Страница 45, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.1. Назовите делители чисел 37, 35, 99.

2.1

37: 1 и 37

35: 1, 5, 7, 35

99: 1, 3, 9, 11, 33, 99

37

Делитель — это число, на которое другое число делится без остатка. Чтобы найти делители числа 37, нужно найти все числа, на которые 37 делится нацело. Число 37 является простым, так как оно имеет только два натуральных делителя: 1 и само себя. Проверим это: $37 \div 1 = 37$; $37 \div 37 = 1$. Попытка разделить 37 на другие числа в диапазоне от 2 до 36 даст остаток.

Ответ: 1, 37.

35

Чтобы найти все делители числа 35, будем последовательно проверять на делимость натуральные числа, начиная с 1. $35 \div 1 = 35$. Таким образом, 1 и 35 являются делителями. Число 35 нечетное, значит, на 2 не делится. Сумма цифр $3+5=8$, 8 не делится на 3, значит, и 35 не делится на 3. Число 35 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. $35 \div 5 = 7$. Таким образом, 5 и 7 также являются делителями. Мы проверили все возможные делители до $\sqrt{35} \approx 5.9$, поэтому все делители найдены. Расположим их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 5, 7, 35.

99

Найдем все делители числа 99. Любое число делится на 1 и на само себя, поэтому 1 и 99 — делители. Сумма цифр числа 99 равна $9+9=18$. Поскольку 18 делится на 3 и на 9, то и число 99 делится на 3 и на 9. Найдем соответствующие частные: $99 \div 3 = 33$, следовательно, 3 и 33 являются делителями. $99 \div 9 = 11$, следовательно, 9 и 11 также являются делителями. Расположим все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

2.2. Используя таблицу простых чисел, определите, какие из чисел 107, 123, 367, 409, 531, 557, 853, 977 являются простыми.

2.2

простые числа: 107, 367, 409, 557, 853, 977

Для определения, является ли число простым, будем использовать метод проверки делимости на простые числа, которые можно найти в таблице простых чисел. Натуральное число n является простым, если оно больше 1 и не делится ни на одно простое число p, такое что $p^2 \le n$. Если же такой делитель найдется, число является составным.

107

Для числа 107 необходимо проверить его делимость на простые числа p, для которых $p^2 \le 107$.
$\sqrt{107} \approx 10.34$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7.
1. Число 107 нечетное, значит, не делится на 2.
2. Сумма цифр $1+0+7=8$. 8 не делится на 3, значит, 107 не делится на 3.
3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.
4. При делении на 7: $107 = 7 \times 15 + 2$. Число не делится на 7.
Поскольку 107 не делится ни на одно простое число, не превосходящее его квадратный корень, оно является простым.

Ответ: 107 - простое число.

123

Проверим делимость числа 123 на простые числа.
Сумма цифр числа $1+2+3=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число 123 делится на 3.
$123 = 3 \times 41$.
Число 123 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, следовательно, оно является составным.

Ответ: 123 - составное число.

367

Для числа 367 проверим делимость на простые числа p, где $p^2 \le 367$.
$\sqrt{367} \approx 19.15$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- На 2 и 5 не делится (нечетное, не оканчивается на 0 или 5).
- Сумма цифр $3+6+7=16$, не делится на 3.
- $367 \div 7 = 52$ (ост. 3).
- $367 \div 11 = 33$ (ост. 4).
- $367 \div 13 = 28$ (ост. 3).
- $367 \div 17 = 21$ (ост. 10).
- $367 \div 19 = 19$ (ост. 6).
Делителей не найдено. Следовательно, 367 - простое число.

Ответ: 367 - простое число.

409

Для числа 409 проверим делимость на простые числа p, где $p^2 \le 409$.
$\sqrt{409} \approx 20.22$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- На 2 и 5 не делится.
- Сумма цифр $4+0+9=13$, не делится на 3.
- $409 \div 7 = 58$ (ост. 3).
- $409 \div 11 = 37$ (ост. 2).
- $409 \div 13 = 31$ (ост. 6).
- $409 \div 17 = 24$ (ост. 1).
- $409 \div 19 = 21$ (ост. 10).
Делителей не найдено. Следовательно, 409 - простое число.

Ответ: 409 - простое число.

531

Проверим делимость числа 531.
Сумма цифр числа $5+3+1=9$. Так как 9 делится на 3, то и само число 531 делится на 3.
$531 = 3 \times 177$.
Число 531 является составным.

Ответ: 531 - составное число.

557

Для числа 557 проверим делимость на простые числа p, где $p^2 \le 557$.
$\sqrt{557} \approx 23.6$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- На 2 и 5 не делится.
- Сумма цифр $5+5+7=17$, не делится на 3.
- $557 \div 7 = 79$ (ост. 4).
- $557 \div 11 = 50$ (ост. 7).
- $557 \div 13 = 42$ (ост. 11).
- $557 \div 17 = 32$ (ост. 13).
- $557 \div 19 = 29$ (ост. 6).
- $557 \div 23 = 24$ (ост. 5).
Делителей не найдено. Следовательно, 557 - простое число.

Ответ: 557 - простое число.

853

Для числа 853 проверим делимость на простые числа p, где $p^2 \le 853$.
$\sqrt{853} \approx 29.2$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- На 2 и 5 не делится.
- Сумма цифр $8+5+3=16$, не делится на 3.
- $853 \div 7 = 121$ (ост. 6).
- $853 \div 11 = 77$ (ост. 6).
- $853 \div 13 = 65$ (ост. 8).
- $853 \div 17 = 50$ (ост. 3).
- $853 \div 19 = 44$ (ост. 17).
- $853 \div 23 = 37$ (ост. 2).
- $853 \div 29 = 29$ (ост. 12).
Делителей не найдено. Следовательно, 853 - простое число.

Ответ: 853 - простое число.

977

Для числа 977 проверим делимость на простые числа p, где $p^2 \le 977$.
$\sqrt{977} \approx 31.25$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
- На 2 и 5 не делится.
- Сумма цифр $9+7+7=23$, не делится на 3.
- $977 \div 7 = 139$ (ост. 4).
- $977 \div 11 = 88$ (ост. 9).
- $977 \div 13 = 75$ (ост. 2).
- $977 \div 17 = 57$ (ост. 8).
- $977 \div 19 = 51$ (ост. 8).
- $977 \div 23 = 42$ (ост. 11).
- $977 \div 29 = 33$ (ост. 20).
- $977 \div 31 = 31$ (ост. 16).
Делителей не найдено. Следовательно, 977 - простое число.

Ответ: 977 - простое число.

2.3. Числа 2876, 4500, 777 777, 595 599 — составные. Докажите это утверждение.

2.3

число 2876 – составное, т.к. имеет более 2 делителей, оно делится на 1, 2876 и на 2, т.к. является четным

число 4500 – составное, т.к. имеет более 2 делителей, оно делится на 1, 4500 и на 10, 5 и 2, т.к. оканчивается нулем

число 777 777 – составное, т.к. имеет более 2 делителей, оно делится на 1, 7, 11

число 595 595 – составное, т.к. имеет более 2 делителей, оно делится на 1, 595 595 и 5, т.к. оканчивается цифрой 5

Чтобы доказать, что число является составным, необходимо показать, что оно имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Для этого можно использовать признаки делимости или найти такой делитель прямым разложением.

2876

Число 2876 заканчивается на цифру 6, которая является четной. Согласно признаку делимости на 2, любое натуральное число, оканчивающееся на четную цифру, делится на 2. Поскольку 2876 делится на 2 ($2876 : 2 = 1438$) и делитель 2 не равен 1 и 2876, то число 2876 является составным.

Ответ: Число 2876 является составным, так как оно четное и, следовательно, делится на 2.

4500

Число 4500 оканчивается на 0. Согласно признаку делимости на 10, любое натуральное число, оканчивающееся на 0, делится на 10. Также оно делится на 2 и 5. Поскольку 4500 делится на 10 ($4500 : 10 = 450$), а делитель 10 не равен 1 и 4500, то число 4500 является составным.

Ответ: Число 4500 является составным, так как оно оканчивается на 0 и делится на 10.

777777

Данное число можно представить в виде произведения: $777777 = 7 \times 111111$. Так как у числа 777777 есть делитель 7, отличный от 1 и 777777, оно является составным. Также можно применить признак делимости на 3. Найдем сумму цифр числа: $7+7+7+7+7+7 = 42$. Сумма цифр (42) делится на 3 ($42 : 3 = 14$), следовательно, и само число 777777 делится на 3.

Ответ: Число 777777 является составным, так как оно делится на 7 (а также на 3).

595599

Воспользуемся признаком делимости на 3. Для этого найдем сумму цифр числа: $5 + 9 + 5 + 5 + 9 + 9 = 42$. Сумма цифр равна 42. Поскольку 42 делится на 3 ($42 : 3 = 14$), то и само число 595599 делится на 3. Так как у числа 595599 есть делитель 3, отличный от 1 и 595599, оно является составным.

Ответ: Число 595599 является составным, так как сумма его цифр делится на 3, а значит и само число делится на 3.

2.4. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

2.4

Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, т.к. это произведение будет иметь более двух делителей: 1 и каждое из двух данных простых чисел

Пример: $2 · 3 = 6$, 2 и 3 – простые числа, 6 – составное.

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определению простого числа. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, большие 1, называются составными.

Пусть у нас есть два простых числа, назовем их $p_1$ и $p_2$. По определению, оба этих числа больше 1, то есть $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$.

Рассмотрим их произведение, которое обозначим как $P$: $$ P = p_1 \cdot p_2 $$

Теперь проанализируем делители числа $P$. Чтобы число $P$ было простым, оно должно делиться только на 1 и на само себя. Однако из самого равенства $P = p_1 \cdot p_2$ следует, что число $P$ делится нацело как на $p_1$, так и на $p_2$.

