Страница 84, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.290. Развивай внимание. Кто быстрее найдёт в таблице последовательно все числа от 1 до 25?

2.290

Нужно найти по порядку числа от 1 до 25.

Это упражнение на развитие внимания, известное как таблицы Шульте. Цель — как можно быстрее найти в таблице все числа от 1 до 25 в порядке их возрастания. Так как скорость выполнения является индивидуальным показателем, в решении приводится правильная последовательность расположения чисел для каждой таблицы, которую можно использовать для тренировки или самопроверки. Координаты указаны в формате (строка, столбец).

Последовательность нахождения чисел в таблице а):

• 1: (3, 1)
• 2: (5, 5)
• 3: (4, 4)
• 4: (1, 2)
• 5: (2, 5)
• 6: (5, 2)
• 7: (4, 3)
• 8: (1, 4)
• 9: (2, 2)
• 10: (3, 3)
• 11: (3, 5)
• 12: (4, 1)
• 13: (1, 5)
• 14: (5, 4)
• 15: (2, 3)
• 16: (4, 5)
• 17: (5, 3)
• 18: (1, 3)
• 19: (2, 4)
• 20: (2, 1)
• 21: (5, 1)
• 22: (3, 4)
• 23: (1, 1)
• 24: (4, 2)
• 25: (3, 2)

Ответ: Правильная последовательность нахождения чисел в таблице а) с указанием их координат представлена в списке выше.

Последовательность нахождения чисел в таблице б):

• 1: (1, 5)
• 2: (3, 3)
• 3: (1, 4)
• 4: (4, 4)
• 5: (1, 1)
• 6: (2, 1)
• 7: (5, 2)
• 8: (4, 5)
• 9: (2, 3)
• 10: (5, 3)
• 11: (5, 5)
• 12: (4, 3)
• 13: (2, 4)
• 14: (3, 5)
• 15: (5, 1)
• 16: (1, 3)
• 17: (4, 2)
• 18: (3, 4)
• 19: (1, 2)
• 20: (3, 1)
• 21: (4, 1)
• 22: (2, 5)
• 23: (2, 2)
• 24: (5, 4)
• 25: (3, 2)

Ответ: Правильная последовательность нахождения чисел в таблице б) с указанием их координат представлена в списке выше.

2.291. Вычислите:

а) 1649 – 3215; б) 42710 – 3415; в) 151112 + 4715.

2.291

$\mathbf{а}\mathbf{)} {16\frac{4}{9}}^{\overline{)·5}} - {3\frac{2}{15}}^{\overline{)·3}}=16\frac{20}{45} - 3\frac{6}{45}=13\frac{14}{45};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} {42\frac{7}{10}}^{\overline{)·3}} - {3\frac{4}{15}}^{\overline{)·2}}=42\frac{21}{30} - 3\frac{8}{30}=39\frac{13}{30};$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} {15\frac{11}{12}}^{\overline{)·5}} + {4\frac{7}{15}}^{\overline{)·4}}=15\frac{55}{60} + 4\frac{28}{60}=19\frac{83}{60}= \\ =19 + 1\frac{83}{60}=20\frac{23}{60}. \end{gathered}$$

а) $16\frac{4}{9} - 3\frac{2}{15}$

Для вычитания смешанных чисел, вычтем отдельно целые и дробные части. Сначала вычтем целые части:

$16 - 3 = 13$

Теперь вычтем дробные части: $\frac{4}{9} - \frac{2}{15}$. Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 9 и 15. НОЗ(9, 15) = 45.

Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$

$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{6}{45}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{20}{45} - \frac{6}{45} = \frac{20 - 6}{45} = \frac{14}{45}$

Сложим результат вычитания целых частей и результат вычитания дробных частей:

$13 + \frac{14}{45} = 13\frac{14}{45}$

Ответ: $13\frac{14}{45}$

б) $42\frac{7}{10} - 3\frac{4}{15}$

Вычтем целые части и дробные части по отдельности. Вычитаем целые части:

$42 - 3 = 39$

Теперь вычитаем дробные части: $\frac{7}{10} - \frac{4}{15}$. Найдем НОЗ для 10 и 15. НОЗ(10, 15) = 30.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{21}{30} - \frac{8}{30} = \frac{21 - 8}{30} = \frac{13}{30}$

Объединим целую и дробную части:

$39 + \frac{13}{30} = 39\frac{13}{30}$

Ответ: $39\frac{13}{30}$

в) $15\frac{11}{12} + 4\frac{7}{15}$

Для сложения смешанных чисел, сложим отдельно целые и дробные части. Сначала сложим целые части:

$15 + 4 = 19$

Теперь сложим дробные части: $\frac{11}{12} + \frac{7}{15}$. Найдем НОЗ для 12 и 15. НОЗ(12, 15) = 60.

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$

$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$

Сложим дроби:

$\frac{55}{60} + \frac{28}{60} = \frac{55 + 28}{60} = \frac{83}{60}$

Полученная дробь $\frac{83}{60}$ является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число:

$\frac{83}{60} = 1\frac{23}{60}$

Теперь сложим результат сложения целых частей и полученное смешанное число:

$19 + 1\frac{23}{60} = 20\frac{23}{60}$

Ответ: $20\frac{23}{60}$

2.292. Найдите значение выражения:

а) 5739 + 93839 – 7;

б) (659 – 31115) – (41315 – 213).

2.292

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{7}{39}\stackrel{1}{+}9\frac{38}{39}\stackrel{2}{-}7 = 8\frac{2}{13}. \\ 1) \mathbf{ }5\frac{7}{39}+9\frac{38}{39}= 14\frac{{\displaystyle \stackrel{15}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{39}}}}=14\frac{15}{13}= \\ =14 + 1\frac{2}{13}=15\frac{2}{13}; \\ 2) 15\frac{2}{13} - 7 = (15 - 7 ) + \frac{2}{13} =8\frac{2}{13}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(6\frac{5}{9} \stackrel{1}{-} 3\frac{11}{15}\right)\stackrel{3}{-}\left(4\frac{13}{15}\stackrel{2}{-}2\frac{1}{3}\right)=\frac{13}{45} \\ 1) {6\frac{5}{9}}^{\overline{)·5}} - {3\frac{11}{15}}^{\overline{)·3}}=6\frac{25}{45}-3\frac{33}{45}= \\ =5\frac{70}{45}-3\frac{33}{45}=2\frac{37}{45}; \\ 2) 4\frac{13}{15}-{2\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}=4\frac{13}{15}-2\frac{5}{15}=2\frac{8}{15}; \\ 3) 2\frac{37}{45} - {2\frac{8}{15}}^{\overline{)·3}}=2\frac{37}{45} - 2\frac{24}{45}=\frac{13}{45}. \end{gathered}$$

а) $5\frac{7}{39} + 9\frac{38}{39} - 7$

Для решения сгруппируем целые и дробные части:

$(5 + 9 - 7) + (\frac{7}{39} + \frac{38}{39})$

1. Сначала вычислим сумму и разность целых частей:

$5 + 9 - 7 = 14 - 7 = 7$

2. Теперь сложим дробные части. Так как у них одинаковый знаменатель, складываем числители:

$\frac{7}{39} + \frac{38}{39} = \frac{7 + 38}{39} = \frac{45}{39}$

3. Полученная дробь $\frac{45}{39}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть:

$\frac{45}{39} = 1\frac{6}{39}$

4. Сократим дробную часть $1\frac{6}{39}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{6 \div 3}{39 \div 3} = \frac{2}{13}$

Таким образом, $\frac{45}{39} = 1\frac{2}{13}$.

