Страница 34, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.135. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник АВС, у которого:

а) угол А равен 60º, а стороны АВ и АС равны по 4 см;

б) угол А прямой, а стороны АВ и АС равны по 5 см;

в) угол А равен 120º, а стороны АВ и АС равны по 4 см.

Какой треугольник построен? Измерьте транспортиром его углы В и С.

Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного треугольника?

1.135

а) 1) строим $\angle$А = 60°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 4 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 4 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный.

$\angle$B = 60°, $\angle$С = 60°

б) 1) строим $\angle$ А = 90°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 5 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 5 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный прямоугольный.

$\angle$B = 45°, $\angle$С = 45°

в) 1) строим $\angle$ А = 120°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 4 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 4 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный тупоугольный.

$\angle$B = 30°, $\angle$ С = 30°

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

а)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$ см, $AC = 4$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 4 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $AB$ угол с вершиной в точке $A$, равный $60^\circ$.
3. На построенном луче отложить отрезок $AC$ длиной 4 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle B = \angle C$.

$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 120^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Измерив углы $B$ и $C$ транспортиром, мы убедимся, что они равны $60^\circ$.

Ответ: Построен равносторонний треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $60^\circ$.

б)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A$ — прямой, то есть $90^\circ$, $AB = 5$ см, $AC = 5$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью транспортира построить угол $A$, равный $90^\circ$, приложив его к точке $A$ на отрезке $AB$.
3. На второй стороне угла отложить отрезок $AC$ длиной 5 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, он является равнобедренным. Так как угол $A$ — прямой, это прямоугольный равнобедренный треугольник. Углы при основании $BC$ равны: $\angle B = \angle C$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\angle B + \angle C = 90^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 45^\circ$.

Измерение углов $B$ и $C$ транспортиром покажет, что они равны $45^\circ$.

Ответ: Построен прямоугольный равнобедренный треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $45^\circ$.

в)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A = 120^\circ$, $AB = 4$ см, $AC = 4$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 4 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $AB$ угол с вершиной в точке $A$, равный $120^\circ$.
3. На построенном луче отложить отрезок $AC$ длиной 4 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, он является равнобедренным. Так как $\angle A = 120^\circ > 90^\circ$, это тупоугольный равнобедренный треугольник. Углы при основании $BC$ равны: $\angle B = \angle C$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 60^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 30^\circ$.

Измерение углов $B$ и $C$ транспортиром подтвердит, что они равны $30^\circ$.

Ответ: Построен тупоугольный равнобедренный треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $30^\circ$.

Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного треугольника?

Во всех трех построенных треугольниках ($а, б, в$) две стороны ($AB$ и $AC$) были равны. Такие треугольники называются равнобедренными, а сторона $BC$ — их основанием. Во всех случаях углы при основании ($ \angle B$ и $\angle C$) оказались равными:

• в случае а) $\angle B = \angle C = 60^\circ$;
• в случае б) $\angle B = \angle C = 45^\circ$;
• в случае в) $\angle B = \angle C = 30^\circ$.

Это наблюдение позволяет сделать следующее предположение, которое является свойством равнобедренного треугольника.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

1.136. а) Используя линейку и циркуль, постройте по алгоритму треугольник АВС, у которого сторона АВ равна 5 см, сторона АС — 3 см и сторона ВС — 4 см.

1. Начертите отрезок АВ, равный 5 см.

2. Проведите окружность с центром в точке А и радиусом 3 см.

3. Проведите окружность с центром в точке В и радиусом 4 см.

4. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой С.

5. Проведите отрезки АС и ВС.

б) Измерьте транспортиром угол С треугольника. Какой треугольник построен?

в) Используя линейку и циркуль, постройте по алгоритму равносторонний треугольник АВС, сторона которого равна 6 см.

1.136

б) $\angle$C = 90°

Треугольник АВС – прямоугольный.

