Страница 58, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.118. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?

б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n - 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165.

в) Не все пары чисел вида 6k - 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k - 1 и 6k + 1, которые не являются числами- близнецами.

2.118

а) 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463 – всего 24 пары чисел-близнецов

$\mathit{б}\mathbf{)} n = 87$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 87 – 1 = 521 \\ 6n + 1 = 6 · 87 + 1 = 523 \end{gathered}$$

$n = 135$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 135 – 1 = 809 \\ 6n + 1 = 6 · 135 + 1 = 811 \end{gathered}$$

$n = 165$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 165 – 1 = 989 \\ 6n + 1 = 6 · 165 + 1 = 991 \end{gathered}$$

в) числа 6n – 1 и 6n + 1 не являются числами-близнецами при

$n = 4$

$6n – 1 = 6 · 4 – 1 = 23$

$6n + 1 = 6 · 4 + 1 = 25$– не является простым числом

$n = 6$

$6n – 1 = 6 · 6 – 1 = 35$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 6 + 1 = 37$

$n = 8$

$6n – 1 = 6 · 8 – 1 = 47$

$6n + 1 = 6 · 8 + 1 = 49$– не является простым числом

$n = 9$

$6n – 1 = 6 · 9 – 1 = 53$

$6n + 1 = 6 · 9 + 1 = 55$– не является простым числом

$n = 11$

$6n – 1 = 6 · 11 – 1 = 65$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 11 + 1 = 67$

$n = 13$

$6n – 1 = 6 · 13 – 1 = 77$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 13 + 1 = 79$

$n = 14$

$6n – 1 = 6 · 14 – 1 = 83$

$6n + 1 = 6 · 14 + 1 = 85$– не является простым числом

$n = 15$

$6n – 1 = 6 · 15 – 1 = 89$

$6n + 1 = 6 · 15 + 1 = 91$– не является простым числом

$n = 16$

$6n – 1 = 6 · 16 – 1 = 95$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 16 + 1 = 97$

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Чтобы найти такие пары среди первых 500 натуральных чисел, нужно выписать все простые числа до 500 и найти среди них те, что отличаются на 2.

Простые числа до 500: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103, 107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433, 461, 463 и другие.

Пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Подсчитав количество пар, получаем 24.

Ответ: Найдено 24 пары чисел-близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

б) Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), можно представить в виде ($6n - 1, 6n + 1$), где $n$ — натуральное число. Найдем пары чисел для заданных значений $n$ и проверим, являются ли они числами-близнецами.

1. При $n = 87$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 87 - 1 = 522 - 1 = 521$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 87 + 1 = 522 + 1 = 523$.
Получили пару (521, 523). Оба числа, 521 и 523, являются простыми. Следовательно, это пара чисел-близнецов.

2. При $n = 135$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 135 - 1 = 810 - 1 = 809$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 135 + 1 = 810 + 1 = 811$.
Получили пару (809, 811). Оба числа, 809 и 811, являются простыми. Следовательно, это пара чисел-близнецов.

3. При $n = 165$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 165 - 1 = 990 - 1 = 989$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 165 + 1 = 990 + 1 = 991$.
Получили пару (989, 991). Проверим числа на простоту. Число 991 является простым. Число 989 является составным, так как $989 = 23 \cdot 43$. Следовательно, эта пара не является парой чисел-близнецов.

Ответ: Для $n=87$ пара (521, 523); для $n=135$ пара (809, 811); для $n=165$ пара (989, 991).

в) Нам нужно найти все пары двузначных чисел вида ($6k - 1, 6k + 1$), которые не являются числами-близнецами. Это означает, что хотя бы одно из чисел в паре является составным.

Сначала определим диапазон для $k$. Числа должны быть двузначными, то есть от 10 до 99.
$6k - 1 \ge 10 \implies 6k \ge 11 \implies k \ge 11/6 \approx 1.83$. Минимальное целое $k=2$.
$6k + 1 \le 99 \implies 6k \le 98 \implies k \le 98/6 \approx 16.33$. Максимальное целое $k=16$.
Итак, будем проверять $k$ от 2 до 16.

Проверяем все значения $k$ от 2 до 16:
- $k=2$: (11, 13) - оба простые (близнецы).
- $k=3$: (17, 19) - оба простые (близнецы).
- $k=4$: (23, 25) - 25 составное ($25 = 5 \cdot 5$). Пара не является близнецами.
- $k=5$: (29, 31) - оба простые (близнецы).
- $k=6$: (35, 37) - 35 составное ($35 = 5 \cdot 7$). Пара не является близнецами.
- $k=7$: (41, 43) - оба простые (близнецы).
- $k=8$: (47, 49) - 49 составное ($49 = 7 \cdot 7$). Пара не является близнецами.
- $k=9$: (53, 55) - 55 составное ($55 = 5 \cdot 11$). Пара не является близнецами.
- $k=10$: (59, 61) - оба простые (близнецы).
- $k=11$: (65, 67) - 65 составное ($65 = 5 \cdot 13$). Пара не является близнецами.
- $k=12$: (71, 73) - оба простые (близнецы).
- $k=13$: (77, 79) - 77 составное ($77 = 7 \cdot 11$). Пара не является близнецами.
- $k=14$: (83, 85) - 85 составное ($85 = 5 \cdot 17$). Пара не является близнецами.
- $k=15$: (89, 91) - 91 составное ($91 = 7 \cdot 13$). Пара не является близнецами.
- $k=16$: (95, 97) - 95 составное ($95 = 5 \cdot 19$). Пара не является близнецами.

Ответ: Пары двузначных чисел вида $6k-1$ и $6k+1$, не являющиеся числами-близнецами: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

2.119. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 22 и 55; б) 40 и 50; в) 270 и 450; г) 40, 60 и 15.

2.119

а)

$$\begin{gathered} 22 = 2 · 11 \\ 55 = 5 · 11 \\ \mathrm{НОК} (22; 55) = 2 · 11 · 5 = 110 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \\ 50 = 2 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (40; 50) =2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 200 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 \\ 450 = 2 · 3 · 3 · 5 ·5 \\ \mathrm{НОК} (270; 450) = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 = 1350 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \\ 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ 15 = 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (40; 60; 15) =2 · 2 · 2 · 5 · 3 = 120 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 22 и 55, разложим их на простые множители.

Разложение числа 22: $22 = 2 \cdot 11$.

Разложение числа 55: $55 = 5 \cdot 11$.

Для нахождения НОК необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В данном случае это множители $2$, $5$ и $11$ в первой степени.

НОК(22, 55) = $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$.

Ответ: 110

б) Чтобы найти НОК для чисел 40 и 50, разложим их на простые множители.

Разложение числа 40: $40 = 4 \cdot 10 = 2^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Разложение числа 50: $50 = 5 \cdot 10 = 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$.

Выбираем простые множители в наивысших степенях из обоих разложений: $2^3$ и $5^2$.

НОК(40, 50) = $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$.

Ответ: 200

в) Чтобы найти НОК для чисел 270 и 450, разложим их на простые множители.

Разложение числа 270: $270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

Разложение числа 450: $450 = 45 \cdot 10 = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Выбираем простые множители в наивысших степенях: $2^1$, $3^3$ и $5^2$.