5. Сложим результат, полученный в пункте 1, и результат из пункта 4:

$7 + 1\frac{2}{13} = 8\frac{2}{13}$

Ответ: $8\frac{2}{13}$.

б) $(6\frac{5}{9} - 3\frac{11}{15}) - (4\frac{13}{15} - 2\frac{1}{3})$

1. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$6\frac{5}{9} - 3\frac{11}{15} - 4\frac{13}{15} + 2\frac{1}{3}$

2. Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений: числа с одинаковыми или кратными знаменателями:

$(6\frac{5}{9} + 2\frac{1}{3}) - (3\frac{11}{15} + 4\frac{13}{15})$

3. Вычислим значение первого выражения в скобках. Для этого приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 9:

$6\frac{5}{9} + 2\frac{1}{3} = 6\frac{5}{9} + 2\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 6\frac{5}{9} + 2\frac{3}{9} = (6+2) + (\frac{5}{9} + \frac{3}{9}) = 8\frac{8}{9}$

4. Вычислим значение второго выражения в скобках. Знаменатели уже одинаковые:

$3\frac{11}{15} + 4\frac{13}{15} = (3+4) + (\frac{11}{15} + \frac{13}{15}) = 7 + \frac{24}{15}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{24}{15}$ в смешанное число: $\frac{24}{15} = 1\frac{9}{15}$. Сократим дробную часть: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Получаем: $7 + 1\frac{3}{5} = 8\frac{3}{5}$.

5. Теперь вычтем второй результат из первого:

$8\frac{8}{9} - 8\frac{3}{5}$

Целые части $8 - 8 = 0$, поэтому остается только вычесть дроби:

$\frac{8}{9} - \frac{3}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $9 \cdot 5 = 45$:

$\frac{8 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{40}{45} - \frac{27}{45} = \frac{40 - 27}{45} = \frac{13}{45}$

Ответ: $\frac{13}{45}$.

2.293. Сколько кодовых слов из четырёх букв можно составить, используя буквы А, В, С, D, R и V? Сколько можно составить слов, в которых буквы не повторяются?

2.293

Если буквы могут повторяться: 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296 кодовых слов.

Если буквы не могут повторяться:

1- ое место: любая из 6;

2 – ое место – любая из 5;

3 – е место - любая из 4;

4 – ое место – любая из 3.

Значит, 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360 кодовых слов можно составить.

Ответ: 1296 слов; 360 слов.

Сколько кодовых слов из четырёх букв можно составить, используя буквы A, B, C, D, R и V?

Для решения этой задачи мы имеем алфавит из 6 различных букв: A, B, C, D, R, V. Нам нужно составить из них кодовые слова длиной в 4 буквы.

В этой части вопроса не указано, что буквы не должны повторяться. Следовательно, мы предполагаем, что повторения разрешены. Это означает, что для каждой из четырёх позиций в слове мы можем выбрать любую из 6 доступных букв. Такие комбинации в комбинаторике называются размещениями с повторениями.

Рассуждаем следующим образом: на первую позицию можно поставить любую из 6 букв; на вторую позицию также можно поставить любую из 6 букв; на третью позицию — любую из 6 букв; на четвертую позицию — любую из 6 букв.

Общее количество возможных кодовых слов находится по правилу произведения. Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ местам: $N = n^k$.

В нашем случае количество элементов $n = 6$ (буквы A, B, C, D, R, V), а длина слова $k = 4$.

Подставляем значения в формулу: $N = 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$.

Ответ: 1296.

Сколько можно составить слов, в которых буквы не повторяются?

Во второй части задачи требуется найти количество четырёхбуквенных слов, в которых все буквы различны. Это означает, что каждая буква из нашего алфавита (A, B, C, D, R, V) может быть использована в слове не более одного раза. Это задача на нахождение числа размещений без повторений.

Рассуждаем следующим образом:

Для первой позиции в слове мы можем выбрать любую из 6 букв. Для второй позиции остаётся $6 - 1 = 5$ букв, так как одна буква уже использована на первой позиции. Для третьей позиции остаётся $5 - 1 = 4$ буквы, так как две буквы уже использованы. Для четвёртой позиции остаётся $4 - 1 = 3$ буквы.

Общее количество таких слов находим, перемножая число вариантов для каждой позиции: $N = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.

Это соответствует формуле для числа размещений без повторений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

При $n=6$ и $k=4$ получаем: $A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: 360.

2.294. Сколько граммов в:

а) 1 % килограмма;

б) 9 % килограмма;

в) 90 % килограмма;

г) 7,5 % килограмма?

2.294

$\mathbf{а}\mathbf{)} 1\% = \frac{1}{100}=0,01;$

1 кг ∙ 0,01 = 1000 г ∙ 0,01 = 10 г;

$\mathbf{б}\mathbf{)} 9\% = \frac{9}{100}=0,09;$

1 кг ∙ 0,09 = 1000 г ∙ 0,09 = 90 г;

$\mathbf{в}\mathbf{)} 90\% = \frac{90}{100}=\frac{9}{10}=0,09;$

1 кг ∙ 0,9 = 1000 г ∙ 0,9 = 900 г;

$\mathbf{г}\mathbf{)} 7,5\%=7,5:100=0,075;$

1 кг ∙ 0,075 = 1000 г ∙ 0,075 = 75 г.

Для решения этой задачи необходимо найти указанный процент от килограмма и выразить результат в граммах. Основное соотношение, которое мы будем использовать: $1 \text{ килограмм} = 1000 \text{ граммов}$.

Общий алгоритм решения:
1. Представить проценты в виде десятичной дроби, разделив их на 100.
2. Умножить полученную дробь на 1000 (поскольку мы ищем часть от 1000 граммов).

а) 1% килограмма

Переводим 1% в десятичную дробь: $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.

Теперь умножаем на 1000 граммов:

$0,01 \times 1000 \text{ г} = 10 \text{ г}$.

Ответ: 10 г.

б) 9% килограмма

Переводим 9% в десятичную дробь: $9\% = \frac{9}{100} = 0,09$.

Теперь умножаем на 1000 граммов:

$0,09 \times 1000 \text{ г} = 90 \text{ г}$.

Ответ: 90 г.

в) 90% килограмма

Переводим 90% в десятичную дробь: $90\% = \frac{90}{100} = 0,9$.

Теперь умножаем на 1000 граммов:

$0,9 \times 1000 \text{ г} = 900 \text{ г}$.

Ответ: 900 г.

г) 7,5% килограмма

Переводим 7,5% в десятичную дробь: $7,5\% = \frac{7,5}{100} = 0,075$.

Теперь умножаем на 1000 граммов:

$0,075 \times 1000 \text{ г} = 75 \text{ г}$.

Ответ: 75 г.

2.295. Сколько квадратных метров в:

а) 1 % ара;

б) 5,5 % сотки;

в) 35 % гектара;

г) 0,06 % квадратного километра?

2.295

а) 1% = 1 : 100 = 0,01;

1 ар = 100 м²;

0,01 • 100 = 1 м²;

б) 5,5% = 5,5 : 100 = 0,055;

1 сотка = 100 м²;

0,055 • 100 = 5,5 м²;

в) 35% = 35 : 100 = 0,35;

1 га = 10 000 м² ;

0,35 • 10 000 = 3500 м²;

г) 0,06% =0,06 : 100 = 0,0006;

1 км² = 1 000 000 м² ;

0,0006 • 1 000 000= 600 м².

