Страница 39, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Приведите примеры числовых множеств; нечисловых множеств.

Что такое элемент множества?

Сколько элементов может содержать множество?

Приведите примеры бесконечных множеств.

Что такое пустое множество? Как его обозначают?

Что такое подмножество; пересечение множеств; объединение множеств?

Вопросы к параграфу

• числовые множества: множество однозначных чисел; множество четных чисел
нечисловые множества: множество девочек класса; множество отличников школы

• множество может содержать:
1) конечное количество элементов
2) бесконечное количество элементов
3) не иметь ни одного элемента

• бесконечные множества: множество нечетных чисел; множество натуральных чисел

• пустое множество, это множество, в котором нет элементов, оно обозначается ∅

• подмножеством называют часть данного множества; пересечением двух множеств называют множество, элементы которого входят в каждое из данных множеств; объединением множеств называют множество, которое состоит из всех элементов данных множеств

Приведите примеры числовых множеств; нечисловых множеств.

Числовые множества — это множества, элементами которых являются числа. Например:
- Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$;
- Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$;
- Множество корней уравнения $x^2 - 4 = 0$, то есть $\{-2, 2\}$.

Нечисловые множества — это множества, элементы которых не являются числами. Например:
- Множество гласных букв русского алфавита $\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$;
- Множество цветов радуги;
- Множество учеников в классе.

Ответ: Примеры числовых множеств: множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Примеры нечисловых множеств: множество букв алфавита, множество дней недели.

Что такое элемент множества?

Элемент множества — это любой из объектов, из которых состоит данное множество. Например, если $A$ — это множество планет Солнечной системы, то Земля является элементом множества $A$. Принадлежность элемента к множеству обозначается символом $\in$. Так, запись Земля $\in A$ читается как "Земля является элементом множества A" или "Земля принадлежит множеству A". Объект, не входящий в множество, не является его элементом, что записывается с помощью перечеркнутого символа $\notin$.

Ответ: Элемент множества — это объект, входящий в состав этого множества.

Сколько элементов может содержать множество?

Множество может содержать любое количество элементов. В зависимости от числа элементов множества делятся на:
- Пустое множество, которое не содержит ни одного элемента.
- Конечное множество, которое содержит определенное, конечное число элементов (например, множество дней недели содержит 7 элементов).
- Бесконечное множество, которое содержит бесконечное число элементов (например, множество всех натуральных чисел).

Ответ: Множество может содержать от нуля (пустое множество) до бесконечного числа элементов.

Приведите примеры бесконечных множеств.

Бесконечное множество — это множество, содержащее бесконечное число элементов. Вот несколько примеров:
- Множество всех натуральных чисел: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.
- Множество всех целых чисел: $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
- Множество всех действительных (вещественных) чисел: $\mathbb{R}$.
- Множество всех точек на прямой линии.

Ответ: Примерами бесконечных множеств являются множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ и множество действительных чисел $\mathbb{R}$.

Что такое пустое множество? Как его обозначают?

Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Его мощность (количество элементов) равна нулю. Примером может служить множество решений уравнения $x^2 = -1$ в области действительных чисел.

Для обозначения пустого множества используются специальные символы: $\emptyset$ или пара пустых фигурных скобок $\{\}$. Запись $A = \emptyset$ означает, что $A$ — пустое множество.

Ответ: Пустое множество — это множество, не имеющее элементов. Оно обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$.

Что такое подмножество; пересечение множеств; объединение множеств?

Подмножество: Множество $A$ называется подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Это отношение обозначается как $A \subseteq B$. Например, если $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3\}$, то $A \subseteq B$.

Пересечение множеств: Пересечением двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Пересечение обозначается символом $\cap$. Формально: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$. Например, если $A = \{a, b, c\}$ и $B = \{b, c, d\}$, то их пересечение $A \cap B = \{b, c\}$.

Объединение множеств: Объединением двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу). Объединение обозначается символом $\cup$. Формально: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$. Например, если $A = \{a, b, c\}$ и $B = \{b, c, d\}$, то их объединение $A \cup B = \{a, b, c, d\}$.

Ответ: Подмножество $A \subseteq B$ — все элементы $A$ есть в $B$. Пересечение $A \cap B$ — элементы, общие для $A$ и $B$. Объединение $A \cup B$ — все элементы из $A$ и $B$ вместе.

1.164. Приведите примеры нечисловых множеств, связанных: а) с неживой природой; б) с бытом людей; в) с живой природой; г) с человеческим обществом.

1.164

а) множество мебели в классе

б) множество комнат в квартире

в) множество зверей в зоопарке

г) множество политических партий в госдуме

а) с неживой природой
Нечисловое множество, связанное с неживой природой, — это совокупность объектов или явлений, не относящихся к живому миру. Элементами такого множества являются не числа, а, например, названия или понятия. В качестве примера можно привести множество планет Солнечной системы. Обозначим это множество буквой $P$. Элементами этого множества являются названия планет.
$P = \{\text{Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун}\}$
Другим примером может быть множество химических элементов в таблице Менделеева или множество океанов на Земле: $O = \{\text{Тихий, Атлантический, Индийский, Северный Ледовитый, Южный}\}$.
Ответ: Множество планет Солнечной системы: $P = \{\text{Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун}\}$.

б) с бытом людей
Нечисловые множества, связанные с бытом людей, описывают предметы, действия и понятия из повседневной жизни. Классическим примером является множество дней недели. Обозначим его буквой $D$.
$D = \{\text{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}\}$
Также можно привести в пример множество предметов кухонной утвари: $U = \{\text{вилка, ложка, нож, тарелка, чашка}\}$ или множество видов одежды.
Ответ: Множество дней недели: $D = \{\text{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}\}$.

