Страница 12, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.19. Вычислите:

4.19

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 5 · 2,4 = 12; \\ 12 – 5,2 = 6,8; \\ 6,8 : 0,4 = 68 : 4 = 17; \\ 17 · 0,2 = 3,4; \\ 3,4 + 6,6 = 10. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 20 : 8 = 2,5; \\ 2,5 – 2,1 = 0,4; \\ 0,4 · 9 = 3,6; \\ 3,6 + 1,8 = 5,4; \\ 5,4 : 18 = 0,3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7 – 2,3 = 4,7; \\ 4,7 + 0,7 = 5,4; \\ 5,4 : 9 = 0,6 ; \\ 0,6 · 0,2 = 0,12; \\ 0,12 : 0,01 = 12 : 1 = 12. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 10 + 2,1 = 12,1; \\ 12,1 : 11 = 1,1; \\ 1,1 + 0,4 = 1,5; \\ 1,5 : 0,5 = 15 : 5 = 3; \\ 3 · 0,02 = 0,06. \end{gathered}$$

а)

Для решения данного примера необходимо выполнить все действия по порядку, сверху вниз.

1. Первым действием выполним умножение: $5 \cdot 2,4 = 12$.

2. Далее из полученного результата вычтем 5,2: $12 - 5,2 = 6,8$.

3. Теперь разделим результат на 0,4: $6,8 : 0,4 = 68 : 4 = 17$.

4. Следующее действие — умножение на 0,2: $17 \cdot 0,2 = 3,4$.

5. В последнем действии сложим полученное число с 6,6: $3,4 + 6,6 = 10$.

Ответ: 10

б)

Выполним все действия последовательно.

1. Первое действие — деление: $20 : 8 = 2,5$.

2. Затем вычитание: $2,5 - 2,1 = 0,4$.

3. Далее умножение: $0,4 \cdot 9 = 3,6$.

4. Следующее действие — сложение: $3,6 + 1,8 = 5,4$.

5. Последнее действие — деление: $5,4 : 18 = 0,3$.

Ответ: 0,3

в)

Решим пример, выполняя операции по порядку.

1. Начнем с вычитания: $7 - 2,3 = 4,7$.

2. Далее сложение: $4,7 + 0,7 = 5,4$.

3. Теперь деление: $5,4 : 9 = 0,6$.

4. Следующее действие — умножение: $0,6 \cdot 0,2 = 0,12$.

5. В конце разделим результат на 0,01: $0,12 : 0,01 = 12 : 1 = 12$.

Ответ: 12

г)

Произведем вычисления по шагам.

1. Первое действие — сложение: $10 + 2,1 = 12,1$.

2. Затем деление: $12,1 : 11 = 1,1$.

3. Далее сложение: $1,1 + 0,4 = 1,5$.

4. Теперь деление: $1,5 : 0,5 = 15 : 5 = 3$.

5. Последнее действие — умножение: $3 \cdot 0,02 = 0,06$.

Ответ: 0,06

4.20. Запишите множество натуральных чисел, расположенных на координатной прямой между числами:

а) 0 и 11; б) 3,6 и 18; в) 357 и 814; г) 235 и 236; д) 9314 и 14114.

4.20

а) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

б) {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17}

в) {4; 5; 6; 7; 8}

г) ∅

д) {10}; $\frac{141}{14} = 10\frac{1}{4}$

а) Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Необходимо найти все натуральные числа, которые находятся между 0 и 11. Это означает, что числа должны быть строго больше 0 и строго меньше 11. Такими числами являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

б) Нужно найти множество натуральных чисел $n$, для которых выполняется двойное неравенство $3,6 < n < 18$.
Первое натуральное число, которое больше 3,6, это 4. Последнее натуральное число, которое меньше 18, это 17.
Следовательно, искомое множество включает все натуральные числа от 4 до 17.
Ответ: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}.

в) Ищем натуральные числа $n$, расположенные между $3\frac{5}{7}$ и $8\frac{1}{4}$.
Это соответствует неравенству $3\frac{5}{7} < n < 8\frac{1}{4}$.
Наименьшее натуральное число, которое больше $3\frac{5}{7}$, — это 4. Наибольшее натуральное число, которое меньше $8\frac{1}{4}$, — это 8.
Таким образом, в данный промежуток попадают числа 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: {4, 5, 6, 7, 8}.

