Страница 26, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Переведите десятичную дробь в проценты:

а) 0,3; б) 5,4; в) 0,324.

Проверьте себя

Проверочная работа № 1

1.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3 = 0,3 · 100\% = 30\% \\ \mathit{б}\mathbf{)} 5,4 = 5,4 · 100\% = 540\% \\ \mathit{в}\mathbf{)} 0,324 = 0,324 · 100\% = 32,4\% \end{gathered}$$

а) Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, её необходимо умножить на 100 и добавить знак процента (%). Это действие равносильно переносу запятой в десятичной дроби на два знака вправо.
Для числа 0,3 выполняем умножение:
$0,3 \times 100\% = 30\%$.
Ответ: 30%

б) Аналогично поступаем с десятичной дробью 5,4. Умножаем её на 100, чтобы выразить в процентах:
$5,4 \times 100\% = 540\%$.
Результат превышает 100%, так как исходное число больше единицы.
Ответ: 540%

в) Для перевода десятичной дроби 0,324 в проценты также используем умножение на 100. При этом запятая сдвигается на две позиции вправо:
$0,324 \times 100\% = 32,4\%$.
Ответ: 32,4%

2. Представьте проценты в виде десятичной дроби:

а) 4%; 6) 246 %; в) 7,3%.

2.

$\mathit{а}\mathbf{)} 4\% = 4\% : 100\% = 0,04$

$\mathit{б}\mathbf{)} 246\% = 246\% : 100\% = 2,46$

$\mathit{в}\mathbf{)} 7,3\% = 7,3\% : 100\% = 0,073$

Чтобы представить проценты в виде десятичной дроби, необходимо числовое значение процентов разделить на 100. Это эквивалентно переносу десятичной запятой на два знака влево.

а) Для того чтобы представить 4% в виде десятичной дроби, нужно разделить 4 на 100.
$4\% = \frac{4}{100} = 0,04$
Ответ: 0,04

б) Для того чтобы представить 246% в виде десятичной дроби, нужно разделить 246 на 100.
$246\% = \frac{246}{100} = 2,46$
Ответ: 2,46

в) Для того чтобы представить 7,3% в виде десятичной дроби, нужно разделить 7,3 на 100.
$7,3\% = \frac{7,3}{100} = 0,073$
Ответ: 0,073

3. Какие из утверждений верны?

а) 1 мм составляет 1 % от 1 дм;

б) 1 м составляет 1 % от 1 км;

в) 100 см² составляют 1 % от 1 м²;

г) 1 а составляет 1 % от 1 га;

д) * 1 мм² составляет 1 % от 1 дм²;

е) 1 см³ составляет 1 % от 1 м³.

3.

$1\% = 0,01$

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 1 дм = 100 мм \\ 0,01 · 100 мм = 1 мм \\ 1 мм = 1 мм \end{gathered}$$

утверждение верно

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1 км = 1000 м \\ 0,01 · 1000 м = 10 м \\ 1 м \ne 10 м \end{gathered}$$

утверждение неверно

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1 {м}^2 = 10 000 с{м}^2 \\ 0,01 · 10 000 с{м}^2 = 100 с{м}^2 \\ 100 с{м}^2 = 100 с{м}^2 \end{gathered}$$

утверждение верно

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 1 га = 100 а \\ 0,01 · 100 а = 1 а \\ 1 а = 1 а \end{gathered}$$

утверждение верно

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 1 д{м}^2 = 100 с{м}^2 = 10 000 м{м}^2 \\ 0,01 · 10 000 м{м}^2 = 100 мм{ }^2 \\ 1 мм2 \ne 100 м{м}^2 \end{gathered}$$

утверждение неверно

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 1 {м}^3 = 1 000 000 с{м}^3 \\ 0,01 · 1 000 000 с{м}^{3 }= 10000 с{м}^3 \\ 1 с{м}^3 = 10000 с{м}^3 \end{gathered}$$

утверждение неверно

Ответ: а, в, г.

Чтобы определить, какие из утверждений верны, проверим каждое из них, находя 1% от указанной величины и сравнивая результат с данным в утверждении значением.

а) 1 мм составляет 1% от 1 дм;
Сначала переведем дециметры в миллиметры. В 1 дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см), а в 1 сантиметре – 10 миллиметров (мм).
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Теперь найдем 1% от этой величины. Один процент – это одна сотая часть числа.
$1\% \text{ от } 100 \text{ мм} = \frac{1}{100} \cdot 100 \text{ мм} = 1 \text{ мм}$.
Утверждение гласит, что 1 мм составляет 1% от 1 дм, что совпадает с нашим расчетом.
Ответ: верно.

б) 1 м составляет 1% от 1 км;
Переведем километры (км) в метры (м). В 1 километре 1000 метров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Найдем 1% от 1 км:
$1\% \text{ от } 1000 \text{ м} = \frac{1}{100} \cdot 1000 \text{ м} = 10 \text{ м}$.
Утверждение гласит, что 1 м составляет 1% от 1 км, но по расчетам это 10 м. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) 100 см² составляют 1% от 1 м²;
Переведем квадратные метры (м²) в квадратные сантиметры (см²). Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:
$1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 100 \cdot 100 \text{ см}^2 = 10000 \text{ см}^2$.
Найдем 1% от 1 м²:
$1\% \text{ от } 10000 \text{ см}^2 = \frac{1}{100} \cdot 10000 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2$.
Это значение совпадает с указанным в утверждении.
Ответ: верно.

