Номер 5.129, страница 95, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

40. Решение уравнений. § 5. Решение уравнений. ч. 2 - номер 5.129, страница 95.

5.129. Когда для полива огорода из первой бочки израсходовали 14 имевшейся в ней воды, а из второй – 35, то в обеих бочках воды стало поровну. Найдите, сколько литров воды было в каждой бочке первоначально, если в двух бочках было 445 л воды.

5.129

Всего – 445л.

	Было	Израсходовали
1 бочка	? л	$\frac{1}{4}$ от всего
2 бочка	? л	$\frac{3}{5}$ от всего

Пусть х л воды – было в одной бочке, тогда (445 – х) л воды – было в другой бочке, $\left(1 - \frac{1}{4}\right) х = \frac{3}{4}х$ л воды – осталось в одной бочке,
$\left(1 - \frac{3}{5}\right) \left(445 - х\right)=\frac{2}{5} \left(445 - х\right)$ л воды – осталось в другой бочке. Зная, что воды в бочках осталось поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4}х = \frac{2}{5}\left(445 - х\right) \overline{)·20} \\ \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}х ·\stackrel{5}{ \cancel{20}} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}}\left(445 - х\right) · \stackrel{4}{\bcancel{20}}; \\ \frac{3}{1}х · 5 = \frac{2}{1}\left(445 - х\right) · 4; \\ 15x = 8 (445 – х) \\ 15х = 3560 – 8х ; \\ 15х + 8х = 3560; \\ 23х = 3560; \\ х = 3560 : 23 \end{gathered}$$

$х= \frac{3560}{23} = 154\frac{18}{23}$ (л) воды – было в одной бочке ;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 445 - 154\frac{18}{23} = 444\frac{23}{23} - 154\frac{18}{23} = 290 \frac{5}{23}$ (л) воды – было в другой бочке.

Ответ: $154\frac{18}{23} \mathrm{л} \mathrm{и} 290 \frac{5}{23} \mathrm{л}$

Если в учебники опечатка и в двух бочках 345 л воды, тогда
Пусть х л воды – было в одной бочке, тогда (345 – х) л воды – было в другой бочке, $\left(1 - \frac{1}{4}\right)х = \frac{3}{4}х$ л воды – осталось в одной бочке,
$\left(1 - \frac{3}{5}\right)\left(345 - х\right) = \frac{2}{5}\left(345 - х\right)$ л воды – осталось в другой бочке. Зная, что воды в бочках осталось поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} х = \frac{2}{5} \left(345 - х\right) \overline{)· 20} \\ \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} х · \stackrel{5}{\bcancel{20}} = \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} \left(345 - х\right) ·\stackrel{4}{ \cancel{20}} \\ \frac{3}{1} х · 5 = \frac{2}{1} \left(345 - х\right) · 4 \\ 15x = 8 (345 – х) \\ 15х = 2760 – 8х ; \\ 15х + 8х = 2760; \\ 23х = 2760; \\ х = 2760 : 23 \end{gathered}$$

х = 120 (л) воды – было в одной бочке ;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 345 – 120 = 225$(л) воды – было в другой бочке.

Ответ: 120 л и 225 л

Обозначим первоначальное количество воды в первой бочке как $x$ литров, а во второй бочке — как $y$ литров.Согласно условию задачи, всего в двух бочках было 445 литров воды. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 445$

Из первой бочки израсходовали $\frac{1}{4}$ воды, следовательно, в ней осталось $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от первоначального объема, то есть $\frac{3}{4}x$ литров.

Из второй бочки израсходовали $\frac{3}{5}$ воды, следовательно, в ней осталось $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ от первоначального объема, то есть $\frac{2}{5}y$ литров.

По условию, после расхода воды в обеих бочках ее стало поровну. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 445 \\ \frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y \end{cases} $$

Из второго уравнения найдем соотношение между $x$ и $y$. Для этого выразим отношение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{2}{5} : \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$

Это означает, что объемы воды в бочках относятся как $8:15$. Мы можем сказать, что первоначальный объем воды в первой бочке составляет 8 частей, а во второй — 15 таких же частей. Общий объем воды в двух бочках составляет $8 + 15 = 23$ части.

Весь объем воды, 445 литров, соответствует 23 частям. Найдем, сколько литров составляет одна часть:

$445 : 23 = \frac{445}{23}$ л.

Теперь найдем первоначальный объем воды в каждой бочке.

Объем в первой бочке ($x$) равен 8 частям:

$x = 8 \cdot \frac{445}{23} = \frac{3560}{23} = 154\frac{18}{23}$ л.

Объем во второй бочке ($y$) равен 15 частям:

$y = 15 \cdot \frac{445}{23} = \frac{6675}{23} = 290\frac{5}{23}$ л.

Проверим, что сумма объемов равна 445 л:

$154\frac{18}{23} + 290\frac{5}{23} = (154+290) + (\frac{18}{23} + \frac{5}{23}) = 444 + \frac{23}{23} = 444 + 1 = 445$ л.

Проверка верна.

Ответ: первоначально в первой бочке было $154\frac{18}{23}$ л воды, а во второй — $290\frac{5}{23}$ л воды.