г) Необходимо найти натуральные числа $n$, для которых верно неравенство $235 < n < 236$.
Между двумя последовательными целыми числами 235 и 236 нет других целых, а значит, и натуральных чисел. Множество таких чисел является пустым.
Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

д) Нужно найти натуральные числа между $9\frac{3}{14}$ и $\frac{141}{14}$.
Для удобства сравнения преобразуем неправильную дробь $\frac{141}{14}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$141 \div 14 = 10$ (остаток 1).
Таким образом, $\frac{141}{14} = 10\frac{1}{14}$.
Теперь задача сводится к поиску натуральных чисел $n$ в интервале $9\frac{3}{14} < n < 10\frac{1}{14}$.
Единственное натуральное число, которое больше $9\frac{3}{14}$ и меньше $10\frac{1}{14}$, — это число 10.
Ответ: {10}.

4.21. Какое число расположено ближе к единице на координатной прямой – неправильная дробь или дробь, ей обратная?

4.21

Ближе к единице, на координатной прямой, расположена дробь, обратная неправильной.

Чтобы определить, какое из двух чисел — неправильная дробь или обратная ей дробь — находится ближе к единице на координатной прямой, нам нужно сравнить расстояния от этих чисел до единицы. Расстояние между двумя точками $a$ и $b$ на координатной прямой вычисляется как модуль их разности, то есть $|a - b|$.

Пусть дана неправильная дробь $x = \frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа и $a > b$. Поскольку числитель больше знаменателя, значение этой дроби больше единицы: $x > 1$.

Дробь, обратная данной, будет $y = \frac{b}{a}$. Так как $a > b$, то обратная дробь будет правильной, и ее значение будет находиться в интервале от 0 до 1: $0 < y < 1$.

Теперь найдем расстояния от каждой из этих дробей до единицы:

• Расстояние от неправильной дроби $x$ до 1: $d_1 = |x - 1|$. Так как $x > 1$, то $x - 1 > 0$, и модуль можно опустить: $d_1 = x - 1$.
• Расстояние от обратной дроби $y$ до 1: $d_2 = |y - 1|$. Так как $y < 1$, то $y - 1 < 0$, и модуль раскрывается как $-(y - 1)$: $d_2 = 1 - y$. Поскольку $y = \frac{1}{x}$, то $d_2 = 1 - \frac{1}{x}$.

Нам нужно сравнить величины $d_1 = x - 1$ и $d_2 = 1 - \frac{1}{x}$. Для этого найдем их разность:

$d_1 - d_2 = (x - 1) - (1 - \frac{1}{x}) = x - 1 - 1 + \frac{1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$x - 2 + \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}$

Проанализируем полученный результат:

• Знаменатель $x$ — это наша неправильная дробь, она положительна ($x > 1$).
• Числитель $(x-1)^2$ — это квадрат разности. Так как $x \neq 1$, то $(x-1)^2$ всегда является строго положительным числом.

Поскольку и числитель, и знаменатель положительны, вся дробь $\frac{(x-1)^2}{x}$ положительна. Это означает, что разность $d_1 - d_2 > 0$, из чего следует, что $d_1 > d_2$.

Таким образом, расстояние от неправильной дроби до единицы ($d_1$) всегда больше, чем расстояние от обратной ей дроби до единицы ($d_2$). Следовательно, дробь, обратная неправильной, всегда расположена ближе к единице.

Пример:

Возьмем неправильную дробь $\frac{5}{2}$.

• Неправильная дробь: $x = \frac{5}{2} = 2.5$.
• Обратная ей дробь: $y = \frac{2}{5} = 0.4$.

Найдем расстояния до единицы:

• Расстояние от $\frac{5}{2}$ до 1: $|\frac{5}{2} - 1| = |\frac{5}{2} - \frac{2}{2}| = \frac{3}{2} = 1.5$.
• Расстояние от $\frac{2}{5}$ до 1: $|1 - \frac{2}{5}| = |\frac{5}{5} - \frac{2}{5}| = \frac{3}{5} = 0.6$.

