Страница 79, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Найдите значение числового выражения наиболее удобным способом:

а) 2415 + 17180 + 31115;

б) 3716 – (138 + 1316).

Проверочная работа № 3

1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 2\frac{4}{15}+1\frac{71}{80}+3\frac{11}{15}=\left(2\frac{4}{15}+3\frac{11}{15}\right)+1\frac{71}{80}= \\ =5\frac{15}{15}+1\frac{71}{80}=6 +1\frac{71}{80}=7\frac{71}{80} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{7}{16} - \left(1\frac{3}{8}+1\frac{3}{16}\right)=3\frac{7}{16} - \left(1\frac{3}{16}+1\frac{3}{8}\right)= \\ =3\frac{7}{16} - 1\frac{3}{16}-1\frac{3}{8}=2\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{16}}}}-1\frac{3}{8}=2\frac{2}{8}-1\frac{3}{8}= \\ = 1\frac{10}{8}-1\frac{3}{8}=\frac{7}{8} \end{gathered}$$

а) $2\frac{4}{15} + 1\frac{71}{80} + 3\frac{11}{15}$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения и сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$(2\frac{4}{15} + 3\frac{11}{15}) + 1\frac{71}{80}$

Сначала вычислим сумму в скобках. Сложим целые части и дробные части отдельно:

Целые части: $2+3=5$.

Дробные части: $\frac{4}{15} + \frac{11}{15} = \frac{4+11}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Результат сложения в скобках: $5+1=6$.

Теперь добавим оставшееся слагаемое к полученному результату:

$6 + 1\frac{71}{80} = 7\frac{71}{80}$.

Ответ: $7\frac{71}{80}$

б) $3\frac{7}{16} - (1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{16})$

Наиболее удобный способ — сначала раскрыть скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:

$3\frac{7}{16} - 1\frac{3}{8} - 1\frac{3}{16}$

Теперь сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления:

$(3\frac{7}{16} - 1\frac{3}{16}) - 1\frac{3}{8}$

Вычислим значение выражения в скобках. Вычтем целые и дробные части отдельно:

Целые части: $3-1=2$.

Дробные части: $\frac{7}{16} - \frac{3}{16} = \frac{7-3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Результат в скобках: $2\frac{4}{16}$, что равно $2\frac{1}{4}$.

Теперь выполним оставшееся вычитание:

$2\frac{1}{4} - 1\frac{3}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$2\frac{1}{4} = 2\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = 2\frac{2}{8}$.

Получаем выражение:

$2\frac{2}{8} - 1\frac{3}{8}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{8}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{8}$), "займем" единицу из целой части уменьшаемого:

$2\frac{2}{8} = 1 + 1 + \frac{2}{8} = 1 + \frac{8}{8} + \frac{2}{8} = 1\frac{10}{8}$.

Теперь выполним вычитание:

$1\frac{10}{8} - 1\frac{3}{8} = (1-1) + (\frac{10-3}{8}) = 0 + \frac{7}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

2. Представьте десятичную дробь в виде смешанного числа и вычислите:

а) 2315 – 1,9 + 1720;

б) 2,34 + 416 – 21415.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}}- 1,9 + 1\frac{7}{20}={2\frac{1}{5}}^{\overline{)·4}}-{1\frac{9}{10}}^{\overline{)·2}}+1\frac{7}{20}= \\ =2\frac{4}{20}-1\frac{18}{20}+1\frac{7}{20}=1\frac{24}{20}-1\frac{18}{20}+1\frac{7}{20}= \\ =1\frac{13}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 2,34 + 4\frac{1}{6}-2\frac{14}{15}=2\frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\cancel{34}}}}{{\displaystyle \underset{50}{\cancel{100}}}}+ 4\frac{1}{6}-2\frac{14}{15}= \\ ={2\frac{17}{50}}^{\overline{)·3}}+{ 4\frac{1}{6}}^{\overline{)·25}}-{2\frac{14}{15}}^{\overline{)·10}}=2\frac{51}{150}+4\frac{25}{150}-2\frac{140}{150}= \\ =6 \frac{76}{150 }-2\frac{140}{150}=5 \frac{226}{150}-2\frac{140}{150}=3\frac{{\displaystyle \stackrel{43}{\cancel{86}}}}{{\displaystyle \underset{75}{\cancel{150}}}}=3\frac{43}{75} \end{gathered}$$

а) $2\frac{3}{15} - 1,9 + 1\frac{7}{20}$

1. Представим десятичную дробь в виде смешанного числа.
$1,9 = 1\frac{9}{10}$

2. Подставим это значение в исходное выражение. Также предварительно сократим дробь $2\frac{3}{15}$.
$2\frac{3}{15} = 2\frac{3 \div 3}{15 \div 3} = 2\frac{1}{5}$
Выражение примет вид:
$2\frac{1}{5} - 1\frac{9}{10} + 1\frac{7}{20}$

3. Для выполнения действий с дробями приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 10 и 20 равно 20.
$2\frac{1}{5} = 2\frac{1 \times 4}{5 \times 4} = 2\frac{4}{20}$
$1\frac{9}{10} = 1\frac{9 \times 2}{10 \times 2} = 1\frac{18}{20}$

4. Теперь выражение выглядит так:
$2\frac{4}{20} - 1\frac{18}{20} + 1\frac{7}{20}$

5. Выполним вычисления по порядку.
Сначала вычитание: $2\frac{4}{20} - 1\frac{18}{20}$. Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части.
$2\frac{4}{20} = 1\frac{20+4}{20} = 1\frac{24}{20}$
$1\frac{24}{20} - 1\frac{18}{20} = \frac{6}{20}$

Теперь сложение:
$\frac{6}{20} + 1\frac{7}{20} = 1\frac{6+7}{20} = 1\frac{13}{20}$
Дробь $\frac{13}{20}$ является несократимой.

Ответ: $1\frac{13}{20}$.

б) $2,34 + 4\frac{1}{6} - 2\frac{14}{15}$

1. Представим десятичную дробь $2,34$ в виде смешанного числа и сократим ее дробную часть.
$2,34 = 2\frac{34}{100} = 2\frac{34 \div 2}{100 \div 2} = 2\frac{17}{50}$

2. Подставим полученное значение в выражение:
$2\frac{17}{50} + 4\frac{1}{6} - 2\frac{14}{15}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей с знаменателями 50, 6 и 15. Разложим их на простые множители:
$50 = 2 \times 5^2$
$6 = 2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $2 \times 3 \times 5^2 = 150$.

