $m = -m$, что равносильно $2m = 0$, откуда $m=0$. Это противоречит нашему предположению $m > 0$.

Следовательно, равенство верно при всех неположительных значениях $m$.
Ответ: $m \le 0$.

в) $|-m| = |m|$

Это равенство является основным свойством модуля: модули противоположных чисел равны. Геометрически это означает, что числа $m$ и $-m$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой, и это расстояние равно $|m|$.

Это свойство верно для любого действительного числа $m$. Докажем это, рассмотрев все возможные случаи:
1. Если $m > 0$, то $-m < 0$. Тогда $|m| = m$ и $|-m| = -(-m) = m$. Равенство принимает вид $m = m$, что верно.
2. Если $m = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = 0$. Равенство принимает вид $0 = 0$, что верно.
3. Если $m < 0$, то $-m > 0$. Тогда $|m| = -m$ и $|-m| = -m$. Равенство принимает вид $-m = -m$, что верно.

Таким образом, равенство верно при любом значении $m$.
Ответ: $m$ — любое число (или $m \in (-\infty; +\infty)$).

Решение 3.

Решение 4.