Страница 73, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Как найти сумму смешанных чисел?

На каких свойствах сложения основано правило сложения смешанных чисел?

Как найти разность смешанных чисел?

На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел?

Вопросы к параграфу:

• чтобы найти сумму смешанных чисел, надо:
  1) дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю
  2) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей
  3) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части

• правило сложения смешанных чисел основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения

• чтобы найти разность смешанных чисел, надо:
  1) дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю
  2) если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то надо отдельно вычесть целые и отдельно дробные части и результаты сложить
  3) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо представить дробную часть уменьшаемого в виде неправильной дроби, уменьшив на единицу целую часть, и выполнить вычитание по пункту 2
  при необходимости сократить дробь

• правило вычитания смешанных чисел основано на свойствах вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы

Как найти сумму смешанных чисел?

Существует два основных способа сложения смешанных чисел.

Способ 1: Преобразование в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число преобразуют в неправильную дробь. Например, $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.
2. Полученные дроби приводят к общему знаменателю (если необходимо).
3. Складывают числители дробей, а знаменатель оставляют прежним.
4. Если в результате получилась неправильная дробь, ее снова преобразуют в смешанное число.

Способ 2: Покомпонентное сложение (часто удобнее).

1. Складывают целые части смешанных чисел отдельно.
2. Складывают дробные части смешанных чисел отдельно. Если у них разные знаменатели, их предварительно приводят к общему знаменателю.
3. Полученные результаты суммируют.
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из нее выделяют целую часть и добавляют ее к сумме целых частей.

Пример: Найдем сумму $3\frac{1}{6} + 2\frac{3}{4}$.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.
2. Складываем дробные части: $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$. Общий знаменатель для 6 и 4 равен 12.
3. $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12}$.
4. Складываем результаты: $5 + \frac{11}{12} = 5\frac{11}{12}$.

Пример с неправильной дробью в сумме: Найдем сумму $5\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$.

1. Целые части: $5 + 1 = 6$.
2. Дробные части: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.
3. Сумма дробных частей $\frac{7}{6}$ — неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
4. Добавим эту целую часть к сумме целых частей: $6 + 1\frac{1}{6} = 7\frac{1}{6}$.

Ответ: Чтобы найти сумму смешанных чисел, нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части, а затем сложить полученные результаты. Если сумма дробных частей окажется неправильной дробью, из нее следует выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей.

На каких свойствах сложения основано правило сложения смешанных чисел?

Правило сложения смешанных чисел, при котором отдельно складываются целые и дробные части, основано на представлении смешанного числа в виде суммы его целой и дробной частей, а также на свойствах сложения чисел.

Смешанное число $a\frac{b}{c}$ — это сокращенная запись суммы $a + \frac{b}{c}$.

Рассмотрим сумму двух смешанных чисел $a\frac{b}{c}$ и $d\frac{e}{f}$:

$a\frac{b}{c} + d\frac{e}{f} = (a + \frac{b}{c}) + (d + \frac{e}{f})$

Используя свойства сложения, мы можем перегруппировать слагаемые:

$(a + \frac{b}{c}) + (d + \frac{e}{f}) = a + \frac{b}{c} + d + \frac{e}{f} = (a+d) + (\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$

Эта перегруппировка возможна благодаря двум основным свойствам сложения:

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность): от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($x+y = y+x$).
2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего ($(x+y)+z = x+(y+z)$).

Именно эти свойства позволяют нам сначала сгруппировать и сложить целые части $(a+d)$, а затем отдельно сгруппировать и сложить дробные части $(\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$.

Ответ: Правило сложения смешанных чисел основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения.

Как найти разность смешанных чисел?

Как и в случае со сложением, есть два основных способа.

Способ 1: Преобразование в неправильные дроби.

Этот способ универсален: оба смешанных числа переводятся в неправильные дроби, приводятся к общему знаменателю, затем выполняется вычитание. Результат при необходимости переводится обратно в смешанное число.

Способ 2: Покомпонентное вычитание.

1. Вычитают целые части.
2. Вычитают дробные части (предварительно приведя их к общему знаменателю).
3. Складывают полученные результаты.

При использовании этого способа может возникнуть ситуация, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

Пример 1 (простой случай): Найдем разность $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7}$.

1. Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.
2. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
3. Складываем результаты: $5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Пример 2 (со случаем "занятия" единицы): Найдем разность $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{4}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{4}$).

