Страница 54, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.85. Найдите НОД (а, b), если:

а) а = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19, b = 2 · 3 · 11 · 13;

б) а = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 11, b = 3 · 5 · 5 · 7.

2.85

а) а = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7 • 19

b = 2 • 3 •11 • 13

НОД (а; b) = 2 • 3 = 6

б) а = 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 5 • 11

b = 3 • 5 • 5 • 7

НОД (а; b) = 3 • 5 • 5 = 75

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей.

Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители:

$a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$

$b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$

Выделим общие множители в разложениях обоих чисел. Общими множителями являются $2$ и $3$.

В разложение числа $a$ множитель $2$ входит дважды, а в разложение числа $b$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.

В разложение числа $a$ множитель $3$ входит дважды, а в разложение числа $b$ — один раз. Для НОД также берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.

Других общих простых множителей у чисел $a$ и $b$ нет.

Таким образом, НОД этих чисел равен произведению их общих множителей:

НОД ($a, b$) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: $6$.

б) Поступим аналогичным образом для второй пары чисел.

Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$

$b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях этих чисел являются $3$ и $5$.

Множитель $3$ входит в разложение числа $a$ два раза, а в разложение числа $b$ — один раз. Берем наименьшее количество вхождений — один раз.

Множитель $5$ входит в разложение числа $a$ три раза, а в разложение числа $b$ — два раза. Берем наименьшее количество вхождений — два раза.

Перемножим найденные общие множители:

НОД ($a, b$) = $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$.

Ответ: $75$.

2.86. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 975 и 750
б) 572 и 440;.
в) 80, 140 и 56;
г) 170, 306 и 255.

2.86

а)

$$\begin{gathered} 975 = \underline{3} ·\underline{ 5} · \underline{5 }· 13 \\ 750 =2 · \underline{3} ·\underline{ 5} · \underline{5 }· 5 \\ \mathrm{НОД} (975; 750) = 3 · 5 · 5 = 75 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 572 = \underline{2} ·\underline{ 2} · \underline{11} · 13 \\ 440 = \underline{2} ·\underline{ 2} · 2 · 5 · \underline{11} \\ \mathrm{НОД} (572; 440) = 2 · 2 · 11 = 44 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 80 = \underline{2} · \underline{2} · 2 · 2 · 5 \\ 140 = \underline{2} · \underline{2} · 5 · 7 \\ 56 =\underline{2} · \underline{2} ·2 · 7 \\ \mathrm{НОД} (80; 140; 56) = 2 · 2 =4 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 170 = 2 · 5 · \underline{17} \\ 306 = 2 · 3 · 3 · \underline{17} \\ 255 = 3 · 5 · \underline{17} \\ \mathrm{НОД} (170; 306; 255) = 17 \end{gathered}$$

а) 975 и 750;
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Это основной метод для нахождения НОД.
Разложим число 975 на простые множители:
$975 = 5 \cdot 195 = 5 \cdot 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13$
Разложим число 750 на простые множители:
$750 = 10 \cdot 75 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 25) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3$
Теперь найдем произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Общими множителями являются $3$ и $5$. Наименьшая степень для $3$ - это $3^1$, а для $5$ - это $5^2$.
НОД(975, 750) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: 75.

б) 572 и 440;
Разложим данные числа на простые множители.
Разложение числа 572:
$572 = 2 \cdot 286 = 2 \cdot 2 \cdot 143 = 2^2 \cdot 11 \cdot 13$
Разложение числа 440:
$440 = 10 \cdot 44 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 11) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 5 \cdot 11$
Общими простыми множителями являются $2$ и $11$. Возьмем их в наименьших степенях, встречающихся в разложениях: $2^2$ и $11^1$.
НОД(572, 440) = $2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44.

в) 80, 140 и 56;
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 80:
$80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$
Разложение числа 140:
$140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$
Разложение числа 56:
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Единственным общим простым множителем для всех трех чисел является $2$. Наименьшая степень, в которой множитель $2$ входит во все три разложения, это $2^2$ (из разложения числа 140).
НОД(80, 140, 56) = $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г) 170, 306 и 255.
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 170:
$170 = 10 \cdot 17 = 2 \cdot 5 \cdot 17$
Разложение числа 306:
$306 = 2 \cdot 153 = 2 \cdot 9 \cdot 17 = 2 \cdot 3^2 \cdot 17$
Разложение числа 255:
$255 = 5 \cdot 51 = 5 \cdot 3 \cdot 17$
Чтобы найти НОД, нужно найти общие простые множители. Сравнив разложения, видим, что единственным общим множителем для всех трех чисел является $17$.
НОД(170, 306, 255) = $17$.
Ответ: 17.

2.87. Являются ли числа 675 и 896 взаимно простыми?

2.87

$$\begin{gathered} 675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 \\ 896 = 2 · 2 · 2 · 2 ·2 · 2 · 2 · 7 \\ \mathrm{НОД} (675; 896) = 1 - \mathrm{являются} \mathrm{взаимно} \mathrm{простыми} \end{gathered}$$

Ответ: являются взаимно простыми

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы проверить, являются ли числа 675 и 896 взаимно простыми, нужно найти их НОД. Один из способов сделать это — разложить оба числа на простые множители и посмотреть, есть ли у них общие множители.

1. Разложение числа 675 на простые множители.

Число 675 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5: $675 : 5 = 135$

Полученное число 135 также оканчивается на 5: $135 : 5 = 27$

Число 27 является третьей степенью числа 3: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Таким образом, разложение числа 675 на простые множители выглядит так: $675 = 3^3 \cdot 5^2$

Простые делители числа 675 — это 3 и 5.

2. Разложение числа 896 на простые множители.

Число 896 является четным, поэтому последовательно делим его на 2: $896 : 2 = 448$
$448 : 2 = 224$
$224 : 2 = 112$
$112 : 2 = 56$
$56 : 2 = 28$
$28 : 2 = 14$
$14 : 2 = 7$

Число 7 является простым.

Таким образом, разложение числа 896 на простые множители выглядит так: $896 = 2^7 \cdot 7$

Простые делители числа 896 — это 2 и 7.

3. Вывод.

Сравним наборы простых делителей чисел 675 и 896:

• Простые делители 675: {3, 5}
• Простые делители 896: {2, 7}

У этих чисел нет общих простых делителей. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

По определению, если НОД двух чисел равен 1, то эти числа являются взаимно простыми.

Ответ: да, числа 675 и 896 являются взаимно простыми.

2.88. Сократите дробь:

а) 1218; б) 2436; в) 7290; г) 28128.

