Страница 86, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.310. Вычислите:

а) 49 · (3314 · 245)²; б) ((23)³ + 59) · 911; в) (212 – 1114) · (149 + 256 – 234).

2.310

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9} \stackrel{3}{·} {\left(3\frac{3}{14} \stackrel{1}{·} 2\frac{4}{5}\right)}^{\stackrel{2}{2}}=36 \\ 1) 3\frac{3}{14} · 2\frac{4}{5} = \frac{45}{14} · \frac{14}{5}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\bcancel{45}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{14}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}=\frac{9 · 1}{1 · 1} =9; \\ 2) 9^2=9 · 9=81; \\ 3) \frac{4}{9} · 81=\frac{4 · {\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{81}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}=\frac{4 · 9}{1} = 36. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{\stackrel{1}{3}}\stackrel{2}{+}\frac{5}{9}\right) \stackrel{3}{·} \frac{9}{11}=\frac{23}{33} \\ 1) {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2}{3} · \frac{2}{3} · \frac{2}{3} = \frac{2 · 2 · 2}{3 · 3 · 3}=\frac{8}{27}; \\ 2) \frac{8}{27} +{\frac{5}{9}}^{\overline{)·3}} =\frac{8}{27} +\frac{15}{27} = \frac{23}{27}; \\ 3) \frac{23}{27} · \frac{9}{11} = \frac{23 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{27}}} · 11}=\frac{23 · 1}{3 · 11}=\frac{23}{33}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(2\frac{1}{2}\stackrel{1}{-}\frac{11}{14}\right) \stackrel{3}{·} \stackrel{2}{\left(1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4}\right)}= 2\frac{13}{21} \\ 1) {2\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}-\frac{11}{14} = 2\frac{7}{14} -\frac{11}{14} = 1\frac{21}{14}-\frac{11}{14}= \\ =1\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{14}}}}=1\frac{5}{7} \\ 2) {1\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} + {2\frac{5}{6}}^{\overline{)·6}} - {2\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}}=1\frac{16}{36} + \\ + 2\frac{30}{36}-2\frac{27}{36}=1\frac{19}{36}; \\ 3) 1\frac{5}{7} · 1\frac{19}{36}=\frac{12}{7} · \frac{55}{36} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{12}}} · 55}{7 · {\displaystyle \underset{3}{\cancel{36}}}}= \\ =\frac{1 · 55 }{7 · 3}=\frac{55}{21}=2\frac{13}{21}. \end{gathered}$$

а) $\frac{4}{9} \div \left(3\frac{3}{14} \cdot 2\frac{4}{5}\right)^2$

1. Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$

$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}$

2. Умножим полученные дроби:

$\frac{45}{14} \cdot \frac{14}{5} = \frac{45 \cdot 14}{14 \cdot 5} = \frac{45}{5} = 9$

3. Теперь возведем результат в квадрат:

$9^2 = 81$

4. Выполним деление. Чтобы разделить на число, нужно умножить на обратное ему число:

$\frac{4}{9} \div 81 = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{81} = \frac{4}{9 \cdot 81} = \frac{4}{729}$

Ответ: $\frac{4}{729}$

б) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{5}{9}\right) \cdot \frac{9}{11}$

1. Первым действием возведем дробь в степень:

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

2. Далее выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 27:

$\frac{8}{27} + \frac{5}{9} = \frac{8}{27} + \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{8}{27} + \frac{15}{27} = \frac{8+15}{27} = \frac{23}{27}$

3. Теперь умножим результат на дробь $\frac{9}{11}$ и сократим:

$\frac{23}{27} \cdot \frac{9}{11} = \frac{23 \cdot 9}{27 \cdot 11} = \frac{23 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{23}{33}$

Ответ: $\frac{23}{33}$

в) $\left(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}\right) \cdot \left(1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4}\right)$

1. Вычислим значение в первых скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 14:

$2\frac{1}{2} - \frac{11}{14} = \frac{5}{2} - \frac{11}{14} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{11}{14} = \frac{35 - 11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

2. Вычислим значение во вторых скобках. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$; $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$; $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{13}{9}$, $\frac{17}{6}$ и $\frac{11}{4}$. Наименьшее общее кратное чисел 9, 6 и 4 это 36. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{13}{9} + \frac{17}{6} - \frac{11}{4} = \frac{13 \cdot 4}{36} + \frac{17 \cdot 6}{36} - \frac{11 \cdot 9}{36} = \frac{52 + 102 - 99}{36} = \frac{154 - 99}{36} = \frac{55}{36}$

4. Теперь умножим результаты вычислений из обеих скобок:

$\frac{12}{7} \cdot \frac{55}{36} = \frac{12 \cdot 55}{7 \cdot 36}$

5. Сократим дробь на 12:

$\frac{1 \cdot 55}{7 \cdot 3} = \frac{55}{21}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{55}{21} = 2\frac{13}{21}$

Ответ: $2\frac{13}{21}$

2.311. Запишите в виде обыкновенной дроби:

а) 38%; б) 65 %; в) 70 %; г) 90 %.

2.311

$\mathit{а}\mathbf{)} 38\%=0,38= \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\cancel{100}}}}=\frac{19}{50}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }65\%=0,65= \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{65}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}}=\frac{13}{20}$

$\mathit{в}\mathbf{)} 70\%=0,7=\frac{7}{10}$

$\mathit{г}\mathbf{)} 90\%=0,9=\frac{9}{10}$

а) Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь, необходимо число процентов записать в числитель, а в знаменатель поставить 100. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.
$38\% = \frac{38}{100}$
Числитель и знаменатель этой дроби являются четными числами, поэтому их можно разделить на 2.
$\frac{38}{100} = \frac{38 \div 2}{100 \div 2} = \frac{19}{50}$
Ответ: $\frac{19}{50}$

б) Представим 65% в виде дроби со знаменателем 100.
$65\% = \frac{65}{100}$
Числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, следовательно, оба числа делятся на 5. Сократим дробь на 5.
$\frac{65}{100} = \frac{65 \div 5}{100 \div 5} = \frac{13}{20}$
Ответ: $\frac{13}{20}$

в) Представим 70% в виде дроби со знаменателем 100.
$70\% = \frac{70}{100}$
Числитель и знаменатель оканчиваются на 0, поэтому дробь можно сократить на 10.
$\frac{70}{100} = \frac{70 \div 10}{100 \div 10} = \frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{7}{10}$

г) Представим 90% в виде дроби со знаменателем 100.
$90\% = \frac{90}{100}$
Числитель и знаменатель оканчиваются на 0, поэтому мы можем сократить дробь на 10.
$\frac{90}{100} = \frac{90 \div 10}{100 \div 10} = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$

2.312. Запишите в виде процентов:

а) 0,34; б) 0,6; в) 0,09; г) 45; д) 920; е) 1150.

2.312

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,34 = 0,34 · 100\% = 34\%;$

$\mathit{б}\mathbf{)} 0,6 = 0,6 · 100\% = 60\%;$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,09 = 0,09 · 100\% = 9\%;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} {\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} =\frac{8}{10}= 0,8 = 0,8 · 100\% = 80\%;$

$\mathit{д}\mathbf{)} {\frac{9}{20}}^{\overline{)·5}} =\frac{45}{100}= 0,45 = 0,45 · 100\% = 45\%;$

$\mathit{е}\mathbf{)} {\frac{11}{50}}^{\overline{)·2}} =\frac{22}{100}= 0,22 = 0,22 · 100\% = 22\%.$

а) Чтобы перевести десятичную дробь 0,34 в проценты, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента.

