Страница 21, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.44 Заполните таблицу.

1.44

$\frac{1}{2} = 0,5; 0,5 · 100\% = 50\%$

$0,75 = 0,75 · 100\% = 75\%; 0,75 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{75}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{100}}}}=3/4$

$\frac{1}{10} = 0,1; 0,1 · 100\% = 10\%$

$40\% =\frac{40}{100}= 0,4; 40\% = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{100}}}}= 2/5$

$\frac{1}{20} = 0,05; 0,05 · 100\% = 5\%$

$100\% = \frac{100}{100}= 1$

$0,03 · 100\% = 3\%; 0,03 = \frac{3}{100}$

$1\% = \frac{1}{100} = 0,01.$

Для заполнения таблицы необходимо для каждого столбца найти недостающие значения, выполняя преобразования между обыкновенными дробями, десятичными дробями и процентами. Будем следовать основным правилам: чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель; чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить её на 100; чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить число процентов на 100; чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, нужно представить её в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., а затем сократить.

Столбец 1 (Дана дробь $\frac{1}{2}$)

Переводим обыкновенную дробь в десятичную: $1 \div 2 = 0,5$.

Переводим десятичную дробь в проценты: $0,5 \times 100\% = 50\%$.

Ответ: Десятичная дробь: 0,5; Проценты: 50%.

Столбец 2 (Дана десятичная дробь 0,75)

Переводим десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100}$. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.

Переводим десятичную дробь в проценты: $0,75 \times 100\% = 75\%$.

Ответ: Дробь: $\frac{3}{4}$; Проценты: 75%.

Столбец 3 (Дана дробь $\frac{1}{10}$)

Переводим обыкновенную дробь в десятичную: $1 \div 10 = 0,1$.

Переводим десятичную дробь в проценты: $0,1 \times 100\% = 10\%$.

Ответ: Десятичная дробь: 0,1; Проценты: 10%.

Столбец 4 (Дано 40%)

Переводим проценты в десятичную дробь: $40 \div 100 = 0,4$.

Переводим десятичную дробь в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10}$. Сокращаем дробь на 2: $\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$.

Ответ: Дробь: $\frac{2}{5}$; Десятичная дробь: 0,4.

Столбец 5 (Дана дробь $\frac{1}{20}$)

Переводим обыкновенную дробь в десятичную: $1 \div 20 = 0,05$.

Переводим десятичную дробь в проценты: $0,05 \times 100\% = 5\%$.

Ответ: Десятичная дробь: 0,05; Проценты: 5%.

Столбец 6 (Дано 100%)

Переводим проценты в десятичную дробь: $100 \div 100 = 1$.

Переводим десятичную дробь (в данном случае целое число) в обыкновенную: $1 = \frac{1}{1}$.

Ответ: Дробь: 1; Десятичная дробь: 1.

Столбец 7 (Дана десятичная дробь 0,03)

Переводим десятичную дробь в обыкновенную: $0,03 = \frac{3}{100}$. Эта дробь является несократимой.

Переводим десятичную дробь в проценты: $0,03 \times 100\% = 3\%$.

Ответ: Дробь: $\frac{3}{100}$; Проценты: 3%.

Столбец 8 (Дано 1%)

Переводим проценты в десятичную дробь: $1 \div 100 = 0,01$.

Переводим десятичную дробь в обыкновенную: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Ответ: Дробь: $\frac{1}{100}$; Десятичная дробь: 0,01.

1.45. В магазин завезли 500 кг яблок. В первый день продали 1 % всех яблок. Во второй день продали одну сотую завезённых яблок. Сравните число яблок, проданных в первый и второй дни.

1.45

$1\% = \frac{1}{100}$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 500 · \frac{1}{100} = \frac{500}{100} = 5$(кг) – продали в 1 день;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }500 · 0,01 = 5$(кг) – продали во 2 день;

5 = 5

Ответ: одинаково.

Для того чтобы сравнить количество яблок, проданных в первый и второй дни, определим, сколько килограммов яблок было продано в каждый из этих дней.

Количество яблок, проданных в первый день
В условии сказано, что в первый день продали 1% всех яблок. Общее количество яблок, завезённых в магазин, составляет 500 кг.
Один процент — это одна сотая часть от целого. Чтобы найти 1% от 500 кг, нужно это число умножить на дробь $\frac{1}{100}$:
$500 \cdot \frac{1}{100} = \frac{500}{100} = 5$ кг.
Таким образом, в первый день было продано 5 кг яблок.

Количество яблок, проданных во второй день
Во второй день продали одну сотую завезённых яблок. Это также составляет $\frac{1}{100}$ от общего количества.
Вычислим это количество:
$500 \cdot \frac{1}{100} = \frac{500}{100} = 5$ кг.
Во второй день также было продано 5 кг яблок.

Сравнение результатов
Сравнивая количество яблок, проданных в первый день (5 кг) и во второй день (5 кг), мы видим, что они равны.
$5 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$
Это можно было заключить и без вычислений, так как по определению $1\%$ и есть одна сотая часть ($\frac{1}{100}$). Следовательно, $1\%$ от числа и $\frac{1}{100}$ от того же числа — это одно и то же значение.

Ответ: Количество яблок, проданных в первый и второй дни, одинаково.

1.46. В коробке лежало 400 гелевых ручек. Из них 1 % составляли ручки зелёного цвета, а 5 % — ручки красного цвета. Сколько ручек зелёного и красного цветов лежало в коробке?

