Страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

Какие законы сложения использованы в примере 4?

Вопросы к параграфу

• чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо:
  1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю
  2) сравнить полученные дроби

• чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
  1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю
  2) сложить (или вычесть) полученные дроби
  

• в примере 4 использованы свойства:
  1) переместительное свойство сложения
  2) сочетательное свойство сложения

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого нужно:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Обычно это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Например: сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$.

• Находим наименьший общий знаменатель: $НОК(8, 12) = 24$.
• Находим дополнительные множители: для дроби $\frac{5}{8}$ это $24 \div 8 = 3$; для дроби $\frac{7}{12}$ это $24 \div 12 = 2$.
• Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ и $\frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$.
• Сравниваем числители новых дробей: $15 > 14$.
• Следовательно, $\frac{15}{24} > \frac{14}{24}$, а значит $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю и затем сравнить их числители.

Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно выполнить следующие шаги:

1. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Выполнить сложение или вычитание числителей полученных дробей, а знаменатель оставить без изменений.
5. Если возможно, сократить полученную дробь и/или выделить из нее целую часть.

Пример сложения: $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$.

$НОК(6, 4) = 12$.

$\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12}$.

Пример вычитания: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5}$.

$НОК(10, 5) = 10$.

$\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) их числители, оставив знаменатель прежним.

Какие законы сложения использованы в примере 4?

Так как сам пример 4 не предоставлен, можно с большой долей вероятности предположить, что речь идет об использовании переместительного и сочетательного законов сложения для упрощения вычислений при сложении нескольких дробей.

• Переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ верно, что $a + b = b + a$.
• Сочетательный закон сложения: результат сложения трех и более чисел не зависит от порядка группировки слагаемых. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ верно, что $(a+b)+c = a+(b+c)$.

Эти законы позволяют менять слагаемые местами и группировать их произвольным образом. В задачах на сложение дробей это используется, чтобы сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями или дроби, которые в сумме дают целое число, что упрощает вычисления.

Например, в выражении $\frac{3}{11} + \frac{1}{4} + \frac{8}{11}$ удобно сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3}{11} + \frac{1}{4} + \frac{8}{11} = (\frac{3}{11} + \frac{8}{11}) + \frac{1}{4} = \frac{11}{11} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Здесь был применен сначала переместительный закон (чтобы поставить $\frac{8}{11}$ рядом с $\frac{3}{11}$), а затем сочетательный (чтобы сгруппировать их).

Ответ: В примере 4, скорее всего, были использованы переместительный и сочетательный законы сложения для удобства вычислений.

2.148. Какая из дробей больше:

а) 56 или 2324;

б) 611 или 1019;

в) 730 или 310;

г) 435 или 521?

2.148

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{6} \mathrm{или} \frac{23}{24}$

$\mathrm{НОК} (6; 24) = 24$

$\frac{5}{6}=\frac{5 · 4}{6 · 4}=\frac{20}{24}$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{20}{24}<\frac{ 23}{24}, \mathrm{то} \frac{5}{6}< \frac{23}{24}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{6}{11} \mathrm{или} \frac{10}{19}$

$\mathrm{НОК} (11; 19) = 11 · 19 = 209$

$$\begin{gathered} \frac{6}{11}=\frac{6 ·19}{11 · 19}=\frac{114}{209} \\ \frac{10}{19}=\frac{10 · 11}{19 · 11}= \frac{110}{209} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{114}{209}> \frac{110}{209}, \mathrm{то} \frac{6}{111}> \frac{10}{19}$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{7}{30} \mathrm{или} \frac{3}{10}$

$\mathrm{НОК} (30; 10) = 30$

$\frac{3}{10}=\frac{3 · 3}{10 · 3}= \frac{9}{30}$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{7}{30}< \frac{9}{30}, \mathrm{то} \frac{7}{30}< \frac{3}{10}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{35} \mathrm{или} \frac{ 5}{21}$

$\mathrm{НОК} (35; 21) = 5 · 7 · 3 = 105$

$$\begin{gathered} \frac{4}{35}= \frac{4 · 3}{35 · 3}=\frac{12}{105} \\ \frac{5}{21}=\frac{5 · 5}{21 · 5}= \frac{25}{105} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{12}{105}< \frac{25}{105}, \mathrm{то} \frac{4}{35}<\frac{ 5}{21}$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{23}{24}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 24 равен 24. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 4: $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$. Теперь сравним дроби $\frac{20}{24}$ и $\frac{23}{24}$. Поскольку знаменатели у дробей одинаковы, большей будет та дробь, у которой числитель больше. Так как $20 < 23$, то $\frac{20}{24} < \frac{23}{24}$. Следовательно, $\frac{5}{6} < \frac{23}{24}$.
Ответ: $\frac{23}{24}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{10}{19}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 11 и 19 равен их произведению, так как это простые числа: $11 \times 19 = 209$. Приведем каждую дробь к знаменателю 209: $\frac{6}{11} = \frac{6 \times 19}{11 \times 19} = \frac{114}{209}$. $\frac{10}{19} = \frac{10 \times 11}{19 \times 11} = \frac{110}{209}$. Теперь сравним дроби $\frac{114}{209}$ и $\frac{110}{209}$. Так как $114 > 110$, то $\frac{114}{209} > \frac{110}{209}$. Следовательно, $\frac{6}{11} > \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{6}{11}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{30}$ и $\frac{3}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 30 и 10 равен 30. Приведем вторую дробь к знаменателю 30, домножив ее числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$. Теперь сравним дроби $\frac{7}{30}$ и $\frac{9}{30}$. Так как $7 < 9$, то $\frac{7}{30} < \frac{9}{30}$. Следовательно, $\frac{7}{30} < \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{35}$ и $\frac{5}{21}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители: $35 = 5 \times 7$. $21 = 3 \times 7$. Наименьшее общее кратное (НОК) для 35 и 21 будет $3 \times 5 \times 7 = 105$. Приведем дроби к знаменателю 105: $\frac{4}{35} = \frac{4 \times 3}{35 \times 3} = \frac{12}{105}$. $\frac{5}{21} = \frac{5 \times 5}{21 \times 5} = \frac{25}{105}$. Теперь сравним дроби $\frac{12}{105}$ и $\frac{25}{105}$. Так как $12 < 25$, то $\frac{12}{105} < \frac{25}{105}$. Следовательно, $\frac{4}{35} < \frac{5}{21}$.
Ответ: $\frac{5}{21}$.

2.149. Что меньше:

а) 1156 или 528; б) 2655 или 1635?

2.149

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{56} \mathrm{или} \frac{5}{28}$

$\mathrm{НОК} (56; 28) = 56$

$\frac{5}{28}=\frac{5 · 2}{28 · 2}=\frac{10}{56}$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{10}{56}< \frac{11}{56}, \mathrm{то} \frac{ 5}{28}< \frac{11}{56}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{26}{55} \mathrm{или} \frac{16}{35}$

$\mathrm{НОК} (55; 35) = 5 · 11 · 7 = 385$

$$\begin{gathered} \frac{25}{55}=\frac{26 · 7}{55 · 7}=\frac{ 182}{385} \\ \frac{16}{35}=\frac{16 · 11}{35 · 11}= \frac{176}{385} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{176}{385}< \frac{182}{385}, \mathrm{то} \frac{16}{35}< \frac{26}{55}$

а)

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{11}{56}$ или $\frac{5}{28}$ меньше, необходимо привести их к общему знаменателю. Самый удобный общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел 56 и 28.

