Страница 78, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.256. Два человека вышли на остановке из автобуса и отправились в противоположных направлениях в свои селения, расстояние между которыми 10,6 км. Через 1,2 ч один из них, двигаясь со скоростью 4,5 км/ч, достиг селения, а другому оставалось ещё пройти 0,4 км. Найдите его скорость.

2.256

Расстояние – 10,6 км;

Скорость первого - 4,5 км/ч

Время – 1,2 ч

Осталось пройти второму – 0,4 км.

Скорость второго - ? км/ч.

1) 4,5 • 1,2 = 5,4 (км) – расстояние первого;

2) 10,6 – 5,4 – 0,4 = 4,8 (км) – расстояние второго;

3) 4,8 : 1,2 = 48 : 12 = 4 (км/ч) – скорость второго.

Ответ: 4 км/ч.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем расстояние, которое прошел первый человек. Он шел 1,2 часа со скоростью 4,5 км/ч и достиг своего селения. Расстояние ($S_1$) вычисляется по формуле $S = v \times t$.
$S_1 = 4,5 \, \text{км/ч} \times 1,2 \, \text{ч} = 5,4 \, \text{км}$.
Таким образом, расстояние от автобусной остановки до селения первого человека составляет 5,4 км.

2. Определим расстояние от автобусной остановки до селения второго человека. Общее расстояние между селениями составляет 10,6 км. Так как люди пошли в противоположных направлениях, это расстояние равно сумме расстояний от остановки до каждого селения.
Расстояние до селения второго человека ($S_{до\_селения\_2}$) равно:
$S_{до\_селения\_2} = 10,6 \, \text{км} - S_1 = 10,6 \, \text{км} - 5,4 \, \text{км} = 5,2 \, \text{км}$.

3. Вычислим расстояние, которое прошел второй человек за 1,2 часа. Известно, что ему осталось пройти 0,4 км до своего селения, расстояние до которого 5,2 км.
Расстояние, которое он прошел ($S_2$), равно:
$S_2 = S_{до\_селения\_2} - 0,4 \, \text{км} = 5,2 \, \text{км} - 0,4 \, \text{км} = 4,8 \, \text{км}$.

4. Теперь найдем скорость второго человека ($v_2$). Он прошел расстояние 4,8 км за 1,2 часа. Скорость вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$.
$v_2 = \frac{4,8 \, \text{км}}{1,2 \, \text{ч}} = 4 \, \text{км/ч}$.

Ответ: 4 км/ч.

2.257. Выполните действия:

а) (3,75 : 1,25 – 0,75) : 1,5 + 0,75;

б) (14 – 12,725) · 12,4 – 2,6 : (11,2 – 7,95).

2.257

$\mathbf{а}\mathbf{)} (3,75 \stackrel{1}{:} 1,25 \stackrel{2}{–} 0,75) \stackrel{3}{:} 1,5 \stackrel{4}{+} 0,75 = 2,25$

1) 3,75 : 1,25 = 375 : 125 = 3

2) 3 – 0,75 = 2,25

3) 2,25 : 1,5 = 22,5 : 15 = 1,5

4) 1,5 + 0,75 = 2,25

$\mathbf{б}\mathbf{)} (14 \stackrel{1}{–} 12,725) \stackrel{3}{·} 12,4 \stackrel{5}{–} 2,6 \stackrel{4}{:} (11,2 \stackrel{2}{–} 7,95) = 15,01$

1.	2.
3.	4.
5.

а) $(3,75 : 1,25 - 0,75) : 1,5 + 0,75$

Решим данный пример по действиям, соблюдая их правильный порядок. Сначала выполняются действия в скобках (в них сначала деление, затем вычитание), после этого деление за скобками, и в последнюю очередь сложение.

1. Первое действие — деление в скобках:

$3,75 : 1,25 = \frac{3,75}{1,25} = \frac{375}{125} = 3$

2. Второе действие — вычитание в скобках:

$3 - 0,75 = 2,25$

3. Третье действие — деление результата, полученного в скобках, на $1,5$:

$2,25 : 1,5 = \frac{2,25}{1,5} = \frac{22,5}{15} = 1,5$

4. Четвертое действие — сложение:

$1,5 + 0,75 = 2,25$

Ответ: $2,25$.

б) $(14 - 12,725) \cdot 12,4 - 2,6 : (11,2 - 7,95)$

Решим по действиям. Порядок выполнения: сначала действия в обеих скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце — вычитание.

1. Первое действие — вычитание в первых скобках:

$14 - 12,725 = 1,275$

2. Второе действие — вычитание во вторых скобках:

$11,2 - 7,95 = 11,20 - 7,95 = 3,25$

3. После выполнения действий в скобках выражение принимает вид: $1,275 \cdot 12,4 - 2,6 : 3,25$. Следующим действием выполним умножение:

$1,275 \cdot 12,4 = 15,81$

4. Четвертое действие — деление:

$2,6 : 3,25 = \frac{2,6}{3,25} = \frac{260}{325} = \frac{260 \div 65}{325 \div 65} = \frac{4}{5} = 0,8$

5. Пятое и последнее действие — вычитание:

$15,81 - 0,8 = 15,81 - 0,80 = 15,01$

Ответ: $15,01$.

2.258. Решите уравнение:

а) (х – 3,6) · 8,4 = 53,76;

б) 6,5 · (4,3 – у) = 20,8;

в) 21,4 – (3,4t + 2,1t) = 14,8;

г) 14,22 – (4,3k – 1,8k) = 12,47.

2.258

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} (х – 3,6) · 8,4 = 53,76; \\ х – 3,6 = 53,76 : 8,4; \\ х – 3,6 = 537,6 : 84; \\ х – 3,6 = 6,4; \\ х = 6,4 + 3,6; \\ х = 10. \\ \mathrm{Ответ}: 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 6,5 · (4,3 – у) = 20,8; \\ 4,3 – у = 20,8 : 6,5; \\ 4,3 – у = 208 : 65; \\ 4,3 – у = 3,2; \\ у = 4,3 – 3,2; \\ у = 1,1. \\ \mathrm{Ответ}: 1,1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }21,4 – (3,4t + 2,1t) = 14,8; \\ 21,4 – 5,5t = 14,8; \\ 5,5t = 21,4 – 14,8; \\ 5,5t = 6,6; \\ t = 6,6 : 5,5; \\ t = 66 : 55; \\ t = 1,2. \\ \mathrm{Ответ}: 1,2. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }14,22 – (4,3k – 1,8k) = 12,47; \\ 14,22 – 2,5k = 12,47; \\ 2,5k = 14,22 – 12,47; \\ 2,5k = 1,75; \\ k = 1,75 : 2,5; \\ k = 17,5 : 25; \\ k = 0,7. \\ \mathrm{Ответ}: 0,7. \end{gathered}$$

а) $(x - 3,6) \cdot 8,4 = 53,76$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 3,6)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение $53,76$ разделить на известный множитель $8,4$.
$x - 3,6 = 53,76 : 8,4$
$x - 3,6 = 6,4$

Теперь в уравнении $x - 3,6 = 6,4$ переменная $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $6,4$ прибавить вычитаемое $3,6$.
$x = 6,4 + 3,6$
$x = 10$

Ответ: $10$.

б) $6,5 \cdot (4,3 - y) = 20,8$

В этом уравнении выражение в скобках $(4,3 - y)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение $20,8$ на известный множитель $6,5$.
$4,3 - y = 20,8 : 6,5$
$4,3 - y = 3,2$

Теперь переменная $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $4,3$ вычесть разность $3,2$.
$y = 4,3 - 3,2$
$y = 1,1$

Ответ: $1,1$.

в) $21,4 - (3,4t + 2,1t) = 14,8$

Сначала упростим выражение в скобках, выполнив сложение подобных слагаемых.
$3,4t + 2,1t = (3,4 + 2,1)t = 5,5t$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$21,4 - 5,5t = 14,8$

Теперь выражение $5,5t$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $21,4$ вычесть разность $14,8$.
$5,5t = 21,4 - 14,8$
$5,5t = 6,6$

Чтобы найти неизвестный множитель $t$, разделим произведение $6,6$ на известный множитель $5,5$.
$t = 6,6 : 5,5$
$t = 1,2$

Ответ: $1,2$.