1.46

$1\% = \frac{1}{100}=0,01, 5\% = \frac{5}{100} = 0,05.$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 400 · 0,01 = 4$(р.) – зеленого цвета;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }400 · 0,05 = 20$(р.) – красного цвета.

Ответ: 4; 20.

Для того чтобы узнать, сколько всего ручек зелёного и красного цветов было в коробке, необходимо выполнить следующие действия: сначала найти количество ручек каждого цвета, а затем сложить эти значения.

1. Вычисляем количество ручек зелёного цвета.

В условии сказано, что ручки зелёного цвета составляют 1% от общего количества ручек, которое равно 400. Чтобы найти 1% от числа 400, нужно это число умножить на процент, выраженный в виде дроби.

$400 \cdot \frac{1}{100} = 4$

Следовательно, в коробке было 4 зелёные ручки.

2. Вычисляем количество ручек красного цвета.

Аналогично, ручки красного цвета составляют 5% от 400. Вычислим это значение.

$400 \cdot \frac{5}{100} = 4 \cdot 5 = 20$

Следовательно, в коробке было 20 красных ручек.

3. Находим общее количество ручек зелёного и красного цветов.

Для этого необходимо сложить количество зелёных и красных ручек.

$4 + 20 = 24$

Также задачу можно решить другим способом: сначала найти суммарный процент зелёных и красных ручек, а затем вычислить их количество от общего числа.

1) $1\% + 5\% = 6\%$ — составляют ручки зелёного и красного цветов вместе.

2) $400 \cdot \frac{6}{100} = 4 \cdot 6 = 24$ (ручки).

Ответ: 24 ручки.

1.47. За сутки комбайнёры убрали 25 % пшеничного поля. Сколько гектаров убрали за сутки, если площадь поля 340 га?

1.47

$25\% = \frac{25}{100} = 0,25$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 340 · 0,25 = 85$(га) – убрали за сутки.

Ответ: 85 га.

Для того чтобы найти, сколько гектаров убрали комбайнёры за сутки, необходимо вычислить 25% от общей площади пшеничного поля. Общая площадь поля составляет 340 гектаров.

Решить эту задачу можно несколькими способами.

Способ 1: Через десятичную дробь

Сначала нужно перевести проценты в десятичную дробь. Для этого число процентов делят на 100:

$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$

Теперь умножим общую площадь поля на полученную десятичную дробь:

$340 \text{ га} \times 0.25 = 85 \text{ га}$

Способ 2: Через обыкновенную дробь

Можно заметить, что 25% — это четверть от целого. Представим 25% в виде обыкновенной дроби:

$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Чтобы найти четверть от 340, нужно это число разделить на 4:

$340 \text{ га} \div 4 = 85 \text{ га}$

Способ 3: Через пропорцию

Примем общую площадь поля (340 га) за 100%. Площадь, убранную за сутки, обозначим как $x$ га, что составляет 25%. Составим пропорцию:

$340 \text{ га} \quad — \quad 100\%$
$x \text{ га} \quad — \quad 25\%$

Из пропорции следует равенство:

$\frac{x}{340} = \frac{25}{100}$

Выразим $x$ и вычислим его значение:

$x = \frac{340 \times 25}{100} = \frac{8500}{100} = 85 \text{ га}$

Все способы приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 85 га.

1.48. Протяжённость туристического маршрута по Золотому кольцу России составляет 674 км. Сколько километров проедут путешественники, когда преодолеют 10 % всего пути; 25 % пути; 40 % пути; 80 % пути?

1.48

Туристический маршрут – 674 км.

10 % - ? км

25 % - ? км

40 % - ? км

80 % - ? км

$$\begin{gathered} 10\% = \frac{10}{100} = 0,1; \\ 25\% = \frac{25}{100} = 0,25; \\ 40\% = \frac{40}{100} = 0,4; \\ 80\% = \frac{80}{100}= 0,8. \end{gathered}$$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 674 · 0,1 = 67,4$(км) – составляют 10% пути;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 674 · 0,25 = 168,5$(км) – составляют 25% пути;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 674 · 0,4 = 269,6$(км) – составляют 40% пути;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 674 · 0,8 = 539,2$(км) – составляют 80% пути.

Ответ: 67,4 км; 168,5 км; 269,6 км; 539,2 км.

Для решения задачи необходимо найти указанный процент от общей протяжённости маршрута, которая составляет 674 км. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на процент, выраженный в виде десятичной дроби (то есть разделенный на 100).

10 % всего пути

Найдём, сколько километров составляют 10% от 674 км:

$674 \cdot \frac{10}{100} = 674 \cdot 0,1 = 67,4 \text{ км}$.

Ответ: 67,4 км.

25 % пути

Найдём, сколько километров составляют 25% от 674 км:

$674 \cdot \frac{25}{100} = 674 \cdot 0,25 = 168,5 \text{ км}$.

Ответ: 168,5 км.

40 % пути

Найдём, сколько километров составляют 40% от 674 км:

$674 \cdot \frac{40}{100} = 674 \cdot 0,4 = 269,6 \text{ км}$.

Ответ: 269,6 км.

80 % пути

Найдём, сколько километров составляют 80% от 674 км:

$674 \cdot \frac{80}{100} = 674 \cdot 0,8 = 539,2 \text{ км}$.

Ответ: 539,2 км.

4.67. Точка К лежит правее начала отсчёта на 9,7 единицы, а точка В – левее на 1,6 единицы. Найдите координату каждой точки и модуль каждой координаты.

4.67

K(9,7); B(-1,6)

|9,7| = 9,7

|-1,6| = 1,6.