а) 1% ара

Чтобы найти, сколько квадратных метров в $1\%$ ара, сначала определим, сколько квадратных метров в одном аре. Ар (часто называемый соткой) — это единица площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров.

$1 \text{ ар} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$.

Один процент — это одна сотая часть ($1/100$). Чтобы найти $1\%$ от $100 \text{ м}^2$, нужно умножить $100$ на $1/100$. $100 \text{ м}^2 \times \frac{1}{100} = 1 \text{ м}^2$.

Ответ: $1 \text{ м}^2$.

б) 5,5% сотки

Сотка — это другое название ара, поэтому $1 \text{ сотка} = 100 \text{ м}^2$.

Чтобы найти $5,5\%$ от сотки, нужно умножить $100 \text{ м}^2$ на $5,5\%$ (то есть на дробь $\frac{5,5}{100}$). $100 \text{ м}^2 \times \frac{5,5}{100} = 5,5 \text{ м}^2$.

Ответ: $5,5 \text{ м}^2$.

в) 35% гектара

Определим, сколько квадратных метров в одном гектаре. Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 метров. $1 \text{ гектар (га)} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м}^2$.

Теперь найдем $35\%$ от этой площади. $10000 \text{ м}^2 \times \frac{35}{100} = 100 \times 35 = 3500 \text{ м}^2$.

Ответ: $3500 \text{ м}^2$.

г) 0,06% квадратного километра

Определим, сколько квадратных метров в одном квадратном километре. Квадратный километр — это площадь квадрата со стороной 1000 метров (1 километр). $1 \text{ км}^2 = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1000000 \text{ м}^2$.

Теперь найдем $0,06\%$ от этой площади. $1000000 \text{ м}^2 \times \frac{0,06}{100} = 10000 \times 0,06 = 600 \text{ м}^2$.

Ответ: $600 \text{ м}^2$.

2.296. Какую часть числа составляют:

а) 1 %; б) 7 %; в) 13 %; г) 25 %; д) 10 %; е) 30 %; ж) 50 %?

2.296

а) 1%=0,01= $\frac{1}{100}$;

б) 7%=0,07= $\frac{7}{100}$;

в) 13%=0,13= $\frac{13}{100}$;

г) 25%=0,25= $\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=\frac{1}{4}$;

д) 10%=0,1= $\frac{1}{10}$;

е) 30%=0,3= $\frac{3}{10}$

ж) 50%=0,5=$\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=\frac{1}{2}$.

Чтобы найти, какую часть от числа составляет определённый процент, нужно это количество процентов разделить на 100. Это связано с тем, что один процент по определению является одной сотой частью ($ \frac{1}{100} $) от целого.

а) 1% от числа — это одна сотая часть этого числа. Чтобы перевести проценты в дробь, делим число процентов на 100.
$1\% = \frac{1}{100}$
Ответ: $\frac{1}{100}$

б) 7% от числа — это семь сотых частей этого числа.
$7\% = \frac{7}{100}$
Ответ: $\frac{7}{100}$

в) 13% от числа — это тринадцать сотых частей этого числа.
$13\% = \frac{13}{100}$
Ответ: $\frac{13}{100}$

г) 25% от числа — это двадцать пять сотых частей этого числа. Полученную дробь можно сократить.
$25\% = \frac{25}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

д) 10% от числа — это десять сотых частей этого числа. Полученную дробь можно сократить.
$10\% = \frac{10}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$
Ответ: $\frac{1}{10}$

е) 30% от числа — это тридцать сотых частей этого числа. Полученную дробь можно сократить.
$30\% = \frac{30}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{30 \div 10}{100 \div 10} = \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$

ж) 50% от числа — это пятьдесят сотых частей этого числа, что равно половине. Полученную дробь можно сократить.
$50\% = \frac{50}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на 50:
$\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2.297. Выразите десятичной и обыкновенной дробью:

а) 45 %; б) 56%; в) 75 %; г) 120 %; д) 150 %.

2.297

а) 45%=0,45= $\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}}=\frac{9}{20}$;

б) 56%=0,56= $\frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{56}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}}}=\frac{14}{25}$;

в) 75%=0,75= $\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=\frac{3}{4}$;

г) 120%=1,2=$1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=1\frac{1}{5}$

д) 150%=1,5= $1\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=1\frac{1}{2}$.

Чтобы выразить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби, необходимо разделить число процентов на 100.

а) 45 %
Для представления в виде десятичной дроби разделим 45 на 100:
$45\% = 45 : 100 = 0,45$
Для представления в виде обыкновенной дроби запишем $45$ в числитель, а $100$ — в знаменатель, после чего сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 45 и 100 равен 5.
$45\% = \frac{45}{100} = \frac{45:5}{100:5} = \frac{9}{20}$
Ответ: 0,45 и $\frac{9}{20}$.

б) 56 %
Десятичная дробь:
$56\% = 56 : 100 = 0,56$
Обыкновенная дробь (сокращаем на 4):
$56\% = \frac{56}{100} = \frac{56:4}{100:4} = \frac{14}{25}$
Ответ: 0,56 и $\frac{14}{25}$.

в) 75 %
Десятичная дробь:
$75\% = 75 : 100 = 0,75$
Обыкновенная дробь (сокращаем на 25):
$75\% = \frac{75}{100} = \frac{75:25}{100:25} = \frac{3}{4}$
Ответ: 0,75 и $\frac{3}{4}$.

г) 120 %
Десятичная дробь:
$120\% = 120 : 100 = 1,2$
Обыкновенная дробь (сокращаем на 20). В данном случае дробь будет неправильной, так как числитель больше знаменателя.
$120\% = \frac{120}{100} = \frac{120:20}{100:20} = \frac{6}{5}$
Эту неправильную дробь также можно записать в виде смешанного числа: $1\frac{1}{5}$.
Ответ: 1,2 и $\frac{6}{5}$.

д) 150 %
Десятичная дробь:
$150\% = 150 : 100 = 1,5$
Обыкновенная дробь (сокращаем на 50). Дробь также является неправильной.
$150\% = \frac{150}{100} = \frac{150:50}{100:50} = \frac{3}{2}$
Эту неправильную дробь также можно записать в виде смешанного числа: $1\frac{1}{2}$.
Ответ: 1,5 и $\frac{3}{2}$.

2.298. Выразите в процентах:

2.298

$\mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}=\frac{75}{100}=0,75 · 100\% = 75 \%;$

$\mathit{б}\mathbf{)} 0,8 = 0,8 · 100\% = 80\%$

$\mathit{в}\mathbf{)} 0,24 = 0,24 · 100\% = 24\%;$

$\mathit{г}\mathbf{)} {\frac{2}{5}}^{\overline{)·20}}=\frac{40}{100}=0,4 · 100\% = 40 \%;$

$\mathit{д}\mathbf{)} {\frac{7}{50}}^{\overline{)·2}}=\frac{14}{100}=0,14 · 100\% = 14 \%;$

$\mathit{е}\mathbf{)} 2{\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}=2\frac{75}{100}=2,75 · 100\% = 275 \%;$

Чтобы выразить число в процентах, необходимо это число умножить на 100%.