4. Приведем дроби к знаменателю 150:
$\frac{17}{50} = \frac{17 \times 3}{50 \times 3} = \frac{51}{150}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 25}{6 \times 25} = \frac{25}{150}$
$\frac{14}{15} = \frac{14 \times 10}{15 \times 10} = \frac{140}{150}$

5. Перепишем выражение с новыми дробями:
$2\frac{51}{150} + 4\frac{25}{150} - 2\frac{140}{150}$

6. Выполним вычисления, сгруппировав целые и дробные части:
$(2 + 4 - 2) + (\frac{51}{150} + \frac{25}{150} - \frac{140}{150})$
$4 + \frac{51 + 25 - 140}{150} = 4 + \frac{76 - 140}{150} = 4 + \frac{-64}{150} = 4 - \frac{64}{150}$

7. Выполним вычитание:
$4 - \frac{64}{150} = 3\frac{150}{150} - \frac{64}{150} = 3\frac{150-64}{150} = 3\frac{86}{150}$

8. Сократим полученную дробь:
$3\frac{86}{150} = 3\frac{86 \div 2}{150 \div 2} = 3\frac{43}{75}$

Ответ: $3\frac{43}{75}$.

3. Запишите равенства, обозначив неизвестное через х, и найдите х:

а) число прибавили к 12 и получили 1314;

б) число уменьшили на 189 и получили 623;

в) к числу прибавили 10314 и получили 121112;

г) из числа вычли 4536 и получили 3439.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }х + \frac{1}{2}=\frac{13}{14}; \\ х = \frac{13}{14} - {\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}; \\ х = \frac{13}{14} - \frac{7}{14}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{14}}}}; \\ х = \frac{3}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{3}{7}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} х - 1\frac{8}{9} = 6\frac{2}{3}; \\ х ={ 6\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} + 1\frac{8}{9}; \\ х = 6\frac{6}{9}+ 1\frac{8}{9}; \\ х = 7\frac{14}{9}; \\ х = 7 + 1\frac{5}{9}; \\ х= 8\frac{5}{9}. \\ \mathrm{Ответ}: 8\frac{5}{9}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} х + 10\frac{3}{14} = 12\frac{11}{42}; \\ х =12\frac{11}{42} - {10\frac{3}{14}}^{\overline{)·3}}; \\ х = 12\frac{11}{42} - 10\frac{9}{42}; \\ х = 2\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{{\displaystyle \underset{21}{\cancel{42}}}}; \\ х = 2\frac{1}{21}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{1}{21}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }х - 4\frac{5}{36}=3\frac{4}{39}; \\ х = {3\frac{4}{39}}^{\overline{)·12}} + {4\frac{5}{36}}^{\overline{)·13}}; \\ х = 3\frac{48}{468} + 4\frac{65}{468}; \\ х = 7\frac{113}{468}. \\ \mathrm{Ответ}: 7\frac{113}{468}. \end{gathered}$$

а) число прибавили к $ \frac{1}{2} $ и получили $ \frac{13}{14} $

Обозначим неизвестное число через $x$. Согласно условию задачи, составим и решим уравнение:

$ x + \frac{1}{2} = \frac{13}{14} $

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$ x = \frac{13}{14} - \frac{1}{2} $

Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$ x = \frac{13}{14} - \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{13}{14} - \frac{7}{14} $

$ x = \frac{13 - 7}{14} = \frac{6}{14} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ x = \frac{3}{7} $

Ответ: $ \frac{3}{7} $.

б) число уменьшили на $ 1\frac{8}{9} $ и получили $ 6\frac{2}{3} $

Обозначим неизвестное число через $x$. Составим и решим уравнение:

$ x - 1\frac{8}{9} = 6\frac{2}{3} $

Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$ x = 6\frac{2}{3} + 1\frac{8}{9} $

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$ x = (6 + 1) + \left(\frac{2}{3} + \frac{8}{9}\right) $

Приведем дробные части к общему знаменателю 9:

$ x = 7 + \left(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{9}\right) = 7 + \left(\frac{6}{9} + \frac{8}{9}\right) $

$ x = 7 + \frac{14}{9} $

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{14}{9} $ в смешанное число $ 1\frac{5}{9} $:

$ x = 7 + 1\frac{5}{9} = 8\frac{5}{9} $

Ответ: $ 8\frac{5}{9} $.

в) к числу прибавили $ 10\frac{3}{14} $ и получили $ 12\frac{11}{42} $

Обозначим неизвестное число через $x$. Составим и решим уравнение:

$ x + 10\frac{3}{14} = 12\frac{11}{42} $

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$ x = 12\frac{11}{42} - 10\frac{3}{14} $

Вычтем целые и дробные части по отдельности:

$ x = (12 - 10) + \left(\frac{11}{42} - \frac{3}{14}\right) $

Приведем дробные части к общему знаменателю 42:

$ x = 2 + \left(\frac{11}{42} - \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3}\right) = 2 + \left(\frac{11}{42} - \frac{9}{42}\right) $

$ x = 2 + \frac{2}{42} $

Сократим дробную часть $ \frac{2}{42} $ на 2:

$ x = 2\frac{1}{21} $

Ответ: $ 2\frac{1}{21} $.

г) из числа вычли $ 4\frac{5}{36} $ и получили $ 3\frac{4}{39} $

Обозначим неизвестное число через $x$. Составим и решим уравнение:

$ x - 4\frac{5}{36} = 3\frac{4}{39} $

Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$ x = 3\frac{4}{39} + 4\frac{5}{36} $

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$ x = (3 + 4) + \left(\frac{4}{39} + \frac{5}{36}\right) = 7 + \left(\frac{4}{39} + \frac{5}{36}\right) $

Найдем наименьший общий знаменатель для 39 и 36. Разложим их на простые множители: $ 39 = 3 \cdot 13 $; $ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $. НОЗ(39, 36) = $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 468:

$ x = 7 + \left(\frac{4 \cdot 12}{39 \cdot 12} + \frac{5 \cdot 13}{36 \cdot 13}\right) = 7 + \left(\frac{48}{468} + \frac{65}{468}\right) $

$ x = 7 + \frac{48 + 65}{468} = 7 + \frac{113}{468} $

Дробь $ \frac{113}{468} $ является несократимой, так как 113 - простое число.

$ x = 7\frac{113}{468} $

Ответ: $ 7\frac{113}{468} $.

4. Моторная лодка в стоячей воде за 9 мин преодолевает расстояние в 3750 м. Найдите скорость моторной лодки по течению и скорость против течения, если скорость течения реки равна 2056 м/мин.

4*

Время - 9 мин

Расстояние – 3750 м.

