Страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.231. Из двух селений одновременно навстречу друг другу вышли трактор и гужевая повозка. Каждый час расстояние между ними уменьшалось на 283140 км. Найдите скорость трактора, если скорость гужевой повозки 758 км/ч.

2.231

Скорость гужевой - $7\frac{5}{8}$ км/ч

Скорость трактора - ? км/ч

Скорость сближения - $28\frac{31}{40}$ км/ч

$28\frac{31}{40}-{7\frac{5}{8}}^{\overline{)·5}}=28\frac{31}{40}-7\frac{25}{40}=21\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{40}}}}=21\frac{3}{20}$ (км/ч) – скорость трактора

Ответ: $21\frac{3}{20}$ км/ч.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, скорость их сближения равна сумме их скоростей. В условии задачи дано, что расстояние между трактором и гужевой повозкой каждый час уменьшалось на $28\frac{31}{40}$ км. Это и есть их скорость сближения.

Обозначим скорость трактора как $v_{т}$, а скорость гужевой повозки как $v_{п}$. Тогда скорость их сближения $v_{сбл}$ равна:

$v_{сбл} = v_{т} + v_{п}$

По условию, нам известны скорость сближения $v_{сбл} = 28\frac{31}{40}$ км/ч и скорость повозки $v_{п} = 7\frac{5}{8}$ км/ч. Чтобы найти скорость трактора, нужно из скорости сближения вычесть скорость повозки:

$v_{т} = v_{сбл} - v_{п} = 28\frac{31}{40} - 7\frac{5}{8}$

Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 40 и 8 это 40.

$7\frac{5}{8} = 7\frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = 7\frac{25}{40}$

Теперь выполним вычитание:

$28\frac{31}{40} - 7\frac{25}{40} = (28 - 7) + (\frac{31}{40} - \frac{25}{40}) = 21 + \frac{31 - 25}{40} = 21 + \frac{6}{40} = 21\frac{6}{40}$

Сократим полученную дробь $\frac{6}{40}$, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

Следовательно, скорость трактора составляет $21\frac{3}{20}$ км/ч.

Ответ: $21\frac{3}{20}$ км/ч.

2.232. Мотоциклист обогнал автобус и стал удаляться от него со скоростью 310 км/мин. С какой скоростью двигался мотоциклист, если скорость автобуса 1415 км/мин?

2.232

v удаления – $\frac{3}{10}$ км/мин

v автобуса – $1\frac{4}{15}$ км/мин

v мотоциклиста - ? км/мин

${1\frac{4}{15}}^{\overline{)·2}}+{\frac{3}{10}}^{\overline{)·3}}=1\frac{8}{30}+\frac{9}{30}=1\frac{17}{30}$(км/ч) – скорость мотоциклиста

Ответ: $1\frac{17}{30}$ км/ч.

В данной задаче речь идет о движении вдогонку, где мотоциклист уже обогнал автобус и продолжает удаляться. Скорость, с которой мотоциклист удаляется от автобуса, называется скоростью удаления. Она равна разности скоростей мотоциклиста и автобуса, поскольку скорость мотоциклиста больше.

Пусть $v_м$ — искомая скорость мотоциклиста, $v_а$ — скорость автобуса, а $v_{уд}$ — скорость их удаления друг от друга.

Соотношение между скоростями можно выразить формулой:
$v_{уд} = v_м - v_а$

Из этой формулы выразим скорость мотоциклиста:
$v_м = v_а + v_{уд}$

Нам даны значения:
$v_а = 1\frac{4}{15}$ км/мин
$v_{уд} = \frac{3}{10}$ км/мин

Теперь подставим числовые значения в формулу и найдем скорость мотоциклиста. Для этого сложим скорость автобуса и скорость удаления.
$v_м = 1\frac{4}{15} + \frac{3}{10}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 15 и 10 равен 30.
Сначала представим смешанное число в виде суммы целой и дробной части или переведем в неправильную дробь: $1\frac{4}{15} = \frac{19}{15}$.
$v_м = \frac{19}{15} + \frac{3}{10}$

Приводим дроби к знаменателю 30:
$\frac{19}{15} = \frac{19 \times 2}{15 \times 2} = \frac{38}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$

Теперь выполним сложение:
$v_м = \frac{38}{30} + \frac{9}{30} = \frac{38 + 9}{30} = \frac{47}{30}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{47}{30} = 1\frac{17}{30}$

Следовательно, скорость мотоциклиста равна $1\frac{17}{30}$ км/мин.

Ответ: $1\frac{17}{30}$ км/мин.

