Страница 87, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.64. Вычислите значение выражения:
а) 3у – 3b + 7у – 5b + 7b при у = –0,24, b = 0,04;
б) –6,3m + 8 – 3,2m – 5 при m = –2; $m=– \frac{1}{8};$ m = –0,4.

5.64

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 3\mathrm{у} – 3\mathrm{b} + 7\mathrm{y} – 5\mathrm{b} + 7\mathrm{b} = 3\mathrm{у} + 7\mathrm{y} – \\ - 3\mathrm{b} – 5\mathrm{b} + 7\mathrm{b} = 10\mathrm{y} – \mathrm{b} \\ \mathrm{при} \mathrm{y} = -0,24; \\ \mathrm{b} = 0,04: 10\mathrm{y} – \mathrm{b} = 10 · (-0,24) – 0,04 = \\ = -2,4 – 0,04 = -2,44 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -6,3\mathrm{m} + 8 – 3,2\mathrm{m} – 5 = -6,3\mathrm{m} – \\ - 3,2\mathrm{m} + (8 – 5) = -9,5\mathrm{m} + 3 \\ \mathrm{при} \mathrm{m} = -2: \\ -9,5\mathrm{m} + 3 = -9,5 · (-2) + 3 = 19 + 3 = 22 \\ \mathrm{при} \mathrm{m} = -\frac{1}{8}: \\ -9,5\mathrm{m} + 3 = -9,5 · \left(-\frac{1}{8}\right)+ 3 = \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{95}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}} · \frac{1}{8} + 3 = \\ = \frac{19}{2} · \frac{1}{8} + 3 = \frac{19}{16} + 3 = 1\frac{3}{16} + 3 = 4\frac{3}{16} \\ \mathrm{при} \mathrm{m} = -0,4: \\ -9,5\mathrm{m} + 3 = -9,5 · (-0,4) + 3 = 3,8 + 3 = 6,8 \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим данное выражение, сгруппировав и приведя подобные слагаемые:
$3y - 3b + 7y - 5b + 7b = (3y + 7y) + (-3b - 5b + 7b) = 10y - b$.
Теперь подставим в полученное выражение значения $y = -0,24$ и $b = 0,04$:
$10y - b = 10 \cdot (-0,24) - 0,04 = -2,4 - 0,04 = -2,44$.
Ответ: $-2,44$.

б)

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
$-6,3m + 8 - 3,2m - 5 = (-6,3m - 3,2m) + (8 - 5) = -9,5m + 3$.
Теперь поочередно подставим в полученное выражение заданные значения $m$:

1. При $m = -2$:
$-9,5 \cdot (-2) + 3 = 19 + 3 = 22$.

2. При $m = -\frac{1}{8}$:
$-9,5 \cdot (-\frac{1}{8}) + 3$. Представим $-\frac{1}{8}$ как десятичную дробь $-0,125$.
$-9,5 \cdot (-0,125) + 3 = 1,1875 + 3 = 4,1875$.

3. При $m = -0,4$:
$-9,5 \cdot (-0,4) + 3 = 3,8 + 3 = 6,8$.
Ответ: $22$; $4,1875$; $6,8$.

5.65. Решите уравнение:
а) 7(3x + 6) – (20x + 4) = 0;
б) –6(4x – 3) + (7 – 6x) = 0;
в) –5(3у + 3) + 2(7у – 6) = 0;
г) 6(5 – 4x) + 5(5x + 5) = 9.

5.65

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 7 · (3\mathrm{х} + 6) – (20\mathrm{х} + 4) = 0; \\ 21\mathrm{х} + 42 – 20\mathrm{х} – 4 = 0; \\ 21\mathrm{х} – 20\mathrm{х} + 42 – 4 = 0; \\ \mathrm{х} + 38 = 0; \\ \mathrm{х} = 0 – 38; \\ \mathrm{х} = – 38. \\ \mathrm{Ответ}: – 38. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -6 · (4\mathrm{х} – 3) + (7 – 6\mathrm{х}) = 0; \\ -24\mathrm{х} + 18 + 7 – 6\mathrm{х} = 0; \\ -24\mathrm{х} – 6\mathrm{х} + 18 + 7 = 0; \\ -30\mathrm{х} + 25 = 0; \\ -30\mathrm{х} = 0 – 25; \\ -30\mathrm{х} = -25; \\ \mathrm{х} = -25 : (-30); \\ \mathrm{х} = \frac{25}{30}; \\ \mathrm{х} = \frac{5}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{5}{6}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-5 · (3\mathrm{у} + 3) + 2 · (7\mathrm{у} – 6) = 0; \\ -15\mathrm{у} – 15 + 14\mathrm{у} – 12 = 0; \\ -15\mathrm{у} + 14\mathrm{у} – 15 – 12 = 0; \\ -\mathrm{у} – 27 = 0; \\ -\mathrm{у} = 0 + 27; \\ -\mathrm{у} = 27; \\ \mathrm{у} = -27. \\ \mathrm{Ответ}: -27. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 6 · (5 – 4\mathrm{х}) + 5 · (5\mathrm{х} + 5) = 9; \\ 30 – 24\mathrm{х} + 25\mathrm{х} + 25 = 9; \\ – 24\mathrm{х} + 25\mathrm{х} + 30 + 25 = 9; \\ \mathrm{х} + 55 = 9; \\ \mathrm{х} = 9 – 55; \\ \mathrm{х} = -46. \\ \mathrm{Ответ}: -46. \end{gathered}$$