Для решения этой задачи мы будем использовать координатную прямую. Начало отсчёта — это точка с координатой 0. Точки, расположенные правее начала отсчёта, имеют положительные координаты, а точки, расположенные левее, — отрицательные.

Координата и модуль точки K

По условию, точка K лежит правее начала отсчёта на 9,7 единицы. Это означает, что её координата будет положительной и равной 9,7.

Координата точки K: $K(9,7)$.

Модуль (или абсолютная величина) координаты — это расстояние от точки до начала отсчёта на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому числу.

Модуль координаты точки K: $|9,7| = 9,7$.

Ответ: координата точки K равна 9,7; модуль её координаты равен 9,7.

Координата и модуль точки B

По условию, точка B лежит левее начала отсчёта на 1,6 единицы. Это означает, что её координата будет отрицательной и равной -1,6.

Координата точки B: $B(-1,6)$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, так как расстояние не может быть отрицательным.

Модуль координаты точки B: $|-1,6| = 1,6$.

Ответ: координата точки B равна -1,6; модуль её координаты равен 1,6.

4.68. Назовите:

а) положительные числа, модули которых равны 19, 1, 2155 и 4,9;

б) отрицательные числа, модули которых равны 43, 913, 5,6 и 1.

4.68

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} |х|=19; х = 19; \\ |х|=1; х = 1; \\ |х|=\frac{21}{55}; х = \frac{21}{55}; \\ |х|=4,9; х = 4,9. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }|х|=43; х = -43; \\ |х|=\frac{9}{13}; х = -\frac{9}{13}; \\ |х|=5,6 ; х = -5,6; \\ |х|=1; х = - 1. \end{gathered}$$

a) положительные числа, модули которых равны 19, 1, $\frac{21}{55}$ и 4,9;

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому этому числу.

Формально, если число x положительное (то есть $x > 0$), то его модуль $|x|$ равен x.

Исходя из этого правила, найдем искомые числа:

• Положительное число, модуль которого равен 19, это число 19, так как $19 > 0$ и $|19| = 19$.
• Положительное число, модуль которого равен 1, это число 1, так как $1 > 0$ и $|1| = 1$.
• Положительное число, модуль которого равен $\frac{21}{55}$, это число $\frac{21}{55}$, так как $\frac{21}{55} > 0$ и $|\frac{21}{55}| = \frac{21}{55}$.
• Положительное число, модуль которого равен 4,9, это число 4,9, так как $4,9 > 0$ и $|4,9| = 4,9$.

Ответ: 19; 1; $\frac{21}{55}$; 4,9.

б) отрицательные числа, модули которых равны 43, $\frac{9}{13}$, 5,6 и 1.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

Формально, если число x отрицательное (то есть $x < 0$), то его модуль $|x|$ равен -x. Например, $|-5| = -(-5) = 5$.

Следовательно, чтобы найти отрицательное число по его модулю, нужно взять значение модуля и поставить перед ним знак «минус».

• Отрицательное число, модуль которого равен 43, это число -43, так как $-43 < 0$ и $|-43| = 43$.
• Отрицательное число, модуль которого равен $\frac{9}{13}$, это число $-\frac{9}{13}$, так как $-\frac{9}{13} < 0$ и $|-\frac{9}{13}| = \frac{9}{13}$.
• Отрицательное число, модуль которого равен 5,6, это число -5,6, так как $-5,6 < 0$ и $|-5,6| = 5,6$.
• Отрицательное число, модуль которого равен 1, это число -1, так как $-1 < 0$ и $|-1| = 1$.

Ответ: -43; $-\frac{9}{13}$; -5,6; -1.

4.69. Найдите все числа, модуль которых равен:

а) 38; б) 0; в) 513; г) 1719; ; д) 9,3.

4.69

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }|х|=38; \mathrm{х} = 38 \mathrm{или} -38;$

$\mathit{б}\mathbf{)} |х|=0; х = 0$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }|х|=5 \frac{1}{3}; х = 5 \frac{1}{3} \mathrm{или} - 5 \frac{1}{3};$

$\mathit{г}\mathbf{)} |х|=\frac{17}{19}; х = \frac{17}{19} \mathrm{или} - \frac{17}{19}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }|\mathrm{х}|=9,3 ; \mathrm{х} = 9,3 \mathrm{или} - 9,3.$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.

Для любого положительного числа $a$ существуют два числа, модуль которых равен $a$: это само число $a$ и противоположное ему число $-a$. То есть, если $|x| = a$ и $a > 0$, то $x = a$ или $x = -a$.

Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$. Это единственное число, модуль которого равен нулю.

а) Мы ищем все числа, модуль которых равен 38. Это значит, нам нужно решить уравнение $|x| = 38$. Так как 38 — положительное число, этому уравнению удовлетворяют два числа: 38 и -38.
Ответ: 38; -38.

б) Мы ищем все числа, модуль которых равен 0. Это значит, нам нужно решить уравнение $|x| = 0$. Существует только одно число, расстояние от которого до нуля равно нулю — это само число 0.
Ответ: 0.

в) Мы ищем все числа, модуль которых равен $5\frac{1}{3}$. Это значит, нам нужно решить уравнение $|x| = 5\frac{1}{3}$. Так как $5\frac{1}{3}$ — положительное число, этому уравнению удовлетворяют два числа: $5\frac{1}{3}$ и $-5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$; $-5\frac{1}{3}$.

г) Мы ищем все числа, модуль которых равен $\frac{17}{19}$. Это значит, нам нужно решить уравнение $|x| = \frac{17}{19}$. Так как $\frac{17}{19}$ — положительное число, этому уравнению удовлетворяют два числа: $\frac{17}{19}$ и $-\frac{17}{19}$.
Ответ: $\frac{17}{19}$; $-\frac{17}{19}$.