Скорость течения - $20\frac{5}{6}$ м/мин

Скорость по течению - ? м/мин

Скорость против течения - ? м/мин.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3750 : 9 = 416\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}=416\frac{2}{3}$(м/мин) – скорость лодки в стоячей воде;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {416\frac{2}{3}}^{\overline{)·2}}+20\frac{5}{6}=416\frac{4}{6}+20\frac{5}{6}=436\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}}=$

$=436\frac{3}{2}=436+1\frac{1}{2}=437\frac{1}{2}$(м/мин) – скорость лодки по течению;

$\mathbf{3}\mathbf{)}{ 416\frac{2}{3}}^{\overline{)·4}}- 20\frac{5}{6}=416\frac{4}{6}-20\frac{5}{6}=415\frac{10}{6}-20\frac{5}{6}=$

$=395\frac{5}{6}$(м/мин) – скорость лодки против течения.

Ответ: $437\frac{1}{2}$м/мин и $395\frac{5}{6}$ м/мин.

Для решения задачи сначала необходимо определить собственную скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде). Затем, зная собственную скорость и скорость течения реки, можно вычислить скорость лодки по течению и против течения.

1. Нахождение собственной скорости лодки

Собственная скорость ($v_{соб}$) вычисляется как отношение расстояния ($S$), пройденного в стоячей воде, ко времени ($t$), затраченному на это.
По условию: $S = 3750$ м, $t = 9$ мин.
Формула: $v = \frac{S}{t}$.
Выполним расчет:
$v_{соб} = \frac{3750}{9}$ м/мин.
Сократим дробь на 3 для упрощения:
$v_{соб} = \frac{1250}{3}$ м/мин.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив 1250 на 3:
$1250 \div 3 = 416$ (остаток 2).
Таким образом, собственная скорость лодки составляет $v_{соб} = 416\frac{2}{3}$ м/мин.

Скорость моторной лодки по течению

Скорость лодки по течению ($v_{по\ теч}$) равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки ($v_{теч}$).
Из условия известно, что скорость течения реки $v_{теч} = 20\frac{5}{6}$ м/мин.
Формула: $v_{по\ теч} = v_{соб} + v_{теч}$.
$v_{по\ теч} = 416\frac{2}{3} + 20\frac{5}{6}$.
Для сложения приведем дроби к общему знаменателю 6: $416\frac{2}{3} = 416\frac{4}{6}$.
$v_{по\ теч} = 416\frac{4}{6} + 20\frac{5}{6} = (416 + 20) + (\frac{4}{6} + \frac{5}{6}) = 436 + \frac{9}{6}$.
Дробь $\frac{9}{6}$ является неправильной, преобразуем ее в смешанное число: $\frac{9}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$.
$v_{по\ теч} = 436 + 1\frac{1}{2} = 437\frac{1}{2}$ м/мин.
Ответ: $437\frac{1}{2}$ м/мин.

Скорость против течения

Скорость лодки против течения ($v_{против\ теч}$) равна разности ее собственной скорости и скорости течения реки.
Формула: $v_{против\ теч} = v_{соб} - v_{теч}$.
$v_{против\ теч} = 416\frac{2}{3} - 20\frac{5}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $416\frac{2}{3} = 416\frac{4}{6}$.
$v_{против\ теч} = 416\frac{4}{6} - 20\frac{5}{6}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{6}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{6}$), необходимо "занять" единицу у целой части:
$416\frac{4}{6} = 415 + 1 + \frac{4}{6} = 415 + \frac{6}{6} + \frac{4}{6} = 415\frac{10}{6}$.
Теперь выполним вычитание:
$v_{против\ теч} = 415\frac{10}{6} - 20\frac{5}{6} = (415 - 20) + (\frac{10}{6} - \frac{5}{6}) = 395 + \frac{5}{6} = 395\frac{5}{6}$ м/мин.
Ответ: $395\frac{5}{6}$ м/мин.

5.11. Запишите разность выражений и упростите её:

а) –14 + с и с + 70,8; б) 2,6 – а и –а + 7 25; в) х + а и с + х; г) –а + b и b – а; д) –х – а и х + а; е) n – с и –с + n – b.

5.11

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} (-14 + с) – (с + 70,8) = -14 + с – с – \\ - 70,8 = -14 – 70,8 = -84,8 \\ \mathit{б}\mathbf{)} (2,6 – а) – (-а + 7\frac{2}{5}) = 2,6 – а + а – \\ - 7,4 = 2,6 – 7,4 = -4,8 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }(х + а) – (с + х) = х + а – с – х = а – с \\ \mathit{г}\mathbf{)} (-а + b) – (b – a) = -a + b – b + a = 0 \\ \mathit{д}\mathbf{)} (-x – a) – (x + a) = -x – a – x – a = \\ =-2x – 2a \\ \mathit{е}\mathit{)}\mathit{ }(n – c) – (-c + n – b) = n – c + c – n + b = b \end{gathered}$$

а) Чтобы найти разность выражений $ -14 + c $ и $ c + 70,8 $, вычтем второе выражение из первого: $ (-14 + c) - (c + 70,8) $. Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные: $ -14 + c - c - 70,8 $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (c - c) + (-14 - 70,8) = 0 - 84,8 = -84,8 $.

Ответ: $ -84,8 $

б) Запишем разность выражений $ 2,6 - a $ и $ -a + 7\frac{2}{5} $. Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную: $ 7\frac{2}{5} = 7 + \frac{4}{10} = 7,4 $. Теперь составим разность: $ (2,6 - a) - (-a + 7,4) $. Раскроем скобки: $ 2,6 - a - (-a) - 7,4 = 2,6 - a + a - 7,4 $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (-a + a) + (2,6 - 7,4) = 0 - 4,8 = -4,8 $.

Ответ: $ -4,8 $

в) Запишем разность выражений $ x + a $ и $ c + x $: $ (x + a) - (c + x) $. Раскроем скобки: $ x + a - c - x $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (x - x) + a - c = 0 + a - c = a - c $.

Ответ: $ a - c $

г) Запишем разность выражений $ -a + b $ и $ b - a $: $ (-a + b) - (b - a) $. Раскроем скобки: $ -a + b - b - (-a) = -a + b - b + a $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (-a + a) + (b - b) = 0 + 0 = 0 $.

Ответ: $ 0 $

д) Запишем разность выражений $ -x - a $ и $ x + a $: $ (-x - a) - (x + a) $. Раскроем скобки: $ -x - a - x - a $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (-x - x) + (-a - a) = -2x - 2a $.

Ответ: $ -2x - 2a $

е) Запишем разность выражений $ n - c $ и $ -c + n - b $: $ (n - c) - (-c + n - b) $. Раскроем скобки: $ n - c - (-c) - n - (-b) = n - c + c - n + b $. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $ (n - n) + (-c + c) + b = 0 + 0 + b = b $.