Поскольку $56 = 28 \cdot 2$, то НОК(56, 28) = 56.

Дробь $\frac{11}{56}$ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $\frac{5}{28}$ к знаменателю 56, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$\frac{5}{28} = \frac{5 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{10}{56}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{11}{56}$ и $\frac{10}{56}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель. Так как $10 < 11$, то и $\frac{10}{56} < \frac{11}{56}$.

Следовательно, $\frac{5}{28} < \frac{11}{56}$.

Ответ: $\frac{5}{28}$.

б)

Чтобы определить, какая из дробей $\frac{26}{55}$ или $\frac{16}{35}$ меньше, приведем их к общему знаменателю. Для этого найдем НОК знаменателей 55 и 35.

Разложим знаменатели на простые множители:

$55 = 5 \cdot 11$

$35 = 5 \cdot 7$

НОК(55, 35) вычисляется как произведение всех уникальных множителей в наибольшей степени: $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 385.

Для дроби $\frac{26}{55}$ дополнительный множитель равен $385 : 55 = 7$:

$\frac{26}{55} = \frac{26 \cdot 7}{55 \cdot 7} = \frac{182}{385}$

Для дроби $\frac{16}{35}$ дополнительный множитель равен $385 : 35 = 11$:

$\frac{16}{35} = \frac{16 \cdot 11}{35 \cdot 11} = \frac{176}{385}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{182}{385}$ и $\frac{176}{385}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители. Поскольку $176 < 182$, то и $\frac{176}{385} < \frac{182}{385}$.

Следовательно, $\frac{16}{35} < \frac{26}{55}$.

Ответ: $\frac{16}{35}$.

2.150. Что больше:

а) 4360 или 1115; б) 2730 или 2021?

2.150

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{43}{60}=\frac{11}{15}$

$\mathrm{НОК} (60; 15) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60$

$\frac{11}{15}=\frac{11 · 4}{15 · 4}=\frac{44}{60}$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{44}{60}> \frac{43}{60}, \mathrm{то} \frac{11}{15}> \frac{43}{60}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{27}{30} \mathrm{или} \frac{20}{21}$

$\mathrm{НОК} (30; 21) = 2 · 3 · 5 · 7 = 210$

$$\begin{gathered} \frac{27}{30}=\frac{27 · 7}{30 · 7}=\frac{189}{210} \\ \frac{20}{21}=\frac{20 · 10}{21 · 10}=\frac{200}{210} \end{gathered}$$

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{200}{210}> \frac{189}{210}, \mathrm{то} \frac{20}{21}> \frac{27}{30}$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{43}{60}$ и $\frac{11}{15}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 60 и 15 это 60, так как 60 делится на 15 без остатка ($60 \div 15 = 4$). Первая дробь $\frac{43}{60}$ уже имеет нужный знаменатель. Приведем вторую дробь $\frac{11}{15}$ к знаменателю 60. для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 4: $\frac{11}{15} = \frac{11 \times 4}{15 \times 4} = \frac{44}{60}$. Теперь сравним полученные дроби: $\frac{43}{60}$ и $\frac{44}{60}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, сравниваем их числители. Поскольку $43 < 44$, то и дробь $\frac{43}{60}$ меньше дроби $\frac{44}{60}$. Следовательно, $\frac{43}{60} < \frac{11}{15}$.
Ответ: $\frac{11}{15}$ больше, чем $\frac{43}{60}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{27}{30}$ и $\frac{20}{21}$, приведем их к общему знаменателю. Для начала можно упростить первую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 3: $\frac{27}{30} = \frac{27 \div 3}{30 \div 3} = \frac{9}{10}$. Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{20}{21}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 21. Так как у них нет общих делителей, кроме 1, наименьший общий знаменатель будет равен их произведению: $10 \times 21 = 210$. Приведем каждую дробь к знаменателю 210. Для дроби $\frac{9}{10}$ дополнительный множитель равен 21: $\frac{9}{10} = \frac{9 \times 21}{10 \times 21} = \frac{189}{210}$. Для дроби $\frac{20}{21}$ дополнительный множитель равен 10: $\frac{20}{21} = \frac{20 \times 10}{21 \times 10} = \frac{200}{210}$. Теперь сравним дроби $\frac{189}{210}$ и $\frac{200}{210}$. Так как $189 < 200$, то $\frac{189}{210} < \frac{200}{210}$. Следовательно, $\frac{27}{30} < \frac{20}{21}$.
Ответ: $\frac{20}{21}$ больше, чем $\frac{27}{30}$.

2.151. Сравните дроби:

а) 34 или 712; б) 49 или 511; в) 35 или 4775; г) 1923 или 2377.

2.151

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4}\mathrm{и} \frac{7}{12} \\ \mathrm{НОК} (4; 12) = 12 \\ \frac{3}{4}=\frac{3 · 3}{4 · 3}=\frac{9}{12} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{9}{12} >\frac{7}{12}, \mathrm{то} \frac{3}{4}>\frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9}\mathrm{и} \frac{5}{11} \\ \mathrm{НОК} (9; 11) = 9 · 11 = 99 \\ \frac{4}{9}=\frac{ 4 · 11}{9 · 11}=\frac{44}{99} \\ \frac{5}{11}=\frac{5 · 9}{11 · 9}=\frac{44}{99} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{44}{99} >\frac{45}{99}, \mathrm{то} \frac{4}{9}>\frac{5}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5}\mathrm{и} \frac{47}{75} \\ \mathrm{НОК} (5; 75) =75 \\ \frac{3}{5}=\frac{ 3 · 15}{5 · 15}=\frac{45}{75} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{45}{75} >\frac{47}{75}, \mathrm{то} \frac{3}{5}>\frac{47}{75} \end{gathered}$$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{42}\mathrm{и} \frac{23}{77}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (47; 77) = 2 · 3 · 7 · 11 = 462 \\ \frac{19}{42}=\frac{19 · 11}{42 · 11}=\frac{209}{462} \\ \frac{23}{77}=\frac{23 · 6}{77 ·6}=\frac{138}{462} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{209}{462} >\frac{138}{462}, \mathrm{то} \frac{19}{42}>\frac{23}{77} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{12} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 12 равен 12. Дробь $ \frac{7}{12} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $. Теперь сравним полученные дроби $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{7}{12} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Поскольку $ 9 > 7 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{7}{12} $. Это означает, что $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{5}{11} $, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели 9 и 11 — взаимно простые числа, поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 9 \cdot 11 = 99 $. Приведем дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 11: $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99} $. Приведем дробь $ \frac{5}{11} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $ \frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99} $. Теперь сравним дроби $ \frac{44}{99} $ и $ \frac{45}{99} $. Так как $ 44 < 45 $, то $ \frac{44}{99} < \frac{45}{99} $. Следовательно, $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.
Ответ: $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{47}{75} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 75 равен 75, так как 75 делится на 5 ($75 \div 5 = 15$). Дробь $ \frac{47}{75} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 75, умножив числитель и знаменатель на 15: $ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{45}{75} $. Теперь сравним дроби $ \frac{45}{75} $ и $ \frac{47}{75} $. Так как $ 45 < 47 $, то $ \frac{45}{75} < \frac{47}{75} $. Следовательно, $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{19}{42} $ и $ \frac{23}{77} $, найдем для них наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители: $ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $; $ 77 = 7 \cdot 11 $. Наименьшее общее кратное (НОК) для 42 и 77 будет произведением всех уникальных множителей: $ \text{НОК}(42, 77) = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 462 $. Приведем первую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 42 = 11 $: $ \frac{19}{42} = \frac{19 \cdot 11}{42 \cdot 11} = \frac{209}{462} $. Приведем вторую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 77 = 6 $: $ \frac{23}{77} = \frac{23 \cdot 6}{77 \cdot 6} = \frac{138}{462} $. Теперь сравним дроби $ \frac{209}{462} $ и $ \frac{138}{462} $. Так как $ 209 > 138 $, то $ \frac{209}{462} > \frac{138}{462} $. Следовательно, $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.
Ответ: $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.

