Страница 59, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.317. Вычислите:

а) –4,5–0,9; б) –9,44,7; в) 2,1–6,3; г) –1,78,5; д) 7,2 · (–1,9)–5,7 · 0,8; е) 0,63 : (– 79); ж) –1,25 : 1916; з) –3,4 : 325; и) 537–1514; к) –1173114.

4.317

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{-4,5}{-0,9} = \frac{45}{9} = 5$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{-9,4}{4,7} = -\frac{94}{47} = -\frac{2}{1} = -2$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{2,1}{-6,3}=-\frac{21}{63} =-\frac{1}{3}$

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{-1,7}{8,5} = -\frac{17}{85} = -\frac{1}{5}$

$\mathit{д}\mathbf{)} \frac{7,2 · (-1,9)}{-5,7 · 0,8}= \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{72}}} ·{\displaystyle \stackrel{1}{ \bcancel{19}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{57}}} · {\displaystyle \underset{1}{\cancel{8}}}}=\frac{9 · 1}{3 · 1}=3$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 0,63 : \left(-\frac{7}{9}\right)= -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{63}}}}{100} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}\right)= \\ = \left(\frac{9}{100} · \frac{9}{1}\right) = -\frac{81}{100} = -0,81 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} -1,25 : 1\frac{9}{16} = -1\frac{1}{4} : \frac{25}{16} = \\ = -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{25}}}}\right) = -\left(\frac{1}{1} · \frac{4}{5}\right) = -\frac{4}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-3,4 : 3\frac{2}{5} = -3,4 : 3\frac{4}{10} = -3,4 : 3,4 = \\ =-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5{\displaystyle \frac{3}{7}}}{-1{\displaystyle \frac{5}{14}}} = 5\frac{3}{7} : \left(-1\frac{5}{14}\right) = -\left(\frac{38}{7}: \frac{19}{14}\right)= \\ =- \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}}\right) = -\left(\frac{2}{1} · \frac{2}{1}\right) = -4. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{к}\mathbf{)} \frac{-1{\displaystyle \frac{1}{7}}}{3{\displaystyle \frac{1}{14}}} = -1\frac{1}{7} : 3\frac{1}{14} = -\left(\frac{8}{7} : \frac{43}{14}\right)= \\ = -\left(\frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{43}\right) = -\left(\frac{8}{1} · \frac{2}{43}\right) = -\frac{16}{43} \end{gathered}$$

а) Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы разделить десятичные дроби, можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от запятой.

$\frac{-4,5}{-0,9} = \frac{4,5}{0,9} = \frac{4,5 \cdot 10}{0,9 \cdot 10} = \frac{45}{9} = 5$

Ответ: 5

б) Частное отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Умножим числитель и знаменатель на 10.

$\frac{-9,4}{4,7} = -(\frac{9,4}{4,7}) = -(\frac{9,4 \cdot 10}{4,7 \cdot 10}) = -(\frac{94}{47}) = -2$

Ответ: -2

в) Частное положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Умножим числитель и знаменатель на 10 и сократим полученную дробь.

$\frac{2,1}{-6,3} = -(\frac{2,1}{6,3}) = -(\frac{2,1 \cdot 10}{6,3 \cdot 10}) = -(\frac{21}{63}) = -(\frac{21}{3 \cdot 21}) = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

г) Частное отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Умножим числитель и знаменатель на 10 и сократим дробь.

$\frac{-1,7}{8,5} = -(\frac{1,7}{8,5}) = -(\frac{1,7 \cdot 10}{8,5 \cdot 10}) = -(\frac{17}{85}) = -(\frac{17}{5 \cdot 17}) = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

д) В числителе произведение положительного и отрицательного чисел, результат отрицательный. В знаменателе произведение отрицательного и положительного чисел, результат также отрицательный. Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Далее можно сократить множители.