а) Построение треугольника ABC со сторонами AB = 5 см, AC = 3 см и BC = 4 см выполняется по следующему алгоритму:

1. С помощью линейки чертим отрезок AB длиной 5 см.
2. Используя циркуль, устанавливаем его раствор на 3 см. Ставим острие циркуля в точку A и проводим дугу окружности. Каждая точка этой дуги находится на расстоянии 3 см от точки A.
3. Затем устанавливаем раствор циркуля на 4 см. Ставим острие циркуля в точку B и проводим вторую дугу окружности так, чтобы она пересекала первую. Каждая точка второй дуги находится на расстоянии 4 см от точки B.
4. Точка пересечения двух дуг является третьей вершиной треугольника, обозначим ее буквой C. Эта точка удовлетворяет обоим условиям: она удалена от A на 3 см и от B на 4 см. (Обычно получается две точки пересечения, можно выбрать любую из них).
5. Соединяем с помощью линейки точку C с точками A и B, получая отрезки AC и BC. В результате построен искомый треугольник ABC.

Ответ: Построение треугольника по трем сторонам выполняется с помощью линейки и циркуля согласно приведенному алгоритму.

б) Если измерить угол C построенного треугольника с помощью транспортира, его величина составит $90^\circ$.

Это подтверждается проверкой с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора. Для сторон треугольника должно выполняться равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим длины сторон: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Квадрат стороны AB равен $5^2 = 25$.

Поскольку $25 = 25$, равенство верно. Это означает, что треугольник является прямоугольным, так как угол C, лежащий напротив самой длинной стороны AB, — прямой.

Ответ: Угол C равен $90^\circ$. Построенный треугольник — прямоугольный.

в) Для построения равностороннего треугольника ABC со стороной 6 см с помощью линейки и циркуля, нужно следовать алгоритму:

1. С помощью линейки начертить отрезок AB длиной 6 см.
2. Установить раствор циркуля на 6 см.
3. Провести дугу окружности с центром в точке A и радиусом 6 см.
4. Не меняя раствора циркуля, провести вторую дугу с центром в точке B и тем же радиусом 6 см.
5. Точку пересечения этих двух дуг обозначить буквой C.
6. Соединить точку C с точками A и B при помощи линейки.

В результате будет построен треугольник ABC, у которого все стороны равны 6 см ($AB = AC = BC = 6$ см), следовательно, он является равносторонним.

Ответ: Построение выполняется по алгоритму: чертим отрезок AB=6 см, затем проводим две дуги радиусом 6 см из центров A и B до их пересечения в точке C, после чего соединяем вершины A, B и C.

1.137. а) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 5 см.

б) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 6 см.

в) Можно ли построить равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 2 см?

Сделайте предположение: «Сумма любых двух сторон треугольника .. третьей стороны».

1.137

а) 1) Начертим отрезок АВ = 4 см.

2) Проведем окружность с центром в точке А и радиусом 5 см.

3) Проведем окружность с центром в точке В и радиусом 5 см.

4) Обозначим одну из точек пересечения буквой С.

5) Провести отрезки АВ и ВС.

б) 1) Начертим отрезок АВ = 4 см.

2) Проведем окружность с центром в точке А и радиусом 6 см.

3) Проведем окружность с центром в точке В и радиусом 6 см.

4) Обозначим одну из точек пересечения буквой С.

5) Провести отрезки АВ и ВС.

в) Такой треугольник построить нельзя, т.к. точка пересечения окружностей будет лежать на отрезке АВ и треугольника не получится.

Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

а) Чтобы построить равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковыми сторонами по 5 см, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала с помощью линейки начертим отрезок $AC$ длиной 4 см, который будет являться основанием треугольника. Затем, используя циркуль с раствором 5 см, проведем дугу с центром в точке $A$. После этого, не меняя раствора циркуля, проведем вторую дугу с центром в точке $C$. Точку пересечения этих дуг обозначим буквой $B$. Соединив точку $B$ с точками $A$ и $C$, получим искомый равнобедренный треугольник $ABC$. Построение возможно, так как для сторон треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. В данном случае $5+5 > 4$ и $5+4 > 5$. Оба неравенства верны.
Ответ: Да, такой треугольник построить можно.

