Страница 43, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.200. Найдите сумму:

а) 38 + (–8); б) –90 + 40; в) –293 + 400; г) 270 + (–230); д) –100 + 99.

4.200

а) 38 + (-8) = +(38 – 8) = 30

б) -90 + 40 = -(90 – 40) = -50

в) -293 + 400 = +(400 – 293) = 107

г) 270 + (-230) = +(270 – 230) = 40

д)-100 + 99 = -(100 – 99) = -1

а) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю и поставить перед результатом знак числа с большим модулем. В данном случае прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию.
$38 + (-8) = 38 - 8 = 30$.
Ответ: 30.

б) Складываем числа с разными знаками: отрицательное $-90$ и положительное $40$. Модуль числа $-90$ равен $90$, а модуль числа $40$ равен $40$. Так как $|-90| > |40|$, результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший.
$-90 + 40 = -(|-90| - |40|) = -(90 - 40) = -50$.
Ответ: -50.

в) Складываем числа с разными знаками: отрицательное $-293$ и положительное $400$. Модуль числа $400$ больше модуля числа $-293$, так как $|400| > |-293|$. Значит, результат будет положительным. Вычитаем из большего модуля меньший.
$-293 + 400 = |400| - |-293| = 400 - 293 = 107$.
Ответ: 107.

г) Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию. Складываем положительное число $270$ и отрицательное $-230$.
$270 + (-230) = 270 - 230 = 40$.
Ответ: 40.

д) Складываем числа с разными знаками: отрицательное $-100$ и положительное $99$. Модуль числа $-100$ больше модуля числа $99$, так как $|-100| > |99|$. Значит, результат будет отрицательным. Вычитаем из большего модуля меньший.
$-100 + 99 = -(|-100| - |99|) = -(100 - 99) = -1$.
Ответ: -1.

4.201. Сравните значения выражений:

а) –40 + 27 и 27 + (–40); б) –21 + 9 и –21 + (–9); в) 17 + (–47) и –17 + 47.  

4.201

а) - 40 + 27 = - (40 – 27) = - 13
27 + (-40) = - (40 – 27) = - 13
-40 + 27 = 27 + (-40)

б) -21 + 9 = - (21 – 9) = - 12
- 21 + (-9) = - (21 + 9) = - 30
-21 + 9 > -21 + (-9)

в) 17 + (-47) = - (47 – 17) = - 30
-17 + 47 = 47 – 17 = 30
17 + (-47) < -17 + 47

а) Сравним значения выражений $-40 + 27$ и $27 + (-40)$.

Сначала вычислим значение первого выражения: $-40 + 27$. Это сложение чисел с разными знаками. Так как модуль отрицательного числа $|-40| = 40$ больше модуля положительного числа $|27| = 27$, результат будет отрицательным. Найдем разность модулей: $40 - 27 = 13$. Таким образом, $ -40 + 27 = -13$.

Теперь вычислим значение второго выражения: $27 + (-40)$. Это выражение эквивалентно $27 - 40$. Результат вычисления будет таким же: $27 - 40 = -13$.

Сравнивая результаты, получаем $-13 = -13$. Следовательно, значения выражений равны. Это также является иллюстрацией переместительного закона сложения ($a + b = b + a$).

Ответ: $-40 + 27 = 27 + (-40)$.

б) Сравним значения выражений $-21 + 9$ и $-21 + (-9)$.

Вычислим значение первого выражения: $-21 + 9$. Складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа $|-21| = 21$ больше модуля положительного $|9| = 9$, значит, результат будет отрицательным. Разность модулей равна $21 - 9 = 12$. Следовательно, $-21 + 9 = -12$.

Вычислим значение второго выражения: $-21 + (-9)$. Это сложение двух отрицательных чисел. Чтобы их сложить, нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак минус: $-(21 + 9) = -30$. Таким образом, $-21 + (-9) = -30$.

Сравниваем полученные значения: $-12$ и $-30$. На числовой прямой $-12$ находится правее, чем $-30$, поэтому $-12 > -30$.

Ответ: $-21 + 9 > -21 + (-9)$.

в) Сравним значения выражений $17 + (-47)$ и $-17 + 47$.

Вычислим значение первого выражения: $17 + (-47)$. Это сложение чисел с разными знаками, которое можно записать как $17 - 47$. Модуль отрицательного числа $|-47| = 47$ больше модуля положительного $|17| = 17$, поэтому результат будет отрицательным. Разность модулей: $47 - 17 = 30$. Значит, $17 + (-47) = -30$.

Вычислим значение второго выражения: $-17 + 47$. Здесь также складываются числа с разными знаками. Модуль положительного числа $|47| = 47$ больше модуля отрицательного $|-17| = 17$, поэтому результат будет положительным. Разность модулей: $47 - 17 = 30$. Значит, $-17 + 47 = 30$.