Ответ: $ b $

5.12. Раскройте скобки и решите уравнение:
а) 9,8 – (7,8 – х) = 7,3;
б) –9 + (с – 31) = –6;
в) 3944 – (544 – х) = 711;
г) (z + 5) – 21 = –30;
д) –(20 – с) + 41,2 = –23,8;
е) (y + 1015) – 415 = 1,9.

5.12

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} 9,8 – (7,8 – \mathrm{х}) = 7,3; \\ 9,8 – 7,8 + \mathrm{х} = 7,3; \\ 2 + \mathrm{х} = 7,3; \\ \mathrm{х} = 7,3 – 2; \\ \mathrm{х} = 5,3. \\ \mathrm{Ответ}: 5,3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -9 + (\mathrm{с} – 31) = -6; \\ -9 + \mathrm{с} – 31 = -6; \\ \mathrm{с} – 40 = -6; \\ \mathrm{с} = -6 + 40; \\ \mathrm{с} = 34. \\ \mathrm{Ответ}: 34 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{39}{44} - \left(\frac{5}{44} - \mathrm{х}\right) = \frac{7}{11}; \\ \frac{39}{44} -\frac{5}{44} + \mathrm{х} = \frac{7}{11}; \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{17}{\cancel{34}}}}{{\displaystyle \underset{22}{\cancel{44}}}} + \mathrm{х} = \frac{7}{11}; \\ \frac{17}{22} + \mathrm{х} = {\frac{7}{11}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{17}{22} + \mathrm{х} = \frac{14}{22}; \\ \mathrm{х} = \frac{14}{22} - \frac{17}{22}; \\ \mathrm{х} = -\left(\frac{17}{22} - \frac{14}{22}\right); \\ \mathrm{х} = -\frac{3}{22}. \\ \mathrm{Ответ}: - \frac{3}{22}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)} (\mathrm{z} + 5) – 21 = -30; \\ \mathrm{z} + 5 – 21 = -30; \\ \mathrm{z} – 16 = -30; \\ \mathrm{z} = -30 + 16; \\ \mathrm{z} = - (30 – 16); \\ \mathrm{z} = -14. \\ \mathrm{Ответ}: -14. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} –(20 – \mathrm{c}) + 41,2 = -23,8; \\ -20 + \mathrm{c} + 41,2 = -23,8; \\ \mathrm{с} + 41,2 – 20 = - 23,8; \\ \mathrm{с} + 21,2 = - 23,8; \\ \mathrm{c} = -23,8 – 21,2; \\ \mathrm{с} = - (23,8 + 21,2); \\ \mathrm{с} = - 45. \\ \mathrm{Ответ}: -45 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\mathrm{y} + \frac{10}{15}\right) - \frac{4}{15}= 1,9; \\ \mathrm{y} + \frac{10}{15} -\frac{4}{15}= 1,9; \\ \mathrm{y} + \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{15}}}} = 1,9; \\ \mathrm{y} +{\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}} = 1,9; \\ \mathrm{y} + 0,4 = 1,9; \\ \mathrm{y} = 1,9 – 0,4; \\ \mathrm{y} = 1,5. \\ \mathrm{Ответ}: 1,5. \end{gathered}$$

а) $9,8 - (7,8 - x) = 7,3$

Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$9,8 - 7,8 + x = 7,3$

Выполним вычитание в левой части уравнения:

$2 + x = 7,3$

Теперь перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$x = 7,3 - 2$

$x = 5,3$

Ответ: $5,3$

б) $-9 + (c - 31) = -6$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не меняются:

$-9 + c - 31 = -6$

Сгруппируем и сложим числа в левой части уравнения:

$c + (-9 - 31) = -6$

$c - 40 = -6$

Перенесем $-40$ в правую часть, изменив знак на плюс:

$c = -6 + 40$

$c = 34$

Ответ: $34$

в) $\frac{39}{44} - \left(\frac{5}{44} - x\right) = \frac{7}{11}$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$\frac{39}{44} - \frac{5}{44} + x = \frac{7}{11}$

Выполним вычитание дробей в левой части:

$\frac{39 - 5}{44} + x = \frac{7}{11}$

$\frac{34}{44} + x = \frac{7}{11}$

Сократим дробь $\frac{34}{44}$ на 2:

$\frac{17}{22} + x = \frac{7}{11}$

Перенесем дробь $\frac{17}{22}$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = \frac{7}{11} - \frac{17}{22}$

Приведем дроби к общему знаменателю 22:

$x = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} - \frac{17}{22}$

$x = \frac{14}{22} - \frac{17}{22}$

$x = \frac{14 - 17}{22}$

$x = -\frac{3}{22}$

Ответ: $-\frac{3}{22}$

г) $(z + 5) - 21 = -30$

Раскроем скобки. Знак перед скобками (плюс) не меняет знаки внутри:

$z + 5 - 21 = -30$

Выполним вычитание в левой части:

$z - 16 = -30$

Перенесем $-16$ в правую часть, изменив знак на плюс:

$z = -30 + 16$

$z = -14$

Ответ: $-14$

д) $-(20 - c) + 41,2 = -23,8$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$-20 + c + 41,2 = -23,8$

Сгруппируем и сложим числа в левой части:

$c + (41,2 - 20) = -23,8$

$c + 21,2 = -23,8$

Перенесем $21,2$ в правую часть с противоположным знаком:

$c = -23,8 - 21,2$

$c = -45$

Ответ: $-45$

е) $\left(y + \frac{10}{15}\right) - \frac{4}{15} = 1,9$

Раскроем скобки:

$y + \frac{10}{15} - \frac{4}{15} = 1,9$

Выполним вычитание дробей в левой части:

$y + \frac{10 - 4}{15} = 1,9$

$y + \frac{6}{15} = 1,9$

Сократим дробь $\frac{6}{15}$ на 3:

$y + \frac{2}{5} = 1,9$

Представим дробь $\frac{2}{5}$ в виде десятичной дроби: $\frac{2}{5} = 0,4$.

$y + 0,4 = 1,9$

Перенесем $0,4$ в правую часть с противоположным знаком:

$y = 1,9 - 0,4$

$y = 1,5$

Ответ: $1,5$

5.13. Решите, составив уравнение, задачу.

а) В первом букете 17 цветков, а во втором 23. Из первого букета взяли несколько цветков, а из второго – столько, сколько осталось в первом. После этого во втором букете осталось 9 цветков. Сколько цветков взяли из первого букета?