Давайте проверим, могут ли эти делители ($p_1$ и $p_2$) быть равны 1 или самому числу $P$.

1. Поскольку $p_1$ — простое число, оно по определению больше 1. Значит, $p_1 \ne 1$.
2. Поскольку $p_2$ — простое число, оно также больше 1. Это означает, что произведение $P = p_1 \cdot p_2$ будет строго больше, чем $p_1$. Следовательно, $p_1 \ne P$.

Таким образом, мы нашли у числа $P$ делитель $p_1$, который не является ни единицей, ни самим числом $P$. Этого уже достаточно, чтобы утверждать, что число $P$ не является простым. У него есть как минимум три делителя: $1$, $p_1$ и $P$. Аналогичные рассуждения верны и для $p_2$.

Следовательно, произведение двух простых чисел всегда является составным числом.

Пример:

Возьмем простые числа 3 и 5. Их произведение: $3 \cdot 5 = 15$. Число 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Так как у него больше двух делителей, оно является составным.

Возьмем простое число 7 и умножим его на себя: $7 \cdot 7 = 49$. Число 49 имеет делители 1, 7, 49. У него три делителя, значит, оно также является составным.

Ответ: нет, произведение двух простых чисел не может быть простым числом.

2.5. Каким числом может быть выражена площадь квадрата, если его сторона выражена натуральным числом?

2.5

$S = {а}^2 = а · а$

Площадь квадрата будет выражена натуральным, целым числом, а так же составным (исключение а = 1).

Пусть сторона квадрата равна a. Согласно условию задачи, a — это натуральное число. Натуральными числами называются числа, используемые для счета предметов: $1, 2, 3, 4, \dots$

Площадь квадрата S вычисляется по формуле, связывающей ее со стороной a: $S = a^2$

Поскольку a является натуральным числом, его квадрат $a^2$ представляет собой произведение двух натуральных чисел ($a \times a$). Результат такого произведения всегда является натуральным числом. Однако это не просто произвольное натуральное число, а число, которое можно представить в виде квадрата другого натурального числа. Такие числа называются точными (или полными) квадратами.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы проиллюстрировать это:
- если сторона $a = 1$, то площадь $S = 1^2 = 1$;
- если сторона $a = 2$, то площадь $S = 2^2 = 4$;
- если сторона $a = 3$, то площадь $S = 3^2 = 9$;
- если сторона $a = 10$, то площадь $S = 10^2 = 100$.

Таким образом, множество всех возможных значений для площади квадрата с натуральной стороной — это последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$

Ответ: Площадь квадрата может быть выражена числом, являющимся квадратом натурального числа (точным квадратом).

2.6. Каким числом может быть выражен объём куба, если его ребро выражено натуральным числом?

2.6

$V = {а}^3 = а · а · а.$

Объём куба выражен натуральным, целым числом, а так же составным

(исключение а = 1).

Пусть длина ребра куба равна $a$. По условию задачи, длина ребра выражена натуральным числом. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее. Таким образом, $a \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$).

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле, где длина ребра возводится в третью степень (в куб): $V = a^3$

Поскольку $a$ — это натуральное число, то его объём $V$ будет результатом умножения натурального числа само на себя три раза: $V = a \times a \times a$. Произведение натуральных чисел всегда является натуральным числом. Следовательно, объём куба также будет выражен натуральным числом.

Более того, это будет не просто натуральное число, а число, являющееся полным (или точным) кубом натурального числа.

Рассмотрим несколько примеров:
- Если ребро $a = 1$, то объём $V = 1^3 = 1$.
- Если ребро $a = 2$, то объём $V = 2^3 = 8$.
- Если ребро $a = 3$, то объём $V = 3^3 = 27$.
- Если ребро $a = 10$, то объём $V = 10^3 = 1000$.
Все полученные значения объёма (1, 8, 27, 1000) являются натуральными числами и, в частности, кубами натуральных чисел.

Ответ: Объём куба может быть выражен натуральным числом, которое является кубом другого натурального числа (то есть точным кубом).

2.7. Число α делится: а) на 7; б) на 12. Какое это число: простое или составное?

2.7

а) число может быть, как простым, так и составным.

Например, число 7 – простое, оно делится на 7; число 14 – составное, оно делится на 7.

б) число является составным, т.к. 12 – составное число.

а) Для того чтобы определить, является ли число простым или составным, обратимся к определениям. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, у которого есть и другие делители.

Если число $a$ делится на 7, это означает, что 7 является его делителем. Число $a$ можно представить в виде произведения $a = 7 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \geq 1$).

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $k = 1$, то $a = 7$. Число 7 является простым, так как его единственные делители — это 1 и 7.
2. Если $k > 1$ (то есть $k$ равно 2, 3, 4 и так далее), то число $a$ будет больше 7 (например, 14, 21, 28 и т.д.). В этом случае у числа $a$ есть как минимум три делителя: 1, 7 и само число $a$. Поскольку $7$ — это делитель, отличный от 1 и $a$, то по определению число $a$ является составным.

Таким образом, число, делящееся на 7, может быть как простым, так и составным.
Ответ: Число может быть простым (если $a=7$) или составным (во всех остальных случаях).

б) Если число $a$ делится на 12, это означает, что 12 является его делителем. Мы можем записать $a = 12 \cdot k$, где $k$ — натуральное число ($k \geq 1$).

Число 12 само по себе является составным, так как его делители — 1, 2, 3, 4, 6, 12. Поскольку $a$ делится на 12, оно также делится и на все делители числа 12. Например, у любого числа $a$, кратного 12, обязательно будут делители 2, 3, 4 и 6.

Наименьшее возможное значение для $a$ — это 12 (при $k=1$). Для любого такого числа $a$ (которое не меньше 12), его делители, унаследованные от 12 (например, 2 или 3), всегда будут больше 1 и меньше $a$.

Наличие у числа $a$ делителя, отличного от 1 и самого себя, означает, что $a$ по определению не может быть простым. Следовательно, оно всегда является составным.
Ответ: составное.

2.8. Разложите на два множителя числа:

а) 44 и 333; б) 98 и 453; в) 156 и 225.

2.8

$\mathit{а}\mathbf{)} 44 = 4 · 11; 333 = 3 · 111$

$\mathit{б}\mathbf{)} 98 = 2 · 49; 453 = 3 · 151$

$\mathit{в}\mathbf{)} 156 = 2 · 78; 225 = 15 · 15$

а) Чтобы разложить число 44 на два множителя, можно найти его делители. Так как 44 — четное число, оно делится на 2. $44 : 2 = 22$. Таким образом, один из вариантов разложения — $44 = 2 \times 22$. Также можно заметить, что 44 делится на 4: $44 : 4 = 11$. Это дает нам разложение $44 = 4 \times 11$.
Для числа 333 применим признак делимости на 9. Сумма его цифр $3+3+3=9$, что делится на 9. Следовательно, и само число 333 делится на 9. Выполним деление: $333 : 9 = 37$. Таким образом, получаем разложение $333 = 9 \times 37$.
Ответ: $44 = 4 \times 11$; $333 = 9 \times 37$.

б) Разложим число 98. Это четное число, поэтому оно делится на 2: $98 : 2 = 49$. Получаем разложение $98 = 2 \times 49$. Число 49 является квадратом числа 7 ($7 \times 7$), поэтому дальнейшее разложение на простые множители будет $98 = 2 \times 7 \times 7$.
Для числа 453 проверим признак делимости на 3. Сумма его цифр $4+5+3=12$, и так как 12 делится на 3, то и 453 делится на 3. Выполним деление: $453 : 3 = 151$. Таким образом, получаем разложение $453 = 3 \times 151$. Число 151 является простым, поэтому это единственное разложение на два множителя, кроме тривиального ($1 \times 453$).
Ответ: $98 = 2 \times 49$; $453 = 3 \times 151$.

в) Разложим число 156. Это четное число, поэтому $156 = 2 \times 78$. Также сумма цифр числа 156 ($1+5+6=12$) делится на 3, значит, и само число делится на 3: $156 : 3 = 52$. Это дает нам разложение $156 = 3 \times 52$. Другой вариант разложения — $156 = 12 \times 13$.
Число 225 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. $225 : 5 = 45$, то есть $225 = 5 \times 45$. Также можно заметить, что 225 является полным квадратом числа 15, так как $15^2 = 225$.
Ответ: $156 = 12 \times 13$; $225 = 15 \times 15$.

2.9. а) Сколькими способами можно разложить на два множителя число: 20; 46; 77?

б) Какими могут быть размеры теплицы площадью 24 м², если они выражены натуральными числами?

2.9

$\mathit{а}\mathbf{)} 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5 – 3 способа$

$46 = 1 · 46 = 2 · 23 – 2 способа$

$77 = 1 · 77 = 7 · 11 – 2 способа$

$\mathit{б}\mathbf{)} 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6$

а) Чтобы найти, сколькими способами можно разложить число на два множителя, нужно найти все его пары натуральных делителей. Порядок множителей в паре не имеет значения (например, $2 \cdot 10$ и $10 \cdot 2$ считаются одним и тем же способом разложения).

Для числа 20:
Делителями числа 20 являются 1, 2, 4, 5, 10, 20. Составим из них пары, произведение которых равно 20:
$1 \cdot 20 = 20$
$2 \cdot 10 = 20$
$4 \cdot 5 = 20$
Таким образом, существует 3 способа разложения.

Для числа 46:
Делителями числа 46 являются 1, 2, 23, 46. Составим из них пары:
$1 \cdot 46 = 46$
$2 \cdot 23 = 46$
Таким образом, существует 2 способа разложения.