НОК(270, 450) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 27 \cdot 25 = 54 \cdot 25 = 1350$.

Ответ: 1350

г) Чтобы найти НОК для чисел 40, 60 и 15, разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 40: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Разложение числа 60: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.

Выбираем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^3$, $3^1$ и $5^1$.

НОК(40, 60, 15) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120

2.120. Найдите НОД (n, d), если:

а) n = 3 · 5 · 7 · 7 · 11, d = 5 · 5 · 7 · 11;

б) n = 756, d = 720.

2.120

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{n} = 3 · 5 · 7· 7 · 11 \\ \mathrm{d} = 5 · 5 · 7 · 11 \\ \mathrm{НОД} (\mathrm{n}; \mathrm{d}) = 5 · 7 · 11 = 385 \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{n} = 756, \mathrm{d} = 720$

$$\begin{gathered} 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 \\ 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОД} (756; 720) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, которые уже разложены на простые множители, нужно взять произведение их общих простых множителей. При этом каждый общий множитель берется с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

Представим данные числа в виде произведения степеней простых множителей:

$n = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^1$

$d = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$

Общими простыми множителями для чисел $n$ и $d$ являются 5, 7 и 11. Множитель 3 не является общим, так как он есть только в разложении числа $n$.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях: для множителя 5 наименьшая степень - $1$ (в числе $n$), для множителя 7 наименьшая степень - $1$ (в числе $d$), для множителя 11 наименьшая степень - $1$ (в обоих числах).

Теперь вычислим НОД, перемножив эти множители в выбранных степенях:

$НОД(n, d) = 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 35 \cdot 11 = 385$

Ответ: 385

б) Для нахождения НОД чисел $n = 756$ и $d = 720$ сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 756:
$756 | 2$
$378 | 2$
$189 | 3$
$63 | 3$
$21 | 3$
$7 | 7$
$1 | $
Таким образом, $n = 756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^1$.

Разложение числа 720:
$720 | 2$
$360 | 2$
$180 | 2$
$90 | 2$
$45 | 3$
$15 | 3$
$5 | 5$
$1 | $
Таким образом, $d = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Теперь, используя разложения на простые множители, найдем НОД. Общими простыми множителями являются 2 и 3. Множители 7 и 5 не являются общими.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень: для 2 это $2^2$ (из разложения 756), для 3 это $3^2$ (из разложения 720).

Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:

$НОД(756, 720) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Ответ: 36

2.121. Артель «Дары леса» заготовила 78 ц морошки, клюквы и брусники. При этом клюквы заготовили в 5 раз больше, чем морошки, а брусники — на 15 ц больше, чем морошки. Сколько центнеров каждой ягоды заготовила артель?

2.121

Пусть х ц – заготовили морошки, тогда 5х ц – заготовили клюквы,
(х + 15) ц – заготовили брусники. Зная, что всего заготовили 78 ц ягод, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 5х + х + 15 = 78; \\ 7х = 78 – 15; \\ 7х = 63; \\ х = 63 : 7; \end{gathered}$$

$х = 9$(ц) – заготовили морошки;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 · 9 = 45$(ц) – заготовили клюквы;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 9 + 15 = 24$(ц) – заготовили брусники.

Ответ: 9 ц морошки, 45 ц клюквы и 24 ц брусники.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество центнеров морошки, которое заготовила артель.

Исходя из условия, количество заготовленной клюквы в 5 раз больше, чем морошки. Таким образом, количество клюквы можно выразить как $5x$ центнеров.

Также по условию, брусники заготовили на 15 центнеров больше, чем морошки. Значит, количество брусники составляет $(x + 15)$ центнеров.

Общее количество всех ягод (морошки, клюквы и брусники) составляет 78 центнеров. Мы можем составить уравнение, сложив количество каждого вида ягод:

$x + 5x + (x + 15) = 78$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с переменной $x$:

$7x + 15 = 78$

Далее, перенесем 15 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$7x = 78 - 15$

$7x = 63$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = \frac{63}{7}$

$x = 9$

Мы нашли, что количество морошки составляет 9 центнеров. Теперь, используя это значение, найдем количество остальных ягод.

Морошка:
Количество заготовленной морошки равно $x$, то есть 9 центнеров.

Клюква:
Количество заготовленной клюквы равно $5x = 5 \cdot 9 = 45$ центнеров.

Брусника:
Количество заготовленной брусники равно $x + 15 = 9 + 15 = 24$ центнера.

Проверим правильность решения, сложив полученные значения: $9 + 45 + 24 = 54 + 24 = 78$ центнеров. Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: артель заготовила 9 центнеров морошки, 45 центнеров клюквы и 24 центнера брусники.

2.122. Масса трёх космических станций «Салют-1» (запуск в 1971 г.), «Мир» (запуск в 1986 г.) и МКС (запуск в 1998 г.) равна 560,53 т. Найдите массу каждой станции, если масса станции «Мир» на 105,44 т больше массы станции «Салют-1», а масса МКС больше массы станции Мир на 292,95 т.

2.122

Пусть х т – масса станции «Мир», тогда (х – 105,44) т – масса станции «Салют – 1», (х + 292,95) т – масса МКС. Зная, что их общая масса составляет 560,53 т, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х – 105,44 + х + х + 292,95 = 560,53; \\ х + х + х + 292,94 - 105,44 = 560,53; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3х + 187,51 = 560,53; \\ 3х = 560,53 – 187,51; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3х = 373,02; \\ х = 373,02 : 3; \end{gathered}$$

$х = 124,34$(т) – масса станции «Мир»;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }124,34 – 105,44 = 18,9$(т) – масса станции «Салют – 1»;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }124,34 + 292,95 = 417,29$(т) – масса МКС.

Ответ: 18,9 т станция «Салют – 1», 124,34 т станция «Мир», 417,29 т МКС

Для решения задачи введем переменную для обозначения массы одной из станций. Удобнее всего взять за основу массу станции «Салют-1».

Пусть $x$ — масса станции «Салют-1» в тоннах.

Согласно условию, масса станции «Мир» на 105,44 т больше массы станции «Салют-1». Следовательно, масса станции «Мир» составляет $(x + 105,44)$ т.

Также известно, что масса МКС больше массы станции «Мир» на 292,95 т. Значит, масса МКС равна массе «Мир» плюс 292,95 т: $(x + 105,44) + 292,95 = (x + 398,39)$ т.

Общая масса всех трех станций равна 560,53 т. Мы можем составить уравнение, сложив массы всех трех станций:

$x + (x + 105,44) + (x + 398,39) = 560,53$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 105,44 + 398,39 = 560,53$

$3x + 503,83 = 560,53$

Далее, перенесем известное слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3x = 560,53 - 503,83$

$3x = 56,7$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 56,7 \div 3$

$x = 18,9$

Таким образом, мы нашли массу станции «Салют-1». Теперь, зная $x$, мы можем найти массы остальных станций.

Масса станции «Салют-1»

Масса станции «Салют-1» равна $x$, что составляет 18,9 т.

Ответ: 18,9 т.

Масса станции «Мир»

Масса станции «Мир» рассчитывается по формуле $x + 105,44$.

$18,9 + 105,44 = 124,34$ т.

Ответ: 124,34 т.

