Страница 17, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.16. Центр аттракционов занимает 14400 м², что составляет 0,01 всего парка. Найдите площадь парка и выразите её в квадратных километрах.

1.24

$1к{м}^2=1км·1км=1 000 м·1 000 м=1 000 000 {м}^2$

$14 400:0,01=1 440 000:1=1 440 000 \left({м}^2\right);$

$1 440 000 {м}^2:1 000 000=1,44\left(к{м}^2\right)-$площадь парка.

Ответ:$1,44 к{м}^2$.

Согласно условию задачи, нам известно, что площадь центра аттракционов составляет $14\,400 \text{ м}^2$. Эта величина представляет собой $0,01$ (одну сотую) от общей площади всего парка. Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти общую площадь парка, а затем перевести её в квадратные километры.

1. Найдем площадь всего парка в квадратных метрах.
Если $14\,400 \text{ м}^2$ — это $0,01$ от целого, то чтобы найти целое (всю площадь парка), нужно данную площадь разделить на долю, которую она составляет:
$S_{парка} = \frac{14\,400}{0,01} = 14\,400 \times 100 = 1\,440\,000 \text{ м}^2$.
Таким образом, общая площадь парка составляет $1\,440\,000$ квадратных метров.

2. Выразим площадь парка в квадратных километрах.
Для перевода квадратных метров в квадратные километры используется следующее соотношение:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1\,000\,000 \text{ м}^2$.
Чтобы перевести площадь парка из м² в км², разделим полученное значение на $1\,000\,000$:
$S_{парка} = \frac{1\,440\,000 \text{ м}^2}{1\,000\,000 \text{ м}^2 / \text{км}^2} = 1,44 \text{ км}^2$.

Ответ: площадь парка составляет $1,44 \text{ км}^2$.

1.25. В 10 ч легковой автомобиль догнал грузовой, а в 19 ч был впереди него на 180 км. Какое расстояние было между автомобилями в 7 ч того же дня, если скорость легкового автомобиля 66 км/ч? Есть ли в условии лишние (избыточные) данные?

1.25

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }19–10=9$(ч) – время движения автомобилей;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 180 : 9=20$(км/ч) – скорость сближения автомобилей;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }10–7=3$(ч) – легковой автомобиль догонял грузовой;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 20·3=60$(км) – было между ними в 7 часов.

Лишние данные: скорость легкового автомобиля.

Ответ: 60 км.

Какое расстояние было между автомобилями в 7 ч того же дня, если скорость легкового автомобиля 66 км/ч?

Для решения задачи нам нужно найти относительную скорость автомобилей, то есть скорость, с которой один автомобиль догоняет другой или удаляется от него. Обозначим скорость легкового автомобиля как $v_л$, а скорость грузового — как $v_г$.

1. Сначала найдем относительную скорость автомобилей. В 10:00 легковой автомобиль догнал грузовой. Это означает, что в этот момент расстояние между ними было равно нулю. В 19:00 легковой автомобиль опережал грузовой на 180 км. Промежуток времени между этими двумя моментами составляет: $t_1 = 19 \text{ ч} - 10 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$ За эти 9 часов расстояние между автомобилями увеличилось на 180 км. Скорость, с которой легковой автомобиль удалялся от грузового (относительная скорость), равна: $v_{отн} = v_л - v_г = \frac{S_1}{t_1} = \frac{180 \text{ км}}{9 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем расстояние между автомобилями в 7:00. В 10:00 легковой автомобиль догнал грузовой. Значит, в 7:00 он отставал от него. Скорость, с которой легковой автомобиль догонял грузовой (скорость сближения), равна их относительной скорости, то есть 20 км/ч. Промежуток времени от 7:00 до 10:00 составляет: $t_2 = 10 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$ Расстояние, которое было между автомобилями в 7:00, — это то расстояние, которое легковой автомобиль преодолел относительно грузового за эти 3 часа. $S_2 = v_{отн} \times t_2 = 20 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 60 \text{ км}$ Таким образом, в 7:00 расстояние между автомобилями составляло 60 км.

Ответ: 60 км.

Есть ли в условии лишние (избыточные) данные?

Да, в условии есть лишние данные. Для нахождения расстояния между автомобилями в 7:00 нам потребовалось знать только их относительную скорость. Мы смогли вычислить её ($20 \text{ км/ч}$), используя информацию о том, на какое расстояние легковой автомобиль оторвался от грузового за определённый промежуток времени (на 180 км за 9 часов). Информация о скорости легкового автомобиля ($66 \text{ км/ч}$) не использовалась в расчетах для нахождения ответа на главный вопрос. Она является избыточной, так как задача решается без нее.

Ответ: Да, есть. Скорость легкового автомобиля (66 км/ч) является лишним (избыточным) данным.

1.26. Фотовыставка размещена в сквере на стендах. Стенды расставлены вокруг квадратного газона со стороной 46 м. Посетители рассматривают экспозицию, двигаясь со скоростью 0,016 м/с. Смогут ли они за час обойти всю выставку?

1.26

1час = 3600 сек.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }46·4=184$(м) – длина экспозиции;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }0,016·3600= 57,6$(м) – пройдут посетители за час.

$57,6 \mathrm{м} < 184 \mathrm{м}$, не успеют.

Ответ: не успеют

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо выполнить следующие шаги: рассчитать общую длину пути, которую нужно пройти посетителям, а затем вычислить время, которое на это потребуется, и сравнить его с одним часом.

Стенды расположены по периметру квадратного газона. Сторона газона, согласно условию, равна $a = 46$ м. Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле:

$P = 4 \cdot a$

Подставим значение стороны:

$P = 4 \cdot 46 = 184$ м.

Таким образом, общее расстояние $S$, которое нужно пройти посетителям, составляет 184 метра.

Скорость движения посетителей известна и составляет $v = 0,016$ м/с. Время $t$ можно найти по формуле:

$t = \frac{S}{v}$

Подставим известные значения расстояния и скорости:

$t = \frac{184 \text{ м}}{0,016 \text{ м/с}} = 11500$ с.

Для обхода всей выставки посетителям потребуется 11 500 секунд.

В вопросе указан временной промежуток в 1 час. Переведем это время в секунды, чтобы сравнить с полученным результатом.

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \cdot 60 \frac{\text{секунд}}{\text{минуту}} = 3600$ с.

Теперь сравним необходимое время ($11500$ с) с доступным ($3600$ с):

$11500 \text{ с} > 3600 \text{ с}$

Как видно, времени, необходимого для осмотра всей экспозиции, требуется значительно больше, чем один час.

Ответ: нет, посетители не смогут за час обойти всю выставку, так как для этого им потребуется 11 500 секунд, что больше, чем 3600 секунд в одном часе.

1.27. Заполните таблицу.

1.27

$204 920 + 6 800 = 211 720$

$730 840 + 342 700 = 1 073 540$

$836 950 + 142 340 = 979 290$

$98 810 + 207 160 = 305 970$

$204 920 + 730 840 – 836 950 = 98 810$

$6 800 + 342 700 – 142 340 = 207 160$

$98 810 + 207160 = 305 970$

Для заполнения таблицы необходимо рассчитать недостающие значения. Расчеты производятся по строкам для заполнения столбца "Всего" и по столбцам для заполнения строки "Остаток на конец дня".