Для числа 77:
Делителями числа 77 являются 1, 7, 11, 77. Составим из них пары:
$1 \cdot 77 = 77$
$7 \cdot 11 = 77$
Таким образом, существует 2 способа разложения.

Ответ: число 20 можно разложить на два множителя 3 способами, число 46 – 2 способами, число 77 – 2 способами.

б) Площадь прямоугольной теплицы вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – ее размеры (длина и ширина). По условию, площадь $S = 24 \text{ м}^2$, а размеры $a$ и $b$ выражены натуральными числами.

Задача сводится к поиску всех пар натуральных чисел, произведение которых равно 24. Эти пары будут соответствовать возможным размерам теплицы. Для этого найдем все делители числа 24.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Теперь сгруппируем их в пары, произведение в которых равно 24. Эти пары и будут возможными размерами теплицы в метрах:
1 м и 24 м (так как $1 \cdot 24 = 24$)
2 м и 12 м (так как $2 \cdot 12 = 24$)
3 м и 8 м (так как $3 \cdot 8 = 24$)
4 м и 6 м (так как $4 \cdot 6 = 24$)

Ответ: размеры теплицы могут быть: 1 м и 24 м, 2 м и 12 м, 3 м и 8 м, 4 м и 6 м.

2.10. Все ли чётные числа являются составными?

2.10

Не все, четное число 2 является простым числом.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определения чётного и составного числа.
Чётное число — это натуральное число, которое делится на 2 без остатка. Например, 2, 4, 6, 8 и так далее.
Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Например, число 4 является составным, так как его делители — 1, 2, 4. Число 6 является составным, его делители — 1, 2, 3, 6.

Теперь проверим утверждение «Все чётные числа являются составными».
Большинство чётных чисел действительно являются составными. Любое чётное число $n > 2$ можно представить в виде произведения $n = 2 \cdot k$, где $k$ — натуральное число больше 1. Это означает, что у числа $n$ есть как минимум три делителя (1, 2 и $k$), а значит, оно является составным.

Однако, рассмотрим самое маленькое чётное натуральное число — 2.
1. Является ли число 2 чётным? Да, так как оно делится на 2 без остатка ($2 : 2 = 1$).
2. Является ли число 2 составным? Нет. Делителями числа 2 являются только 1 и 2. У него нет других делителей. Число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя (единицу и самого себя), называется простым.

Таким образом, мы нашли пример чётного числа, которое не является составным. Это число 2. Оно служит контрпримером, который опровергает исходное утверждение.

Ответ: Нет, не все чётные числа являются составными. Число 2 является чётным, но при этом оно простое, а не составное.

2.11. С помощью контрпримера опровергните утверждение:

а) любое число, оканчивающееся цифрой 7, является простым;

б) сумма любых двух простых чисел есть простое число.

2.11

а) 27 – число составное

$\mathbf{б}\mathbf{)} 7 + 5 = 12$– составное число.

а) Утверждение гласит, что любое число, оканчивающееся на 7, является простым. Простым называется натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти один пример числа, которое оканчивается на 7, но не является простым (то есть является составным).
Рассмотрим число 27. Оно оканчивается на цифру 7. Однако, это число не является простым, так как у него есть делители, отличные от 1 и 27. Например, число 27 делится на 3 и на 9:
$27 = 3 \times 9$
Так как число 27 имеет больше двух делителей, оно является составным. Это и есть контрпример, который опровергает исходное утверждение.
Ответ: число 27 оканчивается на 7, но не является простым, так как $27 = 3 \times 9$.

б) Утверждение гласит, что сумма любых двух простых чисел есть простое число. Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти два простых числа, сумма которых будет являться составным числом.
Возьмем два простых числа: 3 и 5.
Найдем их сумму:
$3 + 5 = 8$
Полученное число 8 не является простым, так как оно делится не только на 1 и 8, но также на 2 и 4. Следовательно, число 8 — составное.
Другой пример: сумма двух простых чисел 7 и 11 равна 18. Число 18 также является составным.
Таким образом, мы нашли контрпример, опровергающий утверждение.
Ответ: числа 3 и 5 являются простыми, но их сумма $3 + 5 = 8$ является составным числом.

2.12. Найдите произведение простых чисел:

а) 37 и 3; б) 7, 11 и 13; в) 11 и 101.

2.12

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }37 · 3 = 111$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 7 · 11 · 13 = 77 · 13 = 1001$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 11 · 101 = 1111$

а) Найдём произведение простых чисел 37 и 3. Для этого необходимо их перемножить. Можно выполнить вычисление, разложив число 37 на разрядные слагаемые: $37 \times 3 = (30 + 7) \times 3 = 30 \times 3 + 7 \times 3 = 90 + 21 = 111$. Ответ: 111

б) Найдём произведение простых чисел 7, 11 и 13. Умножим их последовательно. Первое действие: $7 \times 11 = 77$. Второе действие: умножим полученный результат на 13. $77 \times 13 = 77 \times (10+3) = 77 \times 10 + 77 \times 3 = 770 + 231 = 1001$. Таким образом, произведение равно 1001. Ответ: 1001

в) Найдём произведение простых чисел 11 и 101. Для удобства вычисления можно представить число 101 как сумму 100 и 1: $11 \times 101 = 11 \times (100+1) = 11 \times 100 + 11 \times 1 = 1100 + 11 = 1111$. Ответ: 1111

2.13. Используя результаты, полученные в предыдущем задании, вычислите:

а) 101 · 3 · 37;

б) 7 · 13 · 11 · 101;.

в) 3 · 7 · 11 · 13 · 37;

г) 3 · 37 · 11 · 101.

2.13

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }101 · 3 · 37 = 101 · 111 = 11211$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }7 · 13 · 11 · 101 = 1001 · 101 = 101 101$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 · 7 · 11 · 13 · 37 = (3 · 37) · (7 · 11 · 13) = 111 · 1001 = 111 111$

$\mathit{г}\mathbf{)} 3 · 37 · 11 · 101 = 111 · 1111 = 123 321$

В условии задачи указано использовать результаты, полученные в предыдущем задании. Поскольку текст предыдущего задания отсутствует, будем исходить из предположения, что в нём были найдены следующие полезные произведения: $3 \cdot 37 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$. Используем эти результаты для вычислений.

а)

Чтобы вычислить произведение $101 \cdot 3 \cdot 37$, сгруппируем множители, используя сочетательное свойство умножения:

$101 \cdot (3 \cdot 37)$

Подставим известный результат $3 \cdot 37 = 111$:

$101 \cdot 111$

Выполним умножение, представив $101$ как $(100 + 1)$:

$101 \cdot 111 = (100 + 1) \cdot 111 = 100 \cdot 111 + 1 \cdot 111 = 11100 + 111 = 11211$

Ответ: $11211$

б)

Чтобы вычислить произведение $7 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 101$, перегруппируем множители, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

$(7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot 101$

Подставим известный результат $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:

$1001 \cdot 101$

Выполним умножение, представив $101$ как $(100 + 1)$:

$1001 \cdot 101 = 1001 \cdot (100 + 1) = 1001 \cdot 100 + 1001 \cdot 1 = 100100 + 1001 = 101101$

Ответ: $101101$

в)

Чтобы вычислить произведение $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$, перегруппируем множители:

$(3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$

Подставим оба известных результата: $3 \cdot 37 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:

$111 \cdot 1001$

Выполним умножение, представив $1001$ как $(1000 + 1)$:

$111 \cdot 1001 = 111 \cdot (1000 + 1) = 111 \cdot 1000 + 111 \cdot 1 = 111000 + 111 = 111111$

Ответ: $111111$

г)

Чтобы вычислить произведение $3 \cdot 37 \cdot 11 \cdot 101$, сгруппируем множители:

$(3 \cdot 37) \cdot 11 \cdot 101$

Подставим известный результат $3 \cdot 37 = 111$:

$111 \cdot 11 \cdot 101$

Выполним умножение по шагам. Сначала вычислим $111 \cdot 11$:

$111 \cdot 11 = 1221$

Теперь умножим полученный результат на $101$:

$1221 \cdot 101 = 1221 \cdot (100 + 1) = 1221 \cdot 100 + 1221 \cdot 1 = 122100 + 1221 = 123321$

Ответ: $123321$

2.14. Разложите на простые множители числа:

а) 108, 225, 270, 512, 945, 1024;

б) 90, 180, 270, 350, 450, 1350, 4500;

в) 13, 2002, 1225, 14 014, 90 720.

2.14

а)

$108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3$	$225 = 3 · 3 · 5 · 5$
$270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5$	$512 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2$
$945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7$	$1024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2$

б)

$90 = 2 · 3 · 3 · 5$	$180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5$
$270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5$	$350 = 2 · 5 · 5 · 7$
$450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5$	$1350 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5$
$4500 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5$

в)

$13 = 13$	$2002 = 2 · 7 · 11 · 13$
$245 = 5 · 7 · 7$	$14014 = 2 · 7 · 7 · 11 · 13$
$90720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7$

108: Начнем последовательное деление на наименьшие простые числа. Число 108 четное, делим на 2:
$108 : 2 = 54$
$54 : 2 = 27$
Число 27 нечетное. Сумма его цифр $2+7=9$ делится на 3, значит, 27 делится на 3:
$27 : 3 = 9$
$9 : 3 = 3$
3 - простое число. Таким образом, разложение на простые множители:
$108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$.
Ответ: $108 = 2^2 \cdot 3^3$.

225: Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$225 : 5 = 45$
$45 : 5 = 9$
Теперь делим на 3:
$9 : 3 = 3$
3 - простое число. Таким образом, разложение на простые множители:
$225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$.
Ответ: $225 = 3^2 \cdot 5^2$.

