Страница 50, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4. Делится ли произведение 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 нацело на:

а) 2 · 2 · 5;
б) 2 · 3 · 3 · 7;
в) 22 · 13;
г) 2² · 7 · 11²;
д) 4 · 15 · 143;
е) 60 · 11 · 143?

В случае положительного ответа найдите результат деления.

4.

$2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13$

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · \cancel{5} · 7 · 11 · 13}{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{5}}= 3 · 7 · 11 · 13$- делится

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\cancel{2 }· 2 · \cancel{3} · 5 · \cancel{7} · 11 · 13}{\cancel{2} · \cancel{3} · 3 · \cancel{7}}\mathbf{ }= \frac{2 · 5 · 11 · 13}{3}$– не делится

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13}{22 · 13}=\frac{\cancel{2} · 2 · 3 · 5 · 7 · \cancel{11} · \cancel{13}}{\cancel{22} · \cancel{13}}= \\ = 2 · 3 · 5 · 7 \end{gathered}$$- делится

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 }{2^2 · 7 · {11}^2}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · 5 · \cancel{7} · \cancel{11} · 13 }{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{7} · \cancel{11 }· 11}= \\ =\frac{3 · 5 · 13}{11} \end{gathered}$$- не делится

$\mathit{д}\mathbf{)} 4 · 15 · 143 = 2 · 2 · 3 · 5 · 11 · 13$

$\frac{\cancel{2} ·\cancel{ 2} · \cancel{3} · \cancel{5} · 7 · \cancel{11} · \cancel{13}}{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{3} · \cancel{5} · \cancel{11} · \cancel{13}} =7$- делится

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }60 · 11 · 143 = 2 · 2 · 3 · 5 · 11 · 11 · 13$

$\frac{\cancel{2} · \cancel{2} ·\cancel{ 3} ·\cancel{ 5} · 7 · \cancel{11} · \cancel{13}}{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{3} · \cancel{5} · 11 · \cancel{11} · \cancel{13}}= \frac{7}{11}$- не делится

Для решения задачи представим исходное произведение в виде разложения на простые множители: $P = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Число делится нацело на другое число, если все простые множители делителя содержатся в разложении делимого, причем в степени, не большей, чем в делимом.

а) $2 \cdot 2 \cdot 5$
Разложение делителя на простые множители: $2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Все множители ($2^2$ и $5$) содержатся в исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 2 \cdot 5} = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 21 \cdot 143 = 3003$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 3003.

б) $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$
Разложение делителя на простые множители: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ множитель 3 содержится в первой степени, а в делителе — во второй. Так как степень множителя 3 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.

в) $22 \cdot 13$
Разложение делителя на простые множители: $22 \cdot 13 = (2 \cdot 11) \cdot 13 = 2 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители ($2, 11, 13$) содержатся в исходном произведении $P = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 11 \cdot 13} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 210.

г) $2^2 \cdot 7 \cdot 11^2$
Разложение делителя на простые множители: $2^2 \cdot 7 \cdot 11^2$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11^1 \cdot 13$ множитель 11 содержится в первой степени, а в делителе — во второй. Так как степень множителя 11 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.

д) $4 \cdot 15 \cdot 143$
Разложение делителя на простые множители: $4 \cdot 15 \cdot 143 = (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители делителя содержатся в исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13} = 7$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 7.

е) $60 \cdot 11 \cdot 143$
Разложение делителя на простые множители: $60 \cdot 11 \cdot 143 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2 \cdot 13$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11^1 \cdot 13$ множитель 11 содержится в первой степени, а в делителе — во второй ($11^2$). Так как степень множителя 11 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.

1. Найдите все простые делители числа:

а) 45; б) 56; в) 154; г) 1395.

Проверочная работа № 3

1.

а) простые делители числа 45 - числа 3 и 5;

б) простые делители числа 56 - числа 2 и 7;

в) простые делители числа 154 - числа 2, 7, 11;

г) простые делители числа 1395 - числа 3, 5, 31;

Чтобы найти все простые делители числа, необходимо разложить это число на простые множители. Простой множитель (или простой делитель) — это простое число, на которое исходное число делится без остатка.

Разложим число 45 на простые множители. Начнем деление на наименьшие простые числа.

Число 45 не делится на 2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $4+5=9$, 9 делится на 3, значит и 45 делится на 3.

$45 \div 3 = 15$

Число 15 также делится на 3.

$15 \div 3 = 5$

Число 5 является простым. Таким образом, разложение числа 45 на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Простыми делителями числа 45 являются уникальные множители из этого разложения.

Ответ: 3, 5.

Разложим число 56 на простые множители. Число 56 является четным, поэтому оно делится на 2.

$56 \div 2 = 28$

Число 28 также четное, снова делим на 2.

$28 \div 2 = 14$

Число 14 тоже четное, делим его на 2.

