Страница 31, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.122

Всего – 36 деревьев;

Берез – 16

Кленов – 8

Каштаны - ?, остальные.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }360⁰ : 36 = 10⁰$- будет составлять одно дерево

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }16 · 10⁰ = 160⁰$- березы

$\mathbf{3}\mathbf{)} 8 · 10⁰ = 80⁰$ - клены

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }360⁰ - (160⁰ + 80⁰) = 120⁰$- каштаны

Для построения круговой диаграммы необходимо сначала найти количество деревьев каждого вида, а затем рассчитать, какой центральный угол на диаграмме будет соответствовать каждому виду.

1. Найдём количество каштанов. Всего посадили 36 деревьев. Из них 16 берёз и 8 клёнов. Чтобы найти количество каштанов, нужно из общего числа деревьев вычесть сумму уже известных деревьев (берёз и клёнов):
$36 - (16 + 8) = 36 - 24 = 12$ каштанов.

Итак, видовой состав деревьев следующий:
Берёзы: 16
Клёны: 8
Каштаны: 12
Проверим общее количество: $16 + 8 + 12 = 36$.

2. Рассчитаем углы секторов для круговой диаграммы. Полный круг составляет $360^\circ$. Чтобы найти угол сектора для каждого вида деревьев, нужно долю этого вида от общего количества умножить на $360^\circ$.

Рассчитаем углы для каждого вида:
- Угол для берёз: $\frac{16}{36} \times 360^\circ = \frac{4}{9} \times 360^\circ = 4 \times 40^\circ = 160^\circ$
- Угол для клёнов: $\frac{8}{36} \times 360^\circ = \frac{2}{9} \times 360^\circ = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$
- Угол для каштанов: $\frac{12}{36} \times 360^\circ = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$

Проверим, что сумма всех углов равна $360^\circ$:
$160^\circ + 80^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Расчёты верны.

Таким образом, для изображения видового состава деревьев в круговой диаграмме, нужно начертить круг и разделить его на три сектора с вычисленными углами.

Ответ: Круговая диаграмма видового состава деревьев будет состоять из трёх секторов с центральными углами: берёзы — $160^\circ$, клёны — $80^\circ$, каштаны — $120^\circ$.

1.123. Миша составил свой режим дня:

7:00—8:30. Подъём, утренние процедуры, завтрак, дорога в школу.

8:30—13:30. Занятия в школе.

13:30—16:00. Дорога из школы, обед, прогулка.

16:00—18:00. Домашние задания.

18:00—19:00. Спортивные занятия.

19:00—22:00. Ужин, свободное время, подготовка ко сну.

22:00—7:00. Сон.

Представьте эти данные на круговой диаграмме.

1.123

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }8.30 – 7 = 1,5 ч$– подъем, утренние процедуры, завтрак, дорога в школу

13.30 – 8.30 = 5 ч – занятия в школе

16 – 13.30 = 2 ч 30 мин = 2,5 ч – дорога из школы, обед, прогулка

18 – 16 = 2 ч – домашние задания

19 – 18 = 1 ч – спортивные занятия

22 – 19 = 3 ч – ужин, свободное время, подготовка ко сну

2 + 7 = 9 ч – сон 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 360° : 24 = 15°$- составляет 1 час 

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }15° · 1,5 = 22,5°$– на подъем, утренние процедуры, завтрак, дорога в школу

$\mathbf{4}\mathbf{)} 15° · 5 = 75°$– занятия в школе

$\mathbf{5}\mathbf{)} 15° · 2,5 = 37,5°$– дорога из школы, обед, прогулка

$\mathbf{6}\mathbf{)} 15° · 2 = 30°$- домашние задания 

$\mathbf{7}\mathbf{)} 15° · 1 = 15°$- спортивные занятия

$\mathbf{8}\mathbf{)} 15° · 3 = 45°$– ужин, свободное время, подготовка ко сну

$\mathbf{9}\mathbf{)} 15° · 9 = 135°$- сон

Для того чтобы представить данные о режиме дня Миши на круговой диаграмме, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить продолжительность каждого вида деятельности в часах.
2. Рассчитать, какую долю от полных суток (24 часа) составляет каждый вид деятельности.
3. Найти, какой угол на круговой диаграмме (полный круг — $360^\circ$) соответствует каждой доле. Угол сектора вычисляется по формуле: $Угол = (\frac{\text{Продолжительность деятельности в часах}}{24 \text{ часа}}) \times 360^\circ$.

Проведем расчеты для каждого пункта режима дня.

Подъём, утренние процедуры, завтрак, дорога в школу (7:00–8:30)
Продолжительность составляет $8 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 7 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 1 \text{ час } 30 \text{ минут}$, что равно $1.5$ часа.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{1.5}{24} \times 360^\circ = 0.0625 \times 360^\circ = 22.5^\circ$.
Ответ: $22.5^\circ$.

Занятия в школе (8:30–13:30)
Продолжительность составляет $13 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 5$ часов.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{5}{24} \times 360^\circ = 75^\circ$.
Ответ: $75^\circ$.

Дорога из школы, обед, прогулка (13:30–16:00)
Продолжительность составляет $16 \text{ ч } 00 \text{ мин} - 13 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 \text{ часа } 30 \text{ минут}$, что равно $2.5$ часа.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{2.5}{24} \times 360^\circ = 37.5^\circ$.
Ответ: $37.5^\circ$.

Домашние задания (16:00–18:00)
Продолжительность составляет $18 \text{ ч } 00 \text{ мин} - 16 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 2$ часа.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{2}{24} \times 360^\circ = \frac{1}{12} \times 360^\circ = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

Спортивные занятия (18:00–19:00)
Продолжительность составляет $19 \text{ ч } 00 \text{ мин} - 18 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 1$ час.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{1}{24} \times 360^\circ = 15^\circ$.
Ответ: $15^\circ$.