2.88

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{12}{18}=\frac{12 : 6}{18 : 6}=\frac{2}{3}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{24}{36}=\frac{24 : 12}{36 : 12}=\frac{2}{3}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{72}{90}=\frac{72 : 18}{90 : 18}=\frac{4}{5}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{28}{128}=\frac{28 : 4}{128 : 4}=\frac{7}{32}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{12}{18}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 12 и знаменателя 18.
Разложим оба числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
Общими множителями являются 2 и 3. Следовательно, НОД(12, 18) = $2 \cdot 3 = 6$.
Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на их НОД:
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{24}{36}$, найдем наибольший общий делитель для чисел 24 и 36.
Разложим числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
Общие множители: 2, 2 и 3. НОД(24, 36) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
Разделим числитель и знаменатель на 12:
$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Для сокращения дроби $\frac{72}{90}$ найдем НОД для 72 и 90.
Разложим на простые множители:
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
Общие множители: 2, 3 и 3. НОД(72, 90) = $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$.
Разделим числитель и знаменатель на 18:
$\frac{72}{90} = \frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

г) Сократим дробь $\frac{28}{128}$. Для этого найдем НОД для 28 и 128.
Разложим на простые множители:
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$
$128 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7$
Общие множители: 2 и 2. НОД(28, 128) = $2 \cdot 2 = 4$.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{28}{128} = \frac{28 \div 4}{128 \div 4} = \frac{7}{32}$
Ответ: $\frac{7}{32}$

2.89. Проведите луч ВС и постройте ∠АВС = 80º и ∠DBC = 60º. Найдите угол ABD. Проверьте ответ с помощью транспортира. Сколько решений имеет задача?

2.89

1 способ:

$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 80⁰ - 60⁰ = 20⁰$

2 способ:

$\angle ABD = \angle ABC + \angle DBC = 80⁰ + 60⁰ = 140⁰$

Ответ: задача имеет два решения.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два возможных случая расположения лучей BA и BD относительно общего луча BC, так как в условии не указано, в одной или в разных полуплоскостях от луча BC они должны находиться.

Случай 1: Лучи BA и BD расположены по одну сторону от луча BC.

Проведем луч BC. Отложим от него в одной полуплоскости угол $∠ABC = 80°$. Затем в той же полуплоскости отложим от луча BC угол $∠DBC = 60°$. Поскольку величина угла $∠DBC$ меньше величины угла $∠ABC$ ($60° < 80°$), луч BD будет находиться внутри угла $∠ABC$. Угол $∠ABD$ будет равен разности углов $∠ABC$ и $∠DBC$.

Выполним вычисление:

$∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 80° - 60° = 20°$

При проверке с помощью транспортира, построив данную конфигурацию, измерение угла $∠ABD$ даст 20°.

Ответ: $∠ABD = 20°$.

Случай 2: Лучи BA и BD расположены по разные стороны от луча BC.

Проведем луч BC. Отложим от него в одной полуплоскости (например, вверх) угол $∠ABC = 80°$. Затем отложим от того же луча BC, но уже в другую полуплоскость (вниз), угол $∠DBC = 60°$. В этом случае искомый угол $∠ABD$ будет суммой углов $∠ABC$ и $∠DBC$.

Выполним вычисление:

$∠ABD = ∠ABC + ∠DBC = 80° + 60° = 140°$

При проверке с помощью транспортира, построив данную конфигурацию, измерение угла $∠ABD$ даст 140°.

Ответ: $∠ABD = 140°$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два возможных геометрических расположения лучей, удовлетворяющих условию задачи, и они приводят к двум разным значениям угла $∠ABD$, то задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

2.90. На трёх факультетах колледжа обучаются 540 человек. При этом на факультете менеджмента обучается впятеро, а на юридическом — втрое больше студентов, чем на финансово-экономическом факультете. Сколько человек обучаются на каждом факультете?

2.90

Пусть х человек – обучается на финансово – экономическом факультет, тогда 5х человек – на факультете менеджмента, 3х человек – на юридическом факультете. Зная, что всего на трех факультетах обучается 540 человек, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 5х + 3х = 540; \\ 9х = 540; \\ х = 540 : 9; \end{gathered}$$

$х = 60$(ч) – на финансово – экономическом факультете;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }5 · 60 = 300$(ч) – на факультете менеджмента;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3· 60 = 180$(ч) – на юридическом факультете.

Ответ: 60 ч.; 300 ч.; 180 ч.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество студентов на финансово-экономическом факультете. Мы выбираем этот факультет за основу, так как количество студентов на двух других факультетах выражено через него.

Исходя из условия задачи, выразим количество студентов на других факультетах через $x$:

• На факультете менеджмента обучается впятеро больше студентов, чем на финансово-экономическом, следовательно, там обучается $5x$ студентов.

• На юридическом факультете обучается втрое больше студентов, чем на финансово-экономическом, следовательно, там обучается $3x$ студентов.

Общее количество студентов на трех факультетах равно 540. Мы можем составить уравнение, сложив количество студентов на каждом факультете и приравняв сумму к общему числу:

$x + 5x + 3x = 540$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Сначала сложим все члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения:

$9x = 540$

2. Далее, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{540}{9}$

$x = 60$

Таким образом, мы определили, что на финансово-экономическом факультете обучается 60 студентов.

Теперь, зная значение $x$, мы можем рассчитать количество студентов на двух оставшихся факультетах:

• На факультете менеджмента: $5 \cdot x = 5 \cdot 60 = 300$ студентов.

• На юридическом факультете: $3 \cdot x = 3 \cdot 60 = 180$ студентов.

В качестве проверки сложим полученное количество студентов по всем трем факультетам:

$60 (\text{финансово-экономический}) + 300 (\text{менеджмент}) + 180 (\text{юридический}) = 540$

Полученная сумма совпадает с общим числом студентов, указанным в условии, следовательно, расчеты верны.

Ответ: на финансово-экономическом факультете обучается 60 человек, на факультете менеджмента — 300 человек, а на юридическом факультете — 180 человек.

2.91. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 81 см, а одна из его сторон составляет 29 периметра.

2.91

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}· \stackrel{9}{\cancel{81}} = 2 · 9 = 18$(см) – одна сторона прямоугольника;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 81 : 2 – 18 = 40,5 – 18 = 22,5$(см) – другая сторона прямоугольника;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }22,5 · 18 = 405$(см²) – площадь прямоугольника.

Ответ: 405 см²

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ прямоугольника равен $81$ см. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, одна из сторон, обозначим её $a$, составляет $\frac{2}{9}$ от периметра. Найдем длину этой стороны:
$a = \frac{2}{9} \cdot P = \frac{2}{9} \cdot 81 = 2 \cdot \frac{81}{9} = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Периметр прямоугольника связан с его сторонами формулой $P = 2(a+b)$. Зная периметр и одну из сторон, мы можем найти вторую сторону $b$. Сначала найдем полупериметр (сумму двух смежных сторон):
$a + b = \frac{P}{2} = \frac{81}{2} = 40.5$ см.

Теперь, зная сумму сторон и длину стороны $a$, вычислим длину стороны $b$:
$b = 40.5 - a = 40.5 - 18 = 22.5$ см.

Наконец, вычислим площадь прямоугольника, зная длины обеих его сторон:
$S = a \cdot b = 18 \cdot 22.5 = 405$ см$^2$.

Ответ: $405$ см$^2$.

2.92. Запишите в виде обыкновенной дроби числа 0,5; 0,24; 0,75.

2.92

$0,5 =\frac{ 5}{10}=\frac{ 5 : 5}{10 : 5}=\frac{1}{2}$

$0,24 = \frac{24}{100}=\frac{24:4}{100:4}=\frac{6}{25}$

$0,75 = \frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac{3}{4}$

Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной, необходимо представить ее в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от количества цифр после запятой, а затем сократить полученную дробь.

