Страница 42, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Расход топлива у автобуса был 33 л на 100 км. После регулировки двигателя расход уменьшился на 10 %. Найдите расход топлива после регулировки.

Применяем математику

1.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% - 10\% = 90 \%$- стал расход топлива после регулировки;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{33}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{100}}}}· \stackrel{9}{\cancel{90}} = \frac{33}{10}· 9 =\frac{ 297}{10}= 29,7$(л) – стал расход топлива.

Ответ: 29,7 л

Первоначальный расход топлива составляет 33 литра на 100 км. После регулировки он уменьшился на 10%.

Чтобы найти новый расход, сначала нужно определить, на сколько литров он уменьшился. Для этого вычислим 10% от первоначального расхода (33 л).

10% от 33 л можно рассчитать, умножив 33 на долю, соответствующую 10%:
$10\% = \frac{10}{100} = 0.1$
Величина снижения расхода: $33 \text{ л} \times 0.1 = 3.3 \text{ л}$.

Теперь, зная, что расход уменьшился на 3,3 литра, мы можем найти новый расход, вычтя это значение из первоначального:
Новый расход = $33 \text{ л} - 3.3 \text{ л} = 29.7 \text{ л}$.

Таким образом, после регулировки двигателя расход топлива у автобуса стал 29,7 литра на 100 км.

Ответ: 29,7 л.

2. Банк начисляет вкладчику 6 % годовых ежегодно на всю сумму денег на вкладе. Вкладчик положил на счёт 30 000 р. и не снимал деньги со счёта в течение трёх лет и не брал процентные начисления. Сколько денег было на счёте вкладчика через год; через три года?

2.

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{300}{\cancel{30000}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{100}}}}· 6=\frac{ 300}{1}· 6=1800$(р.)-процентные начисления 
через 1 год;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 30 000+1 800=31 800$(р.)-было на счете через год;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \stackrel{318}{\cancel{31 800}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{100}}}}·6= \frac{318}{1}·6=1908$(р.)-процентное начисление
через 2 года;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 31800+1908=33708$(р.)-было на счете через
2 года;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{33708}{100}· 6=337,08 · 6= 2022,48$(р.)-процентное
начисление через 3 года;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 33708+2022,48=35730,48$ (р.)-было на счете через 3 года.

Ответ: 31800 р., 35730,48 р.

Для решения этой задачи используется расчет по формуле сложных процентов, так как банк ежегодно начисляет 6% на всю имеющуюся на счете сумму, включая проценты, начисленные за предыдущие периоды.

Сколько денег было на счете вкладчика через год?

Первоначальная сумма вклада составляет 30 000 рублей. Годовая процентная ставка — 6%. Чтобы найти сумму на счете через один год, нужно рассчитать 6% от начальной суммы и прибавить их к ней.

1. Рассчитаем сумму процентов за первый год:
$30\ 000 \cdot \frac{6}{100} = 30\ 000 \cdot 0,06 = 1800$ рублей.

2. Прибавим начисленные проценты к первоначальному вкладу, чтобы найти общую сумму на счете через год:
$30\ 000 + 1800 = 31\ 800$ рублей.

Ответ: через год на счете вкладчика было 31 800 рублей.

Сколько денег было на счете вкладчика через три года?

Для расчета итоговой суммы через три года применим общую формулу сложных процентов. Этот метод учитывает капитализацию процентов за весь срок вклада.

Формула сложных процентов:
$S = P \cdot (1 + r)^t$
где:
$S$ — итоговая сумма на счете;
$P$ — первоначальная сумма вклада (30 000 рублей);
$r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби ($6\% = 0,06$);
$t$ — срок вклада в годах (3 года).

Подставим наши значения в формулу:
$S = 30\ 000 \cdot (1 + 0,06)^3 = 30\ 000 \cdot (1,06)^3$

Теперь выполним вычисления:
$(1,06)^3 = 1,06 \cdot 1,06 \cdot 1,06 = 1,191016$
$S = 30\ 000 \cdot 1,191016 = 35\ 730,48$ рублей.

Ответ: через три года на счете вкладчика было 35 730,48 рублей.

3. В таблице представлены цены на одни и те же продукты в трёх магазинах.