2.152. Расположите в порядке возрастания дроби:

а) 23, 56, 79, 1112;

б) 2528, 5356, 78, 1314.

2.152

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{3}; \frac{5}{6}; \frac{7}{9} \mathrm{и} \frac{11}{12} \\ \mathrm{НОК} (3; 6; 9; 12) = 36 \\ \frac{2}{3}=\frac{2 · 12}{3 · 12}=\frac{24}{36} \\ \frac{5}{6}=\frac{5 · 6}{6 · 6}=\frac{30}{36} \\ \frac{7}{9}=\frac{7 · 4}{9 · 4}=\frac{28}{36} \\ \frac{11}{12}=\frac{11 · 3}{12 · 3}=\frac{33}{36} \\ \frac{24}{36}<\frac{28}{36}<\frac{30}{36}<\frac{33}{36} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}; \frac{7}{9}; \frac{5}{6};\frac{11}{12}$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{25}{28}; \frac{53}{56}; \frac{7}{8} \mathrm{и} \frac{13}{14} \\ \mathrm{НОК} (28; 56; 8; 14) = 56 \\ \frac{25}{28}=\frac{25 · 2}{28 · 2}=\frac{50}{56} \\ \frac{7}{8}=\frac{7 · 7}{8 · 7}=\frac{49}{56} \\ \frac{13}{14}=\frac{13 · 4}{14 · 4}=\frac{52}{56} \\ \frac{49}{56}<\frac{50}{56}<\frac{52}{56}<\frac{53}{56} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{7}{8}; \frac{25}{28}; \frac{13}{14}; \frac{53}{56}$

Чтобы расположить дроби $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{12}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3, 6, 9 и 12. Разложим знаменатели на простые множители:

$3 = 3$
$6 = 2 \cdot 3$
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(3, 6, 9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 36:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$

Теперь сравним полученные дроби, сравнивая их числители: $24 < 28 < 30 < 33$.

Следовательно, $\frac{24}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36} < \frac{33}{36}$.

Сопоставив эти дроби с исходными, получаем порядок возрастания:

$\frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12}$.

Чтобы расположить дроби $\frac{25}{28}, \frac{53}{56}, \frac{7}{8}, \frac{13}{14}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 28, 56, 8 и 14. Разложим знаменатели на простые множители:

$28 = 2^2 \cdot 7$
$56 = 2^3 \cdot 7$
$8 = 2^3$
$14 = 2 \cdot 7$

НОК(28, 56, 8, 14) = $2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 56:

$\frac{25}{28} = \frac{25 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{50}{56}$
$\frac{53}{56}$ (дробь уже имеет нужный знаменатель)
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$
$\frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{52}{56}$

Теперь сравним полученные дроби, сравнивая их числители: $49 < 50 < 52 < 53$.

Следовательно, $\frac{49}{56} < \frac{50}{56} < \frac{52}{56} < \frac{53}{56}$.

Сопоставив эти дроби с исходными, получаем порядок возрастания:

$\frac{7}{8}, \frac{25}{28}, \frac{13}{14}, \frac{53}{56}$.

Ответ: $\frac{7}{8}, \frac{25}{28}, \frac{13}{14}, \frac{53}{56}$.

2.153. Справедливо ли неравенство:

а) 17 < 111700;

б) 3077500 > 125;

в) 11825 < 161155?

2.153

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{7}<\frac{111}{ 700}$– верно ли?

$$\begin{gathered} \frac{1}{7}=\frac{1 · 100}{7 · 100}=\frac{100}{700} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к} \frac{100}{700} <\frac{111}{700}, \mathrm{то} \frac{1}{7} <\frac{111}{700} \end{gathered}$$

Ответ: верно.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{307}{7500}>\frac{1}{ 25}$– верно ли?

$$\begin{gathered} \frac{1}{25}=\frac{1 · 300}{25 · 300}=\frac{300}{7500} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к} \frac{307}{7500} >\frac{300}{7500}, \mathrm{то} \frac{307}{7500} >\frac{1}{25} \end{gathered}$$

Ответ: верно.

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{825}<\frac{16}{ 1155}$– верно ли?

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (825; 1155) = 3 · 5 · 7 · 11 · 5 = 5775 \\ \frac{11}{825}=\frac{11 · 7}{825 · 7}=\frac{77}{5775} \\ \frac{16}{1155}=\frac{16 · 5}{1155 · 5}=\frac{80}{5775} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к} \frac{77}{5775} <\frac{80}{5775}, \mathrm{то} \frac{11}{825} <\frac{16}{1155} \end{gathered}$$

Ответ: верно

а) Чтобы проверить справедливость неравенства $\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$, приведем обе дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 700 равен 700. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 100:
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 100}{7 \cdot 100} = \frac{100}{700}$
Теперь сравним полученную дробь со второй дробью из неравенства: $\frac{100}{700}$ и $\frac{111}{700}$.
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители. Так как $100 < 111$, то и неравенство $\frac{100}{700} < \frac{111}{700}$ является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: да, справедливо.

б) Проверим неравенство $\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель - 7500. Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $7500 \div 25 = 300$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 300:
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 300}{25 \cdot 300} = \frac{300}{7500}$
Теперь сравним дроби $\frac{307}{7500}$ и $\frac{300}{7500}$.
Так как числитель первой дроби больше числителя второй ($307 > 300$), то и $\frac{307}{7500} > \frac{300}{7500}$. Исходное неравенство справедливо.
Ответ: да, справедливо.

