Страница 49, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.55. Определите, чётным или нечётным числом будет результат действия в каждом случае (а и с — натуральные числа).

2.55

1

Множитель a — чётный, множитель c — чётный.
Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — натуральное число. Пусть $a = 2k$ и $c = 2m$. Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k) \cdot (2m) = 4km = 2(2km)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km)$, он является чётным.
Ответ: чётное.

2

Множитель a — чётный, множитель c — нечётный.
Пусть чётное число $a = 2k$ (где $k$ — натуральное число), а нечётное число $c = 2m+1$ (где $m$ — целое неотрицательное число). Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k) \cdot (2m+1) = 4km + 2k = 2(2km+k)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km+k)$, он является чётным.
Ответ: чётное.

3

Множитель a — нечётный, множитель c — нечётный.
Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Пусть $a = 2k+1$ и $c = 2m+1$. Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k+1) \cdot (2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1$. Результат представлен в форме $2n+1$, где $n = 2km+k+m$ — целое неотрицательное число. Следовательно, произведение является нечётным.
Ответ: нечётное.

4

Множитель a — нечётный, множитель c — чётный.
Этот случай симметричен второму, так как умножение коммутативно ($a \cdot c = c \cdot a$). Пусть нечётное число $a = 2k+1$ (где $k$ — целое неотрицательное число), а чётное число $c = 2m$ (где $m$ — натуральное число). Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k+1) \cdot (2m) = 4km + 2m = 2(2km+m)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km+m)$, он является чётным.
Ответ: чётное.

2.56. Вычислите значение выражения:

а) (13,815 : 4,5 - 2,3) · 0,2;

б) (4,6 · 3,5 + 15,32) : 31,42 + (7,26 - 5,78) : 0,148.

2.56

$\mathit{а}\mathbf{)} (13,815 \stackrel{1}{:} 4,5 \stackrel{2}{–} 2,3) \stackrel{3}{· }0,2 = 0,154$

1.

2.

3.

$\mathit{б}\mathbf{)} (4,6 \stackrel{1}{·} 3,5 \stackrel{2}{+} 15,32)\stackrel{4}{ :} 31,42 \stackrel{6}{+} (7,26\stackrel{3}{ –} 5,78) \stackrel{5}{:} 0,148 = 11$

1.	2.	3.
4. 31,42 : 31,42 = 1	5. 1,48 : 0,148 = 1480 : 148 = 10	6. 1 + 10 = 11

а) $(13,815 : 4,5 - 2,3) \cdot 0,2$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а после — умножение.

1. Первое действие — деление в скобках:

$13,815 : 4,5$

Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 10. Получим:

$138,15 : 45 = 3,07$

2. Второе действие — вычитание в скобках:

$3,07 - 2,3 = 0,77$

3. Третье действие — умножение результата из скобок на 0,2:

$0,77 \cdot 0,2 = 0,154$

Ответ: 0,154

б) $(4,6 \cdot 3,5 + 15,32) : 31,42 + (7,26 - 5,78) : 0,148$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление слева направо, и в конце — сложение.

1. Выполним умножение в первой скобке:

$4,6 \cdot 3,5 = 16,1$

2. Выполним сложение в первой скобке:

$16,1 + 15,32 = 31,42$

3. Выполним вычитание во второй скобке:

$7,26 - 5,78 = 1,48$

4. Теперь выражение выглядит так:

$31,42 : 31,42 + 1,48 : 0,148$

5. Выполним первое деление:

$31,42 : 31,42 = 1$

6. Выполним второе деление:

$1,48 : 0,148$

Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 1000:

$1480 : 148 = 10$

7. Выполним сложение результатов:

$1 + 10 = 11$

Ответ: 11

1. Выберите верные утверждения:

а) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется простым;

б) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным;

в) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется простым;

г) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется составным;

д) 1 является простым числом;

е) 1 является составным числом.

Проверочная работа № 1

1.

Верные утверждения: б, в

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения простого и составного чисел, а также особое положение числа 1.

• Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.
• Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель — 1.

Проанализируем каждое утверждение:

а) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется простым;

Это утверждение неверно. Согласно определению, натуральное число, имеющее более двух делителей, является составным. Простое число имеет ровно два делителя. Например, число 4 имеет три делителя (1, 2, 4) и является составным.

Ответ: неверно.

б) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным;

Это утверждение верно. Оно в точности соответствует определению составного числа. Например, число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6 (четыре делителя), поэтому оно является составным.

Ответ: верно.

в) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется простым;

Это утверждение верно. Это классическое определение простого числа. Этими двумя делителями являются 1 и само число. Например, число 5 имеет только два делителя (1 и 5) и является простым.

Ответ: верно.

г) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется составным;

Это утверждение неверно. Оно прямо противоречит определениям. Число, имеющее ровно два делителя, является простым, а не составным.

Ответ: неверно.

д) 1 является простым числом;

Это утверждение неверно. У числа 1 только один натуральный делитель — само число 1. Простое число должно иметь ровно два различных делителя.

Ответ: неверно.

е) 1 является составным числом.

Это утверждение неверно. У числа 1 только один делитель. Составное число должно иметь более двух делителей. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются утверждения б) и в).

2. Выпишите из чисел 1, 7, 20, 23, 31, 33, 43, 49, 60 те, которые являются:

а) простыми; б) составными.

2.

а) простые числа: 7, 23, 31, 43

б) составные числа: 20, 33, 49, 60

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое число из данного набора и определить, является ли оно простым или составным.

Для начала вспомним определения:

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя.

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Теперь рассмотрим каждое число из набора: 1, 7, 20, 23, 31, 33, 43, 49, 60.

• 1: По определению, не является ни простым, ни составным числом.

• 7: Делится только на 1 и 7. Следовательно, это простое число.

• 20: Имеет делители, отличные от 1 и 20, например, 2, 4, 5, 10. Например, $20 = 4 \cdot 5$. Следовательно, это составное число.

• 23: Делится только на 1 и 23. Следовательно, это простое число.

• 31: Делится только на 1 и 31. Следовательно, это простое число.

• 33: Делится на 3 и 11, так как $33 = 3 \cdot 11$. Следовательно, это составное число.

• 43: Делится только на 1 и 43. Следовательно, это простое число.

• 49: Делится на 7, так как $49 = 7^2$. Следовательно, это составное число.

• 60: Имеет множество делителей, например, 6 и 10, так как $60 = 6 \cdot 10$. Следовательно, это составное число.

Теперь выпишем числа в соответствии с пунктами задания.

а) простыми
К простым числам из данного списка относятся те, которые делятся только на себя и на единицу.
Ответ: 7, 23, 31, 43.

б) составными
К составным числам из данного списка относятся те, которые имеют более двух делителей. Число 1 в эту категорию не входит.
Ответ: 20, 33, 49, 60.

3. Запишите все делители числа 24. Сколько среди них простых?

3.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Запишите все делители числа 24.

Делителем натурального числа называется натуральное число, на которое оно делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 24, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1. Если число является делителем, то и результат деления 24 на это число также будет делителем.