В каком магазине стоимость покупки упаковки сыра, двух батонов и трёх пакетов молока будет наименьшей и чему она будет равна, если на покупки в магазине «По соседству» имеется скидка 5 % по дисконтной карте, а в магазине «По пути» проходит акция: при покупке двух пакетов молока третий бесплатно?

3.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }144 + 2 · 37 + 3 · 85 = 144 + 74 + 255 = 473$(р.) – стоимость покупки в магазине «по соседству»;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 100\% - 5\% = 95\%$– заплатили за покупку  в магазине «по соседству»;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{473}{100}·95 = 4,73 · 95 = 449,35$– заплатили за покупку в магазине «по соседству» со скидкой;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 150 + 2 · 35 + (3 – 1) · 94 = 150 + 70 + 188 = 408$(р) – стоимость покупки в магазине « по пути» с учетом акции;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 140 + 2 · 34 + 3 · 90 = 140 + 68 + 270 = 478$(р.) – стоимость покупки в магазине «рядом с домом»;

Ответ: в магазине «По пути» стоимость 408 рублей

Для того чтобы определить, в каком магазине стоимость покупки будет наименьшей, необходимо рассчитать общую стоимость заданного набора продуктов в каждом из трёх магазинов с учётом всех акций и скидок.

Набор продуктов: 1 упаковка сыра, 2 батона хлеба, 3 пакета молока.

«По соседству»

Рассчитаем стоимость покупки в этом магазине.
Стоимость сыра: $1 \times 144 = 144$ р.
Стоимость хлеба: $2 \times 37 = 74$ р.
Стоимость молока: $3 \times 85 = 255$ р.
Общая стоимость без скидки составляет: $144 + 74 + 255 = 473$ р.
В магазине действует скидка 5% по дисконтной карте. Итоговая стоимость составит $100\% - 5\% = 95\%$ от полной цены.
Стоимость с учётом скидки: $473 \times 0.95 = 449.35$ р.

«По пути»

Рассчитаем стоимость покупки с учётом акции «при покупке двух пакетов молока третий бесплатно». Это значит, что из трёх пакетов молока нужно будет оплатить только два.
Стоимость сыра: $1 \times 150 = 150$ р.
Стоимость хлеба: $2 \times 35 = 70$ р.
Стоимость молока (с учётом акции): $2 \times 94 = 188$ р.
Итоговая стоимость в этом магазине: $150 + 70 + 188 = 408$ р.

«Рядом с домом»

В этом магазине скидки и акции отсутствуют, поэтому просто суммируем стоимость всех продуктов.
Стоимость сыра: $1 \times 140 = 140$ р.
Стоимость хлеба: $2 \times 34 = 68$ р.
Стоимость молока: $3 \times 90 = 270$ р.
Итоговая стоимость: $140 + 68 + 270 = 478$ р.

Теперь сравним итоговые стоимости покупки во всех трёх магазинах:
«По соседству»: $449.35$ р.
«По пути»: $408$ р.
«Рядом с домом»: $478$ р.

Сравнивая полученные результаты ($449.35$ р., $408$ р. и $478$ р.), видим, что наименьшая стоимость покупки будет в магазине «По пути».

Ответ: наименьшая стоимость покупки будет в магазине «По пути» и составит 408 рублей.

4. Холодильник стоил 30 600 р. В мае цена холодильника была снижена на 20 %, а в декабре — ещё на 5 %. Какой стала стоимость холодильника в декабре?

4.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% - 20\% = 80\%$- столько стал стоить холодильник в мае;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{306}{\cancel{30 600}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{100}}}}· 80 = \frac{306}{1}· 80 = 24480$(р) – стал стоить холодильник в мае;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 100\% - 5\% = 95\%$- столько стал стоить холодильник в декабре;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{2448}{\cancel{24 480}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{100}}}}· 95 = \frac{2 448}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}· \stackrel{19}{\cancel{95}} =\frac{ {\displaystyle \stackrel{1 224}{\cancel{2 448}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}· 19 = \frac{1224}{1}· 19 = 23256$(р) – стал стоить холодильник в декабре.

Ответ: 23 256 рублей.

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать два снижения цены. Важно помнить, что второе снижение вычисляется от новой цены, полученной после первого снижения.

1. Найдем стоимость холодильника после снижения цены в мае на 20%.