г) 1 а составляет 1% от 1 га;
Проверим соотношение между арами (а) и гектарами (га). 1 гектар равен 100 арам.
$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Найдем 1% от 1 га:
$1\% \text{ от } 1 \text{ га} = \frac{1}{100} \cdot 1 \text{ га} = \frac{1}{100} \cdot 100 \text{ а} = 1 \text{ а}$.
Утверждение совпадает с расчетом.
Ответ: верно.

д) 1 мм² составляет 1% от 1 дм²;
Переведем квадратные дециметры (дм²) в квадратные миллиметры (мм²). Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
$1 \text{ дм}^2 = (100 \text{ мм})^2 = 100 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 10000 \text{ мм}^2$.
Найдем 1% от 1 дм²:
$1\% \text{ от } 10000 \text{ мм}^2 = \frac{1}{100} \cdot 10000 \text{ мм}^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Утверждение гласит, что 1 мм² составляет 1% от 1 дм², но по расчетам это 100 мм². Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

е) 1 см³ составляет 1% от 1 м³.
Переведем кубические метры (м³) в кубические сантиметры (см³). Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:
$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 \text{ см}^3 = 1000000 \text{ см}^3$.
Найдем 1% от 1 м³:
$1\% \text{ от } 1000000 \text{ см}^3 = \frac{1}{100} \cdot 1000000 \text{ см}^3 = 10000 \text{ см}^3$.
Утверждение гласит, что 1 см³ составляет 1% от 1 м³, но по расчетам это 10000 см³. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4. От плитки шоколада массой 100 г сначала отломили 10 %, а затем ещё 10 % оставшейся части.

а) Какова масса первого отломленного от шоколадки кусочка?

б) Какова масса второго отломленного от шоколадки кусочка?

в) * Сколько всего процентов шоколадки отломили?

4.

$10\% = 10\% : 100\% = 0,1$

$\mathit{а}\mathbf{)} 100 г · 0,1 = 10$(г) – отломили в первый раз

Ответ: 10 г.

$\mathit{б}\mathbf{)} 1) 100 – 10 = 90$(г) – шоколада осталось;

$2) 90 · 0,1 = 9$(г) – отломили во второй раз;

Ответ: 9 г.

$\mathit{в}\mathbf{)} 1) 10 + 9 = 19$(г) – всего отломили;

$2) \frac{19}{100} · 100\% = 0,19 · 100\% = 19\%$- шоколада отломили.

Ответ: 19% отломили.

а) Какова масса первого отломленного от шоколадки кусочка?

Начальная масса плитки шоколада — 100 г. Первый раз отломили 10% от этой массы. Чтобы найти массу первого кусочка, нужно вычислить 10% от 100 г.

Представим проценты в виде десятичной дроби: $10\% = \frac{10}{100} = 0.1$.

Вычисляем массу первого кусочка: $100 \text{ г} \cdot 0.1 = 10 \text{ г}$.

Ответ: 10 г.

б) Какова масса второго отломленного от шоколадки кусочка?

Сначала определим массу шоколадки, оставшуюся после того, как отломили первый кусок.

Масса оставшейся части: $100 \text{ г} - 10 \text{ г} = 90 \text{ г}$.

Второй раз отломили 10% от оставшейся части, то есть от 90 г. Вычислим массу второго кусочка.

Масса второго кусочка: $90 \text{ г} \cdot 0.1 = 9 \text{ г}$.

Ответ: 9 г.

в) * Сколько всего процентов шоколадки отломили?

Чтобы найти общий процент отломленной части, нужно сложить массы двух кусочков и определить, какой процент они составляют от первоначальной массы плитки.

Общая масса отломленных кусочков: $10 \text{ г} + 9 \text{ г} = 19 \text{ г}$.

Теперь найдём, какой процент составляет 19 г от начальной массы 100 г.

Процент от начальной массы: $\frac{19 \text{ г}}{100 \text{ г}} \cdot 100\% = 19\%$.

Можно решить и по-другому. Первый раз отломили 10% от целого. Осталось 90% от целого. Второй раз отломили 10% от оставшихся 90%, что составляет $0.1 \cdot 90\% = 9\%$ от первоначальной массы. Таким образом, всего отломили $10\% + 9\% = 19\%$.

Ответ: 19%.

1. Найдите:

а) 3 % от 15;

б) 0,12 % от 4;

в) 130 % от 4,5;

г) 25 % от 3 246 р.;

д) 0,6 % от 20 кг;

е) * 4 % от 2 ч 15 мин.

Проверочная работа № 2

1.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3\%}{100\%} ·15 = 0,03 · 15 = 0,45.$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{0,12\%}{100\%}· 4 = 0,0012 · 4 = 0,0048.$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{130\%}{100\%}· 4,5 = 1,4 · 4,5 = 5,85.$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{25\%}{100\%} · 3246 = 0,25 · 3246 = 811,5 р$

$\mathit{д}\mathbf{)} \frac{0,6\%}{100\%} · 20 = 0,006 · 20 = 0,12 кг$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }2 ч 15 мин = 135 мин$

$$\begin{gathered} \frac{4 \% }{100\%}· 135 = 0,04 · 135 = 5,4 мин = \\ = 5 мин + 0,4 мин = \\ = 5 мин + 0,4 · 60 с = \\ =5 мин + 24 с = 5 мин 24 с. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую данному проценту. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби.
$3\% = \frac{3}{100} = 0,03$
Теперь умножим число 15 на полученную дробь:
$15 \cdot 0,03 = 0,45$
Ответ: 0,45.