Расчет итоговых значений в столбце "Всего"

Значения в столбце "Всего" являются суммой значений из столбцов "Рыбный" и "Мясной" для каждой строки.

Остаток на начало дня, р. (Всего)

Складываем остатки на начало дня по двум отделам:
$204\,920 + 6\,800 = 211\,720$ р.
Ответ: 211 720

Поступило за день, р. (Всего)

Складываем поступления за день по двум отделам:
$730\,840 + 342\,700 = 1\,073\,540$ р.
Ответ: 1 073 540

Продано за день, р. (Всего)

Складываем стоимость проданных товаров за день по двум отделам:
$836\,950 + 142\,340 = 979\,290$ р.
Ответ: 979 290

Расчет остатков на конец дня

Остаток на конец дня рассчитывается по формуле:
$Остаток\ на\ начало\ дня + Поступило\ за\ день - Продано\ за\ день$.
Несмотря на заголовок "Движение денежных средств", данная формула показывает движение товарных запасов в стоимостном выражении.

Остаток на конец дня, р. (Рыбный отдел)

Применяем формулу для рыбного отдела:
$204\,920 + 730\,840 - 836\,950 = 935\,760 - 836\,950 = 98\,810$ р.
Ответ: 98 810

Остаток на конец дня, р. (Мясной отдел)

Применяем формулу для мясного отдела:
$6\,800 + 342\,700 - 142\,340 = 349\,500 - 142\,340 = 207\,160$ р.
Ответ: 207 160

Остаток на конец дня, р. (Всего)

Итоговый остаток на конец дня можно найти двумя способами для проверки:
1. Сложением остатков на конец дня по отделам:
$98\,810 + 207\,160 = 305\,970$ р.
2. Применением формулы к итоговым значениям в столбце "Всего":
$211\,720 + 1\,073\,540 - 979\,290 = 1\,285\,260 - 979\,290 = 305\,970$ р.
Результаты совпадают.
Ответ: 305 970

1.28. Найдите значение выражения: 1) (59 - 26,42) · 3,5; 2) (9 - 4,58) · 0,5.

1.28

$1) (59 \stackrel{1}{–} 26,42) \stackrel{2}{·}3,5 = 114,03$

1.

2.

$2) (9 \stackrel{1}{–} 4,58) \stackrel{2}{·} 0,5 = 2,21$

1.

2.

1) Для вычисления значения выражения $(59 - 26,42) \cdot 3,5$ необходимо следовать порядку действий. Сначала выполним операцию в скобках (вычитание), а затем умножение.

Первое действие — вычитание:

$59 - 26,42 = 32,58$

Второе действие — умножение:

$32,58 \cdot 3,5 = 114,03$

Ответ: 114,03

2) Для вычисления значения выражения $(9 - 4,58) \cdot 0,5$ также сначала выполним действие в скобках, а затем умножение.

Первое действие — вычитание:

$9 - 4,58 = 4,42$

Второе действие — умножение. Следует отметить, что умножение на $0,5$ эквивалентно делению на $2$.

$4,42 \cdot 0,5 = 2,21$

Ответ: 2,21

1.29. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 43,25; 41,64; 38,24; 47,82 и округлите ответ до десятых;

б) 7,126; 5,364; 3,275; 1,932 и округлите ответ до тысячных.

1.29

$\mathrm{а}) (43,25 \stackrel{1}{+ }41,64 \stackrel{2}{+} 38,24 \stackrel{3}{+} 47,82) \stackrel{4}{:} 4 = 42,7375 \approx 42,7$

1.	2.
3.	4.

Ответ: 42,7.

$\mathrm{б}) (7,126 \stackrel{1}{+} 5,364 \stackrel{2}{+} 3,275 \stackrel{3}{+} 1,932) \stackrel{4}{:} 4 = 4,42425 \approx 4,424$

1.	2.
3.	4.

Ответ: 4,424.

а) Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сумму разделить на их количество.
1. Сначала найдем сумму данных чисел: $43,25 + 41,64 + 38,24 + 47,82 = 170,95$
2. Теперь разделим полученную сумму на количество чисел (в данном случае их 4): $170,95 : 4 = 42,7375$
3. По условию, ответ необходимо округлить до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых: это 3. Так как 3 < 5, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем. $42,7375 \approx 42,7$
Ответ: 42,7

б) 1. Найдем сумму данных чисел: $7,126 + 5,364 + 3,275 + 1,932 = 17,697$
2. Разделим сумму на количество чисел (их 4): $17,697 : 4 = 4,42425$
3. По условию, ответ необходимо округлить до тысячных. Смотрим на цифру в разряде десятитысячных: это 2. Так как 2 < 5, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем. $4,42425 \approx 4,424$
Ответ: 4,424

1.30. Найдите среднюю длину своего шага, измерив длину пяти своих шагов.

1.30

1 шаг – 45 см, 2 шаг – 48 см, 3 шаг – 45 см, 4 шаг – 42 см, 5 шаг – 50 см.

$$\begin{gathered} 1\left)\right(45 + 48 + 45 + 42 + 50) : 5 = \\ = ((45 + 45) + (48 + 42) + 50) : 5 = \end{gathered}$$

$= (90 + 90 + 50) : 5 =230 : 5 = 46$(см) – средняя длина одного шага.

Ответ: 46 см.

Чтобы найти среднюю длину своего шага, нужно провести физическое измерение. Этот процесс состоит из двух основных этапов: измерение общего расстояния, пройденного за 5 шагов, и вычисление среднего значения на основе этого измерения.

Сначала необходимо подготовиться к измерению. Найдите ровную поверхность, например, пол в комнате или прямую дорожку на улице, и возьмите измерительный инструмент (рулетку или длинную линейку). Отметьте на поверхности стартовую линию. Встаньте так, чтобы носки вашей обуви касались этой линии.

Далее, сделайте 5 обычных, естественных шагов вперед по прямой линии. После того как вы сделаете пятый шаг, остановитесь и отметьте на поверхности положение носка вашей передней ноги. Это будет финишная отметка.

Теперь измерьте общее расстояние $L$ от стартовой линии до финишной отметки. Это будет общая длина пяти ваших шагов.

Средняя длина одного шага, которую мы обозначим как $l_{ср}$, вычисляется путем деления общего измеренного расстояния на количество сделанных шагов. Формула для расчета выглядит следующим образом:

$l_{ср} = \frac{L}{n}$

В данном задании количество шагов $n=5$.

Для примера, предположим, что в результате измерений вы получили общее расстояние $L = 3,6$ метра. Подставим эти данные в формулу, чтобы рассчитать среднюю длину шага:

$l_{ср} = \frac{3,6 \text{ м}}{5} = 0,72 \text{ м}$

Часто для удобства длину шага выражают в сантиметрах. Чтобы перевести результат, нужно умножить значение в метрах на 100:

$0,72 \text{ м} = 0,72 \times 100 \text{ см} = 72 \text{ см}$

Таким образом, в нашем примере средняя длина шага составляет 72 см. Вам необходимо провести собственное измерение и подставить в формулу свое значение $L$, чтобы найти среднюю длину именно вашего шага.