$\frac{7,2 \cdot (-1,9)}{-5,7 \cdot 0,8} = \frac{7,2 \cdot 1,9}{5,7 \cdot 0,8} = \frac{7,2 \cdot 1,9}{3 \cdot 1,9 \cdot 0,8} = \frac{7,2}{3 \cdot 0,8} = \frac{7,2}{2,4} = \frac{72}{24} = 3$

Ответ: 3

е) Для выполнения деления представим десятичную дробь в виде обыкновенной. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

$0,63 : (-\frac{7}{9}) = \frac{63}{100} : (-\frac{7}{9}) = -\frac{63}{100} \cdot \frac{9}{7} = -\frac{9 \cdot 7 \cdot 9}{100 \cdot 7} = -\frac{81}{100} = -0,81$

Ответ: -0,81

ж) Представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей и выполним деление.

$-1,25 = -1\frac{25}{100} = -1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

$-1,25 : 1\frac{9}{16} = -\frac{5}{4} : \frac{25}{16} = -\frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{5 \cdot 16}{4 \cdot 25} = -\frac{5 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 5} = -\frac{4}{5}$

Ответ: $-\frac{4}{5}$

з) Представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей.

$-3,4 = -3\frac{4}{10} = -3\frac{2}{5} = -\frac{17}{5}$

$3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$

$-3,4 : 3\frac{2}{5} = -\frac{17}{5} : \frac{17}{5} = -1$

Ответ: -1

и) Дробная черта означает деление. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним деление.

$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$

$-1\frac{5}{14} = -(\frac{1 \cdot 14 + 5}{14}) = -\frac{19}{14}$

$\frac{5\frac{3}{7}}{-1\frac{5}{14}} = \frac{38}{7} : (-\frac{19}{14}) = \frac{38}{7} \cdot (-\frac{14}{19}) = -(\frac{38 \cdot 14}{7 \cdot 19}) = -(\frac{2 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 7}{7 \cdot 19}) = -4$

Ответ: -4

к) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним деление.

$-1\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{8}{7}$

$3\frac{1}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{43}{14}$

$\frac{-1\frac{1}{7}}{3\frac{1}{14}} = -\frac{8}{7} : \frac{43}{14} = -\frac{8}{7} \cdot \frac{14}{43} = -(\frac{8 \cdot 14}{7 \cdot 43}) = -(\frac{8 \cdot 2 \cdot 7}{7 \cdot 43}) = -\frac{16}{43}$

Ответ: $-\frac{16}{43}$

4.318. Найдите х из пропорции:

$\mathrm{а}) \frac{\mathrm{х}}{-1,4}=\frac{-7,3}{-2,8};$

$\mathrm{б}) \frac{-8,4}{105}=\frac{-12,6}{\mathrm{х}};$

$\mathrm{в}) \frac{-2,5\mathrm{х}}{14}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{7}}}{-30};$

$\mathrm{г}) \frac{-7{\displaystyle \frac{1}{2}}}{4{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{\mathrm{х}}{{\displaystyle \frac{3}{25}}}.$

4.318

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{х}{-1,4} = \frac{-7,3}{-2,8} \\ х = \frac{-7,3 · \left(-1,4\right)}{-2,8}=-\frac{7,3 · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{28}}}}= \\ =-\frac{7,3 · 1}{2} = -(7,3 : 2) = -3,65. \\ \mathrm{Ответ}: -3,65. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{-8,4}{105} = \frac{-12,6}{х} \\ х = \frac{-12,6 · 105}{-8,4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{126} }}· 105}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{84}}}} = \\ = \frac{3 · 105}{2} = \frac{315}{2} = 157\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 157\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \frac{-2,5 х}{14}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{7}}}{-30} \\ -2,5 х = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}} · {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}}}{-30}; \\ -2,5 х = \frac{2}{-30}; \\ -2,5 х = -\frac{1}{15}; \\ х = -\frac{1}{15} : (-2,5); \\ х = \frac{1}{15} : \frac{25}{10}; \\ х = \frac{1}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{15}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{10}}}}{25}; \\ х = \frac{1}{3} · \frac{2}{25}; \\ х = \frac{2}{75}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{75}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{-7{\displaystyle \frac{1}{2}}}{4{\displaystyle \frac{1}{2}}} = \frac{х}{{\displaystyle \frac{3}{25}}} \\ х = -7\frac{1}{2} · \frac{3}{25} : 4\frac{1}{2} = -\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{1}{\sout{3}}}{\cancel{15}}}}{\bcancel{2}} · \frac{\sout{3}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{25}}}} · \frac{\bcancel{2}}{\sout{9}}\right)= \\ =-\left(\frac{1}{1} · \frac{1}{5} · \frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: -\frac{1}{5}. \end{gathered}$$

Для решения данных пропорций воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

Дана пропорция: $\frac{x}{-1,4} = \frac{-7,3}{-2,8}$.