б) Построение этого треугольника аналогично предыдущему. Сначала строим основание $AC$ длиной 4 см. Затем устанавливаем раствор циркуля на 6 см и проводим две дуги из точек $A$ и $C$. Точка их пересечения $B$ будет третьей вершиной. Соединяем вершины и получаем равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами 4 см, 6 см и 6 см. Построение возможно, так как неравенство треугольника выполняется: $6+6 > 4$ и $6+4 > 6$.
Ответ: Да, такой треугольник построить можно.

в) Построить равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковыми сторонами по 2 см невозможно. Это объясняется неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше третьей стороны. В нашем случае мы имеем стороны 2 см, 2 см и 4 см. Проверим неравенство для суммы боковых сторон и основания: $2 + 2 > 4$. Это неравенство неверно, так как $4$ не больше $4$ ($4 = 4$). Если попытаться выполнить построение, то дуги, проведенные из концов основания $AC$ радиусом 2 см, пересекутся в середине отрезка $AC$. Таким образом, все три вершины окажутся на одной прямой, и треугольник "выродится" в отрезок.
Ответ: Нет, построить такой треугольник невозможно.

На основе выполненных заданий можно сделать следующее предположение, закончив фразу: «Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны».

1.138. Периметр одного треугольника в два раза больше другого. Могут ли эти треугольники быть равными?

1.138

Не могут. У равных фигур равные периметры.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть определение равных (конгруэнтных) треугольников. Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это означает, что у равных треугольников равны все соответствующие элементы: стороны и углы.

Рассмотрим два треугольника, $\triangle_1$ и $\triangle_2$.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1, b_1, c_1$. Тогда его периметр $P_1$ вычисляется как сумма длин его сторон:$P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

Аналогично, пусть стороны второго треугольника равны $a_2, b_2, c_2$. Его периметр $P_2$ равен:$P_2 = a_2 + b_2 + c_2$.

Из условия задачи известно, что периметр одного треугольника в два раза больше периметра другого. Запишем это в виде математического соотношения:$P_1 = 2 \cdot P_2$.

Теперь предположим, что эти два треугольника равны. Если $\triangle_1 = \triangle_2$, то по определению равенства треугольников, их соответствующие стороны должны быть равны:$a_1 = a_2$$b_1 = b_2$$c_1 = c_2$

Если равны соответствующие стороны, то и их суммы, то есть периметры, также должны быть равны:$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = a_2 + b_2 + c_2 = P_2$.

Таким образом, мы приходим к системе из двух равенств:1. Из условия задачи: $P_1 = 2 \cdot P_2$.2. Из предположения о равенстве треугольников: $P_1 = P_2$.

Подставив второе равенство в первое, получаем:$P_2 = 2 \cdot P_2$.

Данное равенство выполняется только в одном случае: когда $P_2 = 0$. Однако периметр треугольника — это сумма длин его сторон, и он может быть равен нулю только если все стороны равны нулю. Такой объект (точка) не является треугольником в геометрическом смысле, так как стороны любого невырожденного треугольника имеют положительную длину.

Поскольку для любого реального треугольника его периметр $P_2$ строго больше нуля ($P_2 > 0$), то условие $P_1 = 2 \cdot P_2$ противоречит условию $P_1 = P_2$, которое является необходимым следствием равенства треугольников. Следовательно, наше предположение о том, что треугольники могут быть равными, неверно.

Ответ: Нет, эти треугольники не могут быть равными.

1.139. Всегда ли равны треугольники, у которых равны периметры?