2.233. Выполните действия:

а) 247 + 31 + 41321 + 537 + 3114 + 821;

б) 7720 – 4,75 + 345;

в) 9715 – (519 + 2215);

г) (2289 + 217) – 959.

2.233

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 2\frac{4}{7}+31+4\frac{13}{21}+5\frac{3}{7}+3\frac{1}{14}+\frac{8}{21}= \\ =\left(2\frac{4}{7}+5\frac{3}{7}\right)+\left(4\frac{13}{21}+\frac{8}{21}\right)+31 +3\frac{1}{14}= \\ =7\frac{7}{7}+4\frac{21}{21}+34\frac{1}{14}=8 + 5 +34\frac{1}{14}=47\frac{1}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 7\frac{7}{20}-4,75 +3\frac{4}{5}=7\frac{7}{20}-4\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}+3\frac{4}{5}= \\ =7\frac{7}{20}-{4\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}}+{3\frac{4}{5}}^{\overline{)·4}}=7\frac{7}{20}-4\frac{15}{20}+3\frac{16}{20}= \\ =6\frac{27}{20}-4\frac{15}{20}+3\frac{16}{20}=(6 - 4 + 3) +\left(\frac{27}{20}-\frac{15}{20}+\frac{16}{20}\right)= \\ =5 +\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}}=5 +\frac{7}{5}=5 +1\frac{2}{5}=6\frac{2}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} {9\frac{7}{15}}^{\overline{)·3}}-\left({5\frac{1}{9}}^{\overline{)·5}}+{2\frac{2}{15}}^{\overline{)·3}}\right)=9\frac{21}{45}- \\ - \left(5\frac{5}{45}+2\frac{6}{45}\right)=9\frac{21}{45}-7\frac{11}{45}=2\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{45}}}}=2\frac{2}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \left({22\frac{8}{9}}^{\overline{)·7}}+{2\frac{1}{7}}^{\overline{)·9}}\right)-{9\frac{5}{9}}^{\overline{)·7}}=22\frac{56}{63}+2\frac{9}{63}- \\ -9\frac{35}{63}=\left(22 + 2 - 9\right) + \left(\frac{56}{63} + \frac{9}{63}- \frac{35}{63}\right)= \\ =15\frac{{\displaystyle \stackrel{10}{\cancel{30}}}}{{\displaystyle \underset{21}{\cancel{63}}}}=15\frac{10}{21} \end{gathered}$$

а) $2\frac{4}{7} + 31 + 4\frac{13}{21} + 5\frac{3}{7} + 3\frac{1}{14} + \frac{8}{21}$
Для решения сгруппируем целые части и дробные части отдельно.
1. Сложим целые части: $2 + 31 + 4 + 5 + 3 = 45$.
2. Сложим дробные части. Для удобства сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}) + (\frac{13}{21} + \frac{8}{21}) + \frac{1}{14} = \frac{7}{7} + \frac{21}{21} + \frac{1}{14}$
Так как $\frac{7}{7} = 1$ и $\frac{21}{21} = 1$, получаем:
$1 + 1 + \frac{1}{14} = 2\frac{1}{14}$.
3. Сложим результат сложения целых и дробных частей:
$45 + 2\frac{1}{14} = 47\frac{1}{14}$.
Ответ: $47\frac{1}{14}$.

б) $7\frac{7}{20} - 4,75 + 3\frac{4}{5}$
Сначала преобразуем десятичную дробь $4,75$ в смешанное число.
$4,75 = 4\frac{75}{100} = 4\frac{3}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $7\frac{7}{20} - 4\frac{3}{4} + 3\frac{4}{5}$.
1. Выполним действия с целыми частями: $7 - 4 + 3 = 6$.
2. Выполним действия с дробными частями. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20, 4 и 5 - это 20.
$\frac{7}{20} - \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{7}{20} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{7}{20} - \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{7 - 15 + 16}{20} = \frac{8}{20}$.
Сократим полученную дробь: $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
3. Сложим результат целой и дробной частей: $6 + \frac{2}{5} = 6\frac{2}{5}$.
Ответ: $6\frac{2}{5}$.

в) $9\frac{7}{15} - (5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15})$
1. Сначала выполним действие в скобках: $5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15}$.
Сложим целые части: $5+2=7$.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 45:
$\frac{1}{9} + \frac{2}{15} = \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{5}{45} + \frac{6}{45} = \frac{11}{45}$.
Результат в скобках: $7\frac{11}{45}$.
2. Теперь выполним вычитание: $9\frac{7}{15} - 7\frac{11}{45}$.
Приведем дробную часть уменьшаемого к знаменателю 45: $9\frac{7}{15} = 9\frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = 9\frac{21}{45}$.
$9\frac{21}{45} - 7\frac{11}{45} = (9-7) + (\frac{21}{45} - \frac{11}{45}) = 2 + \frac{10}{45}$.
Сократим дробную часть: $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$.
Окончательный результат: $2\frac{2}{9}$.
Ответ: $2\frac{2}{9}$.

