Страница 11, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.13. Красный шарик находится в точке с координатой –3, а синий — в точке с координатой +3 (рис. 4.11). Обозначьте начало отсчёта, единичный отрезок и запишите координаты точек М, N, А, В и К.

4.13

М(-1), N(-5), A(4,5), B(6,5), K(1)

Для решения задачи сначала определим масштаб координатной прямой: найдём единичный отрезок и начало отсчёта.

1. Нахождение единичного отрезка.
Согласно условию, красный шарик находится в точке с координатой -3, а синий — в точке с координатой +3. Найдём расстояние между этими точками в единицах измерения: $3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.
На рисунке мы видим, что расстояние между красным и синим шариками на координатной прямой составляет 6 делений (клеток).
Поскольку 6 делений соответствуют 6 единицам, то единичный отрезок равен одному делению сетки.

2. Нахождение начала отсчёта.
Начало отсчёта (точка с координатой 0) находится на одинаковом расстоянии от точек -3 и +3. Это точка, которая делит отрезок между ними пополам. Чтобы найти её, нужно отсчитать 3 единичных отрезка (3 деления) вправо от точки -3 или влево от точки +3. В обоих случаях мы попадаем в точку, обозначенную буквой K. Таким образом, начало отсчёта находится в точке K, и её координата равна 0.

Теперь, зная, что точка K имеет координату 0, а единичный отрезок равен 1 делению, определим координаты указанных точек.

M
Точка M находится на 2 деления левее начала отсчёта (точки K). Следовательно, её координата равна -2.
Ответ: M(-2)

N
Точка N находится на 5 делений левее начала отсчёта (точки K). Следовательно, её координата равна -5.
Ответ: N(-5)

A
Точка A находится на 4 деления правее начала отсчёта (точки K). Следовательно, её координата равна +4.
Ответ: A(+4)

B
Точка B находится на 6 делений правее начала отсчёта (точки K). Следовательно, её координата равна +6.
Ответ: B(+6)

K
Как мы установили, точка K является началом отсчёта. Следовательно, её координата равна 0.
Ответ: K(0)

4.14. Найдите расстояние между точками А и В координатной прямой в единичных отрезках, если:

а) А(–1) и В(–3); б) А(–4) и В(–6); в) А(–3,7) и В(2); г) А(–5,5) и В(5,5); д) А(317) и В(–227); е) А(–1523) И В(–456).

4.14

а) АВ = 2

б) АВ = 2

в) АВ = 5,7

г) АВ = 11

д) АВ = $5\frac{3}{7}$

е) АВ = $10\frac{5}{6}$

Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной прямой необходимо из большей координаты вычесть меньшую. Расстояние (d) между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ вычисляется по формуле $d = |x_2 - x_1|$.

а) A(-1) и B(-3)

Координата точки A равна -1, а точки B равна -3. Так как $-1$ больше, чем $-3$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

Ответ: 2.

б) A(-4) и B(-6)

Координата точки A равна -4, а точки B равна -6. Так как $-4$ больше, чем $-6$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = -4 - (-6) = -4 + 6 = 2$.

Ответ: 2.

в) A(-3,7) и B(2)

Координата точки A равна -3,7, а точки B равна 2. Так как $2$ больше, чем $-3,7$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = 2 - (-3,7) = 2 + 3,7 = 5,7$.

Ответ: 5,7.

г) A(-5,5) и B(5,5)

Координата точки A равна -5,5, а точки B равна 5,5. Так как $5,5$ больше, чем $-5,5$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = 5,5 - (-5,5) = 5,5 + 5,5 = 11$.

Ответ: 11.

д) A($3\frac{1}{7}$) и B($-2\frac{2}{7}$)

Координата точки A равна $3\frac{1}{7}$, а точки B равна $-2\frac{2}{7}$. Так как $3\frac{1}{7}$ больше, чем $-2\frac{2}{7}$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = 3\frac{1}{7} - (-2\frac{2}{7}) = 3\frac{1}{7} + 2\frac{2}{7} = (3+2) + (\frac{1}{7} + \frac{2}{7}) = 5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Ответ: $5\frac{3}{7}$.

