Страница 47, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.28. Даша пообещала: «Я прочитаю сказку Диме и вытру пыль». Можно ли обещание считать выполненным, если Даша:

а) вытерла пыль, но не прочитала сказку;

б) прочитала сказку, но не вытерла пыль;

в) и вытерла пыль, и прочитала сказку;

г) не вытерла пыль и не прочитала сказку?

В чём сходство этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 5 < х < 9 среди чисел 4, 6, 8 и 10?

2.28

а) нет

б) нет

в) да

г) нет

Оба условия неравенства должны выполняться для чисел, которые являются его решениями.

4 – не является решением

6 – является решением

8 – является решением

10 – не является решением

а) вытерла пыль, но не прочитала сказку;
Обещание Даши состоит из двух частей, соединенных союзом «и»: 1) прочитать сказку и 2) вытереть пыль. Чтобы обещание считалось выполненным, должны быть выполнены обе части. Поскольку Даша выполнила только одну часть (вытерла пыль), а вторую нет, то обещание не выполнено.
Ответ: нет, нельзя считать выполненным.

б) прочитала сказку, но не вытерла пыль;
Даша выполнила только первую часть обещания (прочитала сказку), но не выполнила вторую. Так как для истинности утверждения с союзом «и» необходимо выполнение всех его частей, обещание считается невыполненным.
Ответ: нет, нельзя считать выполненным.

в) и вытерла пыль, и прочитала сказку;
Даша выполнила оба действия: прочитала сказку и вытерла пыль. Поскольку обе части обещания, соединенные союзом «и», выполнены, обещание можно считать полностью выполненным.
Ответ: да, можно считать выполненным.

г) не вытерла пыль и не прочитала сказку?
Даша не выполнила ни одного из двух обещанных действий. Следовательно, обещание не выполнено.
Ответ: нет, нельзя считать выполненным.

В чём сходство этой задачи с нахождением решений двойного неравенства $5 < x < 9$ среди чисел 4, 6, 8 и 10?
Сходство заключается в том, что обе задачи основаны на логической операции «И» (конъюнкции), которая требует одновременного выполнения двух условий.

1. Обещание Даши: «прочитать сказку» И «вытереть пыль». Оно считается выполненным, только если выполнены оба условия.

2. Двойное неравенство: $5 < x < 9$ равносильно системе из двух неравенств: $x > 5$ И $x < 9$. Число является решением только в том случае, если оно удовлетворяет обоим этим неравенствам одновременно.
Например, проверим число 8: $8 > 5$ (верно) и $8 < 9$ (верно). Оба условия выполнены, значит 8 — решение.
Проверим число 10: $10 > 5$ (верно) и $10 < 9$ (неверно). Одно из условий не выполнено, значит 10 — не решение.

Таким образом, и в логической задаче, и в математической для получения верного результата (выполненное обещание или правильное решение) требуется одновременное соблюдение двух условий.
Ответ: Сходство в том, что и обещание, и двойное неравенство требуют одновременного выполнения двух условий, связанных логическим союзом «и».

2.29. Найдите множество всех простых делителей числа: 64; 72; 221; 247; 7777; 7007.

2.29

64 = {2} – один простой делитель

72 = {2, 3} – два простых делителя

221 = {13, 17} – два простых делителя

247 = {13, 19} – два простых делителя

7777 = {7, 11, 101} – три простых делителя

7007 = {7, 11, 13} – три простых делителя

64
Чтобы найти множество простых делителей числа, разложим его на простые множители. Число 64 является степенью числа 2.
$64 = 2 \times 32 = 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 8 = 2^3 \times 2^3 = 2^6$.
Единственным простым делителем в разложении является число 2.
Ответ: $\{2\}$.

72
Разложим число 72 на простые множители:
$72 = 8 \times 9 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) = 2^3 \times 3^2$.
Простые множители в разложении — это 2 и 3. Таким образом, множество простых делителей состоит из этих чисел.
Ответ: $\{2, 3\}$.

221
Разложим число 221 на простые множители, проверяя делимость на простые числа последовательно. Число не делится на 2, 3, 5, 7, 11. Проверим делимость на 13:
$221 \div 13 = 17$.
Числа 13 и 17 являются простыми. Следовательно, разложение числа $221 = 13 \times 17$.
Множество простых делителей состоит из чисел 13 и 17.
Ответ: $\{13, 17\}$.

247
Разложим число 247 на простые множители. Проверим делимость на простые числа. Число не делится на 2, 3, 5, 7, 11. Проверим делимость на 13:
$247 \div 13 = 19$.
Числа 13 и 19 являются простыми. Следовательно, разложение числа $247 = 13 \times 19$.
Множество простых делителей состоит из чисел 13 и 19.
Ответ: $\{13, 19\}$.

7777
Разложим число 7777 на простые множители:
$7777 = 7 \times 1111$.
Теперь разложим число 1111. Оно делится на 11:
$1111 = 11 \times 101$.
Число 101 является простым (проверка деления на 2, 3, 5, 7 не дает целого результата, а $\sqrt{101} \approx 10.05$).
Таким образом, полное разложение: $7777 = 7 \times 11 \times 101$.
Множество простых делителей состоит из чисел 7, 11 и 101.
Ответ: $\{7, 11, 101\}$.

7007
Разложим число 7007 на простые множители:
$7007 = 7 \times 1001$.
Теперь разложим число 1001. Воспользуемся признаками делимости: $1-0+0-1 = 0$, значит, число делится на 11. Также можно заметить, что $1001 = 1000 + 1 = 10^3 + 1^3 = (10+1)(100-10+1) = 11 \times 91$.
$1001 = 11 \times 91$.
Число 91 раскладывается как $91 = 7 \times 13$.
Таким образом, полное разложение: $7007 = 7 \times (7 \times 11 \times 13) = 7^2 \times 11 \times 13$.
Множество простых делителей состоит из чисел 7, 11 и 13.
Ответ: $\{7, 11, 13\}$.

2.30. Найдите простые числа, которые являются решениями двойного неравенства 28 < р < 53.

2.30

р = 29, 31, 37, 41, 43, 47

Требуется найти все простые числа $p$, которые удовлетворяют двойному неравенству $28 < p < 53$.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Для решения задачи нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать все целые числа, находящиеся в заданном интервале.
2. Проверить каждое из этих чисел, является ли оно простым.

Шаг 1: Выпишем все целые числа от 29 до 52 включительно:

29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52.

Шаг 2: Проанализируем каждое число из списка на простоту.

• Сразу исключаем все четные числа (кроме 2), так как они делятся на 2 и не являются простыми. В нашем списке это: 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52.
• Теперь проверим оставшиеся нечетные числа: 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51.

Проверка оставшихся чисел:

• 29: является простым числом.
• 31: является простым числом.
• 33: не является простым, так как $33 = 3 \cdot 11$.
• 35: не является простым, так как $35 = 5 \cdot 7$.
• 37: является простым числом.
• 39: не является простым, так как $39 = 3 \cdot 13$.
• 41: является простым числом.
• 43: является простым числом.
• 45: не является простым, так как $45 = 5 \cdot 9$.
• 47: является простым числом.
• 49: не является простым, так как $49 = 7 \cdot 7$.
• 51: не является простым, так как $51 = 3 \cdot 17$.

Таким образом, простые числа, которые являются решениями данного двойного неравенства, это: 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Ответ: 29, 31, 37, 41, 43, 47.

2.31. Существуют ли среди точек А, В, С и D точки, координаты которых простые числа (рис. 2.1), если р — простое число?

2.31

Да, если р = 3, то А(2), если р = 2, то В(3)

р + р = 2р – значит сумма делится на 2, значит C и D не существует.

Для ответа на этот вопрос определим координаты точек A, B, C и D, исходя из информации, представленной на рисунке. Пусть координата точки A равна $a$.

Согласно схеме на рисунке, координаты точек связаны следующими соотношениями:

• Координата точки B: $x_B = a + 1$
• Координата точки C: $x_C = a + p$
• Координата точки D: $x_D = x_C + p = (a + p) + p = a + 2p$

Таким образом, нам нужно выяснить, существуют ли такое число $a$ (координата точки A) и такое простое число $p$, при которых хотя бы некоторые из чисел в наборе {$a, a + 1, a + p, a + 2p$} являются простыми.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два различных натуральных делителя: 1 и самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11, ...). Для доказательства существования достаточно привести хотя бы один конкретный пример.

Рассмотрим несколько случаев, подставляя конкретные значения для $p$ и $a$. Предположим, что координата $a$ также является целым числом.

Пример 1:

Пусть простое число $p = 3$. В качестве начальной координаты $a$ выберем простое число $a = 2$.

Тогда координаты точек будут следующими:

• Координата A: $a = 2$. Число 2 является простым.
• Координата B: $a + 1 = 2 + 1 = 3$. Число 3 является простым.
• Координата C: $a + p = 2 + 3 = 5$. Число 5 является простым.
• Координата D: $a + 2p = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$. Число 8 не является простым (оно составное, так как $8 = 2 \cdot 4$).