г) $14,22 - (4,3k - 1,8k) = 12,47$

В первую очередь упростим выражение в скобках, выполнив вычитание подобных слагаемых.
$4,3k - 1,8k = (4,3 - 1,8)k = 2,5k$

Подставим результат в исходное уравнение:
$14,22 - 2,5k = 12,47$

Выражение $2,5k$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, из уменьшаемого $14,22$ вычтем разность $12,47$.
$2,5k = 14,22 - 12,47$
$2,5k = 1,75$

Теперь найдем неизвестный множитель $k$, разделив произведение $1,75$ на известный множитель $2,5$.
$k = 1,75 : 2,5$
$k = 0,7$

Ответ: $0,7$.

1. Восстановите алгоритм сложения смешанных чисел, записав в нужном порядке номера действий:

1) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить её к полученной целой части;

2) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части чисел;

3) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей.

Проверочная работа № 1

1.

Ответ: 3; 2; 1.

Чтобы восстановить алгоритм сложения смешанных чисел, необходимо определить правильную логическую последовательность предложенных действий. Проанализируем каждый шаг.

Сложение смешанных чисел вида $A\frac{b}{c}$ и $D\frac{e}{f}$ предполагает сложение целых частей ($A+D$) и дробных частей ($\frac{b}{c}+\frac{e}{f}$) по отдельности.

1. Для того чтобы сложить дробные части, они должны иметь общий знаменатель. Это обязательное условие, поэтому данный шаг должен быть первым. Он соответствует пункту 2) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части чисел.

2. После того как дроби приведены к общему знаменателю, можно выполнить само сложение. На этом этапе складываются целые части с целыми, а дробные с дробными. Это действие описано в пункте 3) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей. Это является логически вторым шагом.

3. После выполнения сложения полученный результат может нуждаться в упрощении. Дробная часть может оказаться неправильной (например, $5\frac{7}{4}$) или сократимой (например, $5\frac{2}{4}$). Заключительный шаг — это приведение результата к стандартному, конечному виду. Это действие описано в пункте 1) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить её к полученной целой части.

Таким образом, верная последовательность действий: сначала выполняется действие 2, затем действие 3, и в самом конце — действие 1.

Ответ: 2, 3, 1.

2. Запишите выражение и найдите его значение:

а) к сумме чисел 113 и 519 прибавить 4524;

б) к 1265 прибавить сумму чисел 6110 и 3325.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \left({1\frac{1}{3}}^{\overline{)·24}}+{5\frac{1}{9}}^{\overline{)·8}}\right)+{4\frac{5}{24}}^{\overline{)·3}}=\left(1\frac{24}{72}+5\frac{8}{72}\right)+4\frac{15}{72}= \\ =\left(1+5+4\right)+\left(\frac{24}{72}+\frac{8}{72}+\frac{15}{72}\right)=10\frac{47}{72}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} 1\frac{2}{65}+\left({6\frac{1}{10}}^{\overline{)·5}}+{3\frac{3}{25}}^{\overline{)·2}}\right)=1\frac{2}{65}+\left(6\frac{5}{50}+3\frac{6}{50}\right)= \\ ={1\frac{2}{65}}^{\overline{)·10}}+{9\frac{11}{50}}^{\overline{)·13}}=1\frac{20}{650}+9\frac{143}{650}=10\frac{163}{650} \end{gathered}$$

а)

Согласно условию, нам нужно составить выражение, в котором к сумме чисел $1\frac{1}{3}$ и $5\frac{1}{9}$ прибавляется число $4\frac{5}{24}$. Запишем это выражение:

$(1\frac{1}{3} + 5\frac{1}{9}) + 4\frac{5}{24}$

Для нахождения значения будем решать по действиям.

1. Найдем сумму в скобках: $1\frac{1}{3} + 5\frac{1}{9}$.
Можно сложить целые и дробные части отдельно: $(1 + 5) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{9})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 9. Для этого дробь $\frac{1}{3}$ домножим на 3:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$.
Теперь сложим дробные части: $\frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Сложим целые части: $1 + 5 = 6$.
Результат первого действия: $6\frac{4}{9}$.

2. К результату первого действия прибавим $4\frac{5}{24}$: $6\frac{4}{9} + 4\frac{5}{24}$.
Снова сложим отдельно целые и дробные части: $(6 + 4) + (\frac{4}{9} + \frac{5}{24})$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 24. Он равен 72.
Приведем дроби к знаменателю 72:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{32}{72}$.
$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{15}{72}$.
Сложим дробные части: $\frac{32}{72} + \frac{15}{72} = \frac{47}{72}$.
Сложим целые части: $6 + 4 = 10$.
Итоговый результат: $10\frac{47}{72}$.

Ответ: $10\frac{47}{72}$.

б)

Согласно условию, нам нужно к числу $1\frac{2}{65}$ прибавить сумму чисел $6\frac{1}{10}$ и $3\frac{3}{25}$. Запишем это выражение:

$1\frac{2}{65} + (6\frac{1}{10} + 3\frac{3}{25})$

Для нахождения значения будем решать по действиям.

1. Найдем сумму в скобках: $6\frac{1}{10} + 3\frac{3}{25}$.
Сложим целые и дробные части отдельно: $(6 + 3) + (\frac{1}{10} + \frac{3}{25})$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 25. Он равен 50.
Приведем дроби к знаменателю 50:
$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{50}$.
$\frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{6}{50}$.
Сложим дробные части: $\frac{5}{50} + \frac{6}{50} = \frac{11}{50}$.
Сложим целые части: $6 + 3 = 9$.
Результат первого действия: $9\frac{11}{50}$.

2. К числу $1\frac{2}{65}$ прибавим результат первого действия: $1\frac{2}{65} + 9\frac{11}{50}$.
Сложим отдельно целые и дробные части: $(1 + 9) + (\frac{2}{65} + \frac{11}{50})$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 65 и 50. Он равен 650.
Приведем дроби к знаменателю 650:
$\frac{2}{65} = \frac{2 \cdot 10}{65 \cdot 10} = \frac{20}{650}$.
$\frac{11}{50} = \frac{11 \cdot 13}{50 \cdot 13} = \frac{143}{650}$.
Сложим дробные части: $\frac{20}{650} + \frac{143}{650} = \frac{163}{650}$.
Сложим целые части: $1 + 9 = 10$.
Итоговый результат: $10\frac{163}{650}$.

Ответ: $10\frac{163}{650}$.

3. Найдите периметр треугольника АВС, если $\mathit{А}\mathit{В}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{5}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathit{с}\mathit{м}\mathbf{,}$ $\mathit{В}\mathit{С}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{6}\frac{\mathbf{1}\mathbf{ }}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathit{с}\mathit{м}$ и $\mathit{А}\mathit{С}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathit{с}\mathit{м}\mathbf{.}\mathbf{ }$

3.

AB = $5\frac{1}{12}$ см; BC = $6\frac{1}{5}$ см; AC = $4\frac{1}{6}$см

P - ?.

$$\begin{gathered} \mathrm{Р} ={ 5\frac{1}{12}}^{\overline{)·5}}+{6\frac{1}{5}}^{\overline{)·12}}+{4\frac{1}{6}}^{\overline{)·10}}=5\frac{5}{60}+6\frac{12}{60}+4\frac{10}{60}= \\ =\left(5 + 6 + 4 \right)+\left(\frac{5}{60}+\frac{12}{60}+\frac{10}{60}\right)=15\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{60}}}}=15\frac{9}{20} \left(с\mathrm{м}\right) \end{gathered}$$

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра треугольника $ABC$ нужно сложить длины его сторон $AB$, $BC$ и $AC$.

Формула для расчета периметра ($P$):

$P = AB + BC + AC$

Подставим в формулу заданные значения длин сторон:

$P = 5\frac{1}{12} + 6\frac{1}{5} + 4\frac{1}{6}$

Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить отдельно их целые и дробные части.

1. Сложим целые части:

$5 + 6 + 4 = 15$

2. Сложим дробные части:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$

Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 12, 5 и 6.