$14 \div 2 = 7$

Число 7 является простым. Таким образом, разложение числа 56 на простые множители: $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

Простыми делителями числа 56 являются уникальные множители из разложения.

Ответ: 2, 7.

Разложим число 154 на простые множители. Число 154 является четным, поэтому оно делится на 2.

$154 \div 2 = 77$

Теперь нужно разложить число 77. Оно не делится на 2, 3 и 5. Проверим делимость на 7.

$77 \div 7 = 11$

Числа 7 и 11 являются простыми. Таким образом, разложение числа 154 на простые множители: $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$.

Простыми делителями числа 154 являются все множители из этого разложения.

Ответ: 2, 7, 11.

Разложим число 1395 на простые множители. Число нечетное, на 2 не делится. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа $1+3+9+5=18$. Так как 18 делится на 3, то и 1395 делится на 3.

$1395 \div 3 = 465$

Проверим делимость числа 465 на 3. Сумма цифр $4+6+5=15$. 15 делится на 3.

$465 \div 3 = 155$

Число 155 не делится на 3 (сумма цифр 11). Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.

$155 \div 5 = 31$

Число 31 является простым. Таким образом, разложение числа 1395 на простые множители: $1395 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 31 = 3^2 \cdot 5 \cdot 31$.

Простыми делителями числа 1395 являются уникальные множители из разложения.

Ответ: 3, 5, 31.

2. Для числа 512 запишите:
а) множество А — всех простых делителей;
б) множество В — всех составных делителей;
в) множество С — всех чётных делителей;
г) множество D — всех нечётных делителей;
д) множество Е — всех простых чётных делителей;
е) множество F — всех составных нечётных делителей.

2.

512 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }А=\left\{2\right\}$

$\mathit{б}\mathbf{)} В=\left\{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\right\}$

$\mathit{в}\mathbf{)} С=\left\{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\right\}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }D=\left\{\varnothing \right\}$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }E=\left\{2\right\}$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }F=\left\{\varnothing \right\}$

Для решения задачи сначала найдем все натуральные делители числа 512. Для этого разложим число 512 на простые множители.

$512 = 2 \cdot 256 = 2 \cdot 2 \cdot 128 = 2^3 \cdot 64 = 2^4 \cdot 32 = 2^5 \cdot 16 = 2^6 \cdot 8 = 2^7 \cdot 4 = 2^8 \cdot 2 = 2^9$.

Таким образом, число 512 является степенью числа 2. Все его делители также будут степенями числа 2, от $2^0$ до $2^9$.

Множество всех натуральных делителей числа 512: $\{2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 2^8, 2^9\} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$.

Теперь на основе этого множества найдем требуемые подмножества.

а) множество A — всех простых делителей;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Из множества всех делителей $\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$ нам нужно выбрать простые числа.

• 1 не является простым числом.
• 2 является простым числом.
• Все остальные делители (4, 8, 16, ..., 512) являются степенями двойки, большими первой степени. Они делятся на 2 и другие степени двойки, поэтому не являются простыми (они составные).

Следовательно, единственным простым делителем является число 2.

Ответ: $A = \{2\}$.

б) множество B — всех составных делителей;

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Из множества всех делителей $\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$ нужно выбрать составные.

• 1 не является ни простым, ни составным.
• 2 является простым числом.
• Все остальные делители, кроме 1 и 2, являются составными: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.

Ответ: $B = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$.

в) множество C — всех чётных делителей;

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Из множества всех делителей $\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$ нужно выбрать чётные. Все делители, кроме 1, являются степенями двойки с показателем больше или равным 1, а значит, они чётные.

Ответ: $C = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$.

г) множество D — всех нечётных делителей;

Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Из множества всех делителей $\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}$ нужно выбрать нечётные. Поскольку все делители, кроме одного, являются степенями двойки с положительным показателем, они чётные. Единственный нечётный делитель - это $2^0=1$.

Ответ: $D = \{1\}$.

д) множество E — всех простых чётных делителей;

Нам нужно найти числа, которые одновременно являются простыми и чётными. Единственное в математике простое чётное число — это 2. Проверим, является ли 2 делителем числа 512. Да, является. Следовательно, это множество состоит из одного элемента. Это можно также рассматривать как пересечение множества A (простых делителей) и множества C (чётных делителей).

$E = A \cap C = \{2\} \cap \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\} = \{2\}$.

Ответ: $E = \{2\}$.

е) множество F — всех составных нечётных делителей.

Нам нужно найти числа, которые одновременно являются составными и нечётными. Рассмотрим множество нечётных делителей, которое мы нашли в пункте г): $D = \{1\}$. Число 1 не является составным. Все остальные делители числа 512 являются чётными. Следовательно, у числа 512 нет составных нечётных делителей. Множество F является пустым. Это можно также рассматривать как пересечение множества B (составных делителей) и множества D (нечётных делителей).