в) с живой природой
Множества, связанные с живой природой, состоят из элементов, относящихся к миру растений, животных, грибов и других живых организмов. Например, множество классов позвоночных животных. Обозначим это множество буквой $V$.
$V = \{\text{млекопитающие, птицы, пресмыкающиеся, земноводные, рыбы}\}$
Другим примером может быть множество хвойных деревьев: $C = \{\text{ель, сосна, пихта, лиственница, кедр}\}$ или множество домашних животных.
Ответ: Множество классов позвоночных животных: $V = \{\text{млекопитающие, птицы, пресмыкающиеся, земноводные, рыбы}\}$.

г) с человеческим обществом
Такие множества включают в себя понятия, созданные людьми в процессе их социальной, культурной и политической деятельности. Примером может служить множество видов искусства. Обозначим это множество буквой $A$.
$A = \{\text{литература, музыка, живопись, скульптура, архитектура, театр, кино}\}$
Еще один наглядный пример — это множество букв какого-либо алфавита, например, латинского: $L = \{\text{A, B, C, ..., Z}\}$. Также можно рассмотреть множество профессий или множество мировых валют.
Ответ: Множество видов искусства: $A = \{\text{литература, музыка, живопись, скульптура, архитектура, театр, кино}\}$.

1.165. Найдите обобщающее слово, которым можно назвать множество:

а) птиц; б) овец; в) лошадей; г) коров.

1.165

а) стая

б) отара

в) табун

г) стадо

а) Множество птиц, летящих или держащихся вместе, называется стаей. Это слово используется для описания группы птиц, которые совместно перемещаются, кормятся или защищаются. Ответ: стая.

б) Для обозначения большого стада овец используется специальное слово — отара. Оно подчеркивает, что речь идет именно об этих животных, которых пасут вместе в большом количестве. Ответ: отара.

в) Группа диких или домашних лошадей, которые пасутся или живут вместе, называется табуном. Это слово традиционно применяется именно к лошадям. Ответ: табун.

г) Множество коров, а также другого крупного рогатого скота, которых пасут вместе, называется стадом. Это наиболее общее слово для группы сельскохозяйственных животных. Ответ: стадо.

1.166. Запишите числовое множество, состоящее из всех двузначных чисел:

а) от 40 до 50 включительно;

б) которые делятся на 9 без остатка;

в) запись которых состоит из двух одинаковых цифр;

г) в запись которых входит цифра 2.

1.166

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99\right\}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\right\}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92\right\}$

а) от 40 до 50 включительно;
Двузначные числа в этом диапазоне — это все целые числа от 40 до 50. Слово "включительно" означает, что и 40, и 50 являются элементами множества. Перечислим их в порядке возрастания.
Ответ: $\{40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50\}$.

б) которые делятся на 9 без остатка;
Требуется найти все двузначные числа (от 10 до 99), которые кратны 9. Для этого будем последовательно умножать 9 на натуральные числа, начиная с такого, чтобы результат был двузначным, и до тех пор, пока результат не станет трехзначным.
$9 \cdot 2 = 18$
$9 \cdot 3 = 27$
$9 \cdot 4 = 36$
$9 \cdot 5 = 45$
$9 \cdot 6 = 54$
$9 \cdot 7 = 63$
$9 \cdot 8 = 72$
$9 \cdot 9 = 81$
$9 \cdot 10 = 90$
$9 \cdot 11 = 99$
Следующее кратное, $9 \cdot 12 = 108$, уже является трехзначным.
Ответ: $\{18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99\}$.

в) запись которых состоит из двух одинаковых цифр;
Искомые двузначные числа должны иметь одинаковую цифру в разряде десятков и единиц. Первая цифра двузначного числа не может быть нулем, поэтому она может быть любой от 1 до 9. Таким образом, получаем следующие числа:
Ответ: $\{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\}$.

г) в запись которых входит цифра 2.
Нужно найти все двузначные числа, в записи которых есть цифра 2. Можно выделить два случая:
1. Цифра 2 находится в разряде десятков. Это все числа от 20 до 29: $20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29$.
2. Цифра 2 находится в разряде единиц. Первая цифра может быть от 1 до 9. Это числа: $12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92$.
Теперь объединим эти два списка и уберем повторяющееся число 22. Для удобства запишем итоговое множество в порядке возрастания.
Ответ: $\{12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92\}$.

1.167. Составьте множество всех трёхзначных чисел, запись которых состоит:

а) из цифр 2, 4, 7 без повторений;

б) из цифр 0, 5, 9 с возможным повторением.

1.167

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{247, 274, 427, 472, 724, 742\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{500, 505, 509, 550, 555, 559, 590, 595, 599, 900, 905, 909, 950, 955, 959, 990, 995, 999\right\}$

а) Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 2, 4, 7 без повторений, нужно найти все перестановки этих трёх цифр. Трёхзначное число состоит из разряда сотен, десятков и единиц.
На место сотен можно поставить любую из трёх цифр (3 варианта).
На место десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр (2 варианта).
На место единиц остаётся одна цифра (1 вариант).
Общее количество таких чисел равно произведению вариантов: $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$.
Перечислим все возможные комбинации:
- Если первая цифра 2: 247, 274
- Если первая цифра 4: 427, 472
- Если первая цифра 7: 724, 742
Таким образом, искомое множество чисел: {247, 274, 427, 472, 724, 742}.

Ответ: {247, 274, 427, 472, 724, 742}

б) Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 0, 5, 9 с возможным повторением, нужно учесть, что трёхзначное число не может начинаться с нуля.
- На место сотен можно поставить либо 5, либо 9 (2 варианта).
- На место десятков можно поставить любую из трёх цифр: 0, 5 или 9 (3 варианта), так как повторения разрешены.
- На место единиц также можно поставить любую из трёх цифр: 0, 5 или 9 (3 варианта).
Общее количество таких чисел равно: $2 \times 3 \times 3 = 18$.
Перечислим все эти числа, сгруппировав их по первой цифре:
- Числа, начинающиеся с 5: 500, 505, 509, 550, 555, 559, 590, 595, 599.
- Числа, начинающиеся с 9: 900, 905, 909, 950, 955, 959, 990, 995, 999.
Искомое множество содержит все перечисленные числа.