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x \cdot (-2,8) = (-1,4) \cdot (-7,3)$

Вычислим произведение в правой части. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$-1,4 \cdot (-7,3) = 10,22$

Теперь уравнение выглядит так:

$-2,8x = 10,22$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2,8$:

$x = \frac{10,22}{-2,8}$

$x = -3,65$

Ответ: $-3,65$

Дана пропорция: $\frac{-8,4}{105} = \frac{-12,6}{x}$.

Применим основное свойство пропорции:

$-8,4 \cdot x = 105 \cdot (-12,6)$

Вычислим произведение в правой части:

$105 \cdot (-12,6) = -1323$

Получаем уравнение:

$-8,4x = -1323$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-8,4$:

$x = \frac{-1323}{-8,4} = \frac{1323}{8,4}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = \frac{13230}{84}$

Выполним деление:

$x = 157,5$

Ответ: $157,5$

Дана пропорция: $\frac{-2,5x}{14} = \frac{1\frac{1}{7}}{-30}$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Пропорция принимает вид:

$\frac{-2,5x}{14} = \frac{\frac{8}{7}}{-30}$

Упростим правую часть пропорции:

$\frac{\frac{8}{7}}{-30} = \frac{8}{7 \cdot (-30)} = \frac{8}{-210} = -\frac{4}{105}$

Теперь наша пропорция выглядит так:

$\frac{-2,5x}{14} = -\frac{4}{105}$

Применим основное свойство пропорции:

$-2,5x \cdot 105 = 14 \cdot (-4)$

$-262,5x = -56$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $-262,5$:

$x = \frac{-56}{-262,5} = \frac{56}{262,5}$

Умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{560}{2625}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 5, а затем на 7 (т.е. на 35):

$x = \frac{560 \div 35}{2625 \div 35} = \frac{16}{75}$

Ответ: $\frac{16}{75}$

Дана пропорция: $\frac{-7\frac{1}{2}}{4\frac{1}{2}} = \frac{x}{\frac{3}{25}}$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-7\frac{1}{2} = -\frac{15}{2}$

$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

Пропорция принимает вид:

$\frac{-\frac{15}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{x}{\frac{3}{25}}$

Упростим левую часть, разделив дроби (умножим на перевернутую):

$\frac{-\frac{15}{2}}{\frac{9}{2}} = -\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{15}{9}$

Сократим дробь $-\frac{15}{9}$ на 3:

$-\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$

Теперь пропорция выглядит так:

$-\frac{5}{3} = \frac{x}{\frac{3}{25}}$

Применим основное свойство пропорции:

$-\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{25} = x \cdot 1$

$x = -\frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 25}$

Сократим множители 3 в числителе и знаменателе, а затем сократим дробь $\frac{5}{25}$ на 5:

$x = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

4.319. Вычислите.

4.319

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 1\frac{2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{9}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{1} = \frac{9}{1}=9 \\ 1 : \frac{1}{7} = 1 · \frac{7}{1} = \frac{7}{1} =7 \\ \frac{6}{21} : \frac{1}{7} = \frac{6}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{1} = \frac{6}{3} =2 \\ \frac{1}{9} : \frac{1}{7} = \frac{1}{9} · \frac{7}{1} = \frac{7}{9} \\ \frac{5}{7} : \frac{1}{7} = \frac{5}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{1} = \frac{5}{1} =5 \\ 2 : \frac{1}{7} = 2 · \frac{7}{1} = \frac{14}{1} =14 \\ \frac{1}{7} : \frac{1}{7} = \frac{1}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{1} = \frac{1}{1} =1 \\ \frac{2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{2}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{1} = \frac{2}{1} =2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ {-\frac{1}{3}}^{\overline{)·4}} + \frac{1}{12} = -\frac{4}{12} + \frac{1}{12}=-\left(\frac{4}{12} -\frac{1}{12}\right)= \\ = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \\ -1 + \frac{1}{12} = -\frac{12}{12} + \frac{1}{12} = \left(\frac{12}{12} - \frac{1}{12}\right) = \\ = -\frac{11}{12} \\ \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \\ {-\frac{1}{4} }^{\overline{)·3}}+ \frac{1}{12} =-\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = -\left(\frac{3}{12}-\frac{1}{12}\right)= \\ =-\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} \\ {\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} =\frac{1}{4} \\ {-\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} + \frac{1}{12} = -\frac{2}{12} + \frac{1}{12}= -\left(\frac{2}{12} - \frac{1}{12}\right)= \\ =-\frac{1}{12} \\ -\frac{7}{12} + \frac{1}{12} = -\left(\frac{7}{12} - \frac{1}{12}\right) = -\frac{6}{12}= -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