1. "Занимаем" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 5) и представляем ее в виде дроби со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$.
2. Преобразуем уменьшаемое: $5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
3. Теперь вычитание возможно: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.
4. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
5. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
6. Результат: $2\frac{1}{2}$.

Ответ: Чтобы найти разность смешанных чисел, нужно из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого — дробную часть вычитаемого, и сложить результаты. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить ее в виде неправильной дроби и прибавить к дробной части, после чего выполнить вычитание.

На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел?

Правило вычитания смешанных чисел, как и правило сложения, опирается на представление смешанного числа в виде суммы и на свойства арифметических операций.

Выражение $a\frac{b}{c} - d\frac{e}{f}$ можно записать как $(a + \frac{b}{c}) - (d + \frac{e}{f})$.

Здесь ключевым является свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа вычесть каждое слагаемое поочередно. Формально: $x - (y+z) = x - y - z$.

Применим это свойство:

$(a + \frac{b}{c}) - (d + \frac{e}{f}) = a + \frac{b}{c} - d - \frac{e}{f}$

Далее, используя переместительное и сочетательное свойства сложения (так как вычитание можно представить как сложение с отрицательным числом), мы можем перегруппировать члены:

$a - d + \frac{b}{c} - \frac{e}{f} = (a - d) + (\frac{b}{c} - \frac{e}{f})$

Это и есть математическое обоснование покомпонентного вычитания.

Случай, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого и требуется "занять" единицу, основан на:

1. Представлении смешанного числа в виде суммы: $a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$.
2. Представлении целого числа в виде дроби с любым знаменателем: $1 = \frac{n}{n}$.

Например: $5\frac{1}{4} = (4+1) + \frac{1}{4} = 4 + (1 + \frac{1}{4}) = 4 + (\frac{4}{4} + \frac{1}{4}) = 4 + \frac{5}{4} = 4\frac{5}{4}$.

Ответ: Правило вычитания смешанных чисел основано на определении смешанного числа как суммы целой и дробной частей, на свойстве вычитания суммы из числа ($x - (y+z) = x-y-z$), а также на возможности представить единицу в виде дроби с одинаковым числителем и знаменателем.

2.205. Найдите сумму:

а) 429 + 3518; б) 3512 + 479; в) 71112 + 138; г) 438 + 2411; д) 6511 + 5; е) 737 + 521; ж) 6 + 427; з) 37 + 345.

