Страница 8, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.1. Рефрижератор перевозит грузы по маршруту Челябинск — Новосибирск (рис. 4.5) со средней скоростью 70 км/ч.

а) В какой город приедет рефрижератор через 4 ч после выезда из Кургана?

б) Где будет находиться рефрижератор через 13 ч после выезда из Петропавловска в Новосибирск?

в) Где будет находиться рефрижератор через 12 ч, если он выехал из Омска в Челябинск?

4.1

а) 70 • 4 = 280 (км) – проедет за 4 ч рефрижератор, он приедет в
г. Петропавловск или Челябинск

б) 1)70 • 13 = 910 (км) – проедет за 13 часов рефрижератор, он приедет в Новосибирск, т.к. 630 + 280 = 910 км

в) 70 • 12 = 840 (км) – проедет за 12 ч рефрижератор, он будет в Челябинске, т.к. 280 + 270 + 270 = 820 км, 820 < 840.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой для расчета расстояния при равномерном движении: $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – средняя скорость, $t$ – время. Из условия задачи известно, что средняя скорость рефрижератора $v = 70 \text{ км/ч}$. Расстояния между городами возьмем из схемы (рис. 4.5):

• Челябинск – Курган: 270 км
• Курган – Петропавловск: 270 км
• Петропавловск – Омск: 280 км
• Омск – Новосибирск: 630 км

а) В какой город приедет рефрижератор через 4 ч после выезда из Кургана?

1. Найдем расстояние, которое проедет рефрижератор за 4 часа, выехав из Кургана. $s = 70 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 280 \text{ км}$.

2. Сравним это расстояние с расстоянием от Кургана до следующего города по маршруту – Петропавловска. Расстояние от Кургана до Петропавловска составляет 270 км.

3. Так как $280 \text{ км} > 270 \text{ км}$, рефрижератор уже проехал Петропавловск. Он будет находиться на расстоянии $280 \text{ км} - 270 \text{ км} = 10 \text{ км}$ от Петропавловска в сторону Омска.

4. Вопрос "в какой город приедет" можно интерпретировать как "в какой следующий по маршруту город он прибудет". Проехав Петропавловск, рефрижератор движется в сторону Омска. Следовательно, следующим городом, в который он приедет, будет Омск.

Ответ: рефрижератор приедет в Омск.

б) Где будет находиться рефрижератор через 13 ч после выезда из Петропавловска в Новосибирск?

1. Найдем расстояние, которое проедет рефрижератор за 13 часов, выехав из Петропавловска. $s = 70 \text{ км/ч} \cdot 13 \text{ ч} = 910 \text{ км}$.

2. Найдем общее расстояние от Петропавловска до Новосибирска по маршруту. Оно складывается из двух участков: Петропавловск – Омск (280 км) и Омск – Новосибирск (630 км). $s_{общ} = 280 \text{ км} + 630 \text{ км} = 910 \text{ км}$.

3. Расстояние, которое проехал рефрижератор (910 км), в точности равно расстоянию от Петропавловска до Новосибирска. Следовательно, через 13 часов он прибудет в Новосибирск.

Ответ: рефрижератор будет находиться в Новосибирске.

в) Где будет находиться рефрижератор через 12 ч, если он выехал из Омска в Челябинск?

1. В этом случае рефрижератор движется в обратном направлении: из Омска в Челябинск.

2. Найдем расстояние, которое он проедет за 12 часов. $s = 70 \text{ км/ч} \cdot 12 \text{ ч} = 840 \text{ км}$.

3. Найдем общее расстояние от Омска до Челябинска, двигаясь по маршруту в обратном направлении. Оно складывается из участков: Омск – Петропавловск (280 км), Петропавловск – Курган (270 км) и Курган – Челябинск (270 км). $s_{общ} = 280 \text{ км} + 270 \text{ км} + 270 \text{ км} = 820 \text{ км}$.

4. Сравним расстояние, которое мог бы проехать рефрижератор (840 км), с расстоянием до пункта назначения (820 км). Так как $840 \text{ км} > 820 \text{ км}$, это означает, что рефрижератор достигнет Челябинска раньше, чем через 12 часов. Рассчитаем точное время в пути до Челябинска: $t = \frac{s_{общ}}{v} = \frac{820 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} \approx 11,71 \text{ ч}$.