Ужин, свободное время, подготовка ко сну (19:00–22:00)
Продолжительность составляет $22 \text{ ч } 00 \text{ мин} - 19 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 3$ часа.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{3}{24} \times 360^\circ = \frac{1}{8} \times 360^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

Сон (22:00–7:00)
Продолжительность сна охватывает ночь. С 22:00 до полуночи (00:00) проходит 2 часа, и с полуночи до 7:00 утра проходит еще 7 часов. Общая продолжительность: $2 + 7 = 9$ часов.
Рассчитаем соответствующий угол на диаграмме: $\frac{9}{24} \times 360^\circ = \frac{3}{8} \times 360^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

Для построения круговой диаграммы нужно начертить круг и с помощью транспортира отложить секторы с вычисленными углами, подписав каждый сектор соответствующим видом деятельности.

1.124. Постройте столбчатую и круговую диаграммы длин крупных рек России по таблице.

1.124

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5,41 + 4,44 + 4,4 + 4,1 + 3,53 = 21,88$(тыс. км) – общая длина 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 360° : 21,88 = 36000° : 2188 \approx 16,5°$- приходится на 1 тыс. км

$\mathbf{3}\mathbf{)} 16,5 · 5,41 \approx 89,3°$- приходится на Обь (с Иртышом)

$\mathbf{4}\mathbf{)} 16,5 · 4,44 \approx 73,26°$- приходится на Амур (с Аргунью)

$\mathbf{5}\mathbf{)} 16,5 · 4,4 \approx 72,6°$- приходится на Лену

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }16,5 · 4,1 \approx 67,65°$- приходится на Енисей

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }16,5 · 3,53 \approx 58,245°$- приходится на Волгу

Для построения диаграмм необходимо сначала выполнить расчеты: найти общую длину всех рек и вычислить углы секторов для круговой диаграммы.

1. Найдем суммарную длину всех рек:

$L_{общая} = 5,41 + 4,44 + 4,4 + 4,1 + 3,53 = 21,88$ тыс. км.

2. Рассчитаем углы секторов для круговой диаграммы. Угол сектора для каждой реки вычисляется по формуле: $Угол = \frac{\text{Длина реки}}{L_{общая}} \times 360^\circ$.

• Обь (с Иртышом): $\frac{5,41}{21,88} \times 360^\circ \approx 89,01^\circ \approx 89^\circ$
• Амур (с Аргунью): $\frac{4,44}{21,88} \times 360^\circ \approx 73,05^\circ \approx 73^\circ$
• Лена: $\frac{4,4}{21,88} \times 360^\circ \approx 72,39^\circ \approx 72^\circ$
• Енисей: $\frac{4,1}{21,88} \times 360^\circ \approx 67,46^\circ \approx 68^\circ$
• Волга: $\frac{3,53}{21,88} \times 360^\circ \approx 58,08^\circ \approx 58^\circ$

Примечание: значения округлены до целых градусов. Угол для реки Енисей округлен в большую сторону, чтобы общая сумма углов составила ровно $360^\circ$ ($89+73+72+68+58 = 360$).

Заполненная таблица:

Столбчатая диаграмма

Для построения столбчатой диаграммы по горизонтальной оси откладываются названия рек, а по вертикальной — их длина. Высота каждого столбца пропорциональна длине соответствующей реки.

• Горизонтальная ось (ось абсцисс): Названия рек.
• Вертикальная ось (ось ординат): Длина, тыс. км (масштаб от 0 до 6).

Ниже представлена визуализация столбчатой диаграммы.

Ответ: Построена столбчатая диаграмма, на которой высота каждого столбца соответствует длине реки: Обь (с Иртышом) — 5,41; Амур (с Аргунью) — 4,44; Лена — 4,4; Енисей — 4,1; Волга — 3,53. Ряды расположены на горизонтальной оси, а значения длин — на вертикальной.

Круговая диаграмма

Круговая диаграмма показывает долю каждой реки в их общей длине. Весь круг ($360^\circ$) соответствует общей длине $21,88$ тыс. км. Круг разделен на секторы, центральные углы которых пропорциональны длинам рек.

Ниже представлена визуализация круговой диаграммы с легендой.

Ответ: Построена круговая диаграмма, разделенная на 5 секторов. Углы секторов, соответствующие доле каждой реки в общей длине, равны: Обь (с Иртышом) — $89^\circ$, Амур (с Аргунью) — $73^\circ$, Лена — $72^\circ$, Енисей — $68^\circ$, Волга — $58^\circ$.

1.125. Пограничный пёс Мухтар взял след и начал догонять нарушителя границы, когда между ними было 2,7 км, и догнал его через 0,18 ч. Найдите скорость Мухтара, если скорость нарушителя была в 3,5 раза меньше его скорости.

1.125

Расстояние – 2,7 км

Время – 0,18 ч

$2,7 : 0,18 = 270 : 18 = 15$ (км/ч) – скорость сближения Мухтара и нарушителя;

Пусть х км/ч – скорость нарушителя, тогда 3,5х км/ч – скорость Мухтара, т.к. скорость их сближения 15 км/ч, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 3,5х – х = 15; \\ 2,5х = 15; \\ х = 15 : 2,5; \\ х = 150 : 25; \end{gathered}$$

х = 6 (км/ч) – скорость нарушителя.

$1) 3,5 · 6 = 21$км/ч – скорость пса Мухтара.

Ответ: 21 км/ч.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_м$ — скорость пограничного пса Мухтара в км/ч.
• Пусть $v_н$ — скорость нарушителя в км/ч.

Из условия задачи известно, что скорость нарушителя в 3,5 раза меньше скорости Мухтара. Математически это можно записать так:

$v_н = \frac{v_м}{3.5}$

Мухтар догоняет нарушителя, это означает, что мы имеем дело с задачей на сближение. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна разности скоростей Мухтара и нарушителя:

$v_{сбл} = v_м - v_н$

Подставим выражение для скорости нарушителя в формулу скорости сближения:

$v_{сбл} = v_м - \frac{v_м}{3.5} = v_м(1 - \frac{1}{3.5}) = v_м(\frac{3.5 - 1}{3.5}) = v_м \cdot \frac{2.5}{3.5} = v_м \cdot \frac{25}{35} = v_м \cdot \frac{5}{7}$

Таким образом, скорость сближения составляет $\frac{5}{7}$ от скорости Мухтара.