Сравниваем полученные значения: $-30$ и $30$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-30 < 30$.

Ответ: $17 + (-47) < -17 + 47$.

4.202. Найдите значение выражения:

а) –48 + 40 + (–37); в) 26 + (–89) + 31; б) 56 + (–39) + (–7); г) –29 + (–23) + 41 + 23.

4.202

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-48 + 40 + (-37) = (-48 + (-37)) + 40 = \\ = -(48 + 37) + 40 = -85 + 40= -(85 – 40) = -45 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }56 + (-39) + (-7) = 56 + (-(39 + 7)) = \\ =56 + (-46) = +(56 – 46) = 10 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }26 + (-89) + 31 = (26 + 31) + (-89) = \\ =57 + (-89) = -(89 – 57) = -32 \\ \mathit{г}\mathbf{)} -29 + (-23) + 41 + 23 = (-23 + 23) + \\ + (-29 + 41) = 0 + (41 – 29) = 12 \end{gathered}$$

а) $-48 + 40 + (-37)$

Для решения этого выражения будем действовать по порядку. Сначала сложим первые два числа: $-48$ и $40$. Так как у них разные знаки, мы из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего по модулю числа.

$-48 + 40 = -(48 - 40) = -8$

Теперь к полученному результату прибавим третье число, $-37$.

$-8 + (-37)$

Оба числа отрицательные, поэтому мы складываем их модули и ставим перед результатом знак минус.

$-(8 + 37) = -45$

Таким образом, $-48 + 40 + (-37) = -45$.

Ответ: $-45$

б) $56 + (-39) + (-7)$

Сначала сложим первые два числа: $56$ и $-39$. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию.

$56 + (-39) = 56 - 39 = 17$

Теперь к результату прибавим третье число, $-7$.

$17 + (-7) = 17 - 7 = 10$

Альтернативный способ: сначала сложить отрицательные числа.

$(-39) + (-7) = -(39 + 7) = -46$

Затем $56 + (-46) = 56 - 46 = 10$.

Ответ: $10$

в) $26 + (-89) + 31$

Используем переместительное свойство сложения и сгруппируем положительные числа для удобства вычислений.

$(26 + 31) + (-89)$

Сначала сложим положительные числа в скобках:

$26 + 31 = 57$

Теперь выполним сложение полученного результата с оставшимся числом:

$57 + (-89)$

Так как числа имеют разные знаки, из большего по модулю числа вычитаем меньшее и ставим знак большего по модулю числа.

$-(89 - 57) = -32$

Ответ: $-32$

г) $-29 + (-23) + 41 + 23$

Используем переместительное свойство сложения. Заметим, что в выражении есть пара противоположных чисел: $-23$ и $23$. Сумма противоположных чисел равна нулю.

$(-23) + 23 = 0$

Сгруппируем их:

$-29 + 41 + ((-23) + 23) = -29 + 41 + 0$

Теперь осталось сложить $-29$ и $41$.

$-29 + 41 = 41 - 29 = 12$

Ответ: $12$

4.203. Подберите корень уравнения и выполните проверку:

а) –3 + с = 13; б) z + (–4) = –22; в) 4 + q = –20; г) р + (–24) = 4.

4.203

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-3 + c = 13; \\ с = 13 – (-3); \\ с = 13 + 3; \\ с = 16. \\ \mathrm{Ответ}:16 \\ \mathrm{Проверка}: \\ -3 + 16 = +(16 – 3) = 13 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }z + (-4) = -22; \\ z = - 22 – (-4); \\ z = - 22 + 4; \\ z = - (22 – 4); \\ z = -18. \\ \mathrm{Ответ}: -18. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -18 + (-4) = -(18 + 4) = -22 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 4 + q = -20; \\ q = - 20 – 4; \\ q = - 24. \\ \mathrm{Ответ}: -24. \\ \mathrm{Проверка}: \\ 4 + (-24) = -(24 – 4) = -20 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }p + (-24) = 4; \\ р = 4 – (- 24); \\ р = 4 + 24; \\ р = 28. \\ \mathrm{Ответ}: 28. \\ \mathrm{Проверка}: \\ 28 + (-24) = +(28 – 24) = 4 \end{gathered}$$

а) $-3 + c = 13$

Чтобы найти корень уравнения, нужно найти неизвестное слагаемое c. Для этого из суммы 13 вычтем известное слагаемое -3.

$c = 13 - (-3)$

$c = 13 + 3$

$c = 16$

Проверка:

Подставим найденное значение $c = 16$ в исходное уравнение:

$-3 + 16 = 13$

$13 = 13$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 16.