б) Площадь первого поля 15 га, второго на 2 га больше, чем третьего. Чему равна площадь второго поля, если общая площадь трёх полей 55 га?

5.13

а)

1 букет – 17 цветков;
2 букет – 23 цветка.

Пусть х цветков – взяли из первого букета, тогда (17 – х) цветков – осталось в первом букете, 23 – (17 – х) цветков – осталось во втором букете. Зная, что во втором букете осталось 9 цветков, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 23 – (17 – х) = 9; \\ 23 – 17 + х = 9; \\ 6 + х = 9; \\ х = 9 -3; \end{gathered}$$

х = 3 (цветка) – взяли из первого букета.

Ответ: 3 цветка.

Пусть х га – площадь третьего поля, тогда (х + 2) га – площадь второго поля. Зная, что площадь трех полей 55 га, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 15 + х + (х + 2) = 55; \\ 15 + х + х + 2 = 55; \\ 2х + 17 = 55; \\ 2х = 55 – 17 ; \\ 2х = 38; \\ х = 38 : 2; \end{gathered}$$

х = 19 (га) – площадь третьего поля;

19 + 2 = 21 (га) – площадь второго поля.

Ответ: 21 га.

а) Пусть $x$ — это количество цветков, которое взяли из первого букета. Тогда в первом букете осталось $(17 - x)$ цветков. По условию задачи, из второго букета взяли столько же цветков, сколько осталось в первом, то есть $(17 - x)$. Изначально во втором букете было 23 цветка. После того как из него взяли цветы, в нем осталось $23 - (17 - x)$ цветков, что по условию равно 9. Составим и решим уравнение:

$23 - (17 - x) = 9$

Раскроем скобки:

$23 - 17 + x = 9$

Выполним вычитание:

$6 + x = 9$

Найдем $x$:

$x = 9 - 6$

$x = 3$

Таким образом, из первого букета взяли 3 цветка.

Ответ: из первого букета взяли 3 цветка.

б) Пусть площадь третьего поля равна $x$ га. По условию, площадь второго поля на 2 га больше, чем третьего, следовательно, площадь второго поля равна $(x + 2)$ га. Площадь первого поля известна и составляет 15 га. Общая площадь трёх полей равна 55 га. Составим уравнение, сложив площади всех полей:

$15 + (x + 2) + x = 55$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15 + x + 2 + x = 55$

$2x + 17 = 55$

Перенесем 17 в правую часть уравнения:

$2x = 55 - 17$

$2x = 38$

Найдем $x$:

$x = 38 / 2$

$x = 19$

Мы нашли площадь третьего поля, она равна 19 га. Теперь найдем площадь второго поля, которая на 2 га больше:

$19 + 2 = 21$ (га)

Следовательно, площадь второго поля равна 21 га.

Ответ: 21 га.

5.14. Найдите значение суммы:

а) – 626 + 459; б) 2415 – 31120; в) – 2215 – 4710; г) – 856 + 710.

5.14

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{-6\frac{2}{6}}^{\overline{)·3}} + {4\frac{5}{9}}^{\overline{)·2}} = -6\frac{6}{18} + 4\frac{10}{18} = \\ = - \left(5\frac{24}{18} - 4\frac{10}{18}\right) = -1\frac{14}{18} = -1\frac{7}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {2\frac{4}{15}}^{\overline{)·4}} - {3\frac{11}{20}}^{\overline{)·3}} = 2\frac{16}{60} - 3\frac{33}{60} = \\ = -\left(3\frac{33}{60} -2\frac{16}{60} \right) = -1\frac{17}{60} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -2\frac{2}{15} - 4\frac{7}{10} = -\left({2\frac{2}{15}}^{\overline{)·2}} + {4\frac{7}{10}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = -\left(2\frac{4}{30} + 4\frac{21}{30}\right)=-6\frac{25}{30} = -6\frac{5}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{-8\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}} + {\frac{7}{10}}^{\overline{)·3}} = -8\frac{25}{30} + \frac{21}{30} = \\ = - \left(8\frac{25}{30} - \frac{21}{30}\right) = -8\frac{4}{30} = -8\frac{2}{15} \end{gathered}$$

а) $-6\frac{2}{6} + 4\frac{5}{9}$

Сначала упростим дробь в первом смешанном числе, сократив ее на 2:

$-6\frac{2}{6} = -6\frac{1}{3}$

Теперь представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей:

$-6\frac{1}{3} = -\frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{19}{3}$

$4\frac{5}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{41}{9}$

Выполним сложение полученных дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 равен 9.

$-\frac{19}{3} + \frac{41}{9} = -\frac{19 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{41}{9} = -\frac{57}{9} + \frac{41}{9}$

Сложим числители:

$\frac{-57 + 41}{9} = -\frac{16}{9}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9}$

Ответ: $-1\frac{7}{9}$

б) $2\frac{4}{15} - 3\frac{11}{20}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{4}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{34}{15}$

$3\frac{11}{20} = \frac{3 \cdot 20 + 11}{20} = \frac{71}{20}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{34}{15} - \frac{71}{20}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 20. $НОК(15, 20) = 60$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{34 \cdot 4}{15 \cdot 4} - \frac{71 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{136}{60} - \frac{213}{60}$

Вычтем числители:

$\frac{136 - 213}{60} = -\frac{77}{60}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$-\frac{77}{60} = -1\frac{17}{60}$

Ответ: $-1\frac{17}{60}$

в) $-2\frac{2}{15} - 4\frac{7}{10}$

Мы вычитаем из отрицательного числа положительное, что эквивалентно сложению двух отрицательных чисел. Можно вынести знак минус за скобки и сложить их модули:

$-2\frac{2}{15} - 4\frac{7}{10} = -(2\frac{2}{15} + 4\frac{7}{10})$

Преобразуем смешанные числа в скобках в неправильные дроби:

$2\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{32}{15}$

$4\frac{7}{10} = \frac{4 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{47}{10}$

Теперь сложим дроби. Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 10. $НОК(15, 10) = 30$.

$\frac{32}{15} + \frac{47}{10} = \frac{32 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{47 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{64}{30} + \frac{141}{30}$

Сложим числители:

$\frac{64 + 141}{30} = \frac{205}{30}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{205 \div 5}{30 \div 5} = \frac{41}{6}$

Выделим целую часть:

$\frac{41}{6} = 6\frac{5}{6}$

Так как исходное выражение было суммой отрицательных чисел, результат будет отрицательным.