0,5
В числе 0,5 одна цифра после запятой, поэтому знаменатель будет 10. Числителем будет число 5.
$0,5 = \frac{5}{10}$
Теперь сократим дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для числителя 5 и знаменателя 10 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

0,24
В числе 0,24 две цифры после запятой, поэтому знаменатель будет 100. Числителем будет число 24.
$0,24 = \frac{24}{100}$
Сократим дробь. НОД для 24 и 100 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{24 \div 4}{100 \div 4} = \frac{6}{25}$
Ответ: $\frac{6}{25}$

0,75
В числе 0,75 две цифры после запятой, поэтому знаменатель будет 100. Числителем будет число 75.
$0,75 = \frac{75}{100}$
Сократим дробь. НОД для 75 и 100 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

2.93. Запишите в виде десятичной дроби числа 15; 11125; 820; 512.

2.93

$\frac{1}{5} = \frac{1 · 20}{5 · 20}=\frac{20}{100}=0,2$

$\frac{11}{125} = \frac{11 · 8}{125 · 8}=\frac{88}{10000}=0,088$

$\frac{8}{29} = \frac{8 · 5}{20 · 5}=\frac{40}{100}=0,4$

$5\frac{1}{2} =5 \frac{1 · 5}{2 · 5}=5\frac{5}{10}=5,5$

$\frac{1}{5}$
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо привести её к знаменателю, который является степенью десяти (10, 100, 1000 и т.д.). Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10. В данном случае это число 2.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0,2$
Альтернативный способ — это разделить числитель на знаменатель: $1 \div 5 = 0,2$.
Ответ: 0,2

$\frac{11}{125}$
Для преобразования дроби $\frac{11}{125}$ в десятичную, приведем её знаменатель к 1000. Для этого нужно умножить 125 на 8, так как $125 \cdot 8 = 1000$. Умножим числитель и знаменатель дроби на 8.
$\frac{11}{125} = \frac{11 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{88}{1000} = 0,088$
Ответ: 0,088

$\frac{8}{20}$
Сначала можно упростить (сократить) дробь $\frac{8}{20}$. Наибольший общий делитель для числителя 8 и знаменателя 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.
$\frac{8}{20} = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5}$
Теперь преобразуем полученную дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную. Для этого приведем её к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$
Ответ: 0,4

$5\frac{1}{2}$
Данное число является смешанным. Оно состоит из целой части (5) и дробной части ($\frac{1}{2}$). Для преобразования в десятичную дробь, сначала переведем дробную часть $\frac{1}{2}$ в десятичный вид. Для этого приведем ее к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$
Теперь сложим целую часть с полученной десятичной дробью.
$5 + 0,5 = 5,5$
Ответ: 5,5

2.94. Вычислите:

а) 78,9 + (65,65 - 5,5 · (54,54 : 5,4)) · 1,3;
б) 36,9 + (76,76 - 6,6 · (95,95 : 9,5)) · 27,4.

2.94

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }78,9 \stackrel{5}{+} (65,65\stackrel{3}{ –} 5,5 \stackrel{2}{·} (54,54\stackrel{1}{ :} 5,4)) \stackrel{4}{·} 1,3 = 92,03$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{б}\mathbf{)} 36,9 \stackrel{5}{+} (76,76 \stackrel{3}{–} 6,6 \stackrel{2}{·} (95,95\stackrel{1}{ : }9,5))\stackrel{4}{ ·} 27,4 = 313,64$

1	2.
3.	4.
5.

а) Вычислим значение выражения $78,9 + (65,65 - 5,5 \cdot (54,54 : 5,4)) \cdot 1,3$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание).

1. Первым действием выполним деление в самых внутренних скобках:
$54,54 : 5,4 = 10,1$

2. Далее выполним умножение внутри больших скобок:
$5,5 \cdot 10,1 = 55,55$

3. Теперь выполним вычитание в больших скобках:
$65,65 - 55,55 = 10,1$

4. Выполним умножение результата из скобок на $1,3$ :
$10,1 \cdot 1,3 = 13,13$

5. Последним действием выполним сложение:
$78,9 + 13,13 = 92,03$

Ответ: $92,03$.

б) Вычислим значение выражения $36,9 + (76,76 - 6,6 \cdot (95,95 : 9,5)) \cdot 27,4$ по действиям.

1. Начнем с деления во внутренних скобках:
$95,95 : 9,5 = 10,1$

2. Далее выполним умножение внутри больших скобок:
$6,6 \cdot 10,1 = 66,66$

3. Теперь выполним вычитание в больших скобках:
$76,76 - 66,66 = 10,1$

4. Выполним умножение результата из скобок на $27,4$ :
$10,1 \cdot 27,4 = 276,74$

5. Последним действием выполним сложение:
$36,9 + 276,74 = 313,64$

Ответ: $313,64$.

1. Какие из данных чисел являются взаимно простыми:

а) 12 и 15;
б) 29 и 34;
в) 25 и 30;
г) 72 и 73?

Проверочная работа

1.

а)

$$\begin{gathered} 12 = 2 · 2 · 3 \\ 15 = 3 · 5 \end{gathered}$$

НОД (12;15) = 3 - не являются взаимно простыми

б)

$$\begin{gathered} 29 = 29 \\ 34 = 2 · 17 \end{gathered}$$

НОД (29; 34) = 1 - являются взаимно простыми

в)

$$\begin{gathered} 25 = 5 · 5 \\ 30 = 2 · 3 · 5 \end{gathered}$$

НОД (25; 30) = 5 - не являются взаимно простыми

г)

$$\begin{gathered} 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \\ 73 = 73 \end{gathered}$$

НОД (72; 73) = 1- являются взаимно простыми

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Другими словами, у этих чисел нет общих простых делителей, кроме единицы. Чтобы определить, является ли пара чисел взаимно простой, нужно найти их НОД.

а) 12 и 15;
Для нахождения НОД чисел 12 и 15 разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
Как видно из разложения, у чисел 12 и 15 есть общий простой множитель — 3. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 3: НОД(12, 15) = 3. Поскольку НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

б) 29 и 34;
Разложим на простые множители числа 29 и 34.
Число 29 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
Разложение числа 34:
$34 = 2 \cdot 17$
Сравнив множители, мы видим, что у чисел 29 и 34 нет общих простых множителей. Значит, их наибольший общий делитель равен 1: НОД(29, 34) = 1. Следовательно, числа 29 и 34 являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

в) 25 и 30;
Разложим на простые множители числа 25 и 30:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Общий простой множитель для этих чисел — 5. Их наибольший общий делитель равен 5: НОД(25, 30) = 5. Так как НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

г) 72 и 73?
Числа 72 и 73 являются последовательными натуральными числами. Существует свойство, согласно которому любые два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Это объясняется тем, что их разность равна 1 ($73 - 72 = 1$). Любой их общий делитель должен также делить и их разность, то есть 1. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1. Таким образом, НОД(72, 73) = 1. Следовательно, числа 72 и 73 являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

2. Даны разложения на простые множители двух чисел:

2 · 2 · 5 · 7 и 2 · 7 · 11.