Сравнивая расстояния $1.5$ и $0.6$, видим, что $0.6 < 1.5$. Значит, число $\frac{2}{5}$ находится ближе к единице, чем $\frac{5}{2}$.

Ответ: Ближе к единице на координатной прямой расположена дробь, обратная неправильной дроби.

4.22. Развивай воображение. Грани куба раскрашены в три цвета: передняя и задняя грани – в жёлтый цвет, нижняя и верхняя – в зелёный, боковые грани – в синий. Этот куб сначала повернули вокруг правого ребра нижней грани на 90° по часовой стрелке, а затем вокруг нового правого ребра передней грани на 90° против часовой стрелки. Какого цвета стали боковые грани?

4.22

Поворот в 1 раз: передняя и задняя – жёлтые, нижняя и верхняя – синие, боковые – зелёные.

Поворот во 2 раз: передняя и задняя – зелёные, нижняя и верхняя – синие, боковые – жёлтые.

Для решения этой задачи давайте пошагово проследим за изменением положения граней куба после каждого действия.

Исходное положение граней:
- Передняя и задняя грани — жёлтые.
- Верхняя и нижняя грани — зелёные.
- Левая и правая боковые грани — синие.

Первый поворот: на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг правого ребра нижней грани.
Осью вращения является ребро, общее для нижней (зелёной) и правой боковой (синей) граней. Если смотреть на куб спереди, то при таком повороте он как бы "опрокидывается" вперёд. В результате грани меняют свои позиции следующим образом:

- Передняя (жёлтая) грань становится новой нижней гранью.
- Верхняя (зелёная) грань становится новой передней гранью.
- Задняя (жёлтая) грань становится новой верхней гранью.
- Нижняя (зелёная) грань становится новой задней гранью.
- Левая и правая боковые (синие) грани остаются на своих местах, так как ось вращения им параллельна.

Положение граней после первого поворота:
- Передняя и задняя грани: зелёные.
- Верхняя и нижняя грани: жёлтые.
- Левая и правая боковые грани: синие.

Второй поворот: на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг нового правого ребра передней грани.
Теперь осью вращения является ребро, общее для новой передней грани (которая теперь зелёная) и новой правой боковой грани (которая осталась синей). Эта ось перпендикулярна взгляду наблюдателя. Поворот против часовой стрелки вокруг этой оси приводит к следующему смещению граней:

- Верхняя (жёлтая) грань перемещается на место правой боковой и становится новой правой боковой гранью.
- Правая боковая (синяя) грань перемещается на место нижней и становится новой нижней гранью.
- Нижняя (жёлтая) грань перемещается на место левой боковой и становится новой левой боковой гранью.
- Левая боковая (синяя) грань перемещается на место верхней и становится новой верхней гранью.
- Передняя (зелёная) и задняя (зелёная) грани остаются на своих местах.

После двух поворотов левая боковая грань стала жёлтой (это бывшая нижняя), и правая боковая грань тоже стала жёлтой (это бывшая верхняя).

Ответ: Боковые грани стали жёлтого цвета.

4.22. а) Радиус планеты Марс равен 3,38 тыс. км и составляет 0,53 радиуса планеты Земля. Найдите радиус планеты Земля. Ответ округлите до целых.

б) Скорость света приблизительно равна 300 000 км/с. От Солнца до Земли свет идёт 813 мин. Найдите расстояние от Земли до Солнца и округлите его до тысяч километров.

в) Вычислите расстояние, которое Земля проходит за год.

г) С какой скоростью (в км/с) движется Земля по своей орбите? Ответ округлите до целых.

4.23

а) R Марса = 3,38 тыс.км = 0,53R Земли

$3,38 : 0,53 = 338 : 53 = 6,377\dots \approx 6 \mathrm{тыс}. \mathrm{км} – \mathrm{радиус} \mathrm{Земли}$

Ответ: 6 тыс. км

б) v света = 300000 км/с; t = $8\frac{1}{3}$ мин. S - ? км.  

$$\begin{gathered} 8\frac{1}{3} \mathrm{мин}. =8\frac{1}{3}· 60 \mathrm{с} = \frac{25}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{20}{\cancel{60}} = \\ = 25 · 20 = 500 \left(\mathrm{с}\right) \end{gathered}$$

$300000 · 500 = 150000000 \mathrm{км} =150000 \mathrm{тыс}. \mathrm{км}$ – расстояние от Земли до Солнца.

