Страница 10, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.9. Проведите вертикальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки Р, Q, М, N, если известно, что:

а) точка Р выше точки О на 4 клетки;
б) точка Q ниже точки О на 3 клетки;
в) точка М выше точки О на 2,5 клетки;
г) точка N ниже точки О на 7,5 клеток.

4.9

Для решения этой задачи проведем вертикальную прямую и выберем на ней произвольную точку O, которую примем за начало отсчета (или ноль). Положение остальных точек будем определять относительно точки O. Движение вверх по прямой будем считать положительным направлением, а движение вниз — отрицательным. В качестве единицы измерения будем использовать одну клетку тетради.

Чтобы найти положение точки P, необходимо от точки O отсчитать 4 клетки вверх (в положительном направлении) и отметить точку P. Если бы мы ввели координатную ось, где точка O имеет координату 0, то координата точки P была бы равна $4$.

Ответ: Точка P расположена на 4 клетки выше точки O.

Чтобы найти положение точки Q, необходимо от точки O отсчитать 3 клетки вниз (в отрицательном направлении) и отметить точку Q. На координатной оси точка Q имела бы координату $-3$.

Ответ: Точка Q расположена на 3 клетки ниже точки O.

Чтобы найти положение точки M, необходимо от точки O отсчитать 2,5 клетки вверх. Это означает, что нужно отступить вверх на 2 целые клетки и еще на половину следующей, третьей, клетки. На координатной оси точка M имела бы координату $2,5$.

Ответ: Точка M расположена на 2,5 клетки выше точки O.

Чтобы найти положение точки N, необходимо от точки O отсчитать 7,5 клеток вниз. Это означает, что нужно отступить вниз на 7 целых клеток и еще на половину следующей, восьмой, клетки. На координатной оси точка N имела бы координату $-7,5$.

Ответ: Точка N расположена на 7,5 клеток ниже точки O.

4.10. а) По ленте времени (рис. 4.10, а) определите века, в которых жили великие учёные-математики: Архимед, Франсуа Виет, Евклид, Карл Гаусс, Герои, Диофант Александрийский, Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Николай Иванович Лобачевский, Пифагор, Леонард Эйлер.

б) По рисунку 4.10, б назовите 6 самых высоких гор и 5 самых глубоких озёр. Укажите в метрах их приблизительные высоты и глубины.

4.10

а) Архимед – III век до н.э.
Франсуа Виет – XV век н.э.
Евклид – III век до н.э.
Карл Гаусс – XIX век н.э.
Герон – I век н.э.
Диофант Александрийский – III век н.э.
Рене Декарт – XVI век н.э.
Готфрид Лейбниц – XVIII век н.э.
Николай Иванович Лобачевский – XIX век н.э.
Пифагор – VI век до н.э.
Леонард Эйлер – XVIII век н.э.

б) Эверест +8900 м
Аконкагуа +6990 м
Мак – Кинли +6200 м
Килиманджаро +5700 м
Эльбрус +4800 м
Косцюшко +2200 м
Северный Ледовитый океан -5500 м
Зондский жёлоб -7800 м
Южно-Сандвичев жёлоб –8300 м
Жёлоб Пуэрто-Рико -8800 м
Марианский жёлоб -11000 м

а) Для того чтобы определить века, в которых жили указанные учёные-математики, обратимся к ленте времени на рисунке 4.10, а. На этой ленте римскими цифрами отмечены века: слева от нуля (0) — века до нашей эры (до н.э.), справа — века нашей эры (н.э.). Проанализировав положение каждого имени на ленте, получаем следующие результаты:
• Пифагор: указатель находится на отметке VI в левой части, что соответствует VI веку до н.э.
• Евклид: указатель находится на отметке III в левой части, что соответствует III веку до н.э.
• Архимед: указатель также находится на отметке III в левой части, что соответствует III веку до н.э.
• Герон: указатель находится на отметке I в правой части, что соответствует I веку н.э.
• Диофант Александрийский: указатель находится на отметке III в правой части, что соответствует III веку н.э.
• Франсуа Виет: указатель находится на отметке XVI, что соответствует XVI веку н.э.
• Рене Декарт: указатель находится между отметками XVI и XVIII, то есть в XVII веке н.э.
• Готфрид Лейбниц: указатель находится рядом с указателем Декарта, также в XVII веке н.э.
• Леонард Эйлер: указатель находится на отметке XVIII, что соответствует XVIII веку н.э.
• Карл Гаусс: указатель находится между отметками XVIII и XX, то есть в XIX веке н.э.
• Николай Иванович Лобачевский: указатель находится рядом с указателем Гаусса, также в XIX веке н.э.

Ответ: Пифагор — VI век до н.э.; Евклид — III век до н.э.; Архимед — III век до н.э.; Герон — I век н.э.; Диофант Александрийский — III век н.э.; Франсуа Виет — XVI век н.э.; Рене Декарт — XVII век н.э.; Готфрид Лейбниц — XVII век н.э.; Леонард Эйлер — XVIII век н.э.; Карл Гаусс — XIX век н.э.; Николай Иванович Лобачевский — XIX век н.э.

