Вопросы в параграфе, страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей - страница 65.

Условие.

Вопросы:

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

Какие законы сложения использованы в примере 4?

Решение 1.

Вопросы к параграфу

• чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо:
  1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю
  2) сравнить полученные дроби

• чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
  1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю
  2) сложить (или вычесть) полученные дроби
  

• в примере 4 использованы свойства:
  1) переместительное свойство сложения
  2) сочетательное свойство сложения

Решение 2.

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого нужно:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Обычно это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Например: сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$.

• Находим наименьший общий знаменатель: $НОК(8, 12) = 24$.
• Находим дополнительные множители: для дроби $\frac{5}{8}$ это $24 \div 8 = 3$; для дроби $\frac{7}{12}$ это $24 \div 12 = 2$.
• Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ и $\frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$.
• Сравниваем числители новых дробей: $15 > 14$.
• Следовательно, $\frac{15}{24} > \frac{14}{24}$, а значит $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю и затем сравнить их числители.

Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно выполнить следующие шаги:

1. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Выполнить сложение или вычитание числителей полученных дробей, а знаменатель оставить без изменений.
5. Если возможно, сократить полученную дробь и/или выделить из нее целую часть.

Пример сложения: $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$.

$НОК(6, 4) = 12$.

$\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12}$.

Пример вычитания: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5}$.

$НОК(10, 5) = 10$.

$\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) их числители, оставив знаменатель прежним.

Какие законы сложения использованы в примере 4?

Так как сам пример 4 не предоставлен, можно с большой долей вероятности предположить, что речь идет об использовании переместительного и сочетательного законов сложения для упрощения вычислений при сложении нескольких дробей.

• Переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ верно, что $a + b = b + a$.
• Сочетательный закон сложения: результат сложения трех и более чисел не зависит от порядка группировки слагаемых. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ верно, что $(a+b)+c = a+(b+c)$.

Эти законы позволяют менять слагаемые местами и группировать их произвольным образом. В задачах на сложение дробей это используется, чтобы сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями или дроби, которые в сумме дают целое число, что упрощает вычисления.

Например, в выражении $\frac{3}{11} + \frac{1}{4} + \frac{8}{11}$ удобно сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3}{11} + \frac{1}{4} + \frac{8}{11} = (\frac{3}{11} + \frac{8}{11}) + \frac{1}{4} = \frac{11}{11} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Здесь был применен сначала переместительный закон (чтобы поставить $\frac{8}{11}$ рядом с $\frac{3}{11}$), а затем сочетательный (чтобы сгруппировать их).

Ответ: В примере 4, скорее всего, были использованы переместительный и сочетательный законы сложения для удобства вычислений.

Решение 3.

Решение 4.