Ответ: {500, 505, 509, 550, 555, 559, 590, 595, 599, 900, 905, 909, 950, 955, 959, 990, 995, 999}

1.168. Запишите множество:

а) всех правильных дробей со знаменателем 6;

б) всех неправильных дробей с числителем 5.

1.168

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\frac{1}{6}\mathbf{;}\frac{2}{6};\frac{3}{6};\frac{4}{6};\frac{5}{6}\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\frac{5}{1}\mathbf{;}\frac{5}{2};\frac{5}{3};\frac{5}{4};\frac{5}{5}\right\}$

а) Правильной называется дробь, у которой числитель является натуральным числом и меньше знаменателя. По условию, знаменатель равен 6. Следовательно, числитель может быть любым натуральным числом, которое меньше 6. Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5. Множество всех правильных дробей со знаменателем 6: $\{\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}\}$. Ответ: $\{\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}\}$

б) Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, числитель равен 5. Следовательно, знаменатель должен быть натуральным числом, которое меньше или равно 5. Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5. Множество всех неправильных дробей с числителем 5: $\{\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}\}$. Ответ: $\{\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}\}$

1.169. Дано множество X = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}. Верно ли, что:

а) 0,3 ∈ X; б) 0,21 ∈ X; в) 0,60 ∈ X; г) 1,0 ∉ X?

1.169

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,3 \in Х$– верно

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }0,21 \in Х$– неверно

$\mathit{в}\mathbf{)} 0,60 \in Х$– верно

$\mathit{г}\mathbf{)} 1,03 \notin Х$– верно

Для решения задачи необходимо проверить истинность каждого утверждения, сравнивая указанный элемент с элементами данного множества $X = \{0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9\}$.

а) $0,3 \in X$
Утверждение гласит, что число 0,3 является элементом множества $X$. Просматривая элементы множества $X$, мы находим в нем число 0,3. Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: верно.

б) $0,21 \in X$
Утверждение гласит, что число 0,21 является элементом множества $X$. В множестве $X$ перечислены десятичные дроби с одним знаком после запятой. Числа 0,21 среди элементов множества нет. Таким образом, это утверждение является неверным.
Ответ: неверно.

в) $0,60 \in X$
Утверждение гласит, что число 0,60 является элементом множества $X$. Десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны, так как нуль в конце дробной части не изменяет ее значения: $0,60 = 0,6$. Элемент 0,6 присутствует в множестве $X$. Следовательно, утверждение, что 0,60 принадлежит множеству $X$, является верным.
Ответ: верно.

г) $1,0 \notin X$
Утверждение гласит, что число 1,0 не является элементом множества $X$ (знак $\notin$ означает "не принадлежит"). Число 1,0 равно 1. Просматривая элементы множества $X$, мы видим, что числа 1,0 (или 1) среди них нет. Таким образом, утверждение о том, что 1,0 не принадлежит множеству $X$, является верным.
Ответ: верно.

4.179. Найдите сумму:

4.179

$\mathit{а}\mathbf{)} -\frac{5}{11} + \left(-\frac{2}{11}\right) = -\left(\frac{5}{11} + \frac{2}{11}\right) = -\frac{7}{11}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{7}{8} + \left(-{\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}\right) = -\frac{7}{8} + \left(-\frac{2}{8} \right)= \\ = - \left(\frac{7}{8} + \frac{2}{8}\right) = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -\frac{4}{5} + \left(-\frac{2}{3}\right) = -\left({\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}}\right) = -\left(\frac{12}{15} + \frac{10}{15}\right)= \\ = -\frac{22}{15} = -1\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{2}{9} + \left(-\frac{5}{6}\right) = -\left({\frac{2}{9}}^{\overline{)·2}} + {\frac{5}{6}}^{\overline{)·3}}\right)= - \left(\frac{4}{18} + \frac{15}{18}\right) = \\ = -\frac{19}{18} = -1\frac{1}{18} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученной суммой знак «–». В данном примере знаменатели дробей одинаковы (равны 11), поэтому для нахождения суммы модулей достаточно сложить их числители.

$-\frac{5}{11} + \left(-\frac{2}{11}\right) = - \left(\frac{5}{11} + \frac{2}{11}\right) = -\frac{5+2}{11} = -\frac{7}{11}$

Ответ: $-\frac{7}{11}$

б) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 4 равен 8. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2.

$-\frac{7}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{7}{8} + \left(-\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}\right) = -\frac{7}{8} + \left(-\frac{2}{8}\right)$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, складываем модули дробей, как в предыдущем примере.

$-\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = -\left(\frac{7}{8} + \frac{2}{8}\right) = -\frac{7+2}{8} = -\frac{9}{8}$

Ответ: $-\frac{9}{8}$

в) Знаменатели дробей 5 и 3 – взаимно простые числа, поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $5 \cdot 3 = 15$. Приведем обе дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на 3, а вторую на 5.

$-\frac{4}{5} + \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \left(-\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}\right) = -\frac{12}{15} + \left(-\frac{10}{15}\right)$

Складываем модули дробей с одинаковыми знаменателями.

$-\frac{12}{15} - \frac{10}{15} = -\left(\frac{12}{15} + \frac{10}{15}\right) = -\frac{12+10}{15} = -\frac{22}{15}$

Ответ: $-\frac{22}{15}$

г) Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 9 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для 9 и 6 равно 18. Приведем дроби к знаменателю 18. Дополнительный множитель для первой дроби – 2 ($18 \div 9 = 2$), для второй – 3 ($18 \div 6 = 3$).

$-\frac{2}{9} + \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \left(-\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3}\right) = -\frac{4}{18} + \left(-\frac{15}{18}\right)$

Складываем модули полученных дробей.