д) Мы ищем все числа, модуль которых равен 9,3. Это значит, нам нужно решить уравнение $|x| = 9,3$. Так как 9,3 — положительное число, этому уравнению удовлетворяют два числа: 9,3 и -9,3.
Ответ: 9,3; -9,3.

4.70. Отметьте на координатной прямой числа, модули которых равны 4, 523, 314, 2,5.

4.70

а) |х|=4; х = 4 или -4;

б) |х|= $5\frac{2}{3}$; х = $5\frac{2}{3}$ или $-5\frac{2}{3}$;

в) |х|= $3\frac{1}{4}$; х = $3\frac{1}{4}$ или $-3\frac{1}{4}$;

г) |х|=2,5; х = 2,5 или – 2,5;

Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль обозначается как $|x|$. Для любого положительного числа a существуют два числа, модуль которых равен a: это само число a и противоположное ему число $-a$. Таким образом, уравнение $|x| = a$ (где $a > 0$) всегда имеет два решения: $x = a$ и $x = -a$.

Найдем пары чисел для каждого заданного значения модуля.

4

Необходимо найти числа $x$, для которых $|x| = 4$. Согласно определению, это числа, которые находятся на расстоянии 4 единиц от нуля на координатной прямой. Таких чисел два.
Ответ: -4 и 4.

$5 \frac{2}{3}$

Необходимо найти числа $x$, для которых $|x| = 5 \frac{2}{3}$. Это числа, которые находятся на расстоянии $5 \frac{2}{3}$ единиц от нуля. Таких чисел два.
Ответ: $-5 \frac{2}{3}$ и $5 \frac{2}{3}$.

$3 \frac{1}{4}$

Необходимо найти числа $x$, для которых $|x| = 3 \frac{1}{4}$. Это числа, которые находятся на расстоянии $3 \frac{1}{4}$ единиц от нуля. Таких чисел два.
Ответ: $-3 \frac{1}{4}$ и $3 \frac{1}{4}$.

2,5

Необходимо найти числа $x$, для которых $|x| = 2,5$. Это числа, которые находятся на расстоянии 2,5 единиц от нуля. Таких чисел два.
Ответ: -2,5 и 2,5.

Для того чтобы отметить эти числа на координатной прямой, нужно нанести все найденные точки. Каждая пара чисел ($a$ и $-a$) будет расположена симметрично относительно точки 0.

• Точки -4 и 4 отмечаются на целых делениях координатной прямой.
• Точки -2,5 и 2,5 отмечаются ровно посередине между делениями -3 и -2, и 2 и 3 соответственно.
• Точки $-3 \frac{1}{4}$ и $3 \frac{1}{4}$ отмечаются на расстоянии в четверть единичного отрезка от -3 (влево) и от 3 (вправо).
• Точки $-5 \frac{2}{3}$ и $5 \frac{2}{3}$ отмечаются на расстоянии в две трети единичного отрезка от -5 (влево) и от 5 (вправо).

Ответ: На координатной прямой необходимо отметить следующие восемь точек: $-5 \frac{2}{3}$, -4, $-3 \frac{1}{4}$, -2,5, 2,5, $3 \frac{1}{4}$, 4, $5 \frac{2}{3}$.

4.71. Запишите множество точек с координатой х, если:

а) |х| = 3; б) |х| = 7,2; в) |х| = 125; г) |х| = 0.

4.71

а) |x| = 3

F(3), Y(-3)

б) |x| = 7,2

A(7,2), B(-7,2)

в) |x| = $1\frac{2}{5}$

N($1\frac{2}{5}$), M($-1\frac{2}{5}$)

г) |x| = 0

O (0).

а) Дано уравнение $|x| = 3$.
Модуль (или абсолютная величина) числа $x$ геометрически представляет собой расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) на числовой прямой. Таким образом, уравнение $|x| = 3$ означает, что мы ищем все точки, которые удалены от нуля на расстояние, равное 3.
На числовой прямой существуют две такие точки: точка с координатой 3 и точка с координатой -3.
Следовательно, искомое множество точек — это $\{-3; 3\}$.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 3$.

б) Дано уравнение $|x| = 7,2$.
Это уравнение означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до нуля равно 7,2.
На числовой прямой этому условию удовлетворяют две точки: 7,2 и -7,2.
Таким образом, множество точек, удовлетворяющих данному условию, — это $\{-7,2; 7,2\}$.
Ответ: $x_1 = -7,2, x_2 = 7,2$.

в) Дано уравнение $|x| = 1\frac{2}{5}$.
Мы ищем точки, расстояние от которых до нуля на числовой прямой равно $1\frac{2}{5}$.
Этому условию удовлетворяют две точки: $1\frac{2}{5}$ и $-1\frac{2}{5}$.
Множество точек, являющихся решением, — это $\{-1\frac{2}{5}; 1\frac{2}{5}\}$.
Ответ: $x_1 = -1\frac{2}{5}, x_2 = 1\frac{2}{5}$.

г) Дано уравнение $|x| = 0$.
Это уравнение означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до нуля равно 0.
Единственная точка на числовой прямой, которая находится на расстоянии 0 от начала координат, — это сама точка 0.
Следовательно, множество точек состоит из одного элемента: $\{0\}$.
Ответ: $x = 0$.

4.72. Решите уравнение:

а) |х| = 8,1; б) |х| = 7; в) |х| = 0; г) |х| = 512; д) |х| = –1.