Общая формула, связывающая расстояние, скорость и время, выглядит так: $S = v \cdot t$. В нашем случае, расстояние, которое нужно преодолеть для сближения, равно начальному расстоянию между ними $S = 2.7$ км, а время сближения $t = 0.18$ ч. Подставим эти значения и выражение для скорости сближения в формулу:

$S = v_{сбл} \cdot t$

$2.7 = (v_м \cdot \frac{5}{7}) \cdot 0.18$

Теперь решим это уравнение относительно $v_м$. Сначала найдем скорость сближения, разделив расстояние на время:

$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{2.7}{0.18}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$v_{сбл} = \frac{270}{18} = 15$ км/ч.

Мы знаем, что $v_{сбл} = v_м \cdot \frac{5}{7}$. Подставим найденное значение $v_{сбл}$:

$15 = v_м \cdot \frac{5}{7}$

Отсюда находим скорость Мухтара $v_м$:

$v_м = 15 \div \frac{5}{7} = 15 \cdot \frac{7}{5} = \frac{15 \cdot 7}{5} = 3 \cdot 7 = 21$ км/ч.

Проверим решение. Если скорость Мухтара 21 км/ч, то скорость нарушителя $21 / 3.5 = 6$ км/ч. Скорость сближения $21 - 6 = 15$ км/ч. Время, за которое Мухтар догонит нарушителя: $2.7 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 0.18$ ч. Все сходится с условием задачи.

Ответ: скорость Мухтара 21 км/ч.

1.126. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками часов в:

а) 6 ч; б) 3 ч; в) 13 ч; г) 10 ч?

1.126

а) 180°

б) 90°

в) 90° : 3 = 30°

г) 90° - 90° : 3 = 60°

Для определения угла между часовой и минутной стрелками воспользуемся тем, что полный оборот стрелки по циферблату составляет $360^\circ$. На циферблате 12 часовых делений, поэтому угол между двумя соседними часовыми метками равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$. Во всех указанных случаях время ровное (00 минут), поэтому минутная стрелка всегда указывает на «12». Положение часовой стрелки зависит от указанного часа.

а) 6 ч

В 6 часов ровно минутная стрелка указывает на 12, а часовая стрелка — на 6. Между этими двумя положениями находится 6 часовых делений.
Чтобы найти угол, нужно умножить количество делений на величину угла одного деления:
$6 \times 30^\circ = 180^\circ$.
Стрелки направлены в противоположные стороны, образуя развернутый угол.
Ответ: $180^\circ$.

б) 3 ч

В 3 часа ровно минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Между ними 3 часовых деления.
Угол между стрелками будет равен:
$3 \times 30^\circ = 90^\circ$.
Стрелки образуют прямой угол.
Ответ: $90^\circ$.

в) 13 ч

Время 13 часов на стандартном 12-часовом циферблате соответствует 1 часу дня ($13 - 12 = 1$).
В 1 час ровно минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 1. Между ними 1 часовое деление.
Угол между стрелками равен:
$1 \times 30^\circ = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

г) 10 ч

В 10 часов ровно минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 10.
Угол между стрелками — это наименьший угол между ними. Мы можем посчитать его, двигаясь от 12 к 10 в направлении против часовой стрелки (через 11). Расстояние составляет 2 часовых деления.
Угол между стрелками будет равен:
$2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Другой способ — посчитать угол по часовой стрелке, что составит 10 делений ($10 \times 30^\circ = 300^\circ$), и затем вычесть полученное значение из $360^\circ$, чтобы найти меньший угол: $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

1.127. В партии из 500 лампочек 3 лампочки оказались бракованными. Какой процент составляли исправные лампочки?

1.127

Всего – 500 лампочек

Бракованные – 3 лампочки

Исправные - %?.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 500 – 3 = 497$(л) – было исправных;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{497}{500}· 100\% = 0,994 · 100\% = 99,4\%$- составляют исправные лампочки.

Ответ: 99,4%.

Для того чтобы найти процент исправных лампочек, необходимо сначала определить их количество.

1. Найдем количество исправных лампочек.
Общее количество лампочек в партии — 500.
Количество бракованных лампочек — 3.
Количество исправных лампочек равно разности общего количества и количества бракованных:
$500 - 3 = 497$ (исправных лампочек).

2. Рассчитаем процент исправных лампочек.
Общее количество лампочек (500) составляет 100%. Чтобы найти, какой процент от общего числа составляют исправные лампочки (497), нужно их количество разделить на общее количество и умножить на 100%.
$(\frac{497}{500}) \times 100\%$

Выполним вычисление:
$0,994 \times 100\% = 99,4\%$

Таким образом, 99,4% лампочек в партии являются исправными.

Ответ: 99,4%

1.128. Площадь однокомнатной квартиры 37 м². Площадь кухни и коридора составляет 30 %, площадь санузла — 10 % площади квартиры. Найдите площадь комнаты. Решите задачу двумя способами. Какой из этих способов проще?

1.128

1 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }37 · 0,3 = 11,1$(м²) – площадь кухни и коридора;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 37 · 0,1 = 3,7$(м²) – площадь санузла;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }37 – (11,1 + 3,7) = 37 – 14,8 = 22,2$(м²) – площадь комнаты.

2 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% – (30\% + 10\%) = 60\% = 0,6$- площадь комнаты;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 37 · 0,6 = 22,2$(м²) – площадь комнаты.

Проще второй способ.

Ответ: 22,2 м².

1 способ

Этот способ предполагает последовательное вычисление площадей нежилых помещений и их последующее вычитание из общей площади квартиры.

1. Сначала найдем площадь, которую занимают кухня и коридор. Она составляет 30% от общей площади 37 м². Переведем проценты в десятичную дробь ($30\% = 0,3$) и умножим на общую площадь:
$S_{кухни\ и\ коридора} = 37 \cdot 0,3 = 11,1 \ (м^2)$

2. Далее найдем площадь санузла, которая составляет 10% ($10\% = 0,1$) от общей площади:
$S_{санузла} = 37 \cdot 0,1 = 3,7 \ (м^2)$

3. Теперь найдем суммарную площадь кухни, коридора и санузла, сложив их площади:
$11,1 + 3,7 = 14,8 \ (м^2)$

4. Наконец, чтобы найти площадь комнаты, вычтем из общей площади квартиры полученную сумму площадей вспомогательных помещений:
$S_{комнаты} = 37 - 14,8 = 22,2 \ (м^2)$

Ответ: площадь комнаты составляет 22,2 м².