в) Проверим справедливость неравенства $\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$. Для удобства сравнения сначала попробуем сократить дроби.
Сократим первую дробь $\frac{11}{825}$. Заметим, что знаменатель 825 делится на 11: $825 \div 11 = 75$.
$\frac{11}{825} = \frac{11 \div 11}{825 \div 11} = \frac{1}{75}$
Вторая дробь $\frac{16}{1155}$ несократима, так как числитель $16 = 2^4$, а знаменатель 1155 - нечетное число, и он не делится на 2.
Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{1}{75}$ и $\frac{16}{1155}$. Можно привести их к общему знаменателю, но проще использовать метод перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй на знаменатель первой.
Сравниваем $1 \cdot 1155$ и $16 \cdot 75$.
$1 \cdot 1155 = 1155$
$16 \cdot 75 = 1200$
Поскольку $1155 < 1200$, то и $\frac{1}{75} < \frac{16}{1155}$. Следовательно, исходное неравенство $\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$ справедливо.
Ответ: да, справедливо.

2.154. Не приводя дроби к общему знаменателю, объясните, почему 17 > 19, 27 > 29, 47 > 49. Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Сравните по этому правилу дроби:

а) 781 и 782;

б) 15181 и 15182;

в) 14343 и 14345.

2.154

Из двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями больше та дробь, знаменатель которой меньше.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{81}>\frac{7}{82} \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{15}{181}>\frac{15}{182} \\ \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{14}{343}>\frac{14}{345} \end{gathered}$$

Объясним, почему указанные неравенства верны, не приводя дроби к общему знаменателю. Дробь представляет собой деление некоторого целого на части. Знаменатель (нижнее число) показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель (верхнее число) — сколько таких частей взято.

Возьмем, к примеру, дроби $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. В первом случае целое разделили на 7 частей, а во втором — на 9. Очевидно, что если делить одно и то же целое на большее количество частей, то каждая отдельная часть будет меньше. Таким образом, одна седьмая часть ($ \frac{1}{7} $) больше, чем одна девятая ($ \frac{1}{9} $).

Этот же принцип применим и к остальным парам дробей: $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{2}{9} $, $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{9} $. Мы сравниваем одинаковое количество частей (2 и 4 соответственно), но размер этих частей разный. Так как $ \frac{1}{7} $ больше $ \frac{1}{9} $, то и две части по $ \frac{1}{7} $ будут больше, чем две части по $ \frac{1}{9} $. Аналогично для четырех частей.

Правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями:

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И наоборот, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Сравним по этому правилу дроби:

а) Сравним дроби $ \frac{7}{81} $ и $ \frac{7}{82} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 7. Сравниваем знаменатели: $ 81 < 82 $.
Согласно правилу, дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{7}{81} > \frac{7}{82} $.
Ответ: $ \frac{7}{81} > \frac{7}{82} $.

б) Сравним дроби $ \frac{15}{181} $ и $ \frac{15}{182} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 15. Сравниваем знаменатели: $ 181 < 182 $.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{15}{181} > \frac{15}{182} $.
Ответ: $ \frac{15}{181} > \frac{15}{182} $.

в) Сравним дроби $ \frac{14}{343} $ и $ \frac{14}{345} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 14. Сравниваем знаменатели: $ 343 < 345 $.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{14}{343} > \frac{14}{345} $.
Ответ: $ \frac{14}{343} > \frac{14}{345} $.

2.155. Сравните величины двумя способами:

1) выразив их в секундах;

2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) 13 мин и 25 мин;

б) 1120 мин и 815 мин;

в) 1930 мин и 34 мин;

г) 1112 мин и 2930 мин.

2.155

1)

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}\mathrm{мин} = \stackrel{20}{\cancel{60}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 20 \mathrm{с} \\ \frac{2}{5}\mathrm{мин} = \stackrel{12}{\cancel{60}} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=24 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 20 \mathrm{с} <24 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{1}{3}\mathrm{мин} <\frac{2}{5}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{20}\mathrm{мин} = \stackrel{3}{\cancel{60}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{20}}}} = 33 \mathrm{с} \\ \frac{8}{15}\mathrm{мин} = \stackrel{4}{\cancel{60}} · \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{1\cancel{5}}}}=32 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 33 \mathrm{с} >32 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{11}{20}\mathrm{мин} >\frac{8}{15}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{30}\mathrm{мин} = \stackrel{2}{\cancel{60}} · \frac{19}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{30}}}} = 38 \mathrm{с} \\ \frac{3}{4}\mathrm{мин} = \stackrel{15}{\cancel{60}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=45 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 38 \mathrm{с} < 45 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{19}{30}\mathrm{мин} <\frac{3}{4}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12}\mathrm{мин} = \stackrel{5}{\cancel{60}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} =55 \mathrm{с} \\ \frac{29}{30}\mathrm{мин} = \stackrel{2}{\cancel{60}} · \frac{29}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{30}}}}=58 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 55\mathrm{с} < 58 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{11}{12}\mathrm{мин} <\frac{29}{30}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{2}{5}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (3; 5) = 15 \\ \frac{1}{3}=\frac{1 · 5}{3 · 5}= \frac{5}{15} \\ \frac{2}{5}=\frac{2 · 3}{5 · 3}=\frac{6}{15} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{5}{15}<\frac{6}{15}, \mathrm{то} \frac{1}{3}<\frac{2}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{20}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{8}{15}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (20; 15) = 60 \\ \frac{11}{20}=\frac{11 · 3}{20 · 3}= \frac{33}{60} \\ \frac{8}{15}=\frac{8 · 4}{15 · 4}=\frac{32}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{32}{60}<\frac{33}{60}, \mathrm{то} \frac{8}{15}<\frac{11}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{30}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{3}{4}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (30; 4) = 60 \\ \frac{19}{30}=\frac{19 · 2}{30 · 2}= \frac{38}{60} \\ \frac{3}{4}=\frac{3 · 15}{4 · 15}=\frac{45}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{38}{60}<\frac{45}{60}, \mathrm{то} \frac{19}{30}<\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{29}{30}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (12; 30) = 60 \\ \frac{11}{12}=\frac{11 · 5}{12 · 5}= \frac{55}{60} \\ \frac{29}{30}=\frac{29 · 2}{30 · 2}=\frac{58}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{55}{60}<\frac{58}{60}, \mathrm{то} \frac{11}{12}<\frac{29}{30} \end{gathered}$$

а)

1) Выразив их в секундах:
Зная, что 1 минута = 60 секунд, переведем каждую величину в секунды.
$\frac{1}{3}$ мин = $\frac{1}{3} \cdot 60$ с = $20$ с.
$\frac{2}{5}$ мин = $\frac{2}{5} \cdot 60$ с = $2 \cdot 12$ с = $24$ с.
Сравниваем полученные значения: $20$ с < $24$ с. Следовательно, $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ — это наименьшее общее кратное чисел 3 и 5, которое равно 15.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.
Сравниваем дроби: поскольку $5 < 6$, то $\frac{5}{15} < \frac{6}{15}$. Следовательно, $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