Масса станции МКС

Масса МКС рассчитывается как масса станции «Мир» плюс 292,95 т.

$124,34 + 292,95 = 417,29$ т.

Ответ: 417,29 т.

Проверка: Сложим полученные массы, чтобы убедиться в правильности решения.

$18,9 (\text{Салют-1}) + 124,34 (\text{Мир}) + 417,29 (\text{МКС}) = 560,53$ т.

Сумма совпадает с обшей массой, указанной в условии задачи.

2.123. Найдите корень уравнения:

а) (z + 25,3) · 4,3 = 160,82;
б) (у - 0,86) · 0,05 = 0,0285;
в) (m + 41,1) : 17,1 = 4,3;
г) (n - 8,7) : 18,7 = 5,2.

2.123

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (z + 25,3) · 4,3 = 160,82; \\ z + 25,3 = 160,82 : 4,3; \\ z + 25,3 = 1608,2\stackrel{1}{ : }43; \\ z + 25,3 = 37,4; \\ z = 37,4 \stackrel{2}{–} 25,3; \\ z = 12,1. \end{gathered}$$

Ответ: 12,1.

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (у – 0,86) · 0,05 = 0,0285; \\ у – 0,86 = 0,0285\stackrel{1}{ :} 0,05; \\ у – 0,86 = 2,85 : 5; \\ у – 0,86 = 0,57; \\ у = 0,57 \stackrel{2}{+} 0,86; \\ у = 1,43. \end{gathered}$$

Ответ: 1,43.

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (m + 41,1) : 17,1 = 4,3; \\ m + 41,1 = 4,3 \stackrel{1}{·} 17,1; \\ m + 41,1 = 73,53; \\ m = 73,53 \stackrel{2}{–} 41,1; \\ m = 32,43. \end{gathered}$$

Ответ: 32,43.

1.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} (n – 8,7) : 18,7 = 5,2; \\ n – 8,7 = 5,2 \stackrel{1}{·} 18,7; \\ n – 8,7 = 97,24; \\ n = 97,24 \stackrel{2}{+} 8,7; \\ n = 105,94. \end{gathered}$$

Ответ: 105,94.

1.

2.

а) $(z + 25,3) \cdot 4,3 = 160,82$

В этом уравнении выражение в скобках $(z + 25,3)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$z + 25,3 = 160,82 : 4,3$

$z + 25,3 = 37,4$

Теперь $z$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$z = 37,4 - 25,3$

$z = 12,1$

Ответ: $12,1$

б) $(y - 0,86) \cdot 0,05 = 0,0285$

Здесь выражение в скобках $(y - 0,86)$ является неизвестным множителем. Найдем его, разделив произведение на известный множитель.

$y - 0,86 = 0,0285 : 0,05$

$y - 0,86 = 0,57$

Теперь $y$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$y = 0,57 + 0,86$

$y = 1,43$

Ответ: $1,43$

в) $(m + 41,1) : 17,1 = 4,3$

В данном уравнении выражение в скобках $(m + 41,1)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$m + 41,1 = 4,3 \cdot 17,1$

$m + 41,1 = 73,53$

Теперь $m$ — это неизвестное слагаемое. Найдем его, вычитая из суммы известное слагаемое.

$m = 73,53 - 41,1$

$m = 32,43$

Ответ: $32,43$

г) $(n - 8,7) : 18,7 = 5,2$

Здесь выражение в скобках $(n - 8,7)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти его, нужно частное умножить на делитель.

$n - 8,7 = 5,2 \cdot 18,7$

$n - 8,7 = 97,24$

Теперь $n$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$n = 97,24 + 8,7$

$n = 105,94$

Ответ: $105,94$

2.124. Запишите в виде смешанного числа:

а) 31 : 9; б) 81 : 9; в) 402 : 15; г) 1429 : 14.

2.124

$\mathit{а}\mathbf{)} 31 : 9 = \frac{31}{9}= 3\frac{4}{9}$

$\mathit{б}\mathbf{)} 81 : 9 = \frac{81}{9} = 9$

$\mathit{в}\mathbf{)} 402 : 15 = \frac{402}{15}= 26\frac{12}{15}= 26\frac{4}{5}$

$\mathit{г}\mathbf{)} 1429 : 14 =\frac{ 1429}{14}= 102\frac{1}{14}$

а) Чтобы записать частное $31 : 9$ в виде смешанного числа, необходимо выполнить деление с остатком. Деление можно представить в виде неправильной дроби $\frac{31}{9}$.
1. Найдём целую часть, разделив $31$ на $9$. Ближайшее к $31$ число, которое делится на $9$ без остатка, это $27$.
$27 : 9 = 3$. Значит, целая часть смешанного числа равна $3$.
2. Найдём остаток от деления. Он будет числителем дробной части.
$31 - 27 = 4$. Остаток равен $4$.
3. Знаменатель дробной части остаётся прежним, то есть $9$.
В результате получаем смешанное число $3 \frac{4}{9}$.
Ответ: $3 \frac{4}{9}$.

б) Чтобы записать частное $81 : 9$ в виде смешанного числа, выполним деление.
$81 \div 9 = 9$.
Деление выполняется нацело, остаток равен $0$. В этом случае результатом является целое число, а не смешанное.
Ответ: $9$.

в) Чтобы записать частное $402 : 15$ в виде смешанного числа, выполним деление с остатком.
1. Разделим $402$ на $15$ "в столбик", чтобы найти целую часть.
$40 \div 15 = 2$ (остаток $10$).
Сносим $2$, получаем $102$. $102 \div 15 = 6$ (остаток $12$).
Целая часть равна $26$.
2. Остаток от деления равен $12$. Это числитель дробной части.
3. Знаменатель — $15$.
Получаем смешанное число $26 \frac{12}{15}$.
4. Дробную часть $\frac{12}{15}$ можно сократить. Найдём наибольший общий делитель для $12$ и $15$. Это $3$.
$12 \div 3 = 4$
$15 \div 3 = 5$
Сокращённая дробь: $\frac{4}{5}$.
Итоговое смешанное число: $26 \frac{4}{5}$.
Ответ: $26 \frac{4}{5}$.

г) Чтобы записать частное $1429 : 14$ в виде смешанного числа, выполним деление с остатком.
1. Разделим $1429$ на $14$ "в столбик".
$14 \div 14 = 1$.
Сносим $2$. $2$ меньше $14$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим $9$, получаем $29$. $29 \div 14 = 2$ (остаток $29 - 2 \times 14 = 29 - 28 = 1$).
Целая часть равна $102$.
2. Остаток от деления равен $1$. Это числитель дробной части.
3. Знаменатель — $14$.
Получаем смешанное число $102 \frac{1}{14}$. Дробь $\frac{1}{14}$ является несократимой.
Ответ: $102 \frac{1}{14}$.

2.125. За конкурс «Музыкальное приветствие» команды КВН получили следующие оценки:

Расположите команды по возрастанию их средних баллов.