$0,34 \times 100\% = 34\%$

Ответ: 34%

б) Чтобы перевести десятичную дробь 0,6 в проценты, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента.

$0,6 \times 100\% = 60\%$

Ответ: 60%

в) Чтобы перевести десятичную дробь 0,09 в проценты, необходимо умножить это число на 100 и добавить знак процента.

$0,09 \times 100\% = 9\%$

Ответ: 9%

г) Чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$ в проценты, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента.

$\frac{4}{5} \times 100\% = \frac{4 \times 100}{5}\% = 4 \times 20\% = 80\%$

Ответ: 80%

д) Чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{9}{20}$ в проценты, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента.

$\frac{9}{20} \times 100\% = \frac{9 \times 100}{20}\% = 9 \times 5\% = 45\%$

Ответ: 45%

е) Чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{11}{50}$ в проценты, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента.

$\frac{11}{50} \times 100\% = \frac{11 \times 100}{50}\% = 11 \times 2\% = 22\%$

Ответ: 22%

2.313. Автомобиль догоняет автобус. Сейчас расстояние между ними 7 км. Скорость автобуса 45,5 км/ч, а скорость автомобиля 59,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t ч, если t = 0,1; t = 0,25; t = 0,5?

2.313

Первоначальное расстояние – 7км;

Скорость автобуса – 45,5 км/ч;

Скорость автомобиля - 59,5 км/ч;

Время- 0,1ч; 0,25ч; 0,5ч.

Расстояние -? км.

1) 59,5 – 45,5 = 14 (км/ч) – скорость сближения;

2) 7 – 14 ∙ 0,1 = 7 – 1,4 = 5,6 (км) – через 0,1 ч;

3) 7 – 14 ∙ 0,25 = 7 – 3,5 = 3,5 (км) – через 0,25 ч;

4) 7 – 14 ∙ 0,5 = 7 – 7 = 0 (км) – через 0,5 ч.

Ответ: 5,6 км; 3,5 км; 0 км.

Для решения этой задачи необходимо определить, как меняется расстояние между автомобилем и автобусом с течением времени. Поскольку автомобиль догоняет автобус, расстояние между ними будет сокращаться. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Найдем скорость сближения.
Скорость сближения — это разница между скоростью более быстрого объекта (автомобиля) и скоростью более медленного объекта (автобуса).
Скорость автомобиля $v_{а} = 59,5$ км/ч.
Скорость автобуса $v_{б} = 45,5$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле: $v_{сбл} = v_{а} - v_{б}$.
$v_{сбл} = 59,5 - 45,5 = 14$ км/ч.

2. Составим формулу для расчета расстояния.
Изначальное расстояние между ними $S_{0} = 7$ км.
Расстояние, на которое они сблизятся за время $t$, равно произведению скорости сближения на время: $v_{сбл} \times t$.
Новое расстояние $S(t)$ будет равно начальному расстоянию минус расстояние, на которое они сблизились. Общая формула выглядит так:
$S(t) = S_{0} - v_{сбл} \times t$
Подставив известные значения, получим формулу для данной задачи:
$S(t) = 7 - 14t$

3. Рассчитаем расстояние для каждого заданного значения времени $t$.

если t = 0,1
Подставим значение $t = 0,1$ ч в нашу формулу, чтобы найти расстояние $S(t)$:
$S(0,1) = 7 - 14 \times 0,1 = 7 - 1,4 = 5,6$ км.
Ответ: 5,6 км.

если t = 0,25
Подставим значение $t = 0,25$ ч в формулу:
$S(0,25) = 7 - 14 \times 0,25 = 7 - 3,5 = 3,5$ км.
Ответ: 3,5 км.

если t = 0,5
Подставим значение $t = 0,5$ ч в формулу:
$S(0,5) = 7 - 14 \times 0,5 = 7 - 7 = 0$ км.
Ответ: 0 км.

2.314. Найдите корень уравнения:

а) 11,4b - (2,7b + 3,2b) + 2,35 = 6,2;

б) 15d - (12,1d - 0,7d) + 5,6 = 20;

в) Зх + 16 - (312х - 114х] = 423.

2.314

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 11,4b – (2,7b\stackrel{1}{ +} 3,2b) + 2,35 = 6,2; \\ 11,4b \stackrel{2}{–} 5,9b + 2,35 = 6,2; \\ 5,5b = 6,2 \stackrel{3}{–} 2,35; \\ 5,5b = 3,85; \\ b = 3,85 : 5,5; \\ b = 38,5\stackrel{4}{ :} 55; \\ b = 0,7. \end{gathered}$$

1.	2.
3.	4.

Ответ: 0,7.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 15d – (12,1d \stackrel{1}{–} 0,7d) + 5,6 = 20; \\ 15d \stackrel{2}{–} 11,4d + 5,6 = 20; \\ 3,6d = 20 \stackrel{3}{–} 5,6; \\ 3,6d = 14,4; \\ d = 14,4 : 3,6; \\ d = 144 : 36. \\ d = 4. \end{gathered}$$

1.

2.

3.

Ответ: 4.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3х + \frac{1}{6} – \left({3\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}х - 1\frac{1}{4}х\right) = 4\frac{2}{3}; \\ 3х + \frac{1}{6} – \left(3\frac{2}{4}х - 1\frac{1}{4}х\right) = 4\frac{2}{3}; \\ 3х + \frac{1}{6} –2\frac{1}{4}х= 4\frac{2}{3}; \\ 3х –2\frac{1}{4}х+ \frac{1}{6}= 4\frac{2}{3}; \\ \frac{3}{4}х + \frac{1}{6}= 4\frac{2}{3}; \\ \frac{3}{4}х = {4\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}} -\frac{1}{6}; \\ \frac{3}{4}х = 4\frac{4}{6} -\frac{1}{6}; \\ \frac{3}{4}х =4\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}; \\ \frac{3}{4}х =4\frac{1}{2}; \\ \frac{3}{4}х ={\frac{9}{2}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{3}{4 }х =\frac{18}{4}; \\ 3х = 18; \\ х = 6. \end{gathered}$$

Ответ: 6.

