Номер 2.145, страница 63, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 9. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю - номер 2.145, страница 63.

Условие.

2.145 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) 965, 2150 и 11650;

б) 3263, 7147 и 4155;

в) 1115, 712 и 3760;

г) 71108, 2372 и 4790;

Решение 1.

2.145

а) $\frac{9}{65}; \frac{21}{50} \mathrm{и} \frac{11}{650}$

$$\begin{gathered} \text{НОК (65; 20; 650) = 2 · 5 · 5 · 13 = 650} \\ \frac{9}{65} = \frac{9 · 10}{65 · 10} = \frac{90}{650} \\ \frac{21}{50} = \frac{21 · 13}{50 · 13} = \frac{273}{650} \\ \frac{11}{650} =\frac{11}{650} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{90}{650}; \frac{273}{650} \mathrm{и} \frac{11}{650} \end{gathered}$$

б) $\frac{32}{63}; \frac{7}{147} \mathrm{и} \frac{41}{55}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (63; 147; 55) = 3 · 7 · 7 · 3 · 5 · 11 = 24255 \\ \frac{32}{63} = \frac{32 · 7 · 5 · 11}{24255} = \frac{12320}{24255} \\ \frac{7}{147} = \frac{7 · 3 · 5 · 11}{24255} = \frac{1155}{24255} \\ \frac{41}{55} = \frac{41 · 3 · 7 · 7 · 3}{24255} = \frac{18081}{24255} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{12320}{24255}; \frac{1155}{24255} \mathrm{и} \frac{18081}{24255}. \end{gathered}$$

в) $\frac{11}{15} ; \frac{7}{12} \mathrm{и} \frac{37}{60}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (15; 12; 60) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 \\ \frac{11}{15} = \frac{11 · 2 · 2}{60} = \frac{44}{60} \\ \frac{7}{12} = \frac{7 · 5 }{60} = \frac{35}{60} \\ \frac{37}{60} = \frac{37}{60} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{44}{60}; \frac{35}{60} \mathrm{и} \frac{37}{60}. \end{gathered}$$

г) $\frac{71}{108}; \frac{23}{72} \mathrm{и} \frac{47}{90}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК} (108; 72; 90) = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 2 · 5 = 1080 \\ \frac{71}{108} = \frac{71 · 10}{1080} = \frac{710}{1080} \\ \frac{23}{82} = \frac{23 · 3 · 5}{1089} = \frac{345}{1080} \\ \frac{47}{90} = \frac{47 · 2 · 3 · 3}{1080} = \frac{564}{1080} \\ \mathrm{Ответ}: \frac{710}{1080}; \frac{345}{1080} \mathrm{и} \frac{564}{1080}. \end{gathered}$$

Решение 2.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{9}{65}$, $\frac{21}{50}$ и $\frac{11}{650}$ к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 65, 50 и 650.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$65 = 5 \cdot 13$

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

$650 = 10 \cdot 65 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 13) = 2 \cdot 5^2 \cdot 13$

2. Найдем НОК знаменателей. Для этого возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

НОК(65, 50, 650) = $2^1 \cdot 5^2 \cdot 13^1 = 2 \cdot 25 \cdot 13 = 650$.

Итак, наименьший общий знаменатель равен 650.

3. Приведем дроби к знаменателю 650. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножим на дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{9}{65}$ дополнительный множитель равен $650 \div 65 = 10$.

$\frac{9}{65} = \frac{9 \cdot 10}{65 \cdot 10} = \frac{90}{650}$

Для дроби $\frac{21}{50}$ дополнительный множитель равен $650 \div 50 = 13$.

$\frac{21}{50} = \frac{21 \cdot 13}{50 \cdot 13} = \frac{273}{650}$

Дробь $\frac{11}{650}$ уже имеет знаменатель 650, поэтому ее оставляем без изменений.

Ответ: $\frac{90}{650}, \frac{273}{650}, \frac{11}{650}$.

б)

Приведем дроби $\frac{32}{63}$, $\frac{7}{147}$ и $\frac{41}{55}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 63, 147 и 55.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

$147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$

$55 = 5 \cdot 11$

2. Найдем НОК знаменателей:

НОК(63, 147, 55) = $3^2 \cdot 7^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 9 \cdot 49 \cdot 5 \cdot 11 = 441 \cdot 55 = 24255$.

НОЗ равен 24255.

3. Приведем дроби к знаменателю 24255:

Для дроби $\frac{32}{63}$ дополнительный множитель: $24255 \div 63 = 385$.

$\frac{32}{63} = \frac{32 \cdot 385}{63 \cdot 385} = \frac{12320}{24255}$

Для дроби $\frac{7}{147}$ дополнительный множитель: $24255 \div 147 = 165$.

$\frac{7}{147} = \frac{7 \cdot 165}{147 \cdot 165} = \frac{1155}{24255}$

Для дроби $\frac{41}{55}$ дополнительный множитель: $24255 \div 55 = 441$.

$\frac{41}{55} = \frac{41 \cdot 441}{55 \cdot 441} = \frac{18081}{24255}$

Ответ: $\frac{12320}{24255}, \frac{1155}{24255}, \frac{18081}{24255}$.

в)

Приведем дроби $\frac{11}{15}$, $\frac{7}{12}$ и $\frac{37}{60}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 15, 12 и 60.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$60 = 10 \cdot 6 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Можно заметить, что 60 делится и на 15 ($60 = 15 \cdot 4$), и на 12 ($60 = 12 \cdot 5$), поэтому 60 является наименьшим общим кратным.

НОК(15, 12, 60) = 60.

НОЗ равен 60.

2. Приведем дроби к знаменателю 60:

Для дроби $\frac{11}{15}$ дополнительный множитель: $60 \div 15 = 4$.

$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$

Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$.

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$

Дробь $\frac{37}{60}$ уже имеет знаменатель 60.

Ответ: $\frac{44}{60}, \frac{35}{60}, \frac{37}{60}$.

г)

Приведем дроби $\frac{71}{108}$, $\frac{23}{72}$ и $\frac{47}{90}$ к НОЗ. Найдем НОК знаменателей 108, 72 и 90.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

$90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

2. Найдем НОК знаменателей:

НОК(108, 72, 90) = $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 27 \cdot 5 = 216 \cdot 5 = 1080$.

НОЗ равен 1080.

3. Приведем дроби к знаменателю 1080:

Для дроби $\frac{71}{108}$ дополнительный множитель: $1080 \div 108 = 10$.

$\frac{71}{108} = \frac{71 \cdot 10}{108 \cdot 10} = \frac{710}{1080}$

Для дроби $\frac{23}{72}$ дополнительный множитель: $1080 \div 72 = 15$.

$\frac{23}{72} = \frac{23 \cdot 15}{72 \cdot 15} = \frac{345}{1080}$

Для дроби $\frac{47}{90}$ дополнительный множитель: $1080 \div 90 = 12$.

$\frac{47}{90} = \frac{47 \cdot 12}{90 \cdot 12} = \frac{564}{1080}$

Ответ: $\frac{710}{1080}, \frac{345}{1080}, \frac{564}{1080}$.

Решение 3.

Решение 4.