4.72

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} |\mathrm{x}|=8,1; \\ \mathrm{x}=-8,1 \mathrm{или} 8,1; \\ \mathrm{Ответ}: -8,1;8,1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} |\mathrm{x}|=7; \\ \mathrm{x}=-7 \mathrm{или} 7; \\ \mathrm{Ответ}: -7;7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }|\mathrm{x}|=0; \\ \mathrm{x}=0; \\ \mathrm{Ответ}:0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} |\mathrm{x}|=\frac{5}{12} ; \\ \mathrm{x}=-\frac{5}{12} \mathrm{или} \frac{5}{12}; \\ \mathrm{Ответ}: -\frac{5}{12}; \frac{5}{12}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} |\mathrm{x}|=-1 \\ \mathrm{Ответ}:\mathrm{нет} \mathrm{корней}. \end{gathered}$$

Для решения данных уравнений воспользуемся определением модуля числа. Модуль (или абсолютная величина) числа, обозначаемый $|x|$, — это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей числу $x$ на координатной прямой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Исходя из этого, уравнение вида $|x| = a$ решается следующим образом:

• Если $a > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$.
• Если $a = 0$, то уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, то уравнение не имеет корней.

а) Дано уравнение $|x| = 8,1$.
Так как правая часть уравнения $8,1 > 0$, уравнение имеет два корня. Это числа, модуль которых равен $8,1$: $x = 8,1$ и $x = -8,1$.
Ответ: -8,1; 8,1.

б) Дано уравнение $|x| = 7$.
Так как $7 > 0$, уравнение имеет два корня. Это числа, модуль которых равен $7$: $x = 7$ и $x = -7$.
Ответ: -7; 7.

в) Дано уравнение $|x| = 0$.
Существует только одно число, модуль которого равен нулю — это само число $0$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень: $x = 0$.
Ответ: 0.

г) Дано уравнение $|x| = \frac{5}{12}$.
Так как $\frac{5}{12} > 0$, уравнение имеет два корня. Это числа, модуль которых равен $\frac{5}{12}$: $x = \frac{5}{12}$ и $x = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $-\frac{5}{12}; \frac{5}{12}$.

д) Дано уравнение $|x| = -1$.
По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Уравнение $|x| = -1$ не может иметь решений, так как модуль числа не может быть равен отрицательному числу.
Ответ: нет корней.

4.73. Чему равен | –n|, если |n| = 9?

4.73

|n| = 9, n = 9 или n = - 9;

|-n| = 9, - n = - 9 или – n = 9

|-n| = |-9|= 9

|-n|= |9|= 9

Ответ: 9.

Для решения этой задачи необходимо использовать определение и свойства модуля (абсолютной величины) числа.

Модуль числа, обозначаемый как $|x|$, — это неотрицательное значение этого числа. Геометрически модуль — это расстояние от точки, обозначающей число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля).

По условию задачи дано, что $|n| = 9$. Это означает, что число $n$ может быть равно либо 9, либо -9, так как оба этих числа находятся на расстоянии 9 единиц от нуля.

Нам нужно найти значение выражения $|-n|$. Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $n = 9$, то мы подставляем это значение в выражение: $|-n| = |-9|$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, поэтому $|-9| = 9$.

2. Если $n = -9$, то мы также подставляем это значение: $|-n| = |-(-9)|$. Так как $-(-9) = 9$, то выражение становится равным $|9|$. Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|9| = 9$.

В обоих случаях результат получается одинаковым.

Альтернативный и более быстрый способ решения — использовать свойство модуля, которое гласит, что модули противоположных чисел равны: $|-a| = |a|$ для любого числа $a$.

Применяя это свойство, мы можем сразу записать: $|-n| = |n|$.

Так как по условию $|n| = 9$, то и $|-n|$ тоже равен 9.

Ответ: 9

4.74. Расположите числа в порядке возрастания их модулей:

–4,81; –9,53; –4.21 ; 0; –900,2; 0,423; 5710;

4.74

|-4,81| = 4,81

|-9,53| = 9,53

|-4,21| = 4,21

|0| = 0

|-900,2| = 900,2

|0,423| = 0,423

$\left|5\frac{7}{10}\right| = 5\frac{7}{10}$

в порядке возрастания модулей: 0; 0,423; 4,21; 4,81; $5\frac{7}{10}$; 9,53; 900,2

Ответ: 0; 0,423; -4,21; -4,81; $5\frac{7}{10}$ -9,53; -900,2.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания их модулей, необходимо выполнить два основных шага: сначала найти модуль каждого числа, а затем расположить исходные числа в соответствии с возрастающим порядком найденных модулей.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без знака. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.

1. Найдем модули для каждого из заданных чисел: $-4,81$; $-9,53$; $-4,21$; $0$; $-900,2$; $0,423$; $5\frac{7}{10}$.

$|-4,81| = 4,81$
$|-9,53| = 9,53$
$|-4,21| = 4,21$
$|0| = 0$
$|-900,2| = 900,2$
$|0,423| = 0,423$
Для смешанного числа $5\frac{7}{10}$ сначала представим его в виде десятичной дроби для удобства сравнения: $5\frac{7}{10} = 5,7$. Тогда его модуль равен:
$|5\frac{7}{10}| = |5,7| = 5,7$

2. Теперь у нас есть следующий ряд значений модулей: $4,81$; $9,53$; $4,21$; $0$; $900,2$; $0,423$; $5,7$.