а) $7(3x + 6) - (20x + 4) = 0$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Первую скобку, умножая 7 на каждое слагаемое внутри. Вторую, меняя знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$7 \cdot 3x + 7 \cdot 6 - 20x - 4 = 0$

$21x + 42 - 20x - 4 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые: сгруппируем члены с переменной $x$ и свободные члены.

$(21x - 20x) + (42 - 4) = 0$

$x + 38 = 0$

Чтобы найти $x$, перенесем 38 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$x = -38$

Ответ: $-38$

б) $-6(4x - 3) + (7 - 6x) = 0$

Раскроем скобки. Умножим $-6$ на каждый член в первой скобке. Вторую скобку можно просто убрать, так как перед ней стоит знак плюс.

$-6 \cdot 4x - 6 \cdot (-3) + 7 - 6x = 0$

$-24x + 18 + 7 - 6x = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(-24x - 6x) + (18 + 7) = 0$

$-30x + 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения.

$-30x = -25$

Разделим обе части уравнения на $-30$.

$x = \frac{-25}{-30} = \frac{25}{30}$

Сократим полученную дробь на 5.

$x = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

в) $-5(3y + 3) + 2(7y - 6) = 0$

Раскроем обе скобки, умножив число перед каждой скобкой на слагаемые внутри нее.

$-5 \cdot 3y - 5 \cdot 3 + 2 \cdot 7y + 2 \cdot (-6) = 0$

$-15y - 15 + 14y - 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые.

$(-15y + 14y) + (-15 - 12) = 0$

$-y - 27 = 0$

Перенесем $-27$ в правую часть уравнения.

$-y = 27$

Чтобы найти $y$, умножим обе части на $-1$.

$y = -27$

Ответ: $-27$

г) $6(5 - 4x) + 5(5x + 5) = 9$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$6 \cdot 5 + 6 \cdot (-4x) + 5 \cdot 5x + 5 \cdot 5 = 9$

$30 - 24x + 25x + 25 = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(-24x + 25x) + (30 + 25) = 9$

$x + 55 = 9$

Перенесем 55 в правую часть с противоположным знаком.

$x = 9 - 55$

$x = -46$

Ответ: $-46$

5.66. Две бригады работали на уборке урожая картофеля. Первая бригада собрала картофель с 5 га, а вторая – с 6 га. При этом вторая бригада собирала с каждого гектара на 4 т меньше, чем первая. Сколько тонн с гектара собирала каждая бригада, если обе бригады вместе собрали 240 т картофеля?

5.66

Пусть х т/га картофеля – собирала вторая бригада, тогда (х + 4) т/га картофеля – собирала первая бригада, 5 • (х + 4) т картофеля – всего собрала первая бригада, 6х т картофеля – всего собрала вторая бригада. Зная, что вместе они собрали 240 т, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 5 · (х + 4) + 6х = 240; \\ 5х + 20 + 6х = 240; \\ 11х + 20 = 240; \\ 11х = 240 – 20; \\ 11х = 220; \\ х = 220 : 11; \end{gathered}$$

х = 20 (т/га) – собрала вторая бригада;

1) 20 + 4 = 24 (т/га) – собрала первая бригада.

Ответ: 24 т и 20 т.

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим за $x$ урожайность первой бригады в тоннах с гектара (т/га).

Исходя из условия задачи, урожайность второй бригады на 4 тонны меньше, чем у первой, следовательно, она составляет $x - 4$ т/га.