Найдите их наибольший общий делитель.

2.

2 • 2 • 5 • 7 и 2 • 7 • 11

НОД = 2 • 7 = 14

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел по их разложениям на простые множители, необходимо найти произведение общих простых множителей этих чисел.

Даны разложения двух чисел:

Первое число: $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$

Второе число: $2 \cdot 7 \cdot 11$

1. Найдём общие простые множители в обоих разложениях. Для этого посмотрим, какие множители присутствуют в разложении и первого, и второго числа.

- Множитель 2 есть в обоих разложениях.

- Множитель 7 есть в обоих разложениях.

- Множители 5 и 11 не являются общими, так как 5 есть только в первом разложении, а 11 — только во втором.

2. Чтобы составить НОД, нужно перемножить найденные общие множители. Если какой-то общий множитель входит в разложения несколько раз, для НОД его нужно взять столько раз, сколько он встречается в том разложении, где он встречается реже.

- Множитель 2 в первом разложении встречается дважды ($2 \cdot 2$), а во втором — один раз. Берём его один раз.

- Множитель 7 и в первом, и во втором разложении встречается по одному разу. Берём его один раз.

3. Перемножим выбранные множители:

НОД = $2 \cdot 7 = 14$

Ответ: 14

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 34 и 56;
б) 45 и 65;
в) 102 и 204;
г) 1005 и 960.

3.

а)

$$\begin{gathered} 34 = 2 · 17 \\ 56 = 2 · 2 · 2 · 7 \\ \mathrm{НОД} (34; 56) = 2 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 45 = 3 · 3 · 5 \\ 65 = 5 · 13 \\ \mathrm{НОД} (45; 65) = 5 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 102 = 2 · 3 · 17 \\ 204 = 2 · 2 · 3 · 17 \\ \mathrm{НОД} (102; 204) = 2 · 3 · 17 =102 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 1005 = 3 · 5 · 67 \\ 960 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 \\ \mathrm{НОД} (1005; 960) = 3 · 5 =15 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, необходимо разложить их на простые множители.
Разложим на множители число 34:
$34 = 2 \cdot 17$
Разложим на множители число 56:
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Теперь выберем общие множители в обоих разложениях. Это множитель 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — первая ($2^1$).
Следовательно, НОД (34, 56) = 2.
Ответ: 2.

б) Разложим числа 45 и 65 на простые множители.
Разложение числа 45:
$45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$
Разложение числа 65:
$65 = 5 \cdot 13$
Общим простым множителем для этих чисел является 5.
Следовательно, НОД (45, 65) = 5.
Ответ: 5.

в) Разложим числа 102 и 204 на простые множители.
Разложение числа 102:
$102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$
Разложение числа 204:
$204 = 2 \cdot 102 = 2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 17) = 2^2 \cdot 3 \cdot 17$
Общими простыми множителями являются 2, 3 и 17. Чтобы найти НОД, нужно перемножить эти общие множители, взяв каждый с наименьшей степенью, в которой он входит в разложения.
НОД (102, 204) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 17^1 = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$.
Также можно заметить, что $204 = 2 \cdot 102$, то есть 204 делится на 102. Если одно число делится на другое, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Ответ: 102.

г) Разложим числа 1005 и 960 на простые множители.
Разложение числа 1005:
$1005 = 5 \cdot 201 = 5 \cdot 3 \cdot 67$
Разложение числа 960:
$960 = 10 \cdot 96 = (2 \cdot 5) \cdot (32 \cdot 3) = 2 \cdot 5 \cdot 2^5 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$
Общими простыми множителями в разложениях являются 3 и 5.
Перемножим их, чтобы найти НОД:
НОД (1005, 960) = $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15.

4. Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?

4.

$$\begin{gathered} 1440 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \\ 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 \end{gathered}$$

1440 больше, чем 240 в 2 • 3 = 6 раз

Разложите на простые множители числа 1440 и 240.

Разложение числа на простые множители — это его представление в виде произведения простых чисел. Для этого мы будем последовательно делить каждое число на наименьший возможный простой делитель до тех пор, пока в результате не получим 1.

Разложение числа 1440:
Начнем делить 1440 на наименьшее простое число, 2:
$1440 \div 2 = 720$
$720 \div 2 = 360$
$360 \div 2 = 180$
$180 \div 2 = 90$
$90 \div 2 = 45$
Число 45 не делится на 2, следующий простой делитель — 3:
$45 \div 3 = 15$
$15 \div 3 = 5$
Число 5 — простое, делим его на само себя:
$5 \div 5 = 1$
Собрав все множители, получаем: $1440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.
Используя степени, запись становится короче: $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 240:
Проделаем ту же процедуру для числа 240:
$240 \div 2 = 120$
$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
Число 15 не делится на 2, берем следующий простой делитель — 3:
$15 \div 3 = 5$
Делим на 5:
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, разложение числа 240: $240 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.
В виде степеней: $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$.

Ответ: $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$; $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$.

Во сколько раз 1440 больше 240?

Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно разделить большее число (1440) на меньшее (240). Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Прямое деление.
Выполним деление чисел напрямую. Можно сократить нули:
$1440 \div 240 = 144 \div 24 = 6$

Способ 2: Использование разложения на простые множители.
Этот способ особенно удобен для больших чисел. Разделим разложение числа 1440 на разложение числа 240:
$\frac{1440}{240} = \frac{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1}$
При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются:
$= 2^{5-4} \cdot 3^{2-1} \cdot 5^{1-1} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
Оба способа показывают, что 1440 больше 240 в 6 раз.

Ответ: в 6 раз.

5. Дана правильная дробь m15 . Найдите все значения m такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми .

5.

$\frac{\mathrm{m}}{15}$

при m = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами

По условию, дробь $\frac{m}{15}$ является правильной. Это означает, что ее числитель $m$ — это натуральное число, которое меньше знаменателя. Следовательно, $m$ может быть любым целым числом от 1 до 14, то есть $1 \le m < 15$.

Второе условие — числитель $m$ и знаменатель 15 должны быть взаимно простыми. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Таким образом, должно выполняться условие $\text{НОД}(m, 15) = 1$.

Для того чтобы число $m$ было взаимно простым с 15, оно не должно иметь с ним общих простых делителей. Разложим знаменатель 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Это означает, что искомые значения $m$ не должны делиться ни на 3, ни на 5.

Теперь выберем из всех возможных значений $m$ (целые числа от 1 до 14) те, которые удовлетворяют этому условию.
Список всех возможных значений $m$: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
Исключаем из списка числа, которые делятся на 3: 3, 6, 9, 12.
Исключаем числа, которые делятся на 5: 5, 10.
В результате остаются следующие значения для $m$: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

4.283. Выполните действия:

а) (3316 – 5) · (62629 – 9);

б) 1115 · 78 – 2514 · 79;

в) 17,5 – 27 · (512 – 34);

г) (– 13 – 47 – 2021) · 713 + 1125;

д) (613 – 4,2) · (– 916) – 4,23;

е) (– 14 – 0,75 – 15) · (– 23) + 4,2.