б) $z + (-4) = -22$

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки: $z - 4 = -22$.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое z, нужно к разности -22 прибавить вычитаемое 4.

$z = -22 + 4$

$z = -18$

Проверка:

Подставим $z = -18$ в исходное уравнение:

$-18 + (-4) = -22$

$-18 - 4 = -22$

$-22 = -22$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: -18.

в) $4 + q = -20$

Чтобы найти неизвестное слагаемое q, нужно из суммы -20 вычесть известное слагаемое 4.

$q = -20 - 4$

$q = -24$

Проверка:

Подставим $q = -24$ в исходное уравнение:

$4 + (-24) = -20$

$4 - 24 = -20$

$-20 = -20$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: -24.

г) $p + (-24) = 4$

Упростим уравнение, раскрыв скобки: $p - 24 = 4$.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое p, нужно к разности 4 прибавить вычитаемое 24.

$p = 4 + 24$

$p = 28$

Проверка:

Подставим $p = 28$ в исходное уравнение:

$28 + (-24) = 4$

$28 - 24 = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 28.

4.204. Выполните сложение:

а) –4,5 + 7,8; б) –7 + 12,2; в) 1 + (–0,79); г) 0,5 + (–4,2); д) –4,1 + 0,1; е) –2,2 + 1,8; ж) 1,4 + (–5,6); з) 5,8 + (–6).

4.204

а) -4,5 + 7,8 = +(7,8 – 4,5) = 3,3

б) -7 + 12,2 = +(12,2 – 7) = 5,2

в) 1 + (-0,79) = +(1 – 0,79) = 0,21

г) 0,5 + (-4,2) = -(4,2 – 0,5) = -3,7

д) -4,1 + 0,1 = -(4,1 – 0,1) = -4

е) -2,2 + 1,8 = -(2,2 – 1,8) = -0,4

ж) 1,4 + (-5,6) = -(5,6 – 1,4) = -4,2

з) 5,8 + (-6) = -(6 – 5,8) = -0,2

а) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю, и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

В выражении $-4,5 + 7,8$ модули чисел равны $|-4,5| = 4,5$ и $|7,8| = 7,8$.

Так как $7,8 > 4,5$, то результат будет положительным. Выполним вычитание: $7,8 - 4,5 = 3,3$.

$-4,5 + 7,8 = 3,3$.

Ответ: $3,3$.

б) Складываем числа с разными знаками: $-7$ и $12,2$.

Модули чисел: $|-7| = 7$ и $|12,2| = 12,2$.

Так как $12,2 > 7$, результат будет положительным. Вычитаем модули: $12,2 - 7 = 5,2$.

$-7 + 12,2 = 5,2$.

Ответ: $5,2$.

в) Складываем числа $1$ и $-0,79$. Выражение можно записать как $1 - 0,79$.

Модули чисел: $|1| = 1$ и $|-0,79| = 0,79$.

Так как $1 > 0,79$, результат будет положительным. Выполняем вычитание: $1 - 0,79 = 0,21$.

$1 + (-0,79) = 0,21$.

Ответ: $0,21$.

г) Складываем числа $0,5$ и $-4,2$.

Модули чисел: $|0,5| = 0,5$ и $|-4,2| = 4,2$.

Так как $4,2 > 0,5$, результат будет отрицательным (знак числа $-4,2$). Вычитаем модули: $4,2 - 0,5 = 3,7$.

$0,5 + (-4,2) = -3,7$.

Ответ: $-3,7$.

д) Складываем числа с разными знаками: $-4,1$ и $0,1$.

Модули чисел: $|-4,1| = 4,1$ и $|0,1| = 0,1$.

Так как $4,1 > 0,1$, результат будет отрицательным. Вычитаем модули: $4,1 - 0,1 = 4$.

$-4,1 + 0,1 = -4$.

Ответ: $-4$.

е) Складываем числа $-2,2$ и $1,8$.

Модули чисел: $|-2,2| = 2,2$ и $|1,8| = 1,8$.

Так как $2,2 > 1,8$, результат будет отрицательным. Вычитаем модули: $2,2 - 1,8 = 0,4$.

$-2,2 + 1,8 = -0,4$.

Ответ: $-0,4$.

ж) Складываем числа $1,4$ и $-5,6$.

Модули чисел: $|1,4| = 1,4$ и $|-5,6| = 5,6$.

Так как $5,6 > 1,4$, результат будет отрицательным. Вычитаем модули: $5,6 - 1,4 = 4,2$.

$1,4 + (-5,6) = -4,2$.

Ответ: $-4,2$.

з) Складываем числа $5,8$ и $-6$.

Модули чисел: $|5,8| = 5,8$ и $|-6| = 6$.