Первая бригада собрала урожай с 5 гектаров. Общий объем собранного ею картофеля равен произведению площади на урожайность:

$5 \cdot x$ тонн.

Вторая бригада собрала урожай с 6 гектаров. Общий объем собранного ею картофеля составляет:

$6 \cdot (x - 4)$ тонн.

Суммарно обе бригады собрали 240 тонн картофеля. Мы можем составить уравнение, сложив объемы урожая обеих бригад и приравняв их к общему объему:

$5x + 6(x - 4) = 240$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Раскроем скобки:

$5x + 6x - 24 = 240$

2. Сложим слагаемые, содержащие $x$:

$11x - 24 = 240$

3. Перенесем число -24 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$11x = 240 + 24$

$11x = 264$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 11:

$x = \frac{264}{11}$

$x = 24$

Таким образом, урожайность первой бригады составляет 24 т/га.

Теперь найдем урожайность второй бригады:

$x - 4 = 24 - 4 = 20$ т/га.

Проверим полученные результаты:

Урожай первой бригады: $5 \text{ га} \cdot 24 \text{ т/га} = 120$ тонн.

Урожай второй бригады: $6 \text{ га} \cdot 20 \text{ т/га} = 120$ тонн.

Общий урожай: $120 \text{ т} + 120 \text{ т} = 240$ тонн.

Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: первая бригада собирала 24 тонны с гектара, а вторая — 20 тонн с гектара.

5.67. От пристани отошёл первый теплоход, который двигался со скоростью 22 км/ч. Через 2 ч ему навстречу от другой пристани отчалил второй теплоход, скорость которого 26 км/ч. Через какое время после выхода первого теплохода они встретятся, если расстояние между пристанями 204 км?

5.67

v₁= 22 км/ч;

v₂= 26 км/ч;

t = 2 ч.

S = 204 км.

Пусть х ч был в пути до встречи первый теплоход, тогда (х – 2) ч – второй теплоход. Зная, что расстояние между пристанями 204 км, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 22x + 26 (x - 2)=204; \\ 22x + 26x - 52 = 204; \\ 48x - 52 = 204; \\ 48x = 204 + 52; \\ 48x = 256; \\ x= 256 : 48; \end{gathered}$$

$\mathrm{х} = 5\frac{1}{3} \left(\mathrm{ч}\right) = 5 \mathrm{ч} 20 \mathrm{мин}$ -был в пути первый теплоход.

Ответ:через 5 ч 20 мин.

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько шагов.

1. Найдем расстояние, которое прошел первый теплоход до момента отправления второго.
Первый теплоход двигался со скоростью $v_1 = 22$ км/ч. Он был в пути 2 часа до того, как отчалил второй теплоход. За это время он прошел расстояние $S_1$, которое рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$.
$S_1 = 22 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 44 \text{ км}$.

2. Определим, какое расстояние осталось между теплоходами.
Изначально расстояние между пристанями составляло 204 км. После того как первый теплоход прошел 44 км, расстояние между ними сократилось. Найдем оставшееся расстояние $S_{ост}$.
$S_{ост} = 204 \text{ км} - 44 \text{ км} = 160 \text{ км}$.

3. Вычислим скорость сближения теплоходов.
Теплоходы движутся навстречу друг другу. Скорость первого $v_1 = 22$ км/ч, скорость второго $v_2 = 26$ км/ч. Их скорость сближения равна сумме их скоростей.
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 22 \text{ км/ч} + 26 \text{ км/ч} = 48 \text{ км/ч}$.

4. Найдем время, через которое теплоходы встретятся после начала движения второго.
Теперь им осталось пройти навстречу друг другу 160 км с общей скоростью 48 км/ч. Время до встречи $t_{встр}$ находим, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения.
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{160 \text{ км}}{48 \text{ км/ч}} = \frac{160}{48} \text{ ч}$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{160}{48} = \frac{80}{24} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ часа.

5. Вычислим общее время с момента выхода первого теплохода.
Вопрос задачи — через какое время после выхода первого теплохода они встретятся. Для этого нужно сложить время, которое первый теплоход плыл один (2 часа), и время, которое они плыли вместе до встречи ($3 \frac{1}{3}$ часа).
$T_{общ} = 2 \text{ ч} + 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = 5 \frac{1}{3}$ часа.
Чтобы дать более точный ответ, переведем $\frac{1}{3}$ часа в минуты: $\frac{1}{3} \cdot 60 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.
Таким образом, общее время равно 5 часам 20 минутам.

