Страница 70, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.200. Выполните действия:

а) 113125 + 0,58 - 103125; б) 79 + 0,4 – 0,6;

2.200

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{113}{125}+0,58-\frac{103}{125}=\left(\frac{113}{125}-\frac{103}{125}\right)+0,58= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{125}}}}+0,58={\frac{2}{25}}^{\overline{)·4}}+0,58=\frac{8}{100}+0,58= \\ =0,08 +0,58=0,66 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{9}+0,4-0,6=\frac{7}{9}+\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}-\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}= \\ ={\frac{7}{9}}^{\overline{)·5}}+{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}-{\frac{3}{5}}^{\overline{)·9}}=\frac{35}{45}+\frac{18}{45}- \\ -\frac{27}{45}=\frac{25}{45} \end{gathered}$$

а) $\frac{113}{125} + 0,58 - \frac{103}{125}$

Для удобства вычислений сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем:

$(\frac{113}{125} - \frac{103}{125}) + 0,58$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{113 - 103}{125} = \frac{10}{125}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{10}{125} + 0,58$.

Сократим дробь $\frac{10}{125}$, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{10 \div 5}{125 \div 5} = \frac{2}{25}$

Чтобы сложить дробь с десятичным числом, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = 0,08$

Теперь выполним сложение десятичных дробей:

$0,08 + 0,58 = 0,66$

Ответ: $0,66$

б) $\frac{7}{9} + 0,4 - 0,6$

Сначала выполним действие с десятичными дробями:

$0,4 - 0,6 = -0,2$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{7}{9} - 0,2$.

Дробь $\frac{7}{9}$ является бесконечной периодической десятичной дробью ($0,(7)$), поэтому для точного вычисления переведем $0,2$ в обыкновенную дробь:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь выполним вычитание обыкновенных дробей:

$\frac{7}{9} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 5 равен $9 \times 5 = 45$.

$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 5}{9 \times 5} = \frac{35}{45}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 9}{5 \times 9} = \frac{9}{45}$

Выполним вычитание дробей с общим знаменателем:

$\frac{35}{45} - \frac{9}{45} = \frac{35 - 9}{45} = \frac{26}{45}$

Ответ: $\frac{26}{45}$

2.201. Из двух сельских поселений, расстояние между которыми 10 км, одновременно в одном направлении вышли два автомобиля — грузовой и легковой. Скорость впереди идущего грузового автомобиля равна 1,2 км/мин, а следующего за ним легкового автомобиля — 1,7 км/мин. Через сколько минут легковой автомобиль догонит грузовой?

2.201

Грузовой автомобиль - 1,2 км/мин

Легковой автомобиль – 1,7 км/мин

Расстояние – 10 км.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1,7 – 1,2 = 0,5$(км/ч) – скорость сближения автомобилей;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 10 : 0,5 = 100 : 5 = 20$(мин) – легковой автомобиль догонит грузовой

Ответ: через 20 минут.

Для решения этой задачи необходимо определить скорость, с которой легковой автомобиль догоняет грузовой. Эта величина называется скоростью сближения и равна разности скоростей двух автомобилей, так как они движутся в одном направлении.

Дано:

• Скорость грузового автомобиля: $v_{г} = 1,2$ км/мин.
• Скорость легкового автомобиля: $v_{л} = 1,7$ км/мин.
• Начальное расстояние между ними: $S = 10$ км.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):

Скорость сближения — это разница между скоростью догоняющего автомобиля и скоростью уезжающего.

$v_{сбл} = v_{л} - v_{г} = 1,7 - 1,2 = 0,5$ км/мин.

Это значит, что каждую минуту легковой автомобиль становится ближе к грузовому на 0,5 км.

2. Найдем время, через которое произойдет встреча.

Для этого нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения. Обозначим искомое время как $t$.

$t = \frac{S}{v_{сбл}}$

Подставим известные значения в формулу:

$t = \frac{10 \text{ км}}{0,5 \text{ км/мин}} = 20$ минут.

Ответ: 20 минут.

2.202. Выполните действия:

а) 36,42 · 0,1 - 0,996;

б) (69,77 · 5,8 - 69,67 · 5,8 + 0,42) : 0,4;

в) (12,93 + 65,47) · (0,317 + 1,583) - 3,5 · (5,24 - 3,78);

г) 214 538 - (39 000 : 65 + 29 946 : 217)

2.202

$\mathit{а}\mathbf{)} 36,42 · 0,1 – 0,996 = 3,642 – 0,996 = 2,646$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }(69,77 · 5,8 – 69,67 · 5,8 + 0,42) : 0,4 = \\ =(5,8 · (69,77 – 69,67) + 0,42) : 0,4 = \\ =(5,8 · 0,1 + 0,42) : 0,4 = (0,58 + 0,42) : 0,4 = \\ = 1 : 0,4 = 10 : 4 = 2,5 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} (12,93 \stackrel{1}{+} 65,47) \stackrel{4}{·} (0,317 \stackrel{2}{+} 1,583) \stackrel{6}{–} 3,5 \stackrel{5}{·} (5,24 \stackrel{3}{–} 3,78) = 143,85$

1.	2.
3.	4.
5.	6.

$\mathit{г}\mathbf{)} 214 538 \stackrel{4}{–} (39 000\stackrel{1}{ : }65 \stackrel{3}{+} 29 946 \stackrel{2}{: }217) = 213800$

1.	2.
3.	4.

а) $36,42 \cdot 0,1 - 0,996$

Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем вычитание.

1) При умножении на 0,1 запятая сдвигается на один знак влево: $36,42 \cdot 0,1 = 3,642$.

2) Выполняем вычитание: $3,642 - 0,996 = 2,646$.

Ответ: $2,646$.

б) $(69,77 \cdot 5,8 - 69,67 \cdot 5,8 + 0,42) : 0,4$

Сначала выполним действия в скобках. Для упрощения вынесем общий множитель $5,8$ за скобки.

1) $(69,77 - 69,67) \cdot 5,8 = 0,1 \cdot 5,8 = 0,58$.

2) Теперь выражение в скобках принимает вид $0,58 + 0,42$. Выполним сложение: $0,58 + 0,42 = 1$.