Так как $6 > 5,8$, результат будет отрицательным. Вычитаем модули: $6 - 5,8 = 0,2$.

$5,8 + (-6) = -0,2$.

Ответ: $-0,2$.

4.205. Составьте выражение и вычислите его значение:
а) к сумме чисел –7 и –23 прибавить число 10;
б) к числу 5,3 прибавить сумму чисел –4,6 и 1,9;
в) к сумме чисел –15 и –2,2 прибавить сумму чисел 7 и 3,8;
г) к сумме чисел 14 и –9,4 прибавить сумму чисел –4,8 и –3.

4.205

а) (-7 + (-23)) + 10 = -(7 + 23) + 10 =

=-30 + 10 = -(30 – 10) = -20

б) 5,3 + (-4,6 + 1,9) = 5,3 + (-(4,6 – 1,9)) =

= 5,3 + (-2,7) = +(5,3 – 2,7) = 2,6

в) (-15 + (-2,2)) + (7 + 3,8) = -(15 + 2,2) +

+ 10,8 = -17,2 + 10,8 = -(17,2 – 10,8) = -6,4

г) (14 + (-9,4)) + (-4,8 + (-3)) = +(14 – 9,4) +

+ (-(4,8 + 3)) = 4,6 + (-7,8) = -(7,8 – 4,6) = -3,2

а) Согласно условию, необходимо составить выражение, в котором к сумме чисел $-7$ и $-23$ прибавляется число $10$.
Сумма чисел $-7$ и $-23$ записывается в виде $ (-7) + (-23) $.
Прибавив к этой сумме $10$, получаем итоговое выражение: $ ((-7) + (-23)) + 10 $.
Теперь вычислим его значение:
1. Выполним сложение в скобках: $ -7 + (-23) = -30 $.
2. К полученному результату прибавим $10$: $ -30 + 10 = -20 $.
Ответ: -20

б) Согласно условию, необходимо к числу $5,3$ прибавить сумму чисел $-4,6$ и $1,9$.
Сумма чисел $-4,6$ и $1,9$ записывается в виде $ (-4,6) + 1,9 $.
Прибавив эту сумму к числу $5,3$, получаем итоговое выражение: $ 5,3 + ((-4,6) + 1,9) $.
Теперь вычислим его значение:
1. Выполним сложение в скобках: $ -4,6 + 1,9 = -2,7 $.
2. К числу $5,3$ прибавим полученный результат: $ 5,3 + (-2,7) = 5,3 - 2,7 = 2,6 $.
Ответ: 2,6

в) Согласно условию, необходимо к сумме чисел $-15$ и $-2,2$ прибавить сумму чисел $7$ и $3,8$.
Сумма чисел $-15$ и $-2,2$ записывается как $ (-15) + (-2,2) $.
Сумма чисел $7$ и $3,8$ записывается как $ 7 + 3,8 $.
Складывая эти две суммы, получаем итоговое выражение: $ ((-15) + (-2,2)) + (7 + 3,8) $.
Теперь вычислим его значение:
1. Найдем значение первой суммы: $ -15 + (-2,2) = -17,2 $.
2. Найдем значение второй суммы: $ 7 + 3,8 = 10,8 $.
3. Сложим полученные результаты: $ -17,2 + 10,8 = -6,4 $.
Ответ: -6,4

г) Согласно условию, необходимо к сумме чисел $14$ и $-9,4$ прибавить сумму чисел $-4,8$ и $-3$.
Сумма чисел $14$ и $-9,4$ записывается как $ 14 + (-9,4) $.
Сумма чисел $-4,8$ и $-3$ записывается как $ (-4,8) + (-3) $.
Складывая эти две суммы, получаем итоговое выражение: $ (14 + (-9,4)) + ((-4,8) + (-3)) $.
Теперь вычислим его значение:
1. Найдем значение первой суммы: $ 14 + (-9,4) = 14 - 9,4 = 4,6 $.
2. Найдем значение второй суммы: $ -4,8 + (-3) = -7,8 $.
3. Сложим полученные результаты: $ 4,6 + (-7,8) = 4,6 - 7,8 = -3,2 $.
Ответ: -3,2

4.206. Какое из чисел 6; 18,9; –18,9; –12,9; –0,9 является корнем уравнения –3 + х = –21,9?

4.206

-3 + х = -21,9;

х = - 21,9 – ( - 3);

х = - 21,9 + 3;

х = - (21,9 – 3);

х = - 18,9.

Ответ: - 18,9.

Проверка:

-3 + ( - 18,9) = - ( 3 + 18,9) = -21,9;

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является корнем уравнения, нужно решить это уравнение и найти значение $x$.