$F = B \cap D = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\} \cap \{1\} = \emptyset$.

Ответ: $F = \emptyset$.

3. Представьте число 36 в виде произведения трёх множителей, отличных от единицы. Сколько существует таких разложений?

3.

36 = 2 • 2 • 9 = 4 • 3 • 3 = 2 • 3 • 6

всего 3 разложения

Чтобы представить число 36 в виде произведения трёх множителей, отличных от единицы, необходимо сначала разложить число 36 на его простые множители. Это основной шаг, который позволит нам найти все возможные комбинации.

Разложение числа 36 на простые множители выглядит следующим образом:

$36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$

Итак, мы имеем набор из четырех простых множителей: $\{2, 2, 3, 3\}$. Наша задача — сгруппировать эти четыре числа в три множителя так, чтобы каждый из них был больше 1. Поскольку порядок множителей в произведении не имеет значения, мы ищем уникальные наборы таких множителей.

Рассмотрим все возможные способы группировки:

1. Мы можем сгруппировать две тройки вместе, оставив две двойки как отдельные множители. Получим множители: $2$, $2$ и $(3 \times 3) = 9$. Все они больше 1. Произведение: $2 \times 2 \times 9 = 36$.
2. Мы можем сгруппировать одну двойку и одну тройку, оставив другую двойку и другую тройку как отдельные множители. Получим множители: $2$, $3$ и $(2 \times 3) = 6$. Все они больше 1. Произведение: $2 \times 3 \times 6 = 36$.
3. Мы можем сгруппировать две двойки вместе, оставив две тройки как отдельные множители. Получим множители: $3$, $3$ и $(2 \times 2) = 4$. Все они больше 1. Произведение: $3 \times 3 \times 4 = 36$.

Других способов скомбинировать четыре простых множителя в три группы (множителя), отличные от единицы, не существует.

Представьте число 36 в виде произведения трёх множителей, отличных от единицы.

Существует три таких представления:

• $36 = 2 \times 2 \times 9$
• $36 = 2 \times 3 \times 6$
• $36 = 3 \times 3 \times 4$

Ответ: $2 \times 2 \times 9$; $2 \times 3 \times 6$; $3 \times 3 \times 4$.

Сколько существует таких разложений?

Как было показано выше, существует ровно три уникальных набора множителей.

Ответ: 3.

4.263. В таблице представлены некоторые результаты матчей школьных команд по футболу. У какой команды лучшая разница голов (разность числа забитых голов и числа пропущенных голов). У каких команд она одинаковая?

4.263

25 – 13 = 12 голов – пропустила команда «Комета»

24 – 21 = 3 гола – разница забитых и пропущенных голов у команды «Молния»

24 + (-4) = +(24 – 4) = 20 голов – забила команда «Вымпел»

20 – 24 = 20 + (-24) = -(24 – 20) = -4 гола – разница забитых и пропущенных голов у команды «Дружба»

10 – (-12) = 10 + 12 = 22 гола – пропустила команда «Патриот»

Лучшая разница голов у команды «Комета».

Одинаковая разница голов у команд «Вымпел» и «Дружба».

Для того чтобы ответить на вопросы, необходимо сначала вычислить все недостающие данные в таблице. Разница голов определяется как разность между числом забитых и числом пропущенных голов. Используем формулу: Разница голов = Число забитых голов - Число пропущенных голов. На основе этой формулы можно найти и другие неизвестные значения.

1. Заполнение таблицы:

• Для команды «Комета» известно число забитых голов (25) и разница голов (13). Вычислим число пропущенных голов:
  $25 - \text{Число пропущенных голов} = 13$
  Число пропущенных голов = $25 - 13 = 12$.
• Для команды «Молния» известно число забитых (24) и пропущенных (21) голов. Вычислим разницу голов:
  Разница голов = $24 - 21 = 3$.
• Для команды «Вымпел» известно число пропущенных голов (24) и разница голов (-4). Вычислим число забитых голов:
  $\text{Число забитых голов} - 24 = -4$
  Число забитых голов = $24 + (-4) = 20$.
• Для команды «Дружба» известно число забитых (20) и пропущенных (24) голов. Вычислим разницу голов:
  Разница голов = $20 - 24 = -4$.
• Для команды «Патриот» известно число забитых голов (10) и разница голов (-12). Вычислим число пропущенных голов:
  $10 - \text{Число пропущенных голов} = -12$
  Число пропущенных голов = $10 - (-12) = 10 + 12 = 22$.

После всех вычислений ряд значений разницы голов для команд выглядит так: «Комета»: 13, «Молния»: 3, «Вымпел»: -4, «Дружба»: -4, «Патриот»: -12.