а)

В этом задании нужно каждое число из внешних кругов разделить на число в центральном круге, то есть на $ \frac{1}{7} $. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь, то есть на $7$.

• $1 : \frac{1}{7} = 1 \cdot 7 = 7$
• $1\frac{2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{9}{7} \cdot 7 = 9$
• $\frac{2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \cdot 7 = 2$
• $\frac{1}{7} : \frac{1}{7} = \frac{1}{7} \cdot 7 = 1$
• $2 : \frac{1}{7} = 2 \cdot 7 = 14$
• $\frac{5}{7} : \frac{1}{7} = \frac{5}{7} \cdot 7 = 5$
• $\frac{1}{9} : \frac{1}{7} = \frac{1}{9} \cdot 7 = \frac{7}{9}$
• $\frac{6}{21} : \frac{1}{7} = \frac{2}{7} : \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \cdot 7 = 2$

Ответ: $7$; $9$; $2$; $1$; $14$; $5$; $\frac{7}{9}$; $2$.

б)

В этом задании нужно к каждому числу из внешних кругов прибавить число из центрального круга, то есть $\frac{1}{12}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $12$.

• $-\frac{1}{3} + \frac{1}{12} = -\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} = -\frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-4+1}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
• $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3+1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• $-\frac{7}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-7+1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
• $-\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = -\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = -\frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-2+1}{12} = -\frac{1}{12}$
• $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
• $-\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{12} = -\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-3+1}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$
• $\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• $-1 + \frac{1}{12} = -\frac{12}{12} + \frac{1}{12} = \frac{-12+1}{12} = -\frac{11}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$; $\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{12}$; $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{6}$; $\frac{1}{2}$; $-\frac{11}{12}$.

4.320. Какими могут быть значения букв х и у, если: а) ху = 0; б) ху ≠ 0?

4.320

а) ху = 0, если или х = 0, у – любое число, или у = 0, х – любое число, или х и у = 0

б) ху ≠ 0, если х и у ≠ 0

а)

Рассмотрим равенство $xy = 0$. Это равенство подчиняется основному свойству умножения, которое гласит: произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Это означает, что для выполнения условия $xy = 0$ возможны следующие случаи:
1. $x = 0$, а $y$ может быть любым числом. Например, если $x = 0$ и $y = 15$, то $0 \cdot 15 = 0$.
2. $y = 0$, а $x$ может быть любым числом. Например, если $x = -8$ и $y = 0$, то $-8 \cdot 0 = 0$.
3. $x = 0$ и $y = 0$ одновременно, что удовлетворяет обоим предыдущим пунктам.
Таким образом, чтобы произведение $xy$ было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одна из переменных, $x$ или $y$, равнялась нулю.

Ответ: Хотя бы одно из значений, $x$ или $y$, должно быть равно нулю.

б)

Рассмотрим неравенство $xy \ne 0$. Это условие означает, что результат умножения $x$ на $y$ не равен нулю.
Данная ситуация является противоположной той, что была описана в пункте а). Если произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, то, чтобы произведение не было равно нулю, необходимо, чтобы оба множителя были не равны нулю.
Если мы предположим, что $x=0$ или $y=0$, то произведение $xy$ станет равно нулю, что противоречит нашему условию $xy \ne 0$.
Следовательно, для выполнения данного неравенства требуется, чтобы и $x$, и $y$ одновременно принимали значения, отличные от нуля. Например, если $x=2$ и $y=3$, то $xy = 6$, что не равно нулю.