$-\frac{4}{18} - \frac{15}{18} = -\left(\frac{4}{18} + \frac{15}{18}\right) = -\frac{4+15}{18} = -\frac{19}{18}$

Ответ: $-\frac{19}{18}$

4.180. Выполните сложение:
а) –112 + (–212);
б) – 4914 + (–117);
в) –5712 + (–234);
г) –339 + (–856);
д) –51217 + (– 1524) + (– 138) + (– 517);
е) – 928 + (– 4935) + (– 2528) + (– 1235).

4.180

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{1}{2} + \left(-2\frac{1}{2}\right) = -\left(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2}\right)=-3\frac{2}{2} = -4$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4\frac{9}{14} + \left(-1\frac{1}{7}\right) = -\left(4\frac{9}{14} +{1\frac{1}{7}}^{\overline{)·2}} \right)= \\ =-\left(4\frac{9}{14} +1\frac{2}{14} \right) = -5\frac{11}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-5\frac{7}{12} + \left(-2\frac{3}{4} \right)= -\left(5\frac{7}{12} +{2\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} \right)= \\ =-\left(5\frac{7}{12} +2\frac{9}{12} \right)=-7\frac{16}{12} = -7\frac{4}{3} = -8\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -3\frac{4}{9} + \left(-8\frac{5}{6}\right)= - \left({3\frac{4}{9}}^{\overline{)·2}} +{8\frac{5}{6}}^{\overline{)·3}} \right)= \\ =- \left(3\frac{8}{18} +8\frac{15}{18} \right)= - 11\frac{23}{18} = - 12\frac{5}{18} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -5\frac{12}{17} + \left(-\frac{15}{24}\right)+ \left(-1\frac{3}{8}\right)+ \left(-\frac{5}{17}\right)= \\ =\left(-5\frac{12}{17}+\left(-\frac{5}{17}\right) \right) + \left(\left(-\frac{15}{24}\right)+\left(-1\frac{3}{8}\right)\right)= \\ = -\left(5\frac{12}{17} +\frac{5}{17} \right)+\left(-\left(\frac{15}{24}+{1\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} \right)\right) = -5\frac{17}{17} + \\ + \left(-\left(\frac{15}{24}+1\frac{9}{24} \right)\right) = =6 + \left(-1\frac{24}{24}\right) = -6 + (-2) = \\ = - (6 + 2) = -8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -\frac{9}{28} + \left(-4\frac{9}{35}\right) + \left(-2\frac{5}{28}\right) + \left(-\frac{12}{35}\right)= \\ = -\left(\frac{9}{28} + \left(-2\frac{5}{28}\right) \right) + \left(-4\frac{9}{35}+ \left(-\frac{12}{35}\right)\right)= \\ =-\left(\frac{9}{28}+ 2\frac{5}{28}\right) + \left(-\left(4\frac{9}{35} +\frac{12}{35} \right)\right) = \\ = - 2\frac{14}{28} + \left(-4\frac{21}{35}\right)= - 2\frac{1}{2} + \left(-4\frac{3}{5}\right) = \\ = -\left({2\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} + {4\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}\right) = -\left(2\frac{5}{10} + 4\frac{6}{10}\right) = -6\frac{11}{10}= \\ = -7\frac{1}{10} \end{gathered}$$

а) $-1\frac{1}{2} + (-2\frac{1}{2})$

Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «–».

$-1\frac{1}{2} + (-2\frac{1}{2}) = - (1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2}) = - ((1+2) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})) = - (3 + \frac{2}{2}) = - (3 + 1) = -4$.

Ответ: $-4$

б) $-4\frac{9}{14} + (-1\frac{1}{7})$

Складываем модули чисел. Для этого приведем дробные части к общему знаменателю 14.

$-4\frac{9}{14} + (-1\frac{1}{7}) = - (4\frac{9}{14} + 1\frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2}) = - (4\frac{9}{14} + 1\frac{2}{14})$.

Складываем целые и дробные части по отдельности:

$- ((4+1) + (\frac{9}{14} + \frac{2}{14})) = - (5 + \frac{9+2}{14}) = - (5 + \frac{11}{14}) = -5\frac{11}{14}$.

Ответ: $-5\frac{11}{14}$

в) $-5\frac{7}{12} + (-2\frac{3}{4})$

Складываем модули чисел. Приведем дробные части к общему знаменателю 12.

$-5\frac{7}{12} + (-2\frac{3}{4}) = - (5\frac{7}{12} + 2\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}) = - (5\frac{7}{12} + 2\frac{9}{12})$.

Складываем целые и дробные части:

$- ((5+2) + (\frac{7}{12} + \frac{9}{12})) = - (7 + \frac{16}{12})$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{16}{12} = 1\frac{4}{12} = 1\frac{1}{3}$.

$- (7 + 1\frac{1}{3}) = -8\frac{1}{3}$.

Ответ: $-8\frac{1}{3}$

г) $-3\frac{4}{9} + (-8\frac{5}{6})$

Складываем модули чисел. Общий знаменатель для дробей со знаменателями 9 и 6 равен 18.

$-3\frac{4}{9} + (-8\frac{5}{6}) = - (3\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} + 8\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3}) = - (3\frac{8}{18} + 8\frac{15}{18})$.

Складываем целые и дробные части:

$- ((3+8) + (\frac{8}{18} + \frac{15}{18})) = - (11 + \frac{23}{18})$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$.

$- (11 + 1\frac{5}{18}) = -12\frac{5}{18}$.

Ответ: $-12\frac{5}{18}$

д) $-5\frac{12}{17} + (-\frac{15}{24}) + (-1\frac{3}{8}) + (-\frac{5}{17})$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Также сократим дробь $\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$.

$(-5\frac{12}{17} - \frac{5}{17}) + (-\frac{5}{8} - 1\frac{3}{8})$.