2 способ

Этот способ основан на работе с процентами. Сначала мы определим, какой процент от общей площади занимает комната, а затем вычислим эту площадь.

1. Найдем, какой суммарный процент от площади квартиры занимают кухня, коридор и санузел:
$30\% + 10\% = 40\%$

2. Общая площадь квартиры представляет собой 100%. Вычтем из 100% долю нежилых помещений, чтобы найти долю, приходящуюся на комнату:
$100\% - 40\% = 60\%$

3. Теперь, зная, что комната занимает 60% площади квартиры, найдем ее площадь в квадратных метрах. Переведем проценты в десятичную дробь ($60\% = 0,6$) и умножим на общую площадь:
$S_{комнаты} = 37 \cdot 0,6 = 22,2 \ (м^2)$

Ответ: площадь комнаты составляет 22,2 м².

Какой из этих способов проще?

Второй способ, как правило, считается проще и быстрее. Он позволяет выполнить большую часть вычислений (сложение и вычитание процентов) с целыми числами, что легче и снижает вероятность ошибки при расчетах. Только на последнем шаге выполняется одно умножение на десятичную дробь. В первом же способе приходится выполнять несколько действий (два умножения и одно сложение) с десятичными дробями, что делает его немного более громоздким.

1.129. Объясните смысл предложения:

а) «Вклад под 8 % годовых»; б) «Жирность кефира 3,2 %».

1.129

а) Через год к тем деньгам, которые лежат на вкладе, банк прибавит сумму, которая составляет 8% от этих денег.

б) Жир составляет 3,2% от всего объёма кефира.

а) «Вклад под 8 % годовых»

Это финансовый термин, который означает, что если вы размещаете денежные средства (вклад) в банке, то через год банк начислит на вашу первоначальную сумму доход в размере 8%. «Годовых» указывает на то, что процентная ставка рассчитана на период в один год.
Например, если вы положили на вклад 10 000 рублей, то через год банк начислит вам проценты:
$10\ 000 \cdot \frac{8}{100} = 800$ рублей.
Таким образом, через год на вашем счете будет уже $10\ 000 + 800 = 10\ 800$ рублей. То есть, первоначальная сумма увеличится на 8%.

Ответ: За один год сумма вклада увеличится на 8% от первоначальной суммы.

б) «Жирность кефира 3,2 %»

Это характеристика продукта питания, которая указывает на массовую долю жира в общем весе продукта. В данном случае это означает, что в любой порции кефира масса молочного жира составляет 3,2% от общей массы этой порции.
Процент — это сотая часть числа, то есть 3,2% — это $ \frac{3,2}{100} $, или 0,032 от целого.
Например, если вы взяли упаковку кефира массой 1000 грамм (1 кг), то масса жира в ней составит:
$1000 \cdot \frac{3,2}{100} = 32$ грамма.

Ответ: Масса жира составляет 3,2% от общей массы кефира.

1.130. Магазин предоставляет скидку 25 % от суммы покупки. Сколько заплатит покупатель, если он выбрал товары на сумму: а) 280 р.; б) 960 р.; в) 1240 р.?

1.130

Скидка - $25\% = 0,25 = \frac{1}{4}$

Стоимость товара: а) 280 р; б)960 р; в)1240 р

Заплатит - ? р.

а) $\mathbf{1}\mathbf{)} 280 · 1/4 = 70$(р) – составляет скидка;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 280 – 70 = 210$(р) – заплатит покупатель.

б) $\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{240}{\cancel{960}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}= 240$(р) – составляет скидка;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 960 – 240 = 720$(р) – заплатит покупатель.

в) $\mathbf{1}\mathbf{)} \stackrel{310}{\cancel{1240}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}} = 310$(р) – составляет скидка;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1240 – 310 = 930$(р) – заплатит покупатель.

Ответ: а) 210р; б)720 р; в)930р.

Скидка в 25% означает, что итоговая цена составит $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной суммы. Чтобы найти сумму к оплате, нужно умножить исходную стоимость на коэффициент, соответствующий 75%, то есть на 0,75.

а)
Если первоначальная сумма покупки составляет 280 р., то с учетом скидки покупатель заплатит:
$280 \cdot (1 - \frac{25}{100}) = 280 \cdot 0,75 = 210$ р.
Ответ: 210 р.

б)
Если первоначальная сумма покупки составляет 960 р., то с учетом скидки покупатель заплатит:
$960 \cdot 0,75 = 720$ р.
Ответ: 720 р.

в)
Если первоначальная сумма покупки составляет 1240 р., то с учетом скидки покупатель заплатит:
$1240 \cdot 0,75 = 930$ р.
Ответ: 930 р.

1.131. При хранении на складе морковь теряет за месяц в среднем 0,7 % своей массы. На склад поступило 6,3 т моркови. На сколько килограммов уменьшится масса моркови на складе через месяц хранения?

1.131

Моркови – 6,3 т = 6300 кг.

Теряет при хранении - ? т, 0,7% = 0,007

Через месяц - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)} 6300 · 0,007 = 44,1$(кг) – уменьшится масса моркови.

Ответ: на 44,1 кг.

Для того чтобы определить, на сколько килограммов уменьшится масса моркови, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перевести начальную массу моркови из тонн в килограммы. В одной тонне содержится 1000 килограммов.

$6,3 \text{ т} = 6,3 \times 1000 \text{ кг} = 6300 \text{ кг}$

2. Найти величину потери массы, которая составляет 0,7% от начальной массы. Для этого представим проценты в виде десятичной дроби:

$0,7\% = \frac{0,7}{100} = 0,007$

3. Умножим общую массу моркови в килограммах на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу потерь.

$6300 \text{ кг} \times 0,007 = 44,1 \text{ кг}$

Следовательно, за месяц хранения масса моркови уменьшится на 44,1 килограмма.