$24 \div 1 = 24$. Делители: 1 и 24.
$24 \div 2 = 12$. Делители: 2 и 12.
$24 \div 3 = 8$. Делители: 3 и 8.
$24 \div 4 = 6$. Делители: 4 и 6.
Число 5 не является делителем 24, так как при делении получается остаток. Следующий возможный делитель — 6, но он уже найден. Это означает, что мы перечислили все пары делителей.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Ответ: Делителями числа 24 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Сколько среди них простых?

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Проверим каждый из найденных делителей числа 24.

Список делителей: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
- 1 не является простым числом (у него только один делитель).
- 2 — простое число (делится только на 1 и 2).
- 3 — простое число (делится только на 1 и 3).
- 4 — составное число, так как делится на 2 ($4 = 2 \cdot 2$).
- 6 — составное число, так как делится на 2 и 3 ($6 = 2 \cdot 3$).
- 8 — составное число, так как делится на 2 и 4 ($8 = 2^3$).
- 12 — составное число, так как делится на 2, 3, 4, 6.
- 24 — составное число, так как у него много делителей.

Таким образом, среди делителей числа 24 есть только два простых числа: 2 и 3.

Ответ: Среди делителей числа 24 два простых числа.

4. Запишите все делители числа, представленного в виде произведения:

а) 2 · 3 · 11;

б) З² · 7.

4.

$\mathit{а}\mathbf{)} 2 · 3 · 11$

делители: 1, 2, 3, 11, 6, 22, 33, 66

$\mathit{б}\mathbf{)} 3^2 · 7 = 3 · 3 · 7$

делители: 1, 3, 7, 9, 21, 93

а) Чтобы найти все делители числа, представленного в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot 11$, необходимо найти все возможные комбинации его простых множителей. Любой делитель этого числа будет состоять из произведения этих простых множителей в степени 0 или 1.

Перечислим все возможные делители:
1. Делитель, не содержащий простых множителей (каждый множитель в степени 0): $2^0 \cdot 3^0 \cdot 11^0 = 1$.
2. Делители, состоящие из одного простого множителя: $2$, $3$, $11$.
3. Делители, являющиеся произведением двух простых множителей: $2 \cdot 3 = 6$; $2 \cdot 11 = 22$; $3 \cdot 11 = 33$.
4. Делитель, являющийся произведением трех простых множителей (само число): $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.

Таким образом, все делители числа $2 \cdot 3 \cdot 11$, записанные в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.

б) Число представлено в виде произведения $3^2 \cdot 7$. Это означает, что в его разложении на простые множители есть два множителя «3» и один множитель «7». Любой делитель этого числа будет иметь вид $3^k \cdot 7^m$, где показатель степени $k$ может принимать значения 0, 1 или 2, а показатель степени $m$ — 0 или 1.

Переберем все возможные комбинации степеней для нахождения делителей:
- Комбинации с $7^0$:
$3^0 \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 = 1$
$3^1 \cdot 7^0 = 3 \cdot 1 = 3$
$3^2 \cdot 7^0 = 9 \cdot 1 = 9$
- Комбинации с $7^1$:
$3^0 \cdot 7^1 = 1 \cdot 7 = 7$
$3^1 \cdot 7^1 = 3 \cdot 7 = 21$
$3^2 \cdot 7^1 = 9 \cdot 7 = 63$

Таким образом, все делители числа $3^2 \cdot 7$, записанные в порядке возрастания: 1, 3, 7, 9, 21, 63.

Ответ: 1, 3, 7, 9, 21, 63.

1. а) Сколько существует простых чисел, меньших 20?

б) Сколько существует составных чисел, меньших 20?

в) Существуют ли составные нечётные числа? Если да, приведите пример.

г) Существуют ли простые чётные числа? Если да, приведите пример.

Проверочная работа № 2

1.

а) простые числа, меньшие 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 – 8 чисел

б) составные числа, меньшие 20: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 – 10 чисел

в) составное нечетное число: 15, 27, 21

г) простое четное число: 2

а) Сколько существует простых чисел, меньших 20?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы найти количество простых чисел, меньших 20, нужно перечислить все такие числа в заданном диапазоне.

Выпишем простые числа, которые меньше 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Другие натуральные числа в этом диапазоне (кроме 1, которое не является ни простым, ни составным) являются составными, так как имеют более двух делителей (например, $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$).

Подсчитав количество чисел в списке, получаем 8.

Ответ: 8.

б) Сколько существует составных чисел, меньших 20?

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Иными словами, оно имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Мы ищем количество составных чисел, меньших 20.

Натуральные числа, меньшие 20, — это числа от 1 до 19. Из них нужно исключить простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) и число 1 (которое не является ни простым, ни составным). Оставшиеся числа будут составными.

Составные числа, меньшие 20: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Всего в этом списке 10 чисел. Также это можно вычислить так: всего 19 чисел от 1 до 19. Из них 8 простых и одно число 1. Количество составных чисел: $19 - 8 - 1 = 10$.

Ответ: 10.

в) Существуют ли составные нечётные числа? Если да, приведите пример.

Да, такие числа существуют. Составное число должно иметь более двух делителей, а нечётное число не должно делиться на 2. Чтобы число было нечётным, все его простые множители также должны быть нечётными.

Возьмём два наименьших нечётных простых числа, 3 и 3, и перемножим их: $3 \times 3 = 9$. Число 9 нечётное, и оно является составным, так как его делители — 1, 3, 9 (больше двух делителей).

Другой пример: $3 \times 5 = 15$. Число 15 нечётное и составное (делители: 1, 3, 5, 15).

Ответ: Да, существуют. Например, 9.

г) Существуют ли простые чётные числа? Если да, приведите пример.

Да, такое число существует, но оно только одно. Чётное число — это число, которое делится на 2. Простое число — это число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя.

Рассмотрим число 2. Оно чётное, так как делится на 2. Его делителями являются только 1 и 2. Следовательно, 2 — простое число.

Любое другое чётное число (4, 6, 8, ...) также делится на 2, а значит, у него уже есть как минимум три делителя: 1, 2 и само это число. Поэтому любое чётное число, большее двух, является составным.

Ответ: Да, существует. Это число 2.

2. Разложите на простые множители число:

а) 6; б) 9; в) 72; г) 124.

2.