2.205

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{2}{9}+3\frac{5}{18}=4 + \frac{2}{9} +3 +\frac{5}{18}= \\ =\left(4 + 3\right)+\left({\frac{2}{9}}^{\overline{)·2}} +\frac{5}{18}\right)=7 +\left(\frac{4}{18} +\frac{5}{18}\right)= \\ =7 +\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{18}}}}=7 +\frac{1}{2}=7\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{5}{12}+4\frac{7}{9}=3 + \frac{5}{12} +4 +\frac{7}{9}= \\ =\left(4 + 3\right)+\left({\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}} +{\frac{7}{9}}^{\overline{)·4}}\right)=7 +\left(\frac{15}{36} +\frac{28}{36}\right)= \\ =7 +\frac{43}{36}=7 +1\frac{7}{36}=8\frac{7}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{11}{12}+1\frac{3}{8}=7 + \frac{11}{12} +1 +\frac{3}{8}= \\ =\left(7 + 1\right)+\left({\frac{11}{12}}^{\overline{)·2}} +{\frac{3}{8}}^{\overline{)·3}}\right)=8 +\left(\frac{22}{24} +\frac{9}{24}\right)= \\ =8+\frac{31}{24}=8+1\frac{7}{24}=9\frac{7}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{3}{8}+2\frac{4}{11}=4 + \frac{3}{8} +2 +\frac{4}{11}= \\ =\left(4 + 2\right)+\left({\frac{3}{8}}^{\overline{)·11}} +{\frac{4}{11}}^{\overline{)·8}}\right)=6 +\left(\frac{33}{88} +\frac{32}{88}\right)= \\ =6+\frac{65}{88}=6\frac{65}{88} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }6\frac{5}{11}+5=6 + \frac{5}{11} +5= \\ =\left(6+ 5\right)+\frac{5}{11}=11 +\frac{5}{11}=11\frac{5}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }7\frac{3}{7}+ \frac{5}{21}=7 + \frac{3}{7}+ \frac{5}{21}= \\ =7+ \left({\frac{3}{7}}^{\overline{)·3}}+ \frac{5}{21}\right)=7 + \left(\frac{9}{21}+ \frac{5}{21}\right)= \\ =7 +\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{21}}}}=7 +\frac{2}{3}=7 \frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }6 +4\frac{2}{7}=6 +4+ \frac{2}{7}= \\ =\left(6+ 4\right)+\frac{2}{7}=10 +\frac{2}{7}=10\frac{2}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{7}+3\frac{4}{5}=\frac{3}{7}+3 + \frac{4}{5}= \\ =3+\left({\frac{3}{7}}^{\overline{)·5}} +{\frac{4}{5}}^{\overline{)·7}}\right)=3 +\left(\frac{15}{35} +\frac{28}{35}\right)= \\ =3+\frac{43}{35}=3+1\frac{8}{35}=4\frac{8}{35} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму $4\frac{2}{9} + 3\frac{5}{18}$, сначала сложим целые части, а затем дробные.
1. Складываем целые части: $4 + 3 = 7$.
2. Складываем дробные части: $\frac{2}{9} + \frac{5}{18}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 18 - это 18.
Приводим первую дробь к знаменателю 18: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$.
Теперь складываем дроби: $\frac{4}{18} + \frac{5}{18} = \frac{4+5}{18} = \frac{9}{18}$.
3. Сокращаем полученную дробь: $\frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2}$.
4. Складываем результат сложения целых и дробных частей: $7 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2}$.
Ответ: $7\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти сумму $3\frac{5}{12} + 4\frac{7}{9}$, сложим отдельно целые и дробные части.
1. Складываем целые части: $3 + 4 = 7$.
2. Складываем дробные части: $\frac{5}{12} + \frac{7}{9}$. Найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 12 и 9. НОК(12, 9) = 36.
Приводим дроби к знаменателю 36: $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$; $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$.
Складываем дроби: $\frac{15}{36} + \frac{28}{36} = \frac{15+28}{36} = \frac{43}{36}$.
3. Так как дробь $\frac{43}{36}$ неправильная, выделяем из нее целую часть: $\frac{43}{36} = 1\frac{7}{36}$.
4. Добавляем полученную целую часть к сумме целых частей: $7 + 1\frac{7}{36} = 8\frac{7}{36}$.
Ответ: $8\frac{7}{36}$.

в) Чтобы найти сумму $7\frac{11}{12} + 1\frac{3}{8}$, сложим отдельно целые и дробные части.
1. Складываем целые части: $7 + 1 = 8$.
2. Складываем дробные части: $\frac{11}{12} + \frac{3}{8}$. НОК(12, 8) = 24.
Приводим дроби к знаменателю 24: $\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{22}{24}$; $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
Складываем дроби: $\frac{22}{24} + \frac{9}{24} = \frac{22+9}{24} = \frac{31}{24}$.
3. Выделяем целую часть из неправильной дроби: $\frac{31}{24} = 1\frac{7}{24}$.
4. Складываем результат с суммой целых частей: $8 + 1\frac{7}{24} = 9\frac{7}{24}$.
Ответ: $9\frac{7}{24}$.

г) Чтобы найти сумму $4\frac{3}{8} + 2\frac{4}{11}$, сложим отдельно целые и дробные части.
1. Складываем целые части: $4 + 2 = 6$.
2. Складываем дробные части: $\frac{3}{8} + \frac{4}{11}$. Так как 8 и 11 взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: $8 \cdot 11 = 88$.
Приводим дроби к знаменателю 88: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \frac{33}{88}$; $\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 8}{11 \cdot 8} = \frac{32}{88}$.
Складываем дроби: $\frac{33}{88} + \frac{32}{88} = \frac{33+32}{88} = \frac{65}{88}$.
3. Дробь $\frac{65}{88}$ правильная и несократимая.
4. Складываем целую и дробную части: $6 + \frac{65}{88} = 6\frac{65}{88}$.
Ответ: $6\frac{65}{88}$.

д) Чтобы найти сумму $6\frac{5}{11} + 5$, нужно сложить целые части, а дробную часть оставить без изменений.
1. Складываем целые части: $6 + 5 = 11$.
2. Дробная часть остается $\frac{5}{11}$.
3. Результат: $11\frac{5}{11}$.
Ответ: $11\frac{5}{11}$.