Ответ: на 44,1 кг.

1.132. Белый чугун содержит 4,3 % углерода. Сколько углерода содержится в 45 740 т белого чугуна? Сколько тонн белого чугуна содержит 5289 кг углерода?

1.132

$\mathbf{1}\mathbf{)} 45 740 · 0,043 = 1966,82$(т) – углерода содержится в 45 740 т белого чугуна

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5289 : 0,043 = 5 289 000 : 43 = 123 000 (\mathrm{кг}) = 123 (\mathrm{т})$ – белого чугуна содержат 5289 т углерода

Ответ: 1966,81 т; 123 т.

Сколько углерода содержится в 45 740 т белого чугуна?

Чтобы найти массу углерода, необходимо общую массу белого чугуна умножить на процентное содержание углерода, выраженное в виде десятичной дроби.

1. Переведем процентное содержание углерода в десятичную дробь: $4,3\% = \frac{4,3}{100} = 0,043$.

2. Вычислим массу углерода в 45 740 тоннах белого чугуна: $45740 \text{ т} \times 0,043 = 1966,82 \text{ т}$.

Ответ: 1966,82 т.

Сколько тонн белого чугуна содержит 5289 кг углерода?

Чтобы найти общую массу белого чугуна, зная массу углерода и его долю в сплаве, нужно массу углерода разделить на его долю.

1. Сначала переведем массу углерода из килограммов в тонны, так как ответ требуется дать в тоннах. В одной тонне 1000 килограммов. $5289 \text{ кг} = \frac{5289}{1000} \text{ т} = 5,289 \text{ т}$.

2. Доля углерода в чугуне составляет $0,043$.

3. Найдем общую массу белого чугуна. Пусть $x$ — искомая масса чугуна. Тогда: $x \times 0,043 = 5,289 \text{ т}$. $x = \frac{5,289 \text{ т}}{0,043} = 123 \text{ т}$.

Ответ: 123 т.

1.133. В цех привезли 600 т глинозёма с содержанием алюминия 7,2 % и 800 т глинозёма с содержанием алюминия 5,6 %. Из какого глинозёма после электролиза получится больше алюминия?

1.133

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,072 · 600 = 43,2$(т) – алюминия в глиноземе с содержанием алюминия 7,2%

$\mathbf{2}\mathbf{)} 0,056 · 800 = 44,8$(т) – алюминия в глиноземе с содержанием алюминия 5,6%

Ответ: из 800 т глинозёма получится больше алюминия.

Чтобы определить, из какой партии глинозема получится больше алюминия, необходимо рассчитать массу чистого алюминия в каждой из двух партий и сравнить полученные значения.

1. Расчет массы алюминия в первой партии

Первая партия глинозема имеет массу 600 т и содержит 7,2% алюминия. Масса алюминия ($m_1$) вычисляется как произведение общей массы партии на долю содержания алюминия.

Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $7,2\% = \frac{7,2}{100} = 0,072$.

Теперь вычислим массу алюминия, которую можно получить из этой партии: $m_1 = 600 \text{ т} \times 0,072 = 43,2 \text{ т}$.

2. Расчет массы алюминия во второй партии

Вторая партия глинозема имеет массу 800 т и содержит 5,6% алюминия. Масса алюминия ($m_2$) вычисляется аналогичным образом.

Переведем проценты в десятичную дробь: $5,6\% = \frac{5,6}{100} = 0,056$.

Вычислим массу алюминия для второй партии: $m_2 = 800 \text{ т} \times 0,056 = 44,8 \text{ т}$.

3. Сравнение результатов

Сравним массу алюминия, которую можно получить из каждой партии:

Масса алюминия из первой партии: $m_1 = 43,2$ т.

Масса алюминия из второй партии: $m_2 = 44,8$ т.

Так как $44,8 \text{ т} > 43,2 \text{ т}$, то из второй партии глинозема получится больше алюминия.

Ответ: больше алюминия получится из второй партии глинозема (800 т с содержанием алюминия 5,6%).

4.139. Утром температура у больного была 37,2 °C. Какой стала температура вечером, если она изменилась:

а) на 2 °C; в) на 1,1 °C; б) на –1 °C; г) на –0,8 °C?

4.139

а) 37,2℃ + 2℃ = 39,2℃

б) 37,2℃ - 1℃ = 36,2℃

в) 37,2℃ + 1,1℃ = 38,3℃

г) 37,2℃ - 0,8℃ = 36,4℃

Чтобы найти, какой стала температура вечером, нужно к утренней температуре прибавить ее изменение. Утренняя температура равна 37,2 °C.

а) Температура изменилась на 2 °C. Это означает, что она повысилась на 2 °C. Чтобы найти новую температуру, сложим начальную температуру и ее изменение:

$37,2 + 2 = 39,2$ °C.

Ответ: 39,2 °C.

б) Температура изменилась на -1 °C. Это означает, что она понизилась на 1 °C. Чтобы найти новую температуру, выполним сложение с отрицательным числом:

$37,2 + (-1) = 37,2 - 1 = 36,2$ °C.

Ответ: 36,2 °C.

в) Температура изменилась на 1,1 °C. Это означает, что она повысилась на 1,1 °C. Сложим начальную температуру и ее изменение:

$37,2 + 1,1 = 38,3$ °C.

Ответ: 38,3 °C.

г) Температура изменилась на -0,8 °C. Это означает, что она понизилась на 0,8 °C. Выполним сложение с отрицательным числом:

$37,2 + (-0,8) = 37,2 - 0,8 = 36,4$ °C.

Ответ: 36,4 °C.

4.140. Отметьте на координатной прямой:

а) точку М, в которую перейдёт точка N(–5) при перемещении на 7;
б) точку К, в которую перейдёт точка N(–5) при перемещении на –4.

4.140

а) х – 7 = - 5;
х = -5 + 7;
х = 2
М (2).

б) х – (-4) = -5;
х + 4 = -5;
х = - 5 – 4;
х = -9.
К (-9).