270: Число оканчивается на 0, поэтому его можно представить как $27 \cdot 10$.
Разложим 27: $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Разложим 10: $10 = 2 \cdot 5$.
Объединяя множители, получаем:
$270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Ответ: $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

512: Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2:
$512 : 2 = 256$
$256 : 2 = 128$
$128 : 2 = 64$
$64 : 2 = 32$
$32 : 2 = 16$
$16 : 2 = 8$
$8 : 2 = 4$
$4 : 2 = 2$
$2 : 2 = 1$
Деление на 2 было произведено 9 раз, следовательно:
$512 = 2^9$.
Ответ: $512 = 2^9$.

945: Число оканчивается на 5, делим на 5:
$945 : 5 = 189$
Сумма цифр числа 189 ($1+8+9=18$) делится на 3, делим на 3:
$189 : 3 = 63$
$63 : 3 = 21$
$21 : 3 = 7$
7 - простое число. Собираем множители:
$945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.
Ответ: $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

1024: Это степень двойки, $1024 = 2^{10}$. Проверим последовательным делением:
$1024 : 2 = 512$, и так далее 10 раз.
$1024 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$.
Ответ: $1024 = 2^{10}$.

90: Представим как $9 \cdot 10$.
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Ответ: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

180: Представим как $18 \cdot 10$.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
$180 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Ответ: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

270: (Решение аналогично пункту а)) $270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Ответ: $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

350: Представим как $35 \cdot 10$.
$35 = 5 \cdot 7$
$10 = 2 \cdot 5$
$350 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.
Ответ: $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

450: Представим как $45 \cdot 10$.
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$10 = 2 \cdot 5$
$450 = (3^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
Ответ: $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

1350: Представим как $135 \cdot 10$.
Делим 135 на 5: $135 : 5 = 27$. $27 = 3^3$. Значит, $135 = 3^3 \cdot 5$.
$10 = 2 \cdot 5$.
$1350 = (3^3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.
Ответ: $1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

4500: Представим как $45 \cdot 100$.
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$
$4500 = (3^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$.
Ответ: $4500 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$.

13: Это простое число, оно делится только на 1 и на само себя.
Ответ: $13 = 13$.

2002: Число четное, делим на 2:
$2002 : 2 = 1001$
Проверяем делимость 1001 на простые числа. Делим на 7:
$1001 : 7 = 143$
Проверяем делимость 143. Признак делимости на 11 ($1-4+3=0$) выполняется:
$143 : 11 = 13$
13 - простое число. Собираем множители:
$2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.
Ответ: $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.

1225: Число оканчивается на 5, делим на 5:
$1225 : 5 = 245$
$245 : 5 = 49$
$49$ - это квадрат числа 7: $49 = 7^2$.
$1225 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7^2$.
Ответ: $1225 = 5^2 \cdot 7^2$.

14014: Число четное, делим на 2:
$14014 : 2 = 7007$
Число 7007 делится на 7:
$7007 : 7 = 1001$
Разложение 1001 мы уже знаем из примера с числом 2002: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.
Собираем все множители:
$14014 = 2 \cdot 7 \cdot 1001 = 2 \cdot 7 \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$.
Ответ: $14014 = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$.

90720: Представим как $9072 \cdot 10$.
$10 = 2 \cdot 5$.
Разложим 9072. Делим на 2:
$9072 : 2 = 4536$
$4536 : 2 = 2268$
$2268 : 2 = 1134$
$1134 : 2 = 567$
Получили $9072 = 2^4 \cdot 567$.
Разложим 567. Сумма цифр $5+6+7=18$ делится на 9 (и на 3). Делим на 3:
$567 : 3 = 189$
$189 : 3 = 63$
$63 : 3 = 21$
$21 : 3 = 7$
Получили $567 = 3^4 \cdot 7$.
Объединяем все множители:
$90720 = (2^4 \cdot 3^4 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.
Ответ: $90720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

2.15. Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют эти числа?

2.15

$16 = 4 · 4$

$25 = 5 · 5$

$27 = 3 · 3 · 3$

$36 = 6 · 6$

$49 = 7 · 7$

$64 = 8 · 8 = 4 · 4 · 4$

$81 = 9 · 9$

Это квадраты или кубы натуральных чисел.

Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей

Данная задача требует найти двузначные числа (от 10 до 99), которые можно представить в виде $p^2$ или $p^3$, где $p$ — простое число.

1. Рассмотрим случай, когда разложение состоит из двух одинаковых простых множителей. Это числа вида $n = p^2$.

• Если простое число $p=2$, то $n = 2^2 = 4$. Это число не является двузначным.

• Если $p=3$, то $n = 3^2 = 9$. Это число также не является двузначным.

• Если $p=5$, то $n = 5^2 = 25$. Это двузначное число. Его разложение на простые множители: $25 = 5 \cdot 5$.

• Если $p=7$, то $n = 7^2 = 49$. Это двузначное число. Его разложение на простые множители: $49 = 7 \cdot 7$.

• Если $p=11$, то $n = 11^2 = 121$. Это трехзначное число, поэтому оно и квадраты следующих простых чисел нам не подходят.

2. Рассмотрим случай, когда разложение состоит из трёх одинаковых простых множителей. Это числа вида $n = p^3$.

• Если простое число $p=2$, то $n = 2^3 = 8$. Это число не является двузначным.

• Если $p=3$, то $n = 3^3 = 27$. Это двузначное число. Его разложение на простые множители: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$.

• Если $p=5$, то $n = 5^3 = 125$. Это трехзначное число, поэтому оно и кубы следующих простых чисел нам не подходят.

Объединяя результаты из обоих случаев, мы получаем все искомые числа.
Ответ: 25, 49, 27.

Как называют эти числа?

Числа, разложение на простые множители которых состоит из одного и того же простого множителя, взятого несколько раз, называются степенями простых чисел. Любое такое число можно записать в виде $p^k$, где $p$ — простое число, а $k$ — натуральное число. Найденные нами числа являются степенями простых чисел: $25=5^2$, $49=7^2$, $27=3^3$.
Ответ: Степени простых чисел.

2.16. Напишите все двузначные числа, в разложении которых два различных простых множителя и один из них равен:

а) 7; б) 19; в) 29; г) 43.

2.16

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }14 = 7 · 2 \\ 21 = 7 · 3 \\ 35 = 7 · 5 \\ 77 = 7 · 11 \\ 91 = 7 · 13 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 38 = 19 · 2 \\ 57 = 19 · 3 \\ 95 = 19 · 5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 58 = 29 · 2 \\ 87 = 29 · 3 \end{gathered}$$ $\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }86 = 43 · 2$

а) 7; Искомые числа $N$ должны быть двузначными, то есть $10 \le N \le 99$. По условию, в разложении числа $N$ на простые множители должно быть ровно два различных простых множителя. Один из этих множителей равен 7. Обозначим второй простой множитель как $p$. Таким образом, число $N$ должно иметь вид $N = 7^k \cdot p^m$, где $p$ — простое число, $p \ne 7$, а $k$ и $m$ — натуральные числа ($k \ge 1, m \ge 1$).
Переберем возможные значения $p$, $k$ и $m$.
1. Пусть $k=1$ и $m=1$. Тогда $N = 7 \cdot p$.
Из условия $10 \le 7p \le 99$ следует, что $\frac{10}{7} \le p \le \frac{99}{7}$, или примерно $1.43 \le p \le 14.14$. Простые числа $p$ в этом интервале, не равные 7, это: 2, 3, 5, 11, 13.
- При $p=2$, $N = 7 \cdot 2 = 14$. - При $p=3$, $N = 7 \cdot 3 = 21$. - При $p=5$, $N = 7 \cdot 5 = 35$. - При $p=11$, $N = 7 \cdot 11 = 77$. - При $p=13$, $N = 7 \cdot 13 = 91$.
2. Рассмотрим случаи, когда степени $k$ или $m$ больше 1.
- Если $k=2$, то $N = 7^2 \cdot p^m = 49 \cdot p^m$. Из $10 \le 49 \cdot p^m \le 99$ следует $p^m \le \frac{99}{49} \approx 2.02$. Единственный вариант — $p=2$ и $m=1$. Тогда $N = 49 \cdot 2 = 98$. Если $k \ge 3$, то $7^3 = 343 > 99$, решений нет.
- Если $k=1$, а $m \ge 2$, то $N=7 \cdot p^m$. Из $10 \le 7 \cdot p^m \le 99$ следует $p^m \le \frac{99}{7} \approx 14.14$.
При $p=2$: $2^2=4$ (подходит, $N=7 \cdot 4=28$), $2^3=8$ (подходит, $N=7 \cdot 8=56$), $2^4=16$ (не подходит).
При $p=3$: $3^2=9$ (подходит, $N=7 \cdot 9=63$), $3^3=27$ (не подходит).
При $p \ge 5$: $5^2=25$ (не подходит).
Собрав все найденные числа, получаем итоговый список.
Ответ: 14, 21, 28, 35, 56, 63, 77, 91, 98.

б) 19; Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 19^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 19$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=19 \cdot p$.
Из условия $10 \le 19p \le 99$ получаем $\frac{10}{19} \le p \le \frac{99}{19}$, или $0.53 \le p \le 5.21$. Простые числа $p$ в этом диапазоне: 2, 3, 5.
- При $p=2$, $N = 19 \cdot 2 = 38$. - При $p=3$, $N = 19 \cdot 3 = 57$. - При $p=5$, $N = 19 \cdot 5 = 95$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $19^2 = 361 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 19 \cdot p^m$. Из $10 \le 19p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{19} \approx 5.21$.
При $p=2$: $2^2=4$ (подходит, $N=19 \cdot 4 = 76$), $2^3=8$ (не подходит).
При $p \ge 3$: $3^2=9$ (не подходит).
Ответ: 38, 57, 76, 95.