Первоначальная цена холодильника — 30 600 рублей. Снижение цены на 20% означает, что новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Рассчитаем эту стоимость:

$30600 \cdot 0,8 = 24480$ рублей.

Таким образом, после первого снижения в мае цена холодильника стала 24 480 рублей.

2. Найдем итоговую стоимость холодильника после снижения цены в декабре еще на 5%.

Второе снижение рассчитывается от новой, майской цены (24 480 рублей). Итоговая цена составит $100\% - 5\% = 95\%$ от этой суммы. Рассчитаем конечную стоимость:

$24480 \cdot 0,95 = 23256$ рублей.

Ответ: 23256 рублей.

5. В начале года тариф на электроэнергию составлял 1,47 р. за 1 кВт·ч. В середине года он увеличился на 15 %, а в конце года ещё на 5 %. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 20 %; менее чем на 20 %; более чем на 20 % ?

5.

Тариф увеличился более, чем на 20% от первоначального, так как он увеличился сначала на 15%, а потом от нового тарифа еще на 5%.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{1,47}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{100}}}}·\stackrel{3}{\cancel{15}}= \frac{1,47}{20}· 3=\frac{ 4,41}{20}= 0,2205$(р.)-на столько
увеличился тариф;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1,47+0,2205=1,6905$(р.)-стоимость полсе увеличения тарифа
на 15%;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{1,6905}{100}· 5=0,016905 · 5=0,084525$(р.)-второе
повышение;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 1,6905+0,084525=1,775025$(р.)-тариф в конце года;

$\mathbf{5}\mathbf{)} \frac{1,47}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{100}}}}· \stackrel{1}{\cancel{20}} =\frac{ 1,47}{5}· 1 = 0,294$(р) – если бы тариф увеличился на 20%;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 0,2205+0,084525=0,305025$(р)- настолько увелислся тариф;

0,294 < 0,305025

Ответ:более чем на 20%.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо рассчитать итоговый тариф после двух последовательных повышений и определить общее процентное изменение по сравнению с первоначальной ценой.

Пусть $T_0$ — начальный тариф. По условию, $T_0 = 1,47$ рубля за 1 кВт·ч.

1. Первое повышение тарифа.

В середине года тариф увеличился на $15\%$. Увеличение на $15\%$ эквивалентно умножению первоначального значения на коэффициент $1 + \frac{15}{100} = 1,15$.

Новый тариф, $T_1$, после первого повышения составит:

$T_1 = T_0 \times 1,15 = 1,47 \times 1,15 = 1,6905$ руб.

2. Второе повышение тарифа.

В конце года тариф снова увеличился, на этот раз на $5\%$. Важно отметить, что это повышение применяется к уже увеличенному тарифу $T_1$. Увеличение на $5\%$ эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Итоговый тариф, $T_2$, в конце года составит:

$T_2 = T_1 \times 1,05 = 1,6905 \times 1,05 = 1,775025$ руб.

3. Расчет общего процентного увеличения.

Теперь определим, на сколько процентов итоговый тариф $T_2$ больше начального тарифа $T_0$. Для этого можно использовать формулу процентного изменения:

$\text{Процентное изменение} = \frac{T_2 - T_0}{T_0} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$\text{Процентное изменение} = \frac{1,775025 - 1,47}{1,47} \times 100\% = \frac{0,305025}{1,47} \times 100\% \approx 0,2075 \times 100\% = 20,75\%$

4. Вывод.

Общее увеличение тарифа за год составило $20,75\%$. Сравнивая полученный результат с $20\%$, получаем:

$20,75\% > 20\%$

Таким образом, тариф за год увеличился более чем на $20\%$.

Ответ: тариф увеличился более чем на 20 %.

6. В школу привезли мебель. Рост учеников 6 класса в сантиметрах записали так:

143 150 132 142 142 165 137 145 146 138 155 151 139 151 144 147 162 159 155 137 138 142 156 153 146 144 152 139 140 155 160 139 143 157 162 158

Составьте частотную таблицу роста учеников. Используя таблицу ниже, и составьте заказ мебели для класса.

6.

Заказ:

17 столов высотой 58 см, 16 столов высотой 64 см, 3 стола высотой 76 см

17 сидений высотой 34 см, 16 сидений высотой 38 см, 3 сидения высотой 46 см

Составьте частотную таблицу роста учеников.

