Номер 6.124, страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

44. Представление числовой информации на графиках. § 6. Координаты на плоскости. ч. 2 - номер 6.124, страница 119.

6.124. Банк платит вкладчикам 6 % годовых. За год вклад одного из вкладчиков увеличился на 6400 р.
а) Какая сумма была внесена первоначально на счёт?
б) Какая сумма будет на счёте через год, если сумма по процентам зачислена на счёт?
в) Какая сумма будет на счёте через 2 года, если сумма по процентам зачислена на счёт?

6.124

$\mathit{а}\mathbf{)} 6 400 : 0,06 = \frac{640 000}{6} = 106 666\frac{2}{3}$ (руб.) – внесено на счет;

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }106 666\frac{2}{3} + 6 400 = 113066\frac{2}{3}$ (руб.) – станет на счете через год;

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }113 066\frac{2}{3} + 1013066\frac{2}{3} · 0,06 = \\ = 113055\frac{2}{3} · \left(1 + 0,06\right) =113066\frac{2}{3} · 1,06 = \\ = \frac{3392\cancel{00}}{3} · \frac{106}{1\cancel{00}} = \frac{3392 · 106}{3} = \frac{359552}{3} = \end{gathered}$$

$= 119850\frac{2}{3}$ (руб.) – станет через 2 года.

а) Какая сумма была внесена первоначально на счёт?
Пусть $P$ - первоначальная сумма вклада. Годовая процентная ставка составляет $r = 6\% = 0.06$. За год вклад увеличился на 6400 руб., эта сумма и является начисленными процентами за первый год ($I$). Сумма процентов вычисляется по формуле: $I = P \cdot r$. Чтобы найти первоначальную сумму вклада $P$, выразим её из формулы: $P = \frac{I}{r}$ Подставим известные значения: $P = \frac{6400}{0.06} = \frac{640000}{6} = \frac{320000}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 106 666,66... руб., что можно округлить до 106 666 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{320000}{3}$ руб. (или примерно 106 666,67 руб.).

б) Какая сумма будет на счёте через год, если сумма по процентам зачислена на счёт?
Сумма на счёте через год ($A_1$) будет равна первоначальной сумме плюс начисленные за год проценты. $A_1 = P + I$ Подставим значения: $A_1 = \frac{320000}{3} + 6400 = \frac{320000}{3} + \frac{19200}{3} = \frac{320000 + 19200}{3} = \frac{339200}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 113 066,66... руб., что можно округлить до 113 066 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{339200}{3}$ руб. (или примерно 113 066,67 руб.).

в) Какая сумма будет на счёте через 2 года, если сумма по процентам зачислена на счёт?
Сумма на счёте через 2 года ($A_2$) вычисляется с учётом капитализации процентов (сложные проценты). Это означает, что проценты за второй год начисляются на всю сумму, которая была на счёте в конце первого года ($A_1$). Сумму через 2 года можно найти по формуле сложных процентов: $A_2 = P \cdot (1 + r)^2$. Подставим наши значения: $A_2 = \frac{320000}{3} \cdot (1 + 0.06)^2 = \frac{320000}{3} \cdot (1.06)^2 = \frac{320000}{3} \cdot 1.1236 = \frac{359552}{3}$ руб.
Другой способ — рассчитать проценты за второй год и прибавить их к сумме после первого года. Проценты за второй год ($I_2$) составят: $I_2 = A_1 \cdot r = \frac{339200}{3} \cdot 0.06 = \frac{339200 \cdot 0.06}{3} = \frac{20352}{3} = 6784$ руб. Итоговая сумма через 2 года: $A_2 = A_1 + I_2 = \frac{339200}{3} + 6784 = \frac{339200}{3} + \frac{20352}{3} = \frac{359552}{3}$ руб. В виде десятичной дроби это составляет 119 850,66... руб., что можно округлить до 119 850 руб. 67 коп.
Ответ: $\frac{359552}{3}$ руб. (или примерно 119 850,67 руб.).