3) Выполним деление: $1 : 0,4$. Это то же самое, что и $10 : 4$, что равно $2,5$.

Ответ: $2,5$.

в) $(12,93 + 65,47) \cdot (0,317 + 1,583) - 3,5 \cdot (5,24 - 3,78)$

Выполним действия в соответствии с порядком операций: сначала действия в скобках, затем умножения, и в конце — вычитание.

1) Вычисляем сумму в первой скобке: $12,93 + 65,47 = 78,4$.

2) Вычисляем сумму во второй скобке: $0,317 + 1,583 = 1,9$.

3) Вычисляем разность в третьей скобке: $5,24 - 3,78 = 1,46$.

4) Подставляем полученные значения в исходное выражение: $78,4 \cdot 1,9 - 3,5 \cdot 1,46$.

5) Выполняем умножения: $78,4 \cdot 1,9 = 148,96$ и $3,5 \cdot 1,46 = 5,11$.

6) Выполняем вычитание: $148,96 - 5,11 = 143,85$.

Ответ: $143,85$.

г) $214 538 - (39 000 : 65 + 29 946 : 217)$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем сложение), после чего — вычитание из первого числа.

1) Первое деление в скобках: $39 000 : 65 = 600$.

2) Второе деление в скобках: $29 946 : 217 = 138$.

3) Сложение результатов деления в скобках: $600 + 138 = 738$.

4) Финальное вычитание: $214 538 - 738 = 213 800$.

Ответ: $213 800$.

2.203. Запишите смешанные числа так, чтобы их дробная часть не была неправильной дробью:

а) 99155, 207101101; б) 8174, 16259, 311074.

2.203

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }99\frac{15}{5}= 99 + \frac{15}{5}= 99 + 3 = 102$

$207\frac{101}{101} = 207 + \frac{101}{101} = 207 + 1 = 208$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }8\frac{17}{4} = 8 + \frac{17}{4}= 8 + 4\frac{1}{4} = 12\frac{1}{4}$

$16\frac{25}{9} = 16 + \frac{25}{9}= 16 + 2\frac{7}{9} = 18\frac{7}{9}$

$31\frac{107}{4}= 31 + \frac{107}{4} = 31 + 26\frac{3}{4} = 57\frac{3}{4}$

Чтобы записать смешанные числа так, чтобы их дробная часть не была неправильной дробью, необходимо преобразовать неправильную дробную часть в смешанное число и прибавить получившуюся целую часть к исходной целой части. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

а)

Рассмотрим число $99 \frac{15}{5}$.
Дробная часть $\frac{15}{5}$ является неправильной, так как числитель $15$ больше знаменателя $5$.
Выделим целую часть из этой дроби, разделив числитель на знаменатель:
$15 \div 5 = 3$.
Это означает, что дробь $\frac{15}{5}$ равна целому числу $3$.
Теперь добавим это число к целой части исходного числа:
$99 \frac{15}{5} = 99 + \frac{15}{5} = 99 + 3 = 102$.

Рассмотрим число $207 \frac{101}{101}$.
Дробная часть $\frac{101}{101}$ является неправильной, так как числитель $101$ равен знаменателю $101$.
Разделим числитель на знаменатель:
$101 \div 101 = 1$.
Дробь $\frac{101}{101}$ равна $1$.
Теперь добавим это число к целой части исходного числа:
$207 \frac{101}{101} = 207 + \frac{101}{101} = 207 + 1 = 208$.

Ответ: $102$; $208$.

б)

Рассмотрим число $8 \frac{17}{4}$.
Дробная часть $\frac{17}{4}$ является неправильной ($17 > 4$).
Выделим целую часть из дроби $\frac{17}{4}$, разделив $17$ на $4$ с остатком:
$17 \div 4 = 4$ (остаток $1$).
Следовательно, $\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.
Теперь прибавим результат к целой части исходного числа:
$8 \frac{17}{4} = 8 + \frac{17}{4} = 8 + 4\frac{1}{4} = (8+4) + \frac{1}{4} = 12\frac{1}{4}$.

Рассмотрим число $16 \frac{25}{9}$.
Дробная часть $\frac{25}{9}$ является неправильной ($25 > 9$).
Выделим целую часть из дроби $\frac{25}{9}$, разделив $25$ на $9$ с остатком:
$25 \div 9 = 2$ (остаток $7$).
Следовательно, $\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.
Теперь прибавим результат к целой части исходного числа:
$16 \frac{25}{9} = 16 + \frac{25}{9} = 16 + 2\frac{7}{9} = (16+2) + \frac{7}{9} = 18\frac{7}{9}$.

Рассмотрим число $31 \frac{107}{4}$.
Дробная часть $\frac{107}{4}$ является неправильной ($107 > 4$).
Выделим целую часть из дроби $\frac{107}{4}$, разделив $107$ на $4$ с остатком:
$107 \div 4 = 26$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{107}{4} = 26\frac{3}{4}$.
Теперь прибавим результат к целой части исходного числа:
$31 \frac{107}{4} = 31 + \frac{107}{4} = 31 + 26\frac{3}{4} = (31+26) + \frac{3}{4} = 57\frac{3}{4}$.

Ответ: $12\frac{1}{4}$; $18\frac{7}{9}$; $57\frac{3}{4}$.

2.204. Запишите в виде неправильной дроби дробную часть числа, равного данному, уменьшив целую часть на единицу:

а) 1437; б) 211419; в) 21213.

2.204

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }14\frac{3}{7} = 13 + 1 +\frac{3}{7} = 13 + (\frac{7}{7}+\frac{3}{7}) = \\ =13 + \frac{10}{7}= 13\frac{10}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 21\frac{14}{19}= 20 + 1 + \frac{14}{19} = 20 + \frac{19}{19}+\frac{14}{19}= \\ =20 + \frac{33}{19} = 20\frac{33}{19} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{12}{13} = 1 + 1 + \frac{12}{13} = 1 + \frac{13}{13}+\frac{12}{13} = \\ = 1 +\frac{25}{13} = 1\frac{25}{13} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить задание для числа $14\frac{3}{7}$, нам нужно представить его так, чтобы целая часть была на единицу меньше, то есть равнялась $14 - 1 = 13$. Для этого мы "занимаем" единицу у целой части и прибавляем ее к дробной части.
Единицу можно представить в виде дроби $\frac{7}{7}$.
Новая дробная часть будет равна сумме исходной дробной части и единицы:
$1 + \frac{3}{7} = \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{7+3}{7} = \frac{10}{7}$.
Таким образом, число $14\frac{3}{7}$ можно записать как $13\frac{10}{7}$. Дробная часть этого числа, записанная в виде неправильной дроби, – это $\frac{10}{7}$.
Ответ: $\frac{10}{7}$.