В этом примере мы нашли, что при $a=2$ и $p=3$ координаты точек A, B и C (равные 2, 3 и 5 соответственно) являются простыми числами. Это доказывает, что такие точки существуют.

Пример 2:

Пусть простое число $p = 2$. В качестве начальной координаты $a$ выберем простое число $a = 3$.

Тогда координаты точек будут следующими:

• Координата A: $a = 3$. Число 3 является простым.
• Координата B: $a + 1 = 3 + 1 = 4$. Число 4 не является простым ($4 = 2 \cdot 2$).
• Координата C: $a + p = 3 + 2 = 5$. Число 5 является простым.
• Координата D: $a + 2p = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$. Число 7 является простым.

В этом примере при $a=3$ и $p=2$ координаты точек A, C и D (равные 3, 5 и 7) являются простыми числами. Этот пример также подтверждает существование таких точек.

Поскольку мы привели конкретные примеры, которые удовлетворяют условию задачи, мы можем дать утвердительный ответ на поставленный вопрос.

Ответ: Да, существуют. Например, если $p=3$, а координата точки A равна 2, то координаты точек A, B, и C будут равны 2, 3, и 5, которые являются простыми числами.

2.32. Представьте в виде дроби со знаменателем 7 числа 5 и 14.

2.32

$5 = \frac{35}{7}; 14 = \frac{98}{7}$

Чтобы представить целое число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно найти такой числитель, при делении которого на этот знаменатель получится исходное число. Другими словами, нужно умножить целое число на требуемый знаменатель, и полученное произведение записать в числитель новой дроби.

Число 5

Требуется представить число 5 в виде дроби, у которой знаменатель равен 7. Обозначим искомый числитель как $x$. Тогда должно выполняться равенство:

$\frac{x}{7} = 5$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:

$x = 5 \cdot 7 = 35$

Таким образом, число 5 в виде дроби со знаменателем 7 будет выглядеть как $\frac{35}{7}$.

Ответ: $\frac{35}{7}$

Число 14

Аналогично представим число 14 в виде дроби со знаменателем 7. Обозначим числитель как $y$.

$\frac{y}{7} = 14$

Найдем $y$, умножив 14 на 7:

$y = 14 \cdot 7 = 98$

Следовательно, число 14 в виде дроби со знаменателем 7 записывается как $\frac{98}{7}$.

Ответ: $\frac{98}{7}$

2.33. Вычислите значение выражения:

а) 413 + 313;

б) 711 – 111;

в) 439 + 219;

г) 845 – 725;

д) 3916 + 2316;

е) 5613 – 3113

ж) 922 · 1127;

з) 427 : 2081.

2.33

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{4}{13}+\frac{3}{13} = \frac{4 + 3}{13} = \frac{7}{13}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{11}-\frac{1}{11}=\frac{7 - 1}{11}=\frac{6}{11}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{3}{9} + 2\frac{1}{9}= (4 + 2) + (\frac{3}{9}+ \frac{1}{9}) = \\ =6 + \frac{4}{9}= 6\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }8\frac{4}{5} – 7\frac{2}{5}= (8 – 7) + (\frac{4}{5}-\frac{2}{5}) = \\ =1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{9}{16}+ 2\frac{3}{16} = (3 + 2) + (\frac{9}{16} + \frac{3}{16}) = \\ =5 + \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}} = 5 + \frac{3}{4}= 5\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 5\frac{6}{13}– 3\frac{1}{13} = (5 – 3) + (\frac{6}{13}-\frac{1}{13}) = \\ =2 + \frac{5}{13} = 2\frac{5}{13} \end{gathered}$$

$\mathit{ж}\mathbf{)} \frac{9}{22} ·\frac{ 11}{27} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{11}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{22}}} ·{\displaystyle \underset{3}{ \bcancel{27}}}}= \frac{1 · 1}{2 · 3}=\frac{1}{6}$

$\mathit{з}\mathbf{)} \frac{4}{27} : \frac{20}{81} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{27}}}}· \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{81}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}}= \frac{1 · 3}{1 · 5}=\frac{3}{5}$

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. $ \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{4+3}{13} = \frac{7}{13} $.
Ответ: $ \frac{7}{13} $

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений. $ \frac{7}{11} - \frac{1}{11} = \frac{7-1}{11} = \frac{6}{11} $.
Ответ: $ \frac{6}{11} $

в) При сложении смешанных чисел, целые части складываются с целыми, а дробные — с дробными. $ 4\frac{3}{9} + 2\frac{1}{9} = (4+2) + (\frac{3}{9} + \frac{1}{9}) = 6 + \frac{3+1}{9} = 6 + \frac{4}{9} = 6\frac{4}{9} $.
Ответ: $ 6\frac{4}{9} $

г) При вычитании смешанных чисел, из целой части вычитается целая, а из дробной — дробная. $ 8\frac{4}{5} - 7\frac{2}{5} = (8-7) + (\frac{4}{5} - \frac{2}{5}) = 1 + \frac{4-2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} $.
Ответ: $ 1\frac{2}{5} $

д) Складываем целые и дробные части по отдельности. $ 3\frac{9}{16} + 2\frac{3}{16} = (3+2) + (\frac{9}{16} + \frac{3}{16}) = 5 + \frac{9+3}{16} = 5 + \frac{12}{16} $. Полученную дробную часть $ \frac{12}{16} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4. $ \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} $. В итоге получаем: $ 5\frac{3}{4} $.
Ответ: $ 5\frac{3}{4} $

е) Вычитаем целые части и дробные части по отдельности. $ 5\frac{6}{13} - 3\frac{1}{13} = (5-3) + (\frac{6}{13} - \frac{1}{13}) = 2 + \frac{6-1}{13} = 2 + \frac{5}{13} = 2\frac{5}{13} $.
Ответ: $ 2\frac{5}{13} $

ж) Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед вычислением можно выполнить сокращение. $ \frac{9}{22} \cdot \frac{11}{27} = \frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 27} $. Сократим 9 и 27 на 9. Сократим 11 и 22 на 11. $ \frac{^1\cancel{9} \cdot ^1\cancel{11}}{_2\cancel{22} \cdot _3\cancel{27}} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

з) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. $ \frac{4}{27} : \frac{20}{81} = \frac{4}{27} \cdot \frac{81}{20} = \frac{4 \cdot 81}{27 \cdot 20} $. Сократим 4 и 20 на 4. Сократим 81 и 27 на 27. $ \frac{^1\cancel{4} \cdot ^3\cancel{81}}{_1\cancel{27} \cdot _5\cancel{20}} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

2.34. В перерыве соревнований было подано 43 порции чая, из них: 24 порции с лимоном, 29 порций с сахаром и 5 порций без лимона и без сахара. Сколько порций чая с лимоном и с сахаром было подано?

2.34

$1) (24 + 29 + 5) – 43 = 58 – 43 = 15$– порций чая с лимоном и с сахаром.

Ответ: 15 порций чая.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Пусть у нас есть несколько множеств, тогда количество элементов в их объединении можно найти, зная количество элементов в каждом множестве и в их пересечениях.

Введем обозначения:

• $N_{общ}$ — общее количество поданных порций чая.
• $N_Л$ — количество порций чая с лимоном.
• $N_С$ — количество порций чая с сахаром.
• $N_{ничего}$ — количество порций чая без лимона и без сахара.
• $N_{Л \cap С}$ — количество порций чая с лимоном и с сахаром (искомая величина).

Из условия задачи нам известно:

• $N_{общ} = 43$
• $N_Л = 24$
• $N_С = 29$
• $N_{ничего} = 5$

1. Сначала определим, сколько всего было порций чая, в которых была хотя бы одна добавка (лимон, сахар или и то, и другое). Для этого из общего количества порций вычтем те, в которых не было добавок:

$N_{Л \cup С} = N_{общ} - N_{ничего} = 43 - 5 = 38$

Таким образом, 38 порций чая были либо с лимоном, либо с сахаром, либо с обоими сразу.

2. Теперь применим формулу включений-исключений. Количество порций хотя бы с одной добавкой ($N_{Л \cup С}$) равно сумме порций с лимоном ($N_Л$) и порций с сахаром ($N_С$), из которой вычтено количество порций, где есть и лимон, и сахар ($N_{Л \cap С}$), так как эти порции были посчитаны дважды (и в группе с лимоном, и в группе с сахаром).

$N_{Л \cup С} = N_Л + N_С - N_{Л \cap С}$

3. Нам нужно найти $N_{Л \cap С}$. Выразим эту величину из формулы:

$N_{Л \cap С} = N_Л + N_С - N_{Л \cup С}$

4. Подставим известные значения в полученную формулу:

$N_{Л \cap С} = 24 + 29 - 38$

$N_{Л \cap С} = 53 - 38$

$N_{Л \cap С} = 15$

Ответ: 15 порций чая с лимоном и с сахаром было подано.