б) Представим 0,12% в виде десятичной дроби.
$0,12\% = \frac{0,12}{100} = 0,0012$
Теперь умножим число 4 на полученную дробь:
$4 \cdot 0,0012 = 0,0048$
Ответ: 0,0048.

в) Представим 130% в виде десятичной дроби.
$130\% = \frac{130}{100} = 1,3$
Теперь умножим число 4,5 на полученную дробь:
$4,5 \cdot 1,3 = 5,85$
Ответ: 5,85.

г) Представим 25% в виде обыкновенной дроби. Это удобно, так как 25% — это четверть числа.
$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем четверть от 3 246 р.:
$3246 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3246}{4} = 811,5 \text{ р.}$
Ответ: 811,5 р.

д) Представим 0,6% в виде десятичной дроби.
$0,6\% = \frac{0,6}{100} = 0,006$
Теперь умножим 20 кг на полученную дробь:
$20 \text{ кг} \cdot 0,006 = 0,12 \text{ кг}$
Для удобства можно перевести килограммы в граммы ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$), $20 \text{ кг} = 20000 \text{ г}$.
$20000 \text{ г} \cdot 0,006 = 120 \text{ г}$
Ответ: 0,12 кг (или 120 г).

е)* Для нахождения процента от величины, выраженной в разных единицах, сначала приведем ее к одной единице измерения. Переведем 2 часа 15 минут в минуты.
В 1 часе 60 минут, поэтому:
$2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 \cdot 60 + 15 = 120 + 15 = 135 \text{ мин}$
Теперь найдем 4% от 135 минут. Представим 4% в виде десятичной дроби.
$4\% = \frac{4}{100} = 0,04$
$135 \text{ мин} \cdot 0,04 = 5,4 \text{ мин}$
Чтобы дать более точный ответ, переведем дробную часть минут (0,4 мин) в секунды. В 1 минуте 60 секунд.
$0,4 \text{ мин} \cdot 60 = 24 \text{ с}$
Следовательно, результат равен 5 минутам 24 секундам.
Ответ: 5,4 мин (или 5 мин 24 с).

2. Сколько человек было в кинотеатре, если 3% всех зрителей составляли 15 человек?

2.

$3 \% = 15 человек$

$3 \% = \frac{3 \%}{100 \%} = 0,03.$

$15 : 0,03 = 1500 : 3 = 500$(ч) – было в кинотеатре.

Ответ: 500 человек.

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество (целое), зная его часть и процент, который эта часть составляет. Нам дано, что 15 человек — это 3% от всех зрителей.

Сначала найдем, сколько человек составляет 1% от общего числа зрителей. Если 3% — это 15 человек, то 1% будет в три раза меньше. Для этого разделим количество человек на количество процентов:

$15 \div 3 = 5$ (человек)

Теперь мы знаем, что 1% от всех зрителей — это 5 человек.

Общее количество зрителей составляет 100%. Чтобы найти общее число, нужно количество человек в одном проценте умножить на 100:

$5 \cdot 100 = 500$ (человек)

Таким образом, всего в кинотеатре было 500 человек.

Ответ: 500 человек.

3. В парке 2400 деревьев, 30 % всех деревьев составляют берёзы, 10 % всех берёз были посажены волонтёрами.

а) Сколько берёз в парке?

б) Сколько берёз посадили волонтёры?

в) Какой процент составляют берёзы, посаженные волонтёрами, от числа всех деревьев в парке?

3.

$30\% = 30\% : 100\% = 0,3.$

$\mathit{а}\mathbf{)} 0,3 · 2400 = 720$(д) – березы.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }10\% = 10\% : 100\% = 0,1.$

$0,1 · 720 = 72$(б) – посадили волонтеры.

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{72}{2400} · 100\% = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{72}}}}{{\displaystyle \underset{100}{\bcancel{2400}}}} · 100\% =$

$=\frac{3}{100} · 100\% = 0,03 · 100\% = 3\%$- деревьев посадили волонтеры.

Ответ: а) 720д; б) 72 б.; в) 3%.

а) Сколько берёз в парке?

Для того чтобы найти общее количество берёз в парке, необходимо вычислить 30% от общего числа деревьев, которое составляет 2400.

Переведем проценты в десятичную дробь: $30\% = 0.3$.

Теперь умножим общее количество деревьев на эту долю:

$2400 \cdot 0.3 = 720$ (берёз).

Ответ: 720 берёз.

б) Сколько берёз посадили волонтёры?

Волонтёры посадили 10% от общего числа берёз. В предыдущем пункте мы выяснили, что в парке 720 берёз.

Вычислим 10% от 720:

$720 \cdot \frac{10}{100} = 720 \cdot 0.1 = 72$ (берёзы).

Ответ: 72 берёзы.

в) Какой процент составляют берёзы, посаженные волонтёрами, от числа всех деревьев в парке?

Чтобы найти, какой процент составляют берёзы, посаженные волонтёрами, от общего числа всех деревьев в парке, нужно количество этих берёз (72) разделить на общее количество деревьев (2400) и умножить результат на 100%.

$\frac{72}{2400} \cdot 100\% = 0.03 \cdot 100\% = 3\%$.