б) Проделаем те же действия для числа $21\frac{14}{19}$.
Уменьшим целую часть на единицу: $21 - 1 = 20$.
"Занятую" единицу представим в виде дроби со знаменателем 19, то есть $\frac{19}{19}$.
Прибавим эту единицу к исходной дробной части:
$1 + \frac{14}{19} = \frac{19}{19} + \frac{14}{19} = \frac{19+14}{19} = \frac{33}{19}$.
Таким образом, число $21\frac{14}{19}$ равно $20\frac{33}{19}$. Искомая дробная часть в виде неправильной дроби – это $\frac{33}{19}$.
Ответ: $\frac{33}{19}$.

в) Выполним задание для числа $2\frac{12}{13}$.
Уменьшим целую часть на единицу: $2 - 1 = 1$.
Представим единицу в виде дроби $\frac{13}{13}$.
Сложим единицу с исходной дробной частью:
$1 + \frac{12}{13} = \frac{13}{13} + \frac{12}{13} = \frac{13+12}{13} = \frac{25}{13}$.
Следовательно, число $2\frac{12}{13}$ можно записать как $1\frac{25}{13}$. Дробная часть, выраженная неправильной дробью, равна $\frac{25}{13}$.
Ответ: $\frac{25}{13}$.

1. Расположите в порядке возрастания дроби

34, 1318, 72, 79, 56.

Проверочная работа № 1

1.

$\frac{3}{4};\frac{13}{18}; \frac{7}{2}; \frac{7}{9}; \frac{5}{6}$

приведем дроби к общему знаменателю 36

$\frac{3}{4}=\frac{3 · 9}{4 · 9}=\frac{27}{36}$

$\frac{13}{18}=\frac{13 ·2}{18 · 2}=\frac{26}{36}$

$\frac{7}{2}=\frac{7 · 18}{2 · 18}=\frac{126}{36}$

$\frac{7}{9}=\frac{7 · 4}{9 · 4}=\frac{28}{36}$

$\frac{5}{6}=\frac{5· 6}{6 · 6}=\frac{30}{36}$

$\frac{26}{36}<\frac{27}{36}<\frac{28}{36}<\frac{30}{36}<\frac{126}{36}$

Ответ: $\frac{13}{18};\frac{3}{4};\frac{7}{9}; \frac{5}{6}; \frac{7}{2}.$

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей: 4, 18, 2, 9, 6.

Сначала разложим знаменатели на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $2 = 2$
• $9 = 3^2$
• $6 = 2 \cdot 3$

Наименьшее общее кратное — это произведение всех простых множителей в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:$НОК(4, 18, 2, 9, 6) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю 36, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

• $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot (36 \div 4)}{36} = \frac{3 \cdot 9}{36} = \frac{27}{36}$
• $\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot (36 \div 18)}{36} = \frac{13 \cdot 2}{36} = \frac{26}{36}$
• $\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot (36 \div 2)}{36} = \frac{7 \cdot 18}{36} = \frac{126}{36}$
• $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot (36 \div 9)}{36} = \frac{7 \cdot 4}{36} = \frac{28}{36}$
• $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot (36 \div 6)}{36} = \frac{5 \cdot 6}{36} = \frac{30}{36}$

Мы получили следующие дроби: $\frac{27}{36}, \frac{26}{36}, \frac{126}{36}, \frac{28}{36}, \frac{30}{36}$.

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, сравним их числители:

$26 < 27 < 28 < 30 < 126$

Это соответствует следующему порядку дробей с общим знаменателем:

$\frac{26}{36} < \frac{27}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36} < \frac{126}{36}$

Заменив их на исходные дроби, получим итоговый порядок:

$\frac{13}{18} < \frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{7}{2}$

Ответ: $\frac{13}{18}, \frac{3}{4}, \frac{7}{9}, \frac{5}{6}, \frac{7}{2}$.

2. Сравните промежутки времени:

а) 512 ч и 715 ч;

б) 712 суток и 1118 суток.

2.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{5}{12}\mathrm{ч} \mathrm{и} \frac{7}{15}\mathrm{ч}$

НОК (12; 15) = 60

$$\begin{gathered} \frac{5}{12}=\frac{5 · 5}{12 · 5}=\frac{25}{60} \\ \frac{7}{15}=\frac{7 · 4}{15 · 4}=\frac{28}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{25}{60}<\frac{28}{60}, \mathrm{то}\frac{5}{12}<\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{7}{12}\mathrm{суток} \mathrm{и} \frac{11}{18}\mathrm{суток}$

НОК (12; 18) = 35

$$\begin{gathered} \frac{7}{12}=\frac{7 · 3}{12 · 3}=\frac{21}{36} \\ \frac{11}{18}=\frac{11 · 2}{18 · 2}=\frac{22}{36} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{21}{36}<\frac{22}{36}, \mathrm{то}\frac{7}{12}<\frac{11}{18} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить промежутки времени $\frac{5}{12}$ ч и $\frac{7}{15}$ ч, необходимо сравнить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 15.
Разложим числа 12 и 15 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Теперь приведем дроби к знаменателю 60, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель равен $60 \div 12 = 5$:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$
Для дроби $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель равен $60 \div 15 = 4$:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$
Теперь сравним полученные дроби. Так как знаменатели равны, сравниваем числители:
$25 < 28$, следовательно, $\frac{25}{60} < \frac{28}{60}$.
Это означает, что $\frac{5}{12}$ ч < $\frac{7}{15}$ ч.
Ответ: $\frac{5}{12}$ ч < $\frac{7}{15}$ ч.