Ответ: результат является индивидуальным и находится путем деления общего расстояния, пройденного за 5 шагов, на 5. Например, если общее расстояние составило 3,6 м, то средняя длина шага равна 72 см.

1.31. Три поля имеют площадь по 100 га каждое. С первого поля собрали 3610 ц пшеницы, со второго — 3780 ц пшеницы, с третьего — 3545 ц пшеницы. Определите урожайность пшеницы на каждом поле и найдите среднюю урожайность на трёх полях.

1.31

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3610 : 100 = 36,1$(ц/га) – урожайность на 1 поле;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3780 : 100 = 37,8$(ц/га) – урожайность на 2 поле;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 3545 : 100 = 35,45$(ц/га) – урожайность на 3 поле;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }100 · 3 = 300$(га) – вся площадь полей;

$\mathbf{5}\mathbf{)} (3610 \stackrel{1}{+} 3780 \stackrel{2}{+} 3545) \stackrel{3}{:} 300 = 36,45 \frac{ }{ }$(ц/га) – средняя урожайность.

1.

2.

3.

Ответ: 36,45 ц/га.

Определите урожайность пшеницы на каждом поле

Урожайность (У) рассчитывается как отношение массы собранного урожая (М) к площади поля (П), с которого этот урожай был собран. Формула: $У = \frac{М}{П}$. В данном случае площадь каждого поля составляет 100 га.

1. Для первого поля, с которого собрали 3610 ц пшеницы, урожайность составляет:
$У_1 = \frac{3610 \text{ ц}}{100 \text{ га}} = 36,1 \text{ ц/га}$

2. Для второго поля, с которого собрали 3780 ц пшеницы, урожайность составляет:
$У_2 = \frac{3780 \text{ ц}}{100 \text{ га}} = 37,8 \text{ ц/га}$

3. Для третьего поля, с которого собрали 3545 ц пшеницы, урожайность составляет:
$У_3 = \frac{3545 \text{ ц}}{100 \text{ га}} = 35,45 \text{ ц/га}$

Ответ: урожайность на первом поле — 36,1 ц/га, на втором — 37,8 ц/га, на третьем — 35,45 ц/га.

Найдите среднюю урожайность на трёх полях

Средняя урожайность ($У_{ср}$) вычисляется как отношение общего собранного урожая со всех полей ($М_{общ}$) к их общей площади ($П_{общ}$).

1. Найдем общий урожай, собранный с трёх полей:
$М_{общ} = 3610 + 3780 + 3545 = 10935 \text{ ц}$

2. Найдем общую площадь всех полей:
$П_{общ} = 100 \text{ га} + 100 \text{ га} + 100 \text{ га} = 300 \text{ га}$

3. Рассчитаем среднюю урожайность:
$У_{ср} = \frac{М_{общ}}{П_{общ}} = \frac{10935 \text{ ц}}{300 \text{ га}} = 36,45 \text{ ц/га}$

Ответ: средняя урожайность на трёх полях составляет 36,45 ц/га.

1.32. Велосипедист ехал 2,6 ч со скоростью 6,6 м/с, а затем 1,4 ч со скоростью 5,2 м/с. Чему равна средняя скорость движения велосипедиста на всём пути?

1.32

1час = 3600 сек.

$2,6 \mathrm{ч} = 2,6 · 3600 = 9360 \mathrm{сек};$

$1,4 \mathrm{ч} = 1,4 · 3600 = 5040 \mathrm{сек}.$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }6,6 · 9360 = 61776$(м) – проехал велосипедист на 1 участке пути;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5,2 · 5040 = 26208$(м) – проехал велосипедист на 2 участке пути;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 61776 + 26208 = 87984$(м) – проехал велосипедист;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 9360 + 5040 = 14400$(сек) – время движения велосипедиста;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }87 984 : 14 400 = 6,11$(м/с) – средняя скорость движения велосипедиста.

Ответ: 6,11 м/с.

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ($S_{общ}$) ко всему времени движения ($t_{общ}$):

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Путь велосипедиста состоит из двух участков. Найдем общий путь $S_{общ}$ и общее время $t_{общ}$.

Данные по первому участку:

• Время $t_1 = 2,6$ ч
• Скорость $v_1 = 6,6$ м/с

Данные по второму участку:

• Время $t_2 = 1,4$ ч
• Скорость $v_2 = 5,2$ м/с

1. Вычисление общего времени.

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 2,6 \text{ ч} + 1,4 \text{ ч} = 4,0 \text{ ч}$

2. Вычисление общего пути.

Для вычисления пути на каждом участке по формуле $S = v \cdot t$ необходимо привести единицы измерения к единой системе. Так как скорость дана в м/с, переведем время из часов в секунды (1 час = 3600 секунд).

$t_1 = 2,6 \text{ ч} \times 3600 \text{ с/ч} = 9360 \text{ с}$

$t_2 = 1,4 \text{ ч} \times 3600 \text{ с/ч} = 5040 \text{ с}$

Теперь рассчитаем расстояние, пройденное на каждом участке:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 6,6 \text{ м/с} \cdot 9360 \text{ с} = 61776 \text{ м}$

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 5,2 \text{ м/с} \cdot 5040 \text{ с} = 26208 \text{ м}$

Общий путь равен сумме путей на двух участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 61776 \text{ м} + 26208 \text{ м} = 87984 \text{ м}$

3. Вычисление средней скорости.

Для расчета средней скорости используем общее время в секундах:

$t_{общ} = 9360 \text{ с} + 5040 \text{ с} = 14400 \text{ с}$

Подставляем значения общего пути и общего времени в формулу:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{87984 \text{ м}}{14400 \text{ с}} = 6,11 \text{ м/с}$

Ответ: 6,11 м/с.

1.33. Одно число равно 5,9. Найдите другое число, если среднее арифметическое двух чисел 3,2.

1.33

Пусть х – второе число, первое число – 5,9. Зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 3,2 составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (5,9 + х) : 2 = 3,2; \\ 5,9 + х = 3,2 · 2; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 5,9 + х = 6,4; \\ х = 6,4 – 5,9; \end{gathered}$$

$х = 0,5$– второе число.

Ответ: 0,5.

Для решения этой задачи воспользуемся определением среднего арифметического. Среднее арифметическое двух чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество, то есть на 2.

Пусть первое число — это $a = 5.9$, а второе, неизвестное число — это $x$.

Формула для нахождения среднего арифметического $M$ двух чисел $a$ и $x$ выглядит так: $$ M = \frac{a + x}{2} $$

По условию задачи, среднее арифметическое этих двух чисел равно $3.2$. Подставим известные значения в формулу: $$ 3.2 = \frac{5.9 + x}{2} $$

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала найдем сумму чисел, умножив среднее арифметическое на 2: $$ 5.9 + x = 3.2 \cdot 2 $$ $$ 5.9 + x = 6.4 $$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $$ x = 6.4 - 5.9 $$ $$ x = 0.5 $$

Следовательно, второе число равно 0,5.