в) 29; Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 29^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 29$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=29 \cdot p$.
Из условия $10 \le 29p \le 99$ получаем $\frac{10}{29} \le p \le \frac{99}{29}$, или $0.34 \le p \le 3.41$. Простые числа $p$ в этом диапазоне: 2, 3.
- При $p=2$, $N = 29 \cdot 2 = 58$. - При $p=3$, $N = 29 \cdot 3 = 87$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $29^2 = 841 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 29 \cdot p^m$. Из $10 \le 29p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{29} \approx 3.41$. Наименьшее возможное значение $p^m$ (при $p=2, m=2$) это $2^2=4$, что уже больше 3.41, поэтому других решений нет.
Ответ: 58, 87.

г) 43. Ищем двузначные числа $N$ вида $N = 43^k \cdot p^m$, где $p$ - простое число, $p \ne 43$, и $k,m \ge 1$.
1. При $k=1, m=1$, имеем $N=43 \cdot p$.
Из условия $10 \le 43p \le 99$ получаем $\frac{10}{43} \le p \le \frac{99}{43}$, или $0.23 \le p \le 2.30$. Единственное простое число $p$ в этом диапазоне - это 2.
- При $p=2$, $N = 43 \cdot 2 = 86$.
2. Рассмотрим степени больше 1.
- Если $k \ge 2$, то $43^2 = 1849 > 99$, решений нет.
- Если $k=1, m \ge 2$, то $N = 43 \cdot p^m$. Из $10 \le 43p^m \le 99$ получаем $p^m \le \frac{99}{43} \approx 2.30$. Наименьшее возможное значение $p^m$ (при $p=2, m=2$) это $2^2=4$, что уже больше 2.30, поэтому других решений нет.
Ответ: 86.

2.17. Делится ли число n на число m нацело, если:

а) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 и m = 2 · 2 · 7;

б) n = 2 · 5 · 5 · 17 · 17 и m = 2 · 3 · 5;

в) n = 3 · 3 · 5 · 7 · 19 и m = 3 · 3 · 7 · 19;

г) n = 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7 и m = 35;

д) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 и m = 308;

е) n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11 и m = 1000?

2.17

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · 3 · 5 · 7 · \cancel{7}}{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{7}}= 3 · 3 · 5 · 7$– делится

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · 5 · \cancel{5} · 17 · 17}{\cancel{2} · 3 ·\cancel{ 5}}$– не делится

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{n}{m}= \frac{\cancel{3} ·\cancel{ 3 }· 5 · \cancel{7} · \cancel{19}}{\cancel{3} · \cancel{3} · \cancel{7} · \cancel{19}}= 5$ – делится

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{n}{m}=\frac{2 · 3 · \cancel{5} · \cancel{7} · 7 · 7}{\cancel{35}}= 2 · 3 · 7 · 7$ – делится

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · 3 · 5 · \cancel{7} · \cancel{11}}{\cancel{308}}=3 · 3 · 5$ – делится, так как $308 = 2 · 2 · 7 · 11$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{m}}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{2} · 3 · \cancel{5} · \cancel{5} · 11}{1000}= \frac{3 · 11}{5}$ – не делится, так как $1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5$

а) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Чтобы число $n$ делилось нацело на число $m$, необходимо и достаточно, чтобы все простые множители, входящие в разложение числа $m$, входили также и в разложение числа $n$, причем степень каждого множителя в разложении $m$ должна быть не больше его степени в разложении $n$. Разложение числа $n$ на простые множители в степенной форме: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2$. Разложение числа $m$ на простые множители в степенной форме: $m = 2^2 \cdot 7^1$. Сравним множители числа $m$ с множителями числа $n$:

• Простой множитель 2 входит в разложение $m$ во 2-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $2 \ge 2$, условие выполняется.
• Простой множитель 7 входит в разложение $m$ в 1-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $1 \le 2$, условие выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

б) Даны числа $n = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 17$ и $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 2 \cdot 5^2 \cdot 17^2$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Для того чтобы $n$ делилось на $m$, все простые множители $m$ должны присутствовать в разложении $n$. В разложении числа $m$ есть простой множитель 3, которого нет в разложении числа $n$. Следовательно, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.

в) Даны числа $n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $m = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 3^2 \cdot 7 \cdot 19$. Проверим, входят ли все простые множители $m$ в разложение $n$ в достаточной степени:

• Множитель 3: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 19: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

г) Даны числа $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 35$. Сначала разложим число $m$ на простые множители: $m = 35 = 5 \cdot 7$. Разложение числа $n$: $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^3$. Разложение числа $m$: $m = 5^1 \cdot 7^1$. Сравним множители:

• Множитель 5: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 3. Условие $1 \le 3$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

д) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $m = 308$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 308 = 2 \cdot 154 = 2 \cdot 2 \cdot 77 = 2^2 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $n$: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 11: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

е) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$ и $m = 1000$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$. Разложение числа $n$: $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^3 \cdot 5^3$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 3, в $n$ степень 3. Условие $3 \ge 3$ выполняется.
• Множитель 5: в $m$ степень 3, а в $n$ — степень 2. Условие $3 \ge 2$ не выполняется, так как степень множителя 5 в $m$ больше, чем в $n$ ($3 > 2$).

Поскольку не для всех простых множителей числа $m$ выполняется условие, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.

4.220. Найдите сумму:

а) 24 + (–3); б) –42 + 28; в) –9 + (–24); г) –21 + (–39); д) –0,7 + 5; е) –3,8 + (–5,1); ж) 16,1 + (–11,5); з) –4,32 + 9,68.

4.220

а) 24 + (-3) = +(24 – 3) = 21

б) -42 + 28 = -(42 – 28) = -14

в) -9 + (-24) = -(9 + 24) = -33

г) -21 + (-39) = -(21 + 39) = -60

д) -0,7 + 5 = +(5 – 0,7) = 4,3

е) -3,8 + (-5,1) = -(3,8 + 5,1) = -8,9

ж) 16,1 + (-11,5) = +(16,1 – 11,5) = 4,6

з) -4,32 + 9,68 = +(9,68 – 4,32) = 5,36

а) $24 + (-3)$
Чтобы сложить два числа с разными знаками (положительное и отрицательное), нужно из числа с большим модулем вычесть число с меньшим модулем и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.
В данном случае модуль числа 24 больше модуля числа -3 ($|24| > |-3|$). Значит, результат будет положительным.
Выполняем вычитание: $24 - 3 = 21$.
$24 + (-3) = 21$.
Ответ: 21

б) $-42 + 28$
Складываем числа с разными знаками. Модуль числа -42 больше модуля числа 28 ($|-42| > |28|$), поэтому результат будет отрицательным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $42 - 28 = 14$.
Ставим перед результатом знак «минус».
$-42 + 28 = -14$.
Ответ: -14

в) $-9 + (-24)$
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак «минус».
Складываем модули: $|-9| + |-24| = 9 + 24 = 33$.
Ставим знак «минус»: $-33$.
$-9 + (-24) = -33$.
Ответ: -33

г) $-21 + (-39)$
Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед суммой знак «минус».
$|-21| + |-39| = 21 + 39 = 60$.
$-21 + (-39) = -60$.
Ответ: -60

д) $-0,7 + 5$
Складываем числа с разными знаками. Модуль числа 5 больше модуля числа -0,7 ($|5| > |-0,7|$), поэтому результат будет положительным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $5 - 0,7 = 4,3$.
$-0,7 + 5 = 4,3$.
Ответ: 4,3

е) $-3,8 + (-5,1)$
Складываем два отрицательных числа. Складываем их модули и ставим перед результатом знак «минус».
$|-3,8| + |-5,1| = 3,8 + 5,1 = 8,9$.
$-3,8 + (-5,1) = -8,9$.
Ответ: -8,9

ж) $16,1 + (-11,5)$
Складываем числа с разными знаками. Модуль числа 16,1 больше модуля числа -11,5 ($|16,1| > |-11,5|$), поэтому результат будет положительным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $16,1 - 11,5 = 4,6$.
$16,1 + (-11,5) = 4,6$.
Ответ: 4,6

з) $-4,32 + 9,68$
Складываем числа с разными знаками. Модуль числа 9,68 больше модуля числа -4,32 ($|9,68| > |-4,32|$), поэтому результат будет положительным.
Вычитаем из большего модуля меньший: $9,68 - 4,32 = 5,36$.
$-4,32 + 9,68 = 5,36$.
Ответ: 5,36

4.221. Выполните сложение:

а) – 37 + 67: б) – 511 + 311: в) 34 + (–16): г) –1 + 47; д) –4 + 278; е) 10 + (–8513); ж) 827 + (–7514); з) –917 + 8,5.

4.221

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{3}{7} + \frac{6}{7} = + \left(\frac{6}{7} - \frac{3}{7}\right) = \frac{3}{7}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{11} + \frac{3}{11} = -\left(\frac{5}{11} - \frac{3}{11}\right) = -\frac{2}{11}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} + \left({-\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}\right) = \frac{9}{12} + \left(-\frac{2}{12}\right)= \\ = + \left(\frac{9}{12} - \frac{2}{12}\right) = \frac{7}{12} \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 + \frac{4}{7} = -\left(1 - \frac{4}{7} \right)= -\frac{3}{7}$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -4 + 2\frac{7}{8} = -\left(4 - 2\frac{7}{8}\right) = -\left(3\frac{8}{8} - 2\frac{7}{8}\right) = \\ = -1\frac{1}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 10 + \left(-8\frac{5}{13}\right) = + \left(10 - 8\frac{5}{13}\right) = \\ = 9\frac{13}{13} - 8\frac{5}{13} = 1\frac{8}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} {8\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}} + \left(-7\frac{5}{14}\right) = 8\frac{4}{14} + \left(-7\frac{5}{14}\right) = \\ = + \left(8\frac{4}{14} - 7\frac{5}{14} \right) = 7\frac{18}{14} - 7\frac{5}{14} = \frac{13}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-9\frac{1}{7} + 8,5 = -9\frac{1}{7} + 8\frac{1}{2} = -\left({9\frac{1}{7}}^{\overline{)·2}} - {8\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}\right)= \\ =-\left(9\frac{2}{14} - 8\frac{7}{14}\right) = - \left(8\frac{16}{14} - 8\frac{7}{14}\right) = -\frac{9}{14} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$-\frac{3}{7} + \frac{6}{7} = \frac{-3+6}{7} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

б) Данные дроби имеют одинаковые знаменатели, поэтому складываем их числители.