а) Для того чтобы выразить дробь $\frac{3}{4}$ в процентах, умножим её на 100%.
$\frac{3}{4} \times 100\% = \frac{3 \times 100}{4}\% = \frac{300}{4}\% = 75\%$.
Также можно сначала перевести дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = 0,75$, а затем умножить на 100%: $0,75 \times 100\% = 75\%$.
Ответ: 75%

б) Для десятичной дроби 0,8:
$0,8 \times 100\% = 80\%$.
Ответ: 80%

в) Для десятичной дроби 0,24:
$0,24 \times 100\% = 24\%$.
Ответ: 24%

г) Для дроби $\frac{2}{5}$:
$\frac{2}{5} \times 100\% = \frac{2 \times 100}{5}\% = \frac{200}{5}\% = 40\%$.
Или, переведя в десятичную дробь: $\frac{2}{5} = 0,4$, получаем $0,4 \times 100\% = 40\%$.
Ответ: 40%

д) Для дроби $\frac{7}{50}$:
$\frac{7}{50} \times 100\% = \frac{7 \times 100}{50}\% = 7 \times 2\% = 14\%$.
Или, переведя в десятичную дробь: $\frac{7}{50} = 0,14$, получаем $0,14 \times 100\% = 14\%$.
Ответ: 14%

е) Для смешанного числа $2\frac{3}{4}$ сначала преобразуем его в неправильную дробь:
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.
Теперь умножим на 100%:
$\frac{11}{4} \times 100\% = \frac{1100}{4}\% = 275\%$.
Другой способ — преобразовать в десятичную дробь: $2\frac{3}{4} = 2,75$.
$2,75 \times 100\% = 275\%$.
Ответ: 275%

2.299. 1) Туристический маршрут был рассчитан на три дня. В первый день туристы прошли 38 пути, а во второй — 512 пути. Какую часть пути им осталось пройти в третий день?

2) Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Через одну трубу наполнилось 415 всего бассейна, а через другую — 59 бассейна. Какая часть бассейна осталась незаполненной после отключения обеих труб?

2.299

1.

1 день - $\frac{3}{8}$ пути;

2 день - $\frac{5}{12}$ пути;

3 день - ? пути.

$1) {\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} + {\frac{5}{12}}^{\overline{)·2}}=\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{19}{24}$пути – прошли туристы за два дня;

$2) 1- \frac{19}{24}=\frac{24}{24}-\frac{19}{24}=\frac{5}{24}$пути – осталось пройти.

Ответ: $\frac{5}{24}$ пути

2.

1 труба - $\frac{4}{15}$ бассейна;

2 труба - $\frac{5}{9}$ бассейна;

Осталось - ?

$1) {\frac{4}{15}}^{\overline{)·3}}+{\frac{5}{9}}^{\overline{)·5}}=\frac{12}{45}+\frac{25}{45}=\frac{37}{45}$бассейна – наполнили трубы вместе;

$2) 1 - \frac{37}{45}=\frac{45}{45}-\frac{37}{45}=\frac{8}{45}$бассейна – осталась незаполненной.

Ответ: $\frac{8}{45}$ бассейна.

1) Чтобы найти, какую часть пути туристам осталось пройти в третий день, необходимо из всего пути, который мы принимаем за единицу (1), вычесть части пути, пройденные в первый и второй дни.

Сначала определим, какую часть пути туристы прошли за первые два дня. Для этого сложим дроби, соответствующие пройденным за эти дни расстояниям:

$\frac{3}{8} + \frac{5}{12}$

Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8 и 12 равно 24. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$

Таким образом, за два дня туристы прошли $\frac{19}{24}$ всего маршрута.

Теперь найдем оставшуюся часть пути, которую нужно пройти в третий день. Для этого вычтем из всего маршрута (1) пройденную часть:

$1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$

Ответ: в третий день туристам осталось пройти $\frac{5}{24}$ пути.

2) Чтобы определить, какая часть бассейна осталась незаполненной, нужно из всего объема бассейна, который мы принимаем за единицу (1), вычесть части, заполненные каждой из двух труб.

Сначала найдем, какая общая часть бассейна была заполнена обеими трубами. Для этого сложим дроби:

$\frac{4}{15} + \frac{5}{9}$

Приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 15 и 9 равно 45. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 5:

$\frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{12}{45} + \frac{25}{45} = \frac{37}{45}$

Следовательно, обе трубы вместе заполнили $\frac{37}{45}$ бассейна.

Теперь найдем незаполненную часть бассейна, вычтя из всего объема (1) заполненную часть:

$1 - \frac{37}{45} = \frac{45}{45} - \frac{37}{45} = \frac{8}{45}$

Ответ: осталась незаполненной $\frac{8}{45}$ часть бассейна.

5.47. Запишите сумму выражений и упростите её:
а) –m – n и –a + n;
б) –a + c и –d – c;
в) –a – c и a + c.

5.47

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(-m – n) + (-a + n) = -m – n – a + n = \\ -m – a \\ \mathit{б}\mathbf{)} (-a + c) + (-d – c) = -a + c – d – c = \\ -a – d \\ \mathit{в}\mathbf{)} (-а – с) + (а + с) = -а – с + а + с = 0 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму выражений $-m - n$ и $-a + n$, запишем их в виде суммы и раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются.

$(-m - n) + (-a + n) = -m - n - a + n$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые. Подобными являются $-n$ и $n$. Их сумма равна нулю.

$-m - a + (-n + n) = -m - a + 0 = -m - a$

Ответ: $-m - a$

б) Запишем сумму выражений $-a + c$ и $-d - c$ и упростим её.

$(-a + c) + (-d - c) = -a + c - d - c$

Сгруппируем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются $c$ и $-c$. Их сумма равна нулю.

$-a - d + (c - c) = -a - d + 0 = -a - d$

Ответ: $-a - d$

в) Запишем сумму выражений $-a - c$ и $a + c$.

$(-a - c) + (a + c) = -a - c + a + c$

Сгруппируем подобные слагаемые. Здесь есть две пары подобных слагаемых: $-a$ и $a$, а также $-c$ и $c$.

$(-a + a) + (-c + c)$

Сумма каждой пары противоположных слагаемых равна нулю.

$0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

5.48. Запишите разность выражений и упростите её:
а) –c + b и b – c;
б) a – b и –b – a;
в) –8 – n и 7,9 – n.

5.48

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(-с + b) – (b – c) = -c + b – b + c = 0$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(a – b) – (-b – a) = a – b + b + a = 2a$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}-8 – n) – (7,9 – n) = -8 – n – \\ - 7,9 + n = -8 – 7,9 = -15,9 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти разность выражений $-c + b$ и $b - c$, необходимо из первого выражения вычесть второе. Запишем эту разность:

$(-c + b) - (b - c)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные:

$-c + b - b + c$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $c$ и слагаемые с переменной $b$ взаимно уничтожаются:

$(-c + c) + (b - b) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

б) Чтобы найти разность выражений $a - b$ и $-b - a$, необходимо из первого выражения вычесть второе. Запишем разность:

$(a - b) - (-b - a)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$a - b + b + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a + a) + (-b + b) = 2a + 0 = 2a$

Ответ: $2a$

в) Чтобы найти разность выражений $-8 - n$ и $7,9 - n$, необходимо из первого выражения вычесть второе. Запишем эту разность:

$(-8 - n) - (7,9 - n)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$-8 - n - 7,9 + n$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Числовые слагаемые складываем, а слагаемые с переменной $n$ взаимно уничтожаются:

$(-8 - 7,9) + (-n + n) = -15,9 + 0 = -15,9$

Ответ: $-15,9$

5.49. Выполните действия:
1) (–2,8 + 3,7 – 4,8) · 1,5 : 0,9;
2) (5,7 – 6,6 – 1,9) · 2,1 : (–0,49).