Ответ: $-6\frac{5}{6}$

г) $-8\frac{5}{6} + \frac{7}{10}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-8\frac{5}{6} = -\frac{8 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{53}{6}$

Теперь выполним сложение дробей:

$-\frac{53}{6} + \frac{7}{10}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 10. $НОК(6, 10) = 30$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$-\frac{53 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = -\frac{265}{30} + \frac{21}{30}$

Сложим числители:

$\frac{-265 + 21}{30} = -\frac{244}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{244 \div 2}{30 \div 2} = -\frac{122}{15}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{122}{15} = -8\frac{2}{15}$

Ответ: $-8\frac{2}{15}$

5.15. Найдите значение выражения:
а) 236 + 359 – 6312;
б) 414 – 323 – 278;
в) 416 – 949 + 3712;
г) 715 – 4215 – 923.

5.15

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2{\frac{3}{6}}^{\overline{)·6}} + 3{\frac{5}{9}}^{\overline{)·4}} - 6{\frac{3}{12}}^{\overline{)·3}} = 2\frac{18}{36} + 3\frac{20}{36} - \\ -6\frac{9}{36} = 5\frac{38}{36} - 6\frac{9}{36} = 5\frac{38}{36} + \left(- 6\frac{9}{36}\right)= \\ = -\left(6\frac{9}{36} - 5\frac{38}{36} \right) = -\left(5\frac{45}{36} - 5\frac{38}{36}\right) = -\frac{7}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {4\frac{1}{4 }}^{\overline{)·6}} - {3\frac{2}{3}}^{\overline{)·8}} - {2\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}} = 4\frac{6}{24} - 3\frac{16}{24} - \\ - 2\frac{21}{24} = 4\frac{6}{24} + \left(- 3\frac{16}{24}\right) +\left(- 2\frac{21}{24}\right) = \\ = 4\frac{6}{24} + \left(-\left(3\frac{16}{24} + 2\frac{21}{24}\right)\right) = 4\frac{6}{24} + \\ + \left(-5\frac{37}{24}\right) = 4\frac{6}{24} + \left(-6\frac{13}{24}\right) = \\ = -\left(6\frac{13}{24} - 4\frac{6}{24}\right) = -2\frac{7}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {4\frac{1}{6}}^{\overline{)·6}} - {9\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} +{ 3\frac{7}{12}}^{\overline{)·3}} = 4\frac{6}{36} - 9\frac{16}{36} + \\ + 3\frac{21}{36} =7\frac{27}{36} - 9\frac{16}{36} = - \left(9\frac{16}{36} -7\frac{27}{36} \right)= \\ = -\left(8\frac{52}{36} -7\frac{27}{36} \right) = -1\frac{25}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {7\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}} - 4\frac{2}{15} - {9\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}} = 7\frac{3}{15} - 4\frac{2}{15} - \\ - 9\frac{10}{15} = 3\frac{1}{15} - 9\frac{10}{15} = -\left(9\frac{10}{15} -3\frac{1}{15} \right)= \\ = -6\frac{9}{15} = -6\frac{3}{5} \end{gathered}$$

а) $2\frac{3}{6} + 3\frac{5}{9} - 6\frac{3}{12}$

Для решения этого примера мы можем работать с целыми и дробными частями отдельно или преобразовать все смешанные числа в неправильные дроби. Второй способ часто бывает проще, чтобы избежать ошибок с отрицательными числами. Давайте воспользуемся им.

1. Сначала упростим дроби, где это возможно, и преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$3\frac{5}{9} = \frac{3 \times 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$

$6\frac{3}{12} = 6\frac{1}{4} = \frac{6 \times 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

2. Теперь наше выражение выглядит так:

$\frac{5}{2} + \frac{32}{9} - \frac{25}{4}$

3. Чтобы выполнить сложение и вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2, 9 и 4 равно 36.

$\frac{5}{2} = \frac{5 \times 18}{2 \times 18} = \frac{90}{36}$

$\frac{32}{9} = \frac{32 \times 4}{9 \times 4} = \frac{128}{36}$

$\frac{25}{4} = \frac{25 \times 9}{4 \times 9} = \frac{225}{36}$

4. Подставим дроби с общим знаменателем в выражение и выполним действия:

$\frac{90}{36} + \frac{128}{36} - \frac{225}{36} = \frac{90 + 128 - 225}{36} = \frac{218 - 225}{36} = -\frac{7}{36}$

Ответ: $-\frac{7}{36}$

б) $4\frac{1}{4} - 3\frac{2}{3} - 2\frac{7}{8}$

1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{4} = \frac{4 \times 4 + 1}{4} = \frac{17}{4}$

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

$2\frac{7}{8} = \frac{2 \times 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$

2. Запишем выражение с неправильными дробями:

$\frac{17}{4} - \frac{11}{3} - \frac{23}{8}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей. НОК для 4, 3 и 8 равно 24.

$\frac{17}{4} = \frac{17 \times 6}{4 \times 6} = \frac{102}{24}$

$\frac{11}{3} = \frac{11 \times 8}{3 \times 8} = \frac{88}{24}$

$\frac{23}{8} = \frac{23 \times 3}{8 \times 3} = \frac{69}{24}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{102}{24} - \frac{88}{24} - \frac{69}{24} = \frac{102 - 88 - 69}{24} = \frac{14 - 69}{24} = -\frac{55}{24}$

5. Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{55}{24} = -2\frac{7}{24}$

Ответ: $-2\frac{7}{24}$

в) $4\frac{1}{6} - 9\frac{4}{9} + 3\frac{7}{12}$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \times 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

$9\frac{4}{9} = \frac{9 \times 9 + 4}{9} = \frac{85}{9}$

$3\frac{7}{12} = \frac{3 \times 12 + 7}{12} = \frac{43}{12}$

2. Запишем выражение в новом виде:

$\frac{25}{6} - \frac{85}{9} + \frac{43}{12}$

3. Найдем общий знаменатель для 6, 9 и 12. НОК(6, 9, 12) = 36.

$\frac{25}{6} = \frac{25 \times 6}{6 \times 6} = \frac{150}{36}$

$\frac{85}{9} = \frac{85 \times 4}{9 \times 4} = \frac{340}{36}$

$\frac{43}{12} = \frac{43 \times 3}{12 \times 3} = \frac{129}{36}$

4. Выполним действия. Для удобства сначала сложим положительные числа:

$\frac{150}{36} - \frac{340}{36} + \frac{129}{36} = \frac{150 + 129 - 340}{36} = \frac{279 - 340}{36} = -\frac{61}{36}$

5. Переведем результат в смешанное число:

$-\frac{61}{36} = -1\frac{25}{36}$

Ответ: $-1\frac{25}{36}$

г) $7\frac{1}{5} - 4\frac{2}{15} - 9\frac{2}{3}$

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \times 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

$4\frac{2}{15} = \frac{4 \times 15 + 2}{15} = \frac{62}{15}$

$9\frac{2}{3} = \frac{9 \times 3 + 2}{3} = \frac{29}{3}$

2. Выражение принимает вид:

$\frac{36}{5} - \frac{62}{15} - \frac{29}{3}$

3. Общий знаменатель для 5, 15 и 3 равен 15.