$-\frac{5}{11} + \frac{3}{11} = \frac{-5+3}{11} = -\frac{2}{11}$.

Ответ: $-\frac{2}{11}$.

в) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12. Дополнительный множитель для первой дроби равен $12 / 4 = 3$, для второй — $12 / 6 = 2$.

$\frac{3}{4} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

г) Чтобы сложить целое число и дробь, можно представить целое число в виде дроби с тем же знаменателем.

$-1 + \frac{4}{7} = -\frac{7}{7} + \frac{4}{7} = \frac{-7+4}{7} = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $-\frac{3}{7}$.

д) Для сложения чисел с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|-4| > |2\frac{7}{8}|$, поэтому результат будет отрицательным.

$-4 + 2\frac{7}{8} = -(4 - 2\frac{7}{8})$.

Выполним вычитание: $4 - 2\frac{7}{8} = 3\frac{8}{8} - 2\frac{7}{8} = (3-2) + (\frac{8-7}{8}) = 1\frac{1}{8}$.

Следовательно, результат равен $-1\frac{1}{8}$.

Ответ: $-1\frac{1}{8}$.

е) Это сложение чисел с разными знаками, которое можно представить как вычитание. $|10| > |-8\frac{5}{13}|$, поэтому результат будет положительным.

$10 + (-8\frac{5}{13}) = 10 - 8\frac{5}{13}$.

Представим 10 в виде $9\frac{13}{13}$ для удобства вычитания: $9\frac{13}{13} - 8\frac{5}{13} = (9-8) + (\frac{13-5}{13}) = 1 + \frac{8}{13} = 1\frac{8}{13}$.

Ответ: $1\frac{8}{13}$.

ж) Сложение можно представить как вычитание. Сначала приведем дробные части к общему знаменателю 14.

$8\frac{2}{7} + (-7\frac{5}{14}) = 8\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} - 7\frac{5}{14} = 8\frac{4}{14} - 7\frac{5}{14}$.

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{14}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{14}$), "займем" единицу у целой части уменьшаемого: $8\frac{4}{14} = 7 + 1 + \frac{4}{14} = 7 + \frac{14}{14} + \frac{4}{14} = 7\frac{18}{14}$.

Теперь выполним вычитание: $7\frac{18}{14} - 7\frac{5}{14} = (7-7) + (\frac{18-5}{14}) = 0 + \frac{13}{14} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$.

з) Для выполнения сложения преобразуем десятичную дробь в обыкновенную смешанную дробь: $8,5 = 8\frac{5}{10} = 8\frac{1}{2}$.

Получаем выражение: $-9\frac{1}{7} + 8\frac{1}{2}$.

Так как $|-9\frac{1}{7}| > |8\frac{1}{2}|$, результат будет отрицательным. Найдем разность их модулей: $9\frac{1}{7} - 8\frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 14: $9\frac{1}{7} = 9\frac{2}{14}$ и $8\frac{1}{2} = 8\frac{7}{14}$.

$9\frac{2}{14} - 8\frac{7}{14}$. "Займем" единицу у целой части: $9\frac{2}{14} = 8\frac{16}{14}$.

$8\frac{16}{14} - 8\frac{7}{14} = (8-8) + (\frac{16-7}{14}) = \frac{9}{14}$.

Так как результат отрицательный, окончательный ответ равен $-\frac{9}{14}$.

Ответ: $-\frac{9}{14}$.

4.222. В виде суммы каких двух равных слагаемых можно представить число:

а) 20; б) –6; в) –8,2; г) – 49; д) –5311; е) 915?

4.222

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 20 = 10 + 10 \\ \mathit{б}\mathbf{)} -6 = -3 + (-3) \\ \mathit{в}\mathbf{)} -8,2 = -4,1 + (-4,1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{9} = -\frac{2}{9} + \left(-\frac{2}{9}\right) \\ \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-5\frac{3}{11} = -\frac{58}{11} = -\frac{29}{11} +\left(-\frac{29}{11}\right)= \\ = -2\frac{7}{11} + \left(-2\frac{7}{11}\right) \\ \mathit{е}\mathbf{)} 9\frac{1}{5} = \frac{46}{5} = \frac{23}{5} + \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5} \end{gathered}$$

Чтобы представить число в виде суммы двух равных слагаемых, нужно это число разделить на 2. Полученное частное и будет искомым слагаемым. Если `a` — исходное число, то его можно представить в виде суммы `x + x`, где `x = a / 2`.

а) Для числа 20 искомое слагаемое равно:
$x = 20 : 2 = 10$
Таким образом, представление числа 20 в виде суммы двух равных слагаемых:
$20 = 10 + 10$
Ответ: $10 + 10$.

б) Для числа -6 искомое слагаемое равно:
$x = -6 : 2 = -3$
Таким образом, представление числа -6 в виде суммы двух равных слагаемых:
$-6 = (-3) + (-3)$
Ответ: $(-3) + (-3)$.

в) Для числа -8,2 искомое слагаемое равно:
$x = -8,2 : 2 = -4,1$
Таким образом, представление числа -8,2 в виде суммы двух равных слагаемых:
$-8,2 = (-4,1) + (-4,1)$
Ответ: $(-4,1) + (-4,1)$.

г) Для числа $-\frac{4}{9}$ искомое слагаемое равно:
$x = -\frac{4}{9} : 2 = -\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4 \cdot 1}{9 \cdot 2} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$
Таким образом, представление числа $-\frac{4}{9}$ в виде суммы двух равных слагаемых:
$-\frac{4}{9} = (-\frac{2}{9}) + (-\frac{2}{9})$
Ответ: $(-\frac{2}{9}) + (-\frac{2}{9})$.

д) Сначала представим смешанное число $-5\frac{3}{11}$ в виде неправильной дроби:
$-5\frac{3}{11} = -\frac{5 \cdot 11 + 3}{11} = -\frac{58}{11}$
Теперь найдем искомое слагаемое, разделив дробь на 2:
$x = -\frac{58}{11} : 2 = -\frac{58}{11} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{58}{22} = -\frac{29}{11}$
Преобразуем результат обратно в смешанное число:
$-\frac{29}{11} = -2\frac{7}{11}$
Таким образом, представление числа $-5\frac{3}{11}$ в виде суммы двух равных слагаемых:
$-5\frac{3}{11} = (-2\frac{7}{11}) + (-2\frac{7}{11})$
Ответ: $(-2\frac{7}{11}) + (-2\frac{7}{11})$.

е) Сначала представим смешанное число $9\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби:
$9\frac{1}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{46}{5}$
Теперь найдем искомое слагаемое, разделив дробь на 2:
$x = \frac{46}{5} : 2 = \frac{46}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$
Преобразуем результат обратно в смешанное число:
$\frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}$
Таким образом, представление числа $9\frac{1}{5}$ в виде суммы двух равных слагаемых:
$9\frac{1}{5} = 4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5}$
Ответ: $4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5}$.

4.223. Вычислите сумму х + у при:

а) х = –1,7, у = 3,4; б) х = –11,3, у = 10,8; в) х = – 49, у = 23; г) х = 724, у = 716.

4.223

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} х = -1,7; у = 3,4 \\ х + у = -1,7 + 3,4 = +(3,4 – 1,7) = 1,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х = -11,3; у = 10,8 \\ х + у = -11,3 + 10,8 = -(11,3 – 10,8) = -0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} х = -\frac{4}{9}; у = \frac{2}{3} \\ х + у = -\frac{4}{9} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} = -\frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \\ =+ \left(\frac{6}{9} - \frac{4}{9}\right) = \frac{2}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }х = \frac{7}{24}; у = \frac{7}{16} \\ х + у = {\frac{7}{24}}^{\overline{)·2}} + {\frac{7}{16}}^{\overline{)·3}} = \frac{14}{48} + \frac{21}{48} = \frac{35}{48} \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить сумму $x + y$ при заданных значениях $x = -1,7$ и $y = 3,4$, необходимо сложить эти два числа. Так как числа имеют разные знаки, из числа с большим модулем вычитаем число с меньшим модулем и ставим знак числа с большим модулем.

Модуль числа $3,4$ больше модуля числа $-1,7$ ($|3,4| > |-1,7|$), поэтому результат будет положительным.

$x + y = -1,7 + 3,4 = 3,4 - 1,7 = 1,7$.

Ответ: $1,7$.

б) Чтобы вычислить сумму $x + y$ при заданных значениях $x = -11,3$ и $y = 10,8$, необходимо сложить эти два числа. Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-11,3$ больше модуля числа $10,8$ ($|-11,3| > |10,8|$), поэтому результат будет отрицательным.

$x + y = -11,3 + 10,8 = -(11,3 - 10,8) = -0,5$.

Ответ: $-0,5$.

в) Чтобы вычислить сумму $x + y$ при заданных значениях $x = -\frac{4}{9}$ и $y = \frac{2}{3}$, необходимо сложить эти дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 равен 9. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 9, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$.

