Страница 72, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Установите соответствие между формулой и названием свойства действий с рациональными числами.

Проверочная работа

1.

А5, Б2, В1, Г3, Д4

Для установления соответствия проанализируем каждую формулу и сопоставим её с названием соответствующего свойства действий с рациональными числами.

А. Формула $a + b = b + a$ гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это переместительное (или коммутативное) свойство сложения. В списке свойств оно указано под номером 5.

Ответ: 5.

Б. Формула $a + (b + c) = (a + b) + c$ показывает, что при сложении трех чисел неважно, в каком порядке группировать слагаемые для вычисления. Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а затем к полученной сумме прибавить второе слагаемое. Это сочетательное (или ассоциативное) свойство сложения. В списке свойств оно указано под номером 2.

Ответ: 2.

В. Формула $(a + b) \cdot c = ac + bc$ демонстрирует правило умножения суммы на число. Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Это распределительное (или дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения. В списке свойств оно указано под номером 1.

Ответ: 1.

Г. Формула $a \cdot b = b \cdot a$ гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Это переместительное (или коммутативное) свойство умножения. В списке свойств оно указано под номером 3.

Ответ: 3.

Д. Формула $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ показывает, что при умножении трех чисел неважно, в каком порядке группировать множители. Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй множитель. Это сочетательное (или ассоциативное) свойство умножения. В списке свойств оно указано под номером 4.

Ответ: 4.

Итоговое соответствие:

• А – 5
• Б – 2
• В – 1
• Г – 3
• Д – 4

2. Вычислите удобным способом:

а) 23 · (–6) + 27 · (–6);
б) –116 · 6 – 116 · 9 – 116 · 3;
в) – 417 + 4,8 – 667.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 23 · (– 6) + 27 · (– 6) = (23 + 27) \times \\ \times (– 6) = 50 · (– 6) = – 300 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} - 1\frac{1}{6} · 6 - 1\frac{1}{6} · 9 - 1\frac{1}{6} · 3 = \\ = -1\frac{1}{6} · \left(6 + 9 + 3\right) = -\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} ·\stackrel{3}{ \cancel{18}}= \\ =-\frac{7}{1} · 3 = -21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -4\frac{1}{7} + 4,8 - 6\frac{6}{7} = \left(-4\frac{1}{7} - 6\frac{6}{7}\right) + \\ + 4,8 = -10\frac{7}{7} + 4,8 = -11 + 4,8 = \\ = -(11 - 4,8) =- 6,2 \end{gathered}$$

а) $23 \cdot (-6) + 27 \cdot (-6)$

Для удобного вычисления воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, вынеся общий множитель $(-6)$ за скобки.

$23 \cdot (-6) + 27 \cdot (-6) = (23 + 27) \cdot (-6)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$23 + 27 = 50$

Теперь умножим полученную сумму на общий множитель:

$50 \cdot (-6) = -300$

Ответ: $-300$

б) $-1\frac{1}{6} \cdot 6 - 1\frac{1}{6} \cdot 9 - 1\frac{1}{6} \cdot 3$

В этом выражении также удобно вынести общий множитель $-1\frac{1}{6}$ за скобки.

$-1\frac{1}{6} \cdot 6 - 1\frac{1}{6} \cdot 9 - 1\frac{1}{6} \cdot 3 = -1\frac{1}{6} \cdot (6 + 9 + 3)$

Вычислим сумму чисел в скобках:

$6 + 9 + 3 = 18$

Далее, чтобы умножить смешанное число на 18, представим $-1\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби:

$-1\frac{1}{6} = -(\frac{1 \cdot 6 + 1}{6}) = -\frac{7}{6}$

Теперь выполним умножение:

$-\frac{7}{6} \cdot 18 = -\frac{7 \cdot 18}{6} = -7 \cdot (\frac{18}{6}) = -7 \cdot 3 = -21$

Ответ: $-21$

в) $-4\frac{1}{7} + 4,8 - 6\frac{6}{7}$

Удобнее всего сначала сгруппировать и сложить слагаемые, представленные в виде смешанных чисел, так как у них одинаковая дробная часть (знаменатель).

$(-4\frac{1}{7} - 6\frac{6}{7}) + 4,8$

Сложим два отрицательных смешанных числа:

$-4\frac{1}{7} - 6\frac{6}{7} = -(4\frac{1}{7} + 6\frac{6}{7}) = -((4+6) + (\frac{1}{7} + \frac{6}{7})) = -(10 + \frac{7}{7}) = -(10 + 1) = -11$

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив полученное значение:

$-11 + 4,8$

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее и поставить знак большего по модулю числа.

$| -11 | > | 4,8 |$, поэтому результат будет отрицательным.

$11 - 4,8 = 6,2$

Следовательно, $-11 + 4,8 = -6,2$.