а) $11,4b - (2,7b + 3,2b) + 2,35 = 6,2$

1. Сначала упростим выражение в скобках:
$2,7b + 3,2b = 5,9b$
2. Подставим результат в уравнение:
$11,4b - 5,9b + 2,35 = 6,2$
3. Приведем подобные слагаемые с переменной $b$:
$5,5b + 2,35 = 6,2$
4. Перенесем число $2,35$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$5,5b = 6,2 - 2,35$
$5,5b = 3,85$
5. Найдем $b$, разделив обе части уравнения на $5,5$:
$b = 3,85 : 5,5$
$b = 0,7$
Ответ: 0,7

б) $15d - (12,1d - 0,7d) + 5,6 = 20$

1. Упростим выражение в скобках:
$12,1d - 0,7d = 11,4d$
2. Подставим результат в уравнение:
$15d - 11,4d + 5,6 = 20$
3. Приведем подобные слагаемые с переменной $d$:
$3,6d + 5,6 = 20$
4. Перенесем число $5,6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3,6d = 20 - 5,6$
$3,6d = 14,4$
5. Найдем $d$, разделив обе части на $3,6$:
$d = 14,4 : 3,6$
$d = 4$
Ответ: 4

в) $3x + \frac{1}{6} - (3\frac{1}{2}x - 1\frac{1}{4}x) = 4\frac{2}{3}$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю:
$3\frac{1}{2}x = \frac{7}{2}x = \frac{14}{4}x$
$1\frac{1}{4}x = \frac{5}{4}x$
$\frac{14}{4}x - \frac{5}{4}x = \frac{9}{4}x$
2. Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$3x + \frac{1}{6} - \frac{9}{4}x = 4\frac{2}{3}$
3. Приведем подобные слагаемые с переменной $x$. Представим $3x$ как дробь со знаменателем 4:
$3x = \frac{12}{4}x$
$\frac{12}{4}x - \frac{9}{4}x = \frac{3}{4}x$
4. Уравнение примет вид:
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{6} = 4\frac{2}{3}$
5. Перенесем $\frac{1}{6}$ в правую часть. Преобразуем смешанное число $4\frac{2}{3}$ в неправильную дробь $\frac{14}{3}$:
$\frac{3}{4}x = \frac{14}{3} - \frac{1}{6}$
6. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:
$\frac{14}{3} = \frac{28}{6}$
$\frac{3}{4}x = \frac{28}{6} - \frac{1}{6}$
$\frac{3}{4}x = \frac{27}{6}$
7. Сократим дробь $\frac{27}{6}$ на 3:
$\frac{3}{4}x = \frac{9}{2}$
8. Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:
$x = \frac{9}{2} : \frac{3}{4}$
$x = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3}$
$x = \frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$
Ответ: 6

2.315. Выполните действия:

24,062 - 8,04 : (0,763 + 1,237) - 6,25 · 2,74.

2.315

$24,062 \stackrel{4}{–} 8,04\stackrel{2}{ :} (0,763 \stackrel{1}{+} 1,237)\stackrel{5}{ –} 6,25 \stackrel{3}{·} 2,74 = 2,917$

1.	2. 8,04 : 2 = 4,02
3.	4.
5.

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в последнюю очередь — вычитание (также слева направо).

Исходное выражение: $24,062 - 8,04 : (0,763 + 1,237) - 6,25 \cdot 2,74$.

1. Первым действием выполним сложение чисел в скобках:

$0,763 + 1,237 = 2$

2. Теперь выражение принимает вид: $24,062 - 8,04 : 2 - 6,25 \cdot 2,74$. Следующим шагом выполняем деление:

$8,04 : 2 = 4,02$

3. Далее выполняем умножение:

$6,25 \cdot 2,74 = 17,125$

4. Подставим полученные результаты обратно в выражение и выполним вычитание в порядке слева направо:

$24,062 - 4,02 - 17,125$

Сначала выполним первое вычитание:

$24,062 - 4,02 = 20,042$

Теперь выполним второе вычитание:

$20,042 - 17,125 = 2,917$

Ответ: $2,917$.

1. Увеличьте:

а) 47 в 3 раза;

б) 138 в 5 раз;

в) 29 в 18 раз;

г) 2613 в 13 раз.

Проверочная работа

1.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{7} · 3 = \frac{4 · 3}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7};$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1\mathbf{ }\frac{3}{8} · 5 =\frac{11}{8} · 5 =\frac{11 · 5}{8} = \frac{55}{8} = 6\frac{7}{8};$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{9} · 18 = \frac{2 ·{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{ 18}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} = \frac{2 · 2}{1}=4;$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{6}{13} · 13 =\frac{32}{13} · 13 =\frac{32 · \cancel{13}}{\cancel{13}} = \frac{32 · 1}{1} = 32.$

а) Чтобы увеличить дробь в несколько раз, нужно умножить ее на это число. Умножим дробь $\frac{4}{7}$ на 3.

$\frac{4}{7} \times 3 = \frac{4 \times 3}{7} = \frac{12}{7}$

Полученная дробь является неправильной (числитель больше знаменателя). Преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть. Для этого разделим числитель 12 на знаменатель 7 с остатком.

$12 \div 7 = 1$ (остаток $12 - 7 \times 1 = 5$)

Таким образом, $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$.

Ответ: $1\frac{5}{7}$

б) Чтобы увеличить смешанное число $1\frac{3}{8}$ в 5 раз, нужно умножить его на 5. Для этого сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.

$1\frac{3}{8} = \frac{1 \times 8 + 3}{8} = \frac{8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$

Теперь умножим полученную неправильную дробь на 5.

$\frac{11}{8} \times 5 = \frac{11 \times 5}{8} = \frac{55}{8}$

Преобразуем результат обратно в смешанное число, выделив целую часть. Разделим 55 на 8 с остатком.

$55 \div 8 = 6$ (остаток $55 - 8 \times 6 = 7$)

Следовательно, $\frac{55}{8} = 6\frac{7}{8}$.

Ответ: $6\frac{7}{8}$

в) Чтобы увеличить дробь $\frac{2}{9}$ в 18 раз, нужно умножить ее на 18.

$\frac{2}{9} \times 18 = \frac{2 \times 18}{9}$

Перед умножением можно сократить числитель 18 и знаменатель 9 на их общий делитель 9.

$\frac{2 \times 18}{9} = \frac{2 \times 2}{1} = 4$

Ответ: 4

г) Чтобы увеличить смешанное число $2\frac{6}{13}$ в 13 раз, нужно умножить его на 13. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.

$2\frac{6}{13} = \frac{2 \times 13 + 6}{13} = \frac{26 + 6}{13} = \frac{32}{13}$

Теперь умножим полученную дробь на 13.

$\frac{32}{13} \times 13 = \frac{32 \times 13}{13}$

Сократим 13 в числителе и знаменателе.

$\frac{32 \times 13}{13} = 32$

Ответ: 32

2. Сколько метров составляет:

а) 110 км; б) 25 км; в) 415 км; г) 1730 км; д) 6355 км;

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{10 }\mathrm{км}=\frac{1}{10} · 1000\mathrm{м} =\frac{1 · {\displaystyle \stackrel{100}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{10}}}}= \\ =\frac{1 · 100}{1}=100 \mathrm{м}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{5 }\mathrm{км}=\frac{2}{5} · 1000\mathrm{м} =\frac{2· {\displaystyle \stackrel{200}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}= \\ =\frac{2 · 200}{1}=400 \mathrm{м}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{15 }\mathrm{км}=\frac{4}{14} · 1000\mathrm{м} =\frac{4 · {\displaystyle \stackrel{200}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}= \\ =\frac{4 · 200}{3}=\frac{800}{3}=266\frac{2}{3} \mathrm{м}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{7}{30 }\mathrm{км}=\frac{37}{30} · 1000\mathrm{м} =\frac{37 · {\displaystyle \stackrel{100}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{30}}}}= \\ =\frac{37 · 100}{3}=\frac{3700}{3}=1233\frac{1}{3} \mathrm{м}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }6\frac{3}{55 }\mathrm{км}=\frac{333}{55} · 1000\mathrm{м} =\frac{333 · {\displaystyle \stackrel{200}{\cancel{1000}}}}{{\displaystyle \underset{11}{\cancel{55}}}}= \\ =\frac{333 · 200}{11}=\frac{66600}{11}=6054\frac{6}{11} \mathrm{м}. \end{gathered}$$

Для решения этой задачи необходимо перевести километры в метры. Мы знаем, что в одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Чтобы найти, сколько метров в указанной части километра, нужно умножить эту часть на 1000.