2.125

$(5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4) : 7 = 29 : 7 =$

$= \frac{29}{7}= 4\frac{1}{7}$– средний балл команды «Веселые»

$(4 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5) : 7 = 30 : 7 =$

$= \frac{30}{7}= 4\frac{2}{7}$– средний балл команды «Находчивые»

$(4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 5 + 4) : 6 = 28 : 7 =$

$= 4$– средний балл команды «Юморные»

$4 < 4\frac{1}{7}< 4\frac{2}{7}$

Ответ: «Юморные», «Веселые», «Находчивые»

Для того чтобы расположить команды по возрастанию их средних баллов, необходимо вычислить средний арифметический балл для каждой команды. Средний балл находится путем сложения всех оценок и деления полученной суммы на количество оценок.

«Весёлые»

Команда получила 7 оценок: 5, 5, 4, 4, 3, 4, 4.

1. Найдем сумму всех оценок:

$5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4 = 29$

2. Разделим сумму на количество оценок, чтобы найти средний балл:

$29 \div 7 = \frac{29}{7}$

Ответ: Средний балл команды «Весёлые» составляет $\frac{29}{7}$.

«Находчивые»

Команда получила 7 оценок: 4, 5, 4, 4, 4, 4, 5.

1. Найдем сумму всех оценок:

$4 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 = 30$

2. Разделим сумму на количество оценок, чтобы найти средний балл:

$30 \div 7 = \frac{30}{7}$

Ответ: Средний балл команды «Находчивые» составляет $\frac{30}{7}$.

«Юморные»

Команда получила 7 оценок: 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4.

1. Найдем сумму всех оценок:

$4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 5 + 4 = 28$

2. Разделим сумму на количество оценок, чтобы найти средний балл:

$28 \div 7 = 4$

Ответ: Средний балл команды «Юморные» составляет $4$.

Расположение команд по возрастанию их средних баллов

Теперь сравним полученные средние баллы:

• «Юморные»: $4 = \frac{28}{7}$
• «Весёлые»: $\frac{29}{7}$
• «Находчивые»: $\frac{30}{7}$

Сравнивая дроби с одинаковым знаменателем, мы видим, что чем больше числитель, тем больше дробь. Таким образом:

$\frac{28}{7} < \frac{29}{7} < \frac{30}{7}$

Это соответствует следующему порядку команд:

Ответ: «Юморные», «Весёлые», «Находчивые».

2.126. Турист плыл на байдарке 1,5 ч со скоростью 6,6 км/ч и 3,5 ч шёл пешком со скоростью 5,4 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста на всём пути.

2.126

Средняя скорость - ? км/ч

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }6,6 · 1,5 = 9,9$(км) – проплыл турист на байдарке;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5,4 · 3,5 = 18,9$(км) – прошел турист пешком;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }1,5 + 3,5 = 5$(ч) – время в пути;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }9,9 + 18,9 = 28,8$(км) – общий путь туриста;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 28,8 : 5 = 5,76$(км/ч) – средняя скорость туриста.

Ответ: 5,76 км/ч

Средняя скорость вычисляется по формуле: отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Обозначим это как:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий путь, а $t_{общ}$ — общее время.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти расстояние, которое турист проплыл на байдарке ($S_1$).

Для этого умножим скорость движения на байдарке ($v_1 = 6,6 \text{ км/ч}$) на время движения ($t_1 = 1,5 \text{ ч}$):

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 6,6 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 9,9 \text{ км}.$

2. Найти расстояние, которое турист прошёл пешком ($S_2$).

Для этого умножим скорость ходьбы ($v_2 = 5,4 \text{ км/ч}$) на время ходьбы ($t_2 = 3,5 \text{ ч}$):

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 5,4 \text{ км/ч} \cdot 3,5 \text{ ч} = 18,9 \text{ км}.$

3. Найти общий пройденный путь ($S_{общ}$).

Сложим расстояния, пройденные на байдарке и пешком:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 9,9 \text{ км} + 18,9 \text{ км} = 28,8 \text{ км}.$

4. Найти общее время в пути ($t_{общ}$).

Сложим время, затраченное на каждый участок пути:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 1,5 \text{ ч} + 3,5 \text{ ч} = 5 \text{ ч}.$

5. Найти среднюю скорость туриста на всём пути ($v_{ср}$).

Разделим общий путь на общее время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{28,8 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 5,76 \text{ км/ч}.$

Ответ: $5,76 \text{ км/ч}$.

2.127. Выполните действия:

а) (854,9 - 203,3) : 7,2 · 1,4 + 3,3;
б) (150,4 + 87,5) : 7,8 · 2,5 - 4,5.

2.127

$\mathit{а}\mathbf{)} (854,9\stackrel{1}{ –} 203,3)\stackrel{2}{ :} 7,2 \stackrel{3}{·} 1,4 \stackrel{4}{+} 3,3 = 130$

1.	2.
3.	4.

$\mathit{б}\mathbf{)} (150,4 \stackrel{1}{+} 87,5)\stackrel{2}{ : }7,8 \stackrel{3}{·} 2,5 \stackrel{4}{–} 4,5 = 71,75$

1.	2.
3.	4.

а) Решим выражение $(854,9 - 203,3) : 7,2 \cdot 1,4 + 3,3$ по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках:
$854,9 - 203,3 = 651,6$

2. Теперь, двигаясь слева направо, выполним деление:
$651,6 : 7,2 = 90,5$

3. Следующее действие – умножение:
$90,5 \cdot 1,4 = 126,7$

4. Последним действием выполним сложение:
$126,7 + 3,3 = 130$

Ответ: 130

б) Решим выражение $(150,4 + 87,5) : 7,8 \cdot 2,5 - 4,5$ аналогичным образом, по действиям.

1. Первым действием выполним сложение в скобках:
$150,4 + 87,5 = 237,9$

2. Далее, двигаясь слева направо, выполним деление:
$237,9 : 7,8 = 30,5$

3. Следующее действие – умножение:
$30,5 \cdot 2,5 = 76,25$

4. Последним действием выполним вычитание:
$76,25 - 4,5 = 71,75$

Ответ: 71,75

4.308. Выполните действия:

а) –1 : (–8); б) –1 : 5; в) 1 : (–4); г) –7 : (–2); д) –9 : 10; е) 23 : (–9).

4.308

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 : (-8) = 1 : 8 =\frac{1}{8}$

$\mathit{б}\mathbf{)} -1 : 5 = -(1 : 5) = -\frac{1}{5}$

$\mathit{в}\mathbf{)} 1 : (-4) = -(1 : 4) = -\frac{1}{4}$

$\mathit{г}\mathbf{)} -7 : (-2) = 7 : 2 =\frac{7}{2}= 3\frac{1}{2}$

$\mathit{д}\mathbf{)} -9 : 10 = -(9 : 10) = -\frac{9}{10} = -0,9$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }23 : (-9) = -(23 : 9) = -\frac{23}{9}= -2\frac{5}{9}$

а) Чтобы выполнить деление $ -1 : (-8) $, нужно вспомнить правило деления чисел с разными знаками. При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Далее необходимо разделить их модули (абсолютные значения):
$ |-1| : |-8| = 1 : 8 = \frac{1}{8} $
Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $ \frac{1}{8} = 0,125 $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) Чтобы выполнить деление $ -1 : 5 $, нужно разделить отрицательное число на положительное. Результат такого деления будет отрицательным. Разделим модули чисел:
$ |-1| : |5| = 1 : 5 = \frac{1}{5} $
Добавим знак минуса к результату: $ -\frac{1}{5} $. В виде десятичной дроби это равно $ -0,2 $.
Ответ: $ -\frac{1}{5} $.