2.35. а) На сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута, если масса грейпфрута на 100% больше массы апельсина?

б) У Саши средняя оценка по математике на 25 % выше средней оценки по математике у Коли. На сколько процентов средняя оценка по математике у Коли ниже средней оценки у Саши?

2.35

а) Пусть х – масса апельсина, тогда 2х – масса грейпфрута. Зная, что масса грейпфрута на 100% меньше массы апельсина, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{2х-х}{2х} · 100\% = \frac{\cancel{х}}{2\cancel{х}}· 100\% = \\ = \frac{1}{2}· 100\% = 50\% \end{gathered}$$

Ответ: на 50%

б)

$1) 100\% + 25 \% = 125\% = 1,25$– средняя оценка у Саши

Пусть х – средняя оценка у Коли, тогда 1,25х – средняя оценка у Саши, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1,25х-х}{1,25х} · 100\%=\frac{0,25\cancel{х}}{1,25\cancel{х}}· 100\% = \\ =\frac{0,25}{1,25}·100\%=\frac{25}{125}· 100\%=\frac{1}{5}·100\%=20\% \end{gathered}$$

Ответ: на 20%

а)

Пусть масса апельсина равна $m_a$, а масса грейпфрута — $m_g$.

Из условия известно, что масса грейпфрута на 100% больше массы апельсина. Это означает, что масса грейпфрута равна массе апельсина плюс еще 100% от массы апельсина.

Запишем это в виде формулы: $m_g = m_a + 100\% \cdot m_a = m_a + 1 \cdot m_a = 2m_a$. Следовательно, масса грейпфрута в два раза больше массы апельсина.

Теперь необходимо найти, на сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута. Для этого мы находим разницу масс и относим ее к массе грейпфрута, так как сравнение идет именно с ней.

Процентное уменьшение рассчитывается по формуле: $\frac{m_g - m_a}{m_g} \cdot 100\%$.

Подставим в эту формулу ранее найденное соотношение $m_g = 2m_a$: $\frac{2m_a - m_a}{2m_a} \cdot 100\% = \frac{m_a}{2m_a} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

б)

Пусть средняя оценка Коли равна $K$, а средняя оценка Саши — $S$.

По условию, средняя оценка Саши на 25% выше средней оценки Коли. Это можно записать как: $S = K + 25\% \cdot K = K + 0.25K = 1.25K$.

Теперь найдем, на сколько процентов средняя оценка Коли ниже средней оценки Саши. Для этого мы вычисляем разницу в оценках и делим ее на среднюю оценку Саши, так как сравнение идет с ней.

Формула для расчета: $\frac{S - K}{S} \cdot 100\%$.

Подставим в формулу выражение $S = 1.25K$: $\frac{1.25K - K}{1.25K} \cdot 100\% = \frac{0.25K}{1.25K} \cdot 100\%$.

Сократим $K$ и упростим дробь: $\frac{0.25}{1.25} \cdot 100\% = \frac{25}{125} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\%$.

Вычислим итоговое значение: $0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: на 20%.

2.36. Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по следующему алгоритму:

а) 19,3 + 8,98 ÷ 0,028 + 4,2 =;
б) 11,3 · 2,4 + 3,9 ÷ 0,2 =.

2.36

$\mathit{а}\mathbf{)} 19,3 + 8,98 \stackrel{1}{:} 0,028 + 4,2 = 23,5 \stackrel{2}{+} 320,714286 = 344,214286$

1.

2.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }11,3 \stackrel{1}{·} 2,4 + 3,9\stackrel{2}{ :} 0,2 = 27,12 \stackrel{3}{+} 19,5 = 46,62$

1.

2.

3.

а)

Данный алгоритм вычислений на калькуляторе предполагает последовательное выполнение операций. Это означает, что калькулятор выполняет действие сразу после ввода следующего оператора, не соблюдая стандартный порядок математических операций (в котором умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием). Поэтому вычисления производятся по шагам в том порядке, в котором они записаны:

1. Сначала выполняется сложение: $19,3 + 8,98 = 28,28$.

2. Затем результат этого сложения делится на следующее число: $28,28 \div 0,028$. Чтобы упростить деление, можно умножить делимое и делитель на 1000, чтобы работать с целыми числами: $28280 \div 28 = 1010$.

3. Наконец, к полученному результату прибавляется последнее число: $1010 + 4,2 = 1014,2$.

Таким образом, значение выражения, вычисленного по заданному алгоритму, равно 1014,2. Это вычисление можно записать в виде стандартного числового выражения со скобками, отражающими порядок действий: $((19,3 + 8,98) \div 0,028) + 4,2$.

Ответ: 1014,2

б)

Вычисления по этому алгоритму также выполняются последовательно, в порядке их ввода на калькуляторе.

1. Первым шагом выполняется умножение: $11,3 \cdot 2,4 = 27,12$.

2. Далее к результату прибавляется следующее число: $27,12 + 3,9 = 31,02$.

3. Полученная сумма делится на последнее число: $31,02 \div 0,2$. Для удобства вычислений можно представить это как $310,2 \div 2 = 155,1$.

Следовательно, итоговое значение, полученное на калькуляторе, составляет 155,1. В виде выражения со скобками, показывающими порядок действий, это выглядит так: $((11,3 \cdot 2,4) + 3,9) \div 0,2$.

Ответ: 155,1

2.37. а) Найдите периметр треугольника, стороны которого равны 8 см, 11 см и а см.

б) Может ли а быть равным 1, 3 или 5?

2.37

а) Р = 8 + 11 + а = 19 + а – периметр треугольника

б) а = 1 – нет, т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны, а 8 + 1 < 11

а = 3 – нет, т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны, а 8 + 3 = 11

а = 5 – может

а) Периметр треугольника (обозначим его как $P$) — это сумма длин всех его сторон. По условию, стороны треугольника равны 8 см, 11 см и a см. Чтобы найти периметр, нужно сложить длины этих сторон.
Формула для вычисления периметра:
$P = 8 + 11 + a$
$P = (19 + a)$ см
Ответ: Периметр треугольника равен $(19 + a)$ см.

б) Для того чтобы треугольник с заданными сторонами мог существовать, необходимо выполнение правила неравенства треугольника. Это правило гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.
Пусть стороны треугольника равны 8, 11 и a. Запишем три неравенства:
1) $8 + 11 > a \implies 19 > a$
2) $8 + a > 11 \implies a > 11 - 8 \implies a > 3$
3) $11 + a > 8$. Это неравенство верно для любого положительного значения a, так как $11$ уже больше $8$.
Таким образом, для существования треугольника длина стороны a должна находиться в интервале $(3; 19)$, то есть $3 < a < 19$.
Теперь проверим, могут ли предложенные значения a быть стороной такого треугольника:
- Может ли $a = 1$? Нет, так как не выполняется условие $a > 3$ (поскольку $1 \ngtr 3$). Если бы мы попытались построить такой треугольник, сумма сторон 8 и 1 не была бы больше 11 ($8+1=9$, а $9 \ngtr 11$).
- Может ли $a = 3$? Нет, так как не выполняется условие $a > 3$ (поскольку $3$ не является строго больше $3$). В этом случае мы получили бы вырожденный треугольник, у которого все три вершины лежат на одной прямой ($8+3=11$).
- Может ли $a = 5$? Да, так как значение 5 удовлетворяет условию $3 < 5 < 19$. Все три неравенства выполняются: $8+11>5$ (верно), $8+5>11$ (13 > 11, верно), $11+5>8$ (верно).
Ответ: Сторона a не может быть равна 1 или 3; может быть равна 5.

2.38. Укажите числа, которые делятся на 4:

а) 234 856; б) 1 094 178; в) 48 954 036; г) 73 581 300.

2.38

Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.

а) 234 856 – делится на 4, т.к. 56 делится на 4

б) 1 094 178 – не делится на 4, т.к. 78 не делится на 4

в) 48 954 036 – делится на 4, т.к. 36 делится на 4

г) 73 581 300 – делится на 4, т.к. 00 делится на 4

Для того чтобы определить, делится ли число на 4, используется признак делимости: число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Также на 4 делятся все числа, оканчивающиеся на два нуля.

а) 234 856

Рассмотрим число, образованное последними двумя цифрами: 56.
Проверим его делимость на 4:
$56 : 4 = 14$.
Так как 56 делится на 4 без остатка, то и число 234 856 делится на 4.
Ответ: число делится на 4.

б) 1 094 178

Рассмотрим число, образованное последними двумя цифрами: 78.
Проверим его делимость на 4:
$78 : 4 = 19.5$.
Так как 78 не делится на 4 нацело, то и число 1 094 178 не делится на 4.
Ответ: число не делится на 4.

в) 48 954 036

Рассмотрим число, образованное последними двумя цифрами: 36.
Проверим его делимость на 4:
$36 : 4 = 9$.
Так как 36 делится на 4 без остатка, то и число 48 954 036 делится на 4.
Ответ: число делится на 4.

