Вопросы в параграфе, страница 63, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Вопросы:

Какое число называют рациональным?

Является ли рациональным числом натуральное число; целое число; десятичная дробь?

Является ли рациональным числом сумма, разность, произведение рациональных чисел?

Каким способом обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

Какую несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби?

Какой дробью её можно выразить? Как записывают периодическую дробь?

35. Рациональные числа

Вопросы к параграфу

• число, которое можно записать в виде $\frac{p}{q}$, где р – целое число, а q – натуральное число, называют рациональным числом

• любое натуральное, целое число, а также десятичная дробь являются рациональными числами

• сумма, разность, произведение и частное (делитель не равен 0) рациональных чисел также является рациональным числом

• чтобы обыкновенную дробь представить в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю 10, 100, 1000, …, либо разделить числитель на знаменатель

• несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, если в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся простые числа, отличные от 2 и 5. Ее можно выразить в виде бесконечной десятичной дроби

• периодическую дробь записывают так: вначале пишут целую часть, затем неповторяющиеся цифры дробной части, а повторяющиеся цифры заключают в скобки, например: 0,3(6)

Какое число называют рациональным?

Рациональным числом называют любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Множество всех рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Ответ: число, представимое в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число.

Является ли рациональным числом натуральное число; целое число; десятичная дробь?

Да, все перечисленные виды чисел являются рациональными:

• Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Например, $5 = \frac{5}{1}$.
• Любое целое число $z$ (положительное, отрицательное или ноль) можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$. Например, $-3 = \frac{-3}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$.
• Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом, так как её можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным степени 10. Например, $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
• Любая бесконечная периодическая десятичная дробь также является рациональным числом, так как её можно преобразовать в обыкновенную дробь. Например, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Ответ: да, натуральное число, целое число и любая конечная или периодическая десятичная дробь являются рациональными числами.

Является ли рациональным числом сумма, разность, произведение рациональных чисел?

Да, множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения. Это означает, что результат этих операций над рациональными числами всегда будет рациональным числом.

Пусть есть два рациональных числа $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, r$ — целые числа, а $q, s$ — натуральные числа.

• Сумма: $a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$. Так как $ps+qr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, сумма является рациональным числом.
• Разность: $a - b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps - qr}{qs}$. Так как $ps-qr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, разность является рациональным числом.
• Произведение: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}$. Так как $pr$ — целое число, а $qs$ — натуральное число, произведение является рациональным числом.

Ответ: да, сумма, разность и произведение любых двух рациональных чисел всегда являются рациональным числом.

Каким способом обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить её числитель на знаменатель. Эту операцию можно выполнить "в столбик". В результате деления получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, для дроби $\frac{3}{8}$: делим 3 на 8 и получаем $0.375$.

Для дроби $\frac{2}{3}$: делим 2 на 3 и получаем $0.666...$, то есть бесконечную периодическую дробь.

Ответ: нужно разделить числитель дроби на её знаменатель.

Какую несократимую обыкновенную дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби?

Несократимую обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ нельзя записать в виде конечной десятичной дроби в том случае, если разложение её знаменателя $n$ на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Например, дробь $\frac{7}{12}$ несократима. Её знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении знаменателя есть множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби ($7 \div 12 = 0.58333...$).

Ответ: несократимую дробь, знаменатель которой при разложении на простые множители содержит простые числа, отличные от 2 и 5.

Какой дробью её можно выразить?

Если несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, то её можно выразить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Период этой дроби — это повторяющаяся последовательность цифр после запятой.

Например, $\frac{5}{6} = 0.8333...$ или $\frac{1}{7} = 0.142857142857...$

Ответ: её можно выразить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Как записывают периодическую дробь?

Для записи периодической дроби используется специальное обозначение: повторяющаяся группа цифр (период) записывается один раз и заключается в круглые скобки.

• Если период начинается сразу после запятой, дробь называется чистой периодической. Например, $\frac{1}{3} = 0.333...$ записывают как $0.(3)$.
• Если между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, не входящих в период, дробь называется смешанной периодической. Например, $\frac{5}{12} = 0.41666...$ записывают как $0.41(6)$.

Ответ: повторяющуюся группу цифр (период) заключают в круглые скобки.