Для решения задачи необходимо сгруппировать всех учеников по росту в соответствии с тремя интервалами, указанными в таблице для подбора мебели. Всего в списке 36 учеников. Примем стандартное правило для статистических интервалов: левая граница включается в интервал, а правая — нет. Например, ученик с ростом 145 см будет отнесен к группе $145–160$ см, а ученик с ростом 160 см — к группе $160–175$ см.

Выполним подсчет количества учеников для каждой группы:

• Интервал роста $130–145$ см (рост от 130 см, но меньше 145 см): 16 учеников.
• Интервал роста $145–160$ см (рост от 145 см, но меньше 160 см): 16 учеников.
• Интервал роста $160–175$ см (рост от 160 см до 175 см включительно): 4 ученика.

Проверка общего количества: $16 + 16 + 4 = 36$ учеников. Все данные учтены.

Ответ:

Итоговая частотная таблица роста учеников:

Используя таблицу ниже, и составьте заказ мебели для класса.

На основании полученной частотной таблицы и данных о соответствии роста учеников размерам мебели, формируем заказ. Каждому ученику требуется один комплект мебели, состоящий из стола и стула, который соответствует его ростовой группе.

Ответ:

Необходимо заказать следующее количество мебели:
- Для группы с ростом 130–145 см: 16 столов высотой 58 см и 16 стульев с высотой сиденья 34 см.
- Для группы с ростом 145–160 см: 16 столов высотой 64 см и 16 стульев с высотой сиденья 38 см.
- Для группы с ростом 160–175 см: 4 стола высотой 76 см и 4 стула с высотой сиденья 46 см.

7. 1) На круговой диаграмме (рис. 1.22) показано использование свободного времени за неделю шестиклассником Димой. Определите:

а) на что он тратит меньше всего времени;

б) сколько процентов свободного времени Дима тратит на компьютерные игры.

2) Нужно ли что-то изменить Диме в распределении свободного времени?

3) Составьте диаграмму использования своего свободного времени за неделю и проанализируйте её.

7.

1) а) меньше всего времени Дима тратит на помощь по дому

б) на компьютерные игры Дима тратит около 25% свободного времени

2) нужно уменьшить время просмотра телевизора и время на компьютерные игры, увеличив время на помощь по дому и прогулки

3) мое свободное время:

телевизор – 7 ч

компьютер – 7 ч

спорт – 6 ч

кружки – 3 ч

прогулки – 4 ч

помощь по дому – 8 ч

чтение – 7 ч

а) Чтобы определить, на что Дима тратит меньше всего времени, нужно найти самый маленький сектор на круговой диаграмме. Визуально сравнивая все сектора, мы видим, что самый узкий сектор соответствует голубому цвету. Согласно легенде, голубой цвет обозначает «Помощь по дому».
Ответ: Меньше всего времени Дима тратит на помощь по дому.

б) Чтобы определить, сколько процентов свободного времени Дима тратит на компьютерные игры, нужно оценить долю, которую занимает соответствующий сектор (светло-зеленый) от всей окружности. Этот сектор представляет собой прямой угол, что составляет четверть круга. Вся диаграмма — это $100\%$. Следовательно, доля времени на компьютерные игры равна:
$ \frac{1}{4} \times 100\% = 25\% $
Ответ: На компьютерные игры Дима тратит $25\%$ своего свободного времени.

2) Да, Диме стоит пересмотреть распределение своего свободного времени. Значительная часть его времени уходит на малоподвижные занятия перед экраном: телевизор (розовый сектор, самый большой) и компьютерные игры (светло-зеленый сектор, $25\%$). Вместе эти два занятия занимают более половины всего свободного времени. В то же время на полезные для здоровья и развития занятия, такие как спорт (темно-синий), прогулки (фиолетовый), чтение (темно-зеленый) и помощь по дому (голубой), отводится заметно меньше времени. Для гармоничного развития шестикласснику рекомендуется больше времени уделять физической активности, прогулкам на свежем воздухе и чтению, а также не забывать о помощи родителям. Можно было бы сократить время на телевизор и компьютерные игры, а высвободившиеся часы направить на спорт или прогулки.
Ответ: Да, Диме нужно изменить распределение своего свободного времени, сократив время на телевизор и компьютерные игры в пользу спорта, прогулок и помощи по дому.

