Номер 5, страница 121, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 6. Координаты на плоскости. Применяем математику - номер 5, страница 121.

Условие.

5. Спелеологи обследовали пещеру, вход и выход в которую совпадают и находятся на склоне горы на высоте 200 м над уровнем моря. График движения группы показан на рисунке 6.40, где на оси у отмечена высота в метрах над уровнем моря, а на оси х − время в часах. Используя график (см. рис. 6.40), ответьте на вопросы.

а) В какое время спелеологи вышли со стоянки? На какой высоте была стоянка спелеологов?
б) Сколько времени спелеологи поднимались ко входу в пещеру?
в) До какой глубины они обследовали пещеру?
г) Как долго осуществлялся спуск в пещере до нулевой высоты?
д) Как долго находились спелеологи на максимальной глубине?
е) В какое время спелеологи начали движение с максимальной глубины?
ж) На каком участке скорость передвижения спелеологов была больше? Сколько времени заняло это передвижение?
з) На какие ещё вопросы можно ответить по этому графику?

Решение 1.

5.

а) Спелеологи вышли со стоянки в 7 часов.
Стоянка была на высоте 25 м.

б) Спелеологи поднимались до входа в пещеру 1 час.

в) Обследовали пещеру до глубины 50 м.

г) Спуск в пещеру до нулевой высоты осуществлялся 3 ч 42 мин.

д) На максимальной глубине спелеологи находились 2 часа.

е) Спелеологи начали движение с максимальной глубины в 16 часов.

ж) Наибольшая скорость передвижения была на первом участке пути, при подъеме до высоты 200 м. Это передвижение длилось 1 час.

з) Сколько времени отдыхали спелеологи? Какова продолжительность путешествия? Сколько было остановок?

Решение 2.

а) В какое время спелеологи вышли со стоянки? На какой высоте была стоянка спелеологов?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти начальную точку графика. График движения начинается в точке с координатами $(7; 0)$. Ось x представляет время в часах, а ось y — высоту в метрах над уровнем моря. Таким образом, движение началось в 7 часов, а начальная высота была равна 0 метров.

Ответ: Спелеологи вышли со стоянки в 7:00. Стоянка была на высоте 0 метров над уровнем моря.

б) Сколько времени спелеологи поднимались ко входу в пещеру?

Согласно условию, вход в пещеру находится на высоте 200 м. На графике видно, что спелеологи начали подъем в 7:00 с высоты 0 м и достигли высоты 200 м в 8:00. Время, затраченное на подъем, равно разности между временем прибытия и временем начала подъема.

Время подъема = $8 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 1 \text{ час}$.

Ответ: Спелеологи поднимались ко входу в пещеру 1 час.

в) До какой глубины они обследовали пещеру?

Глубина обследования пещеры определяется как разница между высотой входа и самой низкой точкой, которой достигли спелеологи. Вход в пещеру находится на высоте 200 м. По графику, минимальная высота, на которую опустились спелеологи, составляет -50 м над уровнем моря (это самая низкая точка на графике).

Глубина обследования = Высота входа - Минимальная достигнутая высота = $200 \text{ м} - (-50 \text{ м}) = 200 \text{ м} + 50 \text{ м} = 250 \text{ м}$.

Ответ: Они обследовали пещеру до глубины 250 метров (относительно входа).

г) Как долго осуществлялся спуск в пещере до нулевой высоты?

Вопрос касается суммарного времени, которое группа провела, спускаясь вниз, с момента входа в пещеру (в 8:00 на высоте 200 м) до первого достижения нулевой высоты.

1. Первый спуск происходит с 8:00 (200 м) до 9:00 (50 м). Длительность этого спуска: $9 - 8 = 1$ час.
2. Затем с 11:00 (75 м) начинается второй спуск. Группа достигает нулевой высоты (y=0) на отрезке между 11:00 и 12:00. Чтобы найти точное время, составим уравнение прямой для этого отрезка, проходящей через точки $(11; 75)$ и $(12; -25)$. Скорость спуска на этом участке: $v = \frac{-25 - 75}{12 - 11} = -100 \text{ м/ч}$. Время $t$ для достижения высоты $y=0$ от точки $(11; 75)$ можно найти так: $t = \frac{0 - 75}{-100} = 0.75$ часа. Таким образом, нулевая высота достигнута в $11 + 0.75 = 11.75$ часа. Длительность второго спуска до нулевой отметки составляет 0.75 часа.

Общее время, затраченное на спуски: $1 \text{ час} + 0.75 \text{ часа} = 1.75 \text{ часа}$.