Дано уравнение:

$-3 + x = -21,9$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы ($-21,9$) вычесть известное слагаемое ($-3$). Другими словами, перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный (на $+$):

$x = -21,9 + 3$

При сложении чисел с разными знаками нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|-21,9| > |3|$, поэтому результат будет отрицательным.

$21,9 - 3 = 18,9$

Следовательно, получаем:

$x = -18,9$

Теперь сравним полученный корень с числами, предложенными в условии: $6$; $18,9$; $-18,9$; $-12,9$; $-0,9$.

Найденный корень $x = -18,9$ присутствует в списке.

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение:

$-3 + (-18,9) = -21,9$

$-3 - 18,9 = -21,9$

$-21,9 = -21,9$

Равенство верное, значит, число $-18,9$ является корнем уравнения.

Ответ: $-18,9$.

4.207. Выполните действия с помощью калькулятора:
а) –5,4876 + (–21,5072);
б) 14,2896 + (–8,546);
в) –4,5678 + (–0,3498) + 9,71;
г) –0,0079 + 0,00426 + (–0,00889).

4.207

а) -5,4876 + (-21,5072) =

=-26,9948

б) 14,2896 + (-8,546) =

=5,7436

в) -4,5678 + (-0,3498) + 9,71=

= 4,7924

г) -0,0079 + 0,00426 + (-0,00889) =

= -0,01253

а) $-5,4876 + (-21,5072)$

При сложении двух отрицательных чисел их модули складываются, а перед результатом ставится знак минус. Это можно записать как: $-(5,4876 + 21,5072)$.

Выполнив сложение на калькуляторе, получаем:

$5,4876 + 21,5072 = 26,9948$

Следовательно, результат исходного выражения равен $-26,9948$.

Ответ: $-26,9948$

б) $14,2896 + (-8,546)$

Здесь мы складываем числа с разными знаками. Для этого из модуля большего числа вычитаем модуль меньшего и ставим знак числа с большим модулем. В данном случае $|14,2896| > |-8,546|$, поэтому результат будет положительным.

Выполним вычитание на калькуляторе:

$14,2896 - 8,546 = 5,7436$

Ответ: $5,7436$

в) $-4,5678 + (-0,3498) + 9,71$

Выполним действия последовательно. Сначала сложим два отрицательных числа:

$-4,5678 + (-0,3498) = -(4,5678 + 0,3498)$

С помощью калькулятора: $4,5678 + 0,3498 = 4,9176$. Таким образом, промежуточный результат равен $-4,9176$.

Теперь к этому результату прибавим $9,71$:

$-4,9176 + 9,71$

Так как $|9,71| > |-4,9176|$, результат будет положительным. Вычисляем разность модулей на калькуляторе:

$9,71 - 4,9176 = 4,7924$

Ответ: $4,7924$

г) $-0,0079 + 0,00426 + (-0,00889)$

Для удобства сначала сложим отрицательные числа:

$-0,0079 + (-0,00889) = -(0,0079 + 0,00889)$

С помощью калькулятора: $0,0079 + 0,00889 = 0,01679$. Промежуточный результат: $-0,01679$.

Теперь выполним оставшееся сложение:

$-0,01679 + 0,00426$

Здесь модуль отрицательного числа больше ($|-0,01679| > |0,00426|$), поэтому результат будет отрицательным. Вычисляем разность модулей на калькуляторе:

$0,01679 - 0,00426 = 0,01253$

Итоговый результат будет со знаком минус.

Ответ: $-0,01253$

4.208. Найдите сумму:

а) 47 + (– 67); б) 13 + (– 27); в) – 49 + 23; г) – 47 + 23; д) – 512 + 79; е) 815 + (– 710).

4.208

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{7} + \left(-\frac{6}{7}\right) = -\left(\frac{6}{7} - \frac{4}{7}\right) = -\frac{2}{7}$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {\frac{1}{3}}^{\overline{)·7}} + \left(-{\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}}\right) = \frac{7}{21} + \left(-\frac{6}{21}\right)= \\ = + \left(\frac{7}{21} - \frac{6}{21}\right)=\frac{1}{21} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -\frac{4}{9} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} = -\frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \\ = + \left(\frac{6}{9} - \frac{4}{9}\right) = \frac{2}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}} = -\frac{12}{21} + \frac{14}{21} = \\ = + \left(\frac{14}{21} - \frac{12}{21}\right) = \frac{2}{21} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} {\frac{8}{15}}^{\overline{)·2}} + \left({-\frac{7}{10}}^{\overline{)·3}}\right) = \frac{16}{30} + \left(-\frac{21}{30}\right)= \\ = -\left(\frac{21}{30} - \frac{16}{30}\right) = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{6}{\cancel{30}}}} = -\frac{1}{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{4}{7} + (-\frac{6}{7}) = \frac{4 + (-6)}{7} = \frac{4 - 6}{7} = \frac{-2}{7} = -\frac{2}{7}$
Ответ: $-\frac{2}{7}$

б) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 7 - это их произведение, то есть 21.
$\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} - \frac{6}{21} = \frac{7 - 6}{21} = \frac{1}{21}$
Ответ: $\frac{1}{21}$

в) Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 - это 9. Для этого вторую дробь домножаем на 3.
$-\frac{4}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{4}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{-4 + 6}{9} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

г) Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 - это 21.
$-\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = -\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = -\frac{12}{21} + \frac{14}{21} = \frac{-12 + 14}{21} = \frac{2}{21}$
Ответ: $\frac{2}{21}$

д) Находим наименьший общий знаменатель для 12 и 9. Разложим числа на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Наименьшее общее кратное (НОК) будет $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
$-\frac{5}{12} + \frac{7}{9} = -\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{15}{36} + \frac{28}{36} = \frac{-15 + 28}{36} = \frac{13}{36}$
Ответ: $\frac{13}{36}$

е) Находим наименьший общий знаменатель для 15 и 10. Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $10 = 2 \cdot 5$. НОК(15, 10) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
$\frac{8}{15} + (-\frac{7}{10}) = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{16}{30} - \frac{21}{30} = \frac{16 - 21}{30} = \frac{-5}{30}$
Сокращаем полученную дробь на 5:
$\frac{-5}{30} = -\frac{5 \div 5}{30 \div 5} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $-\frac{1}{6}$

4.209. Выполните сложение:

а) 4713 + (– 4713); б) 214 + (–116); в) –1 + 38; г) –558 + 314; д) –125 + 34; е) – 45 + 5415; ж) –213 + 325; з) 3811 + (– 4322).

4.209

$\mathit{а}\mathbf{)} 4\frac{7}{13} + \left(-4\frac{7}{13}\right) = 0$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{4} + \left(-1\frac{1}{6} \right)= +\left({2\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} - {1\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ =2\frac{3}{12} - 1\frac{2}{12} = 1\frac{1}{12} \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-1 + \frac{3}{8} = -\left(1 - \frac{3}{8}\right) = -\frac{5}{8}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-5\frac{5}{8} + 3\frac{1}{4} = -\left(5\frac{5}{8} - {3\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ = -\left(5\frac{5}{8} - 3\frac{2}{8}\right)=-2\frac{3}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-1\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = -\left(1\frac{2}{5} - \frac{3}{4}\right)= \\ = -\left({\frac{7}{5}}^{\overline{)·4}} - {\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}}\right) = - \left(\frac{28}{20} - \frac{15}{20}\right) = \\ =-\frac{13}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{5} + 5\frac{4}{15} = +\left(5\frac{4}{15} - {\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = 5\frac{4}{15} - \frac{12}{15} = 4\frac{19}{15} - \frac{12}{15} = 4\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{1}{3} + 3\frac{2}{5} = +\left({3\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}} -{ 2\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}\right)= \\ = 3\frac{6}{15} - 2\frac{5}{15} = 1\frac{1}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} 3\frac{8}{11} + \left(-4\frac{3}{22}\right) = -\left(4\frac{3}{22} -{3\frac{8}{11}}^{\overline{)·2}} \right)= \\ = -\left(4\frac{3}{22} -3\frac{16}{22} \right)= -\left(3\frac{25}{22} - 3\frac{16}{22}\right) = -\frac{9}{22} \end{gathered}$$

а) $4\frac{7}{13} + (-4\frac{7}{13})$
Это сумма двух противоположных чисел. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. $4\frac{7}{13} - 4\frac{7}{13} = 0$.
Ответ: $0$

б) $2\frac{1}{4} + (-1\frac{1}{6})$
Данное выражение равносильно вычитанию: $2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{6}$. Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 4 и 6 равно 12. $2\frac{1}{4} = 2\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 2\frac{3}{12}$
$1\frac{1}{6} = 1\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 1\frac{2}{12}$
Теперь выполним вычитание: $2\frac{3}{12} - 1\frac{2}{12} = (2 - 1) + (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = 1 + \frac{1}{12} = 1\frac{1}{12}$.
Ответ: $1\frac{1}{12}$

в) $-1 + \frac{3}{8}$
Представим -1 в виде дроби со знаменателем 8: $-1 = -\frac{8}{8}$. Теперь выполним сложение: $-\frac{8}{8} + \frac{3}{8} = \frac{-8+3}{8} = -\frac{5}{8}$.
Ответ: $-\frac{5}{8}$