3) Вот пример диаграммы использования свободного времени за неделю для условного ученика, стремящегося к сбалансированному развитию, и её анализ.
Диаграмма «Мое свободное время» (всего $100\%$):

• Выполнение домашних заданий и дополнительное обучение: $30\%$
• Спорт (секции, тренировки): $20\%$
• Прогулки и общение с друзьями: $15\%$
• Чтение художественной литературы: $10\%$
• Хобби (музыка, рисование): $10\%$
• Помощь по дому: $10\%$
• Компьютерные игры и социальные сети: $5\%$

Анализ диаграммы:
Это расписание является сбалансированным. Наибольшая часть времени ($30\%$) отводится на учебу, что важно для успеваемости в школе. Значительное внимание уделяется физическому здоровью и активности (спорт — $20\%$, прогулки — $15\%$). Также выделено время на творческое и интеллектуальное развитие (хобби и чтение — по $10\%$). Важной частью является участие в домашних делах ($10\%$), что воспитывает ответственность. Время на развлечения с гаджетами ограничено ($5\%$), что позволяет избежать зависимости и освобождает время для более полезных занятий. Такое распределение времени способствует всестороннему развитию личности, поддержанию здоровья и хороших отношений в семье.
Ответ: Представлена и проанализирована сбалансированная диаграмма использования свободного времени.

Вопросы:

Какой знак будет у суммы двух чисел с разными знаками, если:
а) больший модуль у отрицательного числа;
б) меньший модуль у отрицательного числа?

Расскажите алгоритм сложения двух чисел с разными знаками.

Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых; одного из слагаемых?

31. Сложение чисел с разными знаками

Вопросы к параграфу

• а) знак «-»
  б) знак «+»

• Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, надо:
  1) найти модули чисел и из большего модуля вычесть меньший модуль
  2) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем

• Сумма двух чисел может быть меньше каждого из слагаемых, если это числа отрицательные:
  -3 + (-7) = -10
  Сумма двух чисел может быть меньше одного из слагаемых, если это числа с разными знаками:
  -10 + 2 = -8

а) больший модуль у отрицательного числа;

Если из двух чисел с разными знаками больший модуль (абсолютную величину) имеет отрицательное число, то их сумма будет отрицательным числом. Знак суммы всегда совпадает со знаком слагаемого, у которого больший модуль.
Например, рассмотрим числа $-10$ и $4$.
Модуль числа $-10$ равен $|-10| = 10$.
Модуль числа $4$ равен $|4| = 4$.
Поскольку $10 > 4$, больший модуль у отрицательного числа. Значит, и сумма будет отрицательной: $ -10 + 4 = -6 $.
Ответ: знак будет «минус».

б) меньший модуль у отрицательного числа?

Если из двух чисел с разными знаками меньший модуль имеет отрицательное число (это означает, что у положительного числа модуль больше), то их сумма будет положительным числом. Знак суммы определяется знаком слагаемого с большим модулем.
Например, рассмотрим числа $10$ и $-4$.
Модуль числа $10$ равен $|10| = 10$.
Модуль числа $-4$ равен $|-4| = 4$.
Поскольку $10 > 4$, больший модуль у положительного числа. Значит, и сумма будет положительной: $ 10 + (-4) = 6 $.
Ответ: знак будет «плюс».

Расскажите алгоритм сложения двух чисел с разными знаками.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти модули (абсолютные величины) слагаемых.
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше.

Например, найдем сумму $12 + (-19)$.

1. $|12|=12$, $|-19|=19$.
2. $19 - 12 = 7$.
3. Так как больший модуль у числа $-19$ (знак «минус»), то результат будет отрицательным. $12 + (-19) = -7$.

Ответ: алгоритм описан выше.

Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых; одного из слагаемых?

Может ли сумма быть меньше каждого из слагаемых?
Да, сумма двух чисел может быть меньше каждого из слагаемых. Это происходит, когда оба слагаемых являются отрицательными числами. Например, $-5 + (-8) = -13$. Сумма $-13$ меньше каждого из слагаемых, так как $-13 < -5$ и $-13 < -8$.

Может ли сумма быть меньше одного из слагаемых?
Да, сумма может быть меньше одного из слагаемых. Это происходит, если хотя бы одно из слагаемых является отрицательным числом.