$6 = 2 · 3$

$9 = 3 · 3$

$72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3$

$124 = 2 · 2 · 31$

а) 6;
Разложение числа на простые множители — это представление этого числа в виде произведения простых чисел. Начнем деление числа 6 на наименьшее простое число, это 2.
$6 \div 2 = 3$
Полученный результат, 3, также является простым числом, так как делится только на 1 и на само себя. Таким образом, разложение найдено.
$6 = 2 \cdot 3$
Ответ: $2 \cdot 3$

б) 9;
Чтобы разложить число 9 на простые множители, попробуем разделить его на наименьшее простое число 2. Число 9 не делится на 2 без остатка.
Следующее простое число — 3. Разделим 9 на 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 является простым. Следовательно, разложение числа 9 на простые множители имеет вид:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
Ответ: $3^2$

в) 72;
Разложим число 72 на простые множители, используя метод последовательного деления на простые числа.
Число 72 четное, значит, оно делится на 2.
$72 \div 2 = 36$
Результат 36 также делится на 2.
$36 \div 2 = 18$
И 18 делится на 2.
$18 \div 2 = 9$
Число 9 не делится на 2. Следующее простое число — 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 — простое. Мы собрали все простые множители (2, 2, 2, 3, 3). Запишем их произведение.
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
Ответ: $2^3 \cdot 3^2$

г) 124.
Разложим число 124 на простые множители.
Число 124 четное, делим его на 2.
$124 \div 2 = 62$
Результат 62 также четный.
$62 \div 2 = 31$
Теперь необходимо проверить, является ли число 31 простым. Оно не делится на 2 (нечетное), на 3 (сумма цифр $3+1=4$ не делится на 3), на 5 (не оканчивается на 0 или 5). Так как $\sqrt{31} \approx 5.5$, дальнейшие проверки не нужны. Число 31 — простое.
Таким образом, простые множители числа 124 это 2, 2 и 31.
$124 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$
Ответ: $2^2 \cdot 31$

3. Найдите частное удобным способом:

а) (3 · 4 · 2) : 3;

б) (5 · 2 · 7 · 3 · 2) : (5 · 2 · 2);

в) (7 · 2 · 5 · 2 · 11 · 7 · 13) : (7 · 2 · 11 · 13).

3.

$\mathit{а}\mathbf{)} (3 · 4 · 2) : 3=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}} · 4 · 2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}=\frac{{\displaystyle 1 · 4 · 2}}{{\displaystyle 1}}=8$

$\mathit{б}\mathbf{)} (5 · 2 · 7 · 3 · 2) : (5 · 2 · 2)=\frac{\cancel{5} · \cancel{2} · 7 · 3 ·\cancel{ 2}}{\cancel{5} ·\cancel{ 2} · \cancel{2}}=7 · 3=21$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} (7 · 2 · 5 · 2 · 11 · 7 · 13) : (7·2 · 11 · 13)= \\ =\frac{\cancel{7} · 2 · 5 · \cancel{2} · \cancel{11} · 7 · \cancel{13}}{\cancel{7}·\cancel{2} · \cancel{11} · \cancel{13}}= 5 · 2 · 7 = 70 \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число любой из множителей, а результат умножить на остальные множители. Это свойство деления произведения на число. В данном выражении удобно разделить множитель 3 на 3.

$(3 \cdot 4 \cdot 2) : 3 = (3:3) \cdot 4 \cdot 2 = 1 \cdot 4 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8.

б) Чтобы разделить одно произведение на другое, удобно представить деление в виде дроби и сократить одинаковые множители в делимом (числителе) и делителе (знаменателе).

$(5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2) : (5 \cdot 2 \cdot 2) = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 2 \cdot 2}$

Сокращаем общие множители 5, 2 и еще одну 2. В числителе остаются множители 7 и 3.

$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}} = 7 \cdot 3 = 21$

Ответ: 21.

в) Этот пример решается аналогично предыдущему. Представим деление в виде дроби и сократим общие множители в числителе и знаменателе.

$(7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13) : (7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13) = \frac{7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13}{7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13}$

Сокращаем общие множители 7, 2, 11 и 13. В числителе остаются множители 5, 2 и 7.

$\frac{\cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cancel{11} \cdot 7 \cdot \cancel{13}}{\cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{13}} = 5 \cdot 2 \cdot 7$

Вычисляем оставшееся произведение:

$5 \cdot 2 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$

Ответ: 70.

4.252. К школьному концерту было подготовлено 20 выступлений. Вокальных выступлений было подготовлено в 2 раза больше, чем танцевальных, а акробатических − на 4 меньше, чем танцевальных. Сколько выступлений каждого вида было подготовлено к концерту?

4.252

Пусть х – танцевальных выступлений, тогда 2х – вокальных и
(х – 4) – акробатических. Зная, что всего было подготовлено 20 выступлений, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 2х + х – 4 = 20; \\ 4х - 4 = 20; \\ 4х = 20 + 4; \\ 4х = 24; \\ х = 24 : 4; \end{gathered}$$

$х = 6$ – танцевальных выступлений;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2 · 6 = 12$– вокальных выступлений;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }6 – 4 = 2$– акробатических выступлений.

Ответ: 6 танцевальных, 12 вокальных и 2 акробатических выступления

Для решения этой задачи обозначим количество танцевальных выступлений через переменную, например, $x$.

Согласно условиям задачи, мы можем выразить количество выступлений каждого вида через $x$:

• Количество танцевальных выступлений: $x$
• Количество вокальных выступлений было в 2 раза больше, чем танцевальных, значит, их было: $2x$
• Количество акробатических выступлений было на 4 меньше, чем танцевальных, значит, их было: $x - 4$

Общее количество подготовленных выступлений — 20. Мы можем составить уравнение, сложив количество выступлений всех трех видов:

$$x + 2x + (x - 4) = 20$$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Объединим подобные члены в левой части уравнения:

$$4x - 4 = 20$$

2. Прибавим 4 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать член с $x$:

$$4x = 20 + 4$$

$$4x = 24$$

3. Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$$x = \frac{24}{4}$$

$$x = 6$$

Мы выяснили, что количество танцевальных выступлений равно 6.

Теперь, зная $x$, мы можем найти количество выступлений каждого вида:

Вокальные выступления:

Количество вокальных выступлений равно $2x$. Подставляем значение $x=6$:

$$2 \cdot 6 = 12$$

Танцевальные выступления:

Количество танцевальных выступлений равно $x$, то есть 6.

Акробатические выступления:

Количество акробатических выступлений равно $x-4$. Подставляем значение $x=6$:

$$6 - 4 = 2$$

Проверим, совпадает ли сумма найденных значений с общим количеством выступлений:

$$12 (вокальные) + 6 (танцевальные) + 2 (акробатические) = 20$$

Сумма верна.

Ответ: было подготовлено 12 вокальных, 6 танцевальных и 2 акробатических выступления.

4.253. 1) Масса трёх контейнеров для полярной экспедиции равна 3600 кг. Масса первого контейнера в 113 раза больше массы третьего, а масса второго составляет 23 массы третьего. Чему равна масса каждого контейнера?

2) На консервном заводе за смену изготавливали 4200 банок трёх видов пюре для малышей. Банки мясного пюре составляли 29 банок фруктового пюре. А банок овощного пюре было в 119 раза больше банок фруктового пюре. Сколько банок пюре каждого вида было изготовлено за смену?

4.253

Пусть х кг – масса третьего контейнера, тогда $1\frac{1}{3} х$ кг – масса первого контейнера, $\frac{2}{3} х$ кг – масса второго контейнера. Зная, что масса трех контейнеров 3600 кг, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1\frac{1}{3} х + \frac{2}{3} х =3600; \\ 2\frac{3}{3} х = 3600; \\ 3 х = 3600; \\ х = 3600 : 3; \end{gathered}$$

$х = 1200$ – масса третьего контейнера;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{1}{3} · 1200 = \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{400}{\cancel{1200} }=4 · 400 =1600$ (кг) – масса первого контейнера;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \stackrel{400}{\cancel{1200} }=2 · 400 =800$ (кг) – масса второго контейнера.