$\frac{36}{5} = \frac{36 \times 3}{5 \times 3} = \frac{108}{15}$

$\frac{29}{3} = \frac{29 \times 5}{3 \times 5} = \frac{145}{15}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{108}{15} - \frac{62}{15} - \frac{145}{15} = \frac{108 - 62 - 145}{15} = \frac{46 - 145}{15} = -\frac{99}{15}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3, и преобразуем в смешанное число:

$-\frac{99}{15} = -\frac{99 \div 3}{15 \div 3} = -\frac{33}{5} = -6\frac{3}{5}$

Ответ: $-6\frac{3}{5}$

5.16. Вычислите х на схеме справа.

5.16

а)

$$\begin{gathered} \frac{2}{3} · х = -\frac{1}{3}; \\ х = -\frac{1}{3} : \frac{2}{3}; \\ х = -\frac{1}{\cancel{3}} · \frac{\cancel{3}}{2}; \\ х = -\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1 · х = -3; \\ х = -3 : 1; \\ х = -3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\frac{1}{2} · х = -1\frac{1}{2}; \\ х = -\frac{3}{2} : \left(-\frac{1}{2}\right); \\ х = \frac{3}{\cancel{2}} · \cancel{2}; \\ х = 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} · х =0; \\ х = 0 : \frac{1}{2}; \\ х = 0. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -2 · х = -1; \\ х = -1 : (-2); \\ х = \frac{1}{2}. \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} : х = \frac{1}{3}; \\ х = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}; \\ х = \frac{1}{2} · 3; \\ х = \frac{3}{2}; \\ х = 1\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -3 : х = \frac{1}{6}; \\ х = -3 : \frac{1}{6}; \\ х = -3 · 6; \\ х = - 18. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 6 : х = -6; \\ х = 6 : (-6); \\ х = -1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\frac{2}{3} : х = -\frac{1}{2}; \\ х = -\frac{2}{3} : \left(-\frac{1}{2}\right); \\ х = \frac{2}{3} · 2; \\ х = \frac{4}{3}; \\ х = 1\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -1 : х = 2; \\ х = -1 : 2; \\ х = -\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

a)

В центре схемы указана операция умножения на x (ċ x). Это означает, что числа на схеме связаны между собой этим действием. Чтобы найти x, нужно подобрать пары чисел (множимое и произведение) из представленных на схеме так, чтобы значение x было одним и тем же для разных пар.

Возьмем пару чисел $-1/2$ и $-1\frac{1}{2}$. Предположим, что при умножении $-1/2$ на x получается $-1\frac{1}{2}$. Составим уравнение:

$(-\frac{1}{2}) \cdot x = -1\frac{1}{2}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь решим уравнение:

$(-\frac{1}{2}) \cdot x = -\frac{3}{2}$

$x = (-\frac{3}{2}) \div (-\frac{1}{2})$

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$

Проверим, подходит ли это значение x для других пар чисел на схеме. Например, для пары $-1$ и $-3$:

$(-1) \cdot 3 = -3$

Равенство верно. Проверим еще одну пару, например $-1/3$ и $-1$:

$(-\frac{1}{3}) \cdot 3 = -1$

Равенство также верно. Следовательно, значение x найдено правильно.

Ответ: 3

б)

В центре схемы указана операция деления на x (: x). Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти пары чисел (делимое и частное) и определить из них значение x.

Возьмем пару чисел $-6$ и $2$. Предположим, что при делении $-6$ на x получается $2$. Составим уравнение:

$-6 \div x = 2$

Чтобы найти делитель x, нужно делимое разделить на частное:

$x = -6 \div 2 = -3$

Проверим найденное значение x = -3 на других парах чисел из схемы.

Возьмем пару $2$ и $-2/3$:

$2 \div (-3) = -\frac{2}{3}$

Равенство верно. Возьмем пару $-1$ и $1/3$:

$-1 \div (-3) = \frac{1}{3}$

Равенство верно. Возьмем пару $-1/2$ и $1/6$:

$(-\frac{1}{2}) \div (-3) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{6}$

Равенство также верно. Таким образом, значение x найдено правильно.

Ответ: -3

5.17. При каком значении х получим наибольшее значение выражения:
а) 236 – х при х = 79; х = –27; х = 0,23; х = –637;
б) –60х при х = 0,5; х = –0,6; х = 9; х = –314;
в) х : (–0,5) при х = 27,5; х = –4,5; х = –212; х = 9?

5.17

а) 236 – х. Наибольшее значение получим при наименьшем вычитаемом, при х = -27

б) -60х. Наибольшее значение получим при наименьшем отрицательном множителе, при х = $-3\frac{1}{4}$

в) х : (-0,5). Наибольшее значение получим при наименьшем отрицательном делимом, при х = -4,5.

а) Чтобы выражение $236 - x$ имело наибольшее значение, нужно из уменьшаемого $236$ вычесть наименьшее возможное значение $x$. Чем меньше вычитаемое, тем больше разность.

Сравним предложенные значения $x$: $79$; $-27$; $0,23$; $-6\frac{3}{7}$.

Наименьшим из этих чисел является $-27$.

Подставим это значение в выражение:

$236 - (-27) = 236 + 27 = 263$.

Для сравнения, значения выражения при других $x$:

• $236 - 79 = 157$
• $236 - 0,23 = 235,77$
• $236 - (-6\frac{3}{7}) = 242\frac{3}{7}$

Наибольшее значение $263$ получается при $x = -27$.

Ответ: при $x = -27$.

б) Чтобы выражение $-60x$ имело наибольшее значение, нужно отрицательный множитель $-60$ умножить на число $x$. Произведение будет наибольшим (т.е. максимально положительным), если второй множитель $x$ будет наименьшим (т.е. максимально отрицательным), так как произведение двух отрицательных чисел положительно.

Сравним предложенные значения $x$: $0,5$; $-0,6$; $9$; $-3\frac{1}{4}$.

Переведем смешанную дробь в десятичную для удобства сравнения: $-3\frac{1}{4} = -3,25$.

Наименьшим из этих чисел является $-3,25$ (или $-3\frac{1}{4}$).

Подставим это значение в выражение:

$-60 \cdot (-3\frac{1}{4}) = -60 \cdot (-\frac{13}{4}) = \frac{60 \cdot 13}{4} = 15 \cdot 13 = 195$.