б) Чтобы сравнить промежутки времени $\frac{7}{12}$ суток и $\frac{11}{18}$ суток, необходимо сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$. Приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК чисел 12 и 18.
Разложим числа 12 и 18 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель равен $36 \div 12 = 3$:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
Для дроби $\frac{11}{18}$ дополнительный множитель равен $36 \div 18 = 2$:
$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$
Теперь сравним полученные дроби, сравнивая их числители:
$21 < 22$, следовательно, $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$.
Это означает, что $\frac{7}{12}$ суток < $\frac{11}{18}$ суток.
Ответ: $\frac{7}{12}$ суток < $\frac{11}{18}$ суток.

3. Вычислите:

а) 514 + 521;

б) 514 – 521;

в) 1730 + 1170;

г) 1730 – 1170;

д) 922 + 2121;

е) 922 – 2121.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{14}}^{\overline{)·3}}+{\frac{5}{21}}^{\overline{)·2}}=\frac{5 · 3}{14 · 3}+\frac{5 · 2}{21 · 2}= \\ =\frac{15}{42}+\frac{10}{42}=\frac{25}{42} \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{14}}^{\overline{)·3}}+{\frac{5}{21}}^{\overline{)·2}}=\frac{15}{42}-\frac{10}{42}=\frac{25}{42}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{30}}^{\overline{)·7}}+{\frac{11}{70}}^{\overline{)·3}}=\frac{119}{210}+\frac{33}{210}=\frac{{\displaystyle \stackrel{76}{\cancel{152}}}}{{\displaystyle \underset{105}{\cancel{210}}}}=\frac{76}{105}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{30}}^{\overline{)·7}}-{\frac{11}{70}}^{\overline{)·3}}=\frac{119}{210}-\frac{33}{210}=\frac{{\displaystyle \stackrel{43}{\cancel{86}}}}{{\displaystyle \underset{105}{\cancel{210}}}}=\frac{43}{105}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{9}{22}}^{\overline{)·11}}+{\frac{2}{121}}^{\overline{)·2}}=\frac{99}{242}+\frac{4}{242}=\frac{103}{242}$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{9}{22}}^{\overline{)·11}}-{\frac{2}{121}}^{\overline{)·2}}=\frac{99}{242}-\frac{4}{242}=\frac{95}{242}$

а) $\frac{5}{14} + \frac{5}{21}$. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 14 и 21. Разложим их на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$. НОК(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $42 \div 14 = 3$. Для второй дроби: $42 \div 21 = 2$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель: $\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{15}{42} + \frac{10}{42}$. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{15 + 10}{42} = \frac{25}{42}$. Дробь является несократимой, так как числитель 25 ($5^2$) и знаменатель 42 ($2 \cdot 3 \cdot 7$) не имеют общих делителей, кроме 1. Ответ: $\frac{25}{42}$.

б) $\frac{5}{14} - \frac{5}{21}$. Выполним вычитание, используя тот же общий знаменатель, что и в предыдущем примере, — 42. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{42} - \frac{5 \cdot 2}{42} = \frac{15}{42} - \frac{10}{42}$. Вычтем числители: $\frac{15 - 10}{42} = \frac{5}{42}$. Дробь является несократимой, так как 5 — простое число, а 42 на 5 не делится. Ответ: $\frac{5}{42}$.

в) $\frac{17}{30} + \frac{11}{70}$. Найдем НОК знаменателей 30 и 70. Разложим их на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОК(30, 70) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Дополнительный множитель для первой дроби: $210 \div 30 = 7$. Дополнительный множитель для второй дроби: $210 \div 70 = 3$. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: $\frac{17 \cdot 7}{30 \cdot 7} + \frac{11 \cdot 3}{70 \cdot 3} = \frac{119}{210} + \frac{33}{210} = \frac{119 + 33}{210} = \frac{152}{210}$. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому их можно разделить на 2: $\frac{152 \div 2}{210 \div 2} = \frac{76}{105}$. Проверим, можно ли сократить дальше. Разложим 76 и 105 на множители: $76 = 2^2 \cdot 19$ и $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общих множителей нет. Ответ: $\frac{76}{105}$.

г) $\frac{17}{30} - \frac{11}{70}$. Используем общий знаменатель 210, как в пункте в). $\frac{17 \cdot 7}{210} - \frac{11 \cdot 3}{210} = \frac{119}{210} - \frac{33}{210} = \frac{119 - 33}{210} = \frac{86}{210}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{86 \div 2}{210 \div 2} = \frac{43}{105}$. Число 43 является простым, а 105 на 43 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{43}{105}$.

д) $\frac{9}{22} + \frac{2}{121}$. Найдем НОК знаменателей 22 и 121. Разложим на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$ и $121 = 11^2$. НОК(22, 121) = $2 \cdot 11^2 = 2 \cdot 121 = 242$. Дополнительный множитель для первой дроби: $242 \div 22 = 11$. Дополнительный множитель для второй дроби: $242 \div 121 = 2$. Выполним сложение: $\frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 11} + \frac{2 \cdot 2}{121 \cdot 2} = \frac{99}{242} + \frac{4}{242} = \frac{99 + 4}{242} = \frac{103}{242}$. Число 103 является простым, а 242 на 103 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{103}{242}$.

е) $\frac{9}{22} - \frac{2}{121}$. Используем общий знаменатель 242 из предыдущего пункта. $\frac{9 \cdot 11}{242} - \frac{2 \cdot 2}{242} = \frac{99}{242} - \frac{4}{242} = \frac{99 - 4}{242} = \frac{95}{242}$. Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим на множители: $95 = 5 \cdot 19$ и $242 = 2 \cdot 11^2$. Общих множителей нет, дробь несократимая. Ответ: $\frac{95}{242}$.

4. Повторяя изученные за учебный год слова на английском языке три одноклассника выяснили, что Петя помнит 1113, Витя — 5760, а Миша — 712 всех изученных за год слов.

а) Кто из ребят помнит больше английских слов?

б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?

в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?

г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

4.