Ответ: $-6,2$

3. Сравните значения выражений:

а) –3,75 · 0 и 24 · 1; б) –378 · 12 и –12 · 378.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} -3,75 · 0 < 24 · 1 \\ -3,75 · 0 = 0 \\ 24 · 1 = 1 \\ 0 < 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} -3\frac{7}{8} · 12 = -12 · 3\frac{7}{8} \\ -3\frac{7}{8} · 12 = -\left(3\frac{7}{8} · 12\right) =-12 ·3\frac{7}{8} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сравнить значения выражений $-3,75 \cdot 0$ и $24 \cdot 1$, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Вычислим значение первого выражения. Согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль равно нулю.
$-3,75 \cdot 0 = 0$

2. Вычислим значение второго выражения. Согласно свойству умножения, произведение любого числа на единицу равно самому этому числу.
$24 \cdot 1 = 24$

3. Сравним полученные результаты: $0$ и $24$.
Так как $0$ меньше $24$, то и значение первого выражения меньше значения второго.
$0 < 24$
Следовательно, $-3,75 \cdot 0 < 24 \cdot 1$.

Ответ: $-3,75 \cdot 0 < 24 \cdot 1$

б)

Чтобы сравнить значения выражений $-3\frac{7}{8} \cdot 12$ и $-12 \cdot 3\frac{7}{8}$, можно использовать переместительное (коммутативное) свойство умножения, которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).

Рассмотрим оба выражения:
Первое выражение: $-3\frac{7}{8} \cdot 12$.
Второе выражение: $-12 \cdot 3\frac{7}{8}$.

В обоих случаях мы перемножаем три элемента: знак минус (или число $-1$), число $3\frac{7}{8}$ и число $12$.
Согласно переместительному свойству умножения, $3\frac{7}{8} \cdot 12 = 12 \cdot 3\frac{7}{8}$.
Поскольку произведения положительных чисел равны, то и произведения, в которых один из множителей отрицательный, также будут равны.
$- (3\frac{7}{8} \cdot 12) = - (12 \cdot 3\frac{7}{8})$
Таким образом, значения данных выражений равны.

Проверим вычислением:

1. Переведем смешанное число $3\frac{7}{8}$ в неправильную дробь:
$3\frac{7}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{31}{8}$

2. Вычислим первое выражение:
$-3\frac{7}{8} \cdot 12 = -\frac{31}{8} \cdot 12 = -\frac{31 \cdot 12}{8} = -\frac{31 \cdot 3}{2} = -\frac{93}{2} = -46,5$

3. Вычислим второе выражение:
$-12 \cdot 3\frac{7}{8} = -12 \cdot \frac{31}{8} = -\frac{12 \cdot 31}{8} = -\frac{3 \cdot 31}{2} = -\frac{93}{2} = -46,5$

Результаты вычислений равны, что подтверждает вывод, сделанный на основе свойства умножения.

Ответ: $-3\frac{7}{8} \cdot 12 = -12 \cdot 3\frac{7}{8}$

4. Составьте числовое выражение и вычислите его значение: к сумме чисел –18,4 и 3,16 прибавить число 12,47.

4.

$$\begin{gathered} (-18,4 + 3,16) + 12,47 = -(18,4 \stackrel{1}{–} 3,16) + 12,47 = \\ =-15,24 + 12,47 = -(15,24 \stackrel{2}{–} 12,47) = -2,77 \end{gathered}$$

1.

2.

к сумме чисел -18,4 и 3,16 прибавить число 12,47.

Согласно условию задачи, нам необходимо составить числовое выражение и найти его значение.

1. Сначала запишем "сумму чисел -18,4 и 3,16". Это выглядит так:

$ -18,4 + 3,16 $

2. Затем к этой сумме нужно "прибавить число 12,47". Чтобы сохранить порядок действий, сумму первых двух чисел возьмем в скобки. Получаем итоговое числовое выражение:

$ (-18,4 + 3,16) + 12,47 $

Теперь вычислим значение этого выражения по шагам.

Шаг 1: Вычислим сумму в скобках.

$ -18,4 + 3,16 $

При сложении чисел с разными знаками, мы из модуля большего числа вычитаем модуль меньшего и ставим знак числа с большим модулем.

$ |-18,4| > |3,16| $, поэтому результат будет отрицательным.

$ 18,4 - 3,16 = 15,24 $

Таким образом, $ -18,4 + 3,16 = -15,24 $.

Шаг 2: К результату первого действия прибавим число 12,47.

$ -15,24 + 12,47 $

Снова складываем числа с разными знаками. $ |-15,24| > |12,47| $, значит, результат будет отрицательным.

$ 15,24 - 12,47 = 2,77 $

Следовательно, $ -15,24 + 12,47 = -2,77 $.

Ответ: -2,77

5. Запишите число в виде дроби с положительным знаменателем:

а) 23–24; б) –12–25; в) – 33–35; г) – –45–49.