г) $(22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7}) - 9\frac{5}{9}$
Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые для упрощения вычислений:
$22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7} - 9\frac{5}{9} = (22\frac{8}{9} - 9\frac{5}{9}) + 2\frac{1}{7}$.
1. Выполним вычитание в скобках:
$22\frac{8}{9} - 9\frac{5}{9} = (22-9) + (\frac{8}{9} - \frac{5}{9}) = 13 + \frac{3}{9} = 13\frac{1}{3}$.
2. Теперь прибавим оставшееся слагаемое: $13\frac{1}{3} + 2\frac{1}{7}$.
Сложим целые части: $13+2=15$.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 21:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} + \frac{3}{21} = \frac{10}{21}$.
3. Объединим целую и дробную части: $15\frac{10}{21}$.
Ответ: $15\frac{10}{21}$.

2.234. Вычислите.

2.234

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 12 · 8 = 96 \\ 96 + 14 = 110 \\ 110 : 11 = 10 \\ 10 · 15 = 150 \\ 150 : 25 = 6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 16 · 3 = 48 \\ 48 : 12 = 4 \\ 4 ·13 = 52 \\ 52 + 38 = 90 \\ 90 : 18 = 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 1 : 2 = 0,5 \\ 0,5 · 0,6 = 0,3 \\ 0,3 + 6 = 6,3 \\ 6,3 : 0,7 = 63 : 7 = 9 \\ 9 – 3,4 = 5,6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 3,2 – 2 = 1,2 \\ 1,2 · 5 = 6 \\ 6 : 0,1 = 60 : 1 = 60 \\ 60 : 1,5 = 600 : 15 = 40 \\ 40 · 0,01 = 0,4 \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления последовательно, шаг за шагом:
1) Первое действие — умножение: $12 \cdot 8 = 96$.
2) Второе действие — сложение: $96 + 14 = 110$.
3) Третье действие — деление: $110 : 11 = 10$.
4) Четвертое действие — умножение: $10 \cdot 15 = 150$.
5) Пятое действие — деление: $150 : 25 = 6$.
Ответ: 6

б) Выполним вычисления последовательно, шаг за шагом:
1) Первое действие — умножение: $16 \cdot 3 = 48$.
2) Второе действие — деление: $48 : 12 = 4$.
3) Третье действие — умножение: $4 \cdot 13 = 52$.
4) Четвертое действие — сложение: $52 + 38 = 90$.
5) Пятое действие — деление: $90 : 18 = 5$.
Ответ: 5

в) Выполним вычисления последовательно, шаг за шагом:
1) Первое действие — деление: $1 : 2 = 0,5$.
2) Второе действие — умножение: $0,5 \cdot 0,6 = 0,3$.
3) Третье действие — сложение: $0,3 + 6 = 6,3$.
4) Четвертое действие — деление: $6,3 : 0,7 = 63 : 7 = 9$.
5) Пятое действие — вычитание: $9 - 3,4 = 5,6$.
Ответ: 5,6

г) Выполним вычисления последовательно, шаг за шагом:
1) Первое действие — вычитание: $3,2 - 2 = 1,2$.
2) Второе действие — умножение: $1,2 \cdot 5 = 6$.
3) Третье действие — деление: $6 : 0,1 = 60$.
4) Четвертое действие — деление: $60 : 1,5 = 600 : 15 = 40$.
5) Пятое действие — умножение: $40 \cdot 0,01 = 0,4$.
Ответ: 0,4

2.235. Найдите числа, которых не хватает на схеме справа.

2.235

$$\begin{gathered} 6 : 3=2 \\ 6 · \frac{1}{3}=2 \\ 6 ·10=60 \\ 6 : 0,1=60 \\ 6 · 1=6 \\ 6 : 1=6 \\ 6 : 0,2=60:2=30 \\ 6 · 5=30 \end{gathered}$$

Данная схема представляет собой набор из четырех независимых задач, связанных с центральным числом 6. Для каждого из четырех внешних кругов необходимо найти недостающие числа, выполнив указанные математические действия. Будем двигаться по часовой стрелке, начиная с верхнего левого круга.

