Номер 2.155, страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей - номер 2.155, страница 65.

Условие.

2.155. Сравните величины двумя способами:

1) выразив их в секундах;

2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) 13 мин и 25 мин;

б) 1120 мин и 815 мин;

в) 1930 мин и 34 мин;

г) 1112 мин и 2930 мин.

Решение 1.

2.155

1)

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}\mathrm{мин} = \stackrel{20}{\cancel{60}} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = 20 \mathrm{с} \\ \frac{2}{5}\mathrm{мин} = \stackrel{12}{\cancel{60}} · \frac{2}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=24 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 20 \mathrm{с} <24 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{1}{3}\mathrm{мин} <\frac{2}{5}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{20}\mathrm{мин} = \stackrel{3}{\cancel{60}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{20}}}} = 33 \mathrm{с} \\ \frac{8}{15}\mathrm{мин} = \stackrel{4}{\cancel{60}} · \frac{8}{{\displaystyle \underset{1}{1\cancel{5}}}}=32 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 33 \mathrm{с} >32 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{11}{20}\mathrm{мин} >\frac{8}{15}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{30}\mathrm{мин} = \stackrel{2}{\cancel{60}} · \frac{19}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{30}}}} = 38 \mathrm{с} \\ \frac{3}{4}\mathrm{мин} = \stackrel{15}{\cancel{60}} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}=45 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 38 \mathrm{с} < 45 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{19}{30}\mathrm{мин} <\frac{3}{4}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12}\mathrm{мин} = \stackrel{5}{\cancel{60}} · \frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}} =55 \mathrm{с} \\ \frac{29}{30}\mathrm{мин} = \stackrel{2}{\cancel{60}} · \frac{29}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{30}}}}=58 \mathrm{с} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. 55\mathrm{с} < 58 \mathrm{с}, \mathrm{то} \frac{11}{12}\mathrm{мин} <\frac{29}{30}\mathrm{мин} \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{3}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{2}{5}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (3; 5) = 15 \\ \frac{1}{3}=\frac{1 · 5}{3 · 5}= \frac{5}{15} \\ \frac{2}{5}=\frac{2 · 3}{5 · 3}=\frac{6}{15} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{5}{15}<\frac{6}{15}, \mathrm{то} \frac{1}{3}<\frac{2}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{20}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{8}{15}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (20; 15) = 60 \\ \frac{11}{20}=\frac{11 · 3}{20 · 3}= \frac{33}{60} \\ \frac{8}{15}=\frac{8 · 4}{15 · 4}=\frac{32}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{32}{60}<\frac{33}{60}, \mathrm{то} \frac{8}{15}<\frac{11}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{30}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{3}{4}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (30; 4) = 60 \\ \frac{19}{30}=\frac{19 · 2}{30 · 2}= \frac{38}{60} \\ \frac{3}{4}=\frac{3 · 15}{4 · 15}=\frac{45}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{38}{60}<\frac{45}{60}, \mathrm{то} \frac{19}{30}<\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{12}\mathrm{мин} \mathrm{и} \frac{29}{30}\mathrm{мин} \\ \mathrm{НОК} (12; 30) = 60 \\ \frac{11}{12}=\frac{11 · 5}{12 · 5}= \frac{55}{60} \\ \frac{29}{30}=\frac{29 · 2}{30 · 2}=\frac{58}{60} \\ \mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{55}{60}<\frac{58}{60}, \mathrm{то} \frac{11}{12}<\frac{29}{30} \end{gathered}$$

Решение 2.

а)

1) Выразив их в секундах:
Зная, что 1 минута = 60 секунд, переведем каждую величину в секунды.
$\frac{1}{3}$ мин = $\frac{1}{3} \cdot 60$ с = $20$ с.
$\frac{2}{5}$ мин = $\frac{2}{5} \cdot 60$ с = $2 \cdot 12$ с = $24$ с.
Сравниваем полученные значения: $20$ с < $24$ с. Следовательно, $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ — это наименьшее общее кратное чисел 3 и 5, которое равно 15.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.
Сравниваем дроби: поскольку $5 < 6$, то $\frac{5}{15} < \frac{6}{15}$. Следовательно, $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

Ответ: $\frac{1}{3}$ мин < $\frac{2}{5}$ мин.

б)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{11}{20}$ мин = $\frac{11}{20} \cdot 60$ с = $11 \cdot 3$ с = $33$ с.
$\frac{8}{15}$ мин = $\frac{8}{15} \cdot 60$ с = $8 \cdot 4$ с = $32$ с.
Сравниваем полученные значения: $33$ с > $32$ с. Следовательно, $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{11}{20}$ и $\frac{8}{15}$ — это НОК(20, 15) = 60.
$\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}$.
$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $33 > 32$, то $\frac{33}{60} > \frac{32}{60}$. Следовательно, $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

Ответ: $\frac{11}{20}$ мин > $\frac{8}{15}$ мин.

в)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{19}{30}$ мин = $\frac{19}{30} \cdot 60$ с = $19 \cdot 2$ с = $38$ с.
$\frac{3}{4}$ мин = $\frac{3}{4} \cdot 60$ с = $3 \cdot 15$ с = $45$ с.
Сравниваем полученные значения: $38$ с < $45$ с. Следовательно, $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{19}{30}$ и $\frac{3}{4}$ — это НОК(30, 4) = 60.
$\frac{19}{30} = \frac{19 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{38}{60}$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $38 < 45$, то $\frac{38}{60} < \frac{45}{60}$. Следовательно, $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

Ответ: $\frac{19}{30}$ мин < $\frac{3}{4}$ мин.

г)

1) Выразив их в секундах:
$\frac{11}{12}$ мин = $\frac{11}{12} \cdot 60$ с = $11 \cdot 5$ с = $55$ с.
$\frac{29}{30}$ мин = $\frac{29}{30} \cdot 60$ с = $29 \cdot 2$ с = $58$ с.
Сравниваем полученные значения: $55$ с < $58$ с. Следовательно, $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

2) Приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{11}{12}$ и $\frac{29}{30}$ — это НОК(12, 30) = 60.
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$.
$\frac{29}{30} = \frac{29 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{58}{60}$.
Сравниваем дроби: поскольку $55 < 58$, то $\frac{55}{60} < \frac{58}{60}$. Следовательно, $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

Ответ: $\frac{11}{12}$ мин < $\frac{29}{30}$ мин.

Решение 3.

Решение 4.