5. Поскольку время в пути до Челябинска (приблизительно 11,71 ч) меньше, чем 12 ч, то к 12-часовому моменту рефрижератор уже прибудет в Челябинск. Предполагая, что Челябинск является конечной точкой этого рейса, рефрижератор будет находиться там.

Ответ: рефрижератор будет находиться в Челябинске.

4.2 Из пункта А (рис. 4.6) выехал мотоциклист и движется по прямолинейному шоссе. В каком пункте будет находиться мотоциклист:

а) через 4 ч, если его скорость 30 км/ч;

б) через 5 ч, если его скорость 20 км/ч?

Каких данных не хватает в условии задачи, чтобы был только один ответ на каждый вопрос?

4.2

а) 30 • 4 = 120 (км) – проедет за 4 часа, будет находиться или в точке Х или Y.

б) 20 • 5 = 100 (км) – проедет за 5 часов, будет находиться или в точке Z или в точке С.

Не хватает данных, в каком направлении движется мотоциклист: на запад или на восток.

Для решения задачи сначала определим масштаб, указанный на рисунке 4.6. Отрезок, соответствующий 10 км, занимает 2 клетки координатной сетки. Следовательно, одна клетка соответствует расстоянию $10 \text{ км} / 2 = 5 \text{ км}$. Точка А является начальной точкой движения.

а) через 4 ч, если его скорость 30 км/ч

Сначала найдем расстояние, которое проедет мотоциклист. Для этого используем формулу пути: $s = v \cdot t$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время. Подставим данные из условия: $s = 30 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 120 \text{ км}$. В условии задачи не указано направление движения мотоциклиста. Он мог поехать как на восток, так и на запад от пункта А. Поэтому существует два возможных варианта его местоположения: он может находиться на расстоянии 120 км к востоку от пункта А или на расстоянии 120 км к западу от пункта А. На рисунке 4.6 самый дальний отмеченный пункт (X) находится на расстоянии $8 \times 5 = 40$ км от А. Таким образом, в обоих случаях мотоциклист окажется далеко за пределами отмеченных на схеме пунктов.

Ответ: Мотоциклист будет находиться в точке, расположенной в 120 км к востоку от пункта А, или в точке, расположенной в 120 км к западу от пункта А. Ни в одном из отмеченных на схеме пунктов его не будет.

б) через 5 ч, если его скорость 20 км/ч

Аналогично пункту а), найдем расстояние, которое проедет мотоциклист, по формуле $s = v \cdot t$. Подставим данные из условия: $s = 20 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 100 \text{ км}$. Так как направление движения не задано, снова получаем два возможных местоположения: он может находиться на расстоянии 100 км к востоку от пункта А или на расстоянии 100 км к западу от пункта А. Эти расстояния также превышают максимальное расстояние до отмеченных на схеме пунктов.

Ответ: Мотоциклист будет находиться в точке, расположенной в 100 км к востоку от пункта А, или в точке, расположенной в 100 км к западу от пункта А. Ни в одном из отмеченных на схеме пунктов его не будет.

Каких данных не хватает в условии задачи, чтобы был только один ответ на каждый вопрос?

Как показано в решениях пунктов а) и б), для каждого вопроса получается два возможных ответа. Это связано с тем, что мотоциклист движется по прямолинейному шоссе, и из начальной точки А он может двигаться в двух противоположных направлениях: на восток или на запад. В условии задачи это направление не указано. Чтобы ответ на каждый вопрос был единственным, необходимо задать направление движения мотоциклиста.

Ответ: В условии задачи не хватает данных о направлении движения мотоциклиста (на восток или на запад).

4.3. Опишите положение пунктов X, Z, R, N, D, С и Y (см. рис. 4.6) по отношению к пункту А.

4.3

Точки Х, Z, R и N находятся левее точки А, западнее.

Точка Х находится западнее точки А на 120 км.

Точка Z находится западнее точки А на 100 км.

Точка R находится западнее точки А на 90 км.

Точка N находится западнее точки А на 50 км.

Точки D, C и Y находятся правее точки А, восточнее.

Точка D находится восточнее точки А на 30 км.

Точка С находится восточнее точки А на 100 км.