а) приведем дроби $\frac{11}{13}$, $\frac{57}{60}$и $\frac{7}{12}$ к общему знаменателю

$\mathrm{НОК} (13; 60; 12) = 2 · 2 · 3 · 5 · 13 = 780$

$$\begin{gathered} \frac{11}{13}=\frac{11 · 2 · 2 · 3 · 5 }{13 · 2 · 2 · 3 · 5 }=\frac{660}{780} \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{57}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{60}}}}=\frac{19}{20}=\frac{19 · 13 · 5 }{20 · 13 · 3 }=\frac{741}{780} \\ \frac{7}{12}=\frac{7 · 13 · 5 }{12 · 13 · 5 }=\frac{455}{780} \\ \frac{455}{780}<\frac{660}{780}<\frac{741}{780} \\ \frac{7}{12}<\frac{11}{13}<\frac{57}{60} \end{gathered}$$

Ответ: больше всего слов помнит Витя

б) Больше всех слов нужно повторить Мише

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{НОК} (13; 60; 12) = 2 · 2 · 3 · 5 · 13 = 780$

Ребята изучили за год 780 слов.

$\mathbf{г}\mathbf{)} 780 -\frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}· \stackrel{60}{\cancel{780}} = 780 – 11 · 60 =$

$=780 – 660 = 120$слов – нужно повторить Пете

$780 -\frac{19}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{20}}}}· \stackrel{39}{\cancel{780}} = 780 – 19 ·39 =$

$=780 – 741= 39$ слов – нужно повторить Вите

$780 -\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}· \stackrel{65}{\cancel{780}} = 780 – 7 · 65 =$

$= 780 - 455 = 325$ слов – нужно повторить Мише

а) Кто из ребят помнит больше английских слов?

Чтобы определить, кто из ребят помнит больше слов, необходимо сравнить дроби, которые показывают долю выученных слов каждым из них: $\frac{11}{13}$ (Петя), $\frac{57}{60}$ (Витя) и $\frac{7}{12}$ (Миша).

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 13, 60 и 12.

Поскольку 60 делится на 12, НОК(60, 12) = 60. Тогда НОК(13, 60, 12) = НОК(13, 60). Так как 13 — простое число, то $\text{НОК}(13, 60) = 13 \times 60 = 780$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 780:

Петя: $\frac{11}{13} = \frac{11 \times 60}{13 \times 60} = \frac{660}{780}$

Витя: $\frac{57}{60} = \frac{57 \times 13}{60 \times 13} = \frac{741}{780}$

Миша: $\frac{7}{12} = \frac{7 \times 65}{12 \times 65} = \frac{455}{780}$

Сравниваем числители полученных дробей: $741 > 660 > 455$.

Это значит, что $\frac{57}{60} > \frac{11}{13} > \frac{7}{12}$.

Следовательно, больше всех слов помнит Витя.

Ответ: Витя помнит больше всех английских слов.

б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?

Больше всего слов нужно повторить тому, кто помнит их меньше всего. Как мы выяснили в предыдущем пункте, наименьшая доля выученных слов у Миши ($\frac{455}{780}$).

Другой способ — найти долю слов, которую каждому нужно повторить. Для этого вычтем долю запомненных слов из единицы (которая представляет все слова):

Пете нужно повторить: $1 - \frac{11}{13} = \frac{13}{13} - \frac{11}{13} = \frac{2}{13}$ всех слов.

Вите нужно повторить: $1 - \frac{57}{60} = \frac{60}{60} - \frac{57}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ всех слов.

Мише нужно повторить: $1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ всех слов.

Теперь сравним эти дроби ($\frac{2}{13}, \frac{1}{20}, \frac{5}{12}$), приведя их к общему знаменателю 780:

Петя: $\frac{2}{13} = \frac{2 \times 60}{13 \times 60} = \frac{120}{780}$

Витя: $\frac{1}{20} = \frac{1 \times 39}{20 \times 39} = \frac{39}{780}$

Миша: $\frac{5}{12} = \frac{5 \times 65}{12 \times 65} = \frac{325}{780}$

Сравнив числители, получаем: $325 > 120 > 39$.

Значит, $\frac{5}{12} > \frac{2}{13} > \frac{1}{20}$.

Следовательно, больше всего слов нужно повторить Мише.

Ответ: Мише нужно повторить больше английских слов.

в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?

Пусть N — общее количество изученных слов. Поскольку количество слов, которые помнит каждый из мальчиков (например, $\frac{11}{13} \times N$), должно быть целым числом, то N должно без остатка делиться на знаменатели дробей: 13, 60 и 12.

Таким образом, N является общим кратным чисел 13, 60 и 12. Чтобы найти возможное количество слов, найдем их наименьшее общее кратное (НОК), которое мы уже вычислили в пункте а).

$\text{НОК}(13, 60, 12) = 780$.

Это означает, что общее количество слов должно быть кратно 780 (например, 780, 1560, 2340 и т.д.). По условию задачи, общее количество слов меньше 800. Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это 780.

Ответ: Всего ребята изучили 780 английских слов.

г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Теперь, когда мы знаем общее количество слов (780), мы можем рассчитать, сколько слов нужно повторить каждому из ребят, используя доли, найденные в пункте б).

Пете нужно повторить: $\frac{2}{13}$ от 780.
$\frac{2}{13} \times 780 = 2 \times (780 \div 13) = 2 \times 60 = 120$ слов.

Вите нужно повторить: $\frac{1}{20}$ от 780.
$\frac{1}{20} \times 780 = 780 \div 20 = 39$ слов.

Мише нужно повторить: $\frac{5}{12}$ от 780.
$\frac{5}{12} \times 780 = 5 \times (780 \div 12) = 5 \times 65 = 325$ слов.

Ответ: Пете нужно повторить 120 слов, Вите – 39 слов, а Мише – 325 слов.

4.387. Развивай мышление. Ответьте на вопросы, используя графы.

а) Пять посёлков – Воробьёве, Горбово, Павлово, Михайлово и Иваново – соединены дорогами, как показано на рисунке 4.48, а. Какой посёлок соединён с каким? (Дорога – это ребро графа.)

б) В спортивном зале собрались Витя, Ира, Петя, Галя и Максим (рис. 4.48, б). Оказалось, что каждый из детей знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)

в) Можно ли использовать граф решения задачи а) для решения задачи б)?

г) Составьте ещё задачу, которая решалась бы с помощью графов на рисунке 4.48, а, б.