Расположим эти значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$0 < 0,423 < 4,21 < 4,81 < 5,7 < 9,53 < 900,2$

3. Сопоставим этому порядку модулей исходные числа и запишем их в той же последовательности:

• $0 \rightarrow 0$
• $0,423 \rightarrow 0,423$
• $4,21 \rightarrow -4,21$
• $4,81 \rightarrow -4,81$
• $5,7 \rightarrow 5\frac{7}{10}$
• $9,53 \rightarrow -9,53$
• $900,2 \rightarrow -900,2$

Таким образом, итоговый ряд чисел, расположенных в порядке возрастания их модулей, выглядит так:

$0$; $0,423$; $-4,21$; $-4,81$; $5\frac{7}{10}$; $-9,53$; $-900,2$.

Ответ: $0$; $0,423$; $-4,21$; $-4,81$; $5\frac{7}{10}$; $-9,53$; $-900,2$.

4.75. 1) Из чисел выберите то, модуль которого меньше:

а) –239 и –329;
б) –3,1 и 1,7;
в) 0 и –4,6;
г) 23 и – 34;
д) –1,2, 115, 76 и 1;
е) – 217, 2110, – 2111 и 218.

2) Найдите значение выражения:

а) |2x – 6| – 2x при x = 2;
б) |3x– 8| – 3x при x = 2;
в) |6 + 4x| – 5x при x = –3 ;
г) |7 + 5x| – 4x при x = –2.

4.75

1)

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} |-239| = 239, |-329| = 329 \\ 239 < 329 |-239| < |-329| \\ \mathrm{Ответ}: -239 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} |1,7| = 1,7, |-3,1| = 3,1 \\ 1,7 < 3,1 \\ |1,7| < |-3,1| \\ \mathrm{Ответ}: 1,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }|0| = 0, |-4,6| = 4,6 \\ 0 < 4,6 \\ |0| < |-4,6| \\ \mathrm{Ответ}: 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \left|\frac{2}{3}\right|= {\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}}= \frac{8}{12}, \left|-\frac{3}{4}\right| = {\frac{3}{4} }^{\overline{)·3}}= \frac{9}{12} \\ \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \\ \left|\frac{2}{3}\right| < \left|\frac{3}{4}\right| \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} |-1,2| = 1,2; \left|1 \frac{1}{5}\right|= 1 \frac{1}{5}= 1,2; \\ \left|\frac{7}{6}\right|=\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}; |1| = 1. \\ 1 < 1,2, 1 < 1\frac{1}{6} \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left|-2\frac{1}{7}\right| = 2\frac{1}{7}; \left| 2\frac{1}{10}\right| = 2\frac{1}{10}; \\ \left|-2\frac{1}{11}\right| = 2\frac{1}{11}; \left| 2\frac{1}{8}\right| = 2\frac{1}{8}. \\ 2\frac{1}{11} < 2\frac{1}{7}; 2\frac{1}{11} < 2\frac{1}{10}; 2\frac{1}{11}< 2\frac{1}{8} \\ \mathrm{Ответ}: -2\frac{1}{11} \end{gathered}$$

2)

а) х = 2; |2x – 6| - 2x = |2 • 2 – 6| - 2 • 2 = |-2| - 4 = 2 – 4 = -2

б) х = 2; |3x – 8| - 3x = |3 • 2 – 8| - 3 • 2 = |-2| - 6 = 2 – 6 = -4

в) х = -3; |6 + 4x| - 5x = |6 + 4 • (-3)| - 5 • (-3) = |6 – 12| + 15 =
= |-6| + 15 = 6 + 15 = 21

г) х = -2; |7 + 5x| - 4x = |7 + 5 • (-2)| - 4 • (-2) = |7 – 10| + 8 =
= |-3| + 8 = 3 + 8 = 11.

1) Из чисел выберите то, модуль которого меньше:

а) Даны числа $-239$ и $-329$.
Модуль числа — это его абсолютная величина (расстояние от нуля на числовой прямой), поэтому модуль всегда неотрицателен.
Найдем модули заданных чисел: $|-239| = 239$ и $|-329| = 329$.
Сравним полученные значения: $239 < 329$.
Следовательно, у числа $-239$ модуль меньше.
Ответ: -239.

б) Даны числа $-3,1$ и $1,7$.
Найдем их модули: $|-3,1| = 3,1$ и $|1,7| = 1,7$.
Сравним модули: $1,7 < 3,1$.
Следовательно, у числа $1,7$ модуль меньше.
Ответ: 1,7.

в) Даны числа $0$ и $-4,6$.
Найдем их модули: $|0| = 0$ и $|-4,6| = 4,6$.
Сравним модули: $0 < 4,6$.
Следовательно, у числа $0$ модуль меньше.
Ответ: 0.

г) Даны числа $\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{4}$.
Найдем их модули: $|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ и $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$.
Чтобы сравнить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
Следовательно, у числа $\frac{2}{3}$ модуль меньше.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

д) Даны числа $-1,2; 1\frac{1}{5}; \frac{7}{6}; 1$.
Найдем их модули: $|-1,2| = 1,2$; $|1\frac{1}{5}| = 1\frac{1}{5}$; $|\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$; $|1| = 1$.
Для сравнения приведем все значения к одному виду, например, к десятичным дробям:
$1,2$
$1\frac{1}{5} = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0,2 = 1,2$
$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} = 1,1666...$
$1$
Сравнивая числа $1,2$, $1,2$, $1,1666...$ и $1$, видим, что наименьшим является $1$.
Следовательно, у числа $1$ модуль меньше.
Ответ: 1.