$НОК(12, 5, 6) = 60$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60:

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12}{60}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{5}{60} + \frac{12}{60} + \frac{10}{60} = \frac{5 + 12 + 10}{60} = \frac{27}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{27}{60} = \frac{27 \div 3}{60 \div 3} = \frac{9}{20}$

3. Сложим результат сложения целых частей и результат сложения дробных частей:

$P = 15 + \frac{9}{20} = 15\frac{9}{20}$

Периметр треугольника $ABC$ равен $15\frac{9}{20}$ см.

Ответ: $15\frac{9}{20}$ см.

1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) к разности чисел 623 и 216 прибавить 3512;

б) из суммы чисел 1215 и 5730 вычесть 5130.

Проверочная работа № 2

1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \left({6\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}}-{2\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}}\right)+3\frac{5}{12}=\left(6\frac{8}{12}-2\frac{2}{12}\right)+3\frac{5}{12}= \\ =4\frac{6}{12}+3\frac{5}{12}=7\frac{11}{12}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \left({1\frac{2}{15}}^{\overline{)·2}}+5\frac{7}{30}\right)-5\frac{1}{30}=\left(1\frac{4}{30}+5\frac{7}{30}\right)-5\frac{1}{30}= \\ =6\frac{11}{30}-5\frac{1}{30}=1\underset{3}{\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{10}}}}{\cancel{30}}}=1\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

а) Согласно условию, нужно к разности чисел $6\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{6}$ прибавить число $3\frac{5}{12}$. Составим выражение:

$(6\frac{2}{3} - 2\frac{1}{6}) + 3\frac{5}{12}$

Решим выражение по действиям.

1. Найдем разность в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 равен 6.

$6\frac{2}{3} - 2\frac{1}{6} = 6\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 2\frac{1}{6} = 6\frac{4}{6} - 2\frac{1}{6}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(6-2) + (\frac{4}{6} - \frac{1}{6}) = 4 + \frac{3}{6} = 4\frac{3}{6}$

Сократим дробную часть: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Результат первого действия: $4\frac{1}{2}$.

2. К результату первого действия прибавим $3\frac{5}{12}$.

$4\frac{1}{2} + 3\frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 12 равен 12.

$4\frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} + 3\frac{5}{12} = 4\frac{6}{12} + 3\frac{5}{12}$

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$(4+3) + (\frac{6}{12} + \frac{5}{12}) = 7 + \frac{11}{12} = 7\frac{11}{12}$

Ответ: $7\frac{11}{12}$.

б) Согласно условию, нужно из суммы чисел $1\frac{2}{15}$ и $5\frac{7}{30}$ вычесть число $5\frac{1}{30}$. Составим выражение:

$(1\frac{2}{15} + 5\frac{7}{30}) - 5\frac{1}{30}$

Решим выражение по действиям.

1. Найдем сумму в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 30 равен 30.

$1\frac{2}{15} + 5\frac{7}{30} = 1\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} + 5\frac{7}{30} = 1\frac{4}{30} + 5\frac{7}{30}$

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$(1+5) + (\frac{4}{30} + \frac{7}{30}) = 6 + \frac{11}{30} = 6\frac{11}{30}$

2. Из результата первого действия вычтем $5\frac{1}{30}$.

$6\frac{11}{30} - 5\frac{1}{30}$

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$(6-5) + (\frac{11}{30} - \frac{1}{30}) = 1 + \frac{10}{30} = 1\frac{10}{30}$

Сократим дробную часть: $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$.

2. Решите уравнение и сделайте проверку:

а) х + 347 = 6221;

б) 5712 + х = 8516.

2.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }х + 3\frac{4}{7}=6\frac{2}{21}; \\ х = 6\frac{2}{21} - {3\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}}; \\ х = 6\frac{2}{21} - 3\frac{12}{21}; \\ х = 2 \frac{11}{21}. \\ \mathrm{Ответ}: 2 \frac{11}{21}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathrm{проверка}: 2\frac{11}{21}+{3\frac{4}{7}}^{\overline{)·3}}=6\frac{2}{21} \\ 2\frac{11}{21}+3\frac{12}{21}=6\frac{2}{21} \\ 5\frac{23}{21}=6\frac{2}{21} \\ 5 + 1\frac{2}{21}=6\frac{2}{21} \\ 6\frac{2}{21} = 6\frac{2}{21}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{7}{12}+ х =8\frac{5}{16}; \\ х ={ 8\frac{5}{16}}^{\overline{)·3}} - {5\frac{7}{12}}^{\overline{)·4}}; \\ х = 8\frac{15}{48} - 5\frac{28}{48}; \\ х = 7\frac{63}{48} - 5\frac{28}{48}; \\ х = 2\frac{35}{48}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{35}{48}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathrm{проверка}:{ 5\frac{7}{12}}^{\overline{)·4}}+2\frac{35}{48}=8\frac{5}{16} \\ 5\frac{28}{48}+2\frac{35}{48}=8\frac{5}{16} \\ 7\frac{63}{48}=8\frac{5}{16} \\ 7+ 1\frac{15}{48}=8\frac{5}{16} \\ 8\frac{5}{16}=8\frac{5}{16} \end{gathered}$$

а) $x + 3\frac{4}{7} = 6\frac{2}{21}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 6\frac{2}{21} - 3\frac{4}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 7 это 21. Дополнительный множитель для второй дроби равен $21 : 7 = 3$.

$x = 6\frac{2}{21} - 3\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

$x = 6\frac{2}{21} - 3\frac{12}{21}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{21}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{12}{21}$), займем единицу у целой части уменьшаемого.

$x = 5\frac{21+2}{21} - 3\frac{12}{21} = 5\frac{23}{21} - 3\frac{12}{21}$

Выполним вычитание целых и дробных частей по отдельности.

$x = (5 - 3) + (\frac{23}{21} - \frac{12}{21}) = 2 + \frac{11}{21} = 2\frac{11}{21}$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$2\frac{11}{21} + 3\frac{4}{7} = 6\frac{2}{21}$

Приведем дроби к общему знаменателю 21.

$2\frac{11}{21} + 3\frac{12}{21} = 5 + \frac{11+12}{21} = 5\frac{23}{21}$

Выделим целую часть из неправильной дроби: $5\frac{23}{21} = 5 + 1\frac{2}{21} = 6\frac{2}{21}$.

$6\frac{2}{21} = 6\frac{2}{21}$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x=2\frac{11}{21}$.

б) $5\frac{7}{12} + x = 8\frac{5}{16}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 8\frac{5}{16} - 5\frac{7}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное для 12 и 16. Разложим знаменатели на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. НОК(12, 16) = $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 48$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $48 : 16 = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $48 : 12 = 4$.

$x = 8\frac{5 \cdot 3}{16 \cdot 3} - 5\frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4}$

$x = 8\frac{15}{48} - 5\frac{28}{48}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{15}{48}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{28}{48}$), займем единицу у целой части уменьшаемого.

$x = 7\frac{48+15}{48} - 5\frac{28}{48} = 7\frac{63}{48} - 5\frac{28}{48}$

Выполним вычитание целых и дробных частей.

$x = (7 - 5) + (\frac{63}{48} - \frac{28}{48}) = 2 + \frac{35}{48} = 2\frac{35}{48}$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$5\frac{7}{12} + 2\frac{35}{48} = 8\frac{5}{16}$

Приведем дроби к общему знаменателю 48.

$5\frac{28}{48} + 2\frac{35}{48} = (5 + 2) + (\frac{28}{48} + \frac{35}{48}) = 7 + \frac{63}{48} = 7\frac{63}{48}$

Выделим целую часть из неправильной дроби и сократим: $7\frac{63}{48} = 7 + 1\frac{15}{48} = 8\frac{15}{48} = 8\frac{15:3}{48:3} = 8\frac{5}{16}$.

$8\frac{5}{16} = 8\frac{5}{16}$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x=2\frac{35}{48}$.

3. С поля площадью 25 га собрали 1052 ц пшеницы, а с поля площадью 30 га собрали 1463 ц пшеницы.

а) Найдите урожайность пшеницы на каждом поле.

б) На каком поле урожайность пшеницы выше? На сколько?

3.

а) $1) 1052 : 25 = \frac{1052}{25}=42\frac{2}{25}$(ц/га) – урожайность пшеницы на 1 поле;

$2) 1463 : 30 = \frac{1463}{30}=48\frac{23}{30}$(ц/га) – урожайность пшеницы на 2 поле;

Ответ: $42\frac{2}{25}$ ц/га; $48\frac{23}{30}$ ц/га.