Ответ: $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

б)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{11}{20}$ мин = $\frac{11}{20} \cdot 60$ с = $11 \cdot 3$ с = $33$ с.
$\frac{8}{15}$ мин = $\frac{8}{15} \cdot 60$ с = $8 \cdot 4$ с = $32$ с.
Сравниваем полученные значения: $33$ с > $32$ с. Следовательно, $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{11}{20}$ и $\frac{8}{15}$ — это НОК(20, 15) = 60.
$\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}$.
$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $33 > 32$, то $\frac{33}{60} > \frac{32}{60}$. Следовательно, $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

Ответ: $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

в)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{19}{30}$ мин = $\frac{19}{30} \cdot 60$ с = $19 \cdot 2$ с = $38$ с.
$\frac{3}{4}$ мин = $\frac{3}{4} \cdot 60$ с = $3 \cdot 15$ с = $45$ с.
Сравниваем полученные значения: $38$ с < $45$ с. Следовательно, $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{19}{30}$ и $\frac{3}{4}$ — это НОК(30, 4) = 60.
$\frac{19}{30} = \frac{19 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{38}{60}$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $38 < 45$, то $\frac{38}{60} < \frac{45}{60}$. Следовательно, $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

Ответ: $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

г)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{11}{12}$ мин = $\frac{11}{12} \cdot 60$ с = $11 \cdot 5$ с = $55$ с.
$\frac{29}{30}$ мин = $\frac{29}{30} \cdot 60$ с = $29 \cdot 2$ с = $58$ с.
Сравниваем полученные значения: $55$ с < $58$ с. Следовательно, $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{11}{12}$ и $\frac{29}{30}$ — это НОК(12, 30) = 60.
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$.
$\frac{29}{30} = \frac{29 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{58}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $55 < 58$, то $\frac{55}{60} < \frac{58}{60}$. Следовательно, $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

Ответ: $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

4.349. Вычислите.

4.349

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-2 - \frac{5}{8} = -2\frac{5}{8} \\ -\stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} = -1 · \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \\ -2 : 8 = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \\ -2 - 11 = -2 + (-11) = -13 \\ -2 · \frac{4}{{\displaystyle 3}} = -1 · \frac{3}{2} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \\ -2 + \frac{2}{5} = -\left(2 - \frac{2}{5}\right) = -1\frac{3}{5} \\ -2 + 4,6 = 4,6 - 2 = 2,6 \\ -2 : \frac{4}{7} = -\stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{7}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} = -1 · \frac{7}{2} = \\ =-\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{5}{8} · \left(-8\right) = \frac{5}{\cancel{8}} ·\cancel{ 8} = 5 \\ -\frac{5}{8} · 8 =- \left(\frac{5}{\cancel{8}} ·\cancel{ 8}\right) = -5 \\ -\frac{5}{8} · 0 = 0 \\ -\frac{5}{8} + 5 = 5 - \frac{5}{8} = 4\frac{8}{8} - \frac{5}{8} = 4\frac{3}{8} \\ -\frac{5}{8} : \frac{1}{8} = -\frac{5}{\cancel{8}} ·\cancel{ 8} = -5 \\ -\frac{5}{8} - {\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} = -\frac{5}{8} + \left(-\frac{2}{8}\right) = \\ = - \left(\frac{5}{8} + \frac{2}{8}\right) = -\frac{7}{8} \\ -\frac{5}{8} · 1\frac{1}{4} = -\left(\frac{5}{8} · \frac{5}{4}\right) = -\frac{25}{32} \\ {-\frac{5}{8}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·8}} = -\frac{15}{24} + \frac{16}{24} = \\ =\frac{16}{24} - \frac{15}{24} = \frac{1}{24} \end{gathered}$$

$-2 : 8 = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$. Ответ: $-\frac{1}{4}$.

$-2 - 11 = -13$. Ответ: $-13$.

$-2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$. Ответ: $-2\frac{2}{3}$.

$-2 + \frac{2}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{2}{5} = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5}$. Ответ: $-1\frac{3}{5}$.

$-2 + 4,6 = 2,6$. Ответ: $2,6$.

$-2 : \frac{4}{7} = -2 \cdot \frac{7}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$. Ответ: $-3\frac{1}{2}$.

$-2 - \frac{5}{8} = -\frac{16}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{21}{8} = -2\frac{5}{8}$. Ответ: $-2\frac{5}{8}$.

$-2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$.

$-\frac{5}{8} \cdot 8 = -5$. Ответ: $-5$.

$-\frac{5}{8} \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$.

$-\frac{5}{8} + 5 = -\frac{5}{8} + \frac{40}{8} = \frac{35}{8} = 4\frac{3}{8}$. Ответ: $4\frac{3}{8}$.

$-\frac{5}{8} : \frac{1}{8} = -\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{1} = -5$. Ответ: $-5$.

$-\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{7}{8}$. Ответ: $-\frac{7}{8}$.

$-\frac{5}{8} \cdot 1\frac{1}{4} = -\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{25}{32}$. Ответ: $-\frac{25}{32}$.

$-\frac{5}{8} + \frac{2}{3} = -\frac{5 \cdot 3}{24} + \frac{2 \cdot 8}{24} = \frac{-15 + 16}{24} = \frac{1}{24}$. Ответ: $\frac{1}{24}$.

$-\frac{5}{8} \cdot (-8) = 5$. Ответ: $5$.

4.350. Одинаковы ли знаки чисел m и n, если произведение этих чисел:

а) положительно; б) отрицательно?

4.350

а) одинаковые

б) разные

а) Да, знаки чисел $m$ и $n$ будут одинаковы. Произведение двух чисел является положительным числом ($m \cdot n > 0$) только в том случае, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки.
Существует два возможных варианта:
1. Оба числа положительны. Например, если $m > 0$ и $n > 0$, то их произведение $m \cdot n$ будет больше нуля.
2. Оба числа отрицательны. Например, если $m < 0$ и $n < 0$, то их произведение $m \cdot n$ также будет больше нуля (так как "минус" на "минус" дает "плюс").
Таким образом, если произведение положительно, знаки чисел $m$ и $n$ обязательно совпадают.
Ответ: да.

б) Нет, знаки чисел $m$ и $n$ будут различны. Произведение двух чисел является отрицательным числом ($m \cdot n < 0$) только в том случае, если сомножители имеют разные знаки.
Существует два возможных варианта:
1. Первое число положительно, а второе отрицательно. Если $m > 0$ и $n < 0$, то их произведение $m \cdot n$ будет меньше нуля.
2. Первое число отрицательно, а второе положительно. Если $m < 0$ и $n > 0$, то их произведение $m \cdot n$ также будет меньше нуля.
Таким образом, если произведение отрицательно, знаки чисел $m$ и $n$ обязательно будут разными.
Ответ: нет.

4.351. Найдите значения а, при которых верно равенство:

а) |а| = а; б) |а| = –а; в) |–а| = а; г) |–а| = –а; д) а = –а; е) |а| + а = 0; ж) |а| + а = 2а; з) а – |а| = 2а.