Ответ: 0,5.

1.34. Среднее арифметическое двух чисел 4,9. Одно из них в 1,8 раза меньше другого. Найдите эти числа.

1.34

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4,9 · 2 = 9,8$– сумма двух чисел;

Пусть х –1число, тогда 1,8х – 2 число. Зная, что их сумма равна 4,9, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }х + 1,8х = 9,8; \\ 2,8х = 9,8; \\ х = 9,8: 2,8; \\ х = 98: 28; \end{gathered}$$

$\mathrm{х} = 3,5$5 – 1 число

$\mathbf{3}\mathbf{)} 9,8 – 3,5 = 6,3$– 2 число.

Ответ: 3,5; 6,3.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть одно число будет $x$, а другое — $y$.

1. Составление уравнений на основе условия задачи.

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на два. По условию, оно равно 4,9. Это дает нам первое уравнение:

$\frac{x + y}{2} = 4,9$

Второе условие гласит, что одно число в 1,8 раза меньше другого. Предположим, что $y$ — это большее число. Тогда $y$ в 1,8 раза больше, чем $x$. Это дает нам второе уравнение:

$y = 1,8x$

2. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{2} = 4,9 \\ y = 1,8x \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, умножив обе части на 2:

$x + y = 4,9 \cdot 2$

$x + y = 9,8$

Теперь подставим выражение для $y$ из второго уравнения ($y = 1,8x$) в упрощенное первое уравнение:

$x + 1,8x = 9,8$

Сложим слагаемые с $x$:

$2,8x = 9,8$

Найдем $x$, разделив 9,8 на 2,8:

$x = \frac{9,8}{2,8} = \frac{98}{28} = \frac{7}{2} = 3,5$

Мы нашли первое число, $x = 3,5$. Теперь найдем второе число $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = 1,8 \cdot x = 1,8 \cdot 3,5$

$y = 6,3$

Таким образом, мы нашли оба числа: 3,5 и 6,3.

3. Проверка.

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи.

Среднее арифметическое: $\frac{3,5 + 6,3}{2} = \frac{9,8}{2} = 4,9$. Условие выполняется.

Отношение чисел: $\frac{6,3}{3,5} = 1,8$. Второе число действительно в 1,8 раза больше первого. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа — 3,5 и 6,3.

1.35. Среднее арифметическое двух чисел 5. Найдите эти числа, если первое число на 2,5 больше второго.

1.35

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }5 · 2 = 10$– сумма двух чисел;

Пусть х –2 число, тогда (х + 2,5) – 1 число. Зная, что их сумма равна 5, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + (х + 2,5) = 10; \\ х + х + 2,5 = 10; \\ 2х + 2,5 = 10; \\ 2х = 10 – 2,5; \\ 2х = 7,5; \\ х = 7,5 : 2; \end{gathered}$$

$х = 3, 75$– второе число.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 3,75 + 2,5 = 6,25$– первое число.

Ответ: 3,75; 6,25.

Пусть первое искомое число — $a$, а второе — $b$.

Согласно условию, среднее арифметическое этих чисел равно 5. Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на два. Составим первое уравнение:
$\frac{a + b}{2} = 5$

Также из условия известно, что первое число на 2,5 больше второго. Это можно записать в виде второго уравнения:
$a = b + 2,5$

Мы получили систему из двух уравнений. Для ее решения, сначала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2:
$a + b = 10$

Теперь подставим выражение для $a$ из второго уравнения ($a = b + 2,5$) в упрощенное первое уравнение:
$(b + 2,5) + b = 10$

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $b$:
$2b + 2,5 = 10$
$2b = 10 - 2,5$
$2b = 7,5$
$b = \frac{7,5}{2}$
$b = 3,75$

Мы нашли второе число. Теперь, чтобы найти первое число, подставим значение $b$ во второе уравнение:
$a = 3,75 + 2,5$
$a = 6,25$

Таким образом, искомые числа — это 6,25 и 3,75.
Проверка: разность чисел $6,25 - 3,75 = 2,5$; среднее арифметическое $\frac{6,25 + 3,75}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 6,25 и 3,75.

1.36. За 7 ч комбайнёр убрал кукурузу с 9,8 га поля. С какой скоростью двигался комбайн, если ширина жатки равна 3,5 м?

1.36

$1 \mathrm{га} = 10000 {\mathrm{м}}^2; 1 \mathrm{км} = 1000\mathrm{м};$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }9,8 : 7 = 1,4 (\mathrm{га}) = 1,4 ·10 000 = 14000 ({м}^2)$ – убирал за 1 час;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 14 000 : 3,5 = 140 000 : 35 = 4000$(м/ч) =

= $4000: 1000 = 4$(км/ч) – скорость комбайна.

Ответ: 4 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость движения комбайна. Скорость ($v$) — это отношение пройденного пути ($L$) ко времени ($t$), затраченному на этот путь: $v = L/t$.

Площадь ($S$), убранная комбайном, представляет собой прямоугольник. Длина этого прямоугольника — это путь, пройденный комбайном ($L$), а ширина — это ширина жатки ($w$). Следовательно, площадь можно вычислить по формуле: $S = L \times w$.

Из этой формулы мы можем выразить пройденный путь: $L = S / w$.

Для проведения вычислений необходимо привести все величины к единой системе измерений. Переведем убранную площадь из гектаров (га) в квадратные метры (м²), зная, что 1 га = 10 000 м².

$S = 9,8 \text{ га} = 9,8 \times 10000 \text{ м}^2 = 98000 \text{ м}^2$.

Ширина жатки по условию равна $w = 3,5$ м.

Теперь можем рассчитать путь, который прошел комбайн:

$L = \frac{S}{w} = \frac{98000 \text{ м}^2}{3,5 \text{ м}} = 28000 \text{ м}$.

Поскольку скорость обычно измеряется в километрах в час (км/ч), переведем найденный путь в километры:

$L = 28000 \text{ м} = 28 \text{ км}$.

Время, за которое был пройден этот путь, составляет $t = 7$ ч. Теперь мы можем найти скорость комбайна:

$v = \frac{L}{t} = \frac{28 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.

Ответ: Скорость движения комбайна составляла 4 км/ч.

1.29. На одну порцию десерта из клубники берут 120 г ягод и 25 г сливок. Сколько килограммов сливок потребуется для приготовления десерта из 24 кг клубники? Сколько порций получится?

1.37

1 кг = 1000 гр.

$24 \mathrm{кг} = 24 · 1000 = 24000 \mathrm{гр}.$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 24 000 : 120 = 200$(раз) – всего порций;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 25 · 200 = 5000 (\mathrm{г}) = 5 (\mathrm{кг})$ – нужно сливок.

Ответ: 5 кг, 200 порций.

Задача состоит из двух частей. Сначала найдем, сколько килограммов сливок потребуется, а затем — сколько порций десерта получится.