Верхний левый круг
Сначала найдем число в большом бежевом круге. Стрелка, идущая от этого круга к центру (к числу 6), указывает на операцию деления на 3. Это означает, что если число в большом круге (обозначим его как $x$) разделить на 3, то получится 6. Составим уравнение: $x : 3 = 6$. Для нахождения $x$ выполним обратное действие — умножение: $x = 6 \cdot 3 = 18$.
Теперь найдем число в маленьком белом круге на стрелке, идущей от центра к большому кругу. Эта стрелка показывает, что число 6 нужно разделить на неизвестное число (обозначим его как $y$), чтобы получить найденное нами число 18. Составим уравнение: $6 : y = 18$. Для нахождения $y$ разделим 6 на 18: $y = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: число в большом круге — 18, число в малом круге — $\frac{1}{3}$.

Верхний правый круг
Найдем число в большом бежевом круге. Стрелка от этого круга к центру указывает на операцию умножения на 10. Обозначим искомое число как $x$. Получаем уравнение: $x \cdot 10 = 6$. Для нахождения $x$ выполним обратное действие — деление: $x = 6 : 10 = 0,6$.
Теперь найдем число в маленьком белом круге. Стрелка от центра (числа 6) к большому кругу показывает, что 6 нужно разделить на неизвестное число $y$, чтобы получить 0,6. Составим уравнение: $6 : y = 0,6$. Для нахождения $y$ разделим 6 на 0,6: $y = 6 : 0,6 = 10$.
Ответ: число в большом круге — 0,6, число в малом круге — 10.

Нижний правый круг
Найдем число в большом бежевом круге. Стрелка от центра к этому кругу указывает на операцию умножения на 1. Обозначим искомое число как $x$. Выполним действие: $x = 6 \cdot 1 = 6$.
Теперь найдем числа в двух маленьких белых кругах. Стрелка от большого круга (с числом 6) к центру показывает две последовательные операции деления на неизвестные числа $y_1$ и $y_2$. Составим уравнение: $6 : y_1 : y_2 = 6$. Это уравнение можно записать как $\frac{6}{y_1 \cdot y_2} = 6$. Из этого следует, что $y_1 \cdot y_2 = 1$. Так как для подобных задач обычно предполагается наиболее простое и однозначное решение, логично предположить, что оба неизвестных числа равны 1.
Ответ: число в большом круге — 6, числа в малых кругах — 1 и 1.

Нижний левый круг
Найдем число в большом бежевом круге. Стрелка от этого круга к центру указывает на операцию деления на 0,2. Обозначим искомое число как $x$. Получаем уравнение: $x : 0,2 = 6$. Для нахождения $x$ выполним обратное действие — умножение: $x = 6 \cdot 0,2 = 1,2$.
Теперь найдем число в маленьком белом круге. Стрелка от центра к большому кругу показывает, что число 6 нужно умножить на неизвестное число $y$, чтобы получить 1,2. Составим уравнение: $6 \cdot y = 1,2$. Для нахождения $y$ разделим 1,2 на 6: $y = 1,2 : 6 = 0,2$.
Ответ: число в большом круге — 1,2, число в малом круге — 0,2.

2.236. При каких натуральных значениях k выполняется неравенство:

а) k11 < 1366; б) k95 < 219; в) k7 < 856?

2.236

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} {\frac{k}{11}}^{\overline{)·6}}=\frac{6 · k}{66} \\ \frac{6 · k}{66} <\frac{13}{66}; k = 1; 2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} {\frac{2}{19}}^{\overline{)·5}}=\frac{10}{95} \\ \frac{k}{95}<\frac{10}{95}; k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} {\frac{k}{7}}^{\overline{)·8}}=\frac{8 · k}{56} \\ \frac{8 · k}{56} <\frac{8}{56}; \mathrm{нет} \mathrm{таких} k \end{gathered}$$

а) Чтобы решить неравенство $\frac{k}{11} < \frac{13}{66}$, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 66 — это 66. Для этого умножим числитель и знаменатель левой дроби на 6:
$\frac{k \cdot 6}{11 \cdot 6} < \frac{13}{66}$
$\frac{6k}{66} < \frac{13}{66}$
Поскольку знаменатели дробей равны и положительны, мы можем сравнить их числители:
$6k < 13$
Теперь найдем $k$, разделив обе части неравенства на 6:
$k < \frac{13}{6}$
$k < 2\frac{1}{6}$
По условию, $k$ — натуральное число. Натуральные числа, которые меньше $2\frac{1}{6}$, — это 1 и 2.
Ответ: 1, 2.