б) $42\frac{2}{25}(\mathrm{ц}/\mathrm{га}) <48\frac{23}{30 }(\mathrm{ц}/\mathrm{га})$

${48\frac{23}{30}}^{\overline{)·5}}-{42\frac{2}{25}}^{\overline{)·6}}=48\frac{115}{150}-42\frac{12}{150}=6\frac{103}{150}$(ц/га) – выше урожайность на 2 поле.

Ответ: на 2 поле; на $6\frac{103}{150}$ ц/га.

а)

Урожайность — это отношение массы собранного урожая к площади, с которой он был собран. Она обычно измеряется в центнерах на гектар (ц/га).

1. Найдем урожайность пшеницы на первом поле.
Площадь поля: $25$ га.
Масса урожая: $1052$ ц.
Чтобы найти урожайность, разделим массу урожая на площадь поля:
$1052 \text{ ц} \div 25 \text{ га} = 42.08 \text{ ц/га}$

2. Найдем урожайность пшеницы на втором поле.
Площадь поля: $30$ га.
Масса урожая: $1463$ ц.
Чтобы найти урожайность, разделим массу урожая на площадь поля:
$1463 \text{ ц} \div 30 \text{ га} \approx 48.77 \text{ ц/га}$
(Точное значение: $1463 \div 30 = 48.7666...$, при округлении до сотых получаем $48.77$)

Ответ: урожайность пшеницы на первом поле составила $42.08$ ц/га, а на втором поле — примерно $48.77$ ц/га.

б)

1. Сравним урожайность на двух полях, чтобы определить, на каком она выше.
Урожайность первого поля: $42.08$ ц/га.
Урожайность второго поля: $\approx 48.77$ ц/га.
Сравнивая эти два значения: $48.77 > 42.08$.
Следовательно, урожайность на втором поле выше.

2. Найдем, на сколько урожайность на втором поле выше, чем на первом. Для этого вычтем из большей урожайности меньшую.
$48.766... - 42.08 = 6.686...$ ц/га.
Округлив результат до сотых, получаем $6.69$ ц/га.

Ответ: урожайность выше на втором поле. Она выше на $6.69$ ц/га.

4*. На сколько сумма чисел 4439751 и 247 больше разности этих чисел?

4*

$$\begin{gathered} \left(4\frac{439}{751}+2\frac{4}{7}\right)-\left(4\frac{439}{751}-2\frac{4}{7}\right)=4\frac{439}{751}+2\frac{4}{7}- \\ -4\frac{439}{751}+2\frac{4}{7}=\left(4\frac{439}{751}-4\frac{439}{751}\right)+\left(2\frac{4}{7}+2\frac{4}{7}\right)= \\ =0 + 4\frac{8}{7}=4 + 1\frac{1}{7}=5\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: на $5\frac{1}{7}$

Для решения этой задачи обозначим данные числа переменными, чтобы упростить выражение. Пусть первое число будет $A = 4\frac{439}{751}$, а второе число — $B = 2\frac{4}{7}$.

Сумма этих чисел равна $A + B$.

Разность этих чисел равна $A - B$.

Вопрос заключается в том, чтобы найти, на сколько сумма больше разности. Для этого нужно из суммы вычесть разность. Составим выражение:
$(A + B) - (A - B)$

Теперь раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:
$A + B - A + B$

Сгруппируем подобные члены:
$(A - A) + (B + B) = 0 + 2B = 2B$

Это означает, что разница между суммой и разностью двух любых чисел всегда равна удвоенному второму числу (вычитаемому). Таким образом, первое число ($A = 4\frac{439}{751}$) не имеет значения для конечного ответа и является отвлекающим элементом в условии задачи.

Теперь нам осталось только вычислить значение $2B$, где $B = 2\frac{4}{7}$.
$2 \times 2\frac{4}{7}$

Для удобства умножения переведем смешанное число $2\frac{4}{7}$ в неправильную дробь:
$2\frac{4}{7} = \frac{2 \times 7 + 4}{7} = \frac{14+4}{7} = \frac{18}{7}$

Умножим полученную дробь на 2:
$2 \times \frac{18}{7} = \frac{36}{7}$

И, наконец, переведем результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:
$36 \div 7 = 5$ с остатком $1$.
Следовательно, $\frac{36}{7} = 5\frac{1}{7}$.

Ответ: $5\frac{1}{7}$

Вопросы:

Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Как записать сумму, противоположную сумме нескольких чисел?

Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

§ 5. Решение уравнений

37. Раскрытие скобок

Вопросы к параграфу

• Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки и знак «плюс» можно опустить, сохраняя знаки слагаемых в скобках.

• Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знак каждого слагаемого.

• Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки и знак «плюс» можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, в скобках, на противоположный.

Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Если перед скобками стоит знак «+» (или знак не указан, что подразумевает «+»), то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки можно просто опустить, а все слагаемые внутри скобок записываются с сохранением своих знаков.

Это правило можно записать в общем виде с помощью буквенных выражений:

$a + (b - c + d) = a + b - c + d$

Например, раскроем скобки в выражении $25 + (10 - 15 - 3)$. Убираем знак «+» и скобки, знаки слагаемых $10$, $-15$ и $-3$ оставляем без изменений:

$25 + (10 - 15 - 3) = 25 + 10 - 15 - 3 = 17$

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и знак «+» перед ними, а все слагаемые в скобках записать с их собственными знаками.

Как записать сумму, противоположную сумме нескольких чисел?

Сумма, противоположная сумме нескольких чисел, равна сумме чисел, противоположных каждому из этих слагаемых. Чтобы записать ее, нужно взять исходную сумму, заключить ее в скобки и поставить перед скобками знак «-».

Пусть дана сумма $S = a + b + c$. Сумма, противоположная $S$, будет $-S$. Чтобы ее записать, мы ставим знак минус перед всей суммой: $-(a + b + c)$.

При раскрытии скобок, как будет показано в следующем пункте, мы должны поменять знак каждого слагаемого на противоположный:

$-(a + b + c) = -a - b - c$

Например, найдем сумму, противоположную сумме чисел $5$ и $-2$. Исходная сумма: $5 + (-2)$. Противоположная ей сумма: $-(5 + (-2))$. Чтобы ее вычислить, можно сначала найти исходную сумму $5 - 2 = 3$, а затем найти противоположное число: $-3$. Или можно воспользоваться правилом и сложить числа, противоположные исходным: $(-5) + (-(-2)) = -5 + 2 = -3$.

Ответ: Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких чисел, нужно составить сумму из чисел, противоположных каждому из данных слагаемых.

Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки опускаются, а знаки всех слагаемых, которые были внутри скобок, меняются на противоположные («+» на «-», а «-» на «+»).

Это правило можно записать в общем виде с помощью буквенных выражений:

$a - (b - c + d) = a - b + c - d$

Например, раскроем скобки в выражении $50 - (20 - 10 + 5)$. Убираем знак «-» и скобки. При этом знак перед $20$ (неявный «+») меняется на «-», знак перед $10$ («-») меняется на «+», а знак перед $5$ («+») меняется на «-»:

$50 - (20 - 10 + 5) = 50 - 20 + 10 - 5 = 35$

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить скобки и знак «-» перед ними, а все слагаемые в скобках записать с противоположными знаками.

5.1. Раскройте скобки:
а) 46 + (51 + 34);
б) 72 – (11 – 28);
в) 3,71 + (4,5 – 3,71);
г) 4,8 – (11,3 + 2,5).

5.1

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 46 + (51 + 34) = 46 + 51 + 34 \\ \mathit{б}\mathbf{)} 72 – (11 – 28) = 72 – 11 + 28 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ } 3,71 + (4,5 – 3,71) = 3,71 + 4,5 – 3,71 \\ \mathit{г}\mathbf{)} 4,8 – (11,3 + 2,5) = 4,8 – 11,3 – 2,5 \end{gathered}$$

а) В данном выражении перед скобками стоит знак «+». Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно опустить скобки и этот знак плюс, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Затем можно сгруппировать числа для удобства вычислений, используя сочетательный закон сложения.