4.283

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(3\frac{3}{16} - 5\right) · \left(6\frac{26}{29} - 9\right) = -\left(5 - 3\frac{3}{16}\right) \times \\ \times \left(-\left(9 - 6\frac{26}{29}\right)\right) = -\left(4\frac{16}{16} - 3\frac{3}{16}\right) · \left(-\left(8\frac{29}{29} - 6\frac{26}{29}\right)\right)= \\ = -1\frac{13}{16} · \left(-2\frac{3}{29}\right) = \frac{\cancel{29}}{16} · \frac{61}{\cancel{29}} = \frac{1}{16} · \frac{61}{1} = \\ = \frac{61}{16} = 3\frac{13}{16}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 11\frac{1}{5} · \frac{7}{8} - 2\frac{5}{14} · \frac{7}{9} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{56}}}}{5} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}} - \\ - \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{14}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \frac{7}{5} · \frac{7}{1} - \frac{11}{2} · \frac{1}{3}= \\ = \frac{49}{5} - \frac{11}{6} = {9\frac{4}{5}}^{\overline{)·6}} - {1\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}} = 9\frac{24}{30} - 1\frac{25}{30}= \\ = 8\frac{54}{30} - 1\frac{25}{30} = 7\frac{29}{30}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }17,5-27 · \left(\frac{5}{12} - {\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}}\right)=17,5-27 · \left(\frac{5}{12} - \frac{9}{12}\right)= \\ = 17,5-27 · \left(-\frac{9}{12} - \frac{5}{12}\right) = 17,5 - \stackrel{9}{\cancel{27}} · \left(-\frac{4}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{12}}}}\right)= \\ = 17,5 - 9 · \left(-\frac{4}{4}\right) = 17,5 - 9 · (-1)=17,5-(-9)= \\ = 17,5 + 9 = 26,5; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({-\frac{1}{3} }^{\overline{)·7}}- {\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}} - \frac{20}{21}\right) · \frac{7}{13} + \frac{11}{25} = \\ = \left(-\frac{7}{21} - \frac{12}{21} - \frac{20}{21}\right) · \frac{7}{13} + \frac{11}{25} = \\ = \left(-\frac{7}{21} + \left(- \frac{12}{21}\right)+ \left(- \frac{20}{21}\right)\right) · \frac{7}{13} + \frac{11}{25} = \\ =\left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{39}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{21}}}}\right) · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}} + \frac{11}{25} = \left(-\frac{3}{3}\right) · \frac{1}{1} + \frac{11}{25}= \\ = -1 + \frac{11}{25} = -\frac{25}{25} + \frac{11}{25} = -\left(\frac{25}{25} - \frac{11}{25}\right)= \\ = -\frac{14}{25}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(6\frac{1}{3} - 4,2\right) · \left(-\frac{9}{16}\right) - 4,23 = \left({6\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} - {4\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}}\right) \times \\ \times \left(-\frac{9}{16}\right) - 4,23 = \left(6\frac{5}{15} - 4\frac{3}{15}\right) · \left(-\frac{9}{16}\right) - 4,23 = \\ = 2\frac{2}{15} · \left(-\frac{9}{16}\right) - 4,23 =-\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{32}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{16}}}} - 4,23= \\ = -\frac{2}{5} · \frac{3}{1} - 4,23 = {-\frac{6}{5}}^{\overline{)·2}} -4,23 = -\frac{12}{10} - 4,23= \\ = -1,2 - 4,23 =-1,2 + (-4,23)=-(1,2 + 4,23)= \\ =-5,43; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \left({-\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} - 0,75 - {\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}}\right) · \left(-\frac{2}{3}\right) + 4,2 = \\ = \left(- 0,25 - 0,75 - 0,2\right) · \left(-\frac{2}{3}\right) + 4,2 = \\ = (-(0,25 + 0,75 + 0,2)) · \left(-\frac{2}{3}\right) + 4,2 = \\ = -\stackrel{0,4}{\cancel{1,2}} · \left(-\frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}\right) + 4,2 = -0,4 · \left(-\frac{2}{1}\right) + 4,2 = \\ = 0,8 + 4,2 = 5. \end{gathered}$$

а) $(3\frac{3}{16} - 5) \cdot (6\frac{26}{29} - 9)$
1. Выполним вычитание в первой скобке. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби, а целое число — в виде дроби со знаменателем 16:
$3\frac{3}{16} - 5 = \frac{3 \cdot 16 + 3}{16} - \frac{5 \cdot 16}{16} = \frac{51}{16} - \frac{80}{16} = \frac{51 - 80}{16} = -\frac{29}{16}$
2. Выполним вычитание во второй скобке:
$6\frac{26}{29} - 9 = \frac{6 \cdot 29 + 26}{29} - \frac{9 \cdot 29}{29} = \frac{174 + 26}{29} - \frac{261}{29} = \frac{200 - 261}{29} = -\frac{61}{29}$
3. Умножим результаты, полученные в скобках. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-\frac{29}{16}) \cdot (-\frac{61}{29}) = \frac{29 \cdot 61}{16 \cdot 29}$
Сократим дробь на 29:
$\frac{61}{16}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{61}{16} = 3\frac{13}{16}$
Ответ: $3\frac{13}{16}$

б) $11\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{8} - 2\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9}$
1. Выполним первое умножение, предварительно переведя смешанное число в неправильную дробь:
$11\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{11 \cdot 5 + 1}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{56}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{56 \cdot 7}{5 \cdot 8}$
Сократим 56 и 8 на 8:
$\frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 1} = \frac{49}{5}$
2. Выполним второе умножение:
$2\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 14 + 5}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{33}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{33 \cdot 7}{14 \cdot 9}$
Сократим 33 и 9 на 3, а 14 и 7 на 7:
$\frac{11 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6}$
3. Выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$\frac{49}{5} - \frac{11}{6} = \frac{49 \cdot 6}{30} - \frac{11 \cdot 5}{30} = \frac{294 - 55}{30} = \frac{239}{30}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{239}{30} = 7\frac{29}{30}$
Ответ: $7\frac{29}{30}$

в) $17,5 - 27 \cdot (\frac{5}{12} - \frac{3}{4})$
1. Выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{5}{12} - \frac{3}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{4}{12}$
Сократим дробь на 4:
$-\frac{1}{3}$
2. Выполним умножение:
$27 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{27}{3} = -9$
3. Выполним вычитание:
$17,5 - (-9) = 17,5 + 9 = 26,5$
Ответ: $26,5$

г) $(-\frac{1}{3} - \frac{4}{7} - \frac{20}{21}) \cdot \frac{7}{13} + \frac{11}{25}$
1. Выполним действия в скобках. Приведем все дроби к общему знаменателю 21:
$-\frac{1}{3} - \frac{4}{7} - \frac{20}{21} = -\frac{1 \cdot 7}{21} - \frac{4 \cdot 3}{21} - \frac{20}{21} = \frac{-7 - 12 - 20}{21} = -\frac{39}{21}$
Сократим дробь на 3:
$-\frac{13}{7}$
2. Выполним умножение:
$(-\frac{13}{7}) \cdot \frac{7}{13} = -\frac{13 \cdot 7}{7 \cdot 13} = -1$
3. Выполним сложение:
$-1 + \frac{11}{25} = -\frac{25}{25} + \frac{11}{25} = \frac{-25 + 11}{25} = -\frac{14}{25}$
Ответ: $-\frac{14}{25}$