д) В концерте участвовали четверо шестиклассников, которые пели и играли на музыкальных инструментах. Кто из них пел, а кто играл (рис. 4.48, в)? (Красные рёбра графа исходят от певцов, а синие – от их аккомпаниаторов.)

4.387

а) Воробьево - с Горбово и Иваново
Горбово - с Воробьево и Павлово
Павлово - с Горбово и Михайлово
Михайлово - с Павлово и Иваново
Иваново - с Воробьево и Михайлово

б) Витя - с Ирой и Галей
Галя - с Витей и Петей
Петя - с Галей и Максимом
Максим - с Петей и Ирой
Ира - с Витей и Максимом

в) да, т.к. у них одинаковое количество вершин и ребер графа и одинаковое расположение ребер графа

г) Каждый из пяти друзей – Коля, Саша, Оля, Таня и Сергей брал книги для чтения только у двух других друзей. Кто у кого брал книги?

д) А – пел, Б – играл, В – пел, Г – играл

а) В данной задаче вершины графа обозначают посёлки, а рёбра (линии) — соединяющие их дороги. Чтобы определить, какой посёлок с каким соединён, нужно проанализировать рёбра на рисунке 4.48, а.

Из графа видно, что:

- Посёлок Воробьёво (В) соединён дорогами с Горбово (Г) и Иваново (И).
- Посёлок Горбово (Г) соединён с Воробьёво (В) и Павлово (П).
- Посёлок Павлово (П) соединён с Горбово (Г) и Михайлово (М).
- Посёлок Михайлово (М) соединён с Павлово (П) и Иваново (И).
- Посёлок Иваново (И) соединён с Михайлово (М) и Воробьёво (В).

Ответ: Воробьёво соединено с Горбово и Иваново; Горбово — с Воробьёво и Павлово; Павлово — с Горбово и Михайлово; Михайлово — с Павлово и Иваново; Иваново — с Михайлово и Воробьёво.

б) В этой задаче вершины графа — это дети, а рёбра означают, что они знакомы друг с другом. Граф на рисунке 4.48, б показывает эти знакомства. В условии сказано, что каждый из детей знаком только с двумя другими, что соответствует тому, что из каждой вершины графа выходят ровно два ребра.

Проанализируем связи:

- Витя (В) знаком с Галей (Г) и Ирой (И).
- Галя (Г) знакома с Витей (В) и Петей (П).
- Петя (П) знаком с Галей (Г) и Максимом (М).
- Максим (М) знаком с Петей (П) и Ирой (И).
- Ира (И) знакома с Максимом (М) и Витей (В).

Ответ: Витя знаком с Галей и Ирой; Галя — с Витей и Петей; Петя — с Галей и Максимом; Максим — с Петей и Ирой; Ира — с Максимом и Витей.

в) Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить графы на рисунках 4.48, а и 4.48, б. Оба графа имеют по 5 вершин, обозначенных одинаковыми буквами (В, Г, П, М, И). Проверим связи между вершинами:

- В графе 'а' существуют рёбра: (В, Г), (Г, П), (П, М), (М, И), (И, В).
- В графе 'б' существуют рёбра: (В, Г), (Г, П), (П, М), (М, И), (И, В).

Несмотря на то, что графы нарисованы по-разному, они имеют одинаковое количество вершин и одинаковые связи между ними. В теории графов такие графы называются изоморфными. Это означает, что они описывают одну и ту же структурную схему. Следовательно, граф из задачи 'а' можно использовать для решения задачи 'б', так как меняется только интерпретация вершин (посёлки или дети) и рёбер (дороги или знакомства), а сама схема связей остаётся неизменной.

Ответ: Да, можно, так как графы в задачах а) и б) имеют одинаковую структуру (изоморфны).

г) Графы на рисунках 'а' и 'б' представляют собой цикл из 5 вершин, где каждая вершина связана ровно с двумя другими. Можно придумать множество задач, которые описываются такой моделью. Например:

Пять друзей сидят за круглым столом. Каждый сидит между двумя другими. Как они расположены?

В этой задаче вершины графа будут представлять друзей, а рёбра — тот факт, что они сидят рядом. Граф будет идентичен представленным на рисунках.

Ответ: Пример задачи: Пять спортивных команд играют в турнире по круговой системе, где каждая команда играет только с двумя "соседними" по расписанию командами. Кто с кем играет?

д) В данной задаче нужно определить, кто из четырёх шестиклассников (А, Б, В, Г) пел, а кто играл на музыкальных инструментах (аккомпанировал), используя ориентированный граф на рисунке 4.48, в.

По условию, красные рёбра исходят от певцов, а синие — от аккомпаниаторов. Это означает, что для определения роли каждого участника нужно посмотреть на цвет рёбер, которые начинаются в соответствующей вершине (то есть на исходящие рёбра).

- Вершина А: все исходящие рёбра (направленные к Б, В, Г) — красные. Следовательно, участник А является певцом.
- Вершина Б: все исходящие рёбра (направленные к А, В, Г) — синие. Следовательно, участник Б является аккомпаниатором.
- Вершина В: все исходящие рёбра (направленные к А, Б, Г) — красные. Следовательно, участник В является певцом.
- Вершина Г: все исходящие рёбра (направленные к А, Б, В) — синие. Следовательно, участник Г является аккомпаниатором.

Таким образом, в концерте участвовали два певца (А и В) и два аккомпаниатора (Б и Г).

Ответ: Пели участники А и В. Играли на инструментах (аккомпанировали) участники Б и Г.

4.388. Округлите числа 6,4954; 10,983; 3,0(6) до сотых; до десятых; до единиц.

4.388

$$\begin{gathered} 6,4964 \approx 6,50 \\ 6,4964 \approx 6,5 \\ 6,4964 \approx 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 10,983 \approx 10,98 \\ 10,983 \approx 11,0 \\ 10,983 \approx 11 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3,0\left(6\right) = 3,0666\dots \approx 3,07 \\ 3,0\left(6\right) = 3,0666\dots \approx 3,1 \\ 3,0\left(6\right) = 3,0666\dots \approx 3 \end{gathered}$$

Для округления числа до определенного разряда необходимо посмотреть на цифру, следующую за этим разрядом. Если эта цифра равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Если следующая цифра меньше 5, то цифра в округляемом разряде остается без изменений.