Ответ: теплоходы встретятся через 5 часов 20 минут после выхода первого теплохода.

5.68. Вычислите.

5.68

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-2,8 – 3,2 = -6 \\ -6 : 1,2 = -60 : 12 = -5 \\ -5 · 1,6 = -8 \\ -8 + 8,5 = 0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1,4 – 8,2 = -6,8 \\ -6,8 : 3,4 = -68 : 34 = -2 \\ -2 · 0,5 = -1 \\ -1 + 0,8 = -0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,8 – 7 = -6,2 \\ -6,2 – 1,9 = -8,1 \\ -8,1 : 3 = -2,7 \\ -2,7 · 0,2 = -0,54 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-10 + 1,8 = -8,2 \\ -8,2 : 0,41 = -820 : 41 = -20 \\ -20 + 5,4 = -14,6 \\ -14,6 · 0,5 = -7,3 \end{gathered}$$

а)
Для решения данного примера необходимо выполнить последовательно все указанные действия:
1. Выполним вычитание: $-2,8 - 3,2 = -(2,8 + 3,2) = -6$.
2. Результат разделим на $1,2$: $-6 : 1,2 = -60 : 12 = -5$.
3. Полученное число умножим на $1,6$: $-5 \cdot 1,6 = -8$.
4. К результату прибавим $8,5$: $-8 + 8,5 = 0,5$.
Ответ: $0,5$.

б)
Выполним вычисления по шагам:
1. Найдем разность чисел $1,4$ и $8,2$: $1,4 - 8,2 = -(8,2 - 1,4) = -6,8$.
2. Результат разделим на $3,4$: $-6,8 : 3,4 = -68 : 34 = -2$.
3. Полученное число умножим на $0,5$: $-2 \cdot 0,5 = -1$.
4. К результату прибавим $0,8$: $-1 + 0,8 = -0,2$.
Ответ: $-0,2$.

в)
Решим пример, выполняя действия по порядку:
1. Выполним первое вычитание: $0,8 - 7 = -(7 - 0,8) = -6,2$.
2. Из результата вычтем $1,9$: $-6,2 - 1,9 = -(6,2 + 1,9) = -8,1$.
3. Полученное число разделим на $3$: $-8,1 : 3 = -2,7$.
4. Результат умножим на $0,2$: $-2,7 \cdot 0,2 = -0,54$.
Ответ: $-0,54$.

г)
Вычислим значение выражения по действиям:
1. Выполним сложение: $-10 + 1,8 = -(10 - 1,8) = -8,2$.
2. Результат разделим на $0,41$: $-8,2 : 0,41 = -820 : 41 = -20$.
3. К полученному числу прибавим $5,4$: $-20 + 5,4 = -(20 - 5,4) = -14,6$.
4. Из результата вычтем $0,5$: $-14,6 - 0,5 = -(14,6 + 0,5) = -15,1$.
Ответ: $-15,1$.

5.69. а) Найдите сумму сотни слагаемых, равных –1.

б) Найдите произведение сотни множителей, равных –1.

5.69

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -1 + (-1) + \dots + (-1) = \\ =-1 · 100 = -100\mathbf{ } \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 · (-1) · \dots · (-1) = {(-1)}^{100} = 1. \end{gathered}$$

а) Найдите сумму сотни слагаемых, равных −1.

Сумма ста одинаковых слагаемых представляет собой повторное сложение одного и того же числа. Эту операцию можно заменить умножением. Чтобы найти сумму ста слагаемых, каждое из которых равно $-1$, нужно умножить количество слагаемых (100) на само слагаемое ($-1$).

Запишем это в виде математического выражения:

$\underbrace{(-1) + (-1) + \dots + (-1)}_{100 \text{ раз}} = 100 \times (-1)$

Вычисляем произведение:

$100 \times (-1) = -100$

Ответ: $-100$

б) Найдите произведение сотни множителей, равных −1.

Произведение ста одинаковых множителей представляет собой повторное умножение одного и того же числа. Эту операцию можно записать в виде степени, где основание — это множитель ($-1$), а показатель степени — количество множителей (100).

Запишем это в виде математического выражения:

$\underbrace{(-1) \times (-1) \times \dots \times (-1)}_{100 \text{ раз}} = (-1)^{100}$

При возведении числа $-1$ в степень, результат зависит от четности показателя степени. Если показатель степени — четное число, то результат равен $1$. Если показатель степени — нечетное число, то результат равен $-1$.