Теперь сложим дроби:

$x + y = -\frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{-4 + 6}{9} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

г) Чтобы вычислить сумму $x + y$ при заданных значениях $x = \frac{7}{24}$ и $y = \frac{7}{16}$, необходимо сложить эти дроби. Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 24 и 16. Разложим знаменатели на простые множители: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$; $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

НОЗ(24, 16) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 48. Дополнительный множитель для первой дроби: $48 \div 24 = 2$. Дополнительный множитель для второй дроби: $48 \div 16 = 3$.

$\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{14}{48}$

$\frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21}{48}$

Сложим полученные дроби:

$x + y = \frac{14}{48} + \frac{21}{48} = \frac{14 + 21}{48} = \frac{35}{48}$.

Ответ: $\frac{35}{48}$.

4.224. В упаковке с треской было 7 рыб. Две рыбы массой по 1,7 кг, три – по 1,6 кг и одна рыба массой 1,9 кг. Какой массы была седьмая рыба, если средняя масса одной трески 1,8 кг?

4.224

7 рыб ≈1,8 кг каждая

1 и 2 рыба – по 1,7 кг

3, 4,5 рыба – по 1,6 кг

6 рыба – 1,9 кг

7 рыба - ? кг

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1,8 · 7 = 12,6$ (кг) – общая масса рыб;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2 · 1,7 + 3 · 1,6 + 1,9 =$

$=3,4 + 4,8 + 1,9 = 10,1$ (кг) – масса шести рыб;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 12,6 – 10,1 = 2,5$ (кг) – масса седьмой рыбы.

Ответ: 2,5 кг

Для решения задачи воспользуемся определением среднего арифметического. Средняя масса — это общая масса всех объектов, деленная на их количество. Зная среднюю массу и количество рыб, мы можем найти их общую массу, а затем, вычтя массу известных рыб, найти массу неизвестной.

1. Найдем общую массу всех семи рыб.
По условию, в упаковке было 7 рыб, а средняя масса одной рыбы составляет 1,8 кг. Чтобы найти общую массу, умножим среднюю массу на количество рыб:
$1.8 \text{ кг} \times 7 = 12.6 \text{ кг}$

2. Найдем суммарную массу шести рыб, вес которых известен.
Сложим массы всех рыб, которые указаны в условии:

• Масса двух рыб по 1,7 кг: $2 \times 1.7 = 3.4$ кг.
• Масса трех рыб по 1,6 кг: $3 \times 1.6 = 4.8$ кг.
• Масса одной рыбы: $1.9$ кг.

Теперь найдем их общую массу:
$3.4 \text{ кг} + 4.8 \text{ кг} + 1.9 \text{ кг} = 10.1 \text{ кг}$

3. Найдем массу седьмой рыбы.
Чтобы найти массу седьмой рыбы, вычтем из общей массы всех семи рыб суммарную массу шести известных рыб:
$12.6 \text{ кг} - 10.1 \text{ кг} = 2.5 \text{ кг}$

Ответ: масса седьмой рыбы 2,5 кг.

4.225. В фестивале народного творчества участвовало 42 коллектива. Танцевальных коллективов было в 1,4 раза больше, чем инструментальных, а вокальные коллективы составляли 25 инструментальных. Сколько коллективов каждого вида было на фестивале?

4.225

Пусть х – инструментальных коллективов, тогда 1,4х – танцевальных коллективов и 0,4х – вокальных коллективов. Зная, что всего было 42 коллектива, составим и получим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1,4х + 0,4х = 42; \\ 2,8х = 42; \\ х = 42 : 2,8; \\ х = 420 : 28; \end{gathered}$$

$х =15$– инструментальных коллективов;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1,4 · 15 = 21$– танцевальных коллективов;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 0,4 · 15 = 6$ – вокальных коллективов.

Ответ: 15 инструментальных, 21 танцевальный, 6 вокальных коллективов.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество инструментальных коллективов, участвовавших в фестивале.

Согласно условиям задачи, количество коллективов других видов можно выразить через $x$:
• Количество танцевальных коллективов было в 1,4 раза больше, чем инструментальных, что составляет $1,4x$.
• Количество вокальных коллективов составляло $\frac{2}{5}$ от инструментальных, то есть $\frac{2}{5}x$.

Общее число коллективов равно 42. Мы можем составить уравнение, суммируя количество коллективов всех видов:

$x + 1,4x + \frac{2}{5}x = 42$

Для удобства вычислений преобразуем дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную. $\frac{2}{5} = 0,4$.

Теперь уравнение выглядит так:

$x + 1,4x + 0,4x = 42$

Сложим все члены с переменной $x$ в левой части уравнения:

$(1 + 1,4 + 0,4)x = 42$

$2,8x = 42$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,8:

$x = \frac{42}{2,8} = \frac{420}{28} = 15$

Таким образом, мы определили количество инструментальных коллективов. Теперь можем найти количество коллективов каждого вида.

Инструментальные коллективы:
На фестивале было 15 инструментальных коллективов.

Танцевальные коллективы:
$1,4 \cdot x = 1,4 \cdot 15 = 21$ коллектив.

Вокальные коллективы:
$\frac{2}{5} \cdot x = 0,4 \cdot 15 = 6$ коллективов.

Проверим правильность решения, сложив количество всех коллективов: $15 + 21 + 6 = 42$. Сумма совпадает с исходными данными.

Ответ: на фестивале было 15 инструментальных коллективов, 21 танцевальный коллектив и 6 вокальных коллективов.

4.226. Выполните действия:

1,52,4 : 34 + 7,74,5 · 2172,6 · 8 – 2,263 : 0,31.

4.226

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{1,5}{2,4}} : {\displaystyle \frac{3}{4}} + {\displaystyle \frac{7,7}{4,5}} · 2{\displaystyle \frac{1}{7}}}{2,6 · 8 - 2,263 : 0,31} = \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\bcancel{24}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} + \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{77}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{45}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}}{20,8- 226,3 : 31} = \\ =\frac{{\displaystyle \frac{5}{6}} · {\displaystyle \frac{1}{1}} + {\displaystyle \frac{11}{3}} · {\displaystyle \frac{1}{1}}}{20,8 - 7,3}= \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}} + {{\displaystyle \frac{11}{3}}}^{\overline{)·2}}}{13,5} = \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}} + {\displaystyle \frac{22}{6}}}{13,5}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}}}{13,5}=\frac{{\displaystyle \frac{9}{2}}}{13,5}=\frac{4,5}{13,5} = \frac{45}{135} = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Для решения данного примера выполним действия по порядку. Сначала вычислим значение выражения в числителе, затем в знаменателе, и в конце разделим полученные результаты.

Вычислим значение по частям, выполняя сначала умножение, а затем сложение.

а) Найдем значение первого произведения: $ \frac{1,5}{2,4} \cdot \frac{3}{4} $.
Сначала преобразуем дробь с десятичными числами в дробь с целыми, умножив ее числитель и знаменатель на 10: $ \frac{1,5}{2,4} = \frac{1,5 \cdot 10}{2,4 \cdot 10} = \frac{15}{24} $.
Сократим полученную дробь на 3: $ \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8} $.
Теперь выполним умножение: $ \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 4} = \frac{15}{32} $.

б) Найдем значение второго произведения: $ \frac{7,7}{4,5} \cdot 2\frac{1}{7} $.
Преобразуем все дроби в обыкновенные неправильные.
$ \frac{7,7}{4,5} = \frac{7,7 \cdot 10}{4,5 \cdot 10} = \frac{77}{45} $.
$ 2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} $.
Теперь выполним умножение, предварительно сокращая дроби для упрощения вычислений:
$ \frac{77}{45} \cdot \frac{15}{7} = \frac{77 \cdot 15}{45 \cdot 7} $. Сокращаем 77 и 7 на 7, а 45 и 15 на 15:
$ \frac{^{11}\sout{77}}{_3\sout{45}} \cdot \frac{^1\sout{15}}{_1\sout{7}} = \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{11}{3} $.

в) Сложим полученные результаты: $ \frac{15}{32} + \frac{11}{3} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 32 и 3 это $ 32 \cdot 3 = 96 $.
$ \frac{15}{32} + \frac{11}{3} = \frac{15 \cdot 3}{32 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 32}{3 \cdot 32} = \frac{45}{96} + \frac{352}{96} = \frac{45 + 352}{96} = \frac{397}{96} $.

Итак, значение числителя равно $ \frac{397}{96} $.

Выполним действия по порядку.

а) Умножение: $ 2,6 \cdot 8 = 20,8 $.

б) Деление: $ 2,263 : 0,31 $. Для удобства избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 100:
$ 2,263 : 0,31 = (2,263 \cdot 100) : (0,31 \cdot 100) = 226,3 : 31 = 7,3 $.

в) Вычитание: $ 20,8 - 7,3 = 13,5 $.

Итак, значение знаменателя равно $ 13,5 $.

Теперь необходимо разделить значение числителя на значение знаменателя: $ \frac{397}{96} : 13,5 $.

Представим десятичное число $ 13,5 $ в виде неправильной дроби: $ 13,5 = 13\frac{5}{10} = 13\frac{1}{2} = \frac{27}{2} $.

Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{397}{96} : \frac{27}{2} = \frac{397}{96} \cdot \frac{2}{27} $.

Сократим 96 и 2 на 2:

$ \frac{397}{_ {48}\sout{96}} \cdot \frac{\sout{2}^1}{27} = \frac{397}{48 \cdot 27} = \frac{397}{1296} $.

Дробь $ \frac{397}{1296} $ является несократимой, так как 397 — простое число, а 1296 ($ = 2^4 \cdot 3^4 $) не делится на 397.