$46 + (51 + 34) = 46 + 51 + 34$

Сгруппируем слагаемые:

$(46 + 34) + 51 = 80 + 51 = 131$

Ответ: $131$.

б) В данном выражении перед скобками стоит знак «–». Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно опустить скобки и этот знак минус, а все знаки слагаемых в скобках изменить на противоположные.

$72 – (11 – 28) = 72 - 11 + 28$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$(72 + 28) - 11 = 100 - 11 = 89$

Ответ: $89$.

в) Перед скобками стоит знак «+», поэтому при их раскрытии знаки слагаемых внутри скобок не изменяются. Это позволяет нам упростить вычисление.

$3,71 + (4,5 – 3,71) = 3,71 + 4,5 – 3,71$

Сгруппируем слагаемые:

$(3,71 – 3,71) + 4,5 = 0 + 4,5 = 4,5$

Ответ: $4,5$.

г) Перед скобками стоит знак «–», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные.

$4,8 – (11,3 + 2,5) = 4,8 - 11,3 - 2,5$

Выполним вычитание последовательно:

$4,8 - 11,3 = -6,5$

$-6,5 - 2,5 = -9$

Ответ: $-9$.

5.2. Раскройте скобки:

а) а + (b – с); б) а – (b + с); в) с + (–а + b); г) а – (–b – с).

5.2

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{a} + (\mathrm{b} – \mathrm{c}) = \mathrm{a} + \mathrm{b} – \mathrm{c} \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{a} – (\mathrm{b} + \mathrm{c}) = \mathrm{a} – \mathrm{b} – \mathrm{c} \\ \mathbf{в}\mathbf{)} \mathrm{c} + (-\mathrm{a} + \mathrm{b}) = \mathrm{c} – \mathrm{a} + \mathrm{b} \\ \mathbf{г}\mathbf{)} \mathrm{a} – (-\mathrm{b} – \mathrm{c}) = \mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c} \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», нужно убрать эти скобки и знак «плюс», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, его надо записать со знаком «плюс».

В выражении $a + (b - c)$ перед скобками стоит знак «плюс». Следовательно, мы можем просто убрать скобки, сохранив знаки слагаемых внутри них.

$a + (b - c) = a + b - c$

Ответ: $a + b - c$

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», нужно убрать эти скобки и знак «минус», а все знаки слагаемых в скобках изменить на противоположные.

В выражении $a - (b + c)$ перед скобками стоит знак «минус». Поэтому мы убираем скобки, а знаки слагаемых $b$ и $c$ меняем на противоположные (с «плюс» на «минус»).

$a - (b + c) = a - b - c$

Ответ: $a - b - c$

в) В выражении $c + (-a + b)$ перед скобками стоит знак «плюс». Применяем то же правило, что и в пункте а): убираем скобки, сохраняя знаки слагаемых внутри них.

$c + (-a + b) = c - a + b$

Ответ: $c - a + b$

г) В выражении $a - (-b - c)$ перед скобками стоит знак «минус». Применяем то же правило, что и в пункте б): убираем скобки, а знаки слагаемых $-b$ и $-c$ меняем на противоположные (с «минус» на «плюс»).

$a - (-b - c) = a + b + c$

Ответ: $a + b + c$

5.3. Вычислите значение выражения:

а) –(–3,48 + 2,13); б) –(8,29 – 4,56); в) –(– 59 – 13).

5.3

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }– (– 3,48 + 2,13) = 3,48 – 2,13 = 1,35 \\ \mathit{б}\mathbf{)} – (8,29 – 4,56) = – 3,73 \\ \mathit{в}\mathbf{)} -\left(-\frac{5}{9} - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{9} + {\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}} = \frac{5}{9} + \frac{3}{9} = \\ = \frac{8}{9} \end{gathered}$$

а) $-(-3,48 + 2,13)$

Сначала выполним действие в скобках. Складываем числа с разными знаками. Для этого из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.

$3,48 - 2,13 = 1,35$

Поскольку $-3,48$ имеет больший модуль, результат будет отрицательным: $-3,48 + 2,13 = -1,35$.

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$-(-1,35)$

Минус перед скобкой меняет знак числа в скобках на противоположный. Таким образом, получаем:

$-(-1,35) = 1,35$

Ответ: $1,35$.

б) $-(8,29 - 4,56)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$8,29 - 4,56 = 3,73$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$-(3,73)$

Минус перед скобкой означает, что мы берем число с противоположным знаком:

$-(3,73) = -3,73$

Ответ: $-3,73$.

в) $-(-\frac{5}{9} - \frac{1}{3})$

Сначала выполним действие в скобках. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 3 равен 9.

Домножим вторую дробь на 3:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$-\frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{-5-3}{9} = -\frac{8}{9}$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$-(-\frac{8}{9})$

Минус на минус дает плюс:

$-(-\frac{8}{9}) = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

5.4. Раскройте скобки и вычислите:

а) 33 + (3,5 + 67); б) (3,8 – 18) + 9,4; в) 33 – (40 + 100); г) –(90 – 23) + 77.

5.4

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }33 + (3,5 + 67) = 33 + 3,5 + 67 = \\ = (33 + 67) + 3,5 = 100 + 3,5 = 103,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (3,8 – 18) + 9,4 = 3,8 – 18 + 9,4 = \\ = (3,8 + 9,4) – 18 = 13,2 – 18 = \\ = – (18 – 13,2) = – 4,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 33 – (40 + 100) = 33 – 40 – 100 = \\ = – 7 – 100 = – 107 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }– (90 – 23) + 77 = – 90 + 23 + 77 = \\ = – 90 + (23 + 77) = – 90 + 100 = \\ = 100 – 90 = 10 \end{gathered}$$

а) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», необходимо опустить скобки и этот знак «+», при этом знаки слагаемых внутри скобок остаются без изменений.
$33 + (3,5 + 67) = 33 + 3,5 + 67$
Далее воспользуемся сочетательным свойством сложения и сгруппируем целые числа для удобства вычислений:
$(33 + 67) + 3,5 = 100 + 3,5 = 103,5$
Ответ: $103,5$.

б) В данном выражении скобки стоят в начале, что эквивалентно наличию знака «+» перед ними. Поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых не меняются.
$(3,8 - 18) + 9,4 = 3,8 - 18 + 9,4$
Воспользуемся переместительным свойством сложения и сгруппируем положительные числа:
$(3,8 + 9,4) - 18 = 13,2 - 18 = -4,8$
Ответ: $-4,8$.

в) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «−», необходимо опустить скобки и этот знак «−», а знаки всех слагаемых внутри скобок поменять на противоположные.
$33 - (40 + 100) = 33 - 40 - 100$
Выполним вычитание последовательно:
$33 - 40 = -7$
$-7 - 100 = -107$
Ответ: $-107$.

г) Перед скобками стоит знак «−», поэтому при их раскрытии знаки слагаемых $90$ и $-23$ меняются на противоположные.
$-(90 - 23) + 77 = -90 + 23 + 77$
Сгруппируем положительные числа для удобства вычислений:
$-90 + (23 + 77) = -90 + 100 = 10$
Ответ: $10$.

5.5. Раскройте скобки:
а) – a + (m – n);
б) c + (– a – b);
в) a – (b – k – n);
г) – (a – b + c);
д) (m – n) – (p – k);
е) – (a + b) + (– c + d).

5.5

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }– а + (m – n) = – a + m – n \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }c + (– a – b) = c – a – b \\ \mathit{в}\mathbf{)} a – (b – k – n) = a – b + k + n \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }– (a – b + c) = – a + b – c \\ \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }(m – n) – (p – k) = m – n – p + k \\ \mathit{е}\mathbf{)} – (a + b) + (– c + d) = – a – b – c + d \end{gathered}$$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-a + (m - n)$, мы применяем правило: если перед скобками стоит знак «+», то скобки и этот знак «+» можно опустить, сохранив знаки слагаемых, заключённых в скобки.
$-a + (m - n) = -a + m - n$.
Ответ: $-a + m - n$.