5.49

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} (-2,8 + 3,7 – 4,8) · 1,5 : 0,9 = \\ = (-2,8 – 4,8 + 3,7) · 1,5 : 0,9 = \\ = ( – 7,6 + 3,7) · 1,5 : 0,9 = ( – (7,6 - 3,7)) \times \\ \times 1,5 : 0,9 = ( – 3,9) \stackrel{1}{·} 1,5 : 0,9 = \\ = - 5,85\stackrel{2}{ :} 0,9 = -58,5 : 9 = -6,5 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} (5,7 – 6,6 – 1,9) · 2,1 : (-0,49) = \\ = (- 0,9 – 1,9) · 2,1 : (-0,49) = \\ = -2,8 \stackrel{1}{·} 2,1 : (-0,49) = -5,88 : (-0,49) = \\ = 588\stackrel{2}{ :} 49 = 12 \end{gathered}$$

1.

2.

1) $(-2,8 + 3,7 - 4,8) \cdot 1,5 : 0,9$

Для решения этого примера необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо.

1. Выполним действия в скобках: $-2,8 + 3,7 - 4,8$.

$-2,8 + 3,7 = 0,9$

$0,9 - 4,8 = -3,9$

Результат в скобках: $-3,9$.

2. Теперь умножим полученный результат на $1,5$:

$-3,9 \cdot 1,5 = -5,85$

3. И, наконец, разделим результат на $0,9$:

$-5,85 : 0,9 = -58,5 : 9 = -6,5$

Полное выражение: $(-2,8 + 3,7 - 4,8) \cdot 1,5 : 0,9 = -3,9 \cdot 1,5 : 0,9 = -5,85 : 0,9 = -6,5$.

Ответ: $-6,5$

2) $(5,7 - 6,6 - 1,9) \cdot 2,1 : (-0,49)$

Решаем по порядку действий: сначала в скобках, затем умножение и деление.

1. Выполним действия в скобках: $5,7 - 6,6 - 1,9$.

$5,7 - 6,6 = -0,9$

$-0,9 - 1,9 = -2,8$

Результат в скобках: $-2,8$.

2. Умножим полученное число на $2,1$:

$-2,8 \cdot 2,1 = -5,88$

3. Разделим результат на $-0,49$:

$-5,88 : (-0,49)$

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Поэтому мы можем вычислить $5,88 : 0,49$.

$5,88 : 0,49 = 588 : 49 = 12$

Полное выражение: $(5,7 - 6,6 - 1,9) \cdot 2,1 : (-0,49) = -2,8 \cdot 2,1 : (-0,49) = -5,88 : (-0,49) = 12$.

Ответ: $12$

5.50. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:

а) –х · (–8); б) с · (–5n); в) 4аb · 7; г) –аn · (–8); д) 4х · (–5y); е) –5а · 0,2b.

5.50

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–х · (-8) =\underline{ 8}х \\ \mathit{б}\mathbf{)} с ·(-5n) = \underline{-5}cn \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4ab · 7 = \underline{28}ab \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }–an · (-8) = \underline{8}an \\ \mathit{д}\mathbf{)} 4x · (-5y) = \underline{-20}xy \\ \mathit{е}\mathbf{)} -5a · 0,2b = \underline{-1}ab \end{gathered}$$

а) $-x \cdot (-8)$

Чтобы упростить выражение, представим $-x$ как $-1 \cdot x$ и перемножим числовые коэффициенты.

$-x \cdot (-8) = (-1) \cdot x \cdot (-8) = (-1 \cdot (-8)) \cdot x = 8x$.

Коэффициентом в полученном выражении $8x$ является число $8$.

Ответ: 8$x$.

б) $c \cdot (-5n)$

Используя сочетательный и переместительный законы умножения, сгруппируем числовые и буквенные множители. Буквенные множители принято записывать в алфавитном порядке.

$c \cdot (-5n) = c \cdot (-5) \cdot n = -5cn$.

Коэффициентом в выражении $-5cn$ является число $-5$.

Ответ: -5$cn$.

в) $4ab \cdot 7$

Чтобы упростить, перемножим числовые множители $4$ и $7$.

$4ab \cdot 7 = (4 \cdot 7) \cdot ab = 28ab$.

Коэффициентом выражения $28ab$ является число $28$.

Ответ: 28$ab$.

г) $-an \cdot (-8)$

Коэффициент выражения $-an$ равен $-1$. Умножим его на $-8$.

$-an \cdot (-8) = (-1) \cdot an \cdot (-8) = (-1 \cdot (-8)) \cdot an = 8an$.

Коэффициентом в выражении $8an$ является число $8$.

Ответ: 8$an$.

д) $4x \cdot (-5y)$

Перемножим числовые коэффициенты ($4$ и $-5$) и буквенные множители ($x$ и $y$) по отдельности.

$4x \cdot (-5y) = (4 \cdot (-5)) \cdot (x \cdot y) = -20xy$.

Коэффициентом выражения $-20xy$ является число $-20$.

Ответ: -20$xy$.

е) $-5a \cdot 0,2b$

Перемножим числовые коэффициенты ($-5$ и $0,2$) и буквенные множители ($a$ и $b$) по отдельности.

$-5a \cdot 0,2b = (-5 \cdot 0,2) \cdot (a \cdot b) = -1ab$.

Коэффициент равен $-1$. Выражение $-1ab$ обычно записывают как $-ab$.

Ответ: -1$ab$.

5.51. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:
а) – 56x · (– 15y);
б) – 47a · ( – 78a);
в) – 209x · ( – 94z);
г) 512x · (– 415y);
д) 38n · (– 76b) · 27z;
е) 59a · 920b · 3z.

5.51

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{6}х · \left(-\frac{1}{5}у\right) = \left(-\frac{\cancel{5}}{6} · \left(-\frac{1}{\cancel{5}}\right)\right) · х · у= \\ = \left(-\frac{1}{6} · \left(-\frac{1}{1}\right)\right) · х · у=\underline{\frac{1}{6}}ху \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{7}а · \left(-\frac{7}{8}а\right) = \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{\bcancel{7}} · \left(-\frac{\bcancel{7}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}}\right)\right) · а · а= \\ =\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{1} · \left(-\frac{1}{{\displaystyle 2}}\right)\right) · а · а=\underline{\frac{1}{2}}{а}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -\frac{20}{9}х · \left(-\frac{9}{4}z\right) = \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{20}}}}{\bcancel{9}} · \left(-\frac{\bcancel{9}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}\right)\right) · x · z= \\ = \left(-\frac{{\displaystyle 5}}{1} · \left(-\frac{1}{{\displaystyle 1}}\right)\right) · x · z=\underline{5}xz \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{12} х · \left(-\frac{4}{15}у\right) = \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}}}\right)\right) · х · у = \\ = \left(\frac{1}{3} · \left(-\frac{1}{3}\right)\right) · х · у =\underline{-\frac{1}{9}}ху \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{3}{8} n · \left(-\frac{7}{6}b\right) · \frac{2}{7}z = \left(\frac{\bcancel{3}}{8} · \left(-\frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{\bcancel{2}}{\bcancel{6}}}}\right)· \frac{\bcancel{2}}{\cancel{7}} \right) \times \\ \times n · b · z = \left(\frac{1}{8} · \left(-\frac{1}{1}\right)· \frac{1}{1} \right) \times \\ \times n · b · z = \underline{-\frac{1}{8}}nbz \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{9}а · \frac{9}{20} b · 3z = \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{20}}}} · 3\right) · a · b · z = \\ = \left(\frac{{\displaystyle 1}}{1} · \frac{1}{{\displaystyle 4}} · 3\right) · a · b · z =\underline{\frac{3}{4}}abz \end{gathered}$$

Чтобы упростить выражение $-\frac{5}{6}x \cdot (-\frac{1}{5}y)$, перемножим его числовые и буквенные части.