б) Рассмотрим неравенство $\frac{k}{95} < \frac{2}{19}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $95 = 19 \cdot 5$. Значит, наименьший общий знаменатель — 95. Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 5:
$\frac{k}{95} < \frac{2 \cdot 5}{19 \cdot 5}$
$\frac{k}{95} < \frac{10}{95}$
Сравниваем числители, так как знаменатели равны:
$k < 10$
Поскольку $k$ — натуральное число, оно может принимать все целые значения от 1 до 9.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

в) Решим неравенство $\frac{k}{7} < \frac{8}{56}$. Сначала можно упростить правую часть неравенства, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\frac{8}{56} = \frac{8 \div 8}{56 \div 8} = \frac{1}{7}$
Теперь неравенство выглядит так:
$\frac{k}{7} < \frac{1}{7}$
Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители:
$k < 1$
В условии задачи сказано, что $k$ — натуральное число. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Не существует натуральных чисел, которые меньше 1.
Ответ: таких натуральных значений $k$ не существует.

2.237. Каждое ребро куба уменьшили на 40 %. На сколько процентов уменьшится объём куба?

2.237

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% - 40\% = 60\% = 0,6$ – стало составлять ребро куба

$\mathbf{2}\mathbf{)} 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216 = 21,6\%$- стал составлять объем куба

$\mathbf{3}\mathbf{)} 100\% - 21,6\% = 78,4\%$- на столько уменьшился объем куба

Ответ: на 78,4%.

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$.

Тогда первоначальный объём куба $V_1$ вычисляется по формуле: $V_1 = a^3$

Согласно условию, каждое ребро куба уменьшили на 40%. Найдем новую длину ребра $a_2$. Уменьшение на 40% означает, что новая длина составит $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной.

Выразим 60% в виде десятичной дроби: $60\% = 0.6$. Тогда новая длина ребра: $a_2 = 0.6 \cdot a$

Теперь вычислим новый объём куба $V_2$ с ребром $a_2$: $V_2 = (a_2)^3 = (0.6a)^3 = 0.6^3 \cdot a^3$

Вычислим $0.6^3$: $0.6 \times 0.6 \times 0.6 = 0.36 \times 0.6 = 0.216$

Таким образом, новый объём равен: $V_2 = 0.216 \cdot a^3$

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшился объём, нужно найти разницу между первоначальным и новым объёмами, а затем поделить эту разницу на первоначальный объём и умножить на 100%.

Разница объёмов (абсолютное уменьшение): $\Delta V = V_1 - V_2 = a^3 - 0.216a^3 = (1 - 0.216)a^3 = 0.784a^3$

Процентное уменьшение: $\frac{\Delta V}{V_1} \cdot 100\% = \frac{0.784a^3}{a^3} \cdot 100\% = 0.784 \cdot 100\% = 78.4\%$

Следовательно, объём куба уменьшился на 78.4%.

Ответ: 78.4%.

2.238. Коля вышел из дома в 7 ч 20 мин. На дорогу до школы он потратил 25 мин, а вернулся из школы в 14 ч 35 мин. Сколько времени Коля пробыл в школе, если на дорогу до дома он потратил 36 мин?

2.238

Вышел - в 7 ч 20 мин

Вернулся - в 14 ч 35 мин

На дорогу до школы - 25 мин

На дорогу до дома - 36 мин

В школе - ? мин

$\mathbf{1}\mathbf{)} 25 + 36 = 61 (\mathrm{мин}) = 1 \mathrm{ч} 1 \mathrm{мин}.$– затратил на дорогу

$\mathbf{2}\mathbf{)} 14 \mathrm{ч} 35 \mathrm{мин} – 7 \mathrm{ч} 20 \mathrm{мин} = 7 \mathrm{ч} 15 \mathrm{мин}.$– отсутствовал Коля

$\mathbf{3}\mathbf{)} 7 \mathrm{ч} 15 \mathrm{мин}. – 1 \mathrm{ч} 1 \mathrm{мин}. = 6 \mathrm{ч} 14 \mathrm{мин}.$– пробыл Коля в школе

Ответ: 6 ч 14 мин.

Для решения задачи необходимо найти время, когда Коля пришел в школу, и время, когда он ушел из школы. Разница между этими двумя моментами времени и будет ответом на вопрос.

1. Вычислим время прибытия Коли в школу.

Коля вышел из дома в 7 ч 20 мин и шел до школы 25 минут. Чтобы найти время прибытия, нужно ко времени выхода из дома прибавить время в пути:

$7 \text{ ч } 20 \text{ мин } + 25 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 45 \text{ мин }$

Таким образом, Коля пришел в школу в 7 часов 45 минут.

2. Вычислим время ухода Коли из школы.