4.351

а) |a| = a при а ≥ 0

б) |a| = -a при а ≤ 0

в) |-a| = a при а ≥ 0

г) |-a| = -a при а ≤ 0

д) а = -а при а = 0

е) |a| + a = 0 при а ≤ 0

ж) |a| + a = 2а при а ≥ 0

з) а - |a| = 2a при а ≤ 0

а) $|a| = a$

По определению, модуль числа $|a|$ равен самому числу $a$, если число $a$ неотрицательное ($a \ge 0$), и равен противоположному числу $-a$, если число $a$ отрицательное ($a < 0$). Следовательно, равенство $|a| = a$ верно по определению для всех неотрицательных чисел $a$.

Ответ: $a \geq 0$.

б) $|a| = -a$

Согласно определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется, когда число $a$ является неположительным (то есть отрицательным или равным нулю). Если $a \le 0$, то $|a|$ как раз и равен $-a$. Если же $a > 0$, то $|a|=a$, и равенство $a = -a$ неверно (оно выполняется только при $a=0$, что не входит в рассматриваемый случай $a>0$).

Ответ: $a \leq 0$.

в) $|-a| = a$

Модуль противоположного числа равен модулю самого числа, то есть $|-a| = |a|$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $|a| = a$. Как и в пункте а), это равенство верно при $a \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$.

г) $|-a| = -a$

Используя свойство $|-a| = |a|$, мы можем переписать равенство как $|a| = -a$. Это равенство, как было показано в пункте б), верно при $a \leq 0$.

Ответ: $a \leq 0$.

д) $a = -a$

Для решения этого уравнения перенесем $-a$ в левую часть, изменив знак:

$a + a = 0$

$2a = 0$

Разделим обе части на 2:

$a = 0$

Равенство верно только при $a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

е) $|a| + a = 0$

Перенесем $a$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$|a| = -a$

Это равенство, как мы выяснили в пункте б), верно при $a \leq 0$.

Ответ: $a \leq 0$.

ж) $|a| + a = 2a$

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения:

$|a| = 2a - a$

$|a| = a$

Это равенство, как мы выяснили в пункте а), верно при $a \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$.

з) $a - |a| = 2a$

Перенесем $|a|$ в правую часть, а $2a$ в левую, изменив их знаки:

$a - 2a = |a|$

$-a = |a|$

Это то же самое уравнение, что и $|a| = -a$. Как было показано в пункте б), оно верно при $a \leq 0$.

Ответ: $a \leq 0$.

4.352. Найдите значение выражения:
а) 2а – 3 · |с – 2| при а = –2 и с = –3;
б) 3m – 8 · |n – 4| при m = –1 и n = –2;
в) 4 · |2d – 5| + 5b – 3 · |–5d + 2b| при d = 2 и b = –3;
г) –5 · |5 – 10x| – 4y – 4 · |–2y – 2x| при x = 1 и у = –6.

4.352

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} а = -2, с = -3 \\ 2а – 3 · |c – 2| = 2 · (-2) – 3 · |-3 – 2| = \\ = -4 – 3 · |-5| = -4 – 3 · 5 = -4 – 15 = \\ = -19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }m = -1, n = -2 \\ 3m – 8 · |n – 4| = 3 · (-1) – 8 · |-2 – 4| = \\ =-3 – 8 · |-6| = -3 – 8 · 6 = -3 – 48 = \\ = -51 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }d = 2, b = -3 \\ 4 · |2d – 5| + 5b – 3 · |-5d + 2b| = \\ = 4 · |2 · 2 – 5| + 5 · (-3) - 3 \times \\ \times |-5 · 2 + 2 · (-3)| = 4 · |4 – 5| + \\ + (-15) – 3 · |-10 + (-6)| = 4 · |-1| + \\ + (-15) – 3 · |-16| = 4 · 1 + (-15) – 3 · 16 = \\ = 4 + (-15) – 48 = 4 + (-15) + (-48) = \\ = 4 + (-63) = -(63 – 4) = -59 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }х = 1, у = -6 \\ -5 · |5 – 10x| - 4y – 4 · |-2y – 2x| = \\ = -5 · |5 – 10 · 1| - 4 · (-6) – \\ - 4 · |-2 · (-6) – 2 · 1| = -5 · |5 – 10| + \\ + 24 – 4 · |12 – 2| = -5 · |-5| + 24 – \\ - 4 · |10| = -5 · 5 + 24 – 4 ·10 = \\ =-25 + 24 – 40 = -(25 – 24) – 40 = \\ =-1 – 40 = -1 + (-40) = -41 \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы найти значение выражения $2a - 3 \cdot |c - 2|$ при $a = -2$ и $c = -3$, мы подставляем данные значения в выражение.
1. Подставляем значения $a$ и $c$:
$2 \cdot (-2) - 3 \cdot |-3 - 2|$
2. Вычисляем выражение внутри модуля:
$-3 - 2 = -5$
3. Находим модуль числа:
$|-5| = 5$
4. Подставляем результат обратно в выражение и выполняем вычисления:
$2 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 = -4 - 15 = -19$

Ответ: $-19$

б)

Для того чтобы найти значение выражения $3m - 8 \cdot |n - 4|$ при $m = -1$ и $n = -2$, мы подставляем данные значения в выражение.
1. Подставляем значения $m$ и $n$:
$3 \cdot (-1) - 8 \cdot |-2 - 4|$
2. Вычисляем выражение внутри модуля:
$|-2 - 4| = |-6| = 6$
3. Подставляем результат обратно в выражение и выполняем вычисления:
$3 \cdot (-1) - 8 \cdot 6 = -3 - 48 = -51$

Ответ: $-51$

в)

Для того чтобы найти значение выражения $4 \cdot |2d - 5| + 5b - 3 \cdot |-5d + 2b|$ при $d = 2$ и $b = -3$, мы подставляем данные значения в выражение.
1. Подставляем значения $d$ и $b$:
$4 \cdot |2 \cdot 2 - 5| + 5 \cdot (-3) - 3 \cdot |-5 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)|$
2. Вычисляем выражения внутри каждого модуля по отдельности:
Первый модуль: $|2 \cdot 2 - 5| = |4 - 5| = |-1| = 1$
Второй модуль: $|-5 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)| = |-10 - 6| = |-16| = 16$
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$4 \cdot 1 + 5 \cdot (-3) - 3 \cdot 16$
4. Выполняем вычисления:
$4 - 15 - 48 = -11 - 48 = -59$

Ответ: $-59$

г)

Для того чтобы найти значение выражения $-5 \cdot |5 - 10x| - 4y - 4 \cdot |-2y - 2x|$ при $x = 1$ и $y = -6$, мы подставляем данные значения в выражение.
1. Подставляем значения $x$ и $y$:
$-5 \cdot |5 - 10 \cdot 1| - 4 \cdot (-6) - 4 \cdot |-2 \cdot (-6) - 2 \cdot 1|$
2. Вычисляем выражения внутри каждого модуля:
Первый модуль: $|5 - 10 \cdot 1| = |5 - 10| = |-5| = 5$
Второй модуль: $|-2 \cdot (-6) - 2 \cdot 1| = |12 - 2| = |10| = 10$
3. Подставляем полученные значения в выражение:
$-5 \cdot 5 - 4 \cdot (-6) - 4 \cdot 10$
4. Выполняем вычисления:
$-25 + 24 - 40 = -1 - 40 = -41$

Ответ: $-41$

4.353. Верно ли при любых значениях m и n:
а) если m > 0 и n > 0, то mn > 0;
б) если m < 0 и n < 0, то mn < 0;
в) если mn > 0, то m > 0 и n > 0;
г) если mn < 0, то m < 0 и n > 0;
д) m : n = n : m?