г) 73 581 300

Данное число оканчивается на два нуля (00). Число, образованное последними двумя цифрами, равно 0.
Проверим его делимость на 4:
$0 : 4 = 0$.
Так как 0 делится на 4 без остатка, то и число 73 581 300 делится на 4.
Ответ: число делится на 4.

Таким образом, числа, которые делятся на 4, это: 234 856, 48 954 036, 73 581 300.

2.39. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 4:

а) 45 16?; б) 37 4?2; в) 36 35?; г) 84 9?6?

2.39

Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.

а) 45 164, 45 168, 45160

б) 37 412, 37 432, 37 452, 37 472, 37 492

в) 36 352, 36356

г) 84 916, 84 936, 84 956, 84 976, 84 996

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

а) 45 16?

Чтобы число 45 16? делилось на 4, число 6? должно делиться на 4. Найдем все подходящие цифры, которые можно подставить вместо знака вопроса.
Перебираем двузначные числа, начинающиеся с 6:
- 60 делится на 4, так как $60 \div 4 = 15$. Значит, подходит цифра 0.
- 64 делится на 4, так как $64 \div 4 = 16$. Значит, подходит цифра 4.
- 68 делится на 4, так как $68 \div 4 = 17$. Значит, подходит цифра 8.
Другие числа (61, 62, 63, 65, 66, 67, 69) на 4 не делятся.

Ответ: 0, 4, 8.

б) 37 4?2

Чтобы число 37 4?2 делилось на 4, число ?2 должно делиться на 4. Найдем все подходящие цифры, которые можно подставить вместо знака вопроса.
Перебираем двузначные числа, оканчивающиеся на 2:
- 12 делится на 4, так как $12 \div 4 = 3$. Значит, подходит цифра 1.
- 32 делится на 4, так как $32 \div 4 = 8$. Значит, подходит цифра 3.
- 52 делится на 4, так как $52 \div 4 = 13$. Значит, подходит цифра 5.
- 72 делится на 4, так как $72 \div 4 = 18$. Значит, подходит цифра 7.
- 92 делится на 4, так как $92 \div 4 = 23$. Значит, подходит цифра 9.
Другие числа (02, 22, 42, 62, 82) на 4 не делятся.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

в) 36 35?

Чтобы число 36 35? делилось на 4, число 5? должно делиться на 4. Найдем все подходящие цифры, которые можно подставить вместо знака вопроса.
Перебираем двузначные числа, начинающиеся с 5:
- 52 делится на 4, так как $52 \div 4 = 13$. Значит, подходит цифра 2.
- 56 делится на 4, так как $56 \div 4 = 14$. Значит, подходит цифра 6.
Другие числа (50, 51, 53, 54, 55, 57, 58, 59) на 4 не делятся.

Ответ: 2, 6.

г) 84 9?6

Чтобы число 84 9?6 делилось на 4, число ?6 должно делиться на 4. Найдем все подходящие цифры, которые можно подставить вместо знака вопроса.
Перебираем двузначные числа, оканчивающиеся на 6:
- 16 делится на 4, так как $16 \div 4 = 4$. Значит, подходит цифра 1.
- 36 делится на 4, так как $36 \div 4 = 9$. Значит, подходит цифра 3.
- 56 делится на 4, так как $56 \div 4 = 14$. Значит, подходит цифра 5.
- 76 делится на 4, так как $76 \div 4 = 19$. Значит, подходит цифра 7.
- 96 делится на 4, так как $96 \div 4 = 24$. Значит, подходит цифра 9.
Другие числа (06, 26, 46, 66, 86) на 4 не делятся.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.

2.40. Какие из чисел 3552, 4712, 6576, 4836 делятся на 3 и на 4? Как вы думаете, числа, которые делятся на 3 и на 4, делятся на 12? Ответ обоснуйте.

2.40

3552, так как 52 : 4 = 13 и 3 + 5 + 5 + 2 = 15 : 3 = 5

6576, так как 76 : 4 = 19 и 6 + 5 + 7 + 6 = 24 : 3 = 8

Эти числа делятся на 12, так как 12 = 3 ∙ 4.

Какие из чисел 3552, 4712, 6576, 4836 делятся на 3 и на 4?

Для того чтобы число делилось одновременно и на 3, и на 4, оно должно удовлетворять двум признакам делимости:

1. Признак делимости на 3: сумма всех цифр числа должна делиться на 3 без остатка.

2. Признак делимости на 4: число, составленное из двух последних цифр, должно делиться на 4 без остатка.

Проверим каждое число по этим правилам.

Число 3552:

Проверка на 3: сумма цифр $3 + 5 + 5 + 2 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, 3552 делится на 3.

Проверка на 4: последние две цифры образуют число 52. Число 52 делится на 4 ($52 \div 4 = 13$), следовательно, 3552 делится на 4.

Вывод: число 3552 делится и на 3, и на 4.

Число 4712:

Проверка на 3: сумма цифр $4 + 7 + 1 + 2 = 14$. Число 14 не делится на 3, следовательно, 4712 не делится на 3.

Вывод: число 4712 не удовлетворяет условию.

Число 6576:

Проверка на 3: сумма цифр $6 + 5 + 7 + 6 = 24$. Число 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), следовательно, 6576 делится на 3.

Проверка на 4: последние две цифры образуют число 76. Число 76 делится на 4 ($76 \div 4 = 19$), следовательно, 6576 делится на 4.

Вывод: число 6576 делится и на 3, и на 4.

Число 4836:

Проверка на 3: сумма цифр $4 + 8 + 3 + 6 = 21$. Число 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), следовательно, 4836 делится на 3.

Проверка на 4: последние две цифры образуют число 36. Число 36 делится на 4 ($36 \div 4 = 9$), следовательно, 4836 делится на 4.

Вывод: число 4836 делится и на 3, и на 4.

Ответ: 3552, 6576, 4836.

Как вы думаете, числа, которые делятся на 3 и на 4, делятся на 12? Ответ обоснуйте.

Да, это утверждение верно. Числа, которые делятся на 3 и на 4, всегда делятся на 12.

Обоснование:

Существует свойство делимости: если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Рассмотрим числа 3 и 4. Они являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме единицы. Их произведение равно $3 \times 4 = 12$.

Следовательно, если любое число делится и на 3, и на 4, оно обязательно будет делиться на их произведение, то есть на 12. Это свойство и составляет признак делимости на 12.

Ответ: Да, делятся. Обоснование заключается в том, что если число делится на два взаимно простых числа (3 и 4), то оно также делится и на их произведение ($3 \times 4 = 12$).

4.229. Учёные исследовали в батискафе дно озера Байкал в районе острова Ольхон. Они достигли отметки –730 м и, выполняя исследования, погружались ещё на: а) 40 м; б) 15 м; в) 100 м. На каких отметках они работали?

4.229

а) -730 – 40 = -730 + (-40) = -(730 + 40) = -770 м

б) -730 – 15 = -730 + (-15) = -(730 + 15) = -745 м

в) -730 – 100 = -730 + (-100) = -(730 + 100) = -830 м

В задаче требуется найти, на каких глубинах работали учёные, если они начали с отметки $-730$ м и погружались глубже. Начальная отметка представляет собой отрицательное число, так как это глубина относительно уровня поверхности. Каждое последующее погружение увеличивает глубину, что математически означает вычитание из текущей отметки.

а) Учёные достигли отметки $-730$ м и погрузились ещё на $40$ м. Новая глубина рассчитывается сложением двух отрицательных величин (или вычитанием из начальной отметки):
$-730 + (-40) = -730 - 40 = -770$ м.
Ответ: учёные работали на отметке $-770$ м.

б) Учёные достигли отметки $-730$ м и погрузились ещё на $15$ м. Новая глубина будет:
$-730 + (-15) = -730 - 15 = -745$ м.
Ответ: учёные работали на отметке $-745$ м.

в) Учёные достигли отметки $-730$ м и погрузились ещё на $100$ м. Новая глубина составит:
$-730 + (-100) = -730 - 100 = -830$ м.
Ответ: учёные работали на отметке $-830$ м.

4.230. Проверьте равенство n – (–m) = n + m при:

а) n = 21, m = 32; б) n = 17, m = –3; в) n = –4,2, m = –0,9; г) n = –3,6, m = 7,8; д) n = – 611, m = 411; е) n = – 727, m = – 667.