г) $-5\frac{5}{8} + 3\frac{1}{4}$
Модуль отрицательного числа $|-5\frac{5}{8}| = 5\frac{5}{8}$ больше модуля положительного числа $|3\frac{1}{4}| = 3\frac{1}{4}$, поэтому результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $5\frac{5}{8} - 3\frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 8: $3\frac{1}{4} = 3\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = 3\frac{2}{8}$. $5\frac{5}{8} - 3\frac{2}{8} = (5-3) + (\frac{5}{8} - \frac{2}{8}) = 2 + \frac{3}{8} = 2\frac{3}{8}$. Так как результат должен быть отрицательным, получаем $-2\frac{3}{8}$.
Ответ: $-2\frac{3}{8}$

д) $-1\frac{2}{5} + \frac{3}{4}$
Модуль отрицательного числа $|-1\frac{2}{5}| = 1\frac{2}{5}$ больше модуля положительного числа $|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$, значит, результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $1\frac{2}{5} - \frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 20: $1\frac{2}{5} = 1\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 1\frac{8}{20}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$. Получаем $1\frac{8}{20} - \frac{15}{20}$. Так как дробная часть вычитаемого больше, представим $1\frac{8}{20}$ как неправильную дробь: $1\frac{8}{20} = \frac{20+8}{20} = \frac{28}{20}$. $\frac{28}{20} - \frac{15}{20} = \frac{13}{20}$. С учетом знака, итоговый результат равен $-\frac{13}{20}$.
Ответ: $-\frac{13}{20}$

е) $-\frac{4}{5} + 5\frac{4}{15}$
Это то же самое, что и $5\frac{4}{15} - \frac{4}{5}$. Модуль положительного числа больше, поэтому результат будет положительным. Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$. $5\frac{4}{15} - \frac{12}{15}$. Дробная часть вычитаемого ($\frac{12}{15}$) больше дробной части уменьшаемого ($\frac{4}{15}$), поэтому "займем" единицу у целой части: $5\frac{4}{15} = 4 + 1 + \frac{4}{15} = 4 + \frac{15}{15} + \frac{4}{15} = 4\frac{19}{15}$. Теперь выполним вычитание: $4\frac{19}{15} - \frac{12}{15} = 4\frac{19 - 12}{15} = 4\frac{7}{15}$.
Ответ: $4\frac{7}{15}$

ж) $-2\frac{1}{3} + 3\frac{2}{5}$
Это то же самое, что и $3\frac{2}{5} - 2\frac{1}{3}$. Модуль положительного числа больше, результат будет положительным. Приведем дробные части к общему знаменателю 15: $3\frac{2}{5} = 3\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 3\frac{6}{15}$ $2\frac{1}{3} = 2\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = 2\frac{5}{15}$. Теперь вычтем: $3\frac{6}{15} - 2\frac{5}{15} = (3 - 2) + (\frac{6}{15} - \frac{5}{15}) = 1 + \frac{1}{15} = 1\frac{1}{15}$.
Ответ: $1\frac{1}{15}$

з) $3\frac{8}{11} + (-4\frac{3}{22})$
Модуль отрицательного числа $|-4\frac{3}{22}| = 4\frac{3}{22}$ больше модуля положительного $|3\frac{8}{11}| = 3\frac{8}{11}$, поэтому результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $4\frac{3}{22} - 3\frac{8}{11}$. Приведем дроби к общему знаменателю 22: $3\frac{8}{11} = 3\frac{8 \cdot 2}{11 \cdot 2} = 3\frac{16}{22}$. $4\frac{3}{22} - 3\frac{16}{22}$. Дробная часть вычитаемого ($\frac{16}{22}$) больше дробной части уменьшаемого ($\frac{3}{22}$), поэтому "займем" единицу у целой части: $4\frac{3}{22} = 3 + 1 + \frac{3}{22} = 3 + \frac{22}{22} + \frac{3}{22} = 3\frac{25}{22}$. Теперь выполним вычитание: $3\frac{25}{22} - 3\frac{16}{22} = (3-3) + (\frac{25}{22} - \frac{16}{22}) = 0 + \frac{9}{22} = \frac{9}{22}$. Так как результат должен быть отрицательным, итоговый ответ $-\frac{9}{22}$.
Ответ: $-\frac{9}{22}$

4.210. Найдите значение выражения:

а) (12 + (–0,6)) – 334); б) (2,75 + 13) + (–2712); в) –4,1 + (–61760 + 2512); г) 14 + (–5,8 + 34).