$(-\frac{5}{6}x) \cdot (-\frac{1}{5}y) = (-\frac{5}{6} \cdot -\frac{1}{5}) \cdot (x \cdot y) = \frac{5 \cdot 1}{6 \cdot 5} xy = \frac{1}{6}xy$.

Коэффициент этого выражения — $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\underline{\frac{1}{6}}xy$

Чтобы упростить выражение $-\frac{4}{7}a \cdot (-\frac{7}{8}a)$, перемножим его числовые и буквенные части.

$(-\frac{4}{7}a) \cdot (-\frac{7}{8}a) = (-\frac{4}{7} \cdot -\frac{7}{8}) \cdot (a \cdot a) = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 8} a^2 = \frac{4}{8}a^2 = \frac{1}{2}a^2$.

Коэффициент этого выражения — $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\underline{\frac{1}{2}}a^2$

Чтобы упростить выражение $-\frac{20}{9}x \cdot (-\frac{9}{4}z)$, перемножим его числовые и буквенные части.

$(-\frac{20}{9}x) \cdot (-\frac{9}{4}z) = (-\frac{20}{9} \cdot -\frac{9}{4}) \cdot (x \cdot z) = \frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 4} xz = \frac{20}{4}xz = 5xz$.

Коэффициент этого выражения — $5$.

Ответ: $\underline{5}xz$

Чтобы упростить выражение $\frac{5}{12}x \cdot (-\frac{4}{15}y)$, перемножим его числовые и буквенные части.

$(\frac{5}{12}x) \cdot (-\frac{4}{15}y) = (\frac{5}{12} \cdot -\frac{4}{15}) \cdot (x \cdot y) = -\frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 15} xy = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} xy = -\frac{1}{9}xy$.

Коэффициент этого выражения — $-\frac{1}{9}$.

Ответ: $\underline{-\frac{1}{9}}xy$

Чтобы упростить выражение $\frac{3}{8}n \cdot (-\frac{7}{6}b) \cdot \frac{2}{7}z$, перемножим его числовые и буквенные части. Для удобства расположим переменные в алфавитном порядке.

$\frac{3}{8}n \cdot (-\frac{7}{6}b) \cdot \frac{2}{7}z = (\frac{3}{8} \cdot -\frac{7}{6} \cdot \frac{2}{7}) \cdot (n \cdot b \cdot z) = -\frac{3 \cdot 7 \cdot 2}{8 \cdot 6 \cdot 7} bnz = -\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 6} bnz = -\frac{6}{48} bnz = -\frac{1}{8}bnz$.

Коэффициент этого выражения — $-\frac{1}{8}$.

Ответ: $\underline{-\frac{1}{8}}bnz$

Чтобы упростить выражение $\frac{5}{9}a \cdot \frac{9}{20}b \cdot 3z$, перемножим его числовые и буквенные части.

$\frac{5}{9}a \cdot \frac{9}{20}b \cdot 3z = (\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{20} \cdot 3) \cdot (a \cdot b \cdot z) = \frac{5 \cdot 9 \cdot 3}{9 \cdot 20} abz = \frac{5 \cdot 3}{20} abz = \frac{15}{20} abz = \frac{3}{4}abz$.

Коэффициент этого выражения — $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\underline{\frac{3}{4}}abz$

5.52. Вычислите:
а) 2,4 · 7,4 – 1,7 · 5,6 – 4,3 · 3,1 + 5,3 · 2,8;
б) –12,42 : 4,6 – 31,93 : 3,1 + 1,98 : 2,64 + 8,2 · 0,4;
в) 0,37 · 4,5 – 4,5 · (–0,22) + 0,93 · (–3,5).

5.52

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }2,4 \stackrel{1}{·} 7,4 – 1,7 \stackrel{2}{·}5,6 – 4,3 \stackrel{3}{·} 3,1 + 5,3 \stackrel{4}{·} 2,8 = \\ = 17,76 \stackrel{5}{–} 9,52 – 13,33 + 14,84 = 8,24 \stackrel{6}{+} \\ + (-13,33) + 14,84 = -5,09 + 14,84 = \\ = 14,84 \stackrel{7}{–} 5,09 = 9,75 \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-12,42:4,6 – 31,93:3,1 + 1,98 : 2,64 + \\ + 8,2 · 0,4 = -124,2 \stackrel{1}{:} 46 – 319,3\stackrel{2}{ :} 31 + \\ + 198\stackrel{3}{ :} 264 + 8,2 · 0,4 = -2,7 – 10,3 + \\ + 0,75 + 3,28 = -13 + 0,75 + 3,28 = \\ = -13 + 4,03 = - (13 – 4,03) = -8,97 \end{gathered}$$

1.

2.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,37 · 4,5 – 4,5 · (-0,22) + 0,93 · (-3,5) = \\ = 4,5 · (0,37 – (-0,22)) – 0,93 \stackrel{1}{·} 3,5 = \\ = 4,5\stackrel{2}{ ·} 0,59 – 0,3255 = 2,655 – 3,255 = \\ = - (3,255 \stackrel{3}{–} 2,655) = -0,6 \end{gathered}$$

2.	1.
3.

а) $2,4 \cdot 7,4 - 1,7 \cdot 5,6 - 4,3 \cdot 3,1 + 5,3 \cdot 2,8$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение, а затем вычитание и сложение слева направо.

1. Выполним умножение:

$2,4 \cdot 7,4 = 17,76$

$1,7 \cdot 5,6 = 9,52$

$4,3 \cdot 3,1 = 13,33$

$5,3 \cdot 2,8 = 14,84$

2. Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$17,76 - 9,52 - 13,33 + 14,84$

3. Выполним вычитание и сложение по порядку:

$17,76 - 9,52 = 8,24$

$8,24 - 13,33 = -5,09$

$-5,09 + 14,84 = 9,75$

Ответ: $9,75$

б) $-12,42 : 4,6 - 31,93 : 3,1 + 1,98 : 2,64 + 8,2 \cdot 0,4$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление и умножение, а затем вычитание и сложение слева направо.

1. Выполним деление и умножение:

$-12,42 : 4,6 = -2,7$

$31,93 : 3,1 = 10,3$

$1,98 : 2,64 = 0,75$

$8,2 \cdot 0,4 = 3,28$

2. Подставим результаты в выражение:

$-2,7 - 10,3 + 0,75 + 3,28$

3. Выполним вычитание и сложение по порядку:

$-2,7 - 10,3 = -13$

$-13 + 0,75 = -12,25$

$-12,25 + 3,28 = -8,97$

Ответ: $-8,97$

в) $0,37 \cdot 4,5 - 4,5 \cdot (-0,22) + 0,93 \cdot (-3,5)$

В этом примере можно упростить вычисления, вынеся общий множитель $4,5$ за скобки в первых двух членах.