Ответ: 150000 тыс. км.

в) С = 2πr, π≈3,14; r = 150000 тыс. км

$\mathrm{С} = 2 · 3,14 · 150000 \mathrm{тыс}.= 6,28 · 150000 = 942000 \mathrm{тыс}. \mathrm{км}$– проходит Земля за год.

Ответ: 942000 тыс. км.

г) 1 год = 365 дней = 365 • 24 ч = =8760 ч.

$942000 \mathrm{тыс}. \mathrm{км} : 8760 \mathrm{ч} =107,53\dots \approx 108 \mathrm{тыс}. \mathrm{км}/\mathrm{ч}$– скорость Земли

Ответ: 108 тыс. км/ч.

а) По условию задачи, радиус Марса ($R_{Марс}$) равен 3,38 тыс. км, что составляет $3380$ км. Этот радиус составляет 0,53 радиуса Земли ($R_{Земля}$). Математически это можно записать так: $R_{Марс} = 0,53 \times R_{Земля}$. Чтобы найти радиус Земли, нужно радиус Марса разделить на 0,53: $R_{Земля} = \frac{R_{Марс}}{0,53} = \frac{3380 \text{ км}}{0,53} \approx 6377,358 \text{ км}$. Согласно требованию, округляем ответ до целых.
Ответ: $6377$ км.

б) Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \times t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время. Скорость света дана: $v = 300~000$ км/с. Время ($t$) дано в минутах: $t = 8\frac{1}{3}$ мин. Переведем его в секунды, зная, что в 1 минуте 60 секунд: $t = 8\frac{1}{3} \text{ мин} = \frac{25}{3} \text{ мин} = \frac{25}{3} \times 60 \text{ с} = 25 \times 20 \text{ с} = 500$ с. Теперь можем вычислить расстояние от Земли до Солнца: $S = 300~000 \text{ км/с} \times 500 \text{ с} = 150~000~000$ км. Требуется округлить результат до тысяч километров. Поскольку число $150~000~000$ уже является целым числом тысяч, оно не изменяется при округлении.
Ответ: $150~000~000$ км.

в) Расстояние, которое Земля проходит за год, — это длина ее орбиты. Будем считать орбиту Земли круговой. Радиус этой орбиты — это расстояние от Земли до Солнца, которое мы нашли в пункте б): $R = 150~000~000$ км. Длина окружности ($L$) вычисляется по формуле $L = 2\pi R$. Подставим известные значения: $L = 2 \times \pi \times 150~000~000 \text{ км} \approx 2 \times 3,14159 \times 150~000~000 \text{ км} \approx 942~477~000$ км.
Ответ: примерно $942~477~000$ км.

г) Скорость движения Земли по своей орбите ($v$) можно найти, разделив длину орбиты ($L$), пройденную за год, на количество секунд в году ($T$). Из пункта в) мы знаем $L \approx 942~477~000$ км. Теперь вычислим количество секунд в году. Для большей точности примем, что в году 365,25 суток (учитывая високосные годы). $T = 365,25 \text{ суток} \times 24 \text{ часа/сутки} \times 60 \text{ мин/час} \times 60 \text{ с/мин} = 31~557~600$ с. Теперь найдем скорость: $v = \frac{L}{T} = \frac{942~477~000 \text{ км}}{31~557~600 \text{ с}} \approx 29,865$ км/с. Округлим результат до целых, как требуется в задаче.
Ответ: $30$ км/с.

4.24. Найдите значение выражения:

а) 457 · (0,5 – 12); б) 489 • (0,7 + 0,3); в) 4,31 • (678 – 578); г) (9,6–935) · 107499.