Ответ: 1600 кг, 800 кг и 1200 кг.

Пусть х банок – фруктового пюре, тогда $\frac{2}{9} х$ банок – мясного пюре,
$1\frac{1}{9} х$ банок – овощного пюре. Зная, что всего изготовили 4200 банок, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{2}{9} х + 1\frac{1}{9} х = 4200; \\ 2\frac{3}{9} х =4200; \\ 2\frac{1}{3} х = 4200; \\ х = 4200 : 2\frac{1}{3}; \\ х = 4200 : \frac{7}{3}; \\ х = \stackrel{600}{\cancel{4200} }· \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ х = 600 · 3; \end{gathered}$$

$х = 1800$ (б) – фруктового пюре;

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \stackrel{200}{\cancel{1800} }= 2 · 200 = 400$ (б) – мясного пюре;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1\frac{1}{9} · 1800 = \frac{10}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \stackrel{200}{\cancel{1800}} = 10 · 200 = 2000$ (б) – овощного пюре.

Ответ: 1800 банок фруктового, 400 банок мясного и 2000 банок овощного пюре.

1) Для решения задачи примем массу третьего контейнера за $x$ кг. Тогда, исходя из условий задачи:

• Масса третьего контейнера: $x$ кг.
• Масса первого контейнера в $1\frac{1}{3}$ раза больше массы третьего, то есть: $1\frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x$ кг.
• Масса второго контейнера составляет $\frac{2}{3}$ массы третьего, то есть: $\frac{2}{3}x$ кг.

Общая масса трёх контейнеров равна 3600 кг. Составим и решим уравнение:

$\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}x + x = 3600$

Сначала сложим коэффициенты при $x$:

$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{4+2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{6}{3} + \frac{3}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Теперь подставим полученный коэффициент обратно в уравнение:

$3x = 3600$

$x = 3600 \div 3$

$x = 1200$

Таким образом, масса третьего контейнера равна 1200 кг. Теперь найдем массу остальных контейнеров:

• Масса первого контейнера: $\frac{4}{3} \times 1200 = 4 \times 400 = 1600$ кг.
• Масса второго контейнера: $\frac{2}{3} \times 1200 = 2 \times 400 = 800$ кг.

Проверим: $1600 + 800 + 1200 = 3600$ кг. Решение верное.

Ответ: масса первого контейнера — 1600 кг, второго — 800 кг, третьего — 1200 кг.

2) Для решения этой задачи примем количество банок фруктового пюре за $y$. Тогда, исходя из условий:

• Количество банок фруктового пюре: $y$ банок.
• Количество банок мясного пюре составляет $\frac{2}{9}$ от количества банок фруктового пюре, то есть: $\frac{2}{9}y$ банок.
• Количество банок овощного пюре в $1\frac{1}{9}$ раза больше, чем банок фруктового пюре, то есть: $1\frac{1}{9}y = \frac{10}{9}y$ банок.

Всего за смену изготовили 4200 банок пюре. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{9}y + y + \frac{10}{9}y = 4200$

Сложим коэффициенты при $y$:

$\frac{2}{9} + 1 + \frac{10}{9} = \frac{2}{9} + \frac{9}{9} + \frac{10}{9} = \frac{2+9+10}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$

Подставим полученный коэффициент в уравнение:

$\frac{7}{3}y = 4200$

$y = 4200 \div \frac{7}{3}$

$y = 4200 \times \frac{3}{7}$

$y = (4200 \div 7) \times 3 = 600 \times 3 = 1800$

Следовательно, было изготовлено 1800 банок фруктового пюре. Теперь найдем количество банок пюре других видов:

• Количество банок мясного пюре: $\frac{2}{9} \times 1800 = 2 \times 200 = 400$ банок.
• Количество банок овощного пюре: $\frac{10}{9} \times 1800 = 10 \times 200 = 2000$ банок.

Проверим: $400 + 1800 + 2000 = 4200$ банок. Решение верное.

Ответ: за смену было изготовлено 400 банок мясного пюре, 1800 банок фруктового пюре и 2000 банок овощного пюре.

4.254. Найдите значение выражения:
1) 31,77 − 3,08 · (34,51 : 4,06) + 8,632 : 0,83;
2) 44,31 − 2,42 · (50,445 : 5,31) + 14,552 : 1,36.

4.254

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }31,77 \stackrel{4}{–} 3,08 \stackrel{2}{·} (34,51\stackrel{1}{ : }4,06) \stackrel{5}{+} 8,632\stackrel{3}{ : }0,83 = 15,99$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }44,31 \stackrel{4}{–} 2,42 \stackrel{2}{·} (50,445\stackrel{1}{ :} 5,31) \stackrel{5}{+} 14,552\stackrel{3}{ : }1,36 = 32,02$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $31,77 - 3,08 \cdot (34,51 : 4,06) + 8,632 : 0,83$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Выполним деление в скобках: $34,51 : 4,06$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 100: $3451 : 406$.

$3451 : 406 = 8,5$

2. Выполним умножение: $3,08 \cdot 8,5$.

$3,08 \cdot 8,5 = 26,18$

3. Выполним деление: $8,632 : 0,83$. Умножим делимое и делитель на 100: $863,2 : 83$.

$863,2 : 83 = 10,4$

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$31,77 - 26,18 + 10,4$

5. Выполним вычитание слева направо: $31,77 - 26,18 = 5,59$.

6. Выполним сложение: $5,59 + 10,4 = 15,99$.

Ответ: 15,99.

2) $44,31 - 2,42 \cdot (50,445 : 5,31) + 14,552 : 1,36$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Выполним деление в скобках: $50,445 : 5,31$. Умножим делимое и делитель на 100: $5044,5 : 531$.

$5044,5 : 531 = 9,5$

2. Выполним умножение: $2,42 \cdot 9,5$.

$2,42 \cdot 9,5 = 22,99$

3. Выполним деление: $14,552 : 1,36$. Умножим делимое и делитель на 100: $1455,2 : 136$.

$1455,2 : 136 = 10,7$

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$44,31 - 22,99 + 10,7$

5. Выполним вычитание слева направо: $44,31 - 22,99 = 21,32$.

6. Выполним сложение: $21,32 + 10,7 = 32,02$.

Ответ: 32,02.

4.255. Индийский математик Брахмагупта (VII в.) так излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух имуществ есть имущество», «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма имущества и долга равна их разности» и т. д. Сформулируйте эти древнеиндийские правила современным языком.

4.255

Сумма двух положительных чисел есть положительное число.

Сумма двух отрицательных чисел есть отрицательное число.

Сумма двух чисел с разными знаками равна разности модулей этих чисел, поставив перед результатом знак большего из модулей.

Древнеиндийский математик Брахмагупта ввёл понятия, которые мы сегодня называем положительными и отрицательными числами. Он использовал метафоры «имущество» для положительных чисел и «долг» для отрицательных чисел. Сформулируем его правила сложения и вычитания на современном математическом языке.