4.230

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = 21, \mathrm{m} = 32 \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = 21 – (-32) = 21+ 32 = 53 \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = 21 + 32 = 53 53 = 53 - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = 17, \mathrm{m} = -3 \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = 17 – (-(-3)) = 17 – 3 = 14 \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = 17 + (-3) = 17 – 3 = 14 \\ 14 = 14 - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \mathrm{n} = -4,2, \mathrm{m} = -0,9 \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = - 4,2 – (-(-0,9)) = \\ = -4,2 – 0,9 = - (4,2 + 0,9) = - 5,1 \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = - 4,2 + (-0,9) = \\ = - (4,2 + 0,9) = - 5,1 \\ - 5,1 = -5,1- \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = -3,6, \mathrm{m} = 7,8 \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = -3,6 – (-7,8) = \\ = - 3,6 + 7,8 = 7,8 – 3,6 = 4,2 \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = -3,6 + 7,8 = 7,8 – 3,6 = 4,2 \\ -4,2 = -4,2 - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = -\frac{6}{11}, \mathrm{m} = \frac{4}{11} \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = -\frac{6}{11} – (-\frac{4}{11} ) = \\ = -\frac{6}{11} + \frac{4}{11}= - (\frac{6}{11} - \frac{4}{11}) = - \frac{2}{11} \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = -\frac{6}{11}1 + \frac{4}{11}=-(\frac{6}{11} – \frac{4}{11})= \\ = - \frac{2}{11} \\ - \frac{2}{11}= - \frac{2}{11}- \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} \mathrm{n} = -7\frac{2}{17}, \mathrm{m} = -6\frac{6}{17} \\ \mathrm{n} – (-\mathrm{m}) = -7\frac{2}{17} – (-(-6\frac{6}{17})) = \\ = -7\frac{2}{7} – 6\frac{6}{7}= -(7\frac{2}{7}+ 6\frac{6}{7})= \\ = 14\frac{1}{7} \\ \mathrm{n} + \mathrm{m} = -7\frac{2}{7}+ (-6\frac{6}{7}) = \\ = -(7\frac{2}{7}+ 6\frac{6}{7}) = 14\frac{1}{7} \\ 14\frac{1}{7} = 14\frac{1}{7} - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Для проверки равенства $n - (-m) = n + m$ необходимо подставить заданные значения переменных $n$ и $m$ в левую и правую части уравнения и сравнить полученные результаты. Данное равенство является алгебраическим тождеством, поскольку вычитание отрицательного числа $-m$ эквивалентно прибавлению противоположного ему положительного числа $m$, то есть $n - (-m)$ всегда равно $n + m$. Проверим это на конкретных примерах.

а) При $n = 21, m = 32$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = 21 - (-32) = 21 + 32 = 53$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = 21 + 32 = 53$.

Поскольку $53 = 53$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б) При $n = 17, m = -3$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = 17 - (-(-3)) = 17 - 3 = 14$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = 17 + (-3) = 17 - 3 = 14$.

Поскольку $14 = 14$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

в) При $n = -4,2, m = -0,9$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = -4,2 - (-(-0,9)) = -4,2 - 0,9 = -5,1$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = -4,2 + (-0,9) = -4,2 - 0,9 = -5,1$.

Поскольку $-5,1 = -5,1$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

г) При $n = -3,6, m = 7,8$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = -3,6 - (-7,8) = -3,6 + 7,8 = 4,2$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = -3,6 + 7,8 = 4,2$.

Поскольку $4,2 = 4,2$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

д) При $n = -\frac{6}{11}, m = \frac{4}{11}$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = -\frac{6}{11} - (-\frac{4}{11}) = -\frac{6}{11} + \frac{4}{11} = \frac{-6+4}{11} = -\frac{2}{11}$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = -\frac{6}{11} + \frac{4}{11} = \frac{-6+4}{11} = -\frac{2}{11}$.

Поскольку $-\frac{2}{11} = -\frac{2}{11}$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

е) При $n = -7\frac{2}{7}, m = -6\frac{6}{7}$

Проверяем левую часть равенства: $n - (-m) = -7\frac{2}{7} - (-(-6\frac{6}{7})) = -7\frac{2}{7} - 6\frac{6}{7} = -(7\frac{2}{7} + 6\frac{6}{7}) = -(13 + \frac{2+6}{7}) = -(13 + \frac{8}{7}) = -(13 + 1\frac{1}{7}) = -14\frac{1}{7}$.

Проверяем правую часть равенства: $n + m = -7\frac{2}{7} + (-6\frac{6}{7}) = -(7\frac{2}{7} + 6\frac{6}{7}) = -14\frac{1}{7}$.

Поскольку $-14\frac{1}{7} = -14\frac{1}{7}$, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

4.231. Выполните действия вычитания:

а) 8 – (–5); б) 11 – (–16); в) 19 – (–19); г) –15 – (–15); д) –10 – (–11); е) –34 – (–35); ж) –32 – (–28); з) –56 – (–44) и) 1 – 3; к) 7 – 12; л) –5 – 5; м) –28 – 8.

4.231

а) 8 – (-5) = 8 + 5 = 13

б) 11 – (-16) = 11 + 16 = 27

в) 19 – (-19) = 19 + 19 = 38

г) -15 – (-15) = -15 + 15 = 0

д) -10 – (-11) = -10 + 11 = + (11 – 10) = 1

е) -34 – (-35) = -34 + 35 = + (35 – 34) = 1

ж) -32 – (-28) = -32 + 28 = - (32 – 28) = -4

з) -56 – (-44) = -56 + 44 = - (56 - 44) = -12

и) 1 – 3 = 1 + (-3) = - (3 – 1) = - 2

к) 7 – 12 = 7 + (-12) = - (12 – 7) = -5

д) -5 – 5 = -5 + (-5) = -(5 + 5) = -10

м) -28 – 8 = -28 + (-8) = -(28 + 8) = -36

а) Чтобы вычесть отрицательное число, нужно прибавить противоположное ему положительное число. Это правило можно записать в виде формулы: $a - (-b) = a + b$.
Применяем это правило к нашему выражению: $8 - (-5) = 8 + 5 = 13$.
Ответ: 13

б) Используем то же правило, что и в предыдущем пункте: вычитание отрицательного числа заменяется сложением.
$11 - (-16) = 11 + 16 = 27$.
Ответ: 27

в) Вычитание отрицательного числа $-19$ эквивалентно прибавлению числа $19$.
$19 - (-19) = 19 + 19 = 38$.
Ответ: 38

г) Вычитаем из отрицательного числа $-15$ само себя. Это равносильно прибавлению противоположного числа, то есть $15$.
$-15 - (-15) = -15 + 15 = 0$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
Ответ: 0

д) Вычитание $-11$ заменяем на сложение с $11$.
$-10 - (-11) = -10 + 11 = 11 - 10 = 1$.
Ответ: 1

е) Вычитание $-35$ заменяем на сложение с $35$.
$-34 - (-35) = -34 + 35 = 35 - 34 = 1$.
Ответ: 1

ж) Вычитание $-28$ заменяем на сложение с $28$.
$-32 - (-28) = -32 + 28$.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю и поставить знак числа с большим модулем. $|-32| > |28|$, поэтому результат будет отрицательным.
$-32 + 28 = -(32 - 28) = -4$.
Ответ: -4

з) Вычитание $-44$ заменяем на сложение с $44$.
$-56 - (-44) = -56 + 44$.
Модуль числа $-56$ больше модуля числа $44$, значит, результат будет отрицательным.
$-56 + 44 = -(56 - 44) = -12$.
Ответ: -12

и) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего вычесть меньшее и поставить перед разностью знак минус.
$1 - 3 = -(3 - 1) = -2$.
Или можно представить вычитание как сложение с отрицательным числом: $1 + (-3) = -2$.
Ответ: -2

к) Вычитаем из меньшего числа большее.
$7 - 12 = -(12 - 7) = -5$.
Другой способ: $7 - 12 = 7 + (-12) = -5$.
Ответ: -5

л) Вычитание положительного числа из отрицательного. Это можно представить как сложение двух отрицательных чисел.
$-5 - 5 = -5 + (-5)$.
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак минус.
$-(5 + 5) = -10$.
Ответ: -10

м) Аналогично предыдущему пункту, складываем два отрицательных числа.
$-28 - 8 = -28 + (-8) = -(28 + 8) = -36$.
Ответ: -36

4.232. Найдите разность:

а) 7,2 – (–1,2); б) –3,4 – (–4,2); в) –7,8 – (–4,2); г) 3,4 – 9,4; д) –2,3 – 2,3; е) 5,05 – (–5,05); ж) –13,41 – (–13,41); з) –0,34 – 0; и) 0 – (–39,1); к) 0 – 48,3;

4.232

а) 7,2 – (-1,2) = 7,2 + 1,2 = 8,4

б) -3,4 – (-4,2) = -3,4 + 4,2 = +(4,2 – 3,4) = 0,8

в) -7,8 – (-4,2) = -7,8 + 4,2 = -(7,8 – 4,2) = -3,6

г) 3,4 – 9,4 = 3,4 + (-9,4) = -(9,4 – 3,4) = -6

д) -2,3 – 2,3 = -2,3 + (-2,3) = -(2,3 + 2,3) = -4,6

е) 5,05 – (-5,05) = 5,05 + 5,05 = 10,1

ж) -13,41 – (-13,41) = -13,41 + 13,41 = 0

з) -0,34 – 0 = -0,34

и) 0 – (-39,1) = 0 + 39,1 = 39,1

к) 0 – 48,3 = 0 + (-48,3) = -48,3

а) Чтобы найти разность, нужно к уменьшаемому $7,2$ прибавить число, противоположное вычитаемому $(-1,2)$, то есть $1,2$.
$7,2 - (-1,2) = 7,2 + 1,2 = 8,4$
Ответ: $8,4$