1. Применим распределительное свойство умножения $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$:

$0,37 \cdot 4,5 - 4,5 \cdot (-0,22) = 4,5 \cdot (0,37 - (-0,22)) = 4,5 \cdot (0,37 + 0,22) = 4,5 \cdot 0,59 = 2,655$

2. Теперь выражение выглядит так:

$2,655 + 0,93 \cdot (-3,5)$

3. Выполним оставшееся умножение:

$0,93 \cdot (-3,5) = -3,255$

4. Выполним сложение:

$2,655 + (-3,255) = 2,655 - 3,255 = -0,6$

Ответ: $-0,6$

5.53. Найдите неизвестный член пропорции:

$\mathrm{а}) \frac{а}{-5,8}=\frac{5,3}{2,9};$

$\mathrm{б}) \frac{-7{\displaystyle \frac{1}{4}}}{с}=\frac{4{\displaystyle \frac{1}{7}}}{1{\displaystyle \frac{3}{7}}}.$

5.53

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{а}{-5,8} = \frac{5,3}{2,9} \\ а = \frac{-5,3 · 5,8}{2,9} = \frac{-5,3 · {\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{58}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{29}}}} = \\ = \frac{-5,3 · 2}{1} = -10,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{-7{\displaystyle \frac{1}{4}}}{с} = \frac{4{\displaystyle \frac{1}{7}}}{1{\displaystyle \frac{3}{7}}} \\ с = \frac{-7{\displaystyle \frac{1}{4}} · 1{\displaystyle \frac{3}{7}}}{4{\displaystyle \frac{1}{7}}} = -\frac{{\displaystyle \frac{29}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}}} · {\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{10}}}}{7}}}{{\displaystyle \frac{29}{7}}} = \\ =-\frac{{\displaystyle \frac{29}{2}} · {\displaystyle \frac{5}{7}}}{{\displaystyle \frac{29}{7}}} = - \frac{29}{2} · \frac{5}{7} : \frac{29}{7} = \\ = - \frac{\cancel{29}}{2} · \frac{5}{\bcancel{7}} · \frac{\bcancel{7}}{\cancel{29}} = -\frac{1}{2} · \frac{5}{1} · \frac{1}{1} = \\ = -\frac{5}{2} = -2,5 \end{gathered}$$

а)

Дана пропорция: $\frac{a}{-5,8} = \frac{5,3}{2,9}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов.

В данном случае крайние члены — это $a$ и $2,9$, а средние члены — это $-5,8$ и $5,3$.

Запишем уравнение: $a \cdot 2,9 = -5,8 \cdot 5,3$.

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $2,9$:
$a = \frac{-5,8 \cdot 5,3}{2,9}$

Можно заметить, что $-5,8$ ровно в $-2$ раза больше, чем $2,9$. Сократим дробь:
$a = -2 \cdot 5,3$

Вычислим произведение:
$a = -10,6$

Ответ: $a = -10,6$.

б)

Дана пропорция: $\frac{-7\frac{1}{4}}{c} = \frac{4\frac{1}{7}}{1\frac{3}{7}}$.

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Крайние члены: $-7\frac{1}{4}$ и $1\frac{3}{7}$. Средние члены: $c$ и $4\frac{1}{7}$.

Запишем уравнение: $c \cdot 4\frac{1}{7} = -7\frac{1}{4} \cdot 1\frac{3}{7}$.

Для решения уравнения переведем все смешанные числа в неправильные дроби:
$-7\frac{1}{4} = -\frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{29}{4}$
$4\frac{1}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{29}{7}$
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

Подставим полученные дроби в уравнение:
$c \cdot \frac{29}{7} = -\frac{29}{4} \cdot \frac{10}{7}$

Выразим $c$:
$c = \frac{-\frac{29}{4} \cdot \frac{10}{7}}{\frac{29}{7}}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$c = \left(-\frac{29}{4} \cdot \frac{10}{7}\right) \cdot \frac{7}{29}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($29$ и $7$):
$c = -\frac{\cancel{29}}{4} \cdot \frac{10}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{29}} = -\frac{10}{4}$

Упростим полученную дробь и представим в виде десятичного числа:
$c = -\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $c = -2,5$.

5.54. Из 45 кг руды выплавляют 25 кг железа. Найдите, сколько тонн руды потребуется для выплавки 20 т железа.

5.54

$\frac{45}{х} = \frac{25}{20}$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{45}}} · 20}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} = \frac{9 · {\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = \frac{9 · 4}{1} = 36$ (т) – руды.

Ответ: 36 т.

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом пропорций, так как соотношение между массой руды и массой получаемого из нее железа является постоянной величиной.

По условию, из 45 кг руды выплавляют 25 кг железа. Нам нужно найти, сколько тонн руды потребуется для выплавки 20 т железа. Обозначим искомую массу руды за $x$ тонн.

Составим пропорцию, приравнивая отношения массы руды к массе железа в обоих случаях:

$ \frac{\text{масса руды 1}}{\text{масса железа 1}} = \frac{\text{масса руды 2}}{\text{масса железа 2}} $

Подставим известные значения. Важно отметить, что отношение величин не зависит от единиц измерения (в первом случае это кг/кг, а во втором — т/т), поэтому мы можем составить уравнение напрямую:

$ \frac{45}{25} = \frac{x}{20} $

Теперь выразим из этой пропорции неизвестную переменную $x$:

$ x = \frac{45 \times 20}{25} $

Для удобства вычислений, сократим дробь. Можно сократить числа 20 и 25 на 5:

$ x = \frac{45 \times 4}{5} $

Теперь сократим 45 и 5 на 5:

$ x = 9 \times 4 $

$ x = 36 $

Следовательно, для выплавки 20 тонн железа потребуется 36 тонн руды.

Ответ: 36 т.

5.55. Сколько надо швей для выполнения заказа на пошив костюмов для школьного ансамбля за 21 день, если 9 швей могут выполнить этот заказ за 35 дней?

5.55

$\frac{9}{х} = \frac{21}{35}$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{35}}} · 9}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}}} = \frac{5 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{5 · 3}{1} = 15$ швей.

Ответ: 15 швей.

Это задача на обратную пропорциональность. Количество швей и количество дней, необходимых для выполнения заказа, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что чем больше швей будет работать, тем меньше времени им понадобится для выполнения того же объема работы.

Пусть $x$ — искомое количество швей.

Способ 1: Вычисление общего объема работы

Сначала найдем общий объем работы, который необходимо выполнить. Его можно измерить в «швея-днях» (количество работы, выполняемое одной швеей за один день). По условию, 9 швей выполняют заказ за 35 дней. Значит, общий объем работы составляет: $9 \text{ швей} \times 35 \text{ дней} = 315 \text{ швея-дней}$

Теперь нам нужно найти, сколько швей ($x$) потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы в 315 швея-дней за 21 день. Составим уравнение: $x \times 21 = 315$

Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{315}{21}$ $x = 15$

Способ 2: Составление пропорции

Можно составить пропорцию. Запишем условия:
9 швей — 35 дней
$x$ швей — 21 день

Поскольку зависимость обратная, то отношение количества швей будет равно обратному отношению количества дней: $\frac{9}{x} = \frac{21}{35}$

Выразим $x$ из этой пропорции: $x = \frac{9 \times 35}{21}$

Сократим дробь для удобства вычислений. 35 и 21 делятся на 7: $x = \frac{9 \times 5}{3}$

Теперь 9 и 3 делятся на 3: $x = 3 \times 5 = 15$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Для выполнения заказа за 21 день понадобится 15 швей.

Ответ: 15 швей.

5.56. Егор решил 9 задач из запланированных, что составило 45 %. Сколько задач ему надо ещё решить, чтобы выполнить свой план на 70 % и пойти гулять?

5.56

$\frac{9}{х} = \frac{45}{70}$

$х= \frac{70 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{45}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{70}}} · 1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = \frac{14 · 1 }{1} = 14$ задач составляют 70%.

1) 14 – 9 = 5 – задач нужно решить.

Ответ: 5 задач.

Чтобы найти, сколько задач Егору осталось решить, выполним последовательно несколько действий.

1. Найдём общее количество запланированных задач.