Ответ: Оба значения, $x$ и $y$, должны быть не равны нулю ($x \ne 0$ и $y \ne 0$).

4.321. При каких значениях а верно равенство:

а) а = а²; б) а = а³; в) а² = а³?

4.321

а) а = а² при а = 0 и а = 1

б) а = а³ при а = 0, а = -1 и а = 1

в) а² = а³ при а = 0 и а = 1

а) Для того чтобы найти значения $a$, при которых верно равенство $a = a^2$, необходимо решить это уравнение. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$a^2 - a = 0$
Теперь вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных решения:
1) $a = 0$
2) $a - 1 = 0$, из чего следует, что $a = 1$.
Следовательно, равенство верно при двух значениях $a$.
Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.

б) Рассмотрим равенство $a = a^3$. Решим это уравнение, перенеся все члены в одну сторону:
$a^3 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a(a - 1)(a + 1) = 0$
Приравнивая каждый из трех множителей к нулю, получаем три решения:
1) $a = 0$
2) $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$
3) $a + 1 = 0$, откуда $a = -1$.
Таким образом, равенство верно при трех значениях $a$.
Ответ: $a = 0$, $a = 1$ или $a = -1$.

в) Теперь решим уравнение $a^2 = a^3$. Аналогично предыдущим пунктам, перенесем все члены в левую часть:
$a^3 - a^2 = 0$
Вынесем за скобки общий множитель, которым в данном случае является $a^2$:
$a^2(a - 1) = 0$
Это равенство истинно, если один из множителей равен нулю:
1) $a^2 = 0$, что означает $a = 0$
2) $a - 1 = 0$, что означает $a = 1$.
Следовательно, данное равенство верно при двух значениях $a$.
Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.

4.322. Значение какого из выражений (–а)², –а², а³ будет при любых значениях а положительным; отрицательным?

4.322

(–а)² > 0 при любых а ≠ 0

–а² < 0 при любых а ≠ 0 и а >0

а³ > 0 при любых а > 0

Для ответа на вопрос проанализируем каждое из предложенных выражений, рассматривая все возможные значения переменной $a$: положительные ($a > 0$), отрицательные ($a < 0$) и ноль ($a = 0$).

положительным:

Проверим, какое из выражений всегда принимает положительные или равные нулю значения.

• Выражение $(-a)^2$. По свойству степени, минус в скобках при возведении в четную степень исчезает: $(-a)^2 = a^2$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \geq 0$ при любом $a$.
  Например, если $a=3$, то $(-3)^2 = 9 > 0$.
  Если $a=-3$, то $(-(-3))^2 = 3^2 = 9 > 0$.
  Если $a=0$, то $(-0)^2 = 0$.
  Следовательно, это выражение всегда неотрицательное.

• Выражение $-a^2$. Здесь сначала вычисляется квадрат $a^2$, а затем к результату применяется знак минус. Так как $a^2 \geq 0$, то $-a^2 \leq 0$. Это выражение всегда неположительное, значит, оно не подходит.

• Выражение $a^3$. Знак этого выражения зависит от знака $a$. Если $a$ — положительное число, то $a^3$ будет положительным. Если $a$ — отрицательное число, то $a^3$ будет отрицательным (например, $(-2)^3 = -8$). Значит, это выражение не является положительным при любых $a$.

Таким образом, единственное выражение, которое принимает неотрицательные (положительные или равные нулю) значения при любых $a$, — это $(-a)^2$.

Ответ: значение выражения $(-a)^2$ будет положительным (точнее, неотрицательным) при любых значениях $a$.

отрицательным:

Проверим, какое из выражений всегда принимает отрицательные или равные нулю значения.

• Выражение $(-a)^2$. Как мы уже выяснили, это выражение всегда неотрицательно ($(-a)^2 \geq 0$), поэтому оно не может быть всегда отрицательным.

• Выражение $-a^2$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \geq 0$), то выражение $-a^2$ всегда будет неположительным, то есть $-a^2 \leq 0$.
  Например, если $a=3$, то $-3^2 = -9 < 0$.
  Если $a=-3$, то $-(-3)^2 = -9 < 0$.
  Если $a=0$, то $-0^2 = 0$.
  Следовательно, это выражение всегда неположительное.