б) Чтобы из числа $-3,4$ вычесть число $-4,2$, нужно к уменьшаемому $-3,4$ прибавить число, противоположное вычитаемому $(-4,2)$, то есть $4,2$.
$-3,4 - (-4,2) = -3,4 + 4,2 = 0,8$
Ответ: $0,8$

в) К уменьшаемому $-7,8$ прибавляем число, противоположное вычитаемому $(-4,2)$, то есть $4,2$. Так как модуль отрицательного числа больше, результат будет отрицательным.
$-7,8 - (-4,2) = -7,8 + 4,2 = -(7,8 - 4,2) = -3,6$
Ответ: $-3,6$

г) Чтобы из числа $3,4$ вычесть число $9,4$, можно к уменьшаемому $3,4$ прибавить число, противоположное вычитаемому $9,4$, то есть $-9,4$.
$3,4 - 9,4 = 3,4 + (-9,4) = -(9,4 - 3,4) = -6$
Ответ: $-6$

д) Вычитание числа $2,3$ из $-2,3$ равносильно сложению двух отрицательных чисел: $-2,3$ и $-2,3$.
$-2,3 - 2,3 = -(2,3 + 2,3) = -4,6$
Ответ: $-4,6$

е) Вычитание отрицательного числа $-5,05$ заменяется прибавлением противоположного ему положительного числа $5,05$.
$5,05 - (-5,05) = 5,05 + 5,05 = 10,1$
Ответ: $10,1$

ж) Вычитание числа из самого себя. Результатом всегда является ноль.
$-13,41 - (-13,41) = -13,41 + 13,41 = 0$
Ответ: $0$

з) При вычитании нуля из любого числа, это число не изменяется.
$-0,34 - 0 = -0,34$
Ответ: $-0,34$

и) Вычитание отрицательного числа $-39,1$ из нуля равносильно прибавлению к нулю числа $39,1$.
$0 - (-39,1) = 0 + 39,1 = 39,1$
Ответ: $39,1$

к) При вычитании положительного числа из нуля получается число, противоположное вычитаемому.
$0 - 48,3 = -48,3$
Ответ: $-48,3$

4.233. Найдите разность:

а) – 317 – (– 917); б) – 817 – (– 317); в) 713 – (– 113); г) – 514 – 37; д) 12 – 45; е) – 23 – (– 56); ж) – 34 – (– 49); з) 38 – 512.

4.233

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{3}{17} -\left(-\frac{9}{17}\right) = -\frac{3}{17} + \frac{9}{17}= \\ =+\left(\frac{9}{17} - \frac{3}{17}\right) = \frac{6}{17} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{8}{17} - \left(-\frac{3}{17}\right) = -\frac{8}{17} + \frac{3}{17}= \\ = -\left(\frac{8}{17} - \frac{3}{17}\right) = -\frac{5}{17} \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{7}{13} - \left(-\frac{1}{13}\right) = \frac{7}{13} + \frac{1}{13} = \frac{8}{13}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{14} - \frac{3}{7} = -\frac{5}{14} + \left({-\frac{3}{7}}^{\overline{)·2}}\right)= \\ = -\frac{5}{14} + \left(-\frac{6}{14}\right)=-\left(\frac{5}{14} + \frac{6}{14}\right) = \\ = -\frac{11}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{2} - \frac{4}{5} = {\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}} + \left({-\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}}\right) = \frac{5}{10}+ \\ + \left(-\frac{8}{10}\right) = - \left(\frac{8}{10} - \frac{5}{10}\right)= -\frac{3}{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -\frac{2}{3} - \left(-\frac{5}{6}\right) = {-\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}} + \frac{5}{6} = \\ = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = +\left(\frac{5}{6} - \frac{4}{6}\right) = \frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{3}{4} - \left(-\frac{4}{9}\right) = {-\frac{3}{4}}^{\overline{)·9}} {+ \frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} = \\ =-\frac{27}{36} + \frac{16}{36} = -\left(\frac{27}{36} - \frac{16}{36}\right) = -\frac{11}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} - \frac{5}{12} = {\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} + \left({-\frac{5}{12}}^{\overline{)·2}}\right) = \frac{9}{24}+ \\ + \left(-\frac{10}{24}\right) = -\left(\frac{10}{24} - \frac{9}{24}\right) = -\frac{1}{24} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти разность $-\frac{3}{17} - (-\frac{9}{17})$, воспользуемся правилом: вычитание отрицательного числа равносильно сложению.
$-\frac{3}{17} - (-\frac{9}{17}) = -\frac{3}{17} + \frac{9}{17}$.
Так как знаменатели одинаковы, складываем числители:
$\frac{-3 + 9}{17} = \frac{6}{17}$.
Ответ: $\frac{6}{17}$.

б) Чтобы найти разность $-\frac{8}{17} - (-\frac{3}{17})$, заменим вычитание отрицательного числа на сложение.
$-\frac{8}{17} - (-\frac{3}{17}) = -\frac{8}{17} + \frac{3}{17}$.
Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{-8 + 3}{17} = \frac{-5}{17} = -\frac{5}{17}$.
Ответ: $-\frac{5}{17}$.

в) Чтобы найти разность $\frac{7}{13} - (-\frac{1}{13})$, заменим вычитание отрицательного числа на сложение.
$\frac{7}{13} - (-\frac{1}{13}) = \frac{7}{13} + \frac{1}{13}$.
Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{7 + 1}{13} = \frac{8}{13}$.
Ответ: $\frac{8}{13}$.

г) Чтобы найти разность $-\frac{5}{14} - \frac{3}{7}$, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 14 и 7 равен 14.
Домножим вторую дробь на дополнительный множитель 2: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$.
Теперь выполним вычитание:
$-\frac{5}{14} - \frac{6}{14} = \frac{-5 - 6}{14} = \frac{-11}{14} = -\frac{11}{14}$.
Ответ: $-\frac{11}{14}$.

д) Чтобы найти разность $\frac{1}{2} - \frac{4}{5}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 2 и 5 равен 10.
$\frac{1}{2} - \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} - \frac{8}{10}$.
Выполним вычитание:
$\frac{5 - 8}{10} = \frac{-3}{10} = -\frac{3}{10}$.
Ответ: $-\frac{3}{10}$.

е) Чтобы найти разность $-\frac{2}{3} - (-\frac{5}{6})$, заменим вычитание отрицательного числа сложением и приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 3 и 6 равен 6.
$-\frac{2}{3} - (-\frac{5}{6}) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6}$.
Выполним сложение:
$\frac{-4 + 5}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

ж) Чтобы найти разность $-\frac{3}{4} - (-\frac{4}{9})$, заменим вычитание отрицательного числа сложением и приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 4 и 9 равен 36.
$-\frac{3}{4} - (-\frac{4}{9}) = -\frac{3}{4} + \frac{4}{9} = -\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{27}{36} + \frac{16}{36}$.
Выполним сложение:
$\frac{-27 + 16}{36} = \frac{-11}{36} = -\frac{11}{36}$.
Ответ: $-\frac{11}{36}$.

з) Чтобы найти разность $\frac{3}{8} - \frac{5}{12}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ для 8 и 12 равен 24.
$\frac{3}{8} - \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{9}{24} - \frac{10}{24}$.
Выполним вычитание:
$\frac{9 - 10}{24} = \frac{-1}{24} = -\frac{1}{24}$.
Ответ: $-\frac{1}{24}$.

4.234. Выполните вычитание:

а) –258 – 14; б) 38 – 114; в) 135 – (–216); г) –3712 – (–138); д) –314 – 0,75; е) –2,4 – (–113); ж) 3211 – 4733; з) –449 – (–356).