б) Для выполнения этого задания используем диаграмму на рисунке 4.10, б, которая показывает высоты гор и глубины океанских впадин. В условии задания, по всей видимости, допущена неточность: вместо «самых глубоких озёр» следует читать «самых глубоких океанских желобов (впадин)», так как именно они представлены на схеме. Определим приблизительные высоты и глубины по вертикальной шкале в метрах.

6 самых высоких гор (в порядке убывания высоты):
1. Эверест (Азия): высота около 8800 м (линия на графике находится чуть ниже отметки +9000 м).
2. Аконкагуа (Южная Америка): высота около 6900 м (линия находится немного ниже отметки +7000 м).
3. Мак-Кинли (Северная Америка): высота около 6200 м (линия находится выше середины между +5000 м и +7000 м).
4. Килиманджаро (Африка): высота около 5900 м (линия находится чуть ниже середины между +5000 м и +7000 м).
5. Эльбрус (Европа): высота около 5600 м (линия находится выше отметки +5000 м, но заметно ниже Килиманджаро).
6. Косцюшко (Австралия): высота около 2200 м (линия находится немного выше середины между +1000 м и +3000 м).

5 самых глубоких точек океанов (в порядке убывания глубины):
1. Марианский жёлоб (Тихий океан): глубина около -11000 м (линия почти достигает отметки -11000 м).
2. Жёлоб Пуэрто-Рико (Атлантический океан): глубина около -9200 м (линия находится немного ниже отметки -9000 м).
3. Южно-Сандвичев жёлоб (Южный океан): глубина около -8400 м (линия находится между -7000 м и -9000 м, ближе к -9000 м).
4. Зондский жёлоб (Индийский океан): глубина около -7700 м (линия находится между -7000 м и -9000 м, ближе к -7000 м).
5. Глубочайшая точка Северного Ледовитого океана: глубина около -5500 м (линия находится между -5000 м и -7000 м, ближе к -5000 м).

Ответ:
Самые высокие горы: Эверест (прибл. 8800 м), Аконкагуа (прибл. 6900 м), Мак-Кинли (прибл. 6200 м), Килиманджаро (прибл. 5900 м), Эльбрус (прибл. 5600 м), Косцюшко (прибл. 2200 м).
Самые глубокие океанские желоба (точки): Марианский жёлоб (прибл. -11000 м), жёлоб Пуэрто-Рико (прибл. -9200 м), Южно-Сандвичев жёлоб (прибл. -8400 м), Зондский жёлоб (прибл. -7700 м), глубочайшая точка Северного Ледовитого океана (прибл. -5500 м).

4.11. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки, имеющие координату х, если:

а) х = 3; 8; – 2; – 6;

б) х = – 4,5; – 2,4; 1,6; 5,8;

в) х = – 13; – 214; 34; 325.

4.11

а) Чтобы отметить на координатной прямой точки с целыми координатами $x = 3; 8; -2; -6$, выполним следующие шаги:

1. Начертим горизонтальную прямую — ось координат.
2. Выберем на ней точку отсчета (начало координат) и обозначим ее цифрой 0.
3. Зададим единичный отрезок. Положительные числа откладываются вправо от нуля, а отрицательные — влево.
4. Отметим заданные точки:
   • Точка с координатой 3 находится на 3 единичных отрезка правее нуля.
   • Точка с координатой 8 находится на 8 единичных отрезков правее нуля.
   • Точка с координатой -2 находится на 2 единичных отрезка левее нуля.
   • Точка с координатой -6 находится на 6 единичных отрезков левее нуля.

Изображение координатной прямой с отмеченными точками:

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками $3; 8; -2; -6$ представлена на рисунке выше.

б) Для того чтобы отметить точки с десятичными координатами $x = -4,5; -2,4; 1,6; 5,8$, начертим координатную прямую и расположим на ней точки:

• Точка с координатой $-4,5$ находится ровно посередине между целыми числами -4 и -5.
• Точка с координатой $-2,4$ находится между -2 и -3, немного левее отметки -2 и ближе к ней, чем к -3 ($2,4$ единицы влево от нуля).
• Точка с координатой $1,6$ находится между 1 и 2, немного правее середины этого отрезка (1,5).
• Точка с координатой $5,8$ находится между 5 и 6, очень близко к отметке 6.

Изображение координатной прямой с отмеченными точками:

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками $-4,5; -2,4; 1,6; 5,8$ представлена на рисунке выше.

в) Чтобы отметить точки с дробными координатами $x = -\frac{1}{3}; -2\frac{1}{4}; \frac{3}{4}; 3\frac{2}{5}$, сначала удобно представить их в виде десятичных дробей для более точного расположения на оси:

• $x = -\frac{1}{3} \approx -0,33$
• $x = -2\frac{1}{4} = -2,25$
• $x = \frac{3}{4} = 0,75$
• $x = 3\frac{2}{5} = 3,4$

Теперь разместим эти точки на координатной прямой:

• Точка с координатой $-\frac{1}{3}$ находится между 0 и -1. Нужно разделить этот отрезок на 3 равные части и взять первую часть слева от нуля.
• Точка с координатой $-2\frac{1}{4}$ (или -2,25) находится между -2 и -3, ровно на четверти пути от -2 в сторону -3.
• Точка с координатой $\frac{3}{4}$ (или 0,75) находится между 0 и 1, занимая три четверти этого отрезка от нуля.
• Точка с координатой $3\frac{2}{5}$ (или 3,4) находится между 3 и 4. Нужно разделить этот отрезок на 5 равных частей и взять две части справа от 3.