е) Даны числа $-2\frac{1}{7}; 2\frac{1}{10}; -2\frac{1}{11}; 2\frac{1}{8}$.
Найдем их модули: $|-2\frac{1}{7}| = 2\frac{1}{7}$; $|2\frac{1}{10}| = 2\frac{1}{10}$; $|-2\frac{1}{11}| = 2\frac{1}{11}$; $|2\frac{1}{8}| = 2\frac{1}{8}$.
Все модули имеют одинаковую целую часть, равную 2. Поэтому для сравнения нужно сравнить их дробные части: $\frac{1}{7}, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}, \frac{1}{8}$.
Из дробей с одинаковым числителем (в данном случае 1) меньше та, у которой знаменатель больше.
Сравним знаменатели: $11 > 10 > 8 > 7$.
Значит, $\frac{1}{11} < \frac{1}{10} < \frac{1}{8} < \frac{1}{7}$.
Наименьший модуль $2\frac{1}{11}$ у числа $-2\frac{1}{11}$.
Ответ: $-2\frac{1}{11}$.

2) Найдите значение выражения:

а) Найдем значение выражения $|2x - 6| - 2x$ при $x = 2$.
Подставим $x=2$: $|2 \cdot 2 - 6| - 2 \cdot 2 = |4 - 6| - 4 = |-2| - 4$.
Так как $|-2| = 2$, получаем: $2 - 4 = -2$.
Ответ: -2.

б) Найдем значение выражения $|3x - 8| - 3x$ при $x = 2$.
Подставим $x=2$: $|3 \cdot 2 - 8| - 3 \cdot 2 = |6 - 8| - 6 = |-2| - 6$.
Так как $|-2| = 2$, получаем: $2 - 6 = -4$.
Ответ: -4.

в) Найдем значение выражения $|6 + 4x| - 5x$ при $x = -3$.
Подставим $x=-3$: $|6 + 4 \cdot (-3)| - 5 \cdot (-3) = |6 - 12| - (-15) = |-6| + 15$.
Так как $|-6| = 6$, получаем: $6 + 15 = 21$.
Ответ: 21.

г) Найдем значение выражения $|7 + 5x| - 4x$ при $x = -2$.
Подставим $x=-2$: $|7 + 5 \cdot (-2)| - 4 \cdot (-2) = |7 - 10| - (-8) = |-3| + 8$.
Так как $|-3| = 3$, получаем: $3 + 8 = 11$.
Ответ: 11.

4.76. Вычислите.

4.76

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{4}}}} = \frac{1}{1} · \frac{1}{2} = \frac{1}{2}; \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \\ 1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \\ \frac{3}{8} : 3 = \frac{\cancel{3}}{8} · \frac{1}{\cancel{3}} = \frac{1}{8} · \frac{1}{1} = \frac{1}{8}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\stackrel{2}{ \cancel{14}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}= 2; \\ 2 - \frac{1}{3} = 1\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = 1\frac{2}{3}; \\ 1\frac{2}{3} : 5 = \frac{5}{3} : 5 = \frac{\cancel{5}}{3} · \frac{1}{\cancel{5}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{1} = \frac{1}{3}; \\ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{6}{11} : \frac{2}{11} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{6}}}}{\cancel{11}} · \frac{\cancel{11}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} = \frac{3}{1} · \frac{1}{1} = 3; \\ \stackrel{1}{\cancel{3}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} = 1 · \frac{1}{2} = \frac{1}{2}; \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \\ 1 : 2 = \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 6 : 12 = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{12}}}} = \frac{1}{2} = 0,5; \\ 0,5 · 1,6=0,8; \\ 0,8-0,35=0,45; \\ 0,45+0,15=0,6; \\ 0,6 : 4=0,15. \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз.
1) Первое действие — умножение: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{4} $. При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели. Также можно сократить общие множители: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
2) Второе действие — сложение: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
3) Третье действие — вычитание: $ 1 - \frac{5}{8} $. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 8: $ \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{8-5}{8} = \frac{3}{8} $.
4) Четвертое действие — деление: $ \frac{3}{8} : 3 $. Разделить на число — то же самое, что умножить на обратное ему число (т.е. на $ \frac{1}{3} $): $ \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз.
1) Первое действие — умножение: $ 14 \cdot \frac{1}{7} $. $ \frac{14}{1} \cdot \frac{1}{7} = \frac{14 \cdot 1}{1 \cdot 7} = \frac{14}{7} = 2 $.
2) Второе действие — вычитание: $ 2 - \frac{1}{3} $. Приведем 2 к знаменателю 3: $ \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} $.
3) Третье действие — деление: $ \frac{5}{3} : 5 $. Деление на 5 — это умножение на $ \frac{1}{5} $: $ \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $.
4) Четвертое действие — сложение: $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} $. $ \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.
Ответ: 1.

в) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз.
1) Первое действие — деление: $ \frac{6}{11} : \frac{2}{11} $. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь: $ \frac{6}{11} \cdot \frac{11}{2} = \frac{6 \cdot 11}{11 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3 $.
2) Второе действие — умножение: $ 3 \cdot \frac{1}{6} $. $ \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
3) Третье действие — сложение: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $. $ \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.
4) Четвертое действие — деление: $ 1 : 2 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Решим пример с десятичными дробями по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз.
1) Первое действие — деление: $ 6 : 12 = 0.5 $.
2) Второе действие — умножение: $ 0.5 \cdot 1.6 $. Умножить на 0.5 — это то же самое, что разделить на 2: $ 1.6 : 2 = 0.8 $.
3) Третье действие — вычитание: $ 0.8 - 0.35 $. Для удобства вычислений запишем 0.8 как 0.80: $ 0.80 - 0.35 = 0.45 $.
4) Четвертое действие — сложение: $ 0.45 + 0.15 = 0.60 $, что равно $ 0.6 $.
5) Пятое действие — деление: $ 0.6 : 4 = 0.15 $.
Ответ: $ 0.15 $.