е) A($-15\frac{2}{3}$) и B($-4\frac{5}{6}$)

Координата точки A равна $-15\frac{2}{3}$, а точки B равна $-4\frac{5}{6}$. Сначала сравним эти два числа. Приведем дробную часть первого числа к знаменателю 6: $-15\frac{2}{3} = -15\frac{4}{6}$.

Так как $-4\frac{5}{6}$ больше, чем $-15\frac{4}{6}$, вычитаем из большей координаты меньшую:

$d = -4\frac{5}{6} - (-15\frac{2}{3}) = 15\frac{2}{3} - 4\frac{5}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и выполним вычитание:

$d = 15\frac{4}{6} - 4\frac{5}{6}$.

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$15\frac{4}{6} = 14 + 1 + \frac{4}{6} = 14 + \frac{6}{6} + \frac{4}{6} = 14\frac{10}{6}$.

Теперь выполним вычитание:

$d = 14\frac{10}{6} - 4\frac{5}{6} = (14-4) + (\frac{10}{6} - \frac{5}{6}) = 10 + \frac{5}{6} = 10\frac{5}{6}$.

Ответ: $10\frac{5}{6}$.

4.15. Запишите два числа, расположенные на координатной прямой:

а) правее числа 7;
б) левее числа -16;
в) левее числа 14,9;
г) правее числа -2,3;
д) между числами -1 и 1;
е) между числами -0,1 и 0,1.

4.15

а) 7,4 и 13

б) -17,5 и -29

в) 1 и 0

г) -2,2 и 1

д) 0,3 и 0,5

е) 0 и 0,05

а) правее числа 7

На координатной прямой числа, расположенные правее данного числа, всегда больше этого числа. Следовательно, нам нужно найти два числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x > 7$. Таких чисел бесконечно много. В качестве примера можно взять любые два числа, которые больше 7.

Например, возьмем числа 8 и 15.

$8 > 7$

$15 > 7$

Ответ: 8 и 15.

б) левее числа –16

На координатной прямой числа, расположенные левее данного числа, всегда меньше этого числа. Таким образом, нам нужно найти два числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x < -16$. При работе с отрицательными числами важно помнить, что чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Например, $-17 < -16$.

В качестве примера можно взять -17 и -20.

$-17 < -16$

$-20 < -16$

Ответ: -17 и -20.

в) левее числа 14,9

Числа, расположенные на координатной прямой левее числа 14,9, должны быть меньше него. Нам нужно найти два числа $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 14,9$. Это могут быть как целые, так и дробные числа.

Например, возьмем числа 14 и 0.

$14 < 14,9$

$0 < 14,9$

Ответ: 14 и 0.

г) правее числа –2,3

Числа, расположенные правее числа –2,3, должны быть больше него. Нам нужно найти два числа $x$, для которых выполняется неравенство $x > -2,3$. Любое положительное число, ноль, а также отрицательные числа с меньшим модулем (например, -2 или -1) будут больше, чем -2,3.

Возьмем, к примеру, числа -2 и 0.

$-2 > -2,3$

$0 > -2,3$

Ответ: -2 и 0.

д) между числами –1 и 1

Найти числа, расположенные между –1 и 1, означает найти числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-1 < x < 1$. Это могут быть как ноль, так и различные дробные числа в этом интервале.

Например, возьмем числа 0 и 0,5.

$-1 < 0 < 1$

$-1 < 0,5 < 1$

Ответ: 0 и 0,5.

е) между числами –0,1 и 0,1

Найти числа, расположенные между –0,1 и 0,1, означает найти числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-0,1 < x < 0,1$. Эти числа будут очень близки к нулю.

Например, можно взять число 0,05 и -0,08.

$-0,1 < 0,05 < 0,1$

$-0,1 < -0,08 < 0,1$

Ответ: 0,05 и -0,08.

4.16. Изобразите вертикальную координатную прямую, обозначьте её t, °C и отметьте на ней числа, соответствующие температуре: –12 °C; –11 °C; –7 °C; +3 °C; –8,5 °C; +7,3 °C.