«Сумма двух имуществ есть имущество»

Это правило описывает сложение двух положительных чисел. Если «имущество» — это положительное число, то сложение двух «имуществ» эквивалентно сложению двух положительных чисел. Результат такой операции всегда будет положительным числом, то есть снова «имуществом».

На современном языке это правило звучит так: сумма двух положительных чисел является положительным числом.

Математически это можно записать следующим образом: если даны два числа $a$ и $b$, такие что $a > 0$ и $b > 0$, то их сумма также будет больше нуля: $a + b > 0$.

Ответ: Сумма двух положительных чисел есть число положительное.

«Сумма двух долгов есть долг»

Это правило описывает сложение двух отрицательных чисел. Если «долг» — это отрицательное число, то сложение двух «долгов» эквивалентно сложению двух отрицательных чисел. В результате такой операции получается отрицательное число («долг»), модуль которого равен сумме модулей исходных чисел.

На современном языке: сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом.

Математически: если даны два числа $a$ и $b$, такие что $a < 0$ и $b < 0$, то их сумма также будет меньше нуля: $a + b < 0$. Например, сложение «долга» в 5 единиц и «долга» в 3 единицы ($(-5) + (-3)$) даёт общий «долг» в 8 единиц ($-8$).

Ответ: Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное.

«Сумма имущества и долга равна их разности»

Это правило описывает сложение чисел с разными знаками: положительного («имущество») и отрицательного («долг»). Фраза «равна их разности» означает, что для нахождения результата нужно найти разность их абсолютных величин (модулей).

Пусть «имущество» — это положительное число $a$ ($a > 0$), а «долг» — это отрицательное число $-b$ (где $b > 0$ — величина долга). Их сумма равна $a + (-b)$. Правило Брахмагупты утверждает, что результат равен их «разности», то есть $a - b$. Знак результата будет зависеть от того, что больше — «имущество» или «долг».

• Если имущество больше долга ($a > b$), то результат $a - b$ будет положительным (останется «имущество»).
• Если долг больше имущества ($b > a$), то результат $a - b$ будет отрицательным (останется «долг»).

На современном языке это правило формулируется так: чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Ответ: Чтобы сложить положительное и отрицательное число, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.

4.256. Выполните действие:

а) 38 − (−7); б) −12 + (−23); в) 108 − (−121); г) 5,9 − 9,2; д) −4,2 + 8,9; е) 12 − (−3,8); ж) −14 − (−3,2); з) 0 − (−5,8).

4.256

а) 38 – (-7) = 38 + 7 = 45

б) -12 + (-23) = -(12 + 23) = -35

в) 108 – (-121) = 108 + 121 = 229

г) 5,9 – 9,2 = -(9,2 – 5,9) = -3,3

д) -4,2 + 8,9 = +(8,9 – 4,2) = 4,7

е) 12 – (-3,8) = 12 + 3,8 = 15,8

ж) -14 – (-3,2) = -14 + 3,2 = -(14 – 3,2) = -10,8

з) 0 – (-5,8) = 0 + 5,8 = 5,8

а) Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Вычитание отрицательного числа $-7$ равносильно прибавлению положительного числа $7$.
$38 - (-7) = 38 + 7 = 45$.
Ответ: 45.

б) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак минус.
$-12 + (-23) = -(12 + 23) = -35$.
Ответ: -35.

в) Вычитание отрицательного числа $-121$ заменяется прибавлением положительного числа $121$.
$108 - (-121) = 108 + 121 = 229$.
Ответ: 229.

г) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае $9,2 > 5,9$, поэтому результат будет отрицательным.
$5,9 - 9,2 = -(9,2 - 5,9) = -3,3$.
Ответ: -3,3.

д) Складываем числа с разными знаками. Модуль положительного числа $8,9$ больше модуля отрицательного числа $-4,2$, поэтому результат будет положительным. Вычитаем из большего модуля меньший.
$-4,2 + 8,9 = 8,9 - 4,2 = 4,7$.
Ответ: 4,7.

е) Вычитание отрицательного числа $-3,8$ заменяется прибавлением положительного числа $3,8$.
$12 - (-3,8) = 12 + 3,8 = 15,8$.
Ответ: 15,8.

ж) Вычитание отрицательного числа $-3,2$ заменяется прибавлением положительного числа $3,2$. Затем складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-14$ больше модуля числа $3,2$, поэтому результат будет отрицательным.
$-14 - (-3,2) = -14 + 3,2 = -(14 - 3,2) = -10,8$.
Ответ: -10,8.

з) Вычитание отрицательного числа $-5,8$ заменяется прибавлением положительного числа $5,8$.
$0 - (-5,8) = 0 + 5,8 = 5,8$.
Ответ: 5,8.

4.257. Вычислите:

а) – 413 – (– 279); б) 527 – 6514; в) –2316 + 58; г) 35 – 0,9; д) – 1730 – (–0,6); е) –5,1 – 317; ж) 12,5 – 734; з) – 317 – (–4,2).

4.257

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -4\frac{1}{3} - \left(-2\frac{7}{9}\right) = {-4\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}} + 2\frac{7}{9} = \\ = -4\frac{3}{9} + 2\frac{7}{9} = -\left(4\frac{3}{9} - 2\frac{7}{9}\right) = \\ = -\left(3\frac{12}{9} - 2\frac{7}{9}\right) = -1\frac{5}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{2}{7} - 6\frac{5}{14} = -\left(6\frac{5}{14} - 5\frac{2}{7}\right) = \\ -\left(6\frac{5}{14} - 5\frac{4}{14}\right) = -1\frac{1}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -2\frac{3}{16} + \frac{5}{8} = -\left(2\frac{3}{16} - {\frac{5}{8}}^{\overline{)·2}}\right) = \\ =-\left(2\frac{3}{16} - \frac{10}{16}\right) = - \left(1\frac{19}{16} - \frac{10}{16}\right) = -1\frac{9}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·2}} - 0,9 = \frac{6}{10} - 0,9 = 0,6-0,9 = \\ = -(0,9-0,6) = -0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{17}{30} - \left(-0,6\right) = -\frac{17}{30} + 0,6 = \\ = -\frac{17}{30} + {\frac{6}{10}}^{\overline{)·3}} = -\frac{17}{30} + \frac{18}{30} = \\ = \frac{18}{30} - \frac{17}{30} = \frac{1}{30} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-5,1 - 3\frac{1}{7} = -5\frac{1}{10} - 3\frac{1}{7} = \\ = -\left({5\frac{1}{10}}^{\overline{)·7}} + {3\frac{1}{7}}^{\overline{)·10}}\right) = -\left(5\frac{7}{70} + 3\frac{10}{70}\right) = \\ = - 8\frac{17}{70} \end{gathered}$$

$\mathit{ж}\mathbf{)} 12,5 – {7\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}} = 12,5 – 7,75 = 4,75$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-3\frac{1}{7} - \left(-4,2\right)= -3\frac{1}{7} + 4,2 = 4,2 - 3\frac{1}{7}= \\ = 4\frac{2}{10} -3\frac{1}{7} = {4\frac{1}{5}}^{\overline{)·7}} -{3\frac{1}{7}}^{\overline{)·5}} = 4\frac{7}{35} - 3\frac{5}{35} = \\ = 1\frac{2}{35} \end{gathered}$$