4.24

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 4\frac{5}{7} · \left(0,5 - \frac{1}{2}\right)=4\frac{5}{7} · \left(\frac{5}{10} - \frac{1}{2}\right)= \\ =4\frac{5}{7} · \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)=4\frac{5}{7} · 0=0; \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} 4\frac{8}{9} · \left(0,7 + 0,3\right)=4\frac{8}{9} · 1 = 4\frac{8}{9} ;$

$\mathit{в}\mathbf{)} 4,31 · \left(6\frac{7}{8} - 5\frac{7}{8}\right) = 4,31 · 1 = 4,31;$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \left(9,6 -{ 9\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}}\right) · 107\frac{4}{99} = \left(9,6 - 9\frac{6}{10}\right) · 107\frac{4}{99} = \\ = \left(9,6 - 9,6\right) · 107\frac{4}{99} =0 · 107\frac{4}{99} =0. \end{gathered}$$

а) $4\frac{5}{7} \cdot (0,5 - \frac{1}{2})$

Первым шагом выполним действие в скобках. Для этого необходимо привести числа к одному виду. Преобразуем десятичную дробь $0,5$ в обыкновенную:
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
Далее умножим результат на первое число:
$4\frac{5}{7} \cdot 0 = 0$
При умножении любого числа на ноль в результате получается ноль.
Ответ: 0.

б) $4\frac{8}{9} \cdot (0,7 + 0,3)$

Сначала выполним сложение десятичных дробей в скобках:
$0,7 + 0,3 = 1,0 = 1$
Теперь умножим смешанное число на полученный результат:
$4\frac{8}{9} \cdot 1 = 4\frac{8}{9}$
При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
Ответ: $4\frac{8}{9}$.

в) $4,31 \cdot (6\frac{7}{8} - 5\frac{7}{8})$

Первым действием выполним вычитание смешанных чисел в скобках. Так как дробные части у чисел одинаковые, вычитаем целые части и дробные части отдельно:
$6\frac{7}{8} - 5\frac{7}{8} = (6 - 5) + (\frac{7}{8} - \frac{7}{8}) = 1 + 0 = 1$
Теперь умножим десятичную дробь на результат, полученный в скобках:
$4,31 \cdot 1 = 4,31$
При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
Ответ: 4,31.

г) $(9,6 - 9\frac{3}{5}) \cdot 107\frac{4}{99}$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем числа к одному виду. Преобразуем смешанное число $9\frac{3}{5}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{3}{5}$ равна $\frac{6}{10}$ или $0,6$.
Значит, $9\frac{3}{5} = 9,6$.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$9,6 - 9,6 = 0$
Далее умножим полученный ноль на второе смешанное число:
$0 \cdot 107\frac{4}{99} = 0$
При умножении любого числа на ноль в результате получается ноль.
Ответ: 0.

4.25. Вычислите:

а) 0,2 + (0.2)² + (0,2)³; б) 0,4 – (0.4)² – (0.4)³; в) 12 – (12)³; г) (15)² + (15)³.

4.25

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,2 + {(0,2)}^2 + {(0,2)}^3 = 0,2 + 0,2 · 0,2 + 0,2 · 0,2 · 0,2 = \\ = 0,2 + 0,04 + +0,008 = 0,248. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,4 – {(0,4)}^2 – {(0,4)}^3 = 0,4 – 0,4 · 0,4 – 0,4 · 0,4 · 0,4 = \\ =0,4 – 0,16 – 0,064= 0,176. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{1}{2} - {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = {\frac{1}{2}}^{\overline{)·4}} - \frac{1}{8}= \\ = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {\left(\frac{1}{5}\right)}^2 + {\left(\frac{1}{5}\right)}^3 = \frac{1}{5} · \frac{1}{5} + \frac{1}{5} · \frac{1}{5} · \frac{1}{5} = \\ = {\frac{1}{25}}^{\overline{)·5}} + \frac{1}{125} = \frac{5}{125} + \frac{1}{125} = \frac{6}{125}. \end{gathered}$$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $0,2 + (0,2)^2 + (0,2)^3$, необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение в соответствии с порядком действий.

1. Вычисляем квадрат числа $0,2$: $(0,2)^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.