Сколько килограммов сливок потребуется для приготовления десерта из 24 кг клубники?

1. Определим соотношение массы сливок к массе клубники для одной порции. Согласно условию, на 120 г клубники берут 25 г сливок.

2. Составим пропорцию. Пусть $x$ — это искомое количество сливок в граммах, которое потребуется на 24 кг клубники. Переведем 24 кг в граммы, чтобы все единицы измерения были одинаковыми: $24 \text{ кг} = 24 \times 1000 = 24000 \text{ г}$.
Пропорция выглядит так:
$\frac{25 \text{ г сливок}}{120 \text{ г клубники}} = \frac{x \text{ г сливок}}{24000 \text{ г клубники}}$

3. Найдем $x$ из этой пропорции:
$x = \frac{25 \times 24000}{120}$
Сократим дробь:
$x = 25 \times \frac{2400}{12} = 25 \times 200 = 5000 \text{ г}$.

4. Теперь переведем массу сливок из граммов в килограммы, зная, что в 1 кг содержится 1000 г:
$5000 \text{ г} = \frac{5000}{1000} \text{ кг} = 5 \text{ кг}$.

Ответ: потребуется 5 кг сливок.

Сколько порций получится?

1. Чтобы найти количество порций, нужно разделить общее количество клубники на количество клубники, необходимое для приготовления одной порции.

2. Общее количество клубники равно 24 кг, что составляет $24000 \text{ г}$.

3. На одну порцию уходит 120 г клубники.

4. Рассчитаем количество порций:
$N = \frac{Общая \ масса \ клубники}{Масса \ клубники \ на \ порцию} = \frac{24000 \text{ г}}{120 \text{ г}} = 200$.

Ответ: получится 200 порций.

1.38. Биомасса — это шестой по запасам из источников энергии на Земле после горючих сланцев, урана, угля, нефти и природного газа. Ежегодно на Земле образуется около 170 млрд т первичной биологической массы. Биомасса растительности лугов, степей и пашен составляет около 70 % от первичной биомассы. Найдите, сколько баррелей нефти она может заменить, если 380 т дают столько же энергии, сколько один баррель нефти. Ответ округлите до целого числа миллионов.

1.38

$70\%=0,7$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 170·0,7=119$(млрд т)-биомасса растительности лугов,
степей и пашен;

$119 \mathrm{млрд}. \mathrm{т} = 119000 \mathrm{млн}. \mathrm{т}$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 119000:380\approx 313$(млн баррелей)-может заменить.

Ответ: 313 млн. баррелей нефти.

1. Найдем массу биомассы растительности лугов, степей и пашен.

Согласно условию, ежегодно на Земле образуется около 170 млрд т первичной биологической массы. Биомасса растительности лугов, степей и пашен составляет 70% от этого количества. Вычислим эту массу:

$M_{биомассы} = 170 \text{ млрд т} \times 0,70 = 119 \text{ млрд т}$

Таким образом, искомая масса биомассы составляет $119 \times 10^9$ тонн.

2. Рассчитаем, скольким баррелям нефти эквивалентна эта масса.

Известно, что 380 тонн биомассы по содержанию энергии эквивалентны одному баррелю нефти. Чтобы найти, сколько баррелей нефти может заменить полученная масса биомассы, разделим общую массу на 380:

$N_{баррелей} = \frac{119 \times 10^9 \text{ т}}{380 \text{ т/баррель}} \approx 0,31315789... \times 10^9 \text{ баррелей}$

Это составляет приблизительно 313 157 895 баррелей.

3. Округлим результат до целого числа миллионов.

Требуется округлить полученное значение 313 157 895 до целого числа миллионов. Смотрим на разряд сотен тысяч: в нем стоит цифра 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$313 157 895 \approx 313 000 000$

Ответ: 313 000 000.

4.45. Запишите множество целых чисел, расположенных на координатной прямой между числами:

а) –9 и –6 б) –4 и 0; в) –3 и 3; г) –5,7 и 6,1 д) 78 и 4; е) 435 и 635; ж) –912 и –678; з) –15 и –71517;

4.45

а) {–8; –7}

б) {–3; –2; –1}

в) {–2; –1; 0; 1; 2}

г) {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

д) {1; 2; 3}

е) {5; 6}

ж) {–9; –8; –7}

з) {–14; –13; –12; –11; –10; –9; –8}.

а) -9 и -6;

Чтобы найти множество целых чисел, расположенных между -9 и -6, мы должны найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-9 < x < -6$. На координатной прямой это числа, которые находятся правее точки -9 и левее точки -6. Такими целыми числами являются -8 и -7.
Ответ: $\{-8, -7\}$.

б) -4 и 0;

Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-4 < x < 0$. Это целые числа, которые больше -4 и меньше 0. Перечислим их в порядке возрастания: -3, -2, -1.
Ответ: $\{-3, -2, -1\}$.

в) -3 и 3;

Ищем целые числа $x$ в интервале $(-3, 3)$, то есть для которых выполняется неравенство $-3 < x < 3$. Это числа, которые больше -3 и меньше 3. К ним относятся: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

г) -5,7 и 6,1;

Нужно найти все целые числа $x$ между -5,7 и 6,1. Это означает, что $x$ должен удовлетворять неравенству $-5,7 < x < 6,1$. Первое целое число, которое больше -5,7, это -5. Последнее целое число, которое меньше 6,1, это 6. Таким образом, искомое множество включает все целые числа от -5 до 6 включительно.
Перечислим их: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

д) $\frac{7}{8}$ и 4;

Ищем целые числа $x$ между $\frac{7}{8}$ и 4. Запишем неравенство: $\frac{7}{8} < x < 4$. Так как $\frac{7}{8} = 0,875$, то неравенство можно переписать как $0,875 < x < 4$. Целые числа, попадающие в этот интервал, это 1, 2 и 3.
Ответ: $\{1, 2, 3\}$.

е) $4\frac{3}{5}$ и $6\frac{3}{5}$;

Нам нужно найти целые числа $x$ между $4\frac{3}{5}$ и $6\frac{3}{5}$. Неравенство: $4\frac{3}{5} < x < 6\frac{3}{5}$. Преобразуем смешанные дроби в десятичные для удобства: $4\frac{3}{5} = 4,6$ и $6\frac{3}{5} = 6,6$. Таким образом, ищем целые $x$ такие, что $4,6 < x < 6,6$. Этому условию удовлетворяют числа 5 и 6.
Ответ: $\{5, 6\}$.

ж) $-9\frac{1}{2}$ и $-6\frac{7}{8}$;

Ищем целые числа $x$, расположенные между $-9\frac{1}{2}$ и $-6\frac{7}{8}$. Это соответствует неравенству $-9\frac{1}{2} < x < -6\frac{7}{8}$. Представим границы в виде десятичных дробей: $-9\frac{1}{2} = -9,5$ и $-6\frac{7}{8} = -6,875$. Получаем неравенство $-9,5 < x < -6,875$. Целые числа в этом интервале: -9, -8, -7.
Ответ: $\{-9, -8, -7\}$.

з) -15 и $-7\frac{15}{17}$.