в) Чтобы выполнить деление $ 1 : (-4) $, нужно разделить положительное число на отрицательное. Результат будет отрицательным. Разделим модули чисел:
$ |1| : |-4| = 1 : 4 = \frac{1}{4} $
Добавим знак минуса к результату: $ -\frac{1}{4} $. В виде десятичной дроби это равно $ -0,25 $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $.

г) Чтобы выполнить деление $ -7 : (-2) $, нужно разделить отрицательное число на отрицательное. Результат будет положительным. Разделим модули чисел:
$ |-7| : |-2| = 7 : 2 = \frac{7}{2} $
Результат можно представить в виде десятичной дроби $ 3,5 $ или в виде смешанного числа $ 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 3,5 $.

д) Чтобы выполнить деление $ -9 : 10 $, нужно разделить отрицательное число на положительное. Результат будет отрицательным. Разделим модули чисел:
$ |-9| : |10| = 9 : 10 = \frac{9}{10} $
Добавим знак минуса к результату: $ -\frac{9}{10} $. В виде десятичной дроби это равно $ -0,9 $.
Ответ: $ -0,9 $.

е) Чтобы выполнить деление $ 23 : (-9) $, нужно разделить положительное число на отрицательное. Результат будет отрицательным. Разделим модули чисел:
$ |23| : |-9| = 23 : 9 = \frac{23}{9} $
Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть: $ \frac{23}{9} = 2\frac{5}{9} $.
Добавим знак минуса к результату: $ -2\frac{5}{9} $.
Ответ: $ -2\frac{5}{9} $.

4.309. Найдите частное:

а) – 79 : 23; б) – 313 : ( – 926); в) 1635 : (– 425); г) – 58 : (– 1564); д) 45 : (–16); е) –9 : 911.

4.309

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -\frac{7}{9} : \frac{2}{3} = -\left(\frac{7}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{2}\right) = -\left(\frac{7}{3} · \frac{1}{2}\right)= \\ = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{3}{13} : \left(-\frac{9}{26}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{26}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}}} = \\ =\frac{1}{1} · \frac{2}{3} = \frac{2}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{16}{35} : \left(-\frac{4}{25}\right) = -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{35}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}}\right) = \\ = -\left(\frac{4}{7} · \frac{5}{1}\right) = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{8} : \left(-\frac{15}{64}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}}} = \frac{1}{1} · \frac{8}{3}= \\ = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{5} : \left(-16\right) = -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{5} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}}\right) = -\left(\frac{1}{5} · \frac{1}{4}\right)= \\ = -\frac{1}{20}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -9 : \frac{9}{11} = -\left(\cancel{9} · \frac{11}{\cancel{9}}\right) = -\left(1 · \frac{11}{1}\right) = \\ =-11. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти частное двух дробей, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.

$-\frac{7}{9} : \frac{2}{3} = -(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий делитель 3:

$-\frac{7 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{9}^3 \cdot 2} = -\frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{7}{6}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}$

Ответ: $-1\frac{1}{6}$

б) При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным.

$-\frac{3}{13} : (-\frac{9}{26}) = \frac{3}{13} \cdot \frac{26}{9} = \frac{3 \cdot 26}{13 \cdot 9}$

Сократим дробь: 3 и 9 делятся на 3, а 26 и 13 делятся на 13.

$\frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{26}^2}{\cancel{13}^1 \cdot \cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.

$\frac{16}{35} : (-\frac{4}{25}) = -(\frac{16}{35} \cdot \frac{25}{4}) = -\frac{16 \cdot 25}{35 \cdot 4}$

Сократим дробь: 16 и 4 делятся на 4, а 25 и 35 делятся на 5.

$-\frac{\cancel{16}^4 \cdot \cancel{25}^5}{\cancel{35}^7 \cdot \cancel{4}^1} = -\frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 1} = -\frac{20}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7}$

Ответ: $-2\frac{6}{7}$

г) При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным.

$-\frac{5}{8} : (-\frac{15}{64}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{64}{15} = \frac{5 \cdot 64}{8 \cdot 15}$

Сократим дробь: 5 и 15 делятся на 5, а 64 и 8 делятся на 8.

$\frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{64}^8}{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{15}^3} = \frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$

д) Чтобы разделить дробь на целое число, представим целое число в виде дроби со знаменателем 1. При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.

$\frac{4}{5} : (-16) = \frac{4}{5} : (-\frac{16}{1}) = -(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{16}) = -\frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 16}$

Сократим дробь на 4:

$-\frac{\cancel{4}^1}{5 \cdot \cancel{16}^4} = -\frac{1}{5 \cdot 4} = -\frac{1}{20}$

Ответ: $-\frac{1}{20}$

е) Чтобы разделить целое число на дробь, представим целое число в виде дроби со знаменателем 1. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.

$-9 : \frac{9}{11} = -\frac{9}{1} : \frac{9}{11} = -(\frac{9}{1} \cdot \frac{11}{9}) = -\frac{9 \cdot 11}{1 \cdot 9}$

Сократим дробь на 9:

$-\frac{\cancel{9}^1 \cdot 11}{1 \cdot \cancel{9}^1} = -\frac{11}{1} = -11$

Ответ: $-11$

4.310. Выполните деление:

а) 359 : (– 427); б) – 418 : (–33); в) –1311 : (–3722); г) –717 : 11149.

4.310

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 3\frac{5}{9} : \left(-\frac{4}{27}\right) = -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}\right) = \\ =-\left(\frac{8}{1} · \frac{3}{1}\right) = -\frac{24}{1} = -24; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -4\frac{1}{8} : (-33) = \frac{\cancel{33}}{8} · \frac{1}{\cancel{33}}= \\ =\frac{1}{8} · \frac{1}{1} = \frac{1}{8}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{3}{11} : \left(-3\frac{7}{22}\right) = \frac{14}{11} : \frac{73}{22}= \\ = \frac{14}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}}}{73}= \frac{14}{1} · \frac{2}{73}=\frac{28}{73}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-7\frac{1}{7} : 1\frac{11}{49} = -\left(\frac{50}{7} : \frac{60}{49}\right)= \\ = - \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{50}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\bcancel{49}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{60}}}}\right) = -\left(\frac{5}{1} · \frac{7}{6}\right) = -\frac{35}{6} = \\ = -5\frac{5}{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить смешанное число на дробь, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{27 + 5}{9} = \frac{32}{9}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$3\frac{5}{9} : \left(-\frac{4}{27}\right) = \frac{32}{9} : \left(-\frac{4}{27}\right) = \frac{32}{9} \cdot \left(-\frac{27}{4}\right) = -\left(\frac{32 \cdot 27}{9 \cdot 4}\right)$
Сократим дробь: 32 и 4 на 4, 27 и 9 на 9.
$-\left(\frac{32 \cdot 27}{9 \cdot 4}\right) = -\left(\frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 1}\right) = -24$
Ответ: -24