Вычислим сумму в первой скобке:

$-5\frac{12}{17} - \frac{5}{17} = -(5\frac{12}{17} + \frac{5}{17}) = -(5 + \frac{12+5}{17}) = -(5 + \frac{17}{17}) = -(5+1) = -6$.

Вычислим сумму во второй скобке:

$-\frac{5}{8} - 1\frac{3}{8} = -(\frac{5}{8} + 1\frac{3}{8}) = -(1 + \frac{5+3}{8}) = -(1 + \frac{8}{8}) = -(1+1) = -2$.

Теперь сложим полученные результаты:

$-6 + (-2) = -8$.

Ответ: $-8$

е) $-\frac{9}{28} + (-4\frac{9}{35}) + (-2\frac{5}{28}) + (-\frac{12}{35})$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$(-\frac{9}{28} + (-2\frac{5}{28})) + (-4\frac{9}{35} + (-\frac{12}{35}))$.

Вычислим сумму в первой скобке:

$-\frac{9}{28} - 2\frac{5}{28} = -(2 + (\frac{9}{28} + \frac{5}{28})) = -(2 + \frac{14}{28}) = -(2 + \frac{1}{2}) = -2\frac{1}{2}$.

Вычислим сумму во второй скобке:

$-4\frac{9}{35} - \frac{12}{35} = -(4 + (\frac{9}{35} + \frac{12}{35})) = -(4 + \frac{21}{35}) = -(4 + \frac{3}{5}) = -4\frac{3}{5}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$-2\frac{1}{2} + (-4\frac{3}{5}) = - (2\frac{1}{2} + 4\frac{3}{5})$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 10:

$- (2\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + 4\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}) = - (2\frac{5}{10} + 4\frac{6}{10}) = -((2+4) + (\frac{5}{10} + \frac{6}{10})) = -(6 + \frac{11}{10})$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.

$-(6 + 1\frac{1}{10}) = -7\frac{1}{10}$.

Ответ: $-7\frac{1}{10}$

4.181. Выполните действия:

а) (–0,28 + (–0,137)) + (–0,431 + (–0,256));

б) (–223 + (– 3712)) + (–512 + (– 238)).

4.181

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (-0,28 + (-0,137)) + (-0,431 + (-0,256)) = \\ = -(0,28 + 0,137) + (-(0,431 + 0,256)) = \\ =-0,417 + (-0,687) = -(0,417 + 0,687) = -1,104 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(-2\frac{2}{3} + \left(-3\frac{7}{12}\right)\right)+ \left(-5\frac{1}{2} + \left(-2\frac{3}{8}\right)\right)= \\ = -\left({2\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}} + 3\frac{7}{12}\right) + \left(-\left({5\frac{1}{2}}^{\overline{)·4}} + 2\frac{3}{8}\right)\right)= \\ = -\left(2\frac{8}{12} + 3\frac{7}{12}\right) + \left(-\left(5\frac{4}{8} + 2\frac{3}{8}\right)\right)= \\ = -5\frac{15}{12} + \left(-7\frac{7}{8}\right) = -6\frac{3}{12} + \left(-7\frac{7}{8}\right) = \\ = -\left({6\frac{3}{12}}^{\overline{)·2}} +{7\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}} \right) = - \left(6\frac{6}{24} +7\frac{21}{24} \right) = -13\frac{27}{24}= \\ = - 14\frac{3}{24} = -14\frac{1}{8} \end{gathered}$$

а) $(-0,28 + (-0,137)) + (-0,431 + (-0,256))$

Для решения данного выражения необходимо выполнить сложение чисел в каждой из скобок, а затем сложить полученные результаты. Поскольку все слагаемые являются отрицательными числами, мы можем раскрыть скобки и сложить их модули, поставив в результате знак минус.

1. Выполним сложение в первой скобке. Сложение двух отрицательных чисел $-0,28$ и $-0,137$:
$(-0,28) + (-0,137) = -(0,28 + 0,137) = -0,417$.

2. Выполним сложение во второй скобке. Сложение двух отрицательных чисел $-0,431$ и $-0,256$:
$(-0,431) + (-0,256) = -(0,431 + 0,256) = -0,687$.

3. Теперь сложим результаты, полученные на предыдущих шагах:
$(-0,417) + (-0,687) = -(0,417 + 0,687) = -1,104$.

Весь пример можно записать так:
$(-0,28 + (-0,137)) + (-0,431 + (-0,256)) = -0,417 + (-0,687) = -1,104$.

Ответ: $-1,104$

б) $(-2\frac{2}{3} + (-3\frac{7}{12})) + (-5\frac{1}{2} + (-2\frac{3}{8}))$

Решение этого примера также состоит в последовательном выполнении действий в скобках и последующем сложении результатов. Все числа являются отрицательными смешанными дробями.

1. Вычислим сумму в первой скобке: $-2\frac{2}{3} + (-3\frac{7}{12})$.
Складываем модули чисел $2\frac{2}{3}$ и $3\frac{7}{12}$. Для этого приведем их дробные части к общему знаменателю 12.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.
Теперь сложим смешанные числа: $2\frac{8}{12} + 3\frac{7}{12} = (2+3) + (\frac{8}{12} + \frac{7}{12}) = 5 + \frac{15}{12}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{15}{12} = 1\frac{3}{12} = 1\frac{1}{4}$.
Получаем: $5 + 1\frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}$.
Значит, результат в первой скобке равен $-6\frac{1}{4}$.

2. Вычислим сумму во второй скобке: $-5\frac{1}{2} + (-2\frac{3}{8})$.
Складываем модули $5\frac{1}{2}$ и $2\frac{3}{8}$. Общий знаменатель для дробных частей - 8.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$.
Складываем смешанные числа: $5\frac{4}{8} + 2\frac{3}{8} = (5+2) + (\frac{4}{8} + \frac{3}{8}) = 7 + \frac{7}{8} = 7\frac{7}{8}$.
Результат во второй скобке равен $-7\frac{7}{8}$.