Другой способ — найти долю от доли. Берёзы составляют 30% всех деревьев, а посаженные волонтёрами берёзы составляют 10% от числа берёз. Значит, от общего числа деревьев они составляют:

$10\%$ от $30\% \rightarrow 0.10 \cdot 30\% = 3\%$.

Ответ: 3%.

1. В различных банках были открыты вклады на год. В таблице представлены данные о суммах вкладов и начислениях в конце года по каждому вкладу.

Под какую процентную ставку был открыт каждый вклад? В каком банке наиболее выгодно открыть вклад на год?

Проверочная работа № 3

1.

$\frac{1755}{39 000}· 100\% = 0,045 · 100\% = 4,5\%;$

$\frac{15750}{450 000}· 100\% = 0,035 · 100\% = 3,5\%;$

$\frac{4680}{120 000}·100\% = 0,039 · 100\% = 3,9\%;$

$\frac{111 000}{3 000 000}· 100\% = 0,037 · 100\% = 3,7\%;$

Выгоднее открыть вклад в «Первый банк».

Под какую процентную ставку был открыт каждый вклад?

Для того чтобы рассчитать годовую процентную ставку для каждого вклада, необходимо найти отношение суммы начисленных процентов к первоначальной сумме вклада, а затем выразить это отношение в процентах, умножив его на 100.
Формула для расчета процентной ставки (P):
$P = (\frac{\text{Начисления по вкладу}}{\text{Сумма вклада}}) \times 100\%$

Применим эту формулу для каждого банка из таблицы:

1. «Первый банк»:
Сумма вклада — 39 000 р., начисления — 1755 р.
$P = (\frac{1755}{39000}) \times 100\% = 0.045 \times 100\% = 4.5\%$

2. «Хороший банк»:
Сумма вклада — 450 000 р., начисления — 15 750 р.
$P = (\frac{15750}{450000}) \times 100\% = 0.035 \times 100\% = 3.5\%$

3. «Надёжный банк»:
Сумма вклада — 120 000 р., начисления — 4 680 р.
$P = (\frac{4680}{120000}) \times 100\% = 0.039 \times 100\% = 3.9\%$

4. «Солидный банк»:
Сумма вклада — 3 000 000 р., начисления — 111 000 р.
$P = (\frac{111000}{3000000}) \times 100\% = 0.037 \times 100\% = 3.7\%$

Ответ: процентные ставки по вкладам составили: «Первый банк» — 4,5%; «Хороший банк» — 3,5%; «Надёжный банк» — 3,9%; «Солидный банк» — 3,7%.

В каком банке наиболее выгодно открыть вклад на год?

Наиболее выгодный вклад — это вклад с самой высокой годовой процентной ставкой, так как он принесет наибольший доход относительно вложенной суммы. Сравним рассчитанные нами процентные ставки:
«Первый банк»: 4,5%
«Хороший банк»: 3,5%
«Надёжный банк»: 3,9%
«Солидный банк»: 3,7%
Сравнивая значения, видим, что самая высокая процентная ставка у «Первого банка».

Ответ: наиболее выгодно открыть вклад в «Первом банке».

4.104. Высота снежного покрова изменилась на z. Найдите значение z, если высота покрова:

а) понизилась на 45 см;
б) повысилась на 20 см;
в) понизилась на 2 см;
г) повысилась на 3 см.

4.104

а) z = - 45

б) z = + 20

в) z = - 2

г) z = + 3

В данной задаче переменная $z$ обозначает изменение высоты снежного покрова. Изменение может быть положительным (если высота увеличилась) или отрицательным (если высота уменьшилась). Мы должны найти значение $z$ для каждого из предложенных случаев.

а) понизилась на 45 см;

Так как высота снежного покрова понизилась, это означает отрицательное изменение. Величина изменения составляет 45 см. Следовательно, значение $z$ будет отрицательным числом.

$z = -45$ см.

Ответ: $z = -45$ см.

б) повысилась на 20 см;

Поскольку высота снежного покрова повысилась, это соответствует положительному изменению. Величина изменения составляет 20 см. Таким образом, значение $z$ будет положительным числом.

$z = +20$ см.

Ответ: $z = 20$ см.

в) понизилась на 2 см;

Высота снежного покрова понизилась, что указывает на отрицательное изменение. Величина изменения составляет 2 см. Значит, значение $z$ будет отрицательным.

$z = -2$ см.

Ответ: $z = -2$ см.

г) повысилась на 3 см.

Высота снежного покрова повысилась, что означает положительное изменение. Величина изменения составляет 3 см. Следовательно, значение $z$ будет положительным.

$z = +3$ см.

Ответ: $z = 3$ см.

4.105. На координатной прямой отмечены две точки: а) А(-6) и В(4); б) М(-3) и N(5). Какое расстояние между точками и какая из точек расположена дальше от начала отсчёта?

4.105

а) А(-6), В(4)

АВ = 10

От начала отсчета дальше всех расположена точка А(-6) – на расстоянии 6 единиц

б) М(-3), N(5)

MN = 8

От начала отсчета дальше всех расположена точка N(5) – на расстоянии 5 единиц

а) Даны точки $A(-6)$ и $B(4)$.

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из координаты правой точки вычесть координату левой точки, или, что универсальнее, найти модуль разности их координат. Координата точки B (4) больше координаты точки A (-6), поэтому точка B находится правее.

Расстояние $AB = |4 - (-6)| = |4 + 6| = |10| = 10$.