Поскольку число 100 является четным, то:

$(-1)^{100} = 1$

Ответ: $1$

5.70. Вычислите значение выражения 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + ... + 97 – 99.

5.70

$$\begin{gathered} 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + \dots + 97 – 99 = \\ = (1 – 3) + (5 – 7) + (7 – 9) + \dots + (97 – 99) = \\ =\underset{25 раз}{\underbrace{-2 + (-2) + ... + (-2) }} = -2 · 25 = -50. \end{gathered}$$

Для вычисления значения данного выражения сгруппируем слагаемые попарно. Заметим, что все числа в выражении являются последовательными нечетными числами от 1 до 99, а знаки чередуются.

Исходное выражение: $1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 97 - 99$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + ... + (97 - 99)$

Вычислим значение каждой скобки:

$1 - 3 = -2$

$5 - 7 = -2$

$9 - 11 = -2$

... и так далее.

Последняя пара также дает в сумме -2:

$97 - 99 = -2$

Теперь необходимо определить, сколько таких пар в выражении. Для этого найдем общее количество чисел в последовательности 1, 3, 5, ..., 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$. Найдем номер последнего члена $a_n = 99$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$98 = (n-1) \cdot 2$

$n - 1 = \frac{98}{2}$

$n - 1 = 49$

$n = 50$

Всего в выражении 50 чисел. Так как мы объединяем их в пары, количество пар будет равно:

$50 \div 2 = 25$

Таким образом, мы имеем сумму 25 слагаемых, каждое из которых равно -2. Чтобы найти значение всего выражения, нужно умножить количество пар на значение каждой пары:

$25 \times (-2) = -50$

Ответ: -50

5.71. Найдите корень уравнения:
а) у + 7 = 0;
б) х + 4 = х – 3;
в) а + а + а+ а = 4а;
г) (х – 5)(х + 6) = 0.

5.71

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{у} + 7 = 0; \\ \mathrm{у} = 0 -7; \\ \mathrm{у} = -7. \\ \mathrm{Ответ}: -7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} + 4 = \mathrm{х} – 3; \\ \mathrm{х} - \mathrm{х} = -3 - 4; \\ 0\mathrm{х} = -7. \\ \mathrm{корней} \mathrm{нет} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \mathrm{а} + \mathrm{а} + \mathrm{а} + \mathrm{а} = 4\mathrm{а} \\ 4\mathrm{а} = 4\mathrm{а} \\ \mathrm{а} - \mathrm{любое} \mathrm{число} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(\mathrm{х} – 5\left)\right(\mathrm{х} + 6) = 0 \\ \mathrm{х} – 5 = 0 \mathrm{или} \mathrm{х} + 6 = 0 \\ \mathrm{х} = 0 + 5 \mathrm{х} = 0 – 6 \\ \mathrm{х} = 5 \mathrm{х} = -6 \\ \mathrm{Ответ}: -6 \mathrm{или} 5. \end{gathered}$$

а) $y + 7 = 0$

Это линейное уравнение с одной переменной. Чтобы найти корень, нужно выразить переменную $y$. Для этого перенесем число 7 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$y = 0 - 7$

$y = -7$

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$-7 + 7 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: -7.

б) $x + 4 = x - 3$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$x - x = -3 - 4$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot x = -7$

$0 = -7$

Получено неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

в) $a + a + a + a = 4a$

Упростим левую часть уравнения, выполнив сложение одинаковых слагаемых:

$4a = 4a$

Получилось тождество — равенство, которое является верным при любом значении переменной $a$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.

Ответ: любое число.

г) $(x - 5)(x + 6) = 0$

Произведение двух или более множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 0$ или $x + 6 = 0$

Решим каждое из этих уравнений:

1) $x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

2) $x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Следовательно, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: 5; -6.

5.72. Найдите произведение:
а) 0,25 · 57 · 4 · 15;
б) 4,5 · 14 · 19 · 17;
в) 2,2 · 149 · 5 · 911;
г) 78 · 124 · 117 · 4.