б) Представим смешанное число в виде неправильной дроби, а целое число в виде дроби со знаменателем 1.
$-4\frac{1}{8} = -\frac{4 \cdot 8 + 1}{8} = -\frac{33}{8}$
$-33 = -\frac{33}{1}$
При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$-4\frac{1}{8} : (-33) = \left(-\frac{33}{8}\right) : \left(-\frac{33}{1}\right) = \frac{33}{8} \cdot \frac{1}{33} = \frac{33 \cdot 1}{8 \cdot 33}$
Сократим дробь на 33.
$\frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей.
$-1\frac{3}{11} = -\frac{1 \cdot 11 + 3}{11} = -\frac{14}{11}$
$-3\frac{7}{22} = -\frac{3 \cdot 22 + 7}{22} = -\frac{66 + 7}{22} = -\frac{73}{22}$
При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$-1\frac{3}{11} : \left(-3\frac{7}{22}\right) = \left(-\frac{14}{11}\right) : \left(-\frac{73}{22}\right) = \frac{14}{11} \cdot \frac{22}{73} = \frac{14 \cdot 22}{11 \cdot 73}$
Сократим дробь: 22 и 11 на 11.
$\frac{14 \cdot 2}{1 \cdot 73} = \frac{28}{73}$
Ответ: $\frac{28}{73}$

г) Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей.
$-7\frac{1}{7} = -\frac{7 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{50}{7}$
$1\frac{11}{49} = \frac{1 \cdot 49 + 11}{49} = \frac{60}{49}$
При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
$-7\frac{1}{7} : 1\frac{11}{49} = \left(-\frac{50}{7}\right) : \frac{60}{49} = -\left(\frac{50}{7} \cdot \frac{49}{60}\right) = -\frac{50 \cdot 49}{7 \cdot 60}$
Сократим дробь: 50 и 60 на 10, 49 и 7 на 7.
$-\frac{5 \cdot 7}{1 \cdot 6} = -\frac{35}{6}$
Выделим целую часть из неправильной дроби.
$-\frac{35}{6} = -5\frac{5}{6}$
Ответ: $-5\frac{5}{6}$

4.313. Вычислите:

а) 5,6 : (– 134); б) – 45 : (–0,3); в) –4,8 : 135; г) 1,3 : (– 14).

4.311

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 5,6 : \left(-1\frac{3}{4}\right) = -\left(5\frac{6}{10} : \frac{7}{4}\right)= \\ = -\left(5\frac{3}{5} · \frac{4}{7}\right) = - \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{28}}}}{5} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}\right) = \\ = -\left(\frac{4}{5} · \frac{4}{1}\right) = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{5} : (-0,3) = \frac{4}{5} : \frac{3}{10}=\frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{3}= \\ = \frac{4}{1} · \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4,8 :{ 1\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} = -4,8 : 1\frac{6}{10}=-4,8 : 1,6 = \\ =- (4,8 : 1,6) = - (48 : 16) = -3 \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1,3 : \left(-\frac{1}{4}\right) = - (1,3 · 4) = -5,2.$

а) Чтобы разделить десятичную дробь на смешанную, представим оба числа в виде неправильных дробей.
$5,6 = 5\frac{6}{10} = 5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$
$-1\frac{3}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{7}{4}$
Теперь выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$5,6 : (-1\frac{3}{4}) = \frac{28}{5} : (-\frac{7}{4}) = \frac{28}{5} \cdot (-\frac{4}{7}) = -\frac{28 \cdot 4}{5 \cdot 7}$
Сократим числитель и знаменатель на 7:
$-\frac{28 \cdot 4}{5 \cdot 7} = -\frac{4 \cdot 4}{5} = -\frac{16}{5} = -3,2$
Ответ: -3,2

б) Чтобы разделить обыкновенную дробь на десятичную, представим десятичную дробь в виде обыкновенной.
$-0,3 = -\frac{3}{10}$
При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$-\frac{4}{5} : (-0,3) = -\frac{4}{5} : (-\frac{3}{10}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 3}$
Сократим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Ответ: $2\frac{2}{3}$

в) Представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей.
$-4,8 = -4\frac{8}{10} = -4\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 5 + 4}{5} = -\frac{24}{5}$
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Выполним деление. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным:
$-4,8 : 1\frac{3}{5} = -\frac{24}{5} : \frac{8}{5} = -\frac{24}{5} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{24 \cdot 5}{5 \cdot 8}$
Сократим дробь на 5 и на 8:
$-\frac{24}{8} = -3$
Ответ: -3

г) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.
$1,3 = 1\frac{3}{10} = \frac{13}{10}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным:
$1,3 : (-\frac{1}{4}) = \frac{13}{10} : (-\frac{1}{4}) = \frac{13}{10} \cdot (-4) = -\frac{13 \cdot 4}{10} = -\frac{52}{10}$
Представим результат в виде десятичной дроби:
$-\frac{52}{10} = -5,2$
Ответ: -5,2

4.312. Выполните действия:
а) –6 · (–5) – (–40) : 8;
б) 27 : (–27) – (–35) : 7;
в) –7 · (–7 + 15) : 28 + 3;
г) 7,4 · (–7 – 3) : 5;
д) (–9 + 31) : (–11) – 5;
е) –40 + (–4 – 5 + 6) : (–3);
ж) –5 · 8 – 48: (–4,3 + 2,7);
з) (–2 + 3,6 – 10) : (–7) · (–5).

4.312

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}-6 · (-5) -(- 40) : 8 = 6 · 5 - (-40 : 8)= \\ = 30 -(- 5) = 30 + 5=35; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }27 : (-27) - (-35) : 7=-1-(-5) = \\ =-1+5=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}-7 · (-7 + 15) : 28 + 3=-7 · 8:28 + 3= \\ =- 56 : 28 + 3=-2 + 3 = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 7,4 · (-7-3) : 5 = 7,4 · (-10 ): 5= \\ =-74:5=-14,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }(-9+31) : (-11) -5 = 22 : (-11) - 5= \\ =-2 - 5=-7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}-40+(-4-5+6) : (-3)=-40+(-9 + 6) : (-3) = \\ =-40+(-3) : (-3) =-40 + 1=-39 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}-5 · 8-48 : (-4,3 + 2,7) = -40-48 : (-1,6)= \\ =-40-(-480 : 16) =-40-(-30)=-40 + 30=-10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} (-2+3,6-10) : (-7) · (-5)= \\ =(-2 - 10 + 3,6) : (-7) · (-5)= \\ =(-12 + 3,6) : (-7) · (-5) = \\ =-8,4:(-7) · (-5)=1,2 · (-5)=-6 \end{gathered}$$

а) $-6 \cdot (-5) - (-40) : 8$

Решаем по порядку действий: сначала умножение и деление, затем вычитание.

1. Выполняем умножение: $-6 \cdot (-5) = 30$.

2. Выполняем деление: $(-40) : 8 = -5$.

3. Выполняем вычитание: $30 - (-5) = 30 + 5 = 35$.

Ответ: 35

б) $27 : (-27) - (-35) : 7$

Решаем по порядку действий: сначала деление, затем вычитание.

1. Первое деление: $27 : (-27) = -1$.

2. Второе деление: $(-35) : 7 = -5$.

3. Выполняем вычитание: $-1 - (-5) = -1 + 5 = 4$.

Ответ: 4

в) $-7 \cdot (-7 + 15) : 28 + 3$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), затем сложение.