Коля вернулся домой в 14 ч 35 мин, а дорога домой заняла 36 минут. Чтобы найти, во сколько он ушел из школы, нужно от времени возвращения домой отнять время, затраченное на дорогу:

$14 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 36 \text{ мин }$

Так как из 35 минут невозможно вычесть 36 минут, мы представим 14 часов 35 минут в другом виде, "заняв" 1 час (60 минут) из 14 часов:

$14 \text{ ч } 35 \text{ мин } = 13 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 35 \text{ мин } = 13 \text{ ч } 95 \text{ мин }$

Теперь выполним вычитание:

$13 \text{ ч } 95 \text{ мин } - 36 \text{ мин } = 13 \text{ ч } 59 \text{ мин }$

Следовательно, Коля ушел из школы в 13 часов 59 минут.

3. Вычислим, сколько времени Коля пробыл в школе.

Теперь, зная время прибытия в школу (7 ч 45 мин) и время ухода из нее (13 ч 59 мин), мы можем найти общую продолжительность пребывания в школе. Для этого вычтем из времени ухода время прибытия:

$13 \text{ ч } 59 \text{ мин } - 7 \text{ ч } 45 \text{ мин } = (13 - 7) \text{ ч } (59 - 45) \text{ мин } = 6 \text{ ч } 14 \text{ мин }$

Ответ: Коля пробыл в школе 6 часов 14 минут.

2.239. а) Является ли любой ромб квадратом?

б) Является ли любой ромб правильным многоугольником?

в) Является ли любой квадрат ромбом?

2.239

а) не является, так как не у всех ромбов все углы по 90⁰

б) не является, так как ромба углы не всегда равны

в) является, так как у квадрата все стороны равны

а) Нет, не любой ромб является квадратом. Чтобы ответить на этот вопрос, сравним определения этих фигур.
Ромб — это параллелограмм (и, следовательно, четырёхугольник), у которого все стороны равны.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, что также означает, что это четырёхугольник с равными сторонами и всеми углами, равными $90^\circ$.
Из определений следует, что квадрат — это частный случай ромба, а именно ромб с прямыми углами. Однако существуют ромбы, углы которых не являются прямыми. Например, ромб с острыми углами в $60^\circ$ и тупыми углами в $120^\circ$ не является квадратом. Таким образом, утверждение, что любой ромб — это квадрат, является неверным.

Ответ: Нет.

б) Нет, не любой ромб является правильным многоугольником.
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны (является равносторонним) и все углы (является равноугольным).
Ромб по определению является равносторонним четырёхугольником. Однако он не всегда является равноугольным. Углы ромба равны между собой только в том случае, если он является квадратом (все углы по $90^\circ$). В общем случае у ромба равны только противолежащие углы.
Поскольку для произвольного ромба не выполняется условие равенства всех углов, он не является правильным многоугольником.

Ответ: Нет.

в) Да, любой квадрат является ромбом.
Снова обратимся к определениям. Главное свойство, определяющее ромб, — это равенство длин всех его четырёх сторон.
Квадрат определяется как четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы — прямые.
Поскольку у любого квадрата все стороны равны, он полностью удовлетворяет определению ромба. Дополнительное условие о прямых углах ($90^\circ$) делает квадрат лишь частным случаем ромба. Следовательно, каждый квадрат — это ромб.

Ответ: Да.

2.240. Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

2.240

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$– переместительное свойство

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+ b}{c}=\frac{b + a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$

$\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}$– сочетательное свойство

$$\begin{gathered} \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)=\frac{a}{c}+\frac{b +d}{c}= \\ =\frac{a +b+d}{c}=\frac{a +b}{c}+\frac{d}{c}=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}. \end{gathered}$$

Переместительное свойство

Требуется доказать переместительное (коммутативное) свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями. Это свойство утверждает, что для любых дробей $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$ (где $a, b, c$ — натуральные числа) выполняется равенство:
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

Доказательство:

1. Начнем с левой части равенства и применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений):
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

2. В числителе полученной дроби находится сумма натуральных чисел $a$ и $b$. Для сложения натуральных чисел действует переместительное свойство: $a + b = b + a$.

3. Используем это свойство для преобразования числителя:
$\frac{a+b}{c} = \frac{b+a}{c}$

4. Теперь представим дробь $\frac{b+a}{c}$ в виде суммы дробей, применив правило сложения в обратном порядке:
$\frac{b+a}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

5. Объединив шаги, мы получаем цепочку равенств: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} = \frac{b+a}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$.
Таким образом, мы доказали, что левая часть исходного равенства равна правой.

Ответ: Переместительное свойство $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$ для дробей с одинаковыми знаменателями доказано.