Изображение координатной прямой с отмеченными точками:

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками $-\frac{1}{3}; -2\frac{1}{4}; \frac{3}{4}; 3\frac{2}{5}$ представлена на рисунке выше.

4.12. Выбрав в качестве единичного отрезка 6 клеток, изобразите на координатной прямой точки с координатами:

а) А (–1), В (–4), С (2);

б) М (– 0,5), N (1,2), K (– 1,8), L (0,6);

в) P (56), F (– 113), T (212), Q (– 23).

4.12

а)

б)

в)

По условию задачи, единичный отрезок на координатной прямой равен 6 клеткам. Это означает, что расстояние от 0 до 1 (а также от 0 до -1) составляет 6 клеток. Чтобы найти положение любой точки на этой прямой в клетках, нужно ее координату умножить на 6. Положительные координаты откладываются вправо от начала координат (точки 0), а отрицательные – влево.

а) A(-1), B(-4), C(2)

Найдем положение каждой точки в клетках относительно начала координат (точки 0), умножив координату точки на 6.

• Для точки A с координатой -1:
  Положение в клетках: $-1 \times 6 = -6$.
  Это означает, что точка A находится на расстоянии 6 клеток слева от начала координат.
• Для точки B с координатой -4:
  Положение в клетках: $-4 \times 6 = -24$.
  Это означает, что точка B находится на расстоянии 24 клеток слева от начала координат.
• Для точки C с координатой 2:
  Положение в клетках: $2 \times 6 = 12$.
  Это означает, что точка C находится на расстоянии 12 клеток справа от начала координат.

Ответ: Для изображения на координатной прямой с единичным отрезком в 6 клеток, точку A(-1) нужно отметить на 6 клеток левее нуля, точку B(-4) — на 24 клетки левее нуля, а точку C(2) — на 12 клеток правее нуля.

б) M(-0,5), N(1,2), K(-1,8), L(0,6)

Найдем положение каждой точки в клетках, умножив ее координату на 6.

• Для точки M с координатой -0,5:
  Положение в клетках: $-0,5 \times 6 = -3$.
  Точка M находится на 3 клетки левее нуля.
• Для точки N с координатой 1,2:
  Положение в клетках: $1,2 \times 6 = 7,2$.
  Точка N находится на 7,2 клетки правее нуля.
• Для точки K с координатой -1,8:
  Положение в клетках: $-1,8 \times 6 = -10,8$.
  Точка K находится на 10,8 клеток левее нуля.
• Для точки L с координатой 0,6:
  Положение в клетках: $0,6 \times 6 = 3,6$.
  Точка L находится на 3,6 клетки правее нуля.

Ответ: Точку M(-0,5) нужно отметить на 3 клетки левее нуля, точку N(1,2) — на 7,2 клетки правее нуля, точку K(-1,8) — на 10,8 клеток левее нуля, а точку L(0,6) — на 3,6 клетки правее нуля.

в) P($\frac{5}{6}$), F($-1\frac{1}{3}$), T($2\frac{1}{2}$), Q($-\frac{2}{3}$)

Найдем положение каждой точки в клетках. Для удобства вычислений преобразуем смешанные дроби в неправильные.

• Для точки P с координатой $\frac{5}{6}$:
  Положение в клетках: $\frac{5}{6} \times 6 = 5$.
  Точка P находится на 5 клеток правее нуля.
• Для точки F с координатой $-1\frac{1}{3}$:
  Преобразуем координату в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.
  Положение в клетках: $-\frac{4}{3} \times 6 = -4 \times \frac{6}{3} = -4 \times 2 = -8$.
  Точка F находится на 8 клеток левее нуля.
• Для точки T с координатой $2\frac{1}{2}$:
  Преобразуем координату в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
  Положение в клетках: $\frac{5}{2} \times 6 = 5 \times \frac{6}{2} = 5 \times 3 = 15$.
  Точка T находится на 15 клеток правее нуля.
• Для точки Q с координатой $-\frac{2}{3}$:
  Положение в клетках: $-\frac{2}{3} \times 6 = -2 \times \frac{6}{3} = -2 \times 2 = -4$.
  Точка Q находится на 4 клетки левее нуля.

Ответ: Точку P($\frac{5}{6}$) нужно отметить на 5 клеток правее нуля, точку F($-1\frac{1}{3}$) — на 8 клеток левее нуля, точку T($2\frac{1}{2}$) — на 15 клеток правее нуля, а точку Q($-\frac{2}{3}$) — на 4 клетки левее нуля.