1. Действие в скобках: $-7 + 15 = 8$.

2. Выражение принимает вид: $-7 \cdot 8 : 28 + 3$.

3. Умножение: $-7 \cdot 8 = -56$.

4. Деление: $-56 : 28 = -2$.

5. Сложение: $-2 + 3 = 1$.

Ответ: 1

г) $7,4 \cdot (-7 - 3) : 5$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем умножение, затем деление.

1. Действие в скобках: $-7 - 3 = -10$.

2. Умножение: $7,4 \cdot (-10) = -74$.

3. Деление: $-74 : 5 = -14,8$.

Ответ: -14,8

д) $(-9 + 31) : (-11) - 5$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. Действие в скобках: $-9 + 31 = 22$.

2. Деление: $22 : (-11) = -2$.

3. Вычитание: $-2 - 5 = -7$.

Ответ: -7

е) $-40 + (-4 - 5 + 6) : (-3)$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение.

1. Действие в скобках: $-4 - 5 + 6 = -9 + 6 = -3$.

2. Деление: $(-3) : (-3) = 1$.

3. Сложение: $-40 + 1 = -39$.

Ответ: -39

ж) $-5 \cdot 8 - 48 : (-4,3 + 2,7)$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем вычитание.

1. Действие в скобках: $-4,3 + 2,7 = -1,6$.

2. Умножение: $-5 \cdot 8 = -40$.

3. Деление: $48 : (-1,6) = -30$.

4. Вычитание: $-40 - (-30) = -40 + 30 = -10$.

Ответ: -10

з) $(-2 + 3,6 - 10) : (-7) \cdot (-5)$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо).

1. Действие в скобках: $-2 + 3,6 - 10 = 1,6 - 10 = -8,4$.

2. Выражение принимает вид: $-8,4 : (-7) \cdot (-5)$.

3. Деление: $-8,4 : (-7) = 1,2$.

4. Умножение: $1,2 \cdot (-5) = -6$.

Ответ: -6

4.313. Найдите значение выражения:
а) (2а + 6а) : 8 при а = –14; а = –2,71;
б) (4,7х – 4,7у) : 4,7 при х = –36, у = –4,67.

4.313

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} а = -14; (2а + 6а) : 8 = 8а : 8 = а = -14 \\ а = -2,71; (2а + 6а) : 8 = 8а : 8 = а = -2,71 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }х = – 36, у = -4,67; \\ (4,7х – 4,7у) : 4,7 = 4,7 · (х – у) : 4,7 = х – у = \\ =-36 – (-4,67) = -36 + 4,67 = \\ =- (36 – 4,67) = -31,33 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $(2a + 6a) : 8$, сначала упростим его. Это позволит избежать лишних вычислений.

1. Выполним действие в скобках (сложение подобных слагаемых):
$2a + 6a = 8a$

2. Теперь разделим полученный результат на 8:
$8a : 8 = a$

Как видим, значение исходного выражения всегда равно значению переменной $a$.

Теперь подставим конкретные значения $a$:

• При $a = -14$, значение выражения равно $-14$.
• При $a = -2,71$, значение выражения равно $-2,71$.

Ответ: при $a = -14$ значение равно $-14$; при $a = -2,71$ значение равно $-2,71$.

б) Чтобы найти значение выражения $(4,7x - 4,7y) : 4,7$, также начнем с его упрощения.

1. Вынесем общий множитель $4,7$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания:
$4,7x - 4,7y = 4,7(x - y)$

2. Теперь разделим полученное выражение на $4,7$:
$4,7(x - y) : 4,7 = x - y$

Значение исходного выражения равно разности $x - y$.

3. Подставим в упрощенное выражение заданные значения $x = -36$ и $y = -4,67$:
$x - y = -36 - (-4,67)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного:
$-36 - (-4,67) = -36 + 4,67$

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить знак числа с большим модулем:
$-36 + 4,67 = -(36 - 4,67) = -31,33$

Ответ: $-31,33$.

4.314. Найдите частное:

а) 93х и 93; б) –4,5а и 4,5.

4.314

$\mathit{а}\mathbf{)} 93х : 93 = \frac{\cancel{93}х}{\cancel{93}}= \frac{1х}{1} = х$

$\mathit{б}\mathbf{)} -4,5а : 4,5 = \frac{-\cancel{4,5}а}{\cancel{4,5}}=\frac{-1а}{1}=-а.$

а) Чтобы найти частное, необходимо разделить делимое $93x$ на делитель $93$. Запишем это действие в виде дроби:

$$ \frac{93x}{93} $$

В этом выражении мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $93$. Мы можем сократить дробь на этот множитель:

$$ \frac{\cancel{93} \cdot x}{\cancel{93}} = 1 \cdot x = x $$

Таким образом, результатом деления является $x$.

Ответ: $x$

б) Чтобы найти частное, необходимо разделить делимое $-4,5a$ на делитель $4,5$. Запишем это действие в виде дроби:

$$ \frac{-4,5a}{4,5} $$

Для нахождения результата разделим сначала числовые коэффициенты, а затем учтем буквенную часть. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.

$$ \frac{-4,5}{4,5} \cdot a = -1 \cdot a = -a $$

Таким образом, результатом деления является $-a$.

Ответ: $-a$

4.315. Найдите корень уравнения и выполните проверку:

a) –z · 5 = –150; б) 4 · (–z) = –32; в) –0,4y = 44; г) 17z = –1; д) 57t = – 2528; е) – 49z = 1627; ж) – 811t = –1733; з) – 78z + 7 = 258.