Сочетательное свойство

Требуется доказать сочетательное (ассоциативное) свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями. Это свойство утверждает, что для любых дробей $\frac{a}{c}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{d}{c}$ (где $a, b, d, c$ — натуральные числа) выполняется равенство:
$(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$

Доказательство:

1. Преобразуем левую часть равенства. Сначала выполним сложение в скобках:
$(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a+b}{c} + \frac{d}{c}$

2. Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{a+b}{c} + \frac{d}{c} = \frac{(a+b)+d}{c}$

3. В числителе дроби находится сумма натуральных чисел $a, b, d$. Для сложения натуральных чисел действует сочетательное свойство: $(a + b) + d = a + (b + d)$.

4. Применим это свойство к числителю:
$\frac{(a+b)+d}{c} = \frac{a+(b+d)}{c}$

5. Теперь выполним преобразования в обратном порядке, чтобы получить правую часть исходного равенства. "Разделим" числитель на два слагаемых:
$\frac{a+(b+d)}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b+d}{c}$

6. И еще раз проделаем то же самое для второй дроби:
$\frac{a}{c} + \frac{b+d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$

7. Таким образом, мы получили цепочку равенств: $(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{(a+b)+d}{c} = \frac{a+(b+d)}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$.
Это доказывает, что левая часть исходного равенства равна правой.

Ответ: Сочетательное свойство $(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$ для дробей с одинаковыми знаменателями доказано.

2.241. Вычислите:

а) 12 – 27; б) 56 + 110; в) 35 – 415; г) 14 + 19; д) 0 + 411; е) 56 + 215; ж) 3160 – 1745; з) 2345 – 2960; и) 2122 + 855; к) 919 – 0.

2.241

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}-{\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}=\frac{7}{14}-\frac{4}{14}=\frac{3}{14}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} {\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}+{\frac{1}{10}}^{\overline{)·3}}=\frac{25}{30}+\frac{3}{30}=\frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{28}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{30}}}}=\frac{14}{15}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·3}}-\frac{4}{15}=\frac{9}{15}-\frac{4}{15}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}}=\frac{1}{3}$

$\mathit{г}\mathbf{)} {\frac{1}{4}}^{\overline{)·9}}+{\frac{1}{9}}^{\overline{)·4}}=\frac{9}{36}+\frac{4}{36}=\frac{13}{36}$

$\mathbf{д}\mathbf{)} 0 + \frac{4}{11}=\frac{4}{11}$

$\mathbf{е}\mathbf{)} {\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}+{\frac{2}{15}}^{\overline{)·2}}=\frac{25}{30}+\frac{4}{30}=\frac{29}{30}$

$\mathit{ж}\mathbf{)} {\frac{31}{60}}^{\overline{)·3}}-{\frac{17}{45}}^{\overline{)·4}}=\frac{93}{180}-\frac{68}{180}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{36}{\cancel{180}}}}=\frac{5}{36}$

$\mathit{з}\mathbf{)} {\frac{23}{45}}^{\overline{)·4}}-{\frac{29}{60}}^{\overline{)·3}}=\frac{92}{180}-\frac{87}{180}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{36}{\cancel{180}}}}=\frac{1}{36}$

$\mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{21}{22}}^{\overline{)·5}}+{\frac{8}{55}}^{\overline{)·2}}=\frac{105}{110}+\frac{16}{110}=\frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{121}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{110}}}}=\frac{11}{10}=1\frac{1}{10}$

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{9}{19}-0=\frac{9}{19}$

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{7}$ наименьшим общим знаменателем (НОЗ) является 14.
Приведем каждую дробь к знаменателю 14:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$
$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{7} = \frac{7}{14} - \frac{4}{14} = \frac{7 - 4}{14} = \frac{3}{14}$
Ответ: $\frac{3}{14}$

б) Для сложения дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{10}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(6, 10) = 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$\frac{5}{6} + \frac{1}{10} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{25}{30} + \frac{3}{30} = \frac{25 + 3}{30} = \frac{28}{30}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\frac{28 \div 2}{30 \div 2} = \frac{14}{15}$
Ответ: $\frac{14}{15}$

в) Для вычитания дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{15}$ найдем общий знаменатель. Так как 15 делится на 5, НОЗ(5, 15) = 15.
Приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 15:
$\frac{3}{5} - \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{15} = \frac{9}{15} - \frac{4}{15} = \frac{9 - 4}{15} = \frac{5}{15}$
Сократим результат на 5:
$\frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Для сложения дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{9}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Так как числа 4 и 9 взаимно простые, НОЗ(4, 9) = $4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{9 + 4}{36} = \frac{13}{36}$
Дробь $\frac{13}{36}$ несократима, так как 13 - простое число.
Ответ: $\frac{13}{36}$