• Выражение $a^3$. Как было показано ранее, это выражение может быть положительным (например, $2^3 = 8$), поэтому оно не является отрицательным при любых $a$.

Таким образом, единственное выражение, которое принимает неположительные (отрицательные или равные нулю) значения при любых $a$, — это $-a^2$.

Ответ: значение выражения $-a^2$ будет отрицательным (точнее, неположительным) при любых значениях $a$.

4.323. Проверьте справедливость равенства |ab| = |а| · |b| при а = 0,1; b = –2 и при а = – 12; b = 3. Докажите, что равенство |ab| = |а| · |b| верно при любых значениях а и b.

4.323

$$\begin{gathered} \left|ab\right| = \left|a\right|·\left|b\right| \\ а = 0,1, b = -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} |0,1 · (-2\left)\right|=|-0,2|=0,2; \\ |0,1| · |-2|=0,1 · 2=0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а = -\frac{1}{2}, b= 3 \\ \left|-\frac{1}{2} · 3\right| = \left|-1,5\right| = 1,5; \\ \left|-\frac{1}{2}\right| · \left|3\right| = \frac{1}{2} · 3 = 1,5 \end{gathered}$$

$\left|ab\right|$ - является положительным числом при любых знаках чисел а и b и равен модулю произведения чисел а и b

$\left|а\right| · \left|b\right|$ - является положительным числом при любых знаках чисел а и b и равен произведению модулей чисел а и b

При $a = 0,1; b = -2$

Проверим справедливость равенства $|ab| = |a| \cdot |b|$, подставив в него указанные значения.

Вычислим значение левой части равенства:
$|ab| = |0,1 \cdot (-2)| = |-0,2| = 0,2$.

Вычислим значение правой части равенства:
$|a| \cdot |b| = |0,1| \cdot |-2| = 0,1 \cdot 2 = 0,2$.

Сравниваем полученные значения: $0,2 = 0,2$. Равенство выполняется.

Ответ: равенство справедливо.

При $a = -\frac{1}{2}; b = 3$

Проверим справедливость равенства $|ab| = |a| \cdot |b|$, подставив в него указанные значения.

Вычислим значение левой части равенства:
$|ab| = |-\frac{1}{2} \cdot 3| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$.

Вычислим значение правой части равенства:
$|a| \cdot |b| = |-\frac{1}{2}| \cdot |3| = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$. Равенство выполняется.

Ответ: равенство справедливо.

Докажите, что равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ верно при любых значениях $a$ и $b$.

Для доказательства данного тождества нужно рассмотреть все возможные случаи, основанные на знаках чисел $a$ и $b$.

Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае их произведение $ab \ge 0$. Согласно определению модуля: $|a|=a$, $|b|=b$ и $|ab|=ab$.
Подставляя эти значения в исходное равенство, получаем $ab = a \cdot b$, что является верным.

Случай 2: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab > 0$. Согласно определению модуля: $|a|=-a$, $|b|=-b$ и $|ab|=ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Получаем тождество $ab = ab$, что является верным.

Случай 3: $a \ge 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab \le 0$. Согласно определению модуля: $|a|=a$, $|b|=-b$ и $|ab|=-(ab)=-ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = -ab$.
Получаем тождество $-ab = -ab$, что является верным.

Случай 4: $a < 0$ и $b \ge 0$.
Этот случай аналогичен предыдущему. Произведение $ab \le 0$. Согласно определению модуля: $|a|=-a$, $|b|=b$ и $|ab|=-(ab)=-ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = -ab$.
Получаем тождество $-ab = -ab$, что является верным.

Так как равенство выполняется во всех четырех возможных случаях, которые охватывают все действительные числа $a$ и $b$, тождество $|ab| = |a| \cdot |b|$ доказано.

Ответ: равенство доказано.

4.326. Выполните действия:

а) –23 · 5; б) – 47 · (– 12); в) 323 · (– 411); г) –0,6 · 0,2; д) (– 13)²; е) (–2)³; ж) –2,4 · (–5); з) (15 – 34) · (–4); и) (–0,4 – 0,3) · (–7).