4.315

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\mathrm{z} · 5=-150; \\ -\mathrm{z}=-150 : 5; \\ -\mathrm{z}=-30; \\ \mathrm{z}=30. \\ \mathrm{Ответ}:30. \\ \mathrm{Проверка}: -30 · 5=-150 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 4 ·(-\mathrm{z})=-32; \\ -\mathrm{z}=-32 : 4; \\ -\mathrm{z}=-8; \\ \mathrm{z}=8. \\ \mathrm{Ответ}: 8. \\ \mathrm{Проверка}: 4 · (-8)=-32 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,4\mathrm{y}=44; \\ \mathrm{y}=44 : (-0,4); \\ \mathrm{у} = - 440 : 4; \\ \mathrm{y}=-110. \\ \mathrm{Ответ}: -110. \\ \mathrm{Проверка}: -0,4 · (-110)=44 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{1}{7} \mathrm{z}=-1; \\ \mathrm{z}=-1 : \frac{1}{7}; \\ \mathrm{z}=-1· 7; \\ \mathrm{z}=-7. \\ \mathrm{Ответ}: -7. \\ \mathrm{Проверка}: \frac{1}{7} · (-7)=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} \frac{5}{7}\mathrm{t} = -\frac{25}{28}; \\ \mathrm{t} = -\frac{25}{28} : \frac{5}{7}; \\ \mathrm{t} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{28}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}; \\ \mathrm{t} = -\frac{5}{4} · \frac{1}{1}; \\ \mathrm{t} = -\frac{5}{4}; \\ \mathrm{t} = -1\frac{1}{4}; \\ \mathrm{Ответ}: -1\frac{1}{4}. \\ \mathrm{Проверка}: \\ \frac{5}{7} · \left(-1\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{7} · \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{25}{28} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} -\frac{4}{9}\mathrm{z} = \frac{16}{27}; \\ \mathrm{z} = \frac{16}{27} : \left(-\frac{4}{9}\right); \\ \mathrm{z} = - \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{27}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ \mathrm{z} = -\frac{4}{3} · \frac{1}{1}; \\ \mathrm{z} = -\frac{4}{3}; \\ \mathrm{z} = -1\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: -1\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -\frac{4}{9} · \left(-1\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{9} · \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{16}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{8}{11}\mathrm{t} = -1\frac{7}{33}; \\ \mathrm{t} = -1\frac{7}{33} : \left(-\frac{8}{11}\right); \\ \mathrm{t} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{33}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}; \\ \mathrm{t} = \frac{5}{3}; \\ \mathrm{t} = 1\frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 1\frac{2}{3}. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -\frac{8}{11} · 1\frac{2}{3} = -\frac{8}{11} · \frac{5}{3} = -\frac{40}{33} = -1\frac{7}{33}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{7}{8}\mathrm{z} + 7 = 2\frac{5}{8}; \\ -\frac{7}{8}\mathrm{z} = 2\frac{5}{8} -7; \\ -\frac{7}{8}\mathrm{z} = -\left(7 - 2\frac{5}{8}\right); \\ -\frac{7}{8}\mathrm{z} = - \left(6\frac{8}{8} - 2\frac{5}{8}\right); \\ -\frac{7}{8}\mathrm{z} = -4\frac{3}{8}; \\ \mathrm{z} = -4\frac{3}{8} : \left(-\frac{7}{8}\right); \\ \mathrm{z} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{35}}}}{\cancel{8}} · \frac{\cancel{8}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}}; \\ \mathrm{z} = \frac{5}{1} · \frac{1}{1}; \\ \mathrm{z} = 5. \\ \mathrm{Ответ}: 5. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -\frac{7}{8} · 5 = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8}. \end{gathered}$$

а) Решим уравнение $-z \cdot 5 = -150$.

Упростим левую часть: $-5z = -150$.

Чтобы найти неизвестный множитель $z$, нужно произведение ($-150$) разделить на известный множитель ($-5$).

$z = -150 \div (-5)$

$z = 30$

Проверка:

Подставим корень $z = 30$ в исходное уравнение:

$-30 \cdot 5 = -150$

$-150 = -150$

Равенство верное, значит, корень найден правильно. Ответ: $30$.

б) Решим уравнение $4 \cdot (-z) = -32$.

Упростим левую часть: $-4z = -32$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $-4$:

$z = -32 \div (-4)$

$z = 8$

Проверка:

Подставим корень $z = 8$ в исходное уравнение:

$4 \cdot (-8) = -32$

$-32 = -32$

Равенство верное. Ответ: $8$.

в) Решим уравнение $-0,4y = 44$.

Чтобы найти неизвестный множитель $y$, разделим произведение ($44$) на известный множитель ($-0,4$).

$y = 44 \div (-0,4)$

$y = -\frac{44}{0,4} = -\frac{440}{4} = -110$

Проверка:

Подставим корень $y = -110$ в исходное уравнение:

$-0,4 \cdot (-110) = 44$

$44 = 44$

Равенство верное. Ответ: $-110$.

г) Решим уравнение $\frac{1}{7}z = -1$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $\frac{1}{7}$ (или умножим на 7).

$z = -1 \div \frac{1}{7}$

$z = -1 \cdot 7 = -7$

Проверка:

Подставим корень $z = -7$ в исходное уравнение:

$\frac{1}{7} \cdot (-7) = -1$

$-1 = -1$

Равенство верное. Ответ: $-7$.

д) Решим уравнение $\frac{5}{7}t = -\frac{25}{28}$.

Чтобы найти $t$, разделим произведение ($-\frac{25}{28}$) на известный множитель ($\frac{5}{7}$).

$t = -\frac{25}{28} \div \frac{5}{7}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$t = -\frac{25}{28} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{25 \cdot 7}{28 \cdot 5} = -\frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1} = -\frac{5}{4}$

Проверка:

Подставим корень $t = -\frac{5}{4}$ в исходное уравнение:

$\frac{5}{7} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{25}{28}$

$-\frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 4} = -\frac{25}{28}$

$-\frac{25}{28} = -\frac{25}{28}$

Равенство верное. Ответ: $-\frac{5}{4}$.

е) Решим уравнение $-\frac{4}{9}z = \frac{16}{27}$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $-\frac{4}{9}$.

$z = \frac{16}{27} \div (-\frac{4}{9})$

$z = \frac{16}{27} \cdot (-\frac{9}{4}) = -\frac{16 \cdot 9}{27 \cdot 4} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{4}{3}$

Проверка:

Подставим корень $z = -\frac{4}{3}$ в исходное уравнение:

$-\frac{4}{9} \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{16}{27}$

$\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 3} = \frac{16}{27}$

$\frac{16}{27} = \frac{16}{27}$

Равенство верное. Ответ: $-\frac{4}{3}$.

ж) Решим уравнение $-\frac{8}{11}t = -1\frac{7}{33}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{7}{33} = -(\frac{1 \cdot 33 + 7}{33}) = -\frac{40}{33}$.

Получим уравнение: $-\frac{8}{11}t = -\frac{40}{33}$.

Теперь найдем $t$, разделив обе части на $-\frac{8}{11}$.

$t = (-\frac{40}{33}) \div (-\frac{8}{11}) = \frac{40}{33} \cdot \frac{11}{8} = \frac{40 \cdot 11}{33 \cdot 8} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}$

Проверка:

Подставим корень $t = \frac{5}{3}$ в исходное уравнение:

$-\frac{8}{11} \cdot \frac{5}{3} = -1\frac{7}{33}$

$-\frac{40}{33} = -1\frac{7}{33}$

$-1\frac{7}{33} = -1\frac{7}{33}$

Равенство верное. Ответ: $\frac{5}{3}$.

з) Решим уравнение $-\frac{7}{8}z + 7 = 2\frac{5}{8}$.

Перенесем слагаемое $7$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-\frac{7}{8}z = 2\frac{5}{8} - 7$

Выполним вычитание в правой части:

$2\frac{5}{8} - 7 = 2 + \frac{5}{8} - 7 = -5 + \frac{5}{8} = -4\frac{8}{8} + \frac{5}{8} = -4\frac{3}{8}$

Переведем $-4\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $-\frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{35}{8}$.

Уравнение примет вид: $-\frac{7}{8}z = -\frac{35}{8}$.

Найдем $z$, разделив обе части на $-\frac{7}{8}$:

$z = (-\frac{35}{8}) \div (-\frac{7}{8}) = \frac{35}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{35}{7} = 5$

Проверка:

Подставим корень $z = 5$ в исходное уравнение:

$-\frac{7}{8} \cdot 5 + 7 = 2\frac{5}{8}$

$-\frac{35}{8} + 7 = 2\frac{5}{8}$

$-4\frac{3}{8} + 7 = 2\frac{5}{8}$

$7 - 4\frac{3}{8} = 2\frac{5}{8}$

$2\frac{5}{8} = 2\frac{5}{8}$

Равенство верное. Ответ: $5$.