д) $(6\frac{1}{3} - 4,2) \cdot (-\frac{9}{16}) - 4,23$
1. Выполним действие в скобках. Для удобства преобразуем оба числа в обыкновенные дроби:
$6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$
$4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$
Найдем их разность, приведя к общему знаменателю 15:
$\frac{19}{3} - \frac{21}{5} = \frac{19 \cdot 5}{15} - \frac{21 \cdot 3}{15} = \frac{95 - 63}{15} = \frac{32}{15}$
2. Выполним умножение:
$\frac{32}{15} \cdot (-\frac{9}{16}) = -\frac{32 \cdot 9}{15 \cdot 16}$
Сократим 32 и 16 на 16, а 9 и 15 на 3:
$-\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = -\frac{6}{5}$
3. Выполним вычитание. Преобразуем $-\frac{6}{5}$ в десятичную дробь:
$-\frac{6}{5} = -1,2$
$-1,2 - 4,23 = -5,43$
Ответ: $-5,43$

е) $(-\frac{1}{4} - 0,75 - \frac{1}{5}) \cdot (-\frac{2}{3}) + 4,2$
1. Выполним действия в скобках. Преобразуем все числа в десятичные дроби для удобства:
$-\frac{1}{4} = -0,25$
$-\frac{1}{5} = -0,2$
$-0,25 - 0,75 - 0,2 = -1 - 0,2 = -1,2$
2. Выполним умножение. Представим $-1,2$ как неправильную дробь $-\frac{12}{10}$ или $-\frac{6}{5}$:
$-1,2 \cdot (-\frac{2}{3}) = (-\frac{6}{5}) \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{4}{5}$
3. Выполним сложение. Преобразуем $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь:
$\frac{4}{5} = 0,8$
$0,8 + 4,2 = 5$
Ответ: $5$

4.284. Вычислите степень дробного числа:

а) (– 12)³; б) (– 23)⁴; в) (– 54)²; г) (– 112)³; д) (– 213)²; е) (– 123)⁴.

4.284

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3 = -\frac{1}{2} · \left(-\frac{1}{2}\right) · \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^4 = -\frac{2}{3} · \left(-\frac{2}{3}\right) · \left(-\frac{2}{3}\right) · \left(-\frac{2}{3}\right) =\frac{16}{81}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(-\frac{5}{4}\right)}^2 = -\frac{5}{4} · \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\left(-1\frac{1}{2}\right)}^3 = -1\frac{1}{2} · \left(-1\frac{1}{2}\right) · \left(-1\frac{1}{2}\right) = \\ = -\frac{3}{2} · \left(-\frac{3}{2}\right) · \left(-\frac{3}{2}\right) =-\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} {\left(-2\frac{1}{3}\right)}^2 = -2\frac{1}{3} ·\left(-2\frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{3} · \left(-\frac{7}{3}\right)= \\ = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} {\left(-1\frac{2}{3}\right)}^4 = -1\frac{2}{3} · \left(-1\frac{2}{3}\right) · \left(-1\frac{2}{3}\right) · \left(-1\frac{2}{3}\right)= \\ = -\frac{5}{3} · \left(-\frac{5}{3}\right) · \left(-\frac{5}{3}\right) · \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{625}{81} = 7\frac{58}{81}. \end{gathered}$$

а) Чтобы возвести отрицательную дробь в нечетную степень (в данном случае 3), нужно возвести ее модуль в эту степень и поставить перед результатом знак "минус".

$(-\frac{1}{2})^3 = -(\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) Чтобы возвести отрицательную дробь в четную степень (в данном случае 4), нужно возвести ее модуль в эту степень. Результат будет положительным.

$(-\frac{2}{3})^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

Ответ: $\frac{16}{81}$.

в) Чтобы возвести отрицательную дробь в четную степень (в данном случае 2), нужно возвести ее модуль в эту степень. Результат будет положительным. Результат можно представить в виде смешанного числа.

$(-\frac{5}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} = 1\frac{9}{16}$

Ответ: $1\frac{9}{16}$.

г) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. Затем, так как степень нечетная (3), возводим модуль дроби в эту степень и ставим перед результатом знак "минус".

$(-1\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1 \cdot 2 + 1}{2})^3 = (-\frac{3}{2})^3 = -(\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8} = -3\frac{3}{8}$

Ответ: $-3\frac{3}{8}$.

д) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. Так как степень четная (2), результат будет положительным.

$(-2\frac{1}{3})^2 = (-\frac{2 \cdot 3 + 1}{3})^2 = (-\frac{7}{3})^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$

Ответ: $5\frac{4}{9}$.

е) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. Так как степень четная (4), результат будет положительным.

$(-1\frac{2}{3})^4 = (-\frac{1 \cdot 3 + 2}{3})^4 = (-\frac{5}{3})^4 = (\frac{5}{3})^4 = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81} = 7\frac{58}{81}$

Ответ: $7\frac{58}{81}$.

4.285. Запишите сумму в виде произведения:
а) n + n + n + n;
б) –с – с – с – с;
в) –4а – 4а – 4а – 4а;
г) 3z + 3z + 3z + 3z + 3z + 3z.

4.285

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} n + n + n + n = 4n \\ \mathit{б}\mathbf{)} –с – с – с – с = -с + (-с) + (-с) + (-с) = \\ = 4 · (-с) = -4с \\ \mathit{в}\mathbf{)} -4а – 4а – 4а – 4а = -4а + (-4а) + \\ + (-4а) + (-4а) = 4 · (-4а) = -16а \\ \mathit{г}\mathbf{)} 3z + 3z + 3z + 3z + 3z + 3z = 6 · 3z = 18z \end{gathered}$$

а) Сумма $n + n + n + n$ состоит из четырех одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $n$. По определению умножения, сложение одинаковых слагаемых можно заменить произведением этого слагаемого на их количество. В данном случае мы складываем $n$ четыре раза.

Следовательно, сумму можно записать в виде произведения:

$n + n + n + n = 4 \cdot n = 4n$

Ответ: $4n$

б) Сумма $-c - c - c - c$ эквивалентна выражению $(-c) + (-c) + (-c) + (-c)$. Здесь мы имеем четыре одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $-c$.

Заменяя повторяющееся сложение умножением, получаем:

$(-c) + (-c) + (-c) + (-c) = 4 \cdot (-c) = -4c$

Ответ: $-4c$

в) Выражение $-4a - 4a - 4a - 4a$ представляет собой сумму четырех одинаковых слагаемых, где каждое слагаемое равно $-4a$.

Чтобы представить эту сумму в виде произведения, нужно умножить повторяющееся слагаемое $(-4a)$ на количество его повторений (4):

$-4a - 4a - 4a - 4a = 4 \cdot (-4a) = -16a$

Ответ: $-16a$

г) В выражении $3z + 3z + 3z + 3z + 3z + 3z$ мы складываем шесть одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $3z$.

Чтобы записать эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое $3z$ на количество его повторений, то есть на 6.