д) Прибавление нуля к любому числу не меняет это число.
$0 + \frac{4}{11} = \frac{4}{11}$
Ответ: $\frac{4}{11}$

е) Для сложения дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{15}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(6, 15) = 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$\frac{5}{6} + \frac{2}{15} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{25}{30} + \frac{4}{30} = \frac{25 + 4}{30} = \frac{29}{30}$
Дробь $\frac{29}{30}$ несократима, так как 29 - простое число.
Ответ: $\frac{29}{30}$

ж) Для вычитания дробей $\frac{31}{60}$ и $\frac{17}{45}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(60, 45) = 180.
Приведем дроби к знаменателю 180:
$\frac{31}{60} - \frac{17}{45} = \frac{31 \cdot 3}{60 \cdot 3} - \frac{17 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{93}{180} - \frac{68}{180} = \frac{93 - 68}{180} = \frac{25}{180}$
Сократим результат на 5:
$\frac{25 \div 5}{180 \div 5} = \frac{5}{36}$
Ответ: $\frac{5}{36}$

з) Для вычитания дробей $\frac{23}{45}$ и $\frac{29}{60}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(45, 60) = 180.
Приведем дроби к знаменателю 180:
$\frac{23}{45} - \frac{29}{60} = \frac{23 \cdot 4}{45 \cdot 4} - \frac{29 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{92}{180} - \frac{87}{180} = \frac{92 - 87}{180} = \frac{5}{180}$
Сократим результат на 5:
$\frac{5 \div 5}{180 \div 5} = \frac{1}{36}$
Ответ: $\frac{1}{36}$

и) Для сложения дробей $\frac{21}{22}$ и $\frac{8}{55}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ(22, 55) = 110.
Приведем дроби к знаменателю 110:
$\frac{21}{22} + \frac{8}{55} = \frac{21 \cdot 5}{22 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 2}{55 \cdot 2} = \frac{105}{110} + \frac{16}{110} = \frac{105 + 16}{110} = \frac{121}{110}$
Сократим результат на 11:
$\frac{121 \div 11}{110 \div 11} = \frac{11}{10}$
Данную неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{11}{10}$

к) Вычитание нуля из любого числа не меняет это число.
$\frac{9}{19} - 0 = \frac{9}{19}$
Ответ: $\frac{9}{19}$

2.242. Вычислите с помощью калькулятора и результат округлите до тысячных:

0,48 · 3,654 – 2,587 : 0,327 + 20,384 : 8,32.

2.242

$0,48 \stackrel{1}{·} 3,654 \stackrel{4}{–} 2,587 \stackrel{2}{·} 0,327 \stackrel{5}{+} 20,384 \stackrel{3}{:} 8,32 = 3,357971 \approx 3,358$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 0,48 · 3,654 = 1,75392 \\ \mathbf{2}\mathbf{)} 2,587 · 0,327 = 0,845949 \\ \mathbf{3}\mathbf{)} 20,384 : 8,32 = 2,45 \\ \mathbf{4}\mathbf{)} 1,75392 – 0,845949 = 0,907971 \\ \mathbf{5}\mathbf{)} 0,907971 + 2,45 = 3,357971 \end{gathered}$$

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение и деление (слева направо), а затем вычитание и сложение (слева направо). Все вычисления производятся с помощью калькулятора.

Исходное выражение: $0,48 \cdot 3,654 - 2,587 \cdot 0,327 + 20,384 : 8,32$.

1. Выполнение действий умножения и деления

Первым делом выполняем все операции умножения и деления в том порядке, в котором они aparecen в выражении:

Вычисляем первое произведение: $0,48 \cdot 3,654 = 1,75392$.

Вычисляем второе произведение: $2,587 \cdot 0,327 = 0,845949$.

Вычисляем частное: $20,384 : 8,32 = 2,45$.

2. Выполнение действий вычитания и сложения

Теперь подставляем полученные результаты обратно в выражение:

$1,75392 - 0,845949 + 2,45$.

Выполняем оставшиеся действия слева направо:

Вычитание: $1,75392 - 0,845949 = 0,907971$.

Сложение: $0,907971 + 2,45 = 3,357971$.

3. Округление результата до тысячных

Мы получили результат $3,357971$. По условию задачи, его необходимо округлить до тысячных. Тысячные – это третья цифра после запятой. В нашем числе это $7$.

Чтобы округлить число до тысячных, смотрим на следующую цифру (четвертую после запятой). Это цифра $9$.

По правилам округления, если следующая цифра $5$ или больше, то предыдущая цифра увеличивается на единицу. Так как $9 \ge 5$, мы увеличиваем цифру $7$ на $1$.

$3,357971 \approx 3,358$.

Ответ: $3,358$.