Нужно найти целые числа $x$ между -15 и $-7\frac{15}{17}$. Неравенство имеет вид: $-15 < x < -7\frac{15}{17}$. Левая граница — целое число -15. Правая граница $-7\frac{15}{17}$ находится между -8 и -7 (ближе к -8). Таким образом, мы ищем целые числа, которые строго больше -15 и строго меньше $-7\frac{15}{17}$. Первое такое целое число — это -14. Последнее — это -8.
Перечислим все числа: -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8.
Ответ: $\{-14, -13, -12, -11, -10, -9, -8\}$.

4.46. Вычислите.

4.46

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 1 -\frac{4}{7} = \frac{7}{7}-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}; \\ \frac{3}{7} · 2 = \frac{6}{7}; \\ \frac{6}{7}: \frac{3}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{6}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}} = 2; \\ 2 – 1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3}= \frac{2}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2 -\frac{5}{9}= 1\frac{9}{9}-\frac{5}{9}= 1\frac{4}{9}; \\ 1\frac{4}{9} : 13 = \frac{\cancel{13}}{9} · \frac{1}{\cancel{13}}= \frac{1}{9}; \\ \frac{1}{\cancel{9}} · \cancel{9} = 1; \\ 1 + \frac{9}{13} = 1\frac{9}{13}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{16}{17} : 8 = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{16}}}}{17} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}= \frac{2}{17} · \frac{1}{1} = \frac{2}{17}; \\ \frac{2}{\cancel{17}} · \cancel{17} = 2; \\ 2 – 1\frac{7}{8} = 1\frac{8}{8}-1\frac{7}{8}= \frac{1}{8}; \\ \frac{1}{8} : 2 =\frac{1}{8} · \frac{1}{2} = \frac{1}{16}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 4,5 + 3,5 = 8; \\ 8 : 5 = 1,6; \\ 1,6 + 1,4 = 3; \\ 3 · 2,2 = 6,6; \\ 6,6 – 0,01 = 6,59. \end{gathered}$$

а)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1. Выполним вычитание: $1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

2. Результат первого действия умножим на 2: $\frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{6}{7}$

3. Результат второго действия разделим на $\frac{3}{7}$: $\frac{6}{7} : \frac{3}{7} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2$

4. Из результата третьего действия вычтем $1\frac{1}{3}$: $2 - 1\frac{1}{3} = \frac{2}{1} - \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1. Выполним вычитание: $2 - \frac{5}{9} = \frac{18}{9} - \frac{5}{9} = \frac{13}{9}$

2. Результат первого действия разделим на 13: $\frac{13}{9} : 13 = \frac{13}{9} \cdot \frac{1}{13} = \frac{13}{9 \cdot 13} = \frac{1}{9}$

3. Результат второго действия умножим на 9: $\frac{1}{9} \cdot 9 = 1$

4. К результату третьего действия прибавим $\frac{9}{13}$: $1 + \frac{9}{13} = 1\frac{9}{13}$

Ответ: $1\frac{9}{13}$

в)

Решим данный пример по действиям, соблюдая порядок операций:

1. Выполним деление: $\frac{16}{17} : 8 = \frac{16}{17} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{17 \cdot 8} = \frac{2}{17}$

2. Результат первого действия умножим на 17: $\frac{2}{17} \cdot 17 = 2$

3. Из результата второго действия вычтем $1\frac{7}{8}$: $2 - 1\frac{7}{8} = 1\frac{8}{8} - 1\frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

4. Результат третьего действия разделим на 2: $\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

г)

Решим данный пример с десятичными дробями по действиям, соблюдая порядок операций:

1. Выполним сложение: $4,5 + 3,5 = 8$

2. Результат первого действия разделим на 5: $8 : 5 = 1,6$

3. К результату второго действия прибавим 1,4: $1,6 + 1,4 = 3$

4. Результат третьего действия умножим на 2,2: $3 \cdot 2,2 = 6,6$

5. Из результата четвертого действия вычтем 0,01: $6,6 - 0,01 = 6,60 - 0,01 = 6,59$

Ответ: $6,59$

4.47. Назовите соседние целые числа на координатной прямой, между которыми расположено число:

а) 3,7; б) –11; в) 0; г) –915; д) –0,4.

4.47

а) 3 и 4

б) –12 и –10

в) –1 и 1

г) –10 и –9

д) –1 и 0

а)

Чтобы найти соседние целые числа для числа 3,7, нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами оно находится на координатной прямой. Число 3,7 является положительным. Оно больше, чем 3, и меньше, чем 4. Таким образом, выполняется неравенство $3 < 3,7 < 4$. Соседними целыми числами являются 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

б)

Число -11 является целым. Соседними целыми числами для любого целого числа $n$ являются числа $n-1$ и $n+1$. В данном случае $n = -11$. Соседнее целое число слева — это $-11 - 1 = -12$. Соседнее целое число справа — это $-11 + 1 = -10$. Число -11 расположено между ними: $-12 < -11 < -10$.

Ответ: -12 и -10.

в)

Число 0 является целым. Аналогично предыдущему пункту, соседними целыми числами для 0 будут $0 - 1 = -1$ и $0 + 1 = 1$. Число 0 расположено между ними: $-1 < 0 < 1$.

Ответ: -1 и 1.

г)

Число $-9\frac{1}{5}$ является отрицательным. Переведем его в десятичную дробь для удобства: $-9\frac{1}{5} = -9,2$. На координатной прямой это число находится левее, чем -9, и правее, чем -10. Таким образом, выполняется неравенство $-10 < -9,2 < -9$. Соседними целыми числами являются -10 и -9.

Ответ: -10 и -9.

д)

Число -0,4 является отрицательным. На координатной прямой оно находится между целыми числами -1 и 0. Оно больше, чем -1, и меньше, чем 0. Таким образом, выполняется неравенство $-1 < -0,4 < 0$. Соседними целыми числами являются -1 и 0.

Ответ: -1 и 0.

4.48. Какие числа на координатной прямой находятся на расстоянии:

а) 7 единиц от числа –3;
б) 20 единиц от числа 0;
в) 10 единиц от числа –17;
г) 100 единиц от числа 231?

4.48

а) –10 и 4

б) –20 и 20

в) –27 и –7

г) 131 и 331.

Чтобы найти числа на координатной прямой, которые находятся на заданном расстоянии от некоторого числа, необходимо выполнить два действия: сложение и вычитание. Если исходное число обозначить как $A$, а расстояние как $d$, то искомые числа будут равны $A + d$ (число справа на координатной прямой) и $A - d$ (число слева на координатной прямой).

а) 7 единиц от числа -3

Для нахождения первого числа прибавляем расстояние к исходному числу (двигаемся вправо по координатной прямой):

$-3 + 7 = 4$

Для нахождения второго числа вычитаем расстояние из исходного числа (двигаемся влево по координатной прямой):

$-3 - 7 = -10$

Таким образом, на расстоянии 7 единиц от числа -3 находятся числа 4 и -10.

Ответ: 4 и -10.