3. Сложим полученные результаты: $-6\frac{1}{4} + (-7\frac{7}{8})$.
Снова складываем модули $6\frac{1}{4}$ и $7\frac{7}{8}$. Общий знаменатель - 8.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$.
Складываем смешанные числа: $6\frac{2}{8} + 7\frac{7}{8} = (6+7) + (\frac{2}{8} + \frac{7}{8}) = 13 + \frac{9}{8}$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Получаем: $13 + 1\frac{1}{8} = 14\frac{1}{8}$.
Таким образом, итоговая сумма равна $-14\frac{1}{8}$.

Ответ: $-14\frac{1}{8}$

4.182. Вычислите.

4.182

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 8 : 4 = 2; \\ 2 · 6 = 12; \\ 12 – 2,3 = 9,7; \\ 9,7 – 0,11 = 9,59. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,6 · 3 = 1,8; \\ 1,8 + 7,8 = 9,6; \\ 9,6 – 4 = 5,6; \\ 5,6 : 7 = 0,8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 : \frac{1}{4} = 3 · 4 =12; \\ \cancel{12} · \frac{1}{\cancel{12}} = 1; \\ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}; \\ \frac{1}{5} · 2\frac{1}{4} = \frac{1}{5} · \frac{9}{4} = \frac{9}{20}; \\ \frac{9}{20 } : \frac{4}{5} = \frac{9}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{20}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{4} = \frac{9}{4} · \frac{1}{4} =\frac{9}{16} \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:
1. Сначала выполним деление: $8 : 4 = 2$
2. Затем результат умножим на 6: $2 \cdot 6 = 12$
3. Из полученного числа вычтем 2,3: $12 - 2,3 = 9,7$
4. Из результата вычтем 0,11: $9,7 - 0,11 = 9,59$
Ответ: 9,59

б) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:
1. Сначала выполним умножение: $0,6 \cdot 3 = 1,8$
2. К результату прибавим 7,8: $1,8 + 7,8 = 9,6$
3. Из полученного числа вычтем 4: $9,6 - 4 = 5,6$
4. Результат разделим на 7: $5,6 : 7 = 0,8$
Ответ: 0,8

в) Решим пример по действиям с дробями:
1. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь: $3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{4}{1} = 12$
2. Результат умножим на $\frac{1}{12}$: $12 \cdot \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1$
3. Из полученного числа вычтем $\frac{1}{3}$. Представим 1 как $\frac{3}{3}$: $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Решим пример по действиям со смешанными дробями:
1. Сначала выполним вычитание. Представим 1 как $\frac{5}{5}$: $1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
2. Результат умножим на $2\frac{1}{4}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Теперь умножим: $\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20}$
3. Полученный результат разделим на $\frac{4}{5}$. Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем: $\frac{9}{20} : \frac{4}{5} = \frac{9}{20} \cdot \frac{5}{4} = \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 4} = \frac{9}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$
Ответ: $\frac{9}{16}$

4.183. Числа –21; –7,6; 10; – 79; – 38; 17,6; 34; –2049; 0; –2089; –7,4; 1 запишите в порядке возрастания.

4.183

${-\frac{7}{9}}^{\overline{)·8}} = -\frac{56}{72}; {-\frac{3}{8}}^{\overline{)·9}} = -\frac{27}{72}$

в порядке возрастания: -21; $-20\frac{8}{9}$; $-20\frac{4}{9}$: -7,6; -7,4; $-\frac{7}{9}$; $-\frac{3}{8}$; 0; $\frac{3}{4}$; 1; 10; 17,6

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их между собой. Для удобства сравнения разделим числа на три группы: отрицательные, ноль и положительные, а затем сравним числа внутри каждой группы. Для сравнения чисел, представленных в разном виде (обыкновенные дроби, десятичные дроби, целые числа), можно приводить их к общему виду, например, к десятичным дробям.

1. Сортировка отрицательных чисел

Выпишем все отрицательные числа из списка: $-21$; $-7,6$; $-\frac{7}{9}$; $-\frac{3}{8}$; $-20\frac{4}{9}$; $-20\frac{8}{9}$; $-7,4$.

При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, чей модуль (абсолютная величина) больше. Сравним модули этих чисел.

Сравним целые и смешанные числа: $|-21| = 21$; $|-20\frac{8}{9}| = 20\frac{8}{9}$; $|-20\frac{4}{9}| = 20\frac{4}{9}$.
Так как $21 > 20\frac{8}{9} > 20\frac{4}{9}$, то в порядке возрастания они располагаются так: $-21 < -20\frac{8}{9} < -20\frac{4}{9}$.

Сравним десятичные дроби: $|-7,6| = 7,6$; $|-7,4| = 7,4$.
Так как $7,6 > 7,4$, то $-7,6 < -7,4$.

Сравним обыкновенные дроби $-\frac{7}{9}$ и $-\frac{3}{8}$. Приведем их к общему знаменателю $72$:
$|-\frac{7}{9}| = \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{56}{72}$
$|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$
Так как $\frac{56}{72} > \frac{27}{72}$, то $|-\frac{7}{9}| > |-\frac{3}{8}|$, следовательно, $-\frac{7}{9} < -\frac{3}{8}$.

Теперь расположим все отрицательные числа в порядке возрастания, сравнивая их между собой. Самое большое по модулю отрицательное число является самым маленьким.
Получаем следующий ряд: $-21$; $-20\frac{8}{9}$; $-20\frac{4}{9}$; $-7,6$; $-7,4$; $-\frac{7}{9}$; $-\frac{3}{8}$.

2. Сортировка положительных чисел

Выпишем все положительные числа из списка: $10$; $17,6$; $\frac{3}{4}$; $1$.

Для удобства сравнения переведем дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную: $\frac{3}{4} = 0,75$.