5.72

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,25 · \frac{5}{7} · 4 · \frac{1}{5} = \frac{25}{{\displaystyle \underset{25}{\bcancel{100}}}} · \frac{\cancel{5}}{7} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{1} · \frac{1}{\cancel{5}}= \\ = \frac{25}{25} · \frac{1}{7} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = 1 · \frac{1}{7} = \frac{1}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,5 · 14 · \frac{1}{9} · \frac{1}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{\sout{5}}{\bcancel{45}}}}{\sout{10}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{\sout{2}}{\cancel{14}}}}{1} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} =1; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2,2 · 1\frac{4}{9} · 5 · \frac{9}{11} = \frac{\sout{22}}{{\displaystyle \underset{\sout{2}}{\bcancel{10}}}} · \frac{13}{\cancel{9}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{1} · \frac{\cancel{9}}{\sout{11}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{13}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = 13; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{8} · 1\frac{2}{4} · 1\frac{1}{7} · 4 = \frac{\sout{7}}{\bcancel{8}} · \frac{6}{\cancel{4}} · \frac{\bcancel{8}}{\sout{7}} · \frac{\cancel{4}}{1} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{6}{1} · \frac{1}{1} · \frac{1}{1} = 6. \end{gathered}$$

а)

Для вычисления произведения $0,25 \cdot \frac{5}{7} \cdot 4 \cdot \frac{1}{5}$ преобразуем десятичную дробь и целое число в обыкновенные дроби.

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

$4 = \frac{4}{1}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{5}$

Чтобы упростить вычисление, сгруппируем множители и выполним сокращение:

$(\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{1}) \cdot (\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5}) = \frac{1 \cdot \sout{4}}{\sout{4} \cdot 1} \cdot \frac{\sout{5} \cdot 1}{7 \cdot \sout{5}} = 1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

б)

Для вычисления произведения $4,5 \cdot 14 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{7}$ преобразуем десятичную дробь и целое число в неправильные дроби.

$4,5 = 4\frac{5}{10} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

$14 = \frac{14}{1}$

Подставим дроби в выражение:

$\frac{9}{2} \cdot \frac{14}{1} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{7}$

Сгруппируем множители и сократим:

$(\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}) \cdot (\frac{14}{1} \cdot \frac{1}{7}) = \frac{\sout{9} \cdot 1}{2 \cdot \sout{9}} \cdot \frac{14 \cdot 1}{1 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{7} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Ответ: $1$

в)

Для вычисления произведения $2,2 \cdot 1\frac{4}{9} \cdot 5 \cdot \frac{9}{11}$ преобразуем все числа в неправильные дроби.

$2,2 = 2\frac{2}{10} = 2\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

$5 = \frac{5}{1}$

Подставим полученные дроби в выражение:

$\frac{11}{5} \cdot \frac{13}{9} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{9}{11}$

Запишем произведение в виде одной дроби и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{11 \cdot 13 \cdot 5 \cdot 9}{5 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 11} = \frac{\sout{11} \cdot 13 \cdot \sout{5} \cdot \sout{9}}{\sout{5} \cdot \sout{9} \cdot 1 \cdot \sout{11}} = \frac{13}{1} = 13$

Ответ: $13$

г)

Для вычисления произведения $\frac{7}{8} \cdot 1\frac{2}{4} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 4$ преобразуем смешанные числа и целое число в неправильные дроби.

Сначала упростим дробь $1\frac{2}{4}$, сократив дробную часть: $1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$.

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

$4 = \frac{4}{1}$

Подставим дроби в выражение:

$\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{4}{1}$

Сгруппируем множители и сократим:

$(\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}) \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1}) = \frac{\sout{7} \cdot \sout{8}}{\sout{8} \cdot \sout{7}} \cdot \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 1 \cdot \frac{12}{2} = 6$

Ответ: $6$

5.73. Запишите коэффициент выражения:
а) – 5m;
б) 47nm;
в) ab;
г) – cd;
д) – a · (– c);
е) – 47a · 78b;
ж) 0,25b · 4a ;
з) –4x · (–0,3y).

5.73

а) -5m, коэффициент -5

б) $\frac{4}{7}$nm, коэффициент $\frac{4}{7}$

в) ab, коэффициент 1

г) –cd, коэффициент -1

д) –a • (-c) = ac, коэффициент 1

е) $-\frac{4}{7}$a • $\frac{7}{8}$b = $-\frac{1}{2}$ab, коэффициент $-\frac{1}{2}$

ж) 0,25b • 4a = 1ab, коэффициент 1

з) -4x • (-0,3y) = 1,2xy, коэффициент 1,2

а) Коэффициент — это числовой множитель в выражении, стоящий перед буквенной частью. В выражении $-5m$ числовой множитель равен $-5$.
Ответ: $-5$.

б) В выражении $\frac{4}{7}nm$ числовой множитель, или коэффициент, равен $\frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

в) Выражение $ab$ можно представить в виде произведения $1 \cdot ab$. Таким образом, числовой множитель, который обычно не пишется, равен $1$.
Ответ: $1$.