Ответ: $ \frac{397}{1296} $.

1. Какой знак имеет сумма:
а) двух положительных чисел;
б) двух отрицательных чисел;
в) двух чисел с разными знаками, если больший модуль у отрицательного числа?

Приведите примеры.

Проверочная работа

1.

а) сумма двух положительных чисел имеет знак «+»
12 + 8 = 20

б) сумма двух отрицательных чисел имеет знак «-»
-5 + (-4) = - (5 + 4) = - 9

в) сумма двух чисел с разными знаками, если больший модуль у отрицательного числа имеет знак «-»
-34 + 4 = -(34 – 4) = -30

а) двух положительных чисел;

Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Это связано с тем, что при сложении чисел, которые находятся на числовой оси правее нуля, результат также будет находиться правее нуля.

Пример: Возьмем два положительных числа, 3 и 8. Их сумма:

$3 + 8 = 11$

Результат 11 – положительное число.

Ответ: Положительный знак (+).

б) двух отрицательных чисел;

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить знак минус.

Пример: Возьмем два отрицательных числа, -5 и -9. Их сумма:

$(-5) + (-9) = -14$

Результат -14 – отрицательное число.

Ответ: Отрицательный знак (-).

в) двух чисел с разными знаками, если больший модуль у отрицательного числа?

При сложении двух чисел с разными знаками знак суммы совпадает со знаком того слагаемого, модуль которого больше. По условию, у отрицательного числа модуль больше. Следовательно, сумма будет отрицательной.

Пример: Возьмем положительное число 4 и отрицательное число -10. Сначала сравним их модули:

$|4| = 4$

$|-10| = 10$

Так как $10 > 4$, модуль отрицательного числа больше. Теперь найдем их сумму:

$4 + (-10) = 4 - 10 = -6$

Результат -6 – отрицательное число, так как модуль отрицательного слагаемого (-10) был больше.

Ответ: Отрицательный знак (-).

2. Вычислите:

а) 15 – 16; б) –3,17 + 3,17; в) –1314 + 21121; г) –379 + 948; д) –0,08 + 13; е) 2115 – 3925.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }15 – 16 = 15 + (-16) = \\ =-(16 – 15) = -1 \\ \mathit{б}\mathbf{)} -3,17 + 3,17 = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -1\frac{3}{14} + 2\frac{11}{21}= +\left({2\frac{11}{21}}^{\overline{)·2}} -{1\frac{3}{14}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = +\left(2\frac{22}{42} - 1\frac{9}{42}\right) = 1\frac{13}{42} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -379 + 948 = +(948 – 379) = 569 \\ \mathit{д}\mathbf{)} -0,08 + 13 = +(13 – 0,08) = 12,92 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 2\frac{1}{15} - 3\frac{9}{25} = -\left({3\frac{9}{25}}^{\overline{)·3}} - {2\frac{1}{15}}^{\overline{)·5}}\right)= \\ = - \left(3\frac{27}{75} - 2\frac{5}{75}\right) = -1\frac{22}{75} \end{gathered}$$

а) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и поставить перед результатом знак минус.

$15 - 16 = -(16 - 15) = -1$.

Ответ: $-1$.

б) Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Числа $-3,17$ и $3,17$ являются противоположными, так как они отличаются только знаком. Поэтому их сумма равна 0.

$-3,17 + 3,17 = 0$.

Ответ: $0$.

в) Для сложения смешанных чисел с разными знаками и разными знаменателями, сначала приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 21 это 42, так как $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$, НОК(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

$ -1\frac{3}{14} + 2\frac{11}{21} = -1\frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} + 2\frac{11 \cdot 2}{21 \cdot 2} = -1\frac{9}{42} + 2\frac{22}{42} $.

Так как модуль положительного числа больше ($|2\frac{22}{42}| > |-1\frac{9}{42}|$), из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак большего модуля (плюс).

$ 2\frac{22}{42} - 1\frac{9}{42} = (2-1) + (\frac{22}{42} - \frac{9}{42}) = 1 + \frac{22-9}{42} = 1\frac{13}{42} $.

Ответ: $1\frac{13}{42}$.

г) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из числа с большим модулем вычесть число с меньшим модулем и поставить перед результатом знак числа с большим модулем. В данном случае $|948| > |-379|$, поэтому результат будет положительным.

$ -379 + 948 = 948 - 379 = 569 $.

Ответ: $569$.

д) Складываем числа с разными знаками. Так как модуль положительного числа $13$ больше модуля отрицательного числа $-0,08$, результат будет положительным. Выполняем вычитание модулей:

$ -0,08 + 13 = 13 - 0,08 = 12,92 $.

Ответ: $12,92$.

е) Выполняем вычитание смешанных чисел. Так как вычитаемое $3\frac{9}{25}$ по модулю больше уменьшаемого $2\frac{1}{15}$, результат будет отрицательным. Для вычисления вынесем знак минус за скобки:

$ 2\frac{1}{15} - 3\frac{9}{25} = - (3\frac{9}{25} - 2\frac{1}{15}) $.

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 25 это 75, так как $15 = 3 \cdot 5$ и $25 = 5 \cdot 5$, НОК(15, 25) = $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$.

$ 3\frac{9}{25} - 2\frac{1}{15} = 3\frac{9 \cdot 3}{25 \cdot 3} - 2\frac{1 \cdot 5}{15 \cdot 5} = 3\frac{27}{75} - 2\frac{5}{75} $.

Вычитаем целые и дробные части по отдельности:

$ (3-2) + (\frac{27}{75} - \frac{5}{75}) = 1 + \frac{22}{75} = 1\frac{22}{75} $.

Так как исходное выражение было со знаком минус, окончательный результат: $-1\frac{22}{75}$.

Ответ: $-1\frac{22}{75}$.

3. Решите уравнение х – 327 = –111314.

3.

$$\begin{gathered} х - 3\frac{2}{7} = -11\frac{13}{14}; \\ х = -11\frac{13}{14} + 3\frac{2}{7}; \\ х = - \left(11\frac{13}{14} - {3\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}\right); \\ х = - \left(11\frac{13}{14} - 3\frac{4}{14}\right); \\ х = -8\frac{9}{14}. \\ \mathrm{Ответ}: -8\frac{9}{14}. \end{gathered}$$

Дано уравнение: $x - 3\frac{2}{7} = -11\frac{13}{14}$.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, необходимо к разности прибавить вычитаемое. Для этого перенесем $-3\frac{2}{7}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = -11\frac{13}{14} + 3\frac{2}{7}$
Для сложения этих смешанных чисел необходимо привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 7 и 14 равен 14.
Приведем дробную часть числа $3\frac{2}{7}$ к знаменателю 14, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:
$3\frac{2}{7} = 3\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 3\frac{4}{14}$
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$x = -11\frac{13}{14} + 3\frac{4}{14}$
Так как модуль отрицательного числа ($-11\frac{13}{14}$) больше модуля положительного числа ($3\frac{4}{14}$), результат будет отрицательным. Чтобы найти его, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак «минус».
$x = -(11\frac{13}{14} - 3\frac{4}{14})$
Выполним вычитание смешанных чисел, вычитая отдельно целые части и отдельно дробные части:
Вычитаем целые части: $11 - 3 = 8$
Вычитаем дробные части: $\frac{13}{14} - \frac{4}{14} = \frac{13 - 4}{14} = \frac{9}{14}$
Объединяем полученные результаты и ставим знак «минус»:
$x = -8\frac{9}{14}$
Ответ: $-8\frac{9}{14}$.

4. Упростите выражение –44 + с + 752.

4.

$$\begin{gathered} -44 + с + 754 = (-44 + 752) + с = \\ = +(752 – 44) + с = 708 + с \end{gathered}$$

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо выполнить действия с постоянными величинами (числами). В выражении $-44 + c + 752$ такими числами являются $-44$ и $752$.

Мы можем изменить порядок слагаемых, используя переместительное свойство сложения ($a + b = b + a$), чтобы сгруппировать числа вместе:

$-44 + c + 752 = c - 44 + 752$

Теперь выполним сложение чисел $-44$ и $752$. Поскольку у чисел разные знаки, мы из большего по модулю числа ($752$) вычитаем меньшее по модулю ($44$) и ставим знак большего по модулю числа (в данном случае "+").

$752 - 44 = 708$

Таким образом, выражение упрощается до следующего вида:

$c + 708$

Ответ: $c + 708$

5. Найдите значение выражения а + b + с при а = –9,5, b = 1,3, с = –2,7.

5.

$а = -9,5; b = 1,3; c = -2,7$

$$\begin{gathered} a + b + c = -9,5 + 1,3 + (-2,7) = \\ =(-9,5 + (-2,7\left)\right) + 1,3= -(9,5 + 2,7) + \\ +1,3 = -12,2 + 1,3 = -(12,2 – 1,3) = \\ = -10,9 \end{gathered}$$

Чтобы найти значение выражения $a + b + c$, необходимо подставить в него числовые значения переменных $a$, $b$ и $c$, которые даны в условии: $a = -9,5$, $b = 1,3$ и $c = -2,7$.

Подставляем значения в выражение:

$a + b + c = -9,5 + 1,3 + (-2,7)$

Сложение можно выполнять в любом порядке. Удобнее сначала сложить числа с одинаковыми знаками (в данном случае — отрицательные числа $-9,5$ и $-2,7$), а затем к результату прибавить оставшееся число.

1. Складываем отрицательные числа:

$-9,5 + (-2,7) = -(9,5 + 2,7) = -12,2$

2. К полученному результату прибавляем положительное число $1,3$:

$-12,2 + 1,3 = -(12,2 - 1,3) = -10,9$

Таким образом, значение исходного выражения равно $-10,9$.

Ответ: $-10,9$.