Пусть $x$ — это общее количество задач, которое запланировал решить Егор (т.е. 100%). Из условия известно, что 9 решенных задач составляют 45% от всего плана. Мы можем составить пропорцию для нахождения $x$:

$9 \text{ задач} \quad — \quad 45\%$

$x \text{ задач} \quad — \quad 100\%$

Решим пропорцию относительно $x$:

$x = \frac{9 \cdot 100}{45} = \frac{900}{45} = 20 \text{ задач}.$

Таким образом, всего в плане у Егора было 20 задач.

2. Определим, сколько задач составляют 70% плана.

Теперь нужно найти, сколько задач составляют 70% от общего числа (20 задач). Для этого умножим общее количество задач на долю, соответствующую 70%:

$20 \cdot \frac{70}{100} = 20 \cdot 0.7 = 14 \text{ задач}.$

Чтобы выполнить план на 70%, Егору нужно решить всего 14 задач.

3. Найдём, сколько задач осталось решить.

Мы знаем, что Егор уже решил 9 задач, а его цель — 14 задач. Чтобы найти, сколько ему ещё осталось решить, вычтем из целевого количества уже решенные задачи:

$14 - 9 = 5 \text{ задач}.$

Ответ: 5.

1. Выберите верное утверждение:
а) коэффициент выражения 3с · (–х) равен 3;
б) коэффициент выражения 1 · 2 · 3 · (–a) равен –6;
в) коэффициент выражения –4 · (–у)² равен 4.

Проверочная работа

1.

а) неверно

б) верно

в) неверно

Для того чтобы выбрать верное утверждение, необходимо найти коэффициенты в каждом из предложенных выражений. Коэффициент — это числовой множитель при буквенной части выражения.

а) коэффициент выражения $3c \cdot (-x)$ равен 3;

Чтобы найти коэффициент, упростим выражение, перемножив все числовые множители:
$3c \cdot (-x) = 3 \cdot c \cdot (-1) \cdot x$
Сгруппируем и перемножим числовые множители: $(3 \cdot (-1)) \cdot c \cdot x = -3cx$.
Коэффициент этого выражения равен $-3$.
Таким образом, утверждение, что коэффициент равен 3, является неверным.
Ответ: утверждение неверно.

б) коэффициент выражения $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (-a)$ равен $-6$;

Упростим данное выражение. Сначала перемножим все числовые множители:
$1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Теперь умножим полученный результат на буквенную часть:
$6 \cdot (-a) = 6 \cdot (-1) \cdot a = -6a$.
Коэффициент этого выражения равен $-6$.
Таким образом, утверждение, что коэффициент равен $-6$, является верным.
Ответ: утверждение верно.

в) коэффициент выражения $-4 \cdot (-y)^2$ равен 4.

Сначала упростим часть выражения в скобках, возведенную в степень. Возведение в квадрат отрицательного числа дает положительный результат:
$(-y)^2 = (-y) \cdot (-y) = y^2$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$-4 \cdot (y^2) = -4y^2$.
Коэффициент этого выражения равен $-4$.
Таким образом, утверждение, что коэффициент равен 4, является неверным.
Ответ: утверждение неверно.

В результате анализа было установлено, что единственное верное утверждение находится под буквой б).

2. Определите знак коэффициента выражения:
а) –а · (–7);
б) 7cd ² · 6;
в) –8 · n · (–а);
г) 5a³ · $(–\frac{4 }{5}b)$ · 6c .

2.

$\mathit{а}\mathbf{)} –а · (-7) = 7а, 7 > 0.$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }7c{d}^2 · 6 = 42c{d}^2, 42 > 0$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-8 · n · (-a) = 8na, 8 > 0$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }5a^{3 }· \left(-\frac{4}{5} \right)b · 6c = -\frac{4}{5} · 30a^{3}bc = \\ = -24a^{3}bc, -24 < 0. \end{gathered}$$

а) Чтобы определить знак коэффициента выражения $-a \cdot (-7)$, нужно перемножить его числовые множители. Выражение $-a$ можно представить как $-1 \cdot a$, следовательно, его коэффициент равен $-1$. Другой множитель — число $-7$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
Вычислим итоговый коэффициент: $(-1) \cdot (-7) = 7$.
Коэффициент $7$ является положительным числом.
Ответ: положительный.

б) В выражении $7cd^2 \cdot 6$ числовыми множителями являются $7$ и $6$. Оба числа положительные. Чтобы найти итоговый коэффициент, необходимо перемножить эти числа.
Вычислим коэффициент: $7 \cdot 6 = 42$.
Коэффициент $42$ является положительным числом.
Ответ: положительный.

в) В выражении $-8 \cdot n \cdot (-a)$ числовыми множителями являются $-8$ и коэффициент одночлена $-a$, который равен $-1$. Чтобы найти итоговый коэффициент, перемножим эти числовые множители.
Вычислим коэффициент: $(-8) \cdot (-1) = 8$.
Коэффициент $8$ является положительным числом.
Ответ: положительный.

г) В выражении $5a^3 \cdot (-\frac{4}{5}b) \cdot 6c$ числовыми множителями являются $5$, $-\frac{4}{5}$ и $6$. Чтобы найти итоговый коэффициент, необходимо перемножить все эти числа.
Вычислим коэффициент: $5 \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot 6 = -4 \cdot 6 = -24$.
Произведение содержит один отрицательный множитель, поэтому результат будет отрицательным. Коэффициент $-24$ является отрицательным числом.
Ответ: отрицательный.

3. Определите коэффициент выражения:
а) 5а · (–7);
б) –2 · (–х);
в) –10 · (–0,5х);
г) m;
д) 12а · (– 112b);
е) 2m · (0,5)n.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }5а · (-7) = \underline{-35}а \\ \mathit{б}\mathbf{)} -2 · (-x) = \underline{2}x \\ \mathit{в}\mathbf{)} -10 · (-0,5x) = \underline{5}x \\ \mathit{г}\mathbf{)} m = \underline{1}m \\ \mathit{д}) \cancel{12}a · \left(-\frac{1}{\cancel{12}}b\right) = \underline{-1}ab \\ \mathit{е}\mathbf{)} 2m · (0,5)n = \underline{1}mn \end{gathered}$$

Коэффициент — это числовой множитель при буквенной части выражения. Чтобы его найти, нужно перемножить все числовые множители, входящие в выражение.

а) В выражении $5a \cdot (-7)$ нужно перемножить числовые множители 5 и -7.
$5 \cdot (-7) = -35$
Получаем выражение $-35a$.
Ответ: -35.

б) В выражении $-2 \cdot (-x)$ множитель $-x$ имеет коэффициент -1. Перемножим числовые множители -2 и -1.
$-2 \cdot (-1) = 2$
Получаем выражение $2x$.
Ответ: 2.

в) В выражении $-10 \cdot (-0,5x)$ перемножим числовые множители -10 и -0,5.
$-10 \cdot (-0,5) = 5$
Получаем выражение $5x$.
Ответ: 5.

г) Выражение $m$ можно представить в виде $1 \cdot m$.
Числовой множитель здесь равен 1.
Ответ: 1.

д) В выражении $12a \cdot (-\frac{1}{12}b)$ перемножим числовые множители 12 и $-\frac{1}{12}$.
$12 \cdot (-\frac{1}{12}) = -\frac{12}{12} = -1$
Получаем выражение $-1ab$ или $-ab$.
Ответ: -1.

е) В выражении $2m \cdot (0,5)n$ перемножим числовые множители 2 и 0,5.
$2 \cdot 0,5 = 1$
Получаем выражение $1mn$ или $mn$.
Ответ: 1.