• Если оба слагаемых отрицательные (как в примере выше), то сумма меньше каждого из них, а значит, и одного из них.
• Если одно слагаемое положительное, а другое отрицательное, то сумма всегда будет меньше положительного слагаемого. Например, $15 + (-7) = 8$. Сумма $8$ меньше слагаемого $15$.

Ответ: да, сумма может быть меньше каждого из слагаемых (если оба они отрицательные); да, сумма может быть меньше одного из слагаемых (если хотя бы одно из них отрицательное).

4.195. Число 5 изменили на: а) –2; б) –20; в) 4; г) 10. На каком расстоянии и с какой стороны от нуля расположено получившееся число? Чему равна сумма каждого из этих чисел и числа 5?

4.195

а) получившееся число расположено справа от нуля на расстоянии 3 единиц
5 + (-2) = 5 – 2 = 3

б) получившееся число расположено слева от нуля на расстоянии 15 единиц
5 + (-20) = - ( 20 – 5) = -15

в) получившееся число расположено справа от нуля на расстоянии 9 единиц
5 + 4 = 9

г) получившееся число расположено справа от нуля на расстоянии 15 единиц
5 + 10 = 15

а) Если число 5 изменить на -2, это означает, что к 5 нужно прибавить -2.
Получившееся число: $5 + (-2) = 3$.
Число 3 является положительным, значит, оно расположено справа от нуля. Расстояние от нуля равно модулю этого числа: $|3| = 3$.
Сумма чисел -2 и 5 равна: $-2 + 5 = 3$.
Ответ: получившееся число 3 расположено на расстоянии 3 справа от нуля; сумма чисел -2 и 5 равна 3.

б) Если число 5 изменить на -20, это означает, что к 5 нужно прибавить -20.
Получившееся число: $5 + (-20) = -15$.
Число -15 является отрицательным, значит, оно расположено слева от нуля. Расстояние от нуля равно модулю этого числа: $|-15| = 15$.
Сумма чисел -20 и 5 равна: $-20 + 5 = -15$.
Ответ: получившееся число -15 расположено на расстоянии 15 слева от нуля; сумма чисел -20 и 5 равна -15.

в) Если число 5 изменить на 4, это означает, что к 5 нужно прибавить 4.
Получившееся число: $5 + 4 = 9$.
Число 9 является положительным, значит, оно расположено справа от нуля. Расстояние от нуля равно модулю этого числа: $|9| = 9$.
Сумма чисел 4 и 5 равна: $4 + 5 = 9$.
Ответ: получившееся число 9 расположено на расстоянии 9 справа от нуля; сумма чисел 4 и 5 равна 9.

г) Если число 5 изменить на 10, это означает, что к 5 нужно прибавить 10.
Получившееся число: $5 + 10 = 15$.
Число 15 является положительным, значит, оно расположено справа от нуля. Расстояние от нуля равно модулю этого числа: $|15| = 15$.
Сумма чисел 10 и 5 равна: $10 + 5 = 15$.
Ответ: получившееся число 15 расположено на расстоянии 15 справа от нуля; сумма чисел 10 и 5 равна 15.

4.196. На сколько градусов изменилась температура в течение суток, если ночью температура изменилась на –6 °C, а днём – на +10 °C?

4.196

–6⁰С + 10⁰С = 10⁰С – 6⁰С = 4⁰С

Для того чтобы найти общее изменение температуры за сутки, необходимо сложить все изменения, произошедшие за этот период. В данном случае, нужно сложить изменение температуры ночью и изменение температуры днём.

Изменение температуры ночью: $-6$ °C.

Изменение температуры днём: $+10$ °C.

Суммируем эти два значения, чтобы найти итоговое изменение за сутки:

$-6 + (+10) = -6 + 10 = 4$ °C

Таким образом, за сутки температура в целом повысилась на 4 градуса Цельсия.

Ответ: температура изменилась на $+4$ °C.

4.197. Воздушный змей поднялся на 27 м. Через некоторое время его высота изменилась на 3 м, а потом ещё на –20 м. Как изменилась высота змея и на какой высоте оказался змей?

4.197

27 + 3 + (–20) = 30 + (–20) = 30 – 20 = 10 (м)

Ответ: 10 м.

Задача состоит из двух частей. Решим их последовательно.