У какой команды лучшая разница голов

Лучшая разница голов — это самое большое (наиболее положительное) значение. Сравним полученные показатели всех команд: $13, 3, -4, -4, -12$. Наибольшее значение в этом списке — 13, оно принадлежит команде «Комета».

Ответ: лучшая разница голов у команды «Комета».

У каких команд она одинаковая

Чтобы найти команды с одинаковой разницей голов, необходимо найти повторяющиеся числа в ряду показателей: $13, 3, -4, -4, -12$. Значение $-4$ встречается дважды, что соответствует командам «Вымпел» и «Дружба».

Ответ: одинаковая разница голов у команд «Вымпел» и «Дружба».

4.264. На выставке детского творчества были представлены рисунки и поделки из природного материала – всего 1001 экспонат. При этом поделки составляли 30 % от числа рисунков. Сколько рисунков и сколько поделок было представлено на выставке?

4.264

Пусть х – рисунков, тогда 0,3х – поделок. Зная, что всего было 1001 экспонат, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 0,3х = 1001; \\ 1,3х = 1001; \\ х = 1001 : 1,3; \\ х = 10010 : 13 \end{gathered}$$

х = 770 – было рисунков;

1) 1001 – 770 = 231 – было поделок.

Ответ: 770 рисунков и 231 поделок.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество рисунков, представленных на выставке.

Согласно условию, количество поделок составляет 30% от числа рисунков. Чтобы найти 30% от числа, нужно умножить это число на десятичную дробь, соответствующую процентам: $30\% = 0,3$. Следовательно, количество поделок равно $0,3x$.

Всего на выставке был 1001 экспонат, что является суммой всех рисунков и поделок. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму рисунков и поделок к общему количеству экспонатов:
$x + 0,3x = 1001$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала сложим члены с $x$:
$1,3x = 1001$

Далее, найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1,3:
$x = \frac{1001}{1,3}$
Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:
$x = \frac{10010}{13}$
$x = 770$
Таким образом, на выставке было 770 рисунков.

Теперь, когда мы знаем количество рисунков, мы можем найти количество поделок. Для этого вычтем количество рисунков из общего числа экспонатов:
$1001 - 770 = 231$
Также можно было найти количество поделок, умножив число рисунков на 0,3: $770 \cdot 0,3 = 231$.
Итак, на выставке была 231 поделка.

Ответ: на выставке было представлено 770 рисунков и 231 поделка.

4.265. На клумбу высажено 500 тюльпанов. Тюльпаны красного цвета составляют 36 % всех цветов. Остальные тюльпаны белые и розовые. Белых тюльпанов в 1,5 раза больше, чем розовых. Сколько тюльпанов каждого цвета на клумбе?

4.265

$\mathbf{1}\mathbf{)} 500 · 0,36 = 5 · 36 = 180$(т) – красного цвета;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }500 – 180 = 320$(т) – белые и розовые тюльпаны.

Пусть х  – розовых тюльпанов, тогда 1,5х  – белых тюльпанов. Зная, что вместе их было 320 штук, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 1,5х = 320; \\ 2,5х = 320; \\ х = 320 : 2,5 = 3200 : 25; \end{gathered}$$

х = 128 (т) – розовые;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }320 – 128 = 192$(т) – белые

Ответ: 180 красных, 128 розовых и 192 белых тюльпана.

Задача решается в несколько шагов. Сначала найдем количество красных тюльпанов, а затем, используя оставшееся количество, определим число белых и розовых тюльпанов.

Красные тюльпаны

Согласно условию, тюльпаны красного цвета составляют 36% от всех 500 тюльпанов. Чтобы найти абсолютное количество, нужно общее число тюльпанов умножить на долю, выраженную в сотых:

$500 \cdot \frac{36}{100} = 500 \cdot 0.36 = 180$

Ответ: на клумбе 180 красных тюльпанов.

Белые и розовые тюльпаны

Сначала найдем, сколько всего белых и розовых тюльпанов. Для этого вычтем количество красных тюльпанов из общего числа:

$500 - 180 = 320$

Итак, на клумбе 320 белых и розовых тюльпанов.

По условию, белых тюльпанов в 1,5 раза больше, чем розовых. Примем количество розовых тюльпанов за $x$. Тогда количество белых тюльпанов будет $1.5 \cdot x$. Сумма белых и розовых тюльпанов равна 320. Составим уравнение:

$x + 1.5x = 320$

Теперь решим это уравнение:

$2.5x = 320$

$x = \frac{320}{2.5}$

$x = 128$

Мы нашли количество розовых тюльпанов.

Ответ: на клумбе 128 розовых тюльпанов.

Теперь, зная количество розовых тюльпанов, найдем количество белых:

$128 \cdot 1.5 = 192$

Ответ: на клумбе 192 белых тюльпана.