до сотых: (оставляем два знака после запятой)
- Для числа $6,4954$: смотрим на третью цифру после запятой – это $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($9$) увеличиваем на единицу. Это вызывает перенос в следующий разряд: $6,49 + 0,01 = 6,50$.
Ответ: $6,50$
- Для числа $10,983$: третья цифра после запятой – $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых ($8$) оставляем без изменений.
Ответ: $10,98$
- Для числа $3,0(6) = 3,0666...$: третья цифра после запятой – $6$. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых ($6$) увеличиваем на единицу.
Ответ: $3,07$

до десятых: (оставляем один знак после запятой)
- Для числа $6,4954$: смотрим на вторую цифру после запятой – это $9$. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде десятых ($4$) увеличиваем на единицу.
Ответ: $6,5$
- Для числа $10,983$: вторая цифра после запятой – $8$. Так как $8 \ge 5$, цифру в разряде десятых ($9$) увеличиваем на единицу, что приводит к увеличению целой части: $10,9 + 0,1 = 11,0$.
Ответ: $11,0$
- Для числа $3,0(6) = 3,0666...$: вторая цифра после запятой – $6$. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде десятых ($0$) увеличиваем на единицу.
Ответ: $3,1$

до единиц: (округляем до целого числа)
- Для числа $6,4954$: смотрим на первую цифру после запятой – это $4$. Так как $4 < 5$, целую часть ($6$) оставляем без изменений.
Ответ: $6$
- Для числа $10,983$: первая цифра после запятой – $9$. Так как $9 \ge 5$, целую часть ($10$) увеличиваем на единицу.
Ответ: $11$
- Для числа $3,0(6) = 3,0666...$: первая цифра после запятой – $0$. Так как $0 < 5$, целую часть ($3$) оставляем без изменений.
Ответ: $3$

4.389. 1) Сейчас между теплоходом и лодкой 4,8 км. Скорость лодки составляет 23 скорости теплохода. Найдите скорости лодки и теплохода, если известно, что теплоход догонит лодку через 45 ч.

2) Сейчас между бегуном и пешеходом 6 км. Скорость бегуна в 2,25 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и бегуна, если известно, что бегун догонит пешехода через 45 ч.

4.389

Пусть х км/ч – скорость теплохода, тогда $\frac{2}{3} х$ км/ч – скорость лодки. Зная, что между теплоходом и лодкой 4,8 км и то, что теплоход догонит лодку через $\frac{4}{5}$  часа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х - \frac{2}{3} х = 4,8 : {\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{1}{3} х = 4,8 : 0,8; \\ \frac{1}{3} х = 48 : 8; \\ \frac{1}{3} х = 6; \\ х = 6 : \frac{1}{3}; \\ х = 6 · 3; \end{gathered}$$

х = 18 км/ч – скорость теплохода;

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{6}{\cancel{18}} = \frac{2}{1} · 6 = 12$ км/ч – скорость лодки.

Ответ: 18 км/ч; 12 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость пешехода, тогда 2,25х км/ч – скорость бегуна. Зная, что между пешеходом и бегуном 6 км и то, что бегун догонит пешехода через $\frac{4}{5}$  часа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2,25х – х = 6 : \frac{4}{5}; \\ 1,25х = 6 · \frac{5}{4}; \\ 1,25х = 3 · \frac{5}{2}; \\ 1,25х = \frac{15}{2}; \\ 1,25х = 7,5; \\ х = 7,5 : 1,25; \\ х = 750 : 125; \end{gathered}$$

х = 6 км/ч – скорость пешехода;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2,25 · 6 = 13,5$км/ч – скорость бегуна.

Ответ: 6 км/ч; 13,5 км/ч.

1)

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти скорости теплохода и лодки, воспользуемся понятием скорости сближения.

1. Обозначим переменные:
Пусть $x$ км/ч – скорость теплохода.
Тогда скорость лодки, согласно условию, равна $\frac{2}{3}x$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения:
Скорость сближения – это разность скоростей объекта, который догоняет, и объекта, который уходит. Теплоход догоняет лодку, значит, скорость сближения $v_{сбл}$ равна:
$v_{сбл} = x - \frac{2}{3}x = \frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$ км/ч.

3. Составим уравнение:
Время, за которое догоняющий объект покроет первоначальное расстояние между ними, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v_{сбл}}$, где $S$ – начальное расстояние. Подставим известные значения:

• Начальное расстояние $S = 4,8$ км.
• Время $t = \frac{4}{5}$ ч.
• Скорость сближения $v_{сбл} = \frac{1}{3}x$ км/ч.

Получаем уравнение:
$\frac{4,8}{\frac{1}{3}x} = \frac{4}{5}$

4. Решим уравнение:
$\frac{4,8 \cdot 3}{x} = \frac{4}{5}$
$\frac{14,4}{x} = \frac{4}{5}$
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot x = 14,4 \cdot 5$
$4x = 72$
$x = \frac{72}{4}$
$x = 18$
Итак, скорость теплохода равна 18 км/ч.

5. Найдем скорость лодки:
Скорость лодки составляет $\frac{2}{3}$ от скорости теплохода:
$\frac{2}{3} \cdot 18 = 2 \cdot 6 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость лодки – 12 км/ч, скорость теплохода – 18 км/ч.

2)

Эта задача также на движение вдогонку и решается аналогично предыдущей.

1. Обозначим переменные:
Пусть $y$ км/ч – скорость пешехода.
Тогда скорость бегуна, которая в 2,25 раза больше, равна $2,25y$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения:
Бегун догоняет пешехода, поэтому скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = 2,25y - y = 1,25y$ км/ч.

3. Составим уравнение:
Используем формулу $t = \frac{S}{v_{сбл}}$ с известными данными:

• Начальное расстояние $S = 6$ км.
• Время $t = \frac{4}{5}$ ч. Переведем в десятичную дробь: $\frac{4}{5} = 0,8$ ч.
• Скорость сближения $v_{сбл} = 1,25y$ км/ч.