а) $-4\frac{1}{3} - (-2\frac{7}{9})$

Раскроем скобки. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного:

$-4\frac{1}{3} - (-2\frac{7}{9}) = -4\frac{1}{3} + 2\frac{7}{9}$

Чтобы выполнить сложение, представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$-4\frac{1}{3} = -\frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{13}{3}$

$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

Теперь выражение выглядит так: $-\frac{13}{3} + \frac{25}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$-\frac{13 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{25}{9} = -\frac{39}{9} + \frac{25}{9}$

Сложим числители:

$\frac{-39 + 25}{9} = -\frac{14}{9}$

Выделим целую часть:

$-\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$

Ответ: $-1\frac{5}{9}$

б) $5\frac{2}{7} - 6\frac{5}{14}$

Представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$5\frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{37}{7}$

$6\frac{5}{14} = \frac{6 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{84+5}{14} = \frac{89}{14}$

Выполним вычитание: $\frac{37}{7} - \frac{89}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$\frac{37 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{89}{14} = \frac{74}{14} - \frac{89}{14}$

Вычтем числители:

$\frac{74 - 89}{14} = -\frac{15}{14}$

Выделим целую часть:

$-\frac{15}{14} = -1\frac{1}{14}$

Ответ: $-1\frac{1}{14}$

в) $-2\frac{3}{16} + \frac{5}{8}$

Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$-2\frac{3}{16} = -\frac{2 \cdot 16 + 3}{16} = -\frac{35}{16}$

Выполним сложение: $-\frac{35}{16} + \frac{5}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$-\frac{35}{16} + \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = -\frac{35}{16} + \frac{10}{16}$

Сложим числители:

$\frac{-35 + 10}{16} = -\frac{25}{16}$

Выделим целую часть:

$-\frac{25}{16} = -1\frac{9}{16}$

Ответ: $-1\frac{9}{16}$

г) $\frac{3}{5} - 0,9$

Представим десятичную дробь 0,9 в виде обыкновенной дроби:

$0,9 = \frac{9}{10}$

Выполним вычитание: $\frac{3}{5} - \frac{9}{10}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9}{10} = \frac{6}{10} - \frac{9}{10}$

Вычтем числители:

$\frac{6 - 9}{10} = -\frac{3}{10}$

Результат можно записать как десятичную дробь -0,3 или оставить в виде обыкновенной.

Ответ: $-\frac{3}{10}$

д) $-\frac{17}{30} - (-0,6)$

Раскроем скобки: $-\frac{17}{30} + 0,6$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и сократим ее:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Выполним сложение: $-\frac{17}{30} + \frac{3}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$-\frac{17}{30} + \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = -\frac{17}{30} + \frac{18}{30}$

Сложим числители:

$\frac{-17 + 18}{30} = \frac{1}{30}$

Ответ: $\frac{1}{30}$

е) $-5,1 - 3\frac{1}{7}$

Складываем два отрицательных числа. Представим оба числа в виде неправильных дробей:

$-5,1 = -5\frac{1}{10} = -\frac{5 \cdot 10 + 1}{10} = -\frac{51}{10}$

$-3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7}$

Выполним сложение: $-\frac{51}{10} - \frac{22}{7}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 70:

$-\frac{51 \cdot 7}{10 \cdot 7} - \frac{22 \cdot 10}{7 \cdot 10} = -\frac{357}{70} - \frac{220}{70}$

Сложим числители:

$\frac{-357 - 220}{70} = -\frac{577}{70}$

Выделим целую часть:

$-\frac{577}{70} = -8\frac{17}{70}$

Ответ: $-8\frac{17}{70}$

ж) $12,5 - 7\frac{3}{4}$

Для удобства вычислений представим оба числа в виде обыкновенных дробей. Также можно перевести $7\frac{3}{4}$ в десятичную дробь $7,75$.

$12,5 - 7,75 = 4,75$

Переведем десятичную дробь в смешанное число:

$4,75 = 4\frac{75}{100} = 4\frac{3}{4}$

Альтернативное решение с обыкновенными дробями:

$12,5 = 12\frac{1}{2}$

$12\frac{1}{2} - 7\frac{3}{4} = \frac{25}{2} - \frac{31}{4} = \frac{50}{4} - \frac{31}{4} = \frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}$

Ответ: $4\frac{3}{4}$

з) $-3\frac{1}{7} - (-4,2)$

Раскроем скобки: $-3\frac{1}{7} + 4,2$.

Представим оба числа в виде неправильных дробей:

$-3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7}$

$4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

Выполним сложение: $-\frac{22}{7} + \frac{21}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 35:

$-\frac{22 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{21 \cdot 7}{5 \cdot 7} = -\frac{110}{35} + \frac{147}{35}$

Сложим числители:

$\frac{-110 + 147}{35} = \frac{37}{35}$

Выделим целую часть:

$\frac{37}{35} = 1\frac{2}{35}$

Ответ: $1\frac{2}{35}$

4.258. Найдите значение выражения (n + m) − r, если:
а) n = 4,8, m = −1,4, r = 3,1;
б) n = m = −2,4, r = −7,1.

4.258

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{n} = 4,8; \mathrm{m} = -1,4; \mathrm{r} = 3,1 \\ (\mathrm{n} + \mathrm{m}) – \mathrm{r} = (4,8 + (-1,4)) – 3,1 = \\ = +(4,8 – 1,4) – 3,1 = 3,4 – 3,1 = 0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{n} = \mathrm{m} = -2,4; \mathrm{r} = -7,1 \\ (\mathrm{n} + \mathrm{m}) – \mathrm{r} =(-2,4 + (-2,4)) – (-7,1) = \\ = -(2,4 + 2,4) + 7,1 = -4,8 + 7,1 = \\ = +(7,1 – 4,8) = 2,3 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $(n+m)-r$, подставим в него заданные значения $n = 4,8$, $m = -1,4$ и $r = 3,1$.
Вычисление будет выглядеть следующим образом:
$(n+m)-r = (4,8 + (-1,4)) - 3,1$
Сначала выполним действие в скобках:
$4,8 + (-1,4) = 4,8 - 1,4 = 3,4$
Теперь вычтем значение $r$ из полученного результата:
$3,4 - 3,1 = 0,3$
Ответ: 0,3

б) Подставим в выражение $(n+m)-r$ значения $n = m = -2,4$ и $r = -7,1$.
Вычисление будет выглядеть следующим образом:
$(n+m)-r = (-2,4 + (-2,4)) - (-7,1)$
Выполним сложение в скобках:
$-2,4 + (-2,4) = -2,4 - 2,4 = -4,8$
Теперь выполним вычитание. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного:
$-4,8 - (-7,1) = -4,8 + 7,1 = 7,1 - 4,8 = 2,3$
Ответ: 2,3

4.259. Найдите длину отрезка MN в единичных отрезках, если М(−6) и N(12).