Сравним полученные числа: $0,75 < 1 < 10 < 17,6$.

Записав в исходном виде, получим ряд положительных чисел в порядке возрастания:
$\frac{3}{4}$; $1$; $10$; $17,6$.

3. Формирование итогового ряда

Теперь объединим все числа в один ряд, начиная с отсортированных отрицательных, затем ноль, и заканчивая отсортированными положительными числами:

$-21$; $-20\frac{8}{9}$; $-20\frac{4}{9}$; $-7,6$; $-7,4$; $-\frac{7}{9}$; $-\frac{3}{8}$; $0$; $\frac{3}{4}$; $1$; $10$; $17,6$.

Ответ: $-21$; $-20\frac{8}{9}$; $-20\frac{4}{9}$; $-7,6$; $-7,4$; $-\frac{7}{9}$; $-\frac{3}{8}$; $0$; $\frac{3}{4}$; $1$; $10$; $17,6$.

4.184. 1) Сравните, если а и b – положительные числа:

а) –а и b; б) b и –а; в) 0 и а; г) –b и 0; д) |b| и b; е) |а| и –а; ж) –а и |b|; з) |–а| и –b.

2) Найдите значение выражения:
а) 2х – |3х + 2| при х = 9;
б) 4х – |5 + 6х| при х = 3.

4.184

1) a > 0, b > 0

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }–a < b \\ \mathit{б}\mathbf{)} b > -a \\ \mathit{в}\mathbf{)} 0 < a \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }–b < 0 \\ \mathit{д}\mathbf{)} |b| = b \\ \mathit{е}\mathbf{)} \left|a\right| > -a \\ \mathit{ж}\mathbf{)} –a < |b| \\ \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }|-a| > -b \end{gathered}$$

2) x = 9

$$\begin{gathered} 2x – |3x + 2| = 2 · 9 - |3 · 9 + 2| = \\ 18 - \left|29\right| = 18 – 29 = - (29 – 18) = -11 \end{gathered}$$

х = 3

$$\begin{gathered} 4x – |5 + 6x| = 4 · 3 - |5 + 6 · 3| = \\ =12 - \left|23\right| = 12 – 23 = -(23 – 12) = -11 \end{gathered}$$

а) По условию, числа $a$ и $b$ — положительные, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что $-a$ является отрицательным числом ($-a < 0$), а $b$ — положительным. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Таким образом, $-a < b$.
Ответ: $-a < b$.

б) Аналогично предыдущему пункту: $b$ — положительное число ($b > 0$), а $-a$ — отрицательное число ($-a < 0$). Следовательно, $b > -a$.
Ответ: $b > -a$.

в) По условию дано, что $a$ — положительное число. Это по определению означает, что $a$ больше нуля. Таким образом, $0 < a$.
Ответ: $0 < a$.

г) По условию $b$ — положительное число, то есть $b > 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-b < 0$. Таким образом, $-b$ меньше нуля.
Ответ: $-b < 0$.

д) Модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому этому числу. Так как по условию $b > 0$, то $|b| = b$.
Ответ: $|b| = b$.

е) Модуль положительного числа $a$ равен самому числу $a$, то есть $|a| = a$. Необходимо сравнить $a$ и $-a$. Так как $a > 0$, то $-a < 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $a > -a$, что означает $|a| > -a$.
Ответ: $|a| > -a$.

ж) Так как $a > 0$, то $-a < 0$. Так как $b > 0$, то $|b| = b > 0$. Сравниваем отрицательное число $-a$ и положительное число $|b|$. Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому $-a < |b|$.
Ответ: $-a < |b|$.

з) Рассмотрим $|-a|$. Так как $a > 0$, то $-a$ — отрицательное число. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, то есть $|-a| = -(-a) = a$. Теперь сравним $a$ и $-b$. Так как $a$ положительное, а $-b$ отрицательное, то $a > -b$. Следовательно, $|-a| > -b$.
Ответ: $|-a| > -b$.

а) Чтобы найти значение выражения $2x - |3x + 2|$ при $x = 9$, подставим это значение в выражение:
$2 \cdot 9 - |3 \cdot 9 + 2| = 18 - |27 + 2| = 18 - |29|$.
Модуль положительного числа равен самому числу: $|29| = 29$.
$18 - 29 = -11$.
Ответ: -11.

б) Чтобы найти значение выражения $4x - |5 + 6x|$ при $x = 3$, подставим это значение в выражение:
$4 \cdot 3 - |5 + 6 \cdot 3| = 12 - |5 + 18| = 12 - |23|$.
Модуль положительного числа равен самому числу: $|23| = 23$.
$12 - 23 = -11$.
Ответ: -11.

4.185. Найдите значения с, при которых верно неравенство:

а) с < –с; б) –с < с; в) с + с < с.

4.185

а) с < -c при с < 0

б) –c < c при с > 0

в) c + c < c при с < 0

а) Рассмотрим неравенство $c < -c$.

Чтобы найти значения $c$, при которых это неравенство верно, преобразуем его. Прибавим к обеим частям неравенства переменную $c$:

$c + c < -c + c$

Упростим выражение, выполнив сложение:

$2c < 0$

Теперь разделим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства не меняется:

$\frac{2c}{2} < \frac{0}{2}$

$c < 0$

Следовательно, исходное неравенство верно для всех отрицательных значений $c$.

Ответ: $c < 0$.

б) Рассмотрим неравенство $-c < c$.

Прибавим к обеим частям неравенства переменную $c$:

$-c + c < c + c$

Упростим обе части:

$0 < 2c$

Разделим обе части неравенства на положительное число 2, при этом знак неравенства сохраняется:

$\frac{0}{2} < \frac{2c}{2}$

$0 < c$, или, что то же самое, $c > 0$.

Следовательно, исходное неравенство верно для всех положительных значений $c$.

Ответ: $c > 0$.

в) Рассмотрим неравенство $c + c < c$.