Чтобы определить, какая из точек расположена дальше от начала отсчёта (точки с координатой 0), нужно найти расстояние от каждой точки до нуля. Это расстояние равно модулю координаты точки.

Расстояние от точки A(-6) до начала отсчёта: $|-6| = 6$.

Расстояние от точки B(4) до начала отсчёта: $|4| = 4$.

Так как $6 > 4$, точка A(-6) расположена дальше от начала отсчёта.

Ответ: расстояние между точками равно 10; точка A(-6) расположена дальше от начала отсчёта.

б) Даны точки $M(-3)$ и $N(5)$.

Найдем расстояние между точками M и N по формуле расстояния между точками на прямой: модуль разности их координат.

Расстояние $MN = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$.

Теперь определим, какая из точек расположена дальше от начала отсчёта, сравнив модули их координат.

Расстояние от точки M(-3) до начала отсчёта: $|-3| = 3$.

Расстояние от точки N(5) до начала отсчёта: $|5| = 5$.

Так как $5 > 3$, точка N(5) расположена дальше от начала отсчёта.

Ответ: расстояние между точками равно 8; точка N(5) расположена дальше от начала отсчёта.

4.106. На улице температура n °C, а в автомобиле m °C. На сколько градусов температура на улице ниже, чем в автомобиле? Решите задачу при:

а) n = 12, m = 20; б) n = –11, m = 19.

4.106

а) n = 12°C, m = 20°C

m – n = 20°C - 12°C = 8°C – температура на улице ниже.

б) n = -11°C, m = 19°C

m – n = 19°C - (-11°C)= 19°C +11°C= 30°C – температура на улице ниже.

Чтобы найти, на сколько градусов температура на улице ($n$ °C) ниже, чем в автомобиле ($m$ °C), необходимо найти разность между температурой в автомобиле и температурой на улице. Расчет производится по формуле: $m - n$.

а) Подставим значения $n = 12$ и $m = 20$ в формулу.
Разность температур составляет:
$m - n = 20 - 12 = 8$ (°C).
Следовательно, температура на улице на 8 градусов ниже, чем в автомобиле.
Ответ: на 8 °C.

б) Подставим значения $n = -11$ и $m = 19$ в формулу.
Разность температур составляет:
$m - n = 19 - (-11) = 19 + 11 = 30$ (°C).
Следовательно, температура на улице на 30 градусов ниже, чем в автомобиле.
Ответ: на 30 °C.

4.107. Назовите числа, модуль которых равен 3; 15,6; 44142; 0; 1; –(–5).

4.107

3 = |3| = |-3|

15,6 = |15,6| = |-15,6|

$4\frac{41}{42} = \left|4\frac{41}{42}\right| = \left|-4\frac{41}{42}\right|$

0 = |0|

1 = |1| = |-1|

-(-5) = 5 = |5| = |-5|

Модуль (абсолютная величина) числа — это его значение без учета знака. Геометрически модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой.

• Если число положительное или равно нулю, его модуль равен самому числу. Например, $|5| = 5$, $|0| = 0$.
• Если число отрицательное, его модуль равен противоположному ему положительному числу. Например, $|-5| = 5$.

Таким образом, для любого положительного числа $a$, уравнение $|x| = a$ имеет два решения: $x = a$ и $x = -a$. Для $a=0$ решение одно: $x=0$.

3:

Требуется найти числа, модуль которых равен 3. Это означает, что мы ищем значения $x$, для которых выполняется равенство $|x| = 3$. Поскольку 3 — положительное число, этому условию удовлетворяют два числа: 3 и -3.
Ответ: 3; -3.

15,6:

Требуется найти числа, модуль которых равен 15,6. Мы решаем уравнение $|x| = 15,6$. Так как 15,6 — положительное число, решениями являются 15,6 и -15,6.
Ответ: 15,6; -15,6.

$4\frac{41}{42}$:

Требуется найти числа, модуль которых равен $4\frac{41}{42}$. Мы решаем уравнение $|x| = 4\frac{41}{42}$. Поскольку $4\frac{41}{42}$ — положительное число, этому условию удовлетворяют два числа: $4\frac{41}{42}$ и $-4\frac{41}{42}$.
Ответ: $4\frac{41}{42}$; $-4\frac{41}{42}$.

0:

Требуется найти число, модуль которого равен 0. Мы решаем уравнение $|x| = 0$. Единственное число, расстояние от которого до нуля равно нулю, — это сам ноль.
Ответ: 0.

1:

Требуется найти числа, модуль которых равен 1. Мы решаем уравнение $|x| = 1$. Так как 1 — положительное число, решениями являются 1 и -1.
Ответ: 1; -1.

-(-5):

Сначала необходимо упростить заданное значение: $-(-5) = 5$. Теперь требуется найти числа, модуль которых равен 5. Мы решаем уравнение $|x| = 5$. Поскольку 5 — положительное число, искомыми числами являются 5 и -5.
Ответ: 5; -5.

4.108. Найдите координаты точек К, N и Р, если известна координата точки R (рис. 4.21).

4.108

$N\left(-\frac{\mathrm{m}}{2}\right), P\left(\frac{\mathrm{m}}{2}\right), K\left(m\right)$

Для решения задачи проанализируем положение точек на координатной оси, представленной на рисунке. Точка O — это начало отсчета с координатой 0. Точка R имеет координату $-m$. Это означает, что расстояние от точки O до точки R (модуль координаты) равно $|-m| = m$. Предполагая, что $m$ — положительное число, точка R находится на отрицательной полуоси. Остальные точки расположены симметрично или на равных расстояниях друг от друга.