г) Выражение $-cd$ можно представить в виде произведения $-1 \cdot cd$. Следовательно, коэффициент равен $-1$.
Ответ: $-1$.

д) Сначала необходимо упростить выражение. Для этого перемножим числовые множители. Выражение $-a$ имеет коэффициент $-1$, а выражение $-c$ имеет коэффициент $-1$.
$-a \cdot (-c) = (-1 \cdot a) \cdot (-1 \cdot c) = (-1 \cdot -1) \cdot (a \cdot c) = 1 \cdot ac = ac$.
Коэффициент полученного выражения $ac$ равен $1$.
Ответ: $1$.

е) Чтобы найти коэффициент, нужно перемножить числовые множители выражения $-\frac{4}{7}a \cdot \frac{7}{8}b$.
Произведение коэффициентов: $-\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{8} = -\frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 8} = -\frac{28}{56} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

ж) Упростим выражение, перемножив числовые множители: $0,25b \cdot 4a$.
Используем переместительный закон умножения: $(0,25 \cdot 4) \cdot (b \cdot a) = 1 \cdot ab = ab$.
Коэффициент полученного выражения $ab$ равен $1$.
Ответ: $1$.

з) Упростим выражение, перемножив его числовые множители: $-4x \cdot (-0,3y)$.
Произведение коэффициентов: $(-4) \cdot (-0,3) = 1,2$.
Выражение принимает вид $1,2xy$. Коэффициент равен $1,2$.
Ответ: $1,2$.

5.74. Какому промежутку не принадлежит число –1,78:

[–3; –1], (–1,79; 1), (–1,79; –1,78], [–12,3; –1,78)?

5.74

Ответ: [-12,3; -1,78)

Для того чтобы определить, какому из промежутков не принадлежит число $-1,78$, мы должны проверить принадлежность этого числа к каждому из предложенных промежутков. При этом нужно помнить, что квадратные скобки $[ ]$ означают, что концы промежутка включаются в него (нестрогое неравенство), а круглые скобки $( )$ означают, что концы промежутка не включаются (строгое неравенство).

[-3; -1]

Этот промежуток включает все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-3 \le x \le -1$. Проверим, выполняется ли оно для числа $-1,78$:

$-3 \le -1,78$ (верно, так как $-1,78$ находится правее $-3$ на числовой оси).

$-1,78 \le -1$ (верно, так как $-1,78$ находится левее $-1$ на числовой оси).

Поскольку оба условия выполняются, число $-1,78$ принадлежит промежутку $[-3; -1]$.

Ответ: принадлежит.

(-1,79; 1)

Этот промежуток включает все числа $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $-1,79 < x < 1$. Проверим, выполняется ли оно для числа $-1,78$:

$-1,79 < -1,78$ (верно, так как $-1,78$ больше $-1,79$).

$-1,78 < 1$ (верно).

Поскольку оба условия выполняются, число $-1,78$ принадлежит промежутку $(-1,79; 1)$.

Ответ: принадлежит.

(-1,79; -1,78]

Этот промежуток включает все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-1,79 < x \le -1,78$. Квадратная скобка означает, что правая граница включается в промежуток. Проверим для числа $-1,78$:

$-1,79 < -1,78$ (верно).

$-1,78 \le -1,78$ (верно, так как число равно самому себе).

Поскольку оба условия выполняются, число $-1,78$ принадлежит промежутку $(-1,79; -1,78]$.

Ответ: принадлежит.

[-12,3; -1,78)

Этот промежуток включает все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-12,3 \le x < -1,78$. Круглая скобка означает, что правая граница не включается в промежуток. Проверим для числа $-1,78$:

$-12,3 \le -1,78$ (верно).

$-1,78 < -1,78$ (неверно, так как число не может быть строго меньше самого себя).

Поскольку второе условие не выполняется, число $-1,78$ не принадлежит промежутку $[-12,3; -1,78)$.

Ответ: не принадлежит.

5.75. Расстояние между Москвой и Владимиром 180 км. Найдите масштаб карты, у которой это расстояние имеет длину 3,2 см.

5.75

$$\begin{gathered} \frac{1}{3,2} = \frac{х}{18 000 000} \\ х = \frac{1 · 18 000 000}{3,2} = \frac{180 000 000}{32} = \\ = 5 625 000 \end{gathered}$$

Ответ: 1: 5625000

Масштаб карты показывает отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности. Для определения масштаба необходимо, чтобы оба расстояния были выражены в одинаковых единицах измерения. В данной задаче нам нужно найти отношение расстояния на карте в сантиметрах к реальному расстоянию, также выраженному в сантиметрах.