1.139

Не всегда. Например, треугольники со сторонами:
3, 4 и 5 см и 4 см, 4 см и 4 см имеют равные периметры, но они не равны.

Нет, треугольники, у которых равны периметры, не всегда равны между собой. Равенство треугольников (конгруэнтность) означает, что у них соответственно равны все три стороны и все три угла. Равенство периметров означает лишь равенство суммы длин сторон.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — два разных треугольника с одинаковым периметром.

Пример:
Рассмотрим два треугольника.

1. Треугольник 1: Равносторонний треугольник со сторонами $a_1 = 4$ см, $b_1 = 4$ см, $c_1 = 4$ см.
Его периметр $P_1$ равен сумме длин его сторон:
$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 4 + 4 + 4 = 12$ см.
Все углы этого треугольника равны $60^\circ$.

2. Треугольник 2: Прямоугольный треугольник со сторонами (катетами и гипотенузой) $a_2 = 3$ см, $b_2 = 4$ см, $c_2 = 5$ см. (Он существует, так как удовлетворяет теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$).
Его периметр $P_2$ также равен сумме длин его сторон:
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 3 + 4 + 5 = 12$ см.
Углы этого треугольника составляют $90^\circ$ и примерно $37^\circ$ и $53^\circ$.

Сравнение:
Периметры обоих треугольников равны: $P_1 = P_2 = 12$ см.
Однако сами треугольники не равны. У них разные длины сторон (набор сторон {4, 4, 4} не совпадает с набором {3, 4, 5}) и разные углы. Согласно признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), для равенства треугольников необходимо, чтобы все три стороны одного треугольника были соответственно равны трем сторонам другого. В нашем случае это условие не выполняется.

Таким образом, равенство периметров не является достаточным условием для равенства (конгруэнтности) треугольников.

Ответ: Нет, не всегда.

1.140. Одна сторона треугольника в два раза больше другой, а третья сторона равна 15 см. Периметр треугольника равен 42 см. Найдите стороны треугольника.

1.140

Пусть х см – вторая сторона треугольника, тогда 2х см – первая сторона треугольника. Зная, что третья сторона равна 15 см, а периметр 42 см, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 2х + х + 15 = 42; \\ 3х = 42 – 15; \\ 3х = 27; \\ х = 27 : 3; \end{gathered}$$

х = 9 (см) – одна сторона треугольника;

$1) 2 · 9 = 18$(см) – другая сторона треугольника.

Ответ: 9 см, 18 см.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи мы знаем, что периметр треугольника $P = 42$ см. Периметр — это сумма длин всех сторон: $P = a + b + c$.

Также нам дано, что одна сторона равна 15 см. Пусть это будет сторона $c$, то есть $c = 15$ см. Про две другие стороны, $a$ и $b$, сказано, что одна из них в два раза больше другой. Обозначим меньшую из этих сторон за $x$. Тогда большая сторона будет равна $2x$. Таким образом, пусть $a = x$, а $b = 2x$.

Теперь мы можем составить уравнение, подставив все известные значения и выражения в формулу периметра:
$a + b + c = 42$
$x + 2x + 15 = 42$

Решим полученное уравнение для нахождения $x$. Сначала упростим левую часть:
$3x + 15 = 42$

Теперь перенесем число 15 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$3x = 42 - 15$
$3x = 27$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{27}{3}$
$x = 9$

Итак, мы нашли длину одной из сторон: $a = x = 9$ см.
Теперь найдем длину второй стороны, которая в два раза больше: $b = 2x = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника: 9 см, 18 см и 15 см.

Для проверки необходимо убедиться, что для найденных сторон выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны):
$9 + 18 > 15 \implies 27 > 15$ (верно)
$9 + 15 > 18 \implies 24 > 18$ (верно)
$18 + 15 > 9 \implies 33 > 9$ (верно)
Все условия выполняются, следовательно, решение верное.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 18 см и 15 см.