Точка Y находится восточнее точки А на 120 км

Для решения данной задачи необходимо иметь изображение, указанное в условии как "рис. 4.6". На этом рисунке должны быть изображены пункты A, X, Z, R, N, D, C и Y. Описание положения одного пункта относительно другого (в данном случае, A) обычно выполняется одним из двух способов:

1. С помощью системы координат. Пункт A принимается за начало координат, то есть за точку с координатами $(0, 0)$. Тогда положение любого другого пункта, например X, описывается парой координат $(x_X, y_X)$, где $x_X$ — смещение по горизонтальной оси, а $y_X$ — смещение по вертикальной оси относительно пункта A.
2. С помощью расстояния и направления. Положение пункта X относительно A описывается расстоянием (длиной отрезка AX) и направлением от A к X. Направление может быть указано как угол (азимут) относительно некоторого базового направления (например, севера) или просто словесно (например, "на северо-восток").

Поскольку рисунок 4.6 отсутствует, невозможно извлечь необходимые данные для определения точного положения пунктов. Ниже приведено описание того, какие действия необходимо было бы предпринять для каждого пункта при наличии рисунка.

Положение пункта X

Для описания положения пункта X относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_X, y_X)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AX$ и определить направление от A к X по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта X необходим рисунок 4.6.

Положение пункта Z

Для описания положения пункта Z относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_Z, y_Z)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AZ$ и определить направление от A к Z по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта Z необходим рисунок 4.6.

Положение пункта R

Для описания положения пункта R относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_R, y_R)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AR$ и определить направление от A к R по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта R необходим рисунок 4.6.

Положение пункта N

Для описания положения пункта N относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_N, y_N)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AN$ и определить направление от A к N по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта N необходим рисунок 4.6.

Положение пункта D

Для описания положения пункта D относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_D, y_D)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AD$ и определить направление от A к D по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта D необходим рисунок 4.6.

Положение пункта C

Для описания положения пункта C относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_C, y_C)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AC$ и определить направление от A к C по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта C необходим рисунок 4.6.

Положение пункта Y

Для описания положения пункта Y относительно пункта A, нужно определить его координаты $(x_Y, y_Y)$ на координатной плоскости, где A — начало координат, либо измерить расстояние $AY$ и определить направление от A к Y по рисунку 4.6.

Ответ: Для определения положения пункта Y необходим рисунок 4.6.

4.4. На горизонтальной прямой отметьте точку О и точки К, М, L, D, Р и N, если известно, что:

а) точка К расположена правее точки О на 8 клеток;

б) точка М расположена левее точки О на 7 клеток;

в) точка L расположена правее точки О на 8,5 клетки;

г) точка N расположена левее точки О на 4,5 клетки;

д) точка D расположена правее точки О на 312 клетки;

е) точка Р расположена левее точки О на 112 клетки.

4.4

Для решения задачи представим горизонтальную прямую в виде числовой оси. Точку O примем за начало отсчета, то есть ее координата будет равна 0. Расположение точки «правее» от O означает, что ее координата будет положительной, а расположение «левее» — отрицательной. Расстояние в клетках будет соответствовать значению координаты.

а) Точка K расположена правее точки O на 8 клеток. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 8 единиц в положительном направлении (вправо). Следовательно, координата точки K будет +8.
Ответ: K(8).

б) Точка M расположена левее точки O на 7 клеток. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 7 единиц в отрицательном направлении (влево). Следовательно, координата точки M будет -7.
Ответ: M(-7).

в) Точка L расположена правее точки O на 8,5 клетки. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 8,5 единиц в положительном направлении. Следовательно, координата точки L будет +8,5.
Ответ: L(8,5).

г) Точка N расположена левее точки O на 4,5 клетки. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 4,5 единиц в отрицательном направлении. Следовательно, координата точки N будет -4,5.
Ответ: N(-4,5).

д) Точка D расположена правее точки O на $3\frac{1}{2}$ клетки. Переведем смешанную дробь в десятичную: $3\frac{1}{2} = 3,5$. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 3,5 единицы в положительном направлении. Следовательно, координата точки D будет +3,5.
Ответ: D(3,5).

е) Точка P расположена левее точки O на $1\frac{1}{2}$ клетки. Переведем смешанную дробь в десятичную: $1\frac{1}{2} = 1,5$. Это означает, что от точки O(0) нужно отступить на 1,5 единицы в отрицательном направлении. Следовательно, координата точки P будет -1,5.
Ответ: P(-1,5).

Таким образом, если расположить все точки на одной горизонтальной прямой в порядке их следования слева направо, мы получим следующую последовательность: M, N, P, O, D, K, L. Их координаты: M(-7), N(-4,5), P(-1,5), O(0), D(3,5), K(8), L(8,5).