Сначала упростим левую часть неравенства:

$2c < c$

Теперь вычтем из обеих частей неравенства переменную $c$. Это действие не изменяет знак неравенства.

$2c - c < c - c$

После упрощения получаем:

$c < 0$

Следовательно, исходное неравенство верно для всех отрицательных значений $c$.

Ответ: $c < 0$.

4.186. Для точек М(х) и N(y) найдите координату середины К отрезка MN, если:

а) х = 6, у = 10; б) х = – 4, у = – 6; в) х = – 1, у = 7.

4.186

М(х), N(y), К – середина отрезка MN

$\mathit{а}\mathbf{)} х = 6, у = 10, \frac{6 + 10}{2} =\frac{16}{2}= 8; К(8)$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х = -4, у = -6, \\ \frac{-4 + (-6)}{2} = \frac{-\left(4 + 6\right)}{2} = \frac{-10}{2} = -5; К(-5) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} х = -1, у = 7, \\ \frac{-1 + 7}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3; К(3) \end{gathered}$$

Для того чтобы найти координату середины K отрезка MN, необходимо найти среднее арифметическое координат его концов, точек M(x) и N(y). Вычисление производится по следующей формуле:

$K = \frac{x + y}{2}$

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

а) Даны координаты точек: $x = 6$ и $y = 10$. Следовательно, мы имеем точки $M(6)$ и $N(10)$.
Вычислим координату середины K отрезка MN:

$K = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8.

б) Даны координаты точек: $x = -4$ и $y = -6$. Следовательно, мы имеем точки $M(-4)$ и $N(-6)$.
Вычислим координату середины K отрезка MN:

$K = \frac{-4 + (-6)}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Ответ: -5.

в) Даны координаты точек: $x = -1$ и $y = 7$. Следовательно, мы имеем точки $M(-1)$ и $N(7)$.
Вычислим координату середины K отрезка MN:

$K = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3.

4.187. Для нахождения объёма цилиндра нужно площадь одного из оснований умножить на высоту цилиндра. Объём конуса, у которого основание и высота равны основанию и высоте цилиндра, в 3 раза меньше объёма цилиндра (рис. 4.39). Найдите объёмы цилиндра и конуса с высотой 15 см и радиусом оснований 6 см.

4.187

h = 15 см, r = 6 см; π ≈ 3,14

1) S = πr² ≈ 3,14 • 6² = 3,14 • 36 = 113,04 (см²) – площадь основания цилиндра и конуса

2) V_ц = Sh = 113,04 • 15 = 1695,6 (см³) – объем цилиндра

3) V_к = V_ц : 3 = 1695,6 : 3 = 565,2 (см³) – объем конуса

Ответ: 1695,6 см³ и 565,2 см³

Для решения задачи используются данные: высота фигур $h = 15$ см, радиус оснований $r = 6$ см.

Нахождение объёма цилиндра

Объём цилиндра ($V_{цилиндр}$) равен произведению площади его основания ($S_{основания}$) на высоту ($h$). Основанием является круг, площадь которого вычисляется по формуле $S_{основания} = \pi r^2$.

Итоговая формула для объёма цилиндра:

$V_{цилиндр} = \pi r^2 h$

Подставим заданные значения в формулу:

$V_{цилиндр} = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 15 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 15 \text{ см} = 540\pi \text{ см}^3$.

Нахождение объёма конуса

Согласно условию, объём конуса ($V_{конус}$) с такими же основанием и высотой, как у цилиндра, в 3 раза меньше объёма цилиндра.

$V_{конус} = \frac{V_{цилиндр}}{3}$

Подставим вычисленное значение объёма цилиндра:

$V_{конус} = \frac{540\pi \text{ см}^3}{3} = 180\pi \text{ см}^3$.

Ответ: объём цилиндра равен $540\pi \text{ см}^3$, объём конуса равен $180\pi \text{ см}^3$.

4.188. Найдите значение выражения:

1) (4,24 + 2,76) · 7,7 : (60 – 6,1);

2) (9,89 – 7,39) · 0,8 : (4,31 + 5,69).

4.188

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }(4,24 \stackrel{1}{+} 2,76) \stackrel{3}{· }7,7\stackrel{4}{ :} (60\stackrel{2}{ –} 6,1) = 1$

4,24 + 2,76 = 7	2. 60 – 6,1 = 53,9
3.	4. 53,9 : 53,9 = 1

$\mathbf{2}\mathbf{)} (9,89 \stackrel{1}{–} 7,39) \stackrel{3}{·} 0,8\stackrel{4}{ :} (4,31 \stackrel{2}{+} 5,69) = 0,2$

9,89 – 7,39 = 2,5	2. 4,31 + 5,69 = 10
3.	4. 2 : 10 = 0,2

1) $(4,24 + 2,76) \cdot 7,7 : (60 – 6,1)$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку действий: сначала выполняются операции в скобках, а затем умножение и деление слева направо.

1. Вычислим сумму в первых скобках:

$4,24 + 2,76 = 7$

2. Вычислим разность во вторых скобках:

$60 – 6,1 = 53,9$

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$7 \cdot 7,7 : 53,9$

4. Выполним умножение:

$7 \cdot 7,7 = 53,9$

5. Выполним деление:

$53,9 : 53,9 = 1$

Ответ: 1.

2) $(9,89 – 7,39) \cdot 0,8 : (4,31 + 5,69)$

Решаем по порядку действий: сначала скобки, затем умножение и деление слева направо.

1. Вычислим разность в первых скобках:

$9,89 – 7,39 = 2,5$

2. Вычислим сумму во вторых скобках:

$4,31 + 5,69 = 10$

3. Подставим результаты в выражение:

$2,5 \cdot 0,8 : 10$

4. Выполним умножение:

$2,5 \cdot 0,8 = 2$

5. Выполним деление:

$2 : 10 = 0,2$

Ответ: 0,2.