а) $\frac{1}{10}$ км. Выполняем вычисление: $\frac{1}{10} \times 1000 = \frac{1000}{10} = 100 \text{ м}$. Ответ: 100 м.

б) $\frac{2}{5}$ км. Выполняем вычисление: $\frac{2}{5} \times 1000 = \frac{2 \times 1000}{5} = 2 \times 200 = 400 \text{ м}$. Ответ: 400 м.

в) $\frac{4}{15}$ км. Выполняем вычисление: $\frac{4}{15} \times 1000 = \frac{4000}{15}$. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{4000 \div 5}{15 \div 5} = \frac{800}{3}$. Теперь выделяем целую часть: $800 \div 3 = 266$ с остатком 2. Таким образом, получаем $266\frac{2}{3}$ м. Ответ: $266\frac{2}{3}$ м.

г) $1\frac{7}{30}$ км. Это смешанное число, поэтому мы можем вычислить целую и дробную части отдельно. 1 км равен 1000 м. Теперь вычислим дробную часть: $\frac{7}{30} \times 1000 = \frac{7000}{30} = \frac{700}{3}$ м. Выделяем целую часть: $700 \div 3 = 233$ с остатком 1, что равно $233\frac{1}{3}$ м. Складываем обе части: $1000 \text{ м} + 233\frac{1}{3} \text{ м} = 1233\frac{1}{3} \text{ м}$. Ответ: $1233\frac{1}{3}$ м.

д) $6\frac{3}{55}$ км. Также вычисляем целую и дробную части отдельно. 6 км равны $6 \times 1000 = 6000$ м. Вычисляем дробную часть: $\frac{3}{55} \times 1000 = \frac{3000}{55}$ м. Сокращаем дробь на 5: $\frac{3000 \div 5}{55 \div 5} = \frac{600}{11}$. Выделяем целую часть: $600 \div 11 = 54$ с остатком 6, что равно $54\frac{6}{11}$ м. Складываем обе части: $6000 \text{ м} + 54\frac{6}{11} \text{ м} = 6054\frac{6}{11} \text{ м}$. Ответ: $6054\frac{6}{11}$ м.

3. Найдите значение выражения:

а) 2х + 13у при х = 214, у = 9; б) 234х – 127у при х = 1511, у = 123;

3.

а) при x = $2\frac{1}{4}$, y=9:

$$\begin{gathered} 2х + \frac{1}{3}у = 2 · 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} · 9= \\ =2 · \frac{9}{4} + \frac{1 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}} · 9 }{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} + \frac{3}{1}= \\ =\frac{9}{2}+3 = 4\frac{1}{2}+ 3 = 7\frac{1}{2} \end{gathered}$$

б) при x = $1\frac{5}{11}$, y = $1\frac{2}{3}$ ∶

$$\begin{gathered} 2\frac{3}{4}х - 1\frac{2}{7}у = 2\frac{3}{4} · 1\frac{5}{11} - 1\frac{2}{7} · 1\frac{2}{3}= \\ = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{11}}}}-\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{7} · \frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{1 · 4 }{1 · 1} - \frac{3 · 5}{7 · 1}= \\ =4 - \frac{15}{7}=4 - 2\frac{1}{7}=3\frac{7}{7}-2\frac{1}{7} = 1\frac{6}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $2x + \frac{1}{3}y$ при $x = 2\frac{1}{4}$ и $y = 9$, нужно подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления.

1. Преобразуем смешанное число $x$ в неправильную дробь:
$x = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

2. Подставим значения $x$ и $y$ в исходное выражение:
$2x + \frac{1}{3}y = 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{3} \cdot 9$.

3. Выполним умножение. В первом произведении сократим 2 и 4 на 2, во втором — 3 и 9 на 3:
$2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 9}{\cancel{4}^2} = \frac{9}{2}$.
$\frac{1}{3} \cdot 9 = \frac{1 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}_1} = 3$.

4. Сложим полученные результаты:
$\frac{9}{2} + 3$.

5. Чтобы сложить дробь и целое число, представим целое число в виде дроби с таким же знаменателем или преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
$4\frac{1}{2} + 3 = 7\frac{1}{2}$.

Ответ: $7\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значение выражения $2\frac{3}{4}x - 1\frac{2}{7}y$ при $x = 1\frac{5}{11}$ и $y = 1\frac{2}{3}$, нужно подставить значения и выполнить вычисления.

1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$;
$x = 1\frac{5}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{16}{11}$;
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$;
$y = 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

2. Подставим полученные дроби в выражение:
$\frac{11}{4} \cdot \frac{16}{11} - \frac{9}{7} \cdot \frac{5}{3}$.

3. Выполним действия по порядку. Сначала умножение:
$\frac{11}{4} \cdot \frac{16}{11} = \frac{\cancel{11}^1 \cdot \cancel{16}^4}{\cancel{4}_1 \cdot \cancel{11}_1} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 4$.
$\frac{9}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{\cancel{9}^3 \cdot 5}{7 \cdot \cancel{3}_1} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 1} = \frac{15}{7}$.

4. Теперь выполним вычитание:
$4 - \frac{15}{7}$.

5. Представим 4 в виде дроби со знаменателем 7:
$4 = \frac{4 \cdot 7}{7} = \frac{28}{7}$.
$\frac{28}{7} - \frac{15}{7} = \frac{28 - 15}{7} = \frac{13}{7}$.

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$.

Ответ: $1\frac{6}{7}$.

4. Упростите и найдите значение выражения:

435m + 967n – 315m – 527n при m = 11114 n = 258.

4.

$$\begin{gathered} 4\frac{3}{5}\mathrm{m} + 9\frac{6}{7}\mathrm{n} – 3\frac{1}{5}\mathrm{m} – 5\frac{2}{7}\mathrm{n} = (4\frac{3}{5}\mathrm{m} – 3\frac{1}{5}\mathrm{m}) + \\ + ( 9\frac{6}{7}\mathrm{n}– 5\frac{2}{7}\mathrm{n}) = 1\frac{2}{5}\mathrm{m} + 4\frac{4}{7}\mathrm{n} \end{gathered}$$

Если m = $1\frac{11}{14}$, n = $2\frac{5}{8}$, то

$$\begin{gathered} 1\frac{2}{5}\mathrm{m} + 4\frac{4}{7}\mathrm{n} = 1\frac{2}{5}· 1\frac{11}{14} + 4\frac{4}{7} · 2\frac{5}{8}= \\ =\frac{7}{5} · \frac{25}{14}+ \frac{32}{7} · \frac{21}{8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}} · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}} · {\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}}} + \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{32 }}}· {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}}= \\ =\frac{1 · 5}{1 · 2}+ \frac{4 · 3}{1 · 1}=\frac{5}{1}+ 12=2\frac{1}{2}+12 =14\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

Решение задачи состоит из двух этапов: сначала мы упростим выражение, а затем найдем его значение при заданных переменных.

1. Упрощение выражения

Дано выражение: $4\frac{3}{5}m + 9\frac{6}{7}n - 3\frac{1}{5}m - 5\frac{2}{7}n$.