4.353

а) m > 0, n > 0, то mn > 0 – верно

б) m < 0, n < 0, то mn < 0 – неверно

в) mn > 0, то m > 0 и n > 0 – неверно, может быть m < 0 и n < 0

г) mn < 0, то m < 0 и n > 0 – неверно, может быть m > 0 и n < 0

д) m : n = n : m – неверно

а) если $m > 0$ и $n > 0$, то $mn > 0$;

Это утверждение верно. Согласно правилу знаков при умножении, произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом. Если $m$ — положительное число и $n$ — положительное число, их произведение $mn$ также будет положительным.
Например, если $m = 2$ и $n = 5$, то $mn = 2 \cdot 5 = 10$, и $10 > 0$.

Ответ: Верно.

б) если $m < 0$ и $n < 0$, то $mn < 0$;

Это утверждение неверно. Согласно правилу знаков при умножении, произведение двух отрицательных чисел является положительным числом ("минус" на "минус" дает "плюс").
Приведем контрпример. Пусть $m = -3$ и $n = -4$. Оба числа меньше нуля. Их произведение $mn = (-3) \cdot (-4) = 12$. Число 12 больше нуля ($12 > 0$), а не меньше, как утверждается в условии.

Ответ: Неверно.

в) если $mn > 0$, то $m > 0$ и $n > 0$;

Это утверждение неверно. Произведение двух чисел $mn$ будет положительным ($mn > 0$) в двух случаях:
1. Оба числа положительны: $m > 0$ и $n > 0$.
2. Оба числа отрицательны: $m < 0$ и $n < 0$.
Утверждение рассматривает только первый случай, но не учитывает второй, поэтому оно не всегда верно.
Приведем контрпример. Пусть $m = -2$ и $n = -6$. Их произведение $mn = (-2) \cdot (-6) = 12$, что больше нуля ($12 > 0$). Однако в этом случае и $m$, и $n$ являются отрицательными числами.

Ответ: Неверно.

г) если $mn < 0$, то $m < 0$ и $n > 0$;

Это утверждение неверно. Произведение двух чисел $mn$ будет отрицательным ($mn < 0$), если множители имеют разные знаки. Это возможно в двух случаях:
1. $m < 0$ и $n > 0$.
2. $m > 0$ и $n < 0$.
Утверждение рассматривает только первый случай, игнорируя второй.
Приведем контрпример. Пусть $m = 5$ и $n = -2$. Их произведение $mn = 5 \cdot (-2) = -10$, что меньше нуля ($-10 < 0$). Однако в этом случае $m > 0$ и $n < 0$, что противоречит утверждению.

Ответ: Неверно.

д) $m : n = n : m$?

Это утверждение неверно. Деление не является коммутативной операцией, то есть от перестановки делимого и делителя частное, как правило, меняется. Равенство $m : n = n : m$ можно записать в виде дробей: $\frac{m}{n} = \frac{n}{m}$. Оно выполняется, только если $m^2 = n^2$, то есть когда $m = n$ или $m = -n$ (при условии, что $m \ne 0$ и $n \ne 0$). Но это неверно для любых значений $m$ и $n$.
Приведем контрпример. Пусть $m = 1$ и $n = 2$.
$m : n = 1 : 2 = 0.5$
$n : m = 2 : 1 = 2$
Поскольку $0.5 \ne 2$, равенство не выполняется.

Ответ: Неверно.

4.354. На координатной прямой отметьте целые числа:
а) модуль которых меньше 10,3 и больше 4;
б) кратные трём, модуль которых больше 3 и меньше $9\frac{5}{9}.$

4.354

а)

б)

а) модуль которых меньше 10,3 и больше 4;

По условию, мы ищем целые числа $x$, модуль которых удовлетворяет двойному неравенству $4 < |x| < 10,3$.

Модуль числа — это его расстояние от нуля на координатной прямой. Данное неравенство означает, что искомые числа должны находиться на расстоянии от нуля большем, чем 4, и меньшем, чем 10,3.

Разобьем решение на два случая:

1. Для положительных целых чисел ($x > 0$): неравенство принимает вид $4 < x < 10,3$. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это: 5, 6, 7, 8, 9, 10.

2. Для отрицательных целых чисел ($x < 0$): неравенство $4 < |x| < 10,3$ можно записать как $4 < -x < 10,3$. Умножив все части на -1, мы должны изменить знаки неравенства на противоположные: $-4 > x > -10,3$. В более привычном виде это выглядит так: $-10,3 < x < -4$. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это: -10, -9, -8, -7, -6, -5.

Объединяя оба набора чисел, получаем все целые числа, которые нужно отметить на координатной прямой.

Ответ: -10, -9, -8, -7, -6, -5, 5, 6, 7, 8, 10.

б) кратные трём, модуль которых больше 3 и меньше 9$\frac{5}{9}$.

По условию, мы ищем целые числа $x$, которые кратны 3 и модуль которых удовлетворяет двойному неравенству $3 < |x| < 9\frac{5}{9}$.

Сначала найдем все целые числа, модуль которых находится в заданном интервале.

1. Для положительных целых чисел ($x > 0$): неравенство принимает вид $3 < x < 9\frac{5}{9}$. Целые числа в этом интервале: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Для отрицательных целых чисел ($x < 0$): неравенство $3 < |x| < 9\frac{5}{9}$ означает, что $-9\frac{5}{9} < x < -3$. Целые числа в этом интервале: -9, -8, -7, -6, -5, -4.

Теперь из этих чисел выберем те, которые кратны трём (делятся на 3 без остатка).

- Из набора положительных чисел {4, 5, 6, 7, 8, 9} кратными трём являются 6 и 9.

- Из набора отрицательных чисел {-9, -8, -7, -6, -5, -4} кратными трём являются -9 и -6.

Таким образом, мы нашли все числа, удовлетворяющие обоим условиям.

Ответ: -9, -6, 6, 9.

4.355. Найдите частное:

а) –40 : (–4); б) 7 : (–50); в) –4 : 9; г) 4,2 : (–7); д) –4,8 : 2,4; е) –7,2 : (–0,04); ж) – 711: 711; з) – 429 : (–613); и) – 45 : 135.