4.234

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{5}{8} - {\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} = -2\frac{5}{8} +\left(- \frac{2}{8}\right) = \\ = -\left(2\frac{5}{8} + \frac{2}{8}\right) = -2\frac{7}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} - 1\frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \left({-1\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}\right) = \frac{3}{8} + \left(-1\frac{2}{8}\right)= \\ =-\left(1\frac{2}{8} - \frac{3}{8}\right) = -\left(\frac{10}{8} - \frac{3}{8}\right) = -\frac{7}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{3}{5} - \left(-2\frac{1}{6}\right) = {1\frac{3}{5}}^{\overline{)·6}} +{ 2\frac{1}{6}}^{\overline{)·5}} = \\ = 1\frac{18}{30} + 2\frac{5}{30} = 3\frac{23}{30} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -3\frac{7}{12} - \left(-1\frac{3}{8}\right) ={ -3\frac{7}{12}}^{\overline{)·2}} +{ 1\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} = \\ = -\left(3\frac{14}{24} - 1\frac{9}{24}\right) = -2\frac{5}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -3\frac{1}{4} - 0,75 = -3,25 – 0,75 = \\ =-3,25 + (-0,75) = -(3,25 + 0,75) = -4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-2,4 - \left(-1\frac{1}{3} \right)= -2,4 + 1\frac{1}{3} = \\ = -2\frac{2}{5} + 1\frac{1}{3} = -\left({2\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}} -{1\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}}\right) = \\ = -\left(2\frac{6}{15} - 1\frac{5}{15}\right) = -1\frac{1}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} 3\frac{2}{11} - 4\frac{7}{33} = 3\frac{2}{11} +\left(- 4\frac{7}{33}\right) = \\ = - \left(4\frac{7}{33} -{ 3\frac{2}{11}}^{\overline{)·3}}\right)=- \left(4\frac{7}{33} - 3\frac{6}{33}\right)= \\ = -1\frac{1}{33} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} -4\frac{4}{9} - \left(-3\frac{5}{6}\right)= -4\frac{4}{9} + 3\frac{5}{6} = \\ = -\left({4\frac{4}{9}}^{\overline{)·2}} - {3\frac{5}{6}}^{\overline{)·3}}\right) = -\left(4\frac{8}{18} - 3\frac{15}{18}\right)= \\ = - \left(3\frac{26}{18} - 3\frac{15}{18}\right) = -\frac{11}{18} \end{gathered}$$

а) $-2\frac{5}{8} - \frac{1}{4}$

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 это 8.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$

Теперь выполним вычитание. Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули и ставим перед результатом знак минус:

$-2\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = -(2\frac{5}{8} + \frac{2}{8}) = -(2 + \frac{5+2}{8}) = -2\frac{7}{8}$

Ответ: $-2\frac{7}{8}$

б) $\frac{3}{8} - 1\frac{1}{4}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{10}{8}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3}{8} - \frac{10}{8} = \frac{3-10}{8} = -\frac{7}{8}$

Ответ: $-\frac{7}{8}$

в) $1\frac{3}{5} - (-2\frac{1}{6})$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $1\frac{3}{5} - (-2\frac{1}{6}) = 1\frac{3}{5} + 2\frac{1}{6}$.

Сложим целые и дробные части отдельно. Сложение целых частей: $1+2=3$.

Сложение дробных частей: $\frac{3}{5} + \frac{1}{6}$. Приведем их к общему знаменателю 30.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}$; $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{23}{30}$.

Объединяем результат: $3 + \frac{23}{30} = 3\frac{23}{30}$.

Ответ: $3\frac{23}{30}$

г) $-3\frac{7}{12} - (-1\frac{3}{8})$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $-3\frac{7}{12} + 1\frac{3}{8}$.

Так как модуль отрицательного числа ($3\frac{7}{12}$) больше модуля положительного ($1\frac{3}{8}$), результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $3\frac{7}{12} - 1\frac{3}{8}$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 24.

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$; $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

Выполним вычитание: $3\frac{14}{24} - 1\frac{9}{24} = (3-1) + (\frac{14}{24} - \frac{9}{24}) = 2\frac{5}{24}$.

Так как итоговый результат отрицательный, ответ: $-2\frac{5}{24}$.

Ответ: $-2\frac{5}{24}$

д) $-3\frac{1}{4} - 0,75$

Представим оба числа в виде десятичных дробей. $\frac{1}{4} = 0,25$, следовательно, $3\frac{1}{4} = 3,25$.

Выражение принимает вид: $-3,25 - 0,75$.

Складываем два отрицательных числа:

$-(3,25 + 0,75) = -4$

Ответ: $-4$

е) $-2,4 - (-1\frac{1}{3})$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $-2,4 + 1\frac{1}{3}$.

Преобразуем десятичную дробь в смешанное число: $2,4 = 2\frac{4}{10} = 2\frac{2}{5}$.

Выражение принимает вид: $-2\frac{2}{5} + 1\frac{1}{3}$.

Модуль отрицательного числа больше, поэтому результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $2\frac{2}{5} - 1\frac{1}{3}$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 15: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$; $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$.

Выполним вычитание: $2\frac{6}{15} - 1\frac{5}{15} = (2-1) + (\frac{6}{15} - \frac{5}{15}) = 1\frac{1}{15}$.

Так как итоговый результат отрицательный, ответ: $-1\frac{1}{15}$.

Ответ: $-1\frac{1}{15}$

ж) $3\frac{2}{11} - 4\frac{7}{33}$

Так как вычитаемое больше уменьшаемого, результат будет отрицательным. Перепишем выражение: $-(4\frac{7}{33} - 3\frac{2}{11})$.

Приведем дробную часть числа $3\frac{2}{11}$ к знаменателю 33: $\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \frac{6}{33}$.

Теперь выполним вычитание: $4\frac{7}{33} - 3\frac{6}{33} = (4-3) + (\frac{7}{33} - \frac{6}{33}) = 1\frac{1}{33}$.

Учитывая знак минус, получаем ответ: $-1\frac{1}{33}$.

Ответ: $-1\frac{1}{33}$

з) $-4\frac{4}{9} - (-3\frac{5}{6})$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $-4\frac{4}{9} + 3\frac{5}{6}$.

Модуль отрицательного числа больше, поэтому результат будет отрицательным. Вычтем из большего модуля меньший: $4\frac{4}{9} - 3\frac{5}{6}$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 18: $\frac{4}{9} = \frac{8}{18}$; $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$.

Выражение для вычитания модулей: $4\frac{8}{18} - 3\frac{15}{18}$.

Так как $\frac{8}{18} < \frac{15}{18}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого: $4\frac{8}{18} = 3 + 1 + \frac{8}{18} = 3\frac{26}{18}$.

Теперь вычитаем: $3\frac{26}{18} - 3\frac{15}{18} = \frac{26-15}{18} = \frac{11}{18}$.

Так как итоговый результат отрицательный, ответ: $-\frac{11}{18}$.

Ответ: $-\frac{11}{18}$

4.235. Найдите корень уравнения и выполните проверку:

а) −4 + х = 8,7; б) 9,3 + х = −8; в) 7 − у = 2,4; г) 6 − у = −357; д) с + 514 = − 37; е) с + 1,2 = −125.

4.235

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} -4 + \mathrm{х} = 8,7 \\ \mathrm{х} = 8,7 – (-4); \\ \mathrm{х} = 8,7 + 4; \\ \mathrm{х} = 12,7. \\ \mathrm{Ответ} 12,7 \\ \mathrm{Проверка}: \\ -4 + 12,7 = +(12,7 – 4) = 8,7. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }9,3 + \mathrm{х} = -8; \\ \mathrm{х} = -8 – 9,3; \\ \mathrm{х} = -8 + (-9,3); \\ \mathrm{х} = -(8 + 9,3); \\ \mathrm{х} = -17,3. \\ \mathrm{Ответ}: - 17,3. \\ \mathrm{Проверка}: \\ 9,3 + (-17,3) = -(17,3 – 9,3) = -8. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} 7 – \mathrm{у} = 2,4; \\ \mathrm{у} = 7 – 2,4; \\ \mathrm{у} = 4,6. \\ \mathrm{Ответ}: 4,6. \\ \mathrm{Проверка}: \\ 7 – 4,6 = 2,4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} 6 – \mathrm{у} = -3\frac{5}{7}; \\ \mathrm{у} = 6 – \left(-3\frac{5}{7}\right); \\ \mathrm{у} = 6 +3\frac{5}{7}; \\ \mathrm{у} = 9\frac{5}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: 9\frac{5}{7}. \\ \mathrm{Проверка}: \\ 6 – 9\frac{5}{7} = 6 + (-9\frac{5}{7}) = -(9\frac{5}{7} – 6) = -3\frac{5}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} \mathrm{с} + \frac{5}{14} = -\frac{3}{7}; \\ \mathrm{с} = -\frac{3}{7} -\frac{5}{14}; \\ \mathrm{с} = {-\frac{3}{7}}^{\overline{)·2}} + \left(-\frac{5}{14}\right); \\ \mathrm{с} = -\frac{6}{14} + \left(-\frac{5}{14}\right); \\ \mathrm{с} = - \left(\frac{6}{14} + \frac{5}{14}\right); \\ \mathrm{с} = - \frac{11}{14}. \\ \mathrm{Ответ}: - \frac{11}{14}. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -\frac{11}{14} + \frac{5}{14} = -\left(\frac{11}{14} - \frac{5}{14}\right) = \\ = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} \mathrm{с} + 1,2 = -1\frac{2}{5}; \\ \mathrm{с} = {-1\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}} – 1,2; \\ \mathrm{с} = -1,4 – 1,2; \\ \mathrm{с} = -1,4 + (-1,2); \\ \mathrm{с} = -(1,4 + 1,2); \\ \mathrm{с} = -2,6. \\ \mathrm{Ответ}: - 2,6. \\ \mathrm{Проверка}: \\ -2,6 + 1,2 = -(2,6 – 1,2) = -1,4 = \\ = -1\frac{4}{10} = -1\frac{2}{5} \end{gathered}$$

а) Исходное уравнение: $-4 + x = 8,7$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно к сумме $8,7$ прибавить число, противоположное известному слагаемому $-4$, то есть прибавить $4$.
$x = 8,7 - (-4)$
$x = 8,7 + 4$
$x = 12,7$
Проверка:
Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$-4 + 12,7 = 8,7$
$8,7 = 8,7$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $12,7$.