K

Точка K расположена на положительной части оси. Из рисунка видно, что точки K и R находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета O, то есть они симметричны относительно нуля. Расстояние от O до R равно $m$. Следовательно, расстояние от O до K также равно $m$. Поскольку точка K находится на положительной (правой) стороне от нуля, ее координата будет положительной.

Таким образом, координата точки K равна $m$.

Ответ: $K(m)$.

N

Точка N расположена на отрицательной части оси, между точками R и O. Визуально точка N является серединой отрезка RO. Координату середины отрезка можно найти как среднее арифметическое координат его концов. Координаты концов отрезка: $R(-m)$ и $O(0)$.

Координата точки N вычисляется по формуле: $ \frac{x_R + x_O}{2} = \frac{-m + 0}{2} = -\frac{m}{2} $.

Таким образом, координата точки N равна $-\frac{m}{2}$.

Ответ: $N(-\frac{m}{2})$.

P

Точка P расположена на положительной части оси. Из рисунка видно, что точки P и N симметричны относительно начала отсчета O. Это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но на разных сторонах, и их координаты являются противоположными числами. Координата точки N равна $-\frac{m}{2}$.

Координата точки P будет противоположным числом: $-(-\frac{m}{2}) = \frac{m}{2}$.

Таким образом, координата точки P равна $\frac{m}{2}$.

Ответ: $P(\frac{m}{2})$.

4.109. Старинная задача. У первого купца было 520 рублей и он был должен второму 170 рублей. У второго купца было 760 рублей и он был должен первому 250 рублей. Сколько денег останется у каждого купца после расчётов?

Сформулируйте задачу, используя понятие отрицательного числа.

4.109

1) 250 – 170 = 80 (р) – должен 2 купец 1;

2) 520 + 80 = 600 (р) – останется у 1 купца;

3) 760 – 80 = 680 (р) – останется у 2 купца.

Ответ: 600 р. и 680 р.

Сколько денег останется у каждого купца после расчётов?
Для того чтобы рассчитать итоговую сумму денег у каждого купца, необходимо учесть их начальные средства, а также взаимные долги. Долг одного купца другому уменьшает его средства, но увеличивает средства того, кому он должен.

1. Расчёт для первого купца:
У него было 520 рублей. Он должен отдать второму 170 рублей (уменьшение средств) и получить от второго 250 рублей (увеличение средств).
Итоговая сумма у первого купца: $520 - 170 + 250 = 350 + 250 = 600$ рублей.

2. Расчёт для второго купца:
У него было 760 рублей. Он должен отдать первому 250 рублей (уменьшение средств) и получить от первого 170 рублей (увеличение средств).
Итоговая сумма у второго купца: $760 - 250 + 170 = 510 + 170 = 680$ рублей.

Проверить решение можно, вычислив чистый долг. Второй купец должен первому 250 рублей, а первый второму — 170 рублей. Следовательно, для полного расчёта второй купец должен заплатить первому разницу: $250 - 170 = 80$ рублей.
Тогда у первого станет: $520 + 80 = 600$ рублей.
А у второго останется: $760 - 80 = 680$ рублей.

Ответ: после расчётов у первого купца будет 600 рублей, а у второго купца — 680 рублей.

Сформулируйте задачу, используя понятие отрицательного числа.
Для того чтобы переформулировать задачу, можно представить долг (то, что нужно отдать) как отрицательное число, а деньги, которые должны вернуть (то, что нужно получить), — как положительное. Эти суммы показывают изменение капитала каждого купца.

Ответ: У первого купца было 520 рублей, а у второго — 760 рублей. В результате взаимных долговых обязательств капитал первого купца изменился на сумму $250 + (-170)$ рублей, а капитал второго купца — на сумму $170 + (-250)$ рублей. Сколько денег стало у каждого купца после проведения всех расчётов?

4.110. Найдите несколько значений n, при которых равенство n + |n| = 0: а) верно; б) неверно.

4.110

n + |n| = 0

а) верно при n = -7,3; -12; -0,99; 0

б) неверно при n = 5,6; 21; 658; 12

Для решения этой задачи проанализируем равенство $n + |n| = 0$, используя определение модуля числа. Модуль числа $|n|$ равен самому числу $n$, если $n$ не является отрицательным ($n \geq 0$), и равен противоположному числу $-n$, если $n$ является отрицательным ($n < 0$).

а) Найдём значения $n$, при которых равенство $n + |n| = 0$ верно.

Рассмотрим два возможных случая для значения $n$.
1. Если $n \geq 0$ (неотрицательное число), то по определению $|n| = n$. Подставим это в наше равенство: $n + n = 0$
$2n = 0$
$n = 0$
Значение $n = 0$ удовлетворяет условию $n \geq 0$, значит, это одно из решений.

2. Если $n < 0$ (отрицательное число), то по определению $|n| = -n$. Подставим это в равенство: $n + (-n) = 0$
$0 = 0$
Это тождество, которое верно для любого значения $n$, удовлетворяющего условию $n < 0$.

Объединив результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что равенство $n + |n| = 0$ верно для $n=0$ и для всех отрицательных чисел, то есть для любого $n \leq 0$.
В качестве нескольких значений можно взять, например, $n = -25$, $n = -4.5$, $n = 0$.