2. Вычисляем куб числа $0,2$: $(0,2)^3 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,04 \times 0,2 = 0,008$.

3. Складываем полученные значения с первым слагаемым: $0,2 + 0,04 + 0,008 = 0,24 + 0,008 = 0,248$.

Ответ: $0,248$.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $0,4 - (0,4)^2 - (0,4)^3$, сначала возводим числа в степень, а затем последовательно выполняем вычитание.

1. Вычисляем квадрат числа $0,4$: $(0,4)^2 = 0,4 \times 0,4 = 0,16$.

2. Вычисляем куб числа $0,4$: $(0,4)^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,16 \times 0,4 = 0,064$.

3. Выполняем вычитание: $0,4 - 0,16 - 0,064 = 0,24 - 0,064 = 0,176$.

Ответ: $0,176$.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{1}{2} : (\frac{1}{2})^3$, сначала возведем дробь в степень. Знак ":" обозначает операцию деления.

1. Возводим дробь $\frac{1}{2}$ в куб: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

2. Выполняем деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь: $\frac{1}{2} : \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{1}$.

3. Выполняем умножение дробей: $\frac{1 \times 8}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: $4$.

г)

Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{1}{5})^2 + (\frac{1}{5})^3$, сначала возведем дроби в соответствующую степень.

1. Возводим дробь $\frac{1}{5}$ в квадрат: $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$.

2. Возводим дробь $\frac{1}{5}$ в куб: $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$.

3. Складываем полученные дроби. Для этого приводим их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $25$ и $125$ это $125$.

4. Приводим первую дробь к знаменателю $125$: $\frac{1}{25} = \frac{1 \times 5}{25 \times 5} = \frac{5}{125}$.

5. Выполняем сложение: $\frac{5}{125} + \frac{1}{125} = \frac{5 + 1}{125} = \frac{6}{125}$.

Ответ: $\frac{6}{125}$.

4.26. Составьте из цифр 4, 8, 3 и 5 четыре различных числа, кратных 36, оканчивающихся цифрой 4.

4.26

36 = 4 • 9 – составное число.

Чтобы число делилось на 36, оно должно делится одновременно на 4 и на 9. Число делится на 4 если две его последние цифры нули или образуют, число, которое делится на 4. А на 9 число делится, когда сумма его цифр делится на 9.

4 + 8 + 3 + 5 = 20 – не делится на 9.

Ответ: нельзя составить.

Для решения задачи необходимо найти числа, которые удовлетворяют трем условиям: они составлены из цифр 4, 8, 3 и 5, кратны 36 и оканчиваются на 4. Чтобы число было кратно 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 являются взаимно простыми.

Сначала проанализируем условия, связанные с последними цифрами. По условию, число должно оканчиваться на 4. Признак делимости на 4 гласит, что число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Переберем возможные варианты для предпоследней цифры, используя данный набор {3, 4, 5, 8}:

- Окончание 34: 34 не делится на 4.
- Окончание 44: 44 делится на 4 ($44 : 4 = 11$). Этот вариант подходит.
- Окончание 54: 54 не делится на 4.
- Окончание 84: 84 делится на 4 ($84 : 4 = 21$). Этот вариант также подходит.
Следовательно, искомые числа должны оканчиваться либо на 44, либо на 84.

Теперь применим признак делимости на 9: сумма всех цифр числа должна быть кратна 9. В условии не указано, что цифры нельзя повторять. Если бы каждая цифра использовалась только один раз, то сумма цифр была бы $4+8+3+5=20$, что не делится на 9. Значит, цифры в числах могут повторяться.

Будем конструировать числа, начиная со случая, когда они оканчиваются на 44. Сумма последних двух цифр равна $4+4=8$. Чтобы все число делилось на 9, сумма остальных, "передних", цифр (обозначим ее $S$) должна дополнять 8 до числа, кратного 9. То есть, $S+8$ должно быть кратно 9.

- Если $S+8=18$, то $S=10$. Сумму 10 можно получить из данных цифр как $5+5$. Таким образом, получаем число 5544.
Проверка: Сумма цифр $5+5+4+4=18$ (делится на 9), число оканчивается на 44 (делится на 4). Следовательно, 5544 делится на 36 ($5544 \div 36 = 154$). Это первое число.