$3z + 3z + 3z + 3z + 3z + 3z = 6 \cdot (3z) = 18z$

Ответ: $18z$

4.286. Вычислите значение выражения:
а) n + 6 + n + 6 + n + 6 при n = 4,2;
б) m – 2 + m – 2 + m – 2 + m – 2 при m = –3,5.

4.286

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{n}+6+\mathrm{n}+6+\mathrm{n}+6=3\mathrm{n}+18 \\ \mathrm{при} \mathrm{n}=4,2 3\mathrm{n}+18=3 · 4,2+18= \\ =12,6+18=30,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} - 2 + \mathrm{m} - 2 + \mathrm{m} - 2 + \mathrm{m} - 2= \\ =\mathrm{m} + (-2) + \mathrm{m} + (-2) + \mathrm{m} + (-2) + \mathrm{m} + (-2) = \\ = 4\mathrm{m} + (-8) \\ \mathrm{при} \mathrm{m}=-3,5 4\mathrm{m} + (-8)= 4 · (-3,5) + (-8)= \\ =-14 + (-8)=- (14+8)= -22. \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $n + 6 + n + 6 + n + 6$ при $n = 4,2$, сначала упростим его. Для этого сгруппируем подобные слагаемые (переменные с переменными, а числа с числами):
$(n + n + n) + (6 + 6 + 6) = 3n + 18$.
Теперь подставим значение $n = 4,2$ в упрощенное выражение:
$3 \cdot n + 18 = 3 \cdot 4,2 + 18 = 12,6 + 18 = 30,6$.
Ответ: $30,6$

б) Для вычисления значения выражения $m - 2 + m - 2 + m - 2 + m - 2$ при $m = -3,5$, также сначала упростим его, сгруппировав подобные слагаемые:
$(m + m + m + m) - (2 + 2 + 2 + 2) = 4m - 8$.
Теперь подставим значение $m = -3,5$ в упрощенное выражение:
$4 \cdot m - 8 = 4 \cdot (-3,5) - 8 = -14 - 8 = -22$.
Ответ: $-22$

4.287. Вычислите значение:

а) р² при р = – 4; р = – 19; р = 0,6; р = – 0,8; р = –213; р = 315;

б) b³ при b = –2; b = – 23; b = 0,1; b = –0,1; b = –115; b = 212.

4.287

а)

$\mathrm{при} \mathrm{р} = -4: {\mathrm{р}}^2 = {(-4)}^2 = -4 · (-4) = 16$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{р} = -\frac{1}{9}; \\ {\mathrm{р}}^2= {\left(-\frac{1}{9}\right)}^2 = -\frac{1}{9} · \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{81} \end{gathered}$$

$\mathrm{при} \mathrm{р} = 0,6: {\mathrm{р}}^2 = 0,6^2 = 0,6 · 0,6 = 0,36$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{р} = -0,8: \\ {\mathrm{р}}^2 = {(-0,8)}^2 = -0,8 · (-0,8) = 0,64 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{р} = -2\frac{1}{3}: \\ {\mathrm{р}}^2 = {\left(-2\frac{1}{3}\right)}^2 = -2\frac{1}{3} · \left(-2\frac{1}{3}\right) = \\ =-\frac{7}{3} · \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{р} = 3\frac{1}{5}: \\ {\mathrm{р}}^2 = {\left( 3\frac{1}{5}\right)}^2 = 3\frac{1}{5} · 3\frac{1}{5} = \frac{16}{5} · \frac{16}{5}= \\ = \frac{256}{25} = 10\frac{6}{25} \end{gathered}$$

б)

$\mathrm{при} \mathrm{b} = -2: {\mathrm{b}}^3 = {(-2)}^3 = -2 · (-2) · (-2) = -8$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{b} = -\frac{2}{3}: \\ {\mathrm{b}}^3 = {\left(-\frac{2}{3}\right)}^3 = -\frac{2}{3}·\left(-\frac{2}{3}\right) · \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{8}{27} \end{gathered}$$

$\mathrm{при} \mathrm{b} = 0,1: {\mathrm{b}}^3 = {(0,1)}^3 = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{b} = -0,1: \\ {\mathrm{b}}^3 = {(-0,1)}^3 = -0,1 · (-0,1) · (-0,1) = \\ = -0,001 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{b} = -1\frac{1}{5}: \\ {\mathrm{b}}^3 = {\left(-1\frac{1}{5}\right)}^3 = -1\frac{1}{5}·\left(-1\frac{1}{5}\right) · \left(-1\frac{1}{5}\right) = \\ = -\frac{6}{5} · \left(-\frac{6}{5}\right) · \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{216}{125} = -1\frac{91}{125} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{при} \mathrm{b} = 2\frac{1}{2}: \\ {\mathrm{b}}^3 = {\left(2\frac{1}{2}\right)}^3 = 2\frac{1}{2} · 2\frac{1}{2} · 2\frac{1}{2} = \\ = \frac{5}{2} · \frac{5}{2} · \frac{5}{2} = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8} \end{gathered}$$

а) Вычислим значение выражения $p^2$ для каждого заданного значения $p$.

При $p = -4$:
$p^2 = (-4)^2 = 16$.
Ответ: 16

При $p = -\frac{1}{9}$:
$p^2 = \left(-\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{(-1)^2}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$

При $p = 0,6$:
$p^2 = (0,6)^2 = 0,36$.
Ответ: 0,36

При $p = -0,8$:
$p^2 = (-0,8)^2 = 0,64$.
Ответ: 0,64

При $p = -2\frac{1}{3}$:
$p^2 = \left(-2\frac{1}{3}\right)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.
Ответ: $5\frac{4}{9}$

При $p = 3\frac{1}{5}$:
$p^2 = \left(3\frac{1}{5}\right)^2 = \left(\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{256}{25} = 10\frac{6}{25}$.
Ответ: $10\frac{6}{25}$

б) Вычислим значение выражения $b^3$ для каждого заданного значения $b$.

При $b = -2$:
$b^3 = (-2)^3 = -8$.
Ответ: -8

При $b = -\frac{2}{3}$:
$b^3 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $-\frac{8}{27}$

При $b = 0,1$:
$b^3 = (0,1)^3 = 0,001$.
Ответ: 0,001

При $b = -0,1$:
$b^3 = (-0,1)^3 = -0,001$.
Ответ: -0,001

При $b = -1\frac{1}{5}$:
$b^3 = \left(-1\frac{1}{5}\right)^3 = \left(-\frac{6}{5}\right)^3 = -\frac{216}{125} = -1\frac{91}{125}$.
Ответ: $-1\frac{91}{125}$

При $b = 2\frac{1}{2}$:
$b^3 = \left(2\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}$.
Ответ: $15\frac{5}{8}$

4.288. Вычислите.

а) 4,5 – 5,7; б) –6,3 – 5,9; в) –4,2 – (–2,9); г) 711 – 2122; д) –214 – 218; е) – 914 – (– 57); ж) –2,5 – (–234); з) – 23 + 1,5.