Получаем уравнение:
$\frac{6}{1,25y} = 0,8$

4. Решим уравнение:
$\frac{6}{1,25y} = 0,8$
$6 = 0,8 \cdot 1,25y$
$6 = 1y$
$y = 6$
Следовательно, скорость пешехода равна 6 км/ч.

5. Найдем скорость бегуна:
Скорость бегуна в 2,25 раза больше скорости пешехода:
$2,25 \cdot 6 = 13,5$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода – 6 км/ч, скорость бегуна – 13,5 км/ч.

4.390. Самолёт, вылетевший из Астрахани, находился на отметке 23 м ниже уровня моря. Когда самолёт поднялся в воздух, он оказался на отметке 4805 м над уровнем моря. На сколько метров поднялся самолёт?

4.390

+4805 – (-23) = 4805 + 23 = 4828 (м) – поднялся самолет

На 4828 м

Для решения этой задачи нужно найти общую разницу высот, на которую поднялся самолёт. Мы можем представить уровень моря как нулевую отметку.

1. Определим начальную и конечную высоту относительно уровня моря.

Начальная высота самолёта составляла 23 м ниже уровня моря. На числовой оси это соответствует отметке $-23$ м.

Конечная высота самолёта составила 4805 м над уровнем моря. Это соответствует отметке $+4805$ м.

2. Рассчитаем общую высоту подъёма.

Высота подъёма — это разница между конечной и начальной высотой. Рассчитаем её:

$\text{Конечная высота} - \text{Начальная высота} = 4805 - (-23)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:

$4805 + 23 = 4828$ м.

Можно также рассуждать поэтапно: сначала самолёт поднялся на 23 метра, чтобы достичь уровня моря (с $-23$ м до $0$ м), а затем поднялся ещё на 4805 метров. Общий подъём будет суммой этих двух высот:

$23 \text{ м} + 4805 \text{ м} = 4828 \text{ м}.$

Ответ: самолёт поднялся на 4828 метров.

4.391. Найдите значение выражения:
1) (2,2365 : 0,71 – 2,35) · 0,24 + 0,008;
2) (1,5225 : 0,29 – 3,45) · 7,35 – 13,03;
3) –2,6 · (3 – 3,8) + 4,2 · (4 – 2,7);
4) –1,2 · (5 – 3,7) + 2,9 · (2 – 4,3).

Проверьте ваши вычисления с помощью калькулятора.

4.391

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }(2,2365 \stackrel{1}{:} 0,71 – 2,35) · 0,24 + 0,008 = \\ = (223,65 : 71 – 2,35) · 0,24 + + 0,008 = \\ = (3,15 \stackrel{2}{–} 2,35) · 0,24 + 0,008 = 0,8\stackrel{3}{ ·} 0,24 + 0,008 = \\ = 0,193 + 0,008 = 0,2 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }(1,5225\stackrel{1}{ :} 0,29 – 3,45) · 7,35 – 13,03 = \\ = (152,25 : 29 – 3,45) · 7,35 – 13,03 = \\ = (5,25 \stackrel{2}{–} 3,45) · 7,35 – 13,03 = \\ = 1,8 \stackrel{3}{·} 7,35 – 13,03 = 13,23 –13,03 = \\ = 0,2 \end{gathered}$$

1.
2.	3.

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)}-2,6 · (3 – 3,8) + 4,2 · (4 – 2,7) = \\ = -2,6 · (-(3,8 – 3)) + 4,2 \stackrel{1}{·} 1,3 = \\ = -2,6 \stackrel{2}{·} (-0,8) + 5,46 = 2,08 + 5,46 = 7,54 \end{gathered}$$

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} -1,2 · (5 – 3,7) + 2,9 · (2 – 4,3) = \\ = -1,2 \stackrel{1}{·} 1,3 + 2,9 · (-(4,3 – 2)) = \\ = - 1,56 + 2,9 \stackrel{2}{· }(-2,3) = -1,56 + \\ + (-6,67) = - (6,67 \stackrel{3}{+} 1,56) = -8,23 \end{gathered}$$

1.	2.
3.

1) Решим выражение $(2,2365 : 0,71 - 2,35) \cdot 0,24 + 0,008$ по действиям:
1. Сначала выполним действие в скобках. Первым идет деление: $2,2365 : 0,71 = 3,15$.
2. Теперь вычитание в скобках: $3,15 - 2,35 = 0,8$.
3. Далее выполняем умножение: $0,8 \cdot 0,24 = 0,192$.
4. Последнее действие - сложение: $0,192 + 0,008 = 0,2$.
Ответ: 0,2

2) Решим выражение $(1,5225 : 0,29 - 3,45) \cdot 7,35 - 13,03$ по действиям:
1. Сначала выполним действие в скобках. Первым идет деление: $1,5225 : 0,29 = 5,25$.
2. Теперь вычитание в скобках: $5,25 - 3,45 = 1,8$.
3. Далее выполняем умножение: $1,8 \cdot 7,35 = 13,23$.
4. Последнее действие - вычитание: $13,23 - 13,03 = 0,2$.
Ответ: 0,2

3) Решим выражение $-2,6 \cdot (3 - 3,8) + 4,2 \cdot (4 - 2,7)$ по действиям:
1. Сначала выполним действия в скобках. Первые скобки: $3 - 3,8 = -0,8$.
2. Вторые скобки: $4 - 2,7 = 1,3$.
3. Далее выполняем умножение. Первое умножение: $-2,6 \cdot (-0,8) = 2,08$.
4. Второе умножение: $4,2 \cdot 1,3 = 5,46$.
5. Последнее действие - сложение: $2,08 + 5,46 = 7,54$.
Ответ: 7,54

4) Решим выражение $-1,2 \cdot (5 - 3,7) + 2,9 \cdot (2 - 4,3)$ по действиям:
1. Сначала выполним действия в скобках. Первые скобки: $5 - 3,7 = 1,3$.
2. Вторые скобки: $2 - 4,3 = -2,3$.
3. Далее выполняем умножение. Первое умножение: $-1,2 \cdot 1,3 = -1,56$.
4. Второе умножение: $2,9 \cdot (-2,3) = -6,67$.
5. Последнее действие - сложение: $-1,56 + (-6,67) = -1,56 - 6,67 = -8,23$.
Ответ: -8,23