б) В выражении $c + (-a - b)$ перед скобками также стоит знак «+». Раскрываем скобки, сохраняя знаки слагаемых внутри них.
$c + (-a - b) = c - a - b$.
Ответ: $c - a - b$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $a - (b - k - n)$ применяется правило: если перед скобками стоит знак «-», то скобки и этот знак «-» опускаются, а знаки всех слагаемых, заключённых в скобки, меняются на противоположные.
$a - (b - k - n) = a - b + k + n$.
Ответ: $a - b + k + n$.

г) В выражении $-(a - b + c)$ перед скобками стоит знак «-». Это означает, что мы должны поменять знаки каждого слагаемого в скобках на противоположный.
$-(a - b + c) = -a + b - c$.
Ответ: $-a + b - c$.

д) В выражении $(m - n) - (p - k)$ имеем две пары скобок. Первые скобки $(m - n)$ можно опустить, так как перед ними нет знака, что эквивалентно знаку «+». Перед вторыми скобками $(p - k)$ стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых $p$ и $-k$ меняются на противоположные.
$(m - n) - (p - k) = m - n - p + k$.
Ответ: $m - n - p + k$.

е) В выражении $-(a + b) + (-c + d)$ раскрываем скобки для каждого слагаемого. Перед скобками $(a + b)$ стоит знак «-», поэтому знаки $a$ и $b$ меняются на противоположные. Перед скобками $(-c + d)$ стоит знак «+», поэтому знаки $-c$ и $d$ остаются без изменений.
$-(a + b) + (-c + d) = -a - b - c + d$.
Ответ: $-a - b - c + d$.

5.6. Раскройте скобки и вычислите:
а) 3,8 + (4,9 – 3,8);
б) –3,14 + (-2,53 + 3,14);
в) 8,9 – (5,9 – 7,2);
г) –4,2 – (5,45 – 20,2);
д) 1,7 + (4,8 - 1,7 + 6,2);
е) 4,12 - (4,51 + 4,12 – 5,51);
ж) (1,3 + 3,86) – (1,3 – 4,36);
з) (8,81 – 4,36) – (5,64 + 8,31).

5.6

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3,8 + (4,9 – 3,8) = 3,8 + 4,9 – 3,8 = \\ = (3,8 – 3,8) + 4,9 = 0 + 4,9 = 4,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} – 3,14 + (– 2,53 + 3,14) = – 3,14 – 2,53 + \\ + 3,14 = (–3,14 + 3,14) – 2,53 = 0 – 2,53 = \\ = – 2,53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }8,9 – (5,9 – 7,2) = 8,9 – 5,9 + 7,2 = \\ = 3 + 7,2 = 10,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }– 4,2 – (5,45 – 20,2) = – 4,2 – 5,45 + \\ + 20,2 = (20,2 – 4,2) – 5,45 = \\ = 16 – 5,45 = 10,55 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 1,7 + (4,8 – 1,7 + 6,2) = 1,7 + 4,8 – \\ - 1,7 + 6,2 = (1,7 – 1,7) + (4,8 + 6,2) = \\ = 0 + 11 = 11 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 4,12 – (4,51 + 4,12 – 5,51) = 4,12 – \\ - 4,51 – 4,12 + 5,51 = (4,12 – 4,12) + \\ + (5,51 – 4,51) = 0 + 1 = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }(1,3 + 3,86) – (1,3 – 4,36) = 1,3 + \\ + 3,86 – 1,3 + 4,36 = (1,3 – 1,3) + \\ + (3,86 + 4,36) = 0 + 8,22 = 8,22 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }(8,81 – 4,36) – (5,64 + 8,31) = 8,81 – \\ - 4,36 – 5,64 – 8,31 = (8,81 – 8,31) + \\ + (– 4,36 – 5,64) = 0,5 + (–10) = – 9,5 \end{gathered}$$

а) $3,8 + (4,9 - 3,8)$. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Получаем: $3,8 + 4,9 - 3,8$. Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений, используя переместительное и сочетательное свойства сложения: $(3,8 - 3,8) + 4,9$. Выполняем вычисления: $0 + 4,9 = 4,9$.
Ответ: 4,9

б) $-3,14 + (-2,53 + 3,14)$. Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «+», сохраняя знаки слагаемых: $-3,14 - 2,53 + 3,14$. Сгруппируем слагаемые: $(-3,14 + 3,14) - 2,53$. Сумма противоположных чисел равна нулю, поэтому: $0 - 2,53 = -2,53$.
Ответ: -2,53

в) $8,9 - (5,9 - 7,2)$. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «−», нужно опустить скобки и этот знак «−», изменив знаки всех слагаемых в скобках на противоположные: $8,9 - 5,9 + 7,2$. Выполняем действия по порядку: $8,9 - 5,9 = 3$. Затем $3 + 7,2 = 10,2$.
Ответ: 10,2

г) $-4,2 - (5,45 - 20,2)$. Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «−», меняя знаки слагаемых внутри на противоположные: $-4,2 - 5,45 + 20,2$. Сгруппируем слагаемые: $(-4,2 + 20,2) - 5,45$. Выполняем вычисления: $16 - 5,45 = 10,55$.
Ответ: 10,55

д) $1,7 + (4,8 - 1,7 + 6,2)$. Раскрываем скобки со знаком «+» перед ними, сохраняя знаки: $1,7 + 4,8 - 1,7 + 6,2$. Группируем слагаемые: $(1,7 - 1,7) + (4,8 + 6,2)$. Выполняем вычисления в скобках: $0 + 11 = 11$.
Ответ: 11

е) $4,12 - (4,51 + 4,12 - 5,51)$. Раскрываем скобки со знаком «−» перед ними, меняя знаки слагаемых на противоположные: $4,12 - 4,51 - 4,12 + 5,51$. Группируем слагаемые: $(4,12 - 4,12) + (5,51 - 4,51)$. Вычисляем: $0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

ж) $(1,3 + 3,86) - (1,3 - 4,36)$. Раскрываем обе скобки. Первую — без изменения знаков, вторую — с изменением знаков на противоположные: $1,3 + 3,86 - 1,3 + 4,36$. Группируем слагаемые: $(1,3 - 1,3) + (3,86 + 4,36)$. Вычисляем: $0 + 8,22 = 8,22$.
Ответ: 8,22

з) $(8,81 - 4,36) - (5,64 + 8,31)$. Раскрываем скобки. Знаки в первой скобке сохраняются, во второй — меняются на противоположные: $8,81 - 4,36 - 5,64 - 8,31$. Сгруппируем слагаемые для удобства: $(8,81 - 8,31) - (4,36 + 5,64)$. Вычисляем значения в скобках: $0,5 - 10$. Находим результат: $-9,5$.
Ответ: -9,5

5.7. Раскройте скобки и найдите значение суммы:
а) 59 + (49 – 711);
б) 537 + (– 37 – 89);
в) 4,32 + (1213 – 3,32);
г) 715 – (415 – 45);
д) 679 – (349 + 213);
е) –91112 – (14 – 512);
ж) (414 – 6811) + (6,75 – 3311);
з) (9718 – 2,7) – (4118 + 2,3).

5.7

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{9} + \left(\frac{4}{9} - \frac{7}{11}\right) = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{7}{11} = \\ = \frac{9}{9} - \frac{7}{11} = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 5\frac{3}{7} + \left(-\frac{3}{7} - \frac{8}{9}\right) = 5\frac{3}{7} - \frac{3}{7} -\frac{8}{9}= \\ = 5 - \frac{8}{9} = 5\frac{1}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4,32 + \left(\frac{12}{13} - 3,32\right) = 4,32 + \frac{12}{13} - 3,32 = \\ = \left(4,32 - 3,32\right) + \frac{12}{13} = 1 + \frac{12}{13} = 1\frac{12}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{7}{15} - \left(\frac{4}{15} - \frac{4}{5}\right) = \frac{7}{15} - \frac{4}{15} + {\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}}= \\ = \frac{3}{15} + \frac{12}{15} = \frac{15}{15} = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 6\frac{7}{9} - \left(3\frac{4}{9} + 2\frac{1}{3}\right) = 6\frac{7}{9} -3\frac{4}{9} -{ 2\frac{1}{3}}^{\overline{)·3}}= \\ =3\frac{3}{9} - 2\frac{3}{9} = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -9\frac{11}{12} - \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{12}\right) = -9\frac{11}{12} {-\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}} + \frac{5}{12}= \\ = -9\frac{11}{12} -\frac{3}{12} + \frac{5}{12}=-9\frac{14}{12} + \frac{5}{12}= -9\frac{9}{12}= \\ =-9\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(4\frac{1}{4} - 6\frac{8}{11}\right) + \left(6,75 - 3\frac{3}{11}\right) = \\ ={ 4\frac{1}{4}}^{\overline{)·25}} - 6\frac{8}{11} + 6,75 - 3\frac{3}{11} = \left(4,25 + 6,75\right) + \\ + \left(- 6\frac{8}{11} - 3\frac{3}{11}\right) = 11 + \left(-9\frac{11}{11}\right) = \\ =11 -10=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(9\frac{7}{18} - 2,7\right) - \left(4\frac{1}{18} + 2,3\right) = 9\frac{7}{18} - 2,7- \\ - 4\frac{1}{18} - 2,3 = \left(9\frac{7}{18} - 4\frac{1}{18}\right) + \\ + \left(- 2,7 -2,3\right) = 5\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{18}}}} + (-5) = \\ = 5\frac{1}{3} -5 = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