Проверим результат: $180 \text{ (красных)} + 192 \text{ (белых)} + 128 \text{ (розовых)} = 500 \text{ (всего)}$.

1. Расположите числа в порядке возрастания:

–27; 24; –32; 62; 19; –1; 0; – 57; 0,5.

Проверочная работа № 1

1.

В порядке возрастания: -32; -27; -1; $-\frac{5}{7}$; 0;0,5; 19; 24; 62

Для того чтобы расположить предложенные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их между собой и выстроить от наименьшего к наибольшему. Дан следующий ряд чисел: $ -27; 24; -32; 62; 19; -1; 0; -\frac{5}{7}; 0,5 $.

Удобнее всего сначала разделить числа на три группы: отрицательные, ноль и положительные. Любое отрицательное число меньше нуля, а ноль меньше любого положительного числа.

Отрицательные числа в наборе: $ -32, -27, -1, -\frac{5}{7} $. При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше. Сравним их: $ -32 $ имеет наибольший модуль ($32$), поэтому это самое маленькое число. Далее идет $ -27 $ (модуль $27$). Затем нужно сравнить $ -1 $ и $ -\frac{5}{7} $. Поскольку $ 1 > \frac{5}{7} $, то $ -1 < -\frac{5}{7} $. Таким образом, отрицательные числа в порядке возрастания располагаются так: $ -32; -27; -1; -\frac{5}{7} $.

Далее в ряду следует число $ 0 $.

Положительные числа в наборе: $ 0,5; 19; 24; 62 $. Их сравнить легко. В порядке возрастания они идут так: $ 0,5; 19; 24; 62 $.

Теперь объединим все части в один ряд. Сначала идут отсортированные отрицательные числа, затем ноль, а после него отсортированные положительные числа.

Итоговая последовательность: $ -32; -27; -1; -\frac{5}{7}; 0; 0,5; 19; 24; 62 $.

Ответ: $ -32; -27; -1; -\frac{5}{7}; 0; 0,5; 19; 24; 62 $.

2. Сравните числа:

а) – 45 и –0,8; б) – 0,18 и 13.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} = -\frac{8}{10}; \\ - \frac{8}{10} = -0,8 \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,18 < \frac{1}{3}$

а) Для того чтобы сравнить числа $-\frac{4}{5}$ и $-0,8$, приведем их к одному виду. Представим обыкновенную дробь $-\frac{4}{5}$ в виде десятичной дроби. Для этого разделим числитель 4 на знаменатель 5.

$4 \div 5 = 0,8$

Следовательно, $-\frac{4}{5} = -0,8$.

Теперь мы можем сравнить два числа в десятичном формате: $-0,8$ и $-0,8$. Эти числа равны.

Ответ: $-\frac{4}{5} = -0,8$.

б) Для сравнения чисел $-0,18$ и $\frac{1}{3}$ достаточно обратить внимание на их знаки. Число $-0,18$ является отрицательным, а число $\frac{1}{3}$ — положительным. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Следовательно, $-0,18 < \frac{1}{3}$.

Ответ: $-0,18 < \frac{1}{3}$.

3. Вычислите:

а) 23 – 48; б) –0,5 – (–0,11); в) 6 – (–0,2).

3.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }23 – 48 = 23 + (-48) = -(48 – 23) = -25$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,5 – (-0,11) = -0,5 + 0,11= \\ = -(0,5 – 0,11) = -0,39 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }6 – (-0,2) = 6 + 0,2 = 6,2$

а) Чтобы вычислить разность $23 - 48$, нужно из числа $23$ вычесть число $48$. Так как вычитаемое ($48$) больше уменьшаемого ($23$), результат будет отрицательным. Чтобы найти его значение, мы можем вычесть из большего числа меньшее и поставить перед результатом знак "минус".
$48 - 23 = 25$
Следовательно, $23 - 48 = -25$.
Ответ: $-25$

б) В выражении $-0,5 - (-0,11)$ мы вычитаем отрицательное число. Правило гласит, что вычитание отрицательного числа заменяется сложением соответствующего положительного числа.
$-0,5 - (-0,11) = -0,5 + 0,11$
Теперь мы складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа ( $|-0,5| = 0,5$ ) больше модуля положительного числа ( $|0,11| = 0,11$ ), поэтому результат будет отрицательным. Чтобы найти его, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак "минус".
$0,5 - 0,11 = 0,50 - 0,11 = 0,39$
Значит, итоговый результат будет $-0,39$.
Ответ: $-0,39$

в) В выражении $6 - (-0,2)$ мы, как и в предыдущем примере, вычитаем отрицательное число. Это действие эквивалентно сложению.
$6 - (-0,2) = 6 + 0,2$
Выполняем сложение:
$6 + 0,2 = 6,2$
Ответ: $6,2$

4. Найдите значение выражения а – b, если а = 0,3, b = 6,7.