1.141. Могут ли стороны треугольника быть равными:

а) 4 м, 4 м, 4 м; б) 3 см, 3 см, 12 см?

1.141

а) 4 м, 4 м, 4 м – могут, т.к. сумма двух любых сторон больше третьей стороны

б) 3 см, 3 см, 12 см – не могут, т.к. сумма двух сторон 3 + 3 < 12.

а) Для того чтобы треугольник мог существовать, необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Обозначим стороны как $a$, $b$ и $c$. Должны выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$.

В данном случае стороны равны $a = 4$ м, $b = 4$ м, $c = 4$ м.

Проверим выполнение условий:

$4 + 4 > 4 \implies 8 > 4$ (Верно)

Поскольку все стороны равны, два других неравенства будут идентичны и также верны. Все условия неравенства треугольника выполняются. Такой треугольник (равносторонний) существует.
Ответ: да, могут.

б) Проверим выполнение неравенства треугольника для сторон $a = 3$ см, $b = 3$ см и $c = 12$ см.

Проверим, больше ли сумма длин двух сторон третьей стороны. Достаточно проверить, больше ли сумма двух меньших сторон большей стороны.

$3 + 3 > 12 \implies 6 > 12$ (Неверно)

Так как одно из условий неравенства треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может.
Ответ: нет, не могут.

1.142. Измерьте углы треугольника PRS на рисунке 1.17. Найдите сумму углов треугольника.

1.142

$\angle$ R = 38°

$\angle$P = 32°

$\angle$S = 110°

$38° + 32° + 110° = 180°$- сумма углов треугольника.

Ответ: 180°.

Измерьте углы треугольника PRS на рисунке 1.17.

Для точного измерения углов данного треугольника необходимо использовать транспортир. Поскольку мы работаем с изображением, мы можем дать только приблизительную оценку углов. При измерении углов с помощью цифрового или физического транспортира возможна небольшая погрешность.

Выполним измерение каждого угла:

1. Угол при вершине R, который обозначается как $\angle R$ или $\angle PRS$. Приложив транспортир, получаем, что его величина примерно равна $35^\circ$.

2. Угол при вершине S, который обозначается как $\angle S$ или $\angle PSR$. Это тупой угол, его величина примерно равна $105^\circ$.

3. Угол при вершине P, который обозначается как $\angle P$ или $\angle RPS$. Его величина примерно равна $40^\circ$.

Ответ: Приблизительные значения углов треугольника: $\angle R \approx 35^\circ$, $\angle S \approx 105^\circ$, $\angle P \approx 40^\circ$.

Найдите сумму углов треугольника.

Сумму углов треугольника можно найти, сложив измеренные значения. Также можно воспользоваться известной теоремой из геометрии.

1. На основе измерений:

Сложим полученные нами приблизительные значения углов:

$\angle R + \angle S + \angle P \approx 35^\circ + 105^\circ + 40^\circ = 180^\circ$

Сумма измеренных углов получилась равной $180^\circ$.

2. На основе теоремы о сумме углов треугольника:

Согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, сумма внутренних углов любого треугольника всегда постоянна и равна $180^\circ$.

$\angle R + \angle S + \angle P = 180^\circ$

Таким образом, практическое измерение подтверждает теоретическое положение.

Ответ: Сумма углов треугольника PRS равна $180^\circ$.

1.143. а) Начертите прямоугольный треугольник АВС и остроугольный треугольник XZY. Измерьте транспортиром их углы. Найдите сумму углов в этих треугольниках.

б) Какое предположение можно сделать из решения задач 1.142 и 1.143, а?

1.143

∆ АВС - прямоугольный

$\angle$A = 90°

$\angle$B = 65°

$\angle$C = 25°

$\angle A + \angle B + \angle C = 90° + 65° + 25° = 180°$- сумма углов треугольника

∆ XYZ - остроугольный

$\angle$X = 100°

$\angle$Y = 56°

$\angle$ Z = 24°

$\angle X + \angle Y+ \angle Z = 100° + 56° + 24° = 180°$- сумма углов треугольника

б) Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

а)

Чтобы решить эту задачу, выполним следующие шаги:

1. Построение и измерение прямоугольного треугольника ABC.