б) 20 единиц от числа 0

Находим число справа от 0:

$0 + 20 = 20$

Находим число слева от 0:

$0 - 20 = -20$

Таким образом, на расстоянии 20 единиц от числа 0 находятся числа 20 и -20.

Ответ: 20 и -20.

в) 10 единиц от числа -17

Находим число справа от -17:

$-17 + 10 = -7$

Находим число слева от -17:

$-17 - 10 = -27$

Таким образом, на расстоянии 10 единиц от числа -17 находятся числа -7 и -27.

Ответ: -7 и -27.

г) 100 единиц от числа 231

Находим число справа от 231:

$231 + 100 = 331$

Находим число слева от 231:

$231 - 100 = 131$

Таким образом, на расстоянии 100 единиц от числа 231 находятся числа 331 и 131.

Ответ: 331 и 131.

4.49. Отметьте на координатной прямой точки А(– 56), В(12), С(–156), D(–213), E(3,5), F(–1,25) приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради.

4.49

А($-\frac{5}{6}$); B($\frac{1}{2}$); C($-1\frac{5}{6}$); D($-2\frac{1}{3}$); E(3,5).

Для решения этой задачи необходимо начертить координатную прямую и выбрать на ней масштаб. Согласно условию, единичный отрезок равен 6 клеткам тетради. Это означает, что расстояние на прямой, соответствующее 1 единице (например, от 0 до 1), составляет 6 клеток. Следовательно, цена одного деления (одной клетки) равна $\frac{1}{6}$ единицы.

Чтобы найти положение каждой точки на координатной прямой, нужно ее координату умножить на 6. Результат покажет, на сколько клеток и в какую сторону от начала координат (точки 0) нужно отступить. Положительный результат означает движение вправо, отрицательный — влево.

A$(-\frac{5}{6})$

Координата точки A равна $-\frac{5}{6}$. Вычислим ее положение в клетках: $(-\frac{5}{6}) \cdot 6 = -5$ клеток. Это значит, что точка A находится на 5 клеток левее начала координат.

Ответ: Точка A находится на расстоянии 5 клеток слева от точки 0.

B$(\frac{1}{2})$

Координата точки B равна $\frac{1}{2}$. Вычислим ее положение в клетках: $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ клетки. Точка B находится на 3 клетки правее начала координат.

Ответ: Точка B находится на расстоянии 3 клеток справа от точки 0.

C$(-1\frac{5}{6})$

Координата точки C равна $-1\frac{5}{6}$. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$. Теперь вычислим положение в клетках: $(-\frac{11}{6}) \cdot 6 = -11$ клеток. Точка C находится на 11 клеток левее начала координат.

Ответ: Точка C находится на расстоянии 11 клеток слева от точки 0.

D$(-2\frac{1}{3})$

Координата точки D равна $-2\frac{1}{3}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь. Для этого приведем дробную часть к знаменателю 6: $-2\frac{1}{3} = -2\frac{2}{6} = -\frac{2 \cdot 6 + 2}{6} = -\frac{14}{6}$. Вычислим положение в клетках: $(-\frac{14}{6}) \cdot 6 = -14$ клеток. Точка D находится на 14 клеток левее начала координат.

Ответ: Точка D находится на расстоянии 14 клеток слева от точки 0.

E$(3,5)$

Координата точки E равна 3,5. Вычислим ее положение в клетках: $3,5 \cdot 6 = 21$ клетка. Точка E находится на 21 клетку правее начала координат.

Ответ: Точка E находится на расстоянии 21 клетки справа от точки 0.

F$(-1,25)$

Координата точки F равна -1,25. Вычислим ее положение в клетках: $-1,25 \cdot 6 = -7,5$ клеток. Это означает, что точка F находится на 7,5 клеток левее начала координат, то есть ровно посередине между 7-й и 8-й клеткой слева от 0.

Ответ: Точка F находится на расстоянии 7,5 клеток слева от точки 0.

Итоговое расположение точек на координатной прямой:

Для построения координатной прямой выберите точку отсчета 0. Единичные отметки (1, 2, -1, -2 и т.д.) будут располагаться через каждые 6 клеток.

• A: откладывается на 5 клеток влево от 0.
• B: откладывается на 3 клетки вправо от 0.
• C: откладывается на 11 клеток влево от 0 (на 1 клетку правее отметки -2).
• D: откладывается на 14 клеток влево от 0 (на 2 клетки левее отметки -2).
• E: откладывается на 21 клетку вправо от 0 (на 3 клетки правее отметки 3).
• F: откладывается на 7,5 клеток влево от 0 (на 1,5 клетки левее отметки -1).

4.50. Отметьте на ленте времени следующие события из истории математики:

а) теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в. до н. э.;
б) книга «Начала» была написана Евклидом в III в. до н. э.;
в) многие открытия в теории чисел были сделаны в XVIII в.;
г) десятичные дроби получили наибольшее распространение с XVII в.;
д) отрицательные числа получили всеобщее признание в начале XIX в.

Сколько веков назад произошло каждое из этих событий?

4.50

а) 27 веков назад

б) 24 века назад

в) 3 века назад

г) 4 века назад

д) 2 века назад

Сначала расположим указанные события на ленте времени в хронологическом порядке (от самого раннего к самому позднему):

1. а) Зарождение теории чисел в Древней Греции (VI в. до н. э.)
2. б) Написание книги «Начала» Евклидом (III в. до н. э.)
3. г) Распространение десятичных дробей (XVII в.)
4. в) Открытия в теории чисел (XVIII в.)
5. д) Признание отрицательных чисел (XIX в.)

Далее вычислим, сколько веков назад произошло каждое событие. Расчеты будем вести относительно текущего, XXI века.

а) теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в. до н. э.

Чтобы найти, сколько веков прошло с события, произошедшего до нашей эры, нужно сложить номер века до н.э. с количеством веков нашей эры, прошедших до текущего века. Текущий век — XXI, значит, до него прошло $21 - 1 = 20$ полных веков н.э. Событие произошло в VI веке до н.э.

Общее количество веков: $6 + 20 = 26$.

Ответ: 26 веков назад.

б) книга «Начала» была написана Евклидом в III в. до н. э.

Событие произошло в III веке до н. э. Расчет проводится аналогично предыдущему пункту.

Общее количество веков: $3 + 20 = 23$.

Ответ: 23 века назад.

в) многие открытия в теории чисел были сделаны в XVIII в.

Событие произошло в XVIII веке нашей эры. Чтобы найти, сколько веков прошло, нужно из номера текущего века (XXI) вычесть номер века, в котором произошло событие.

Количество веков назад: $21 - 18 = 3$.

Ответ: 3 века назад.

г) десятичные дроби получили наибольшее распространение с XVII в.

Событие произошло в XVII веке нашей эры. Вычисляем аналогично предыдущему пункту.

Количество веков назад: $21 - 17 = 4$.

Ответ: 4 века назад.

д) отрицательные числа получили всеобщее признание в начале XIX в.

Событие произошло в XIX веке нашей эры. Вычисляем аналогично.

Количество веков назад: $21 - 19 = 2$.

Ответ: 2 века назад.