а) Раскроем скобки в выражении $\frac{5}{9} + (\frac{4}{9} - \frac{7}{11})$. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются.
$\frac{5}{9} + (\frac{4}{9} - \frac{7}{11}) = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} - \frac{7}{11}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями и выполним сложение:
$(\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) - \frac{7}{11} = \frac{9}{9} - \frac{7}{11} = 1 - \frac{7}{11}$
Представим 1 как дробь со знаменателем 11 и выполним вычитание:
$1 - \frac{7}{11} = \frac{11}{11} - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$
Ответ: $\frac{4}{11}$

б) Раскроем скобки в выражении $5\frac{3}{7} + (-\frac{3}{7} - \frac{8}{9})$. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются.
$5\frac{3}{7} + (-\frac{3}{7} - \frac{8}{9}) = 5\frac{3}{7} - \frac{3}{7} - \frac{8}{9}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковой дробной частью:
$(5\frac{3}{7} - \frac{3}{7}) - \frac{8}{9} = 5 - \frac{8}{9}$
Выполним вычитание:
$5 - \frac{8}{9} = 4\frac{9}{9} - \frac{8}{9} = 4\frac{1}{9}$
Ответ: $4\frac{1}{9}$

в) Раскроем скобки в выражении $4,32 + (\frac{12}{13} - 3,32)$. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются.
$4,32 + (\frac{12}{13} - 3,32) = 4,32 + \frac{12}{13} - 3,32$
Сгруппируем десятичные дроби и выполним вычитание:
$(4,32 - 3,32) + \frac{12}{13} = 1 + \frac{12}{13}$
Сложим целую и дробную части:
$1 + \frac{12}{13} = 1\frac{12}{13}$
Ответ: $1\frac{12}{13}$

г) Раскроем скобки в выражении $\frac{7}{15} - (\frac{4}{15} - \frac{4}{5})$. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$\frac{7}{15} - (\frac{4}{15} - \frac{4}{5}) = \frac{7}{15} - \frac{4}{15} + \frac{4}{5}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$(\frac{7}{15} - \frac{4}{15}) + \frac{4}{5} = \frac{3}{15} + \frac{4}{5}$
Сократим дробь $\frac{3}{15}$ на 3:
$\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$
Ответ: $1$

д) Раскроем скобки в выражении $6\frac{7}{9} - (3\frac{4}{9} + 2\frac{1}{3})$. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$6\frac{7}{9} - (3\frac{4}{9} + 2\frac{1}{3}) = 6\frac{7}{9} - 3\frac{4}{9} - 2\frac{1}{3}$
Сгруппируем смешанные числа с одинаковыми знаменателями дробной части:
$(6\frac{7}{9} - 3\frac{4}{9}) - 2\frac{1}{3} = (6-3) + (\frac{7}{9} - \frac{4}{9}) - 2\frac{1}{3} = 3\frac{3}{9} - 2\frac{1}{3}$
Сократим дробную часть $\frac{3}{9}$ на 3, получим $\frac{1}{3}$:
$3\frac{1}{3} - 2\frac{1}{3} = 1$
Ответ: $1$

е) Раскроем скобки в выражении $-9\frac{11}{12} - (\frac{1}{4} - \frac{5}{12})$. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$-9\frac{11}{12} - (\frac{1}{4} - \frac{5}{12}) = -9\frac{11}{12} - \frac{1}{4} + \frac{5}{12}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$(-9\frac{11}{12} + \frac{5}{12}) - \frac{1}{4} = -(9 + \frac{11}{12}) + \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = -9 - \frac{11}{12} + \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = -9 - \frac{6}{12} - \frac{1}{4}$
Сократим дробь $\frac{6}{12}$ на 6, получим $\frac{1}{2}$:
$-9\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 4:
$-9\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = -9 - \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = -9\frac{3}{4}$
Ответ: $-9\frac{3}{4}$

ж) Раскроем скобки в выражении $(4\frac{1}{4} - 6\frac{8}{11}) + (6,75 - 3\frac{3}{11})$. Так как перед первой и второй скобкой стоит знак плюс (по умолчанию для первой), знаки слагаемых не меняются.
$4\frac{1}{4} - 6\frac{8}{11} + 6,75 - 3\frac{3}{11}$
Преобразуем десятичную дробь $6,75$ в смешанное число: $6,75 = 6\frac{75}{100} = 6\frac{3}{4}$.
$4\frac{1}{4} - 6\frac{8}{11} + 6\frac{3}{4} - 3\frac{3}{11}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$(4\frac{1}{4} + 6\frac{3}{4}) + (-6\frac{8}{11} - 3\frac{3}{11})$
Вычислим сумму в первой группе: $4\frac{1}{4} + 6\frac{3}{4} = 10\frac{4}{4} = 11$.
Вычислим сумму во второй группе: $-6\frac{8}{11} - 3\frac{3}{11} = -(6\frac{8}{11} + 3\frac{3}{11}) = -(9\frac{11}{11}) = -10$.
Найдем конечную сумму: $11 - 10 = 1$.
Ответ: $1$

з) Раскроем скобки в выражении $(9\frac{7}{18} - 2,7) - (4\frac{1}{18} + 2,3)$. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых в ней меняются на противоположные.
$9\frac{7}{18} - 2,7 - 4\frac{1}{18} - 2,3$
Сгруппируем смешанные числа и десятичные дроби:
$(9\frac{7}{18} - 4\frac{1}{18}) + (-2,7 - 2,3)$
Вычислим разность в первой группе: $9\frac{7}{18} - 4\frac{1}{18} = 5\frac{6}{18} = 5\frac{1}{3}$.
Вычислим сумму во второй группе: $-2,7 - 2,3 = -(2,7 + 2,3) = -5$.
Найдем конечную сумму: $5\frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

5.8. Выразите в виде алгебраической суммы:

а) 1,6 + (n – 33); б) (11 – z) + 29 в) –0,23 + (5,03 – n); г) (14 – с) – 10815; д) х + (10,8 – х); е) –с + (с – 2,2); ж) 34 – (14 – y); з) –11,9 – (n – 11,9);

5.8

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 1,6 + (n – 33) = 1,6 + n – 33 = \\ = n + 1,6 – 33 = n – 31,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} (11 – z) + \frac{2}{9} = 11 – z +\frac{2}{9} = \\ =11+ \frac{2}{9} – z = 11\frac{2}{9} – z \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -0,23 + (5,03 – n) = -0,23 + 5,03 – n = \\ = 4,8 – n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }(14 – c) – 10\frac{8}{15} = 14 – c – 10\frac{8}{15} = \\ = 14 – 10\frac{8}{15} – c = 3\frac{7}{15} – c \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }x + (10,8 – x) = x + 10,8 – x = \\ = (x – x) + 10,8 = 0 + 10,8 = 10,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} –c + (c – 2,2) = -c + c – 2,2 = \\ = 0 – 2,2 = -2,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} \frac{3}{4} - \left(\frac{1}{4} - у\right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} + у = \\ = \frac{2}{4} + у = \frac{1}{2} + у \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)} -11,9 – (-n – 11,9) = -11,9 + n + 11,9 = \\ = (-11,9 + 11,9) + n = 0 + n = n \end{gathered}$$