4.16

Для того чтобы изобразить вертикальную координатную прямую, обозначить ее и отметить на ней заданные значения температуры, необходимо выполнить следующие действия. Эта прямая будет аналогична шкале уличного термометра.

1. Начертим вертикальную линию. Это будет наша координатная ось.
2. Выберем на этой линии точку отсчета — $0$. Эта точка соответствует температуре $0 °C$.
3. Зададим единичный отрезок, который будет соответствовать $1 °C$. Например, это может быть одна клетка в тетради или 0,5 см.
4. Обозначим нашу ось как $t, °C$. Положительные значения температуры (выше нуля) будем откладывать вверх от точки $0$, а отрицательные (ниже нуля) — вниз.
5. Теперь последовательно отметим на оси все заданные температуры:
   • Температуру $-12 °C$ отметим, отложив 12 единичных отрезков вниз от нуля.
   • Температуру $-11 °C$ отметим, отложив 11 единичных отрезков вниз от нуля. Эта точка будет расположена на 1 единицу выше точки $-12 °C$.
   • Температуру $-7 °C$ отметим, отложив 7 единичных отрезков вниз от нуля.
   • Температуру $+3 °C$ отметим, отложив 3 единичных отрезка вверх от нуля.
   • Температуру $-8,5 °C$ отметим, отложив 8 с половиной единичных отрезков вниз от нуля. Эта точка будет находиться ровно посередине между отметками $-8$ и $-9$.
   • Температуру $+7,3 °C$ отметим, отложив 7,3 единичных отрезка вверх от нуля. Эта точка будет находиться немного выше отметки $+7$.

Расположив все точки на вертикальной оси, мы получим их в следующем порядке (сверху вниз): $+7,3 °C; +3 °C; -7 °C; -8,5 °C; -11 °C; -12 °C$.

Схематичное изображение координатной прямой с отмеченными точками:
▲ $t, °C$
│
│ ← $+7,3$
│
│
│
│ ← $+3$
│
│
┼── $0$
│
│
│
│
│
│
│ ← $-7$
│
│ ← $-8,5$
│
│
│ ← $-11$
│ ← $-12$
│
▼

Ответ: На вертикальной координатной прямой $t, °C$ с началом отсчета в точке $0$ и положительным направлением вверх отмечены точки, соответствующие заданным температурам. При движении по оси сверху вниз точки располагаются в следующем порядке: $+7,3 °C$, $+3 °C$, $-7 °C$, $-8,5 °C$, $-11 °C$, $-12 °C$.

4.17. На главном здании Московского государственного университета установлен термометр в форме круга со стрелкой (рис. 4.12, а).
а) Какую температуру показывает термометр на рисунке 4.12, б?
б) Какую температуру показывает термометр на рисунке 4.12, в?

4.17

а) +25℃

б) -25℃

а) Для определения температуры по термометру на рисунке 4.12, б, необходимо проанализировать его шкалу. Правая часть шкалы предназначена для положительных температур (отмечена знаком «+»), а левая — для отрицательных (знак «−»).

Стрелка на рисунке б указывает на правую, положительную часть шкалы. Крупные деления нанесены через каждые 10 градусов (0, 10, 20, 30, 40). Между каждыми двумя крупными делениями есть одно малое, которое делит 10-градусный интервал пополам. Таким образом, цена малого деления составляет $10 \div 2 = 5$ градусов.

Стрелка находится точно на малом делении между отметками 20 и 30. Значит, показываемая температура равна $20 + 5 = 25$ градусов. Поскольку это положительная область, температура составляет +25 °C.

Ответ: +25 °C.

б) На рисунке 4.12, в стрелка термометра находится на левой, отрицательной части шкалы (отмечена знаком «−»).

Шкала для отрицательных температур устроена симметрично положительной. Цена малого деления также составляет 5 градусов. Стрелка указывает на малое деление, расположенное между отметками 20 и 30, которые в этой части шкалы соответствуют температурам $-20$ °C и $-30$ °C.