4.

а = 0,3; b = 6,7

a – b = 0,3 – 6,7 = 0,3 + (-6,7) = -(6,7 – 0,3) = -6,4

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить заданные значения переменных $a$ и $b$ в выражение $a - b$.

Даны значения: $a = 0,3$ и $b = 6,7$.

Подставляем эти значения в выражение:

$a - b = 0,3 - 6,7$

Выполняем вычитание. Так как мы из меньшего числа вычитаем большее, результат будет отрицательным. Чтобы найти модуль разности, мы из большего числа вычитаем меньшее:

$6,7 - 0,3 = 6,4$

Теперь добавляем знак минус, так как вычитаемое было больше уменьшаемого:

$0,3 - 6,7 = -6,4$

Ответ: $-6,4$

5. Решите уравнение:

а) 113 – х = 256; б) –227 + х = – 4114.

5.

$$\begin{gathered} а) 1\frac{1}{3} - х = 2\frac{5}{6}; \\ х = 1\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}; \\ х = 1\frac{1}{3} + \left(-2\frac{5}{6}\right); \\ х = -\left(2\frac{5}{6} - {1\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}}\right); \\ х = -\left(2\frac{5}{6} - 1\frac{2}{6}\right); \\ х = -1\frac{3}{6}; \\ х = -1\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: -1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -2\frac{2}{7} + х = -4\frac{1}{14}; \\ х = - 4\frac{1}{14} -\left(-2\frac{2}{7}\right); \\ х = - 4\frac{1}{14} + 2\frac{2}{7}; \\ х = - \left(4\frac{1}{14} - {2\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}\right); \\ х = - \left(4\frac{1}{14} - 2\frac{4}{14}\right); \\ х = - \left(3\frac{15}{14} - 2\frac{4}{14}\right); \\ х = -1\frac{11}{14}. \\ \mathrm{Ответ}: -1\frac{11}{14}. \end{gathered}$$

а) $1\frac{1}{3} - x = 2\frac{5}{6}$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 1\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$

Теперь подставим эти значения в уравнение для $x$:

$x = \frac{4}{3} - \frac{17}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$x = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{17}{6} = \frac{8}{6} - \frac{17}{6}$

Выполним вычитание:

$x = \frac{8 - 17}{6} = -\frac{9}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = -\frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$x = -1\frac{1}{2}$

Ответ: $-1\frac{1}{2}$

б) $-2\frac{2}{7} + x = -4\frac{1}{14}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = -4\frac{1}{14} - (-2\frac{2}{7})$

$x = -4\frac{1}{14} + 2\frac{2}{7}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-4\frac{1}{14} = -\frac{4 \cdot 14 + 1}{14} = -\frac{57}{14}$

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

Подставим значения в уравнение:

$x = -\frac{57}{14} + \frac{16}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 14, умножив вторую дробь на 2:

$x = -\frac{57}{14} + \frac{16 \cdot 2}{7 \cdot 2} = -\frac{57}{14} + \frac{32}{14}$

Выполним сложение:

$x = \frac{-57 + 32}{14} = -\frac{25}{14}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = -1\frac{11}{14}$

Ответ: $-1\frac{11}{14}$

1. Вычислите:
а) –26 – 46;
б) –96,2 + (–10,8);
в) –213 – (– 338).

Проверочная работа № 2

1.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -26 – 46 = -26 + (-46) = \\ = -(26 + 46) = -72 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-96,2 + (-10,8) = -(96,2 + 10,8) = \\ = -107 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{1}{3} -\left(-3\frac{3}{8}\right) = -2\frac{1}{3} + 3\frac{3}{8} = \\ = +\left({3\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}} - {2\frac{1}{3}}^{\overline{)·8}}\right) = 3\frac{9}{24} - 2\frac{8}{24} = 1\frac{1}{24} \end{gathered}$$

а) $-26 - 46$

Вычитание из отрицательного числа равносильно сложению двух отрицательных чисел. Для этого необходимо сложить их модули (абсолютные величины) и перед результатом поставить знак «минус».

$-26 - 46 = -(26 + 46) = -72$.

Ответ: $-72$

б) $-96,2 + (-10,8)$

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученной суммой поставить знак «минус».

$-(96,2 + 10,8) = -107$.

Ответ: $-107$

в) $-2\frac{1}{3} - (-3\frac{3}{8})$

Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа. Поэтому выражение можно переписать следующим образом:

$-2\frac{1}{3} - (-3\frac{3}{8}) = -2\frac{1}{3} + 3\frac{3}{8} = 3\frac{3}{8} - 2\frac{1}{3}$.

Для выполнения вычитания смешанных дробей необходимо привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 8 равно 24.