Для сравнения, значения выражения при других $x$:

• $-60 \cdot 0,5 = -30$
• $-60 \cdot (-0,6) = 36$
• $-60 \cdot 9 = -540$

Наибольшее значение $195$ получается при $x = -3\frac{1}{4}$.

Ответ: при $x = -3\frac{1}{4}$.

в) Выражение $x : (-0,5)$ эквивалентно выражению $x \cdot (-2)$ или $-2x$. Чтобы это выражение имело наибольшее значение, нужно отрицательный множитель $-2$ умножить на наименьшее (т.е. максимально отрицательное) число $x$.

Сравним предложенные значения $x$: $27,5$; $-4,5$; $-2\frac{1}{2}$; $9$.

Переведем смешанную дробь в десятичную: $-2\frac{1}{2} = -2,5$.

Наименьшим из этих чисел является $-4,5$.

Подставим это значение в выражение:

$-4,5 : (-0,5) = 9$.

Для сравнения, значения выражения при других $x$:

• $27,5 : (-0,5) = -55$
• $-2\frac{1}{2} : (-0,5) = -2,5 : (-0,5) = 5$
• $9 : (-0,5) = -18$

Наибольшее значение $9$ получается при $x = -4,5$.

Ответ: при $x = -4,5$.

5.18. Запишите пять последовательных целых чисел, если:
а) меньшее из них равно –235;
б) меньшее из них равно а;
в) большее из них равно 1;
г) большее из них равно n.

5.18

а) -235; -234; -233; -232; -231

б) а; а + 1; а + 2; а + 3; а + 4

в) -3; -2; -1; 0; 1

г) n – 4; n – 3; n – 2; n – 1; n

а) По условию, наименьшее из пяти последовательных целых чисел равно –235. Последовательные целые числа — это числа, каждое из которых на 1 больше предыдущего. Чтобы найти всю последовательность, мы начнем с наименьшего числа и будем последовательно прибавлять 1.
Первое число: $-235$.
Второе число: $-235 + 1 = -234$.
Третье число: $-234 + 1 = -233$.
Четвертое число: $-233 + 1 = -232$.
Пятое число: $-232 + 1 = -231$.
Таким образом, искомая последовательность чисел: –235, –234, –233, –232, –231.
Ответ: –235, –234, –233, –232, –231.

б) В данном случае наименьшее число задано в виде переменной $a$. Решение аналогично предыдущему пункту: мы начинаем с $a$ и последовательно прибавляем 1, чтобы найти следующие четыре числа.
Первое число: $a$.
Второе число: $a + 1$.
Третье число: $(a + 1) + 1 = a + 2$.
Четвертое число: $(a + 2) + 1 = a + 3$.
Пятое число: $(a + 3) + 1 = a + 4$.
Искомая последовательность в общем виде: $a$, $a + 1$, $a + 2$, $a + 3$, $a + 4$.
Ответ: $a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4$.

в) Здесь известно наибольшее из пяти последовательных целых чисел, оно равно 1. Чтобы найти предыдущие числа в последовательности, мы будем двигаться в обратном порядке, вычитая 1 из каждого последующего числа.
Пятое (наибольшее) число: $1$.
Четвертое число: $1 - 1 = 0$.
Третье число: $0 - 1 = -1$.
Второе число: $-1 - 1 = -2$.
Первое (наименьшее) число: $-2 - 1 = -3$.
Запишем полученные числа в порядке возрастания: –3, –2, –1, 0, 1.
Ответ: –3, –2, –1, 0, 1.

г) Это обобщенный случай предыдущего пункта, где наибольшее число равно $n$. Чтобы найти пять последовательных чисел, мы начнем с $n$ и будем последовательно вычитать 1 для нахождения предыдущих чисел.
Пятое (наибольшее) число: $n$.
Четвертое число: $n - 1$.
Третье число: $(n - 1) - 1 = n - 2$.
Второе число: $(n - 2) - 1 = n - 3$.
Первое (наименьшее) число: $(n - 3) - 1 = n - 4$.
Искомая последовательность в общем виде, записанная в порядке возрастания: $n - 4, n - 3, n - 2, n - 1, n$.
Ответ: $n - 4, n - 3, n - 2, n - 1, n$.

5.19. Вычислите координаты середины А отрезка MN, если:
а) М(–7) и N(9);
б) М(–4) и N(3);
в) М(–5,5) и N(212);
г) М(–7) и N(–115).

5.19

$\mathrm{A} = \frac{\mathrm{M} + \mathrm{N}}{2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{M} (-7); \mathrm{N} (9). \\ \mathrm{А} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1; \\ \mathrm{А}(1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{M} (-4); \mathrm{N} (3). \\ \mathrm{А} = \frac{-4 + 3}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}; \\ \mathrm{А}\left(-\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{M} (-5,5); \mathrm{N} \left(2\frac{1}{2}\right). \\ \mathrm{А} = \frac{-5,5 + {2\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}}{2} = \frac{-5,5 + 2,5}{2} =-\frac{3}{2} = \\ =-1\frac{1}{2}; \\ \mathrm{А}\left(-1\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{M} (-7); \mathrm{N} \left(-1\frac{1}{5}\right). \\ \mathrm{А} = \frac{-7 + \left({-1{\displaystyle \frac{1}{5}}}^{\overline{)·2}}\right)}{2}=\frac{-7 + (-1,2)}{2}=\frac{-8,2}{2}= \\ = -4,1; \\ \mathrm{А} (-4,1). \end{gathered}$$

Координата середины отрезка на числовой прямой равна полусумме координат его концов. Если даны точки $M(x_1)$ и $N(x_2)$, то координата $x_A$ середины A отрезка MN вычисляется по формуле:

$x_A = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) $M(-7)$ и $N(9)$

Находим координату середины A:

$x_A = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $A(1)$.

б) $M(-4)$ и $N(3)$

Находим координату середины A:

$x_A = \frac{-4 + 3}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$

Ответ: $A(-0,5)$.

в) $M(-5,5)$ и $N(2\frac{1}{2})$

Для удобства вычислений представим смешанную дробь $2\frac{1}{2}$ в виде десятичной: $2,5$.

Находим координату середины A:

$x_A = \frac{-5,5 + 2,5}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$

Ответ: $A(-1,5)$.

г) $M(-7)$ и $N(-1\frac{1}{5})$

Представим смешанную дробь $-1\frac{1}{5}$ в виде десятичной: $-1,2$.

Находим координату середины A:

$x_A = \frac{-7 + (-1,2)}{2} = \frac{-8,2}{2} = -4,1$

Ответ: $A(-4,1)$.