б) Исходное уравнение: $9,3 + x = -8$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $-8$ вычесть известное слагаемое $9,3$.
$x = -8 - 9,3$
$x = -17,3$
Проверка:
Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$9,3 + (-17,3) = -8$
$9,3 - 17,3 = -8$
$-8 = -8$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $-17,3$.

в) Исходное уравнение: $7 - y = 2,4$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого $7$ вычесть разность $2,4$.
$y = 7 - 2,4$
$y = 4,6$
Проверка:
Подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение:
$7 - 4,6 = 2,4$
$2,4 = 2,4$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $4,6$.

г) Исходное уравнение: $6 - y = -3\frac{5}{7}$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого $6$ вычесть разность $-3\frac{5}{7}$.
$y = 6 - (-3\frac{5}{7})$
$y = 6 + 3\frac{5}{7}$
$y = 9\frac{5}{7}$
Проверка:
Подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение:
$6 - 9\frac{5}{7} = 6 - (9 + \frac{5}{7}) = 6 - 9 - \frac{5}{7} = -3 - \frac{5}{7} = -3\frac{5}{7}$
$-3\frac{5}{7} = -3\frac{5}{7}$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $9\frac{5}{7}$.

д) Исходное уравнение: $c + \frac{5}{14} = -\frac{3}{7}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $c$, нужно из суммы $-\frac{3}{7}$ вычесть известное слагаемое $\frac{5}{14}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $14$.
$c = -\frac{3}{7} - \frac{5}{14}$
$c = -\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{5}{14}$
$c = -\frac{6}{14} - \frac{5}{14}$
$c = \frac{-6-5}{14} = -\frac{11}{14}$
Проверка:
Подставим найденное значение $c$ в исходное уравнение:
$-\frac{11}{14} + \frac{5}{14} = \frac{-11+5}{14} = -\frac{6}{14}$
Сократим дробь $-\frac{6}{14}$ на $2$: $-\frac{6 \div 2}{14 \div 2} = -\frac{3}{7}$.
$-\frac{3}{7} = -\frac{3}{7}$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $-\frac{11}{14}$.

е) Исходное уравнение: $c + 1,2 = -1\frac{2}{5}$.
Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей.
$-1\frac{2}{5} = -1\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -1\frac{4}{10} = -1,4$
Уравнение примет вид: $c + 1,2 = -1,4$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $c$, нужно из суммы $-1,4$ вычесть известное слагаемое $1,2$.
$c = -1,4 - 1,2$
$c = -2,6$
Проверка:
Подставим найденное значение $c$ в уравнение с десятичными дробями:
$-2,6 + 1,2 = -1,4$
$-1,4 = -1,4$
Так как $-1,4 = -1\frac{2}{5}$, равенство верное, и корень найден правильно.
Ответ: $-2,6$.

4.236. Запишите в виде суммы разность:

а) −35 − (−53); б) −35 − 53; в) 35 − (−53); г) −35 − (−53).

4.236

а) -35 – (-53) = -35 + 53

б) -35 – 53 = -35 + (-53)

в) 35 – (-53) = 35 + 53

г) -35 – (-53) = -35 + 53

а) Чтобы представить разность в виде суммы, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Правило можно записать в виде формулы: $a - b = a + (-b)$ и $a - (-b) = a + b$.
В данном выражении уменьшаемое равно $-35$, а вычитаемое равно $-53$. Число, противоположное вычитаемому ($-53$), это $53$.
Следовательно, разность можно переписать в виде суммы: $$-35 - (-53) = -35 + 53$$ Теперь выполним сложение чисел с разными знаками. Из модуля большего числа вычитаем модуль меньшего и ставим знак числа с большим модулем: $$-35 + 53 = 53 - 35 = 18$$ Ответ: $-35 + 53 = 18$.

б) В этом выражении уменьшаемое равно $-35$, а вычитаемое равно $53$. Число, противоположное вычитаемому ($53$), это $-53$.
Заменим вычитание сложением: $$-35 - 53 = -35 + (-53)$$ Теперь выполним сложение двух отрицательных чисел. Для этого сложим их модули и поставим перед результатом знак «минус»: $$-35 + (-53) = -(35 + 53) = -88$$ Ответ: $-35 + (-53) = -88$.

в) Здесь уменьшаемое равно $35$, а вычитаемое равно $-53$. Число, противоположное вычитаемому ($-53$), это $53$.
Представим разность в виде суммы: $$35 - (-53) = 35 + 53$$ Вычислим значение полученной суммы: $$35 + 53 = 88$$ Ответ: $35 + 53 = 88$.

г) Данное выражение полностью совпадает с выражением из пункта а). Уменьшаемое равно $-35$, вычитаемое равно $-53$. Противоположным для $-53$ является число $53$.
Запишем разность в виде суммы: $$-35 - (-53) = -35 + 53$$ Вычислим результат: $$-35 + 53 = 18$$ Ответ: $-35 + 53 = 18$.

4.237. Представьте в виде суммы разность:

а) n − 130; б) −24 − z; в) 15 − (−y); г) −m − (−9).

4.237

а) n – 130 = n + (-130)

б) -24 – z = -24 + (-z)

в) 15 – (-y) = 15 + y

г) –m – (-9) = -m + 9

Чтобы представить разность в виде суммы, используется правило: вычитание числа можно заменить прибавлением числа, ему противоположного. Общая формула: $a - b = a + (-b)$.

а) Чтобы представить разность $n - 130$ в виде суммы, нужно к уменьшаемому $n$ прибавить число, противоположное вычитаемому $130$. Противоположным числу $130$ является число $-130$.
Таким образом, получаем: $n - 130 = n + (-130)$.
Ответ: $n + (-130)$.

б) Чтобы представить разность $-24 - z$ в виде суммы, нужно к уменьшаемому $-24$ прибавить число, противоположное вычитаемому $z$. Противоположным числу $z$ является число $-z$.
Таким образом, получаем: $-24 - z = -24 + (-z)$.
Ответ: $-24 + (-z)$.

в) Чтобы представить разность $15 - (-y)$ в виде суммы, нужно к уменьшаемому $15$ прибавить число, противоположное вычитаемому $-y$. Противоположным числу $-y$ является число $-(-y)$, что равно $y$.
Таким образом, получаем: $15 - (-y) = 15 + y$.
Ответ: $15 + y$.

г) Чтобы представить разность $-m - (-9)$ в виде суммы, нужно к уменьшаемому $-m$ прибавить число, противоположное вычитаемому $-9$. Противоположным числу $-9$ является число $-(-9)$, что равно $9$.
Таким образом, получаем: $-m - (-9) = -m + 9$.
Ответ: $-m + 9$.

4.238. Назовите слагаемые в алгебраической сумме:

а) 7 − 6; б) −5 + z; в) −n − 43; г) 20 − с + х; д) −m + 7 − n; е) −с − z − у.

4.238

а) 7 – 6 = 7 + (-6)
слагаемые 7 и -6

б) -5 + z
слагаемые -5 и z

в) –n – 43 = -n + (-43)
слагаемые –n и -43

г) 20 – с + х = 20 + (-с) + х
слагаемые 20, -с и х

д) –m + 7 – n = -m + 7 + (-n)
слагаемые –m, 7 и -n

е) –с – z – y = -c + (-z) + (-y)
слагаемые –с, -z и -у

Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел и переменных. Чтобы найти слагаемые, нужно представить все операции вычитания как сложение с противоположным (отрицательным) числом.

а) В выражении $7 - 6$ операция вычитания. Представим его в виде суммы: $7 + (-6)$.

Ответ: слагаемые: $7$ и $-6$.

б) В выражении $-5 + z$ слагаемые уже явно разделены знаком сложения.

Ответ: слагаемые: $-5$ и $z$.

в) Выражение $-n - 43$ можно представить в виде суммы двух слагаемых: $-n + (-43)$.

Ответ: слагаемые: $-n$ и $-43$.

г) В выражении $20 - c + x$ есть и сложение, и вычитание. Представим его в виде суммы: $20 + (-c) + x$.

Ответ: слагаемые: $20$, $-c$ и $x$.

д) Выражение $-m + 7 - n$ представим в виде суммы слагаемых: $-m + 7 + (-n)$.

Ответ: слагаемые: $-m$, $7$ и $-n$.

е) Выражение $-c - z - y$ состоит из нескольких операций вычитания. Представим его в виде суммы: $-c + (-z) + (-y)$.

Ответ: слагаемые: $-c$, $-z$ и $-y$.