4.210

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left({\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} + \left(-0,6\right)\right) + \left(-{3\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}\right)= \left(0,5 + (-0,6)\right) + \\ + (-3,75) =-(0,6 – 0,5) + (-3,75) = -0,1 + \\ + (-3,75) = -(0,1 + 3,75) = -3,85; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(2,75 + \frac{1}{3}\right) + \left(-2\frac{7}{12}\right) = \left({2\frac{3}{4}}^{\overline{)·3}} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}}\right)+ \left(-2\frac{7}{12}\right) = \\ =\left(2\frac{9}{12} + \frac{4}{12}\right) + \left(-2\frac{7}{12}\right) = 2\frac{13}{12} + \left(-2\frac{7}{12}\right) = \\ = +\left(2\frac{13}{12} -2\frac{7}{12} \right) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,1 + \left(-6\frac{17}{60} + {2\frac{5}{12}}^{\overline{)·5}}\right) = -4,1 + \\ +\left(-6\frac{17}{60} + 2\frac{25}{60}\right) = -4,1 + \left(-\left(6\frac{17}{60} -2\frac{25}{60} \right)\right)= \\ = -4,1 + \left(-\left(5\frac{77}{60} -2\frac{25}{60}\right)\right) = -4,1 + \left(-3\frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{52}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{60}}}}\right)= \\ = -4,1 + \left(-3\frac{13}{15}\right) = -\left(4,1 +3\frac{13}{15}\right) = \\ =-\left({4\frac{1}{10}}^{\overline{)·3}} +{3\frac{13}{15}}^{\overline{)·2}}\right)=-\left(4\frac{3}{30} +3\frac{26}{30}\right)=-7\frac{29}{30}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{4} + \left(-5,8 + \frac{3}{4}\right) = \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) + (-5,8)= \\ = \frac{4}{4} + (-5,8) = 1 + (-5,8 ) = - \left(5,8 -1\right)= -4,8. \end{gathered}$$

а) $(\frac{1}{2} + (-0,6)) + (-3\frac{3}{4})$

Для удобства вычислений преобразуем все дроби в десятичные. Мы знаем, что $\frac{1}{2} = 0,5$ и $\frac{3}{4} = 0,75$.

Тогда $-3\frac{3}{4} = -3,75$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(0,5 + (-0,6)) + (-3,75) = (0,5 - 0,6) - 3,75$

Выполним действия по порядку:

$0,5 - 0,6 = -0,1$

$-0,1 - 3,75 = -3,85$

Ответ: $-3,85$

б) $(2,75 + \frac{1}{3}) + (-2\frac{7}{12})$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, так как $\frac{1}{3}$ при переводе в десятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь.

$2,75 = 2\frac{75}{100} = 2\frac{3}{4}$

Подставим значение в выражение и раскроем скобки:

$(2\frac{3}{4} + \frac{1}{3}) - 2\frac{7}{12} = 2\frac{3}{4} + \frac{1}{3} - 2\frac{7}{12}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 12:

$2\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 2\frac{7}{12} = 2\frac{9}{12} + \frac{4}{12} - 2\frac{7}{12}$

Сгруппируем и вычислим отдельно целые и дробные части:

$(2 - 2) + (\frac{9}{12} + \frac{4}{12} - \frac{7}{12}) = 0 + \frac{9+4-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $-4,1 + (-6\frac{17}{60} + 2\frac{5}{12})$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем смешанные дроби к общему знаменателю 60.

$2\frac{5}{12} = 2\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = 2\frac{25}{60}$

Теперь вычислим сумму в скобках:

$-6\frac{17}{60} + 2\frac{25}{60}$

Так как модуль отрицательного числа больше, результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший:

$6\frac{17}{60} - 2\frac{25}{60} = 5\frac{60+17}{60} - 2\frac{25}{60} = 5\frac{77}{60} - 2\frac{25}{60} = (5-2) + (\frac{77-25}{60}) = 3\frac{52}{60} = 3\frac{13}{15}$

Таким образом, выражение в скобках равно $-3\frac{13}{15}$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $-4,1 + (-3\frac{13}{15})$.

Преобразуем $-4,1$ в смешанную дробь: $-4,1 = -4\frac{1}{10}$.

$-4\frac{1}{10} - 3\frac{13}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30.

$-(4\frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} + 3\frac{13 \cdot 2}{15 \cdot 2}) = -(4\frac{3}{30} + 3\frac{26}{30}) = -((4+3) + (\frac{3+26}{30})) = -(7 + \frac{29}{30}) = -7\frac{29}{30}$

Ответ: $-7\frac{29}{30}$

г) $\frac{1}{4} + (-5,8 + \frac{3}{4})$

Воспользуемся сочетательным законом сложения $(a + b) + c = a + (b + c)$, чтобы изменить порядок вычислений для удобства:

$\frac{1}{4} + (-5,8 + \frac{3}{4}) = (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) + (-5,8)$

Сначала выполним сложение дробей в скобках:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$1 + (-5,8) = 1 - 5,8 = -4,8$

Ответ: $-4,8$