4.288

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4,5 – 5,7 = 4,5 + (-5,7) = -(5,7 – 4,5) = -1,2$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-6,3 - 5,9 = -6,3 + (-5,9) = \\ =-(6,3 + 5,9) = -12,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4,2 – (-2,9) = -4,2 + 2,9 = \\ = -(4,2 – 2,9) = -1,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{11} - \frac{21}{22} = {\frac{7}{11}}^{\overline{)·2}} + \left(-\frac{21}{22}\right) = \\ = -\left(\frac{21}{22} - \frac{14}{22}\right) = -\frac{7}{22} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{1}{4} - 2\frac{1}{8} = -2\frac{1}{4} + \left(-2\frac{1}{8}\right)= \\ = - \left({2\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{1}{8}\right) = -\left(2\frac{2}{8} + 2\frac{1}{8}\right) = -4\frac{3}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{9}{14} - \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{9}{14} + {\frac{5}{7}}^{\overline{)·2}} = \\ =-\frac{9}{14} + \frac{10}{14} = +\left(\frac{10}{14} - \frac{9}{14}\right) = \frac{1}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-2,5 – (-2\frac{3}{4}) = -2,5 + 2,75 = \\ = +(2,75 – 2,5) = 0,25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} - \frac{2}{3} + 1,5 = -\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} = -\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \\ =+ \left({\frac{3}{2}}^{\overline{)·3}} - {\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}\right) = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы вычесть из меньшего числа большее, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак «минус».
$4,5 - 5,7 = -(5,7 - 4,5) = -1,2$.
Ответ: $-1,2$.

б) Вычитание из отрицательного числа положительного числа можно представить как сложение двух отрицательных чисел. Для этого складываем их модули и перед результатом ставим знак «минус».
$-6,3 - 5,9 = -(6,3 + 5,9) = -12,2$.
Ответ: $-12,2$.

в) Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа (минус на минус дает плюс).
$-4,2 - (-2,9) = -4,2 + 2,9$.
Далее, чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
$-(4,2 - 2,9) = -1,3$.
Ответ: $-1,3$.

г) Для вычитания дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для 11 и 22 — это 22. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2.
$\frac{7}{11} - \frac{21}{22} = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} - \frac{21}{22} = \frac{14}{22} - \frac{21}{22} = \frac{14 - 21}{22} = -\frac{7}{22}$.
Ответ: $-\frac{7}{22}$.

д) Данное выражение можно рассматривать как сложение двух отрицательных смешанных чисел. Сначала приведем их дробные части к общему знаменателю 8.
$-2\frac{1}{4} - 2\frac{1}{8} = -2\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 2\frac{1}{8} = -2\frac{2}{8} - 2\frac{1}{8}$.
Теперь сложим их модули: целые части с целыми, дробные с дробными, и поставим знак «минус».
$-( (2+2) + (\frac{2}{8} + \frac{1}{8}) ) = -(4 + \frac{3}{8}) = -4\frac{3}{8}$.
Ответ: $-4\frac{3}{8}$.

е) Вычитание отрицательной дроби заменяется сложением соответствующей положительной дроби. Затем приводим дроби к общему знаменателю 14.
$-\frac{9}{14} - (-\frac{5}{7}) = -\frac{9}{14} + \frac{5}{7} = -\frac{9}{14} + \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = -\frac{9}{14} + \frac{10}{14} = \frac{-9+10}{14} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$.

ж) Для удобства вычислений представим смешанное число в виде десятичной дроби. $2\frac{3}{4} = 2,75$.
$-2,5 - (-2\frac{3}{4}) = -2,5 - (-2,75)$.
Вычитание отрицательного числа заменяем сложением.
$-2,5 + 2,75 = 2,75 - 2,5 = 0,25$.
Ответ: $0,25$.

з) Для выполнения сложения преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
$-\frac{2}{3} + 1,5 = -\frac{2}{3} + \frac{3}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6.
$-\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{-4+9}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

4.289. Сравните значения выражений:

а) |–4,3 + 3,8| и |–4,3| + |3,8|; б) |–9,3 – 1,3| и |–9,3| + |–1,3|.

4.289

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} |-4,3 + 3,8| = |-(4,3 – 3,8)| = |-0,5| = 0,5 \\ |-4,3| + |3,8| = 4,3 + 3,8 = 8,1 \\ 0,5 < 8,1 \\ |-4,3 + 3,8| < |-4,3| + |3,8| \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }|-9,3 – 1,3| = |-9,3 + (-1,3)| = \\ =|-(9,3 + 1,3)| = |-10,6| = 10,6 \\ |-9,3| + |-1,3| = 9,3 + 1,3 = 10,6 \\ 10,6 = 10,6 \\ |-9,3 – 1,3| = |-9,3| + |-1,3| \end{gathered}$$

а) Сравним значения выражений $|-4,3 + 3,8|$ и $|-4,3| + |3,8|$.

Для этого вычислим значение каждого выражения по отдельности.

1. Вычислим значение первого выражения $|-4,3 + 3,8|$:

Сначала выполним действие в скобках модуля: $-4,3 + 3,8 = -0,5$.

Теперь найдем модуль полученного числа: $|-0,5| = 0,5$.

Итак, $|-4,3 + 3,8| = 0,5$.

2. Вычислим значение второго выражения $|-4,3| + |3,8|$:

Сначала найдем модуль каждого числа: $|-4,3| = 4,3$ и $|3,8| = 3,8$.

Теперь сложим полученные значения: $4,3 + 3,8 = 8,1$.

Итак, $|-4,3| + |3,8| = 8,1$.

3. Теперь сравним полученные результаты:

$0,5 < 8,1$.

Следовательно, $|-4,3 + 3,8| < |-4,3| + |3,8|$.

Ответ: $|-4,3 + 3,8| < |-4,3| + |3,8|$.

б) Сравним значения выражений $|-9,3 - 1,3|$ и $|-9,3| + |-1,3|$.

Для этого вычислим значение каждого выражения по отдельности.

1. Вычислим значение первого выражения $|-9,3 - 1,3|$:

Сначала выполним действие в скобках модуля: $-9,3 - 1,3 = -10,6$.

Теперь найдем модуль полученного числа: $|-10,6| = 10,6$.

Итак, $|-9,3 - 1,3| = 10,6$.

2. Вычислим значение второго выражения $|-9,3| + |-1,3|$:

Сначала найдем модуль каждого числа: $|-9,3| = 9,3$ и $|-1,3| = 1,3$.

Теперь сложим полученные значения: $9,3 + 1,3 = 10,6$.

Итак, $|-9,3| + |-1,3| = 10,6$.

3. Теперь сравним полученные результаты:

$10,6 = 10,6$.

Следовательно, $|-9,3 - 1,3| = |-9,3| + |-1,3|$.

Ответ: $|-9,3 - 1,3| = |-9,3| + |-1,3|$.

4.290. Вычислите.

4.290

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2\frac{5}{6} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} = 2\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2} \\ 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} - \frac{1}{3} =0 \\ \frac{7}{9} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}} = \frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9} \\ 3 - \frac{1}{3} = 2\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = 2\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{9} - {\frac{1}{3} }^{\overline{)·3}}= -\frac{1}{9}- \frac{3}{9} = -\left(\frac{1}{9} + \frac{3}{9}\right) = -\frac{4}{9} \\ \frac{1}{6} - {\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\left(\frac{2}{6} - \frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{6} \\ -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)= \\ = -\frac{3}{3} = -1 \end{gathered}$$