1. Переведем реальное расстояние из километров в сантиметры.
Воспользуемся известными соотношениями единиц длины:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Отсюда следует:
$1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100000 \text{ см}$.

2. Теперь вычислим, скольким сантиметрам равно расстояние в 180 км:
$180 \text{ км} = 180 \times 100000 \text{ см} = 18000000 \text{ см}$.

3. Теперь, когда у нас есть оба расстояния в сантиметрах (3,2 см на карте и 18 000 000 см на местности), мы можем найти их отношение, чтобы определить масштаб. Масштаб записывается в виде 1:N, где N — это число, показывающее, во сколько раз реальное расстояние больше расстояния на карте.

Масштаб = Расстояние на карте : Реальное расстояние
Масштаб = $3,2 : 18000000$

4. Чтобы привести это отношение к стандартному виду 1:N, разделим обе части отношения на 3,2:
$(3,2 \div 3,2) : (18000000 \div 3,2)$
$1 : (18000000 \div 3,2)$

5. Выполним деление:
$18000000 \div 3,2 = 180000000 \div 32 = 5625000$.

Таким образом, масштаб карты составляет 1:5 625 000.

Ответ: 1:5 625 000.

5.76. Масштаб карты равен 1 : 10 000. Чему равна длина отрезка на карте, изображающего расстояние 41 км?

5.76

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{х}} = \frac{10 000}{4 100 000} \\ \mathrm{х} =\frac{ 1 · 4 100 000 }{10 000}= \frac{410}{1} = 410 \mathrm{см} \end{gathered}$$

Ответ: 410 см.

Масштаб карты $1 : 10 000$ означает, что 1 единица длины на карте соответствует 10 000 таким же единицам длины на местности. Чтобы найти длину отрезка на карте, который представляет реальное расстояние, необходимо это расстояние разделить на знаменатель масштаба.

Для этого сначала приведем реальное расстояние к единой системе измерения. Удобнее всего перевести километры в сантиметры.

1. Переведем реальное расстояние из километров в сантиметры.
Мы знаем, что в одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров.
Следовательно, в 1 километре: $1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100 000 \text{ см}$.
Теперь вычислим, скольким сантиметрам равно расстояние в 41 км:
$41 \text{ км} = 41 \times 100 000 \text{ см} = 4 100 000 \text{ см}$.

2. Рассчитаем длину отрезка на карте.
Разделим реальное расстояние в сантиметрах на знаменатель масштаба (10 000):
Длина на карте $= \frac{4 100 000 \text{ см}}{10 000} = 410 \text{ см}$.

Полученную длину можно также выразить в метрах для наглядности ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):
$410 \text{ см} = 4.1 \text{ м}$.

Ответ: 410 см.

5.77. Масштаб карты равен 1 : 10 000 000. Чему равно расстояние от Новосибирска до Красноярска, если на карте оно равно 6,3 см?

5.77

$$\begin{gathered} \frac{1}{6,3} = \frac{10 000 000}{\mathrm{х}} \\ \mathrm{х} = \frac{6,3 · 10 000 000}{1} = 63 000 000 \mathrm{см} = \\ = 630 \mathrm{км} \end{gathered}$$

Ответ: 630 км.

Масштаб карты $1 : 10\;000\;000$ означает, что 1 сантиметр на карте соответствует $10\;000\;000$ сантиметров на местности. Чтобы найти реальное расстояние от Новосибирска до Красноярска, нужно расстояние на карте умножить на знаменатель масштаба, а затем перевести результат в более удобные единицы измерения (километры).

1. Вычисление расстояния в сантиметрах
Умножим расстояние на карте на значение масштаба: $6,3 \text{ см} \times 10\;000\;000 = 63\;000\;000 \text{ см}$

2. Перевод сантиметров в километры
Мы знаем, что в 1 метре содержится 100 сантиметров, а в 1 километре — 1000 метров. Следовательно, количество сантиметров в одном километре равно: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 100\;000 \text{ см}$

Теперь разделим расстояние в сантиметрах на 100 000, чтобы получить расстояние в километрах: $\frac{63\;000\;000 \text{ см}}{100\;000 \text{ см/км}} = 630 \text{ км}$

Ответ: 630 км.