Номер 4.381, страница 69, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

36. Свойства действий с рациональными числам. § 4. Действия с рациональными числами. ч. 2 - номер 4.381, страница 69.

4.381. Вычислите сумму всех целых чисел между числами:

а) –9 и 6; б) –19 и 15; в) –28 и 20; г) –6,5 и 13,5.

4.381

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-8 + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + \\ + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \\ = -8 + (-7) + (-6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) + \\ + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 = \\ = -21 + 0 + 0 + 0 + 0 = -21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -18 + (-17) + (-16) + (-15) + (-14) + \dots + \\ + (-1) + 0 + 1 + ... + 14 = -18 + (-17) + \\ + (-16) + (-15) + (-14 + 14) + \dots + (-1 + 1) + 0 = \\ = -66 + 0 + 0 + \dots + 0 = -66 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-27 + (-26) + (-25) + (-24) + (-23) + \dots + \\ + (-1) + 0 + 1 + ... + 19 = -27 + (-26) + \\ + (-25) + (-24) + (-23) + (-22) + (-21) + \\ + (-20) + (-19 + 19) + (-18 + 18) + \dots + \\ + (-1 + 1) + 0 =- 27 + (-26) + (-25) + (-24) + \\ + (-23) + + (-22) + (-21) + (-20) + 0 + \\ + 0 + \dots + 0 = -188 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-6 + (-5) + (-4) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \\ + 2 + 3 + \dots + 12 + 13 = (-6 + 6) + (-5 + 5) + \\ + (-4 + 4) + \dots + (-1 + 1) + 7 + 8 + 9 + \\ + 10 + 11 + 12 + 13 = 0 + \dots + 0 + (7 + 13) + \\ + (8 + 12) + (9 + 11) + 10 = 20 + 20 + 20 + 10 = 70 \end{gathered}$$

Для решения задачи мы будем находить сумму целых чисел, находящихся в заданных промежутках. Удобно заметить, что сумма симметричных относительно нуля целых чисел (например, от $-k$ до $k$) равна нулю. Это упрощает вычисления. Также можно использовать формулу суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

а)

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-9$ и $6$. Это последовательность целых чисел от $-8$ до $5$ включительно.
Ряд чисел: $-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Сумма целых чисел от $-5$ до $5$ включительно равна $0$, так как для каждого положительного числа в этом диапазоне есть соответствующее ему отрицательное, и их сумма равна нулю.
Таким образом, для нахождения общей суммы достаточно сложить оставшиеся числа: $-8, -7, -6$.
$S = (-8) + (-7) + (-6) = -21$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = -8$, последний член $a_n = 5$, количество членов $n = 5 - (-8) + 1 = 14$.
$S_{14} = \frac{(-8 + 5) \cdot 14}{2} = \frac{-3 \cdot 14}{2} = -3 \cdot 7 = -21$.
Ответ: -21

б)

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-19$ и $15$. Это последовательность целых чисел от $-18$ до $14$ включительно.
Сумма целых чисел от $-14$ до $14$ равна $0$.
Остается найти сумму чисел от $-18$ до $-15$:
$S = (-18) + (-17) + (-16) + (-15) = -66$.
Проверим с помощью формулы суммы арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = -18$, последний член $a_n = 14$, количество членов $n = 14 - (-18) + 1 = 33$.
$S_{33} = \frac{(-18 + 14) \cdot 33}{2} = \frac{-4 \cdot 33}{2} = -2 \cdot 33 = -66$.
Ответ: -66

в)

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-28$ и $20$. Это последовательность целых чисел от $-27$ до $19$ включительно.
Сумма целых чисел от $-19$ до $19$ равна $0$.
Следовательно, нужно найти сумму оставшихся чисел, которые образуют последовательность от $-27$ до $-20$.
Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = -27$, $a_n = -20$, количество членов $n = -20 - (-27) + 1 = 8$.
Сумма: $S_8 = \frac{(-27 + (-20)) \cdot 8}{2} = \frac{-47 \cdot 8}{2} = -47 \cdot 4 = -188$.
Проверим для всей последовательности от $-27$ до $19$. Первый член $a_1 = -27$, последний член $a_n = 19$, количество членов $n = 19 - (-27) + 1 = 47$.
$S_{47} = \frac{(-27 + 19) \cdot 47}{2} = \frac{-8 \cdot 47}{2} = -4 \cdot 47 = -188$.
Ответ: -188

г)

Требуется найти сумму всех целых чисел, которые находятся между $-6,5$ и $13,5$.
Первое целое число, которое больше $-6,5$, это $-6$. Последнее целое число, которое меньше $13,5$, это $13$.
Таким образом, мы ищем сумму целых чисел от $-6$ до $13$ включительно.
Сумма целых чисел от $-6$ до $6$ равна $0$.
Остается найти сумму чисел от $7$ до $13$:
$S = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13$.
Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 7$, $a_n = 13$, количество членов $n = 13 - 7 + 1 = 7$.
Сумма: $S_7 = \frac{(7+13) \cdot 7}{2} = \frac{20 \cdot 7}{2} = 10 \cdot 7 = 70$.
Проверим для всей последовательности от $-6$ до $13$. Первый член $a_1 = -6$, последний член $a_n = 13$, количество членов $n = 13 - (-6) + 1 = 20$.
$S_{20} = \frac{(-6 + 13) \cdot 20}{2} = \frac{7 \cdot 20}{2} = 7 \cdot 10 = 70$.
Ответ: 70