Приводим дроби к знаменателю 24:

$2\frac{1}{3} = 2\frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = 2\frac{8}{24}$

$3\frac{3}{8} = 3\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 3\frac{9}{24}$

Теперь выполним вычитание, отнимая целые части от целых, а дробные от дробных:

$3\frac{9}{24} - 2\frac{8}{24} = (3-2) + (\frac{9}{24} - \frac{8}{24}) = 1 + \frac{1}{24} = 1\frac{1}{24}$.

Ответ: $1\frac{1}{24}$

2. Упростите выражение –k – 2,8 – 1,7 и найдите его значение при k = –4,5.

2.

$$\begin{gathered} -\mathrm{k} – 2,8 – 1,7 = -\mathrm{k} + (-2,8) + (-1,7) = \\ = -\mathrm{k} + (-(2,8 + 1,7\left)\right) = -\mathrm{k} + (-4,5) \\ \mathrm{При} \mathrm{k} = -4,5: \\ -\mathrm{k} + (-4,5) = -(-4,5) + (-4,5) = 4,5 + (-4,5) = 0 \end{gathered}$$

Упростите выражение $-k - 2,8 - 1,7$

Для того чтобы упростить выражение, необходимо сложить его числовые слагаемые (константы). В данном выражении это $-2,8$ и $-1,7$.
Выполним сложение:
$ -2.8 - 1.7 = -(2.8 + 1.7) = -4.5 $
После сложения констант исходное выражение $-k - 2,8 - 1,7$ принимает вид:
$ -k - 4.5 $

Ответ: $-k - 4.5$.

Найдите его значение при $k = -4,5$

Теперь необходимо найти значение полученного выражения $-k - 4,5$, подставив в него значение $k = -4,5$.
Подставим значение $k$:
$ -(-4.5) - 4.5 $
Знак "минус" перед скобкой меняет знак числа в скобках на противоположный, поэтому $-(-4,5)$ становится $4,5$.
Выполним вычитание:
$ 4.5 - 4.5 = 0 $

Ответ: $0$.

3. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками:

а) А(–4) и В(–1); б) С(–5,4) и К(6,6); в) Q(– 437) и Р(117).

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{А}(-4), \mathrm{В}(-1) \\ \mathrm{АВ} = |-4 –(-1) |= |- 4+1|= \\ = |-(4-1)| = |-3| = 3 \mathrm{ед}. \mathrm{отрезка}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{С}(-5,4), \mathrm{К}(6,6) \\ \mathrm{СК} = |-5,4 –6,6 |= |- 5,4+(-6,6)|= \\ = |-(5,4+6,6)| = |-12| = \\ = 12 \mathrm{ед}.\mathrm{отрезка} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{Q}\left(-4\frac{3}{7}\right), \mathrm{P}\left(1\frac{1}{7}\right) \\ \mathrm{QP} =\left|-4\frac{3}{7} – 1\frac{1}{7}\right|= \left|-4\frac{3}{7}+\left(– 1\frac{1}{7}\right)\right|= \\ = \left|-\left(4\frac{3}{7}+ 1\frac{1}{7}\right)\right| = \left|-5\frac{4}{7}\right| = \\ = 5\frac{4}{7} \mathrm{ед}.\mathrm{отрезка}. \end{gathered}$$

а) Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Для точек $A(x_1)$ и $B(x_2)$ формула расстояния $d$ выглядит так: $d = |x_2 - x_1|$.
В данном случае у нас есть точки $A(-4)$ и $B(-1)$.
Подставим их координаты в формулу:
$d = |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = |3| = 3$.
Таким образом, расстояние между точками A и B составляет 3 единичных отрезка.
Ответ: 3.

б) Расстояние между двумя точками на координатной плоскости $C(x_1, y_1)$ и $K(x_2, y_2)$ находится по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Даны точки $C(-5, 4)$ и $K(6, 6)$.
Подставим их координаты в формулу:
$d = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (6 - 4)^2}$
$d = \sqrt{(6 + 5)^2 + 2^2}$
$d = \sqrt{11^2 + 2^2}$
$d = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.
Следовательно, расстояние между точками C и K равно $5\sqrt{5}$ единичных отрезков.
Ответ: $5\sqrt{5}$.

в) Данные точки, как и в пункте а), расположены на координатной прямой. Расстояние между ними находится по той же формуле: $d = |x_2 - x_1|$.
Даны точки $Q(-4\frac{3}{7})$ и $P(1\frac{1}{7})$.
Подставим их координаты в формулу:
$d = |1\frac{1}{7} - (-4\frac{3}{7})| = |1\frac{1}{7} + 4\frac{3}{7}|$.
Чтобы сложить смешанные числа, сложим их целые и дробные части по отдельности:
$d = (1 + 4) + (\frac{1}{7} + \frac{3}{7}) = 5 + \frac{4}{7} = 5\frac{4}{7}$.
Так как мы находим расстояние, а результат получился положительным, модуль можно опустить.
Расстояние между точками Q и P равно $5\frac{4}{7}$ единичных отрезков.
Ответ: $5\frac{4}{7}$.