4.51. Найдите пары взаимно обратных чисел среди чисел 49; 2,7; 2; 214; 0,5; 1027.

4.51

$2,7 = 2\frac{7}{10} = \frac{27}{10}$

$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

взаимно обратные числа: $\frac{4}{9} \mathrm{и} 2\frac{1}{4}; 2,7 \mathrm{и} \frac{10}{27}; 2 \mathrm{и} 0,5.$

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Чтобы найти пары взаимно обратных чисел в заданном списке, необходимо для каждого числа найти его обратное и проверить, есть ли оно среди остальных чисел. Для удобства преобразуем все числа в вид обыкновенных или неправильных дробей.

Исходные числа: $\frac{4}{9}$; 2,7; 2; $2\frac{1}{4}$; 0,5; $\frac{10}{27}$.

Преобразуем десятичные дроби и смешанные числа:
$2,7 = \frac{27}{10}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь наш список чисел в виде дробей выглядит так: $\frac{4}{9}$; $\frac{27}{10}$; 2; $\frac{9}{4}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{10}{27}$.

Начнем искать пары:

1. Возьмем число $\frac{4}{9}$. Обратное ему число — $\frac{9}{4}$. В нашем списке есть число $2\frac{1}{4}$, которое как раз равно $\frac{9}{4}$. Значит, первая пара — $\frac{4}{9}$ и $2\frac{1}{4}$.
Проверим их произведение: $\frac{4}{9} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{36}{36} = 1$.

2. Возьмем число 2,7, равное $\frac{27}{10}$. Обратное ему число — $\frac{10}{27}$. Это число есть в исходном списке. Значит, вторая пара — 2,7 и $\frac{10}{27}$.
Проверим их произведение: $2,7 \cdot \frac{10}{27} = \frac{27}{10} \cdot \frac{10}{27} = \frac{270}{270} = 1$.

3. Возьмем число 2. Обратное ему число — $\frac{1}{2}$. В списке есть число 0,5, которое равно $\frac{1}{2}$. Значит, третья пара — 2 и 0,5.
Проверим их произведение: $2 \cdot 0,5 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $\frac{4}{9}$ и $2\frac{1}{4}$; 2,7 и $\frac{10}{27}$; 2 и 0,5.

4.52. Маша собрала 3,6 кг чёрной смородины. Сколько чёрной смородины собрала Даша, если известно, что она собрала:

а) на 1,8 кг меньше Маши;
б) на 0,4 кг больше Маши;
в) в 2 раза больше Маши;
г) в 1,2 раза меньше Маши;
д) 49 того, что собрала Маша;
е) 43 того, что собрала Маша;
ж) 0,5 того, что собрала Маша;
з) 30 % того, что собрала Маша;
и) 110% того, что собрала Маша;
к) на 30 % больше Маши?

4.52

Маша собрала – 3,6 кг.

$\mathbf{а}\mathbf{)} 3,6 – 1,8 = 1,8 (\mathrm{кг})$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 3,6 + 0,4 = 4 (\mathrm{кг})$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 3,6 · 2 = 7,2 (\mathrm{кг})$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }3,6 ; 1,2 = 36 : 12 = 3 (\mathrm{кг})$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9} · 3,6 = \frac{4}{9} · 3\frac{6}{10} =\frac{4}{9}· 3\frac{3}{5}= \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}}}{5} = \\ = \frac{4}{1} · \frac{2}{5} ={ \frac{8}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{16}{10} = 1,6 (\mathrm{кг}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} \frac{4}{3} · 3,6 = \frac{4}{3} · 3\frac{6}{10} = \frac{4}{3} · 3\frac{3}{5} = \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{18}}}}{5} = \\ = \frac{4}{1}· \frac{6}{5} = {\frac{24}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{48}{10} = 4,8 (\mathrm{кг}) \end{gathered}$$

$\mathbf{ж}\mathbf{)} 0,5 · 3,6 = 1,8 (\mathrm{кг})$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 30\% = 0,3 \\ 0,3 · 3,6 = 1,08 (\mathrm{кг}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{и}\mathbf{)} 110\% = 1,1 \\ 1,1 · 3,6 = 3,96 (\mathrm{кг}) \end{gathered}$$

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }3,6 + 3,6 · 0,3 = 3,6 + 1,08 = 4,68 (\mathrm{кг}).$

Исходные данные: Маша собрала 3,6 кг чёрной смородины.

а) на 1,8 кг меньше Маши;
Чтобы найти, сколько смородины собрала Даша, нужно из количества, которое собрала Маша, вычесть 1,8 кг.
$3,6 - 1,8 = 1,8$ кг.
Ответ: 1,8 кг.

б) на 0,4 кг больше Маши;
Чтобы найти, сколько смородины собрала Даша, нужно к количеству, которое собрала Маша, прибавить 0,4 кг.
$3,6 + 0,4 = 4,0$ кг.
Ответ: 4 кг.

в) в 2 раза больше Маши;
Чтобы найти, сколько смородины собрала Даша, нужно количество, которое собрала Маша, умножить на 2.
$3,6 \cdot 2 = 7,2$ кг.
Ответ: 7,2 кг.

г) в 1,2 раза меньше Маши;
Чтобы найти, сколько смородины собрала Даша, нужно количество, которое собрала Маша, разделить на 1,2.
$3,6 : 1,2 = 3$ кг.
Ответ: 3 кг.

д) $\frac{4}{9}$ того, что собрала Маша;
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на эту дробь.
$3,6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{36}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{10} = \frac{16}{10} = 1,6$ кг.
Ответ: 1,6 кг.

е) $\frac{4}{3}$ того, что собрала Маша;
Аналогично предыдущему пункту, умножаем количество Маши на дробь.
$3,6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{10} = \frac{48}{10} = 4,8$ кг.
Ответ: 4,8 кг.

ж) 0,5 того, что собрала Маша;
Найти 0,5 от числа - это то же самое, что найти половину числа или умножить на 0,5.
$3,6 \cdot 0,5 = 1,8$ кг.
Ответ: 1,8 кг.

з) 30 % того, что собрала Маша;
Сначала переведём проценты в десятичную дробь: $30\% = 0,3$. Затем умножим количество, которое собрала Маша, на эту дробь.
$3,6 \cdot 0,3 = 1,08$ кг.
Ответ: 1,08 кг.

и) 110 % того, что собрала Маша;
Переведём проценты в десятичную дробь: $110\% = 1,1$. Затем умножим количество Маши на это число.
$3,6 \cdot 1,1 = 3,96$ кг.
Ответ: 3,96 кг.

к) на 30 % больше Маши?
Собрать на 30% больше означает собрать 100% (количество Маши) + 30% = 130% от того, что собрала Маша. Переведём 130% в десятичную дробь: $130\% = 1,3$.
$3,6 \cdot 1,3 = 4,68$ кг.
Альтернативный способ: найти 30% от 3,6 кг ($3,6 \cdot 0,3 = 1,08$ кг) и прибавить к количеству Маши ($3,6 + 1,08 = 4,68$ кг).
Ответ: 4,68 кг.