Следовательно, термометр показывает температуру, которая на 5 градусов ниже $-20$ °C. Рассчитаем значение: $-20 - 5 = -25$ °C. Либо можно найти среднее арифметическое: $\frac{(-20) + (-30)}{2} = -25$ °C.

Ответ: -25 °C.

4.18. Из чисел – 3,1; $\frac{\mathbf{7}\mathbf{ }}{\mathbf{8}}\mathbf{;}$ $\mathbf{-}\frac{\mathbf{23}}{\mathbf{5}}\mathbf{;}$ 0; 9; $\mathbf{–}\mathbf{10}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{11}}\mathbf{;}$ 8,4; –50; 4 выпишите:

а) отрицательные;
б) положительные;
в) неположительные;
г) неотрицательные.

Расположите эти числа в порядке возрастания.

4.18

а) отрицательные: -50; $-10\frac{3}{11}$; $-\frac{23}{5}$; -3,1;

б) положительные: $\frac{7}{8}$; 4; 8,4; 9

в) неположительные: -50; $-10\frac{3}{11}$; $-\frac{23}{5}$; -3,1; 0

г) неотрицательные: 0; $\frac{7}{8}$; 4; 8,4; 9

-50; $-10\frac{3}{11}$; $-\frac{23}{5}$; -3,1; 0; $\frac{7}{8}$; 4; 8,4; 9.

Для выполнения заданий проанализируем данный ряд чисел: $ -3,1; \frac{7}{8}; -\frac{23}{5}; 0; 9; -10\frac{3}{11}; 8,4; -50; 4 $.

а) отрицательные

Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Из данного набора выберем те, которые имеют знак минус.

Это числа: $ -3,1; -\frac{23}{5}; -10\frac{3}{11}; -50 $.

Ответ: $ -3,1; -\frac{23}{5}; -10\frac{3}{11}; -50 $.

б) положительные

Положительные числа — это числа, которые больше нуля. Из данного набора выберем те, которые не имеют знака минус и не равны нулю.

Это числа: $ \frac{7}{8}; 9; 8,4; 4 $.

Ответ: $ \frac{7}{8}; 9; 8,4; 4 $.

в) неположительные

Неположительные числа — это числа, которые меньше или равны нулю. К ним относятся все отрицательные числа и ноль.

Это числа: $ -3,1; -\frac{23}{5}; 0; -10\frac{3}{11}; -50 $.

Ответ: $ -3,1; -\frac{23}{5}; 0; -10\frac{3}{11}; -50 $.

г) неотрицательные

Неотрицательные числа — это числа, которые больше или равны нулю. К ним относятся все положительные числа и ноль.

Это числа: $ \frac{7}{8}; 0; 9; 8,4; 4 $.

Ответ: $ \frac{7}{8}; 0; 9; 8,4; 4 $.

Расположите эти числа в порядке возрастания.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), сравним их значения. Для удобства сравнения преобразуем дроби в десятичные:

• $ \frac{7}{8} = 0,875 $
• $ -\frac{23}{5} = -4,6 $
• $ -10\frac{3}{11} = -\frac{113}{11} \approx -10,27 $

Теперь у нас есть следующий ряд для сравнения: $ -3,1; 0,875; -4,6; 0; 9; \approx -10,27; 8,4; -50; 4 $.

Сначала расположим отрицательные числа. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. $ -50 < -10,27... < -4,6 < -3,1 $. В исходном виде: $ -50 < -10\frac{3}{11} < -\frac{23}{5} < -3,1 $.

Затем идет ноль: $ 0 $.

Далее расположим положительные числа: $ 0,875 < 4 < 8,4 < 9 $. В исходном виде: $ \frac{7}{8} < 4 < 8,4 < 9 $.

Объединив все части, получаем итоговый ряд в порядке возрастания:

$ -50; -10\frac{3}{11}; -\frac{23}{5}; -3,1; 0; \frac{7}{8}; 4; 8,4; 9 $.

Ответ: $ -50; -10\frac{3}{11}; -\frac{23}{5}; -3,1; 0; \frac{7}{8}; 4; 8,4; 9 $.