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с одинаковыми переменными $m$ и $n$):

$(4\frac{3}{5}m - 3\frac{1}{5}m) + (9\frac{6}{7}n - 5\frac{2}{7}n)$

Теперь вынесем переменные за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$(4\frac{3}{5} - 3\frac{1}{5})m + (9\frac{6}{7} - 5\frac{2}{7})n$

Вычитаем целые и дробные части по отдельности:

Для коэффициента при $m$: $4\frac{3}{5} - 3\frac{1}{5} = (4 - 3) + (\frac{3}{5} - \frac{1}{5}) = 1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5}$

Для коэффициента при $n$: $9\frac{6}{7} - 5\frac{2}{7} = (9 - 5) + (\frac{6}{7} - \frac{2}{7}) = 4 + \frac{4}{7} = 4\frac{4}{7}$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$1\frac{2}{5}m + 4\frac{4}{7}n$

2. Нахождение значения выражения

Подставим в упрощенное выражение значения $m = 1\frac{11}{14}$ и $n = 2\frac{5}{8}$:

$1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{11}{14} + 4\frac{4}{7} \cdot 2\frac{5}{8}$

Чтобы выполнить умножение, преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

$1\frac{11}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 11}{14} = \frac{25}{14}$

$4\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{32}{7}$

$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

Теперь наше выражение имеет вид:

$\frac{7}{5} \cdot \frac{25}{14} + \frac{32}{7} \cdot \frac{21}{8}$

Выполним умножение, сокращая дроби:

Первое слагаемое: $\frac{7}{5} \cdot \frac{25}{14} = \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{14}^2} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Второе слагаемое: $\frac{32}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{\cancel{32}^4}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{21}^3}{\cancel{8}^1} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 12$

Сложим полученные результаты:

$\frac{5}{2} + 12 = 2\frac{1}{2} + 12 = 14\frac{1}{2}$

Ответ: $14\frac{1}{2}$.

5. Автобус от станции до деревни едет 225 ч со скоростью 6056 км/ч. Каково расстояние между станцией и деревней?

5.

Время – $2\frac{2}{5}$ ч;

Скорость автобуса - $60\frac{5}{6}$км/ч

Расстояние между станциями - ? км.

$$\begin{gathered} 2\frac{2}{5} · 60\frac{5}{6}=\frac{12}{5} · \frac{365}{6}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{12}}} · {\displaystyle \stackrel{73}{\bcancel{365}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}}= \\ =\frac{2 · 73}{1 · 1}=146 \left(\mathrm{км}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 146 км.

Чтобы найти расстояние между станцией и деревней, необходимо умножить скорость движения автобуса на время, которое он находился в пути. Формула для нахождения расстояния ($s$) выглядит следующим образом: $s = v \times t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время.

1. Подготовка данных для вычисления

Сначала преобразуем заданные смешанные числа в неправильные дроби, чтобы упростить умножение.

Время в пути: $t = 2\frac{2}{5}$ ч. Преобразуем в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \times 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$ ч.

Скорость автобуса: $v = 60\frac{5}{6}$ км/ч. Преобразуем в неправильную дробь: $60\frac{5}{6} = \frac{60 \times 6 + 5}{6} = \frac{360 + 5}{6} = \frac{365}{6}$ км/ч.

2. Расчет расстояния

Теперь, когда у нас есть значения скорости и времени в виде неправильных дробей, мы можем подставить их в формулу и вычислить расстояние:

$s = \frac{365}{6} \times \frac{12}{5}$

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели. Для удобства можно сократить дроби перед вычислением. Сократим числитель 12 и знаменатель 6 на 6. Также сократим числитель 365 и знаменатель 5 на 5.

$s = \frac{365 \times 12}{6 \times 5} = \frac{365}{5} \times \frac{12}{6} = 73 \times 2$

Выполним умножение:

$s = 146$ км.

Ответ: расстояние между станцией и деревней равно 146 км.

6. В комнате, ширина которой равна 314 м, а длина 413 м, необходимо покрасить пол. Сколько краски понадобится, если для покраски 1 м² пола нужно 120 г краски?

6.

Ширина – $3\frac{1}{4}$ м;

Длина – $4\frac{1}{3}$ м;

1 м² – 120 г краски;

Краски всего понадобится -?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3\frac{1}{4} · 4\frac{1}{3} = \frac{13}{4} · \frac{13}{3}=\frac{169}{12}=14\frac{1}{12}$(м² )-площадь пола;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 14\frac{1}{12} · 120 =\frac{169 · {\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{120}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} = 1690$(г)-краски понадобится

Ответ:1690 г.

Для того чтобы рассчитать необходимое количество краски, сначала нужно найти площадь пола комнаты. Площадь прямоугольного пола вычисляется как произведение его длины на ширину.

1. Найдем площадь пола (S).

Сначала представим размеры комнаты в виде неправильных дробей:

Ширина: $3\frac{1}{4} \text{ м} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{13}{4} \text{ м}$

Длина: $4\frac{1}{3} \text{ м} = \frac{4 \times 3 + 1}{3} = \frac{13}{3} \text{ м}$

Теперь вычислим площадь, умножив ширину на длину:

$S = \frac{13}{4} \times \frac{13}{3} = \frac{13 \times 13}{4 \times 3} = \frac{169}{12} \text{ м}^2$

2. Рассчитаем, сколько краски потребуется.

Известно, что на 1 м² пола уходит 120 г краски. Чтобы найти общее количество, нужно площадь пола умножить на расход краски на один квадратный метр.

Количество краски = $S \times 120 = \frac{169}{12} \times 120$

Можно сократить 120 и 12, так как $120 \div 12 = 10$.

Количество краски = $169 \times \frac{120}{12} = 169 \times 10 = 1690 \text{ г}$

Ответ: 1690 г краски.

5.58. Раскройте скобки:
а) (c – m + n) · x;
б) –a · (4c –d);
в) –x · (7y + 4n – 12);
г) (2,5z + 4,5c + 8) · 8x;
д) –4a · (a + 3,5m – 9,5n);
е) (4x – 3y + 2) · (–5z) .

5.58

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(c – m + n) · x = cx – mx + nx$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }–a · (4c – d) = -a · 4c – a · (-d) = \\ = -4ac + ad \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }–x · (7y + 4n – 12) = -x · 7y – x · 4n – \\ - x · (-12) = -7xy – 4nx + 12x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} (2,5z + 4,5c + 8) · 8x = 2,5z · 8x + \\ + 4,5c · 8x + 8 · 8x = = 20xz + 36cx + 64x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-4a · (a + 3,5m – 9,5n) = -4a · a – \\ - 4a · 3,5m – 4a · (-9,5n) = -4a^2 – \\ - 14am + 38an \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }(4x – 3y + 2) · (-5z) = 4x · (-5z) – \\ - 3y · (-5z) + 2 · (-5z) = -20xz + \\ + 15yz – 10z \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(c - m + n) \cdot x$, необходимо применить распределительный закон умножения. Это означает, что нужно умножить каждый член, находящийся в скобках, на множитель $x$, который стоит за скобками.

Выполним умножение для каждого члена поочередно:

1. Умножаем $c$ на $x$: $c \cdot x = cx$.

2. Умножаем $-m$ на $x$: $-m \cdot x = -mx$.

3. Умножаем $n$ на $x$: $n \cdot x = nx$.

Теперь объединим полученные результаты в одно выражение: $cx - mx + nx$.

Ответ: $cx - mx + nx$

б) В выражении $-a \cdot (4c - d)$ нужно умножить множитель $-a$ на каждый член в скобках.