   Начертим треугольник ABC, в котором один угол прямой. Пусть $\angle C = 90^\circ$. С помощью транспортира измерим два других угла. В зависимости от чертежа, их значения могут быть разными. Например, у нас могут получиться следующие значения: $\angle A \approx 55^\circ$ и $\angle B \approx 35^\circ$.

   Теперь найдем сумму этих углов:

   Сумма = $\angle A + \angle B + \angle C = 55^\circ + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

2. Построение и измерение остроугольного треугольника XZY.

   Начертим треугольник XZY, в котором все три угла острые (меньше $90^\circ$). Измерим все три угла с помощью транспортира. Например, измерения могут дать следующие результаты: $\angle X \approx 70^\circ$, $\angle Z \approx 65^\circ$ и $\angle Y \approx 45^\circ$.

   Найдем сумму этих углов:

   Сумма = $\angle X + \angle Z + \angle Y = 70^\circ + 65^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.

Мы видим, что в обоих случаях, несмотря на погрешность измерений, сумма углов получается очень близкой к $180^\circ$.

Ответ: Сумма углов как в прямоугольном, так и в остроугольном треугольнике равна $180^\circ$.

б)

В задаче 1.143 а) мы экспериментально установили, что сумма углов в прямоугольном и остроугольном треугольниках равна $180^\circ$. Задача 1.142, по всей видимости, предлагала провести аналогичные измерения для тупоугольного треугольника, где результат был бы таким же.

На основании этих практических результатов для разных видов треугольников (остроугольного, прямоугольного и, предположительно, тупоугольного) можно выдвинуть гипотезу или предположение.

Ответ: Можно сделать предположение, что сумма углов любого треугольника постоянна и всегда равна $180^\circ$.

Вопросы:

Что значит прибавить к числу n число m?

К числу n прибавили число m. Как изменится положение точки N(n) на координатной прямой, если m — положительное; m — отрицательное; m = 0?

Чему равна сумма противоположных чисел?

29. Сложение положительных и отрицательных чисел с помощью координатной прямой

Вопросы к параграфу

• прибавить к числу n число m – значит изменить число n на m единиц

• если m – положительное число, то точка N(n) будет располагаться правее на m единиц
  если m – отрицательное число, то точка N(n) будет располагаться левее на m единиц
  если m = 0, то положение точки N(n) не изменится

• сумма противоположных чисел равна нулю

Что значит прибавить к числу n число m?
Прибавить к числу $n$ число $m$ — это значит выполнить операцию сложения, результатом которой будет новое число (сумма), равное $n + m$. С геометрической точки зрения на координатной прямой, это действие соответствует перемещению из точки с координатой $n$ на расстояние, равное модулю числа $m$. Направление перемещения зависит от знака $m$: если $m$ — положительное число, перемещение происходит вправо (в положительном направлении), а если $m$ — отрицательное, то влево (в отрицательном направлении).
Ответ: Прибавить к числу $n$ число $m$ означает найти их сумму $n+m$, что геометрически соответствует смещению точки с координатой $n$ на $m$ единиц вдоль координатной прямой.

К числу n прибавили число m. Как изменится положение точки N(n) на координатной прямой, если m — положительное; m — отрицательное; m = 0?
Положение точки $N(n)$ на координатной прямой изменится в зависимости от знака и величины числа $m$:
m — положительное: Если $m > 0$, то точка $N(n)$ сместится по координатной прямой вправо (в положительном направлении) на $m$ единиц. Её новой координатой будет $n+m$.
m — отрицательное: Если $m < 0$, то точка $N(n)$ сместится по координатной прямой влево (в отрицательном направлении) на $|m|$ единиц. Её новой координатой будет $n+m$.
m = 0: Если $m = 0$, то точка $N(n)$ не изменит своего положения на координатной прямой, так как $n+0=n$.
Ответ: Если $m$ — положительное, точка сместится вправо на $m$ единиц; если $m$ — отрицательное, точка сместится влево на $|m|$ единиц; если $m=0$, положение точки не изменится.