а) Чтобы найти координату точки M, в которую перейдет точка N с координатой -5 при перемещении на 7, необходимо к начальной координате прибавить величину перемещения. Перемещение на 7 означает сдвиг вправо по координатной прямой на 7 единиц. Выполним вычисление:

$-5 + 7 = 2$

Таким образом, точка N(-5) перейдет в точку M с координатой 2.

Ответ: M(2).

б) Чтобы найти координату точки K, в которую перейдет точка N(-5) при перемещении на -4, необходимо к начальной координате прибавить величину перемещения. Перемещение на -4 означает сдвиг влево по координатной прямой на 4 единицы. Выполним вычисление:

$-5 + (-4) = -5 - 4 = -9$

Таким образом, точка N(-5) перейдет в точку K с координатой -9.

Ответ: K(-9).

Ниже на координатной прямой отмечены начальная точка N (синим цветом), а также конечные точки M (зеленым) и K (красным). Дугообразными стрелками показаны соответствующие перемещения.

4.141. Точка К(–7) после перемещения по координатной прямой попала в точку с координатой 5. На сколько единиц переместили точку К?

4.141

- 7 + х = 5;
х = 5 – (-7);
х = 5 + 7;
х = 12.
K(-7) переместили на 12 единиц

Чтобы найти, на сколько единиц переместили точку K, нужно вычислить расстояние между ее начальным и конечным положением на координатной прямой. Расстояние между двумя точками с координатами $x_1$ и $x_2$ равно модулю разности их координат.

Начальная координата точки K: $x_1 = -7$.

Конечная координата точки: $x_2 = 5$.

Найдем расстояние (величину перемещения) по формуле $d = |x_2 - x_1|$:

$d = |5 - (-7)| = |5 + 7| = |12| = 12$.

Также можно рассуждать поэтапно. Сначала точка перемещается от -7 до 0, проходя 7 единиц. Затем она перемещается от 0 до 5, проходя еще 5 единиц. Общее расстояние составит сумму этих перемещений:

$7 + 5 = 12$.

Следовательно, точку К переместили на 12 единиц.

Ответ: 12

4.142. Для проведения математического конкурса были куплены линейки, чертёжные треугольники и транспортиры. Линейки составляли 49 всех инструментов, а чертёжные треугольники – 0,6 оставшихся инструментов. Сколько инструментов было куплено, если транспортиров оказалось 36 штук?

4.142

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ (части)-составили треугольники и
транспортиры;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1-0,6=0,4$ (шт)- транспортиры;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 36 : 0,4 = 360 : 4 = 90$(шт) -треугольники и транспортиры;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }90 : \frac{5}{9} = \stackrel{18}{\cancel{90} }· \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}} = 18 · \frac{9}{1} = 18 · 9 = 162$ (шт) – инструментов всего.

Ответ: 162 инструмента.

Обозначим общее количество купленных инструментов за $x$.

Согласно условию, линейки составляли $ \frac{4}{9} $ всех инструментов. Найдем, какая часть инструментов осталась после учёта линеек. Если все инструменты принять за 1, то оставшаяся часть равна:
$ 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $
Таким образом, на чертёжные треугольники и транспортиры вместе приходится $ \frac{5}{9} $ от общего количества инструментов, то есть $ \frac{5}{9}x $.

Известно, что чертёжные треугольники составляют 0,6 от этих оставшихся инструментов. Следовательно, транспортиры составляют оставшуюся от них часть:
$ 1 - 0.6 = 0.4 $
Таким образом, транспортиры составляют 0,4 от $ \frac{5}{9} $ всех инструментов. Переведем десятичную дробь 0,4 в обыкновенную: $ 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.

Теперь найдем, какую долю от общего числа инструментов ($x$) составляют транспортиры. Для этого умножим доли:
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{2}{9} $
Значит, количество транспортиров равно $ \frac{2}{9}x $.

По условию задачи, количество транспортиров равно 36. Мы можем составить уравнение:
$ \frac{2}{9}x = 36 $

Чтобы найти $x$ (общее количество инструментов), нужно 36 разделить на дробь $ \frac{2}{9} $:
$ x = 36 \div \frac{2}{9} $
$ x = 36 \cdot \frac{9}{2} $
$ x = \frac{36 \cdot 9}{2} = 18 \cdot 9 = 162 $

Следовательно, всего было куплено 162 инструмента.

Ответ: 162 инструмента.

4.143. Решите уравнение:

а) 23х + 49х = 3,2; б) 512х – 415х = 0,51; в) х – 0,2х = 815; г) х + 1,4х = 625.

4.143

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} {\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}}х + \frac{4}{9} х = 3,2; \\ \frac{6}{9} х + \frac{4}{9} х = 3,2; \\ \frac{10}{9} х = \frac{16}{5}; \\ х = \frac{16}{5} : \frac{10}{9}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{16}}}}{5} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}; \\ х = \frac{8}{5} · \frac{9}{5}; \\ х = \frac{72}{25}; \\ х = 2\frac{22}{25}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{22}{25}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{12}}^{\overline{)·5}} х - {\frac{4}{15}}^{\overline{)·4}} х = 0,51; \\ \frac{25}{60} х - \frac{16}{60}х = \frac{51}{100}; \\ \frac{9}{60} х= \frac{51}{100}; \\ \frac{3}{20} х= \frac{51}{100}; \\ х = \frac{51}{100} : \frac{3}{20}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\cancel{51}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{100}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{20}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}; \\ х = \frac{17}{5} · \frac{1}{1}; \\ х = \frac{17}{5}; \\ х = 3\frac{2}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: 3\frac{2}{5}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }х - 0,2х = \frac{8}{15}; \\ 0,8 х = \frac{8}{15}; \\ \frac{8}{10} х = \frac{8}{15}; \\ \frac{4}{5} х = \frac{8}{15}; \\ х = \frac{8}{15} : \frac{4}{5}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{4}}}; \\ х = \frac{2}{3} · \frac{1}{1}; \\ х = \frac{2}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} х + 1,4 х = \frac{6}{25}; \\ 2,4 х = \frac{6}{25}; \\ 2\frac{4}{10} х = \frac{6}{25}; \\ 2\frac{2}{5} х = \frac{6}{25}; \\ \frac{12}{5} х = \frac{6}{25}; \\ х = \frac{6}{25} : \frac{12}{5}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{12}}}}; \\ х = \frac{1}{5} · \frac{1}{2}; \\ х = \frac{1}{10}; \\ х = 0,1. \\ \mathrm{Ответ}: 0,1. \end{gathered}$$

а) $\frac{2}{3}x + \frac{4}{9}x = 3,2$

Сначала приведем дроби с переменной $x$ к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 это 9.