е) Чтобы найти сумму $7\frac{3}{7} + \frac{5}{21}$, сложим дробные части, а целую часть оставим без изменений, так как второе слагаемое - правильная дробь.
1. Складываем дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{5}{21}$. НОК(7, 21) = 21.
Приводим первую дробь к знаменателю 21: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21}$.
Складываем дроби: $\frac{9}{21} + \frac{5}{21} = \frac{9+5}{21} = \frac{14}{21}$.
2. Сокращаем полученную дробь: $\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$.
3. Добавляем целую часть: $7 + \frac{2}{3} = 7\frac{2}{3}$.
Ответ: $7\frac{2}{3}$.

ж) Чтобы найти сумму $6 + 4\frac{2}{7}$, нужно сложить целые части, а дробную часть оставить без изменений.
1. Складываем целые части: $6 + 4 = 10$.
2. Дробная часть остается $\frac{2}{7}$.
3. Результат: $10\frac{2}{7}$.
Ответ: $10\frac{2}{7}$.

з) Чтобы найти сумму $\frac{3}{7} + 3\frac{4}{5}$, сложим дробные части, а целую часть второго слагаемого учтем в конце.
1. Складываем дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{4}{5}$. НОК(7, 5) = 35.
Приводим дроби к знаменателю 35: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$; $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{28}{35}$.
Складываем дроби: $\frac{15}{35} + \frac{28}{35} = \frac{15+28}{35} = \frac{43}{35}$.
2. Выделяем целую часть из неправильной дроби: $\frac{43}{35} = 1\frac{8}{35}$.
3. Добавляем полученное число к целой части второго слагаемого: $3 + 1\frac{8}{35} = 4\frac{8}{35}$.
Ответ: $4\frac{8}{35}$.

2.206. Найдите разность:

а) 1 – 45; б) 2 – 37; в) 7 – 413; г) 6 – 159; д) 9 – 347; е) 5 – 4211.

2.206

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }1-\frac{4}{5}=\frac{5}{5}-\frac{4}{5}=\frac{1}{5};$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{2}-\frac{3}{7}=1 +1 -\frac{3}{7}=1+\frac{7}{7}-\frac{3}{7}= \\ =1+\frac{4}{7}=1\frac{4}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7-\frac{4}{13}=6 +1 -\frac{4}{13}=6+\frac{13}{13}-\frac{4}{13}= \\ =6+\frac{9}{13}=6\frac{9}{13}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }6-1\frac{5}{9}=\left(6 - 1\right)-\frac{5}{9}=5-\frac{5}{9}=4 + 1 -\frac{5}{9}= \\ =4+\frac{9}{9}-\frac{5}{9}=4+\frac{4}{9}=4\frac{4}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }9-3\frac{4}{7}=\left(9 - 3\right)-\frac{4}{7}=6-\frac{4}{7}=5 + 1 -\frac{4}{7}= \\ =5+\frac{7}{7}-\frac{4}{7}=5+\frac{3}{7}=5\frac{3}{7}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }5-4\frac{2}{11}=\left(5 - 4\right)-\frac{2}{11}=1-\frac{2}{11}= \\ =\frac{11}{11}-\frac{2}{11}=\frac{9}{11}. \end{gathered}$$

а) Чтобы найти разность, представим число 1 в виде дроби со знаменателем 5. Единица – это дробь, у которой числитель равен знаменателю.
$1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5-4}{5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) Чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно "занять" единицу у целого числа и представить эту единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби.
$2 - \frac{3}{7} = (1+1) - \frac{3}{7} = 1 + \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 1 + \frac{7-3}{7} = 1\frac{4}{7}$.
Ответ: $1\frac{4}{7}$.

в) "Займем" единицу у числа 7 и представим ее в виде дроби со знаменателем 13.
$7 - \frac{4}{13} = 6 + 1 - \frac{4}{13} = 6 + \frac{13}{13} - \frac{4}{13} = 6 + \frac{13-4}{13} = 6\frac{9}{13}$.
Ответ: $6\frac{9}{13}$.