Чему равна сумма противоположных чисел?
Противоположные числа — это два числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Сумма таких чисел всегда равна нулю.
Математически это записывается так: $a + (-a) = a - a = 0$.
Например, $7 + (-7) = 0$.
Ответ: Сумма противоположных чисел равна 0.

4.144. Используя координатную прямую, найдите сумму чисел:

а) –3 и 3; б) 5 и –7; в) –4 и –6; г) 2 и –6; д) –7 и 8; е) –5 и –5.

4.144

а) -3 + 3 = 0

б) 5 + (-7) = -2

в) -4 + (-6) = -10

г) 2 + (-6) = -4

д) -7 + 8 = 1

е) -5 + (-5) = -10

Чтобы найти сумму двух чисел с помощью координатной прямой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти на координатной прямой точку, которая соответствует первому слагаемому.
2. От этой точки переместиться вдоль прямой. Если второе слагаемое — положительное число, перемещение происходит вправо (в сторону увеличения чисел). Если второе слагаемое — отрицательное число, перемещение происходит влево (в сторону уменьшения чисел). Длина перемещения равна модулю второго слагаемого.
3. Координата точки, в которой мы окажемся после перемещения, и будет являться суммой двух чисел.

а) -3 и 3

Находим на координатной прямой точку $-3$. Чтобы прибавить $3$, нужно от точки $-3$ переместиться на $3$ единицы вправо.
...→ -3 → -2 → -1 → 0
В результате мы окажемся в точке $0$.
Таким образом, $ -3 + 3 = 0 $.
Ответ: $0$

б) 5 и -7

Находим на координатной прямой точку $5$. Чтобы прибавить $-7$, нужно от точки $5$ переместиться на $7$ единиц влево.
...← -2 ← -1 ← 0 ← 1 ← 2 ← 3 ← 4 ← 5
В результате мы окажемся в точке $-2$.
Таким образом, $ 5 + (-7) = -2 $.
Ответ: $-2$

в) -4 и -6

Находим на координатной прямой точку $-4$. Чтобы прибавить $-6$, нужно от точки $-4$ переместиться на $6$ единиц влево.
...← -10 ← -9 ← -8 ← -7 ← -6 ← -5 ← -4
В результате мы окажемся в точке $-10$.
Таким образом, $ -4 + (-6) = -10 $.
Ответ: $-10$

г) 2 и -6

Находим на координатной прямой точку $2$. Чтобы прибавить $-6$, нужно от точки $2$ переместиться на $6$ единиц влево.
...← -4 ← -3 ← -2 ← -1 ← 0 ← 1 ← 2
В результате мы окажемся в точке $-4$.
Таким образом, $ 2 + (-6) = -4 $.
Ответ: $-4$

д) -7 и 8

Находим на координатной прямой точку $-7$. Чтобы прибавить $8$, нужно от точки $-7$ переместиться на $8$ единиц вправо.
-7 → -6 → -5 → -4 → -3 → -2 → -1 → 0 → 1 →...
В результате мы окажемся в точке $1$.
Таким образом, $ -7 + 8 = 1 $.
Ответ: $1$

е) -5 и -5

Находим на координатной прямой точку $-5$. Чтобы прибавить $-5$, нужно от точки $-5$ переместиться на $5$ единиц влево.
...← -10 ← -9 ← -8 ← -7 ← -6 ← -5
В результате мы окажемся в точке $-10$.
Таким образом, $ -5 + (-5) = -10 $.
Ответ: $-10$