4.355

$\mathit{а}\mathbf{)}-40 : (-4) = 40:4=10$

$\mathit{б}\mathbf{)} 7 : (-50) = -\frac{7}{50}$

$\mathit{в}\mathbf{)}-4 : 9=-\frac{4}{9}$

$\mathit{г}\mathbf{)} 4,2 : (-7) = -0,6$

$\mathit{д}\mathbf{)}-4,8 : 2,4 = -48:24=-2$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-7,2 :(-0,04) = 720:4=180$

$\mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{7}{11} : \frac{7}{11} = -\frac{\bcancel{7}}{\cancel{11}} · \frac{\cancel{11}}{\bcancel{7}} = -1$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-4\frac{2}{9} : \left(-6\frac{1}{3}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{38}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{19}}}} = \\ =\frac{2}{3} · \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{5} : 1\frac{3}{5} = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{\cancel{5}} · \frac{\cancel{5}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} = -\frac{1}{1} · \frac{1}{2} = \\ = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

а) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Делим модули чисел:
$$-40 : (-4) = 40 : 4 = 10$$
Ответ: 10

б) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.
$$7 : (-50) = -(7 : 50) = -\frac{7}{50} = -\frac{14}{100} = -0,14$$
Ответ: -0,14

в) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным. Результат можно оставить в виде обыкновенной дроби.
$$-4 : 9 = -\frac{4}{9}$$
Ответ: $-\frac{4}{9}$

г) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.
$$4,2 : (-7) = -(4,2 : 7) = -0,6$$
Ответ: -0,6

д) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным. Для удобства можно разделить целые числа, умножив делимое и делитель на 10.
$$-4,8 : 2,4 = -(4,8 : 2,4) = -(48 : 24) = -2$$
Ответ: -2

е) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Для удобства можно разделить целые числа, умножив делимое и делитель на 100.
$$-7,2 : (-0,04) = 7,2 : 0,04 = 720 : 4 = 180$$
Ответ: 180

ж) При делении числа на равное ему по модулю, но противоположное по знаку, результат всегда равен -1.
$$-\frac{7}{11} : \frac{7}{11} = -(\frac{7}{11} \cdot \frac{11}{7}) = -1$$
Ответ: -1

з) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$$-4\frac{2}{9} : (-6\frac{1}{3}) = -\frac{38}{9} : (-\frac{19}{3}) = \frac{38}{9} \cdot \frac{3}{19} = \frac{38 \cdot 3}{9 \cdot 19} = \frac{2 \cdot \cancel{19} \cdot \cancel{3}}{3 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{19}} = \frac{2}{3}$$
Ответ: $\frac{2}{3}$

и) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.
$$-\frac{4}{5} : 1\frac{3}{5} = -\frac{4}{5} : \frac{8}{5} = -(\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8}) = -\frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

4.356. а) К какому из знаменателей можно привести дробь 715: 40; 27; 45; 60; 80; 100; 1000?

б) Какую из дробей можно привести к знаменателю 90: 13; 115; 112; 133?

4.356

а) дробь $\frac{7}{15}$ можно привести к знаменателям 45 и 60

б) к знаменателю 90 можно привести дроби $\frac{1}{3} \mathrm{и} \frac{1}{15}$

a)

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо, чтобы новый знаменатель делился нацело на исходный знаменатель. Исходная дробь — $ \frac{7}{15} $, ее знаменатель равен 15. Проверим, какие из предложенных чисел кратны 15.

• $40 \div 15 = 2$ (ост. 10) – не делится нацело, не подходит.
• $27 \div 15 = 1$ (ост. 12) – не делится нацело, не подходит.
• $45 \div 15 = 3$ – делится нацело, подходит. Привести дробь к этому знаменателю можно, домножив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45} $.
• $60 \div 15 = 4$ – делится нацело, подходит. Привести дробь к этому знаменателю можно, домножив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60} $.
• $80 \div 15 = 5$ (ост. 5) – не делится нацело, не подходит.
• $100 \div 15 = 6$ (ост. 10) – не делится нацело, не подходит.
• $1000 \div 15 = 66$ (ост. 10) – не делится нацело, не подходит.

Следовательно, дробь $ \frac{7}{15} $ можно привести к знаменателям 45 и 60.
Ответ: 45; 60.

б)

Чтобы привести дробь к знаменателю 90, необходимо, чтобы число 90 делилось нацело на знаменатель этой дроби. Проверим знаменатель каждой из предложенных дробей.

• Для дроби $ \frac{1}{3} $ знаменатель равен 3. Проверяем делимость: $90 \div 3 = 30$. Так как 90 делится на 3, эту дробь можно привести к знаменателю 90.
• Для дроби $ \frac{1}{15} $ знаменатель равен 15. Проверяем делимость: $90 \div 15 = 6$. Так как 90 делится на 15, эту дробь можно привести к знаменателю 90.
• Для дроби $ \frac{1}{12} $ знаменатель равен 12. Проверяем делимость: $90 \div 12 = 7.5$. Так как 90 не делится на 12 нацело, эту дробь нельзя привести к знаменателю 90.
• Для дроби $ \frac{1}{33} $ знаменатель равен 33. Проверяем делимость: $90 \div 33 = 2$ (ост. 24). Так как 90 не делится на 33 нацело, эту дробь нельзя привести к знаменателю 90.

Таким образом, к знаменателю 90 можно привести дроби со знаменателями 3 и 15.
Ответ: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{15} $.

4.357. Какие из дробей 23, 45, 57, 14, 725, 56 можно представить в виде десятичной дроби?

4.357

в виде десятичной дроби можно представить дроби $\frac{4}{5}, \frac{1}{4} \mathrm{и} \frac{7}{25}$

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо следовать правилу: несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5. Если в разложении знаменателя есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Проверим каждую из предложенных дробей. Все дроби в задании уже являются несократимыми.

$\frac{2}{3}$

Знаменатель дроби равен 3. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении 2 на 3 получается бесконечная периодическая дробь: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Ответ: нельзя.

$\frac{4}{5}$

Знаменатель дроби равен 5. Его разложение на простые множители состоит только из числа 5. Следовательно, данную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Для этого приведем знаменатель к степени 10: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.

Ответ: можно.

$\frac{5}{7}$

Знаменатель дроби равен 7. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении 5 на 7 получается бесконечная периодическая дробь: $5 \div 7 = 0,714285... = 0,(714285)$.

Ответ: нельзя.

$\frac{1}{4}$

Знаменатель дроби равен 4. Его разложение на простые множители: $4 = 2^2$. Разложение состоит только из множителя 2. Следовательно, данную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Приведем знаменатель к степени 10: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Ответ: можно.

$\frac{7}{25}$

Знаменатель дроби равен 25. Его разложение на простые множители: $25 = 5^2$. Разложение состоит только из множителя 5. Следовательно, данную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Приведем знаменатель к степени 10: $\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28$.

Ответ: можно.

$\frac{5}{6}$

Знаменатель дроби равен 6. Его разложение на простые множители: $6 = 2 \times 3$. Поскольку в разложении присутствует множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении 5 на 6 получается бесконечная периодическая дробь: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$.

Ответ: нельзя.

Таким образом, в виде конечной десятичной дроби можно представить следующие дроби из списка: $\frac{4}{5}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{7}{25}$.