Ответ: например, при $n = -10$, $n = -1$, $n = 0$.

б) Найдём значения $n$, при которых равенство $n + |n| = 0$ неверно.

Из предыдущего пункта мы выяснили, что равенство верно при $n \leq 0$. Следовательно, оно будет неверным для всех остальных значений $n$, то есть для всех положительных чисел ($n > 0$).

Проверим это. Если $n > 0$, то $|n| = n$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть так: $n + |n| = n + n = 2n$
Поскольку по условию $n > 0$, то произведение $2n$ также будет строго больше нуля ($2n > 0$). Значит, оно не может быть равно нулю.

Таким образом, для любого положительного числа $n$ равенство $n + |n| = 0$ будет неверным.
В качестве нескольких значений можно взять, например, $n = 1$, $n = 8$, $n = 23.4$.

Ответ: например, при $n = 2$, $n = 7$, $n = 50$.

4.111. В каком веке возник каждый из городов, если в 2021 г. возраст Москвы составлял 874 года, Санкт-Петербурга — 318 лет, Пскова — 1118 лет, Великого Новгорода — 1162 года, Тобольска — 434 года, Дербента — 1350 лет, Керчи — 2621 год, Севастополя — 238 лет, Хабаровска — 163 года? Найдите эти города на карте России.

4.111

Москва: 2021 – 874 = 1147 год – XII век

Санкт – Петербург: 2021 – 318 = 1703 год – XVIII век

Псков: 2021 – 1118 = 903 год – X век

Великий Новгород: 2021 – 1162 = 859 год – IX век

Тобольск: 2021 – 434 = 1587 год – XVI век

Дербент: 2021 – 1350 = 671 год – VII век

Керчь: 2621 – 2021 = 600 год до н.э. – VII век до н.э.

Севастополь: 2021 – 238 = 1783 год – XVIII век

Хабаровск: 2021 – 163 = 1858 год – XIX век

Чтобы определить век, в котором возник каждый город, сначала найдем год его основания. Для этого из 2021 года вычтем возраст города, указанный в условии. Затем по полученному году определим век. Век — это столетний период. Номер века для годов нашей эры (н.э.) можно вычислить, разделив год на 100 и округлив результат до ближайшего целого числа в большую сторону (например, 1147 год → $\lceil 1147/100 \rceil = \lceil 11.47 \rceil = 12$, то есть XII век). Аналогичное правило действует и для годов до нашей эры (до н.э.).

Москва

Год основания: $2021 - 874 = 1147$ год. Этот год относится к XII веку.
Ответ: XII век.

Санкт-Петербург

Год основания: $2021 - 318 = 1703$ год. Этот год относится к XVIII веку.
Ответ: XVIII век.

Псков

Год основания: $2021 - 1118 = 903$ год. Этот год относится к X веку.
Ответ: X век.

Великий Новгород

Год основания: $2021 - 1162 = 859$ год. Этот год относится к IX веку.
Ответ: IX век.

Тобольск

Год основания: $2021 - 434 = 1587$ год. Этот год относится к XVI веку.
Ответ: XVI век.

Дербент

Год основания: $2021 - 1350 = 671$ год. Этот год относится к VII веку.
Ответ: VII век.

Керчь

Год основания: $2021 - 2621 = -600$. Это соответствует 600 году до нашей эры. Этот год относится к VI веку до н.э.
Ответ: VI век до н.э.

Севастополь

Год основания: $2021 - 238 = 1783$ год. Этот год относится к XVIII веку.
Ответ: XVIII век.

Хабаровск

Год основания: $2021 - 163 = 1858$ год. Этот год относится к XIX веку.
Ответ: XIX век.

Часть задания «Найдите эти города на карте России» является практическим упражнением и предполагает самостоятельную работу с географической картой.

4.112. Вычислите значение выражения:

а) |а| + |с| при а = -63,6, с = 61,9;

б) |а| - |с| при а = -73,2, с = -5,8.

4.112

а) а = -63,6, с = 61,9

|a| + |c| = |-63,6| + |61,9| = 63,6 + 61,9 = 125,5

б) а = -73,2, с = -5,8

|a| - |c| = |-73,2| - |-5,8| = 73,2 - 5,8 = 67,4

а)

Чтобы вычислить значение выражения $|a| + |c|$ при $a = -63,6$ и $c = 61,9$, необходимо сначала найти значения модулей (абсолютных величин) этих чисел.

Модуль числа — это его значение без учета знака. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу.

Найдем модуль числа $a$: $|a| = |-63,6| = 63,6$.

Найдем модуль числа $c$: $|c| = |61,9| = 61,9$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним сложение: $|a| + |c| = 63,6 + 61,9 = 125,5$.

Ответ: $125,5$.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $|a| - |c|$ при $a = -73,2$ и $c = -5,8$, мы также сначала находим модули этих чисел.

Найдем модуль числа $a$: $|a| = |-73,2| = 73,2$.

Найдем модуль числа $c$: $|c| = |-5,8| = 5,8$.

Далее подставим найденные значения в выражение и выполним вычитание: $|a| - |c| = 73,2 - 5,8 = 67,4$.

Ответ: $67,4$.

4.113. Модуль какого из двух чисел меньше:

а) –5,923 и –5,931; б) 514 и 0,32; в) – 438 и 334; г) – 715 и – 920.