а) Чтобы выразить $1,6 + (n - 33)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются:
$1,6 + (n - 33) = 1,6 + n - 33$
Теперь сгруппируем и сложим числовые слагаемые:
$1,6 - 33 = -31,4$
Таким образом, выражение принимает вид:
$n - 31,4$
Ответ: $n - 31,4$

б) Чтобы выразить $(11 - z) + \frac{2}{9}$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Если перед скобками нет знака, это означает, что там стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых в скобках не меняются:
$(11 - z) + \frac{2}{9} = 11 - z + \frac{2}{9}$
Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:
$11 + \frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$11\frac{2}{9} - z$
Ответ: $11\frac{2}{9} - z$

в) Чтобы выразить $-0,23 + (5,03 - n)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Перед скобками стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых в скобках не меняются:
$-0,23 + (5,03 - n) = -0,23 + 5,03 - n$
Сложим числовые слагаемые:
$-0,23 + 5,03 = 4,8$
Таким образом, выражение принимает вид:
$4,8 - n$
Ответ: $4,8 - n$

г) Чтобы выразить $(14 - c) - 10\frac{8}{15}$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Перед скобками неявным образом стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых в скобках не меняются:
$(14 - c) - 10\frac{8}{15} = 14 - c - 10\frac{8}{15}$
Сгруппируем и вычтем числовые слагаемые:
$14 - 10\frac{8}{15} = 13\frac{15}{15} - 10\frac{8}{15} = 3\frac{7}{15}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$3\frac{7}{15} - c$
Ответ: $3\frac{7}{15} - c$

д) Чтобы выразить $x + (10,8 - x)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются:
$x + (10,8 - x) = x + 10,8 - x$
Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:
$(x - x) + 10,8 = 0 + 10,8 = 10,8$
Таким образом, выражение упрощается до числа:
$10,8$
Ответ: $10,8$

е) Чтобы выразить $-c + (c - 2,2)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются:
$-c + (c - 2,2) = -c + c - 2,2$
Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $c$:
$(-c + c) - 2,2 = 0 - 2,2 = -2,2$
Таким образом, выражение упрощается до числа:
$-2,2$
Ответ: $-2,2$

ж) Чтобы выразить $\frac{3}{4} - (\frac{1}{4} - y)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «−», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$\frac{3}{4} - (\frac{1}{4} - y) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} + y$
Сгруппируем и вычтем числовые слагаемые:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{1}{2} + y$
Ответ: $\frac{1}{2} + y$

з) Чтобы выразить $-11,9 - (-n - 11,9)$ в виде алгебраической суммы, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак «−», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$-11,9 - (-n - 11,9) = -11,9 + n + 11,9$
Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:
$(-11,9 + 11,9) + n = 0 + n = n$
Таким образом, выражение упрощается до:
$n$
Ответ: $n$

5.9. Упростите выражение:
а) x – (x – z);
б) –(b – d) – d;
в) c – (a + c);
г) z + (y – x – z);
д) a + (–b + c – d);
е) –c – (n – c + r);
ж) –(k – d) – (s + d);
з) –(s + d) – (z + d);
и) n – (c + n) – (–c – n).

5.9

а) х – (х – z) = x – x + z = z

б) –(b – d) – d = -b + d – d = -b

в) c – (a + c) = c – a – c = -a

г) z + (y – x – z) = z + y – x – z = y – x

д) a + (-b + c – d) = a – b + c – d

е) –c – (n – c + r) = -c – n + c – r = -n – r

ж) –(k – d) – (s + d) = -k + d – s – d = -k – s

з) –(s + d) – (z + d) = -s – d – z – d = -s – 2d – z

и) n – (c + n) – (-c – n) = n – c – n + c + n = n

а) Чтобы упростить выражение $x - (x - z)$, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$x - (x - z) = x - x + z$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(x - x) + z = 0 + z = z$
Ответ: $z$

б) Упростим выражение $-(b - d) - d$. Сначала раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри на противоположные:
$-(b - d) - d = -b + d - d$
Приведем подобные слагаемые:
$-b + (d - d) = -b + 0 = -b$
Ответ: $-b$

в) Упростим выражение $c - (a + c)$. Раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри на противоположные:
$c - (a + c) = c - a - c$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $c$:
$(c - c) - a = 0 - a = -a$
Ответ: $-a$

г) Упростим выражение $z + (y - x - z)$. Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются:
$z + (y - x - z) = z + y - x - z$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $z$:
$(z - z) + y - x = 0 + y - x = y - x$
Ответ: $y - x$

д) Упростим выражение $a + (-b + c - d)$. Раскроем скобки. Знак плюс перед скобками не меняет знаки слагаемых внутри скобок:
$a + (-b + c - d) = a - b + c - d$
В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $a - b + c - d$

е) Упростим выражение $-c - (n - c + r)$. Раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых в скобках на противоположные:
$-c - (n - c + r) = -c - n + c - r$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $c$:
$(-c + c) - n - r = 0 - n - r = -n - r$
Ответ: $-n - r$

ж) Упростим выражение $-(k - d) - (s + d)$. Раскроем обе скобки. Знак минус перед каждой из скобок меняет знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:
$-(k - d) - (s + d) = (-k + d) + (-s - d) = -k + d - s - d$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $d$:
$-k - s + (d - d) = -k - s + 0 = -k - s$
Ответ: $-k - s$

з) Упростим выражение $-(s + d) - (z + d)$. Раскроем обе скобки. Знак минус перед каждой из скобок меняет знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:
$-(s + d) - (z + d) = (-s - d) + (-z - d) = -s - d - z - d$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $d$:
$-s - z + (-d - d) = -s - z - 2d$
Ответ: $-s - z - 2d$

и) Упростим выражение $n - (c + n) - (-c - n)$. Раскроем обе скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные из-за минусов перед скобками:
$n - (c + n) - (-c - n) = n - c - n + c + n$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(n - n + n) + (-c + c) = n + 0 = n$
Ответ: $n$

5.10. Запишите сумму выражений и упростите её:

а) –3 – x и x + 7,5; б) 2,7 + c и –c – 48; в) n + 21 и –21 + m; г) x + z и y – z; д) –z + m и –z – m; е) a – c и c – a.

5.10

а) (-3 – x) + (x + 7,5) = -3 – x + x + 7,5 = -3 + 7,5 = 4,5

б) (2,7 + c) + (-c – 48) = 2,7 + c – c – 48 = 2,7 – 48 = -45,3

в) (n + 21) + (-21 + m) = n + 21 – 21 + m = n + m

г) (x + z) + (y – z) = x + z + y – z = x + y

д) (-z + m) + (-z – m) = -z + m – z – m = -2z

е) (a – c) + (c – a) = a – c + c – a = 0

а) Составим сумму заданных выражений: $(-3 - x) + (x + 7,5)$. Раскроем скобки, а затем сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $-3 - x + x + 7,5 = (-x + x) + (-3 + 7,5) = 0 + 4,5 = 4,5$.
Ответ: $4,5$.

б) Составим сумму заданных выражений: $(2,7 + c) + (-c - 48)$. Раскроем скобки, сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $2,7 + c - c - 48 = (c - c) + (2,7 - 48) = 0 - 45,3 = -45,3$.
Ответ: $-45,3$.

в) Составим сумму заданных выражений: $(n + 21) + (-21 + m)$. Раскроем скобки, сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $n + 21 - 21 + m = n + m + (21 - 21) = n + m + 0 = n + m$.
Ответ: $n + m$.

г) Составим сумму заданных выражений: $(x + z) + (y - z)$. Раскроем скобки, сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $x + z + y - z = x + y + (z - z) = x + y + 0 = x + y$.
Ответ: $x + y$.

д) Составим сумму заданных выражений: $(-z + m) + (-z - m)$. Раскроем скобки, сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $-z + m - z - m = (-z - z) + (m - m) = -2z + 0 = -2z$.
Ответ: $-2z$.

е) Составим сумму заданных выражений: $(a - c) + (c - a)$. Раскроем скобки, сгруппируем и приведём подобные слагаемые: $a - c + c - a = (a - a) + (-c + c) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.