- Если $S+8=27$, то $S=19$. Сумму 19 можно получить из данных цифр, например, как $8+8+3$. Поставив эти цифры перед окончанием 44, можно составить несколько чисел:
- 38844. Проверка: $3+8+8+4+4=27$ (делится на 9), оканчивается на 44 (делится на 4). $38844 \div 36 = 1079$. Это второе число.
- 83844. Проверка: $8+3+8+4+4=27$ (делится на 9), оканчивается на 44 (делится на 4). $83844 \div 36 = 2329$. Это третье число.
- 88344. Проверка: $8+8+3+4+4=27$ (делится на 9), оканчивается на 44 (делится на 4). $88344 \div 36 = 2454$. Это четвертое число.

Мы нашли четыре различных числа, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Можно было бы также найти числа, оканчивающиеся на 84 (например, 3384), но найденных четырех уже достаточно.

Ответ: 5544, 38844, 83844, 88344.

4.27. 1) В рюкзак положили 8 пачек печенья, 2 упаковки чая и пакет сахара массой 0,54 кг. Массы пачки печенья и упаковки чая одинаковые, а общая масса печенья, чая и сахара 3,04 кг. Чему равна масса пачки печенья?

2) На приготовление овощного рагу ушло 9 упаковок цветной капусты, 4 пакета моркови и 0,15 кг лука. Массы упаковок овощей одинаковые, а общая масса овощей 4,05 кг. Чему равна масса пакета моркови?

4.27

1)

1 пачка печенья = 1 упаковка чая

1) 3,04 – 0,54 = 2,5 (кг) – весят печенье и чай;

2) 8 + 2 = 10 (шт) – упаковок печенья и чая;

3) 2,5 : 10 = 0,25 (кг) – масса пачки печенья.

Ответ: 0,25 кг

2)

1 упаковка цв.капусты = 1 пакет моркови = лук.

1) 4,05 – 0,15 = 3,9 (кг) – весят капуста и морковь;

2) 9 + 4 = 13 (шт) – упаковок цв.капусты и моркови;

3) 3,9 : 13 = 0,3 (кг) – масса пакета моркови.

Ответ: 0,3 кг

1) Пусть $x$ кг — масса одной пачки печенья. По условию, массы пачки печенья и упаковки чая одинаковые, значит, масса одной упаковки чая также равна $x$ кг. В рюкзак положили 8 пачек печенья, их общая масса — $8x$ кг, и 2 упаковки чая, их общая масса — $2x$ кг. Масса пакета сахара составляет 0,54 кг. Общая масса всех продуктов в рюкзаке равна 3,04 кг. Составим и решим уравнение, чтобы найти неизвестную массу $x$:
$8x + 2x + 0,54 = 3,04$
Сложим слагаемые, содержащие неизвестное:
$10x + 0,54 = 3,04$
Перенесём известное слагаемое в правую часть уравнения, изменив знак:
$10x = 3,04 - 0,54$
$10x = 2,5$
Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 10:
$x = 2,5 \div 10$
$x = 0,25$
Следовательно, масса одной пачки печенья равна 0,25 кг.
Ответ: 0,25 кг.

2) Пусть $y$ кг — масса одной упаковки овощей, так как по условию массы упаковок овощей (цветной капусты и моркови) одинаковые. Для приготовления рагу использовали 9 упаковок цветной капусты общей массой $9y$ кг и 4 пакета моркови общей массой $4y$ кг. Также было использовано 0,15 кг лука. Общая масса всех овощей равна 4,05 кг. Составим и решим уравнение:
$9y + 4y + 0,15 = 4,05$
Сложим слагаемые, содержащие неизвестное:
$13y + 0,15 = 4,05$
Перенесём известное слагаемое в правую часть уравнения:
$13y = 4,05 - 0,15$
$13y = 3,9$
Найдём $y$, разделив обе части уравнения на 13:
$y = 3,9 \div 13$
$y = 0,3$
Таким образом, масса одного пакета моркови составляет 0,3 кг.
Ответ: 0,3 кг.