4.324

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-23 · 5=-115$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -\frac{4}{7} · \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{7} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \frac{2}{7} · \frac{1}{1} = \\ = \frac{2}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3\frac{2}{3} · \left(-\frac{4}{11}\right) = -\frac{\cancel{11}}{3} · \frac{4}{\cancel{11}} = \\ =-\frac{1}{3} · \frac{4}{1} = -\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,6 · 0,2=-0,12$

$\mathit{д}\mathbf{)}{ \left(-\frac{1}{3}\right)}^2\mathbf{ }= -\frac{1}{3} · \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}$

$\mathit{е}\mathbf{)} (-2{)}^3=(-2) · (-2) · (-2)=-8$

$\mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-2,4 · (-5)=2,4 · 5=12$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\left({\frac{1}{5} }^{\overline{)·4}}- {\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}}\right) · \left(-4\right) = \left(\frac{4}{20} - \frac{15}{20}\right) · \left(-4\right) = \\ = -\left(\frac{15}{20} - \frac{4}{20}\right) · \left(-4\right) =-\frac{11}{20} · \left(-4\right) = \\ =\frac{11}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{20}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{1}=\frac{11}{5} · \frac{1}{1} = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }(-0,4-0,3) · (-7) = (-0,4+(-0,3) ) · (-7)= \\ =-0,7 · (-7) = 0,7 · 7 = 4,9 \end{gathered}$$

а) Произведение отрицательного числа и положительного числа есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули сомножителей. $23 \cdot 5 = 115$. Следовательно, $-23 \cdot 5 = -115$.
Ответ: -115

б) Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы перемножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. $
-\frac{4}{7} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}$.
Сократим полученную дробь на 2: $\frac{4 \div 2}{14 \div 2} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$

в) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. Умножим дроби: $
$3\frac{2}{3} \cdot (-\frac{4}{11}) = \frac{11}{3} \cdot (-\frac{4}{11}) = -(\frac{11 \cdot 4}{3 \cdot 11})$.
Сократим дробь на 11: $-\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$

г) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. $
-0,6 \cdot 0,2 = -0,12$.
Ответ: -0,12

д) Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя. Квадрат отрицательного числа является положительным числом.
$(-\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

е) Возведение в куб — это умножение числа на себя три раза. Нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом.
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
Ответ: -8

ж) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$-2,4 \cdot (-5) = 2,4 \cdot 5 = 12$.
Ответ: 12

з) Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 20.
$\frac{1}{5} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{4}{20} - \frac{15}{20} = \frac{4-15}{20} = -\frac{11}{20}$.
Теперь умножим результат на -4. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$(-\frac{11}{20}) \cdot (-4) = \frac{11}{20} \cdot 4 = \frac{11 \cdot 4}{20} = \frac{44}{20}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{44 \div 4}{20 \div 4} = \frac{11}{5}$.
Преобразуем в десятичную дробь: $\frac{11}{5} = 2,2$.
Ответ: 2,2

и) Сначала выполним действие в скобках.
$-0,4 - 0,3 = -0,7$.
Теперь умножим результат на -7. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$(-0,7) \cdot (-7) = 4,9$.
Ответ: 4,9

4.325. Сколькими способами можно представить числа 25, 36 и 49 в виде произведения двух равных множителей? Запишите эти равенства.

4.325

25 = 5 ∙ 5 = (-5) ∙ (-5)

36 = 6 ∙ 6 = (-6) ∙ (-6)

49 = 7 ∙ 7 =(-7) ∙ (-7)

Для решения этой задачи необходимо найти все пары различных множителей для каждого числа, произведение которых равно этому числу. Будем рассматривать только натуральные (положительные целые) множители, так как в подобных задачах это является стандартным подходом, если не указано иное. Ключевым условием является то, что множители в паре должны быть разными.

25

Сначала найдем все делители числа 25. Это числа: 1, 5, 25.

Теперь составим из них пары множителей, произведение которых равно 25, и проверим, являются ли они различными:

$1 \times 25 = 25$. Множители 1 и 25 — разные. Этот способ подходит.