4.113

а) -5,923 < -5,931; |-5,923| < |-5,931|

б) $\frac{5}{14}$ = 5 : 14 = 0,357…
0,32 < 0,357…
|0,32| < $\left|\frac{5}{14}\right|$|

в) $$\begin{gathered} 3\frac{3}{4} < 4\frac{3}{8} \\ \left|3\frac{3}{4}\right| < \left|-4\frac{3}{8}\right| \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} {-\frac{7}{15}}^{\overline{)·4}} = -\frac{28}{60}, \\ -{\frac{9}{20}}^{\overline{)·3}} = -\frac{27}{60} \\ \frac{28}{60} >\frac{27}{60} \\ \left|-\frac{9}{20}\right| <\left|-\frac{7}{15}\right| \end{gathered}$$

а) Чтобы определить, модуль какого из чисел $-5,923$ и $-5,931$ меньше, нужно найти модули этих чисел и сравнить их. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-5,923| = 5,923$
$|-5,931| = 5,931$
Теперь сравним числа $5,923$ и $5,931$. Так как целые части у них одинаковые, сравниваем дробные части: $923 < 931$. Следовательно, $5,923 < 5,931$.
Значит, модуль числа $-5,923$ меньше.
Ответ: $-5,923$.

б) Сравним модули чисел $\frac{5}{14}$ и $0,32$.
$|\frac{5}{14}| = \frac{5}{14}$
$|0,32| = 0,32$
Для сравнения обыкновенной и десятичной дроби, приведем их к одному виду. Представим $0,32$ в виде обыкновенной дроби: $0,32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$.
Теперь сравним дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{8}{25}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель равен $14 \times 25 = 350$.
$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 25}{14 \times 25} = \frac{125}{350}$
$\frac{8}{25} = \frac{8 \times 14}{25 \times 14} = \frac{112}{350}$
Так как $112 < 125$, то $\frac{112}{350} < \frac{125}{350}$, следовательно $0,32 < \frac{5}{14}$.
Значит, модуль числа $0,32$ меньше.
Ответ: $0,32$.

в) Сравним модули чисел $-4\frac{3}{8}$ и $3\frac{3}{4}$.
$|-4\frac{3}{8}| = 4\frac{3}{8}$
$|3\frac{3}{4}| = 3\frac{3}{4}$
Сравним смешанные числа $4\frac{3}{8}$ и $3\frac{3}{4}$. Сначала сравниваем их целые части.
$3 < 4$, следовательно $3\frac{3}{4} < 4\frac{3}{8}$.
Значит, модуль числа $3\frac{3}{4}$ меньше.
Ответ: $3\frac{3}{4}$.

г) Сравним модули чисел $-\frac{7}{15}$ и $-\frac{9}{20}$.
$|-\frac{7}{15}| = \frac{7}{15}$
$|-\frac{9}{20}| = \frac{9}{20}$
Теперь сравним дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{20}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 20 равно 60.
$\frac{7}{15} = \frac{7 \times 4}{15 \times 4} = \frac{28}{60}$
$\frac{9}{20} = \frac{9 \times 3}{20 \times 3} = \frac{27}{60}$
Так как $27 < 28$, то $\frac{27}{60} < \frac{28}{60}$, следовательно $\frac{9}{20} < \frac{7}{15}$.
Значит, модуль числа $-\frac{9}{20}$ меньше.
Ответ: $-\frac{9}{20}$.

4.114. Развивай воображение. Куб можно составить из одинаковых четырёхугольных пирамид (рис. 4.22). У этих пирамид общая вершина О, а основания – грани куба.

а) Сколько пирамид на рисунке?
б) Найдите объём пирамиды, если ребро куба равно 1,8 дм.
в) Найдите ребро куба, если объём пирамиды равен 148 дм³.

4.114

а) на рисунке 6 пирамид

б)

1) 1,8 • 1,8 • 1,8 = 5,832 (дм³) – объем куба;

2) 5,832 : 6 = 0,972 (дм³) – объем пирамиды;

Ответ: 0,972 дм³

в)

$1) \frac{1}{48} · 6 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$(дм³) – объем куба

$2) \frac{1}{8} = {\left(\frac{1}{2}\right)}^3,$т.е. ребро куба равно $\frac{1}{2}$ дм

Ответ: $\frac{1}{2}$ дм.

а) Куб имеет 6 граней. Каждая грань является основанием одной из пирамид, составляющих куб. Все эти пирамиды имеют общую вершину O в центре куба. Таким образом, куб составлен из 6 одинаковых пирамид.
Ответ: 6 пирамид.

б) Объём куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.
По условию, ребро куба $a = 1,8$ дм.
Найдём объём куба:
$V_{куба} = (1,8)^3 = 5,832$ дм³.
Так как куб состоит из 6 одинаковых пирамид, объём одной пирамиды ($V_{пирамиды}$) равен $\frac{1}{6}$ объёма куба:
$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{5,832}{6} = 0,972$ дм³.
Ответ: 0,972 дм³.

в) Объём пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба, связан с ребром куба $a$ соотношением $V_{пирамиды} = \frac{a^3}{6}$.
По условию, объём пирамиды равен $V_{пирамиды} = \frac{1}{48}$ дм³.
Составим уравнение:
$\frac{a^3}{6} = \frac{1}{48}$
Найдём $a^3$:
$a^3 = 6 \cdot \frac{1}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$
Найдём длину ребра $a$, извлекая кубический корень:
$a = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$ дм.
Ответ: 0,5 дм.