Номер 2.151, страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей - номер 2.151, страница 65.

Условие.

2.151. Сравните дроби:

а) 34 или 712; б) 49 или 511; в) 35 или 4775; г) 1923 или 2377.

Решение 1.

2.151

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4}\mathrm{и} \frac{7}{12} \\ \mathrm{НОК} (4; 12) = 12 \\ \frac{3}{4}=\frac{3 · 3}{4 · 3}=\frac{9}{12} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{9}{12} >\frac{7}{12}, \mathrm{то} \frac{3}{4}>\frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{9}\mathrm{и} \frac{5}{11} \\ \mathrm{НОК} (9; 11) = 9 · 11 = 99 \\ \frac{4}{9}=\frac{ 4 · 11}{9 · 11}=\frac{44}{99} \\ \frac{5}{11}=\frac{5 · 9}{11 · 9}=\frac{44}{99} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{44}{99} >\frac{45}{99}, \mathrm{то} \frac{4}{9}>\frac{5}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{5}\mathrm{и} \frac{47}{75} \\ \mathrm{НОК} (5; 75) =75 \\ \frac{3}{5}=\frac{ 3 · 15}{5 · 15}=\frac{45}{75} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{45}{75} >\frac{47}{75}, \mathrm{то} \frac{3}{5}>\frac{47}{75} \end{gathered}$$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{42}\mathrm{и} \frac{23}{77}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (47; 77) = 2 · 3 · 7 · 11 = 462 \\ \frac{19}{42}=\frac{19 · 11}{42 · 11}=\frac{209}{462} \\ \frac{23}{77}=\frac{23 · 6}{77 ·6}=\frac{138}{462} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{209}{462} >\frac{138}{462}, \mathrm{то} \frac{19}{42}>\frac{23}{77} \end{gathered}$$

Решение 2.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{12} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 12 равен 12. Дробь $ \frac{7}{12} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $. Теперь сравним полученные дроби $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{7}{12} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Поскольку $ 9 > 7 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{7}{12} $. Это означает, что $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{5}{11} $, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели 9 и 11 — взаимно простые числа, поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 9 \cdot 11 = 99 $. Приведем дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 11: $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99} $. Приведем дробь $ \frac{5}{11} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $ \frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99} $. Теперь сравним дроби $ \frac{44}{99} $ и $ \frac{45}{99} $. Так как $ 44 < 45 $, то $ \frac{44}{99} < \frac{45}{99} $. Следовательно, $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.
Ответ: $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{47}{75} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 75 равен 75, так как 75 делится на 5 ($75 \div 5 = 15$). Дробь $ \frac{47}{75} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 75, умножив числитель и знаменатель на 15: $ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{45}{75} $. Теперь сравним дроби $ \frac{45}{75} $ и $ \frac{47}{75} $. Так как $ 45 < 47 $, то $ \frac{45}{75} < \frac{47}{75} $. Следовательно, $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{19}{42} $ и $ \frac{23}{77} $, найдем для них наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители: $ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $; $ 77 = 7 \cdot 11 $. Наименьшее общее кратное (НОК) для 42 и 77 будет произведением всех уникальных множителей: $ \text{НОК}(42, 77) = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 462 $. Приведем первую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 42 = 11 $: $ \frac{19}{42} = \frac{19 \cdot 11}{42 \cdot 11} = \frac{209}{462} $. Приведем вторую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 77 = 6 $: $ \frac{23}{77} = \frac{23 \cdot 6}{77 \cdot 6} = \frac{138}{462} $. Теперь сравним дроби $ \frac{209}{462} $ и $ \frac{138}{462} $. Так как $ 209 > 138 $, то $ \frac{209}{462} > \frac{138}{462} $. Следовательно, $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.
Ответ: $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.

Решение 3.

Решение 4.