Как изменилась высота змея

Чтобы найти общее изменение высоты, нужно сложить все изменения, которые произошли с воздушным змеем после первоначального подъема. Сначала его высота изменилась на 3 м (увеличилась), а затем на -20 м (уменьшилась).
Сложим эти два значения, чтобы найти итоговое изменение:$3 + (-20) = 3 - 20 = -17$ м.
Знак "минус" показывает, что в результате этих двух действий высота змея уменьшилась.
Ответ: высота змея уменьшилась на 17 м (или изменилась на -17 м).

на какой высоте оказался змей

Чтобы определить конечную высоту, нужно к начальной высоте прибавить все последующие изменения.
Начальная высота змея составляла 27 м.
1. После первого изменения (подъема на 3 м) высота стала: $27 + 3 = 30$ м.
2. После второго изменения (снижения на 20 м) высота стала: $30 + (-20) = 30 - 20 = 10$ м.
Таким образом, конечная высота змея составляет 10 м.
Ответ: змей оказался на высоте 10 м.

4.198. Вертолёт поднялся на 120 м. На какой высоте будет вертолёт, если его высота изменилась на:

а) –40 м; б) 60 м; в) –60 м; г) 140 м; д) –15 м; е) 20 м?

4.198

а) 120 + (–40) = 120 – 40 = 80 (м)

б) 120 + 60 = 180 (м)

в) 120 + (–60) = 120 – 60 = 60 (м)

г) 120 + 140 = 260 (м)

д) 120 + (–15) = 120 – 15 = 105 (м)

е) 120 + 20 = 140 (м)

Изначально вертолёт находится на высоте 120 м. Чтобы найти новую высоту, нужно к начальной высоте прибавить её изменение. Положительное изменение означает, что вертолёт поднялся, а отрицательное — что он опустился.

а) Если высота изменилась на -40 м, значит, вертолёт опустился на 40 м. Новая высота будет равна:
$120 + (-40) = 120 - 40 = 80$ м.
Ответ: 80 м.

б) Если высота изменилась на 60 м, значит, вертолёт поднялся ещё на 60 м. Новая высота будет равна:
$120 + 60 = 180$ м.
Ответ: 180 м.

в) Если высота изменилась на -60 м, значит, вертолёт опустился на 60 м. Новая высота будет равна:
$120 + (-60) = 120 - 60 = 60$ м.
Ответ: 60 м.

г) Если высота изменилась на 140 м, значит, вертолёт поднялся ещё на 140 м. Новая высота будет равна:
$120 + 140 = 260$ м.
Ответ: 260 м.

д) Если высота изменилась на -15 м, значит, вертолёт опустился на 15 м. Новая высота будет равна:
$120 + (-15) = 120 - 15 = 105$ м.
Ответ: 105 м.

е) Если высота изменилась на 20 м, значит, вертолёт поднялся ещё на 20 м. Новая высота будет равна:
$120 + 20 = 140$ м.
Ответ: 140 м.

4.199. Утром на банковской карточке было 6050,6 р. За день эта сумма изменилась на n р. Сколько денег стало на карточке в конце дня, если n равно:

а) –400,8; б) –5090; в) 0?

4.199

а) n = -400,8
6050,6 + (-400,8) = 6050,8 – 400,8 = 5649,8 (р)

б) n = -5090
6050,6 + (-5090) = 6050,8 – 5090 = 960,6 (р)

в) n = 0
6050,6 + 0 = 6050,6 (р)

Чтобы найти, сколько денег стало на карточке в конце дня, необходимо к начальной сумме прибавить сумму изменения за день. Начальная сумма составляет $6050,6$ р. Итоговая сумма $S$ будет вычисляться по формуле: $S = 6050,6 + n$.

а) Если $n = -400,8$ р., то сумма на карточке в конце дня составит:
$S = 6050,6 + (-400,8) = 6050,6 - 400,8 = 5649,8$ р.
Ответ: $5649,8$ р.

б) Если $n = -5090$ р., то сумма на карточке в конце дня составит:
$S = 6050,6 + (-5090) = 6050,6 - 5090 = 960,6$ р.
Ответ: $960,6$ р.

в) Если $n = 0$ р., то сумма на карточке в конце дня не изменится:
$S = 6050,6 + 0 = 6050,6$ р.
Ответ: $6050,6$ р.