4.77. Для множества А = {–(–19); –21; 15; –19; 21; – 119; – 15; 119} составьте:

а) подмножество В, состоящее из противоположных чисел;
б) подмножество С, состоящее из взаимно обратных чисел.

4.77

$\mathrm{А} = \left\{-(-19);-21; \frac{1}{5};-19; 21;-\frac{1}{19};-\frac{1}{5}; \frac{1}{19}\right\}$

$\mathit{а}\mathbf{)} \mathrm{В} = \left\{-(-19);-19; -21; 21;\frac{1}{5};-\frac{1}{5}; -\frac{1}{19};\frac{1}{19}\right\}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{С} = \left\{-(-19)); \frac{1}{19}; -19; -\frac{1}{19}\right\}$

Сначала упростим элементы исходного множества A. Элемент $-(-19)$ равен $19$.

Таким образом, множество A можно представить в виде: $A = \{19, -21, \frac{1}{5}, -19, 21, -\frac{1}{19}, -\frac{1}{5}, \frac{1}{19}\}$

а) подмножество B, состоящее из противоположных чисел;

Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Найдем в множестве A пары противоположных чисел.

Пары противоположных чисел в множестве A:
- для числа $19$ (в оригинале $-(-19)$) противоположным является $-19$, которое есть в множестве A;
- для числа $-21$ противоположным является $21$, которое есть в множестве A;
- для числа $\frac{1}{5}$ противоположным является $-\frac{1}{5}$, которое есть в множестве A;
- для числа $\frac{1}{19}$ противоположным является $-\frac{1}{19}$, которое есть в множестве A.

Подмножество B должно состоять из всех чисел, образующих эти пары. Следовательно, в подмножество B входят все элементы множества A, так как для каждого элемента в множестве есть ему противоположный.

Ответ: $B = \{-(-19); -21; \frac{1}{5}; -19; 21; -\frac{1}{19}; -\frac{1}{5}; \frac{1}{19}\}$

б) подмножество C, состоящее из взаимно обратных чисел.

Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно единице. Для любого числа $a \neq 0$ взаимно обратным ему является число $\frac{1}{a}$. Найдем в множестве A пары взаимно обратных чисел.

Пары взаимно обратных чисел в множестве A:
- для числа $19$ (в оригинале $-(-19)$) обратным является $\frac{1}{19}$, которое есть в множестве A;
- для числа $-19$ обратным является $-\frac{1}{19}$, которое есть в множестве A.

Для остальных чисел ($ -21, 21, \frac{1}{5}, -\frac{1}{5}$) взаимно обратных им в множестве A нет.

Подмножество C состоит из чисел, для которых в множестве A есть взаимно обратные. Это числа: $-(-19), -19, \frac{1}{19}$ и $-\frac{1}{19}$.

Ответ: $C = \{-(-19); -19; \frac{1}{19}; -\frac{1}{19}\}$

4.78. Отметьте на координатной прямой значения n, при которых верно неравенство:

$\mathrm{а}) \left|n\right|<5,6;$ $\mathrm{б}) \left|n\right| \le 3,2;$ $\mathrm{в}) 2< \left|n\right| < 7,1;$ $\mathrm{г}) 2\le n <7,1.$

4.78

а) |n| < 5,6

n = -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5

б) |n| ≤ 3,2

n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3

в) 2 < |n| < 7,1

n = -7; -6; -5; -4; -3; 3; 4; 5; 6; 7

г) 2 ≤ n < 7,1

n = 2; 3; 4; 5; 6; 7

а)

Неравенство $|n| < 5,6$ означает, что расстояние от точки $n$ до начала координат (нуля) на координатной прямой меньше чем 5,6. Это равносильно двойному неравенству $-5,6 < n < 5,6$. Мы ищем все целые значения $n$, которые находятся в этом интервале. Перечислим их: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. На координатной прямой нужно отметить точки с этими целочисленными координатами.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

б)

Неравенство $|n| \le 3,2$ означает, что расстояние от точки $n$ до нуля не больше чем 3,2. Это равносильно двойному неравенству $-3,2 \le n \le 3,2$. Мы ищем все целые значения $n$, которые удовлетворяют этому условию. Целые числа, расположенные в этом промежутке: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. На координатной прямой нужно отметить точки с этими целочисленными координатами.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

в)

Двойное неравенство $2 < |n| < 7,1$ означает, что расстояние от точки $n$ до нуля больше 2, но меньше 7,1. Это неравенство можно разбить на два случая: 1. Для положительных $n$: $2 < n < 7,1$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 3, 4, 5, 6, 7. 2. Для отрицательных $n$: $2 < -n < 7,1$. Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-7,1 < n < -2$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -7, -6, -5, -4, -3. Объединив решения обоих случаев, получаем искомый набор целых чисел. На координатной прямой эти точки будут расположены в двух интервалах: $(-7,1, -2)$ и $(2, 7,1)$.
Ответ: -7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7.

г)

Неравенство $2 \le n < 7,1$ не содержит модуля, поэтому мы ищем все целые числа $n$, которые больше или равны 2 и одновременно строго меньше 7,1. Перечислим все целые числа, которые удовлетворяют этому условию: 2, 3, 4, 5, 6, 7. На координатной прямой нужно отметить точки с этими целочисленными координатами.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.