1. Умножаем $-a$ на $4c$: $-a \cdot 4c = -4ac$.

2. Умножаем $-a$ на $-d$. Произведение двух отрицательных величин дает положительный результат: $-a \cdot (-d) = ad$.

Складываем полученные члены: $-4ac + ad$.

Ответ: $-4ac + ad$

в) Для раскрытия скобок в выражении $-x \cdot (7y + 4n - 12)$ умножим каждый член многочлена в скобках на одночлен $-x$.

1. Умножаем $-x$ на $7y$: $-x \cdot 7y = -7xy$.

2. Умножаем $-x$ на $4n$: $-x \cdot 4n = -4nx$.

3. Умножаем $-x$ на $-12$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $-x \cdot (-12) = 12x$.

Объединяем результаты: $-7xy - 4nx + 12x$.

Ответ: $-7xy - 4nx + 12x$

г) В выражении $(2,5z + 4,5c + 8) \cdot 8x$ применяем распределительный закон, умножая каждый член в скобках на $8x$.

1. Умножаем $2,5z$ на $8x$: $2,5z \cdot 8x = (2,5 \cdot 8)zx = 20zx$. Для удобства принято располагать переменные в алфавитном порядке: $20xz$.

2. Умножаем $4,5c$ на $8x$: $4,5c \cdot 8x = (4,5 \cdot 8)cx = 36cx$.

3. Умножаем $8$ на $8x$: $8 \cdot 8x = 64x$.

Складываем полученные выражения: $20xz + 36cx + 64x$.

Ответ: $20xz + 36cx + 64x$

д) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-4a \cdot (a + 3,5m - 9,5n)$, умножим $-4a$ на каждый из членов в скобках.

1. Умножаем $-4a$ на $a$: $-4a \cdot a = -4a^2$.

2. Умножаем $-4a$ на $3,5m$: $-4a \cdot 3,5m = -(4 \cdot 3,5)am = -14am$.

3. Умножаем $-4a$ на $-9,5n$. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным: $-4a \cdot (-9,5n) = (4 \cdot 9,5)an = 38an$.

Итоговое выражение после сложения всех частей: $-4a^2 - 14am + 38an$.

Ответ: $-4a^2 - 14am + 38an$

е) В выражении $(4x - 3y + 2) \cdot (-5z)$ раскроем скобки, умножив каждый член многочлена на $-5z$.

1. Умножаем $4x$ на $-5z$: $4x \cdot (-5z) = -(4 \cdot 5)xz = -20xz$.

2. Умножаем $-3y$ на $-5z$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $-3y \cdot (-5z) = (3 \cdot 5)yz = 15yz$.

3. Умножаем $2$ на $-5z$: $2 \cdot (-5z) = -10z$.

Собираем все члены вместе и получаем: $-20xz + 15yz - 10z$.

Ответ: $-20xz + 15yz - 10z$

5.59. Вычислите, применив распределительное свойство умножения:

а) 8 · 4 + 8 · 16; б) 39 · 23 – 29 · 23; в) 5 · 13 + 15 · 13; г) 7 · 21 – 2 · 21; д) 2,4 · 21 + 2,4 · 9; e) 1,4· 0,6 – 0,6 · 0,6; ж) 56 · 79 + 56 · 29; з) 2317 · 45 – 1317 · 45 и) 2313 · 515 – 2113 · 515.

5.59

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }8 · 4+8 · 16 = 8 · (4 + 16) = 8 · 20 = 160;$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }39 · 23 - 29 · 23= (39 - 29) · 23= \\ = 10 · 23 = 230; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 5 · 13 + 15 · 13 = 13 · (5 + 15) = \\ = 13 · 20 = 260; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 7 · 21 - 2 · 21 = 21 · (7 - 2) = \\ = 21 · 5 = 105; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 2,4 · 21 + 2,4 · 9 = 2,4 · (21 + 9) = \\ = 2,4 · 30 = 72; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }1,4 · 0,6 - 0,6 · 0,6 = 0,6 · (1,4 - 0,6) = \\ = 0,6 · 0,8 = 0,48; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} · \frac{7}{9} + \frac{5}{6} · \frac{2}{9} = \frac{5}{6} · \left(\frac{7}{9} + \frac{2}{9}\right) = \\ = \frac{5}{6} · 1 = \frac{5}{6}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{3}{17} · \frac{4}{5} - 1\frac{3}{17} · \frac{4}{5} = \left(2\frac{3}{17} - 1\frac{3}{17}\right) · \frac{4}{5}= \\ = 1 · \frac{4}{5} = \frac{4}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} 2\frac{3}{13} · 5 \frac{1}{5} - 2\frac{1}{13} · 5\frac{1}{5} = \left(2\frac{3}{13} - 2\frac{1}{13}\right) \times \\ \times 5\frac{1}{5} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{26}}}}{5} = \frac{2}{1} · \frac{2}{5} = \frac{4}{5}. \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $8 \cdot 4 + 8 \cdot 16$ применим распределительное свойство умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$. Вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8 \cdot 4 + 8 \cdot 16 = 8 \cdot (4 + 16) = 8 \cdot 20 = 160$.
Ответ: $160$.

б) Для вычисления выражения $39 \cdot 23 - 29 \cdot 23$ применим распределительное свойство умножения $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Вынесем общий множитель 23 за скобки:
$39 \cdot 23 - 29 \cdot 23 = (39 - 29) \cdot 23 = 10 \cdot 23 = 230$.
Ответ: $230$.

в) Для вычисления выражения $5 \cdot 13 + 15 \cdot 13$ вынесем общий множитель 13 за скобки, используя распределительное свойство:
$5 \cdot 13 + 15 \cdot 13 = (5 + 15) \cdot 13 = 20 \cdot 13 = 260$.
Ответ: $260$.

г) Для вычисления выражения $7 \cdot 21 - 2 \cdot 21$ вынесем общий множитель 21 за скобки:
$7 \cdot 21 - 2 \cdot 21 = (7 - 2) \cdot 21 = 5 \cdot 21 = 105$.
Ответ: $105$.

д) Для вычисления выражения $2,4 \cdot 21 + 2,4 \cdot 9$ вынесем общий множитель 2,4 за скобки:
$2,4 \cdot 21 + 2,4 \cdot 9 = 2,4 \cdot (21 + 9) = 2,4 \cdot 30 = 72$.
Ответ: $72$.

е) Для вычисления выражения $1,4 \cdot 0,6 - 0,6 \cdot 0,6$ вынесем общий множитель 0,6 за скобки:
$1,4 \cdot 0,6 - 0,6 \cdot 0,6 = (1,4 - 0,6) \cdot 0,6 = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48$.
Ответ: $0,48$.