$5 \times 5 = 25$. Множители 5 и 5 — одинаковые. Этот способ не подходит по условию задачи.

Таким образом, для числа 25 существует только один способ представить его в виде произведения двух разных множителей.

Ответ: 1 способ. Равенство: $25 = 1 \times 25$.

36

Найдем все делители числа 36. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Составим пары множителей, произведение которых равно 36, и проверим условие различия:

$1 \times 36 = 36$. Множители 1 и 36 — разные.

$2 \times 18 = 36$. Множители 2 и 18 — разные.

$3 \times 12 = 36$. Множители 3 и 12 — разные.

$4 \times 9 = 36$. Множители 4 и 9 — разные.

$6 \times 6 = 36$. Множители 6 и 6 — одинаковые, поэтому этот вариант не подходит.

Всего получилось 4 способа. Запишем соответствующие равенства.

Ответ: 4 способа. Равенства: $36 = 1 \times 36$, $36 = 2 \times 18$, $36 = 3 \times 12$, $36 = 4 \times 9$.

49

Найдем все делители числа 49. Это числа: 1, 7, 49.

Составим пары множителей, произведение которых равно 49:

$1 \times 49 = 49$. Множители 1 и 49 — разные. Этот способ подходит.

$7 \times 7 = 49$. Множители 7 и 7 — одинаковые, поэтому этот способ не подходит.

Таким образом, для числа 49 существует только один способ.

Ответ: 1 способ. Равенство: $49 = 1 \times 49$.

4.326. Вычислите:
а) –3,1 · (–0,1) – 3,3 · 0,01 – (–0,3) · (–1,2);
б) (5,7 – 9,8 + 1,4 – 3,5 + 6,2) · (–231).

4.326

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-3,1 · (-0,1) - 3,3 · 0,01-(-0,3) · (–1,2)= \\ = 3,1 · 0,1 - 3,3 · 0,01 - 0,3 · 1,2 = 0,31 - 0,033- \\ - 0,36 = 0,31 + (-0,033) + (-0,36) = 0,31 + \\ + (-(0,033+0,36) ) = 0,31+(-0,393)=-(0,393-0,31)= \\ =-0,083 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (5,7 - 9,8 + 1,4 - 3,5 + 6,2) · (-231)= \\ =(5,7 + (-9,8) + 1,4 + (-3,5) + 6,2) · (-231)= \\ =(5,7 + 1,4 + 6,2 + (-9,8) + (-3,5) ) · (-231)= \\ =(13,3 + (-13,3) ) · (-231) = 0 · (-231)=0 \end{gathered}$$

а) $-3,1 \cdot (-0,1) - 3,3 \cdot 0,01 - (-0,3) \cdot (-1,2)$

Решим данное выражение, соблюдая порядок действий. Сначала выполняются операции умножения, а затем вычитания слева направо.

1. Выполним первое умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$-3,1 \cdot (-0,1) = 3,1 \cdot 0,1 = 0,31$

2. Выполним второе умножение:

$3,3 \cdot 0,01 = 0,033$

3. Выполним третье умножение. Произведение двух отрицательных чисел также является положительным числом:

$(-0,3) \cdot (-1,2) = 0,3 \cdot 1,2 = 0,36$

4. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и выполним вычитание:

$0,31 - 0,033 - 0,36$

5. Выполняем действия по порядку:

$0,31 - 0,033 = 0,277$

$0,277 - 0,36 = -0,083$

Ответ: $-0,083$

б) $(5,7 - 9,8 + 1,4 - 3,5 + 6,2) \cdot (-231)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем вычисления в скобках, а затем умножение.

1. Вычислим значение выражения в скобках. Для удобства сгруппируем положительные и отрицательные числа:

$(5,7 + 1,4 + 6,2) - (9,8 + 3,5)$

Сложим положительные числа:

$5,7 + 1,4 + 6,2 = 7,1 + 6,2 = 13,3$

Сложим числа, которые вычитаются (или сложим отрицательные):

$9,8 + 3,5 = 13,3$

Теперь найдем разность:

$13,3 - 13,3 = 0$

2. Теперь результат, полученный в скобках (0), умножим на $-231$:

$0 \cdot (-231) = 0$

Любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Ответ: $0$