Номер 10, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Вопросы - номер 10, страница 125.

Условие.

В.10. Как найти сумму, разность, произведение и частное двух смешанных чисел?

Решение 1.

В.10

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, нужно сложить их целые части и сложить их дробные части, приведя их к общему знаменателю, а затем сложить полученные результаты.

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить вычитание по правилу вычитания дробей с разными знаменателями. По возможности сократить полученную дробь.

Чтобы найти произведение двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей и выполнить умножение числителей и умножение знаменателей дробей, записав первое произведение в числитель, а второе – в знаменатель дроби. По возможности сократить полученную дробь.

Чтобы найти частное двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей, деление заменить умножением на обратную дробь, далее применить правило умножение обыкновенных дробей. По возможности сократить полученную дробь.

Решение 2.

Сумма

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, например $A\frac{b}{c}$ и $D\frac{e}{f}$, можно сложить их целые и дробные части по отдельности. Сначала складываются целые части: $A+D$. Затем складываются дробные части: $\frac{b}{c} + \frac{e}{f}$. Если у дробей разные знаменатели, их необходимо привести к общему знаменателю. После этого полученные сумма целых и сумма дробных частей складываются вместе.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю), из нее нужно выделить целую часть и добавить к сумме целых частей.

Пример: Найдем сумму $3\frac{1}{4}$ и $2\frac{5}{6}$.

Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.

Складываем дробные части, приведя к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.

Так как $\frac{13}{12}$ — неправильная дробь, выделяем целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.

Теперь складываем сумму целых частей и результат сложения дробных: $5 + 1\frac{1}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Другой способ — это сначала представить оба смешанных числа в виде неправильных дробей, сложить их по правилам сложения дробей, а затем, при необходимости, преобразовать результат обратно в смешанное число.

Ответ: Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, нужно сложить их целые части и их дробные части отдельно, а затем сложить полученные результаты. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из нее выделяют целую часть и добавляют к сумме целых частей.

Разность

При вычитании смешанных чисел, как и при сложении, можно вычитать отдельно целые и дробные части. Из целой части уменьшаемого вычитают целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого — дробную часть вычитаемого.

Сложность возникает, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить эту единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части, и прибавить ее к этой дробной части. Только после этого можно выполнять вычитание.

Пример: Найдем разность $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь дробная часть $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$. Поэтому "занимаем" 1 у целой части 5. Получаем $4$ и $1\frac{1}{4}$. Представляем $1\frac{1}{4}$ как $\frac{5}{4}$. Таким образом, $5\frac{1}{4}$ превращается в $4\frac{5}{4}$.

Теперь вычитаем: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = (4-2) + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) = 2 + \frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Более универсальным и часто более простым методом является преобразование обоих смешанных чисел в неправильные дроби. После этого выполняется вычитание дробей, и результат, если нужно, снова преобразуется в смешанное число.

Ответ: Чтобы найти разность двух смешанных чисел, можно вычесть отдельно их целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Либо можно преобразовать оба числа в неправильные дроби, выполнить вычитание и преобразовать результат обратно в смешанное число.

Произведение

Для нахождения произведения двух смешанных чисел их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби. Важно помнить, что перемножать отдельно целые и дробные части нельзя — это приведет к неверному результату.

Алгоритм следующий:
1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель, и результат записывают в новый числитель, оставляя знаменатель прежним ($A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$).
2. Перемножить полученные дроби: числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, ее следует упростить и преобразовать обратно в смешанное число.

Пример: Найдем произведение $2\frac{1}{3} \times 1\frac{3}{4}$.

Преобразуем числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Перемножаем дроби: $\frac{7}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{49}{12}$.

Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$.

Ответ: Чтобы найти произведение двух смешанных чисел, нужно сначала представить каждое из них в виде неправильной дроби, затем перемножить эти дроби по правилу умножения дробей, и, если результат — неправильная дробь, преобразовать его в смешанное число.

Частное

Деление смешанных чисел, так же как и умножение, выполняется через их преобразование в неправильные дроби.

Порядок действий таков:
1. Представить делимое и делитель (оба смешанных числа) в виде неправильных дробей.
2. Выполнить деление дробей, что равносильно умножению первой дроби (делимого) на дробь, обратную второй (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.
3. Полученный результат при необходимости упростить и, если это неправильная дробь, преобразовать в смешанное число.

Пример: Найдем частное $3\frac{3}{5} \div 1\frac{1}{5}$.

Преобразуем числа в неправильные дроби: $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ и $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

Делим дроби, заменяя деление умножением на обратную дробь: $\frac{18}{5} \div \frac{6}{5} = \frac{18}{5} \times \frac{5}{6}$.

Выполняем умножение и сокращение: $\frac{18 \times 5}{5 \times 6} = \frac{18}{6} = 3$.

Ответ: Чтобы найти частное двух смешанных чисел, нужно представить их в виде неправильных дробей, затем делимое умножить на дробь, обратную делителю, и, при необходимости, преобразовать результат в смешанное число.

Решение 3.

Решение 4.