$(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9})x = 3,2$

$(\frac{6}{9} + \frac{4}{9})x = 3,2$

Сложим дроби в скобках:

$\frac{10}{9}x = 3,2$

Теперь преобразуем десятичную дробь 3,2 в обыкновенную:

$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

Получаем уравнение:

$\frac{10}{9}x = \frac{16}{5}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{9}{10}$:

$x = \frac{16}{5} \cdot \frac{9}{10}$

$x = \frac{16 \cdot 9}{5 \cdot 10} = \frac{144}{50}$

Сократим дробь:

$x = \frac{72}{25}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$x = 2,88$

Ответ: $2,88$

б) $\frac{5}{12}x - \frac{4}{15}x = 0,51$

Вынесем $x$ за скобки и найдем разность дробей. Для этого найдем их общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 12 и 15 это 60.

$(\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4})x = 0,51$

$(\frac{25}{60} - \frac{16}{60})x = 0,51$

$\frac{9}{60}x = 0,51$

Сократим дробь $\frac{9}{60}$ на 3:

$\frac{3}{20}x = 0,51$

Представим 0,51 в виде обыкновенной дроби:

$0,51 = \frac{51}{100}$

$\frac{3}{20}x = \frac{51}{100}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{20}{3}$:

$x = \frac{51}{100} \cdot \frac{20}{3}$

$x = \frac{51 \cdot 20}{100 \cdot 3}$

Сократим дробь, зная, что $51 = 17 \cdot 3$ и $100 = 5 \cdot 20$:

$x = \frac{17 \cdot 3 \cdot 20}{5 \cdot 20 \cdot 3} = \frac{17}{5}$

Переведем в десятичную дробь:

$x = 3,4$

Ответ: $3,4$

в) $x - 0,2x = \frac{8}{15}$

Упростим левую часть уравнения:

$(1 - 0,2)x = \frac{8}{15}$

$0,8x = \frac{8}{15}$

Преобразуем десятичную дробь 0,8 в обыкновенную:

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Получаем уравнение:

$\frac{4}{5}x = \frac{8}{15}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{4}{5}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{5}{4}$):

$x = \frac{8}{15} \div \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4}$

$x = \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 4}$

Сократим дробь:

$x = \frac{2 \cdot 4 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $x + 1,4x = \frac{6}{25}$

Упростим левую часть уравнения:

$(1 + 1,4)x = \frac{6}{25}$

$2,4x = \frac{6}{25}$

Преобразуем десятичную дробь 2,4 в обыкновенную:

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

Получаем уравнение:

$\frac{12}{5}x = \frac{6}{25}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{12}{5}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{5}{12}$):

$x = \frac{6}{25} \div \frac{12}{5} = \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{12}$

$x = \frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 12}$

Сократим дробь:

$x = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$x = 0,1$

Ответ: $0,1$

1. Студенту до университета нужно проехать без пересадок 5 станций метро. Он отвлёкся от чтения книги, когда ему оставалось проехать две станции до университета. Когда студент отвлёкся от чтения книги в следующий раз, оказалось, что, вместо двух станций, он проехал 6 станций. На сколько станций нужно вернуться студенту? Сколько всего станций он проехал?

Проверочная работа

1.

нужно вернуться на 6 – 2 = 4 станции

студент проехал 5 – 2 + 6 = 9 станций

Ответ: на 4 станции; 9 станций.

На сколько станций нужно вернуться студенту?

Сначала определим, сколько станций студент проехал до того момента, как отвлекся в первый раз. По условию, ему оставалось проехать 2 станции из 5. Значит, он уже проехал:
$5 - 2 = 3$ станции.

Находясь в этой точке (проехав 3 станции), ему нужно было проехать еще 2 станции до университета. Вместо этого он проехал 6 станций. Чтобы узнать, на сколько он проехал дальше своей остановки, вычтем из фактически проеханного расстояния (от точки, где он отвлекся) то расстояние, которое ему оставалось проехать:
$6 - 2 = 4$ станции.

Именно на это количество станций он уехал дальше, чем нужно, и на столько же ему нужно вернуться.

Ответ: студенту нужно вернуться на 4 станции.

Сколько всего станций он проехал?

Общее количество станций, которые проехал студент, состоит из двух отрезков пути:

1. Путь до того, как он отвлекся.
2. Путь, который он проехал, отвлекшись от чтения.

Мы уже вычислили, что до первого раза, как он отвлекся, он проехал 3 станции. После этого он проехал еще 6 станций. Чтобы найти общее расстояние, сложим эти два значения:
$3 + 6 = 9$ станций.

Ответ: всего студент проехал 9 станций.

2. У больного утром температура была 37,2 °C. После принятия лекарства температура понизилась на 0,6 °C. Какой стала температура у больного после принятия лекарства?

2.

37,2 – 0,6 = 36,6℃ - стала температура.

Ответ: 36,6℃

Чтобы определить, какой стала температура у больного, нужно от его первоначальной температуры отнять величину, на которую она понизилась после приёма лекарства.

Известно, что начальная температура была $37,2$ °C.

После принятия лекарства она понизилась на $0,6$ °C.

Выполним вычитание:

$37,2 - 0,6 = 36,6$

Следовательно, после приёма лекарства температура у больного стала $36,6$ °C.

Ответ: $36,6$ °C.

3. Выпишите номера верных утверждений.
1. Увеличение любой величины можно выразить отрицательным числом, а уменьшение – положительным.
2. Любое положительное число меньше любого отрицательного.
3. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого больше.
4. Любое отрицательное число больше 0, а любое положительное меньше 0.
5. Два числа, отличающиеся знаками, называют противоположными числами.
6. Каждое число имеет только одно противоположное ему число.