5.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{23}{-24} = \frac{-23}{24}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{-12}{-25} = \frac{12}{25}$

$\mathit{в}\mathbf{)} -\frac{33}{-35} = \frac{-33}{-35} = \frac{33}{35}$

$\mathit{г}\mathbf{)} -\frac{-45}{-49} = \frac{-45}{49}$

Чтобы записать число в виде дроби с положительным знаменателем, необходимо преобразовать исходную дробь так, чтобы ее знаменатель стал положительным числом, не изменяя при этом значения самой дроби. Для этого используется основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число. В данном случае, чтобы изменить знак знаменателя с отрицательного на положительный, мы будем умножать и числитель, и знаменатель на $-1$.

а) $\frac{23}{-24}$

В данной дроби знаменатель $-24$ является отрицательным. Чтобы сделать его положительным, умножим числитель и знаменатель дроби на $-1$:

$\frac{23}{-24} = \frac{23 \cdot (-1)}{-24 \cdot (-1)} = \frac{-23}{24}$

Знак минус можно вынести перед дробью: $\frac{-23}{24} = -\frac{23}{24}$. Знаменатель $24$ — положительный.

Ответ: $-\frac{23}{24}$.

б) $\frac{-12}{-25}$

В этой дроби и числитель, и знаменатель отрицательны. Чтобы знаменатель стал положительным, умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$\frac{-12}{-25} = \frac{-12 \cdot (-1)}{-25 \cdot (-1)} = \frac{12}{25}$

Мы получили дробь с положительным знаменателем $25$.

Ответ: $\frac{12}{25}$.

в) $-\frac{33}{-35}$

Данное выражение представляет собой число, противоположное значению дроби $\frac{33}{-35}$. Сначала преобразуем саму дробь, чтобы ее знаменатель стал положительным:

$\frac{33}{-35} = \frac{33 \cdot (-1)}{-35 \cdot (-1)} = \frac{-33}{35}$

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив преобразованную дробь:

$-\frac{33}{-35} = -(\frac{-33}{35})$

Минус перед скобкой означает взятие противоположного числа. Противоположным к $-\frac{33}{35}$ является $\frac{33}{35}$.

$-(\frac{-33}{35}) = \frac{33}{35}$

Мы получили дробь с положительным знаменателем $35$.

Ответ: $\frac{33}{35}$.

г) $-\frac{-45}{-49}$

Аналогично предыдущему пункту, сначала рассмотрим дробь $\frac{-45}{-49}$. Так как деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное, то:

$\frac{-45}{-49} = \frac{45}{49}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$-\frac{-45}{-49} = -(\frac{45}{49})$

Знак минус перед дробью можно отнести к числителю:

$-(\frac{45}{49}) = -\frac{45}{49}$

В результате мы получили дробь с положительным знаменателем $49$.

Ответ: $-\frac{45}{49}$.

6. Найдите значение выражения (– 512 + 1116) : (– 1372).

6.

$$\begin{gathered} \left({-\frac{5}{12}}^{\overline{)·4}} + {\frac{11}{16}}^{\overline{)·3}}\right) : \left(-\frac{13}{72}\right) = \left(-\frac{20}{48} + \frac{33}{48}\right) · \left(-\frac{72}{13}\right) = \\ = \left(\frac{33}{48} - \frac{20}{38}\right) · \left(-\frac{72}{13}\right) =\frac{\cancel{13}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{48}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{72}}}}{\cancel{13}}\right) = \\ = \frac{1}{2} · \left(-\frac{3}{1}\right) = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

Чтобы найти значение выражения $\left(-\frac{5}{12} + \frac{11}{16}\right) : \left(-\frac{13}{72}\right)$, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала действие в скобках, а затем деление.

1. Выполним сложение дробей в скобках: $\left(-\frac{5}{12} + \frac{11}{16}\right)$.

Для сложения дробей с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 12 и 16.

Разложим числа на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$16 = 2^4$

НОК(12, 16) будет равно произведению всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 48:

$-\frac{5}{12} = -\frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = -\frac{20}{48}$

$\frac{11}{16} = \frac{11 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{33}{48}$

Теперь сложим полученные дроби:

$-\frac{20}{48} + \frac{33}{48} = \frac{-20+33}{48} = \frac{13}{48}$

2. Теперь выполним деление: $\frac{13}{48} : \left(-\frac{13}{72}\right)$.

Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь (перевернутую). При этом частное от деления положительного числа на отрицательное будет отрицательным.

$\frac{13}{48} : \left(-\frac{13}{72}\right) = -\left(\frac{13}{48} \cdot \frac{72}{13}\right)$

При умножении дробей можно сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой. Сократим 13 в числителе и 13 в знаменателе:

$-\left(\frac{1}{48} \cdot \frac{72}{1}\right) = -\frac{72}{48}$

Теперь сократим дробь $-\frac{72}{48}$. Наибольший общий делитель для 72 и 48 равен 24. Разделим числитель и знаменатель на 24:

$-\frac{72 \div 24}{48 \div 24} = -\frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$-\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$.