Ответ: Спуск в пещере до нулевой высоты (суммарное время движения вниз) осуществлялся 1.75 часа, или 1 час 45 минут.

д) Как долго находились спелеологи на максимальной глубине?

Максимальная глубина соответствует минимальной высоте на графике, которая равна -50 м. На графике видно, что спелеологи достигли этой высоты в 13:00 и оставались на ней до 15:00. Этот участок на графике представляет собой горизонтальную линию.

Продолжительность пребывания = $15 \text{ ч} - 13 \text{ ч} = 2 \text{ часа}$.

Ответ: На максимальной глубине спелеологи находились 2 часа.

е) В какое время спелеологи начали движение с максимальной глубины?

Спелеологи находились на максимальной глубине (-50 м) с 13:00 до 15:00. Движение вверх с этой точки началось в тот момент, когда закончился период покоя.

Ответ: Спелеологи начали движение с максимальной глубины в 15:00.

ж) На каком участке скорость передвижения спелеологов была больше? Сколько времени заняло это передвижение?

Скорость передвижения (по вертикали) соответствует модулю тангенса угла наклона отрезка графика (крутизне склона). Нужно сравнить скорости на всех участках движения. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = |\frac{\Delta y}{\Delta t}|$, где $\Delta y$ — изменение высоты, а $\Delta t$ — изменение времени.

- с 7:00 до 8:00: $v_1 = |\frac{200 - 0}{8 - 7}| = 200 \text{ м/ч}$
- с 8:00 до 9:00: $v_2 = |\frac{50 - 200}{9 - 8}| = 150 \text{ м/ч}$
- с 10:00 до 11:00: $v_3 = |\frac{75 - 50}{11 - 10}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 11:00 до 12:00: $v_4 = |\frac{-25 - 75}{12 - 11}| = 100 \text{ м/ч}$
- с 12:00 до 13:00: $v_5 = |\frac{-50 - (-25)}{13 - 12}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 15:00 до 16:00: $v_6 = |\frac{-25 - (-50)}{16 - 15}| = 25 \text{ м/ч}$
- с 16:00 до 17:00: $v_7 = |\frac{50 - (-25)}{17 - 16}| = 75 \text{ м/ч}$
- с 18:00 до 19:00: $v_8 = |\frac{200 - 50}{19 - 18}| = 150 \text{ м/ч}$

Сравнивая полученные значения, видим, что максимальная скорость была 200 м/ч. Это произошло на участке подъема ко входу в пещеру с 7:00 до 8:00. Длительность этого передвижения составила 1 час.

Ответ: Скорость была больше на участке подъема к пещере (с 7:00 до 8:00). Это передвижение заняло 1 час.

з) На какие ещё вопросы можно ответить по этому графику?

По данному графику можно ответить на множество других вопросов, например:

1. Сколько всего времени группа находилась в состоянии покоя (на стоянках)?
Стоянки — это горизонтальные участки графика. - Первая стоянка: с 9:00 до 10:00 (1 час) на высоте 50 м. - Вторая стоянка: с 13:00 до 15:00 (2 часа) на высоте -50 м. - Третья стоянка: с 17:00 до 18:00 (1 час) на высоте 50 м. Общее время покоя: $1 + 2 + 1 = 4$ часа.

2. На какой высоте спелеологи находились в 16:30?
В 16:30 (t=16.5) группа находилась на участке подъема между точками (16; -25) и (17; 50). Уравнение прямой для этого отрезка: $y - (-25) = \frac{50 - (-25)}{17 - 16}(t - 16)$, что упрощается до $y + 25 = 75(t - 16)$. Подставим $t = 16.5$: $y + 25 = 75(16.5 - 16) = 75 \times 0.5 = 37.5$. $y = 37.5 - 25 = 12.5$ метров. В 16:30 спелеологи были на высоте 12.5 м над уровнем моря.

3. Когда спелеологи вышли из пещеры?
Вход и выход находятся на высоте 200 м. Группа вошла в пещеру в 8:00. На графике видно, что они снова достигли высоты 200 м в 19:00. Следовательно, они вышли из пещеры в 19:00.

Ответ: Примеры дополнительных вопросов: "Сколько всего времени группа находилась на стоянках?" (Ответ: 4 часа), "На какой высоте спелеологи находились в 16:30?" (Ответ: 12.5 м), "Когда спелеологи вышли из пещеры?" (Ответ: в 19:00).

Решение 3.

Решение 4.