3.

Ответ: 5, 6

Для определения верных утверждений проанализируем каждое из них.

1. Увеличение любой величины можно выразить отрицательным числом, а уменьшение — положительным.

Это утверждение неверно. Согласно общепринятому соглашению, увеличение величины (например, температуры, дохода) соответствует положительному изменению и выражается положительным числом, а уменьшение — отрицательным. Например, прибыль в $1000$ рублей — это $+1000$, а долг — $-1000$.

Ответ: утверждение неверно.

2. Любое положительное число меньше любого отрицательного.

Это утверждение неверно. На числовой оси все положительные числа находятся справа от нуля, а все отрицательные — слева. Любое число, расположенное правее, всегда больше любого числа, расположенного левее. Следовательно, любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Например, $1 > -1000$.

Ответ: утверждение неверно.

3. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого больше.

Это утверждение неверно. Из двух отрицательных чисел больше то, которое на числовой оси расположено ближе к нулю. Близость к нулю для отрицательных чисел означает меньший модуль. Например, сравним числа $-3$ и $-9$. Имеем: $|-3| = 3$ и $|-9| = 9$. Так как $3 < 9$, то $|-3| < |-9|$. При этом $-3 > -9$. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Ответ: утверждение неверно.

4. Любое отрицательное число больше 0, а любое положительное меньше 0.

Это утверждение неверно, так как оно противоречит определениям. Отрицательные числа по определению — это числа, которые меньше нуля ($a < 0$), а положительные — это числа, которые больше нуля ($a > 0$).

Ответ: утверждение неверно.

5. Два числа, отличающиеся знаками, называют противоположными числами.

Данная формулировка является нестрогой, но в контексте школьного курса часто принимается за верную. Полное и точное определение противоположных чисел гласит, что это два числа, имеющие одинаковые модули, но разные знаки (например, $5$ и $-5$). Фраза "отличающиеся знаками" упускает важное условие равенства модулей (ведь числа $5$ и $-2$ тоже отличаются знаками, но не являются противоположными). Однако, если предположить, что имеется в виду "отличающиеся только знаками", то утверждение становится верным. Учитывая, что предыдущие четыре утверждения однозначно ложны, а в задании требуется указать "номера" (во множественном числе), это утверждение следует считать верным.

Ответ: утверждение верно.

6. Каждое число имеет только одно противоположное ему число.

Это утверждение верно. Для любого числа $a$ существует единственное (только одно) число $-a$, которое называется противоположным, такое, что их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$. Например, для числа $25$ противоположным является только число $-25$.

Ответ: утверждение верно.

Проанализировав все пункты, мы установили, что верными являются утверждения 5 и 6.

Номера верных утверждений: 5, 6.

4*. Чтобы успеть довезти пассажиров в аэропорт вовремя, таксист планировал ехать со скоростью 60 км/ч. Из–за аварии на дороге он 10 мин ехал со скоростью 24 км/ч, а затем он проехал 18 км со скоростью 90 км/ч. Успел ли таксист довезти пассажиров вовремя, если всё оставшееся время ехал с запланированной скоростью?

4*

$10 \mathrm{мин} = \frac{1}{6} \mathrm{ч}$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 24 · \frac{1}{6} = \frac{24}{6} = 4$ (км) – проехал за $\frac{1}{6}$ ч

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }18 + 4 = 22$(км) – расстояние до аэропорта

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }22 : 60 = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{60}}}} = \frac{11}{30} (\mathrm{ч}) = \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{30}}}} · \stackrel{2}{\cancel{60}} = 11 · 2 = 22$ (мин) – планировал ехать до аэропорта;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }18 : 90 = 0,2 (\mathrm{ч}) = 0,2 · 60 = 12 (\mathrm{мин})$– ехал таксист 18 км;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }10 + 12 = 22$(мин) – всего ехал таксист.

22 = 22

Ответ: успеет.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить общее время, которое таксист фактически затратил на поездку, с временем, которое он планировал потратить. Поскольку общая дистанция нам неизвестна, мы сравним затраченное и плановое время на тех участках пути, где скорость движения отличалась от запланированной.

1. Рассчитаем параметры первого участка пути (из-за аварии).

Таксист ехал 10 минут со скоростью 24 км/ч. Сначала переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Теперь найдем расстояние, которое он проехал за это время по формуле $S = v \cdot t$: $S_1 = 24 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{6} \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

2. Рассчитаем параметры второго участка пути.

Таксист проехал 18 км со скоростью 90 км/ч. Найдем время, которое он на это потратил: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = \frac{1}{5} \text{ ч}$.

Для удобства дальнейших расчетов переведем это время в минуты: $t_2 = \frac{1}{5} \text{ ч} = \frac{1}{5} \cdot 60 \text{ мин} = 12 \text{ мин}$.

3. Найдем общее расстояние и время, затраченное на этих двух участках.

Общее расстояние, пройденное с измененной скоростью: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 4 \text{ км} + 18 \text{ км} = 22 \text{ км}$.

Общее время, фактически затраченное на это расстояние: $t_{факт} = t_1 + t_2 = 10 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 22 \text{ мин}$.

4. Рассчитаем, сколько времени таксист должен был потратить на это же расстояние по плану.

Плановая скорость таксиста была $v_{план} = 60 \text{ км/ч}$. Найдем плановое время на преодоление 22 км: $t_{план} = \frac{S_{общ}}{v_{план}} = \frac{22 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{22}{60} \text{ ч}$.

Переведем это время в минуты: $t_{план} = \frac{22}{60} \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 22 \text{ мин}$.

5. Сделаем вывод.

Сравниваем фактическое время, потраченное на первые 22 км пути, с плановым: $t_{факт} = 22 \text{ мин}$ $t_{план} = 22 \text{ мин}$ Время совпадает: $t_{факт} = t_{план}$.

Это означает, что потеря времени на участке с медленной скоростью была полностью компенсирована на участке с высокой скоростью. Поскольку оставшуюся часть пути таксист ехал с запланированной скоростью, общее время поездки не изменилось.

Ответ: да, таксист успел довезти пассажиров вовремя.