4.259

M(-6), N(12)

MN =|-6 –12 |= |-(6+12)| = |-18| = 18

Ответ: 18 ед. отр.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно из координаты правого конца вычесть координату левого конца. Если координаты концов отрезка $MN$ равны $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то его длина вычисляется по формуле $MN = |x_2 - x_1|$.

В данном случае нам даны координаты точек $M(-6)$ и $N(12)$.

Подставим эти значения в формулу:

$MN = |12 - (-6)|$

Раскроем скобки. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа:

$MN = |12 + 6|$

Сложим числа в модуле:

$MN = |18|$

Модуль положительного числа равен самому числу:

$MN = 18$

Таким образом, длина отрезка $MN$ составляет 18 единичных отрезков.

Ответ: 18

4.260. Найдите расстояние между точками:

а) М(–9) и N(–2); б) С(2,6) и D(–4,3); в) Р(– 57) и K(37); г) L(–356) и Q(116).

4.260

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{M}(-9), \mathrm{N}(-2) \\ \mathrm{MN} =|-9 –(-2) |= |- 9+2|= \\ = |-(9-2)| = |-7| = 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{C}(2,6), \mathrm{D}(-4,3) \\ \mathrm{CD} = |2,6 –(-4,3) |= |2,6+4,3| =|6,9| = 6,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{P}\left(-\frac{5}{7}\right), \mathrm{К}\left(\frac{3}{7}\right) \\ \mathrm{РК} =\left| \frac{3}{7}-\left(-\frac{5}{7}\right)\right|= \left|\frac{3}{7}+\frac{5}{7}\right| =\left|\frac{8}{7}\right| = 1\frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} \mathrm{L}\left(-3\frac{5}{6}\right), \mathrm{Q}\left(1\frac{1}{6}\right) \\ \mathrm{LQ} = \left|1\frac{1}{6} – \left(-3\frac{5}{6}\right)\right|= \left|1\frac{1}{6} + 3\frac{5}{6}\right|=\left|4\frac{6}{6}\right| = 5 \end{gathered}$$

а) Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной прямой, необходимо найти модуль разности их координат. Координаты точек $M$ и $N$ равны -9 и -2 соответственно.
Расстояние $MN$ вычисляется по формуле: $MN = |x_N - x_M|$.
Подставим значения координат: $MN = |-2 - (-9)| = |-2 + 9| = |7| = 7$.
Ответ: 7

б) Расстояние между двумя точками $C(x_1, y_1)$ и $D(x_2, y_2)$ на плоскости находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Координаты точек: $C(2, 6)$ и $D(-4, 3)$.
Подставим координаты в формулу: $CD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (3 - 6)^2}$.
Выполним вычисления: $CD = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Ответ: $3\sqrt{5}$

в) Расстояние между точками $P$ и $K$ на координатной прямой равно модулю разности их координат. Координаты точек: $P(-\frac{5}{7})$ и $K(\frac{3}{7})$.
Расстояние $PK$ вычисляется по формуле: $PK = |x_K - x_P|$.
Подставим значения координат: $PK = |\frac{3}{7} - (-\frac{5}{7})| = |\frac{3}{7} + \frac{5}{7}| = |\frac{3+5}{7}| = |\frac{8}{7}| = \frac{8}{7}$.
Дробь $\frac{8}{7}$ можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{8}{7}$

г) Расстояние между точками $L$ и $Q$ на координатной прямой равно модулю разности их координат. Координаты точек: $L(-3\frac{5}{6})$ и $Q(1\frac{1}{6})$.
Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$x_L = -3\frac{5}{6} = -\frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{23}{6}$.
$x_Q = 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.
Найдем расстояние $LQ$: $LQ = |x_Q - x_L| = |\frac{7}{6} - (-\frac{23}{6})| = |\frac{7}{6} + \frac{23}{6}| = |\frac{7+23}{6}| = |\frac{30}{6}| = |5| = 5$.
Ответ: 5

4.261. Вычислите значение выражения:

а) 34 – (–17) – (–22); б) – 46 – 21 – (–23); в) – 5,7 – 6,8 – 1,5; г) 213 – 116 + 2712; д) – 8120 + 4415 – 4,2; е) – 425 + 312 – 6815; ж) 12,4 – 235 – 10225 + 0,6.

4.261

$\mathit{а}\mathbf{)} 34 – (-17) – (-22) = 34 + 17 + 22 = 73$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -46 – 21 – (-23) = -46 + (-21) + 23 = \\ = -(46 + 21) + 23 = -67 + 23 = \\ = -(67 – 23) = -44 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -5,7 – 6,8 – 1,5 = -5,7 + (-6,8) + \\ + (-1,5) = -(5,7 + 6,8 + 1,5) = -14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {2\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} - {1\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + 2\frac{7}{12} = 2\frac{4}{12} - 1\frac{2}{12} + \\ + 2\frac{7}{12}=3\frac{9}{12} = 3\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-8\frac{1}{20} + 4 \frac{4}{15} - 4,2 = -8\frac{1}{20} + 4\frac{4}{15}- \\ - 4\frac{2}{10} = -8\frac{1}{20} + 4\frac{4}{15} - {4\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}} = -8\frac{1}{20} + \\ + \left(4\frac{4}{15} - 4\frac{3}{15}\right) = {-8\frac{1}{20}}^{\overline{)·3}} + {\frac{1}{15}}^{\overline{)·4}} = \\ =-8\frac{3}{60} + \frac{4}{60} = -\left(8\frac{3}{60} - \frac{4}{60}\right) = \\ =- \left(7\frac{63}{60} - \frac{4}{60}\right) = -7\frac{59}{60} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} {-4\frac{2}{5}}^{\overline{)·6}} + {3\frac{1}{2}}^{\overline{)·15}} - {6\frac{8}{15}}^{\overline{)·2}} = -4\frac{12}{30} + \\ + 3\frac{15}{30} - 6\frac{16}{30} = -\left(4\frac{12}{30} +6\frac{16}{30} \right) + 3\frac{15}{30} = \\ = -10\frac{28}{30} + 3\frac{15}{30} = - \left(10\frac{28}{30} - 3\frac{15}{30}\right) = -7\frac{13}{30} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }12,4 – 2\frac{3}{5} – 10\frac{2}{25} + 0,6 = 12,4 – 2,6 – \\ - 10,08 + 0,6 = (12,4 + 0,6) + (-2,6 – 10,08) = \\ = 13 + (-(2,6 + 10,08)) = 13 + (-12,68) = \\ = +(13 – 12,68) = 0,32 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить значение выражения $34 - (-17) - (-22)$, раскроем скобки. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением соответствующего положительного числа.
$34 - (-17) - (-22) = 34 + 17 + 22$
Теперь последовательно сложим числа:
$34 + 17 = 51$
$51 + 22 = 73$
Ответ: 73

б) Чтобы вычислить значение выражения $-46 - 21 - (-23)$, раскроем скобки.
$-46 - 21 - (-23) = -46 - 21 + 23$
Удобнее сначала сложить $-21$ и $23$:
$-21 + 23 = 2$
Теперь вычислим оставшуюся часть:
$-46 + 2 = -44$
Ответ: -44