ж) Для вычисления выражения $\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{9} + \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{9}$ вынесем общий множитель $\frac{5}{6}$ за скобки:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{9} + \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{9} = \frac{5}{6} \cdot (\frac{7}{9} + \frac{2}{9}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{7+2}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{9} = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

з) Для вычисления выражения $2\frac{3}{17} \cdot \frac{4}{5} - 1\frac{3}{17} \cdot \frac{4}{5}$ вынесем общий множитель $\frac{4}{5}$ за скобки:
$2\frac{3}{17} \cdot \frac{4}{5} - 1\frac{3}{17} \cdot \frac{4}{5} = (2\frac{3}{17} - 1\frac{3}{17}) \cdot \frac{4}{5} = 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

и) Для вычисления выражения $2\frac{3}{13} \cdot 5\frac{1}{5} - 2\frac{1}{13} \cdot 5\frac{1}{5}$ вынесем общий множитель $5\frac{1}{5}$ за скобки:
$(2\frac{3}{13} - 2\frac{1}{13}) \cdot 5\frac{1}{5} = (\frac{3}{13} - \frac{1}{13}) \cdot 5\frac{1}{5} = \frac{2}{13} \cdot \frac{26}{5} = \frac{2 \cdot 26}{13 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 13}{13 \cdot 5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

5.60. Найдите сумму подобных слагаемых:
а) –8х + 6х – 4х + 3х;
б) 4а – 7а + 3а – 10а;
в) 17с + 3с +10с – 5с;
г) –4,5х – х + 4,5х + х;
д) 5n + 7,3n – 7,7n – 5n;
е) –21c – 9c + 8,4c + 5,4c;
ж) 37m + 37m – 27m – 67m;
з) 13z – 56z + 12z – 512z;
и) y + 0,6y – 25y – 14y;
к) 0,6c – 0,73c – 35c + 34c.

5.60

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-8х + 6х – 4х + 3х = (-8 + 6 – 4 + 3) · х = \\ = -3х \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 4а – 7а + 3а – 10а = (4 – 7 + 3 – 10) · а = \\ = -10а \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 17с + 3с + 10с – 5с = (17 + 3 + 10 – 5) · с = \\ = 25с \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -4,5х – х + 4,5х + х = (-4,5 – 1 + 4,5 + 1) \times \\ \times х = 0 · х = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }5n + 7,3n – 7,7n – 5n = (5 + 7,3 – 7,7 – 5) · n = \\ = -0,4n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-21с – 9с + 8,4с + 5,4с = (-21 – 9 + 8,4 + 5,4) \times \\ \times с = -16,2с \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} \frac{3}{7}m + \frac{3}{7}m - \frac{2}{7}m - \frac{6}{7}m = \\ = \left(\frac{3}{7}+ \frac{3}{7} - \frac{2}{7} - \frac{6}{7}\right) · m = -\frac{2}{7}m \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} \frac{1}{3}z - \frac{5}{6}z + \frac{1}{2}z - \frac{5}{12}z = \\ = \left({\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} - {\frac{5}{6}}^{\overline{)·2}} + {\frac{1}{2}}^{\overline{)·6}} - \frac{5}{12} \right) · z = \\ = \left(\frac{4}{12} - \frac{10}{12} + \frac{6}{12} - \frac{5}{12} \right) · z = -\frac{5}{12}z \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} у + 0,6у -{\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}}у -{\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}}у = \\ = (1 + 0,6 – 0,4 – 0,25) · у = 0,95у \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)} 0,6с – 0,73с -{\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}с + {\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}с = \\ = (0,6 – 0,73 – 0,6 + 0,75) · с = 0,02с \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму подобных слагаемых в выражении $-8x + 6x - 4x + 3x$, необходимо сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть $x$.

Сложим коэффициенты: $(-8 + 6 - 4 + 3)x$.

$-8 + 6 = -2$

$-2 - 4 = -6$

$-6 + 3 = -3$

Результат: $-3x$.

Ответ: $-3x$.

б) В выражении $4a - 7a + 3a - 10a$ все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты.

$(4 - 7 + 3 - 10)a = (-3 + 3 - 10)a = (0 - 10)a = -10a$.

Ответ: $-10a$.

в) В выражении $17c + 3c + 10c - 5c$ все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты.

$(17 + 3 + 10 - 5)c = (20 + 10 - 5)c = (30 - 5)c = 25c$.

Ответ: $25c$.

г) В выражении $-4,5x - x + 4,5x + x$ все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты.

Сгруппируем слагаемые для удобства: $(-4,5x + 4,5x) + (-x + x)$.

$(-4,5 + 4,5)x + (-1 + 1)x = 0 \cdot x + 0 \cdot x = 0$.

Ответ: $0$.

д) В выражении $5n + 7,3n - 7,7n - 5n$ все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты.

Сгруппируем слагаемые: $(5n - 5n) + (7,3n - 7,7n)$.

$(5 - 5)n + (7,3 - 7,7)n = 0 \cdot n + (-0,4)n = -0,4n$.

Ответ: $-0,4n$.

е) В выражении $-21c - 9c + 8,4c + 5,4c$ все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты.

$(-21 - 9 + 8,4 + 5,4)c = (-30 + 13,8)c = -16,2c$.

Ответ: $-16,2c$.

ж) В выражении $\frac{3}{7}m + \frac{3}{7}m - \frac{2}{7}m - \frac{6}{7}m$ все слагаемые являются подобными. Так как у всех дробей общий знаменатель, сложим их числители.

$(\frac{3}{7} + \frac{3}{7} - \frac{2}{7} - \frac{6}{7})m = \frac{3 + 3 - 2 - 6}{7}m = \frac{6 - 8}{7}m = -\frac{2}{7}m$.

Ответ: $-\frac{2}{7}m$.

з) В выражении $\frac{1}{3}z - \frac{5}{6}z + \frac{1}{2}z - \frac{5}{12}z$ все слагаемые являются подобными. Приведем коэффициенты-дроби к общему знаменателю 12.

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$; $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$; $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$.

Получаем: $(\frac{4}{12} - \frac{10}{12} + \frac{6}{12} - \frac{5}{12})z = \frac{4 - 10 + 6 - 5}{12}z = \frac{-6 + 1}{12}z = -\frac{5}{12}z$.

Ответ: $-\frac{5}{12}z$.

и) В выражении $y + 0,6y - \frac{2}{5}y - \frac{1}{4}y$ все слагаемые являются подобными. Для удобства вычислений переведем все коэффициенты в десятичные дроби.

$\frac{2}{5} = 0,4$; $\frac{1}{4} = 0,25$. Коэффициент при $y$ равен 1.

Получаем: $(1 + 0,6 - 0,4 - 0,25)y = (1,6 - 0,4 - 0,25)y = (1,2 - 0,25)y = 0,95y$.

Ответ: $0,95y$.

к) В выражении $0,6c - 0,73c - \frac{3}{5}c + \frac{3}{4}c$ все слагаемые являются подобными. Переведем все коэффициенты в десятичные дроби.

$\frac{3}{5} = 0,6$; $\frac{3}{4} = 0,75$.

Получаем: $(0,6 - 0,73 - 0,6 + 0,75)c$.

Сгруппируем слагаемые: $(0,6 - 0,6) + (-0,73 + 0,75)c = (0 + 0,02)c = 0,02c$.

Ответ: $0,02c$.

5.61. Приведите подобные слагаемые:
а) 20х + y – 20y – х;
б) –4b + 5a + 4b + 5a;
в) –9c + 4,8n + 4c + 4n;
г) 5,3m + 4,7m – 7,1x + 25x;
д) 34z – 49y – 722z + 23y;
е) –9c + 8c – y + 13;
ж) 42a – 42 + 50 + 4a;
з) –s + 2r + 1,4s – 2,7r;
и) –24b + 12d + 2,4b - 1,2d;
к) 12a – 27c – 0,4a – 17c.