4. Найдите значение выражения:

а) –23 – 17 + 10; б) –4130– + 16 – 0,6.

4.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-23 – 17 + 10 = -23 + (-17) + 10 = \\ = -(23 + 17) + 10 = -40 + 10 = \\ = -(40 – 10) = -30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4\frac{1}{30} + \frac{1}{6} - 0,6 = -4\frac{1}{30} + {\frac{1}{6}}^{\overline{)·5}} - {\frac{6}{10}}^{\overline{)·3}}= \\ = -4\frac{1}{30} + \frac{5}{30} - \frac{18}{30} = -4\frac{1}{30} + \frac{5}{30} + \left(-\frac{18}{30}\right)= \\ =-\left(4\frac{1}{30} + \frac{18}{30}\right) + \frac{5}{30} = -4\frac{19}{30} + \frac{5}{30} = \\ = -\left(4\frac{19}{30} - \frac{5}{30}\right) = -4\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{30}}}} = -4\frac{7}{15} \end{gathered}$$

а) $-23 - 17 + 10$

Для нахождения значения данного выражения выполним арифметические действия в порядке их следования слева направо.

1. Сначала выполним вычитание: $-23 - 17$. Это сложение двух отрицательных чисел.

$-23 - 17 = -(23 + 17) = -40$

2. Теперь к полученному результату прибавим 10:

$-40 + 10 = -30$

Ответ: $-30$

б) $-4\frac{1}{30} + \frac{1}{6} - 0,6$

Для решения этого выражения необходимо представить все его компоненты в одном виде. Наиболее удобным будет перевод всех чисел в обыкновенные дроби.

1. Представим смешанное число $-4\frac{1}{30}$ в виде неправильной дроби:

$-4\frac{1}{30} = -(\frac{4 \cdot 30 + 1}{30}) = -\frac{120 + 1}{30} = -\frac{121}{30}$

2. Представим десятичную дробь $0,6$ в виде обыкновенной дроби и сократим ее:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

3. Теперь исходное выражение можно записать так:

$-\frac{121}{30} + \frac{1}{6} - \frac{3}{5}$

4. Чтобы выполнить сложение и вычитание, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 30, 6 и 5 равен 30.

Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$ к знаменателю 30:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}$

5. Подставим полученные дроби обратно в выражение:

$-\frac{121}{30} + \frac{5}{30} - \frac{18}{30}$

6. Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с их числителями:

$\frac{-121 + 5 - 18}{30} = \frac{-116 - 18}{30} = \frac{-134}{30}$

7. Сократим полученную неправильную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{-134 \div 2}{30 \div 2} = -\frac{67}{15}$

8. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{67}{15} = -4\frac{7}{15}$

Ответ: $-4\frac{7}{15}$

5. Может ли разность двух чисел быть больше суммы этих же чисел? Если да, приведите пример.

5.

Разность двух чисел может быть больше суммы этих чисел, когда числа отрицательные.

-7 и -9

-7 + (-9) = -(7 + 9) = -16 – сумма чисел

-7 – (-9) = -7 + 9 = +(9 – 7) = 2 – разность чисел

2 > -16

Да, разность двух чисел может быть больше их суммы. Чтобы понять, когда это возможно, проанализируем соответствующее неравенство.

Пусть у нас есть два числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

Их разность записывается как $a - b$.

Их сумма записывается как $a + b$.

Условие, которое мы хотим проверить, — это неравенство: $a - b > a + b$

Чтобы решить это неравенство, можно выполнить следующие преобразования:

1. Вычтем из обеих частей неравенства число $a$. При этом знак неравенства не изменится: $(a - b) - a > (a + b) - a$ $-b > b$

2. Прибавим к обеим частям число $b$: $-b + b > b + b$ $0 > 2b$

3. Разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства снова не изменится: $0 > b$, что эквивалентно $b < 0$.

Таким образом, мы получили, что разность двух чисел больше их суммы тогда и только тогда, когда второе число (вычитаемое) является отрицательным. При этом значение первого числа ($a$) не влияет на истинность неравенства.

Если да, приведите пример.

Возьмем два числа, где второе число отрицательно. Например, пусть $a = 5$ и $b = -2$.

Найдем их разность: $a - b = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$

Найдем их сумму: $a + b = 5 + (-2) = 5 - 2 = 3$

Теперь сравним полученные результаты: $7 > 3$

Как видим, разность (7) действительно больше суммы (3).

Ответ: Да, может. Это условие выполняется, когда вычитаемое число является отрицательным. Например, для чисел 5 и -2 их разность равна 7, а их сумма равна 3, при этом $7 > 3$.