в) В выражении $-5,7 - 6,8 - 1,5$ все действия — вычитание, что можно представить как сложение отрицательных чисел.
$-5,7 - 6,8 - 1,5 = -(5,7 + 6,8 + 1,5)$
Сложим числа в скобках:
$5,7 + 6,8 = 12,5$
$12,5 + 1,5 = 14,0$
Таким образом, результат равен $-14$.
Ответ: -14

г) Для вычисления $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{6} + 2\frac{7}{12}$ будем работать отдельно с целыми и дробными частями.
Сначала выполним действия с целыми частями: $2 - 1 + 2 = 3$.
Затем с дробными: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{7}{12}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$.
Вычислим сумму дробей: $\frac{4}{12} - \frac{2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{4 - 2 + 7}{12} = \frac{9}{12}$.
Сократим полученную дробь: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
Сложим результат для целой и дробной частей: $3 + \frac{3}{4} = 3\frac{3}{4}$.
Ответ: $3\frac{3}{4}$

д) В выражении $-8\frac{1}{20} + 4\frac{4}{15} - 4,2$ смешаны дроби и десятичные числа. Преобразуем десятичную дробь в смешанную.
$4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5}$
Получаем: $-8\frac{1}{20} + 4\frac{4}{15} - 4\frac{1}{5}$.
Переведем все смешанные числа в неправильные дроби. Общий знаменатель для 20, 15 и 5 равен 60.
$-8\frac{1}{20} = -\frac{8 \cdot 20 + 1}{20} = -\frac{161}{20} = -\frac{161 \cdot 3}{60} = -\frac{483}{60}$
$4\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{64}{15} = \frac{64 \cdot 4}{60} = \frac{256}{60}$
$-4\frac{1}{5} = -\frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{21}{5} = -\frac{21 \cdot 12}{60} = -\frac{252}{60}$
Теперь сложим дроби:
$-\frac{483}{60} + \frac{256}{60} - \frac{252}{60} = \frac{-483 + 256 - 252}{60} = \frac{-227 - 252}{60} = \frac{-479}{60}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{479}{60} = -7\frac{59}{60}$ (так как $479 = 7 \cdot 60 + 59$).
Ответ: $-7\frac{59}{60}$

е) Для вычисления $-4\frac{2}{5} + 3\frac{1}{2} - 6\frac{8}{15}$ будем работать отдельно с целыми и дробными частями.
Целые части: $-4 + 3 - 6 = -1 - 6 = -7$.
Дробные части: $-\frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{8}{15}$.
Общий знаменатель для 5, 2 и 15 равен 30.
$-\frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{8}{15} = -\frac{2 \cdot 6}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} - \frac{8 \cdot 2}{30} = \frac{-12 + 15 - 16}{30} = \frac{3 - 16}{30} = -\frac{13}{30}$.
Сложим результаты: $-7 + (-\frac{13}{30}) = -7\frac{13}{30}$.
Ответ: $-7\frac{13}{30}$

ж) В выражении $12,4 + 2\frac{3}{5} - 10\frac{2}{25} + 0,6$ удобно преобразовать все числа в десятичные дроби.
$2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = 2 + 0,6 = 2,6$
$10\frac{2}{25} = 10 + \frac{2}{25} = 10 + \frac{8}{100} = 10 + 0,08 = 10,08$
Выражение принимает вид: $12,4 + 2,6 - 10,08 + 0,6$.
Сгруппируем и сложим положительные числа:
$12,4 + 2,6 + 0,6 = 15,0 + 0,6 = 15,6$
Теперь выполним вычитание:
$15,6 - 10,08 = 15,60 - 10,08 = 5,52$
Ответ: 5,52

4.262. В школьном конкурсе чтецов для 5–7 классов участвовали 40 человек. Учащихся 5 классов было в 1,5 раза больше, чем учащихся 6 и 7 классов вместе. Семиклассники составляли 0,6 от числа шестиклассников. Сколько учащихся каждого класса приняли участие в конкурсе?

4.262

Пусть х – шестиклассники, тогда 0,6х – семиклассники,
1,5(х + 0,6х) – пятиклассники. Зная, что всего в конкурсе участвовали 40 человек, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 0,6х + 1,5(х + 0,6х) = 40; \\ х + 0,6х + 1,5х + 0,9х = 40; \\ 4х = 40; \\ х = 40 : 4; \end{gathered}$$

х = 10 – шестиклассники;

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,6 · 10 = 6$(ч) – семиклассники;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 40 – (10 + 6) = 24$(ч) – пятиклассники.

Ответ: 24 пятиклассника, 10 шестиклассников и 6 семиклассников.

Для решения задачи введем переменные, которые будут обозначать количество участников от каждой параллели:

• Пусть $x_5$ — количество учащихся 5 классов.
• Пусть $x_6$ — количество учащихся 6 классов.
• Пусть $x_7$ — количество учащихся 7 классов.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Общее количество участников: $x_5 + x_6 + x_7 = 40$
2. Число учащихся 5 классов в 1,5 раза больше, чем учащихся 6 и 7 классов вместе: $x_5 = 1,5 \cdot (x_6 + x_7)$
3. Число семиклассников составляет 0,6 от числа шестиклассников: $x_7 = 0,6 \cdot x_6$

Сначала найдем общее количество учащихся 6 и 7 классов. Для этого подставим выражение для $x_5$ из второго уравнения в первое:

$1,5 \cdot (x_6 + x_7) + (x_6 + x_7) = 40$

Упростим полученное уравнение:

$2,5 \cdot (x_6 + x_7) = 40$

Теперь найдем сумму $x_6 + x_7$:

$x_6 + x_7 = \frac{40}{2,5} = 16$

Таким образом, общее количество учащихся 6 и 7 классов, принявших участие в конкурсе, равно 16.

Теперь мы можем найти количество учащихся 5 класса, подставив найденное значение в первое уравнение:

$x_5 + 16 = 40$

$x_5 = 40 - 16 = 24$

Итак, в конкурсе участвовало 24 пятиклассника.

Далее, определим количество учащихся 6 и 7 классов по отдельности. У нас есть система из двух уравнений:

$x_6 + x_7 = 16$

$x_7 = 0,6 \cdot x_6$

Подставим второе уравнение в первое:

$x_6 + 0,6 \cdot x_6 = 16$

$1,6 \cdot x_6 = 16$

$x_6 = \frac{16}{1,6} = 10$

Следовательно, в конкурсе участвовало 10 шестиклассников.

Наконец, найдем количество семиклассников:

$x_7 = 0,6 \cdot x_6 = 0,6 \cdot 10 = 6$

Таким образом, в конкурсе участвовало 6 семиклассников.

Проведем проверку:

Общее число участников: $24 + 10 + 6 = 40$ человек. (Верно)

Число пятиклассников ($24$) в 1,5 раза больше суммы шестиклассников и семиклассников ($10+6=16$): $16 \cdot 1,5 = 24$. (Верно)

Число семиклассников ($6$) составляет 0,6 от числа шестиклассников ($10$): $10 \cdot 0,6 = 6$. (Верно)

Ответ: в конкурсе приняли участие 24 учащихся 5 класса, 10 учащихся 6 класса и 6 учащихся 7 класса.