5.61

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 20х + у – 20у – х = (20х – х) + \\ + (у – 20у) = 19x – 19у \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4b + 5a + 4b + 5a = (-4b + 4b) + \\ + (5a + 5a) = 0 + 10a = 10a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-9c + 4,8n + 4c + 4n = (-9c + 4c) + \\ + (4,8n + 4n) = -5c + 8,8n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 5,3m + 4,7m – 7,1x + 25x = (5,3m + 4,7m) + \\ + (-7,1x + 25x) = 10m + (-17,9x) = 10m -17,9x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{3}{4}z - \frac{4}{9}y - \frac{7}{22}z + \frac{2}{3}y = \left({\frac{3}{4}z}^{\overline{)·11}} - {\frac{7}{22}}^{\overline{)·2}}z\right) + \\ + \left(- \frac{4}{9}y + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}}y \right) = \left(\frac{33}{44}z - \frac{14}{44}z\right) + \\ + \left(- \frac{4}{9}y + \frac{6}{9}y \right) =\frac{19}{44}z + \frac{2}{9}y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-9c + 8c – y + 13 = (-9c + 8c) – \\ - y + 13 = -c – y + 13 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }–s + 2r + 1,4s – 2,7r = (-s + 1,4s) + \\ + (2r – 2,7r) = 0,4s – 0,7r \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }-24b + 12d + 2,4b – 1,2d = (-24b + 2,4b) + \\ + (12d – 1,2d) = -21,6b + 10,8d \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}а - \frac{2}{7}с - 0,4а - \frac{1}{7}с = \left(0,5а - 0,4а\right)+ \\ + \left(-\frac{2}{7}с - \frac{1}{7}с\right) = -0,1а - \frac{3}{7}с \end{gathered}$$

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $20x + y - 20y - x$, нужно найти слагаемые с одинаковой буквенной частью, сгруппировать их и выполнить действия. Подобными являются $20x$ и $-x$, а также $y$ и $-20y$.
Сгруппируем их: $(20x - x) + (y - 20y)$.
Выполним вычитание в каждой группе: $(20 - 1)x + (1 - 20)y = 19x - 19y$.
Ответ: $19x - 19y$.

б) В выражении $-4b + 5a + 4b + 5a$ подобными являются слагаемые $-4b$ и $4b$, а также $5a$ и $5a$.
Сгруппируем их: $(5a + 5a) + (-4b + 4b)$.
Сложим коэффициенты при одинаковых переменных: $(5 + 5)a + (-4 + 4)b = 10a + 0 \cdot b = 10a$.
Ответ: $10a$.

в) В выражении $-9c + 4,8n + 4c + 4n$ подобными являются слагаемые $-9c$ и $4c$, а также $4,8n$ и $4n$.
Сгруппируем их: $(-9c + 4c) + (4,8n + 4n)$.
Сложим коэффициенты: $(-9 + 4)c + (4,8 + 4)n = -5c + 8,8n$.
Ответ: $-5c + 8,8n$.

г) В выражении $5,3m + 4,7m - 7,1x + 25x$ подобными являются $5,3m$ и $4,7m$, а также $-7,1x$ и $25x$.
Сгруппируем их: $(5,3m + 4,7m) + (25x - 7,1x)$.
Сложим коэффициенты: $(5,3 + 4,7)m + (25 - 7,1)x = 10m + 17,9x$.
Ответ: $10m + 17,9x$.

д) В выражении $\frac{3}{4}z - \frac{4}{9}y - \frac{7}{22}z + \frac{2}{3}y$ сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{3}{4}z - \frac{7}{22}z) + (\frac{2}{3}y - \frac{4}{9}y)$.
Для сложения дробей с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю.
Для слагаемых с $z$: общий знаменатель для 4 и 22 равен 44. $(\frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 11}z - \frac{7 \cdot 2}{22 \cdot 2}z) = (\frac{33}{44}z - \frac{14}{44}z) = \frac{19}{44}z$.
Для слагаемых с $y$: общий знаменатель для 3 и 9 равен 9. $(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}y - \frac{4}{9}y) = (\frac{6}{9}y - \frac{4}{9}y) = \frac{2}{9}y$.
Сложим полученные результаты: $\frac{19}{44}z + \frac{2}{9}y$.
Ответ: $\frac{2}{9}y + \frac{19}{44}z$.

е) В выражении $-9c + 8c - y + 13$ подобными являются только слагаемые $-9c$ и $8c$. Слагаемые $-y$ и $13$ не имеют подобных.
Сложим подобные слагаемые: $(-9 + 8)c - y + 13 = -1c - y + 13 = -c - y + 13$.
Ответ: $-c - y + 13$.

ж) В выражении $42a - 42 + 50 + 4a$ подобными являются слагаемые с переменной $a$ ($42a$ и $4a$) и числовые слагаемые ($-42$ и $50$).
Сгруппируем и сложим их: $(42a + 4a) + (50 - 42) = (42 + 4)a + 8 = 46a + 8$.
Ответ: $46a + 8$.

з) В выражении $-s + 2r + 1,4s - 2,7r$ подобными являются слагаемые с переменной $s$ ($-s$ и $1,4s$) и с переменной $r$ ($2r$ и $-2,7r$).
Сгруппируем их: $(-s + 1,4s) + (2r - 2,7r)$.
Сложим коэффициенты: $(-1 + 1,4)s + (2 - 2,7)r = 0,4s - 0,7r$.
Ответ: $0,4s - 0,7r$.

и) В выражении $-24b + 12d + 2,4b - 1,2d$ подобными являются слагаемые с переменной $b$ ($-24b$ и $2,4b$) и с переменной $d$ ($12d$ и $-1,2d$).
Сгруппируем их: $(-24b + 2,4b) + (12d - 1,2d)$.
Сложим коэффициенты: $(-24 + 2,4)b + (12 - 1,2)d = -21,6b + 10,8d$.
Ответ: $-21,6b + 10,8d$.

к) В выражении $\frac{1}{2}a - \frac{2}{7}c - 0,4a - \frac{1}{7}c$ сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{1}{2}a - 0,4a) + (-\frac{2}{7}c - \frac{1}{7}c)$.
Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Выполним действия со слагаемыми с $a$: $(\frac{1}{2}a - \frac{2}{5}a) = (\frac{5}{10}a - \frac{4}{10}a) = \frac{1}{10}a$.
Выполним действия со слагаемыми с $c$: $(-\frac{2}{7}c - \frac{1}{7}c) = (-\frac{2}{7} - \frac{1}{7})c = -\frac{3}{7}c$.
Объединим результаты: $\frac{1}{10}a - \frac{3}{7}c$.
Ответ: $\frac{1}{10}a - \frac{3}{7}c$.

5.62. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 2x – (2a – x);
б) –3b + (a – 3b);
в) 3 · (2x – y) + y;
г) –4 · (–a + 3c) – 5a;
д) 5n · (–2m – 4) + 20n;
е) 15k – 3k · (5 – 8m).

5.62

$\mathit{а}\mathbf{)} 2х – (2а – х) = 2х – 2а + х = 3х – 2а$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -3b + (a – 3b) = -3b + a – 3b = \\ = -6b + a \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · (2х – у) + у = 6х – 3у + у = 6х – 2у$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -4 · (-а + 3с) – 5а = 4а – 12с – 5а = \\ = -а – 12с \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 5n · (-2m – 4) + 20n = -10mn – \\ - 20n + 20n = -10mn \end{gathered}$$