г) Чтобы вычесть смешанное число из целого, удобно сначала вычесть целую часть, а затем дробную.
$6 - 1\frac{5}{9} = (6 - 1) - \frac{5}{9} = 5 - \frac{5}{9}$.
Теперь "займем" единицу у 5:
$5 - \frac{5}{9} = 4\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = 4\frac{9-5}{9} = 4\frac{4}{9}$.
Ответ: $4\frac{4}{9}$.

д) Вычтем из целого числа сначала целую часть вычитаемого, а затем дробную.
$9 - 3\frac{4}{7} = (9 - 3) - \frac{4}{7} = 6 - \frac{4}{7}$.
"Займем" единицу у 6:
$6 - \frac{4}{7} = 5\frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 5\frac{7-4}{7} = 5\frac{3}{7}$.
Ответ: $5\frac{3}{7}$.

е) Выполним вычитание поэтапно: сначала вычтем целую часть, потом дробную.
$5 - 4\frac{2}{11} = (5 - 4) - \frac{2}{11} = 1 - \frac{2}{11}$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 11:
$1 - \frac{2}{11} = \frac{11}{11} - \frac{2}{11} = \frac{11-2}{11} = \frac{9}{11}$.
Ответ: $\frac{9}{11}$.

2.207. Выполните вычитание:

а) 5715 – 320; б) 4712 – 29; в) 657 – 314; г) 757 – 423; д) 323 – 3411; е) 7512 – 329.

2.207

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}{ 5\frac{7}{15}}^{\overline{)·4}}-{\frac{3}{20}}^{\overline{)·3}}=5 + \left(\frac{28}{60}-\frac{9}{60}\right)= \\ =5+\frac{19}{60}=5\frac{19}{60}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}{ 4\frac{7}{12}}^{\overline{)·3}}-{\frac{2}{9}}^{\overline{)·4}}=4 + \left(\frac{21}{36}-\frac{8}{36}\right)= \\ =4+\frac{13}{36}=4\frac{13}{36}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}{ 6\frac{5}{7}}^{\overline{)·2}}-\frac{3}{14}=6 + \left(\frac{10}{14}-\frac{3}{14}\right)= \\ =6+\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}=6+\frac{1}{2}=6\frac{1}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}{ 7\frac{5}{7}}^{\overline{)·3}}-4{\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}}=\left(7 - 4\right) + \left(\frac{15}{21}-\frac{14}{21}\right)= \\ =3+\frac{1}{21}=3\frac{1}{21}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}{ 3\frac{2}{3}}^{\overline{)·11}}-3{\frac{4}{11}}^{\overline{)·3}}=\left(3 - 3\right) + \\ + \left(\frac{22}{33}-\frac{12}{33}\right)=\frac{10}{33}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}{ 7\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}}-3{\frac{2}{9}}^{\overline{)·4}}=\left(7 - 3\right) + \\ +\left(\frac{15}{36}-\frac{8}{36}\right)=4+\frac{7}{36}=4\frac{7}{36}. \end{gathered}$$

а) $5\frac{7}{15} - \frac{3}{20}$
Для вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 15 и 20.
Разложим на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$; $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 5$.
НОК(15, 20) = $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$
Теперь выполним вычитание:
$5\frac{7}{15} - \frac{3}{20} = 5\frac{28}{60} - \frac{9}{60} = 5\frac{28 - 9}{60} = 5\frac{19}{60}$.
Ответ: $5\frac{19}{60}$.

б) $4\frac{7}{12} - \frac{2}{9}$
Найдем НОК для знаменателей 12 и 9.
$12 = 3 \cdot 4$; $9 = 3 \cdot 3$.
НОК(12, 9) = $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}$
Выполним вычитание:
$4\frac{7}{12} - \frac{2}{9} = 4\frac{21}{36} - \frac{8}{36} = 4\frac{21 - 8}{36} = 4\frac{13}{36}$.
Ответ: $4\frac{13}{36}$.

в) $6\frac{5}{7} - \frac{3}{14}$
Общий знаменатель для 7 и 14 это 14. Приведем первую дробь к этому знаменателю:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$
Выполним вычитание:
$6\frac{5}{7} - \frac{3}{14} = 6\frac{10}{14} - \frac{3}{14} = 6\frac{10 - 3}{14} = 6\frac{7}{14}$.
Сократим дробную часть: $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Получаем: $6\frac{1}{2}$.
Ответ: $6\frac{1}{2}$.

г) $7\frac{5}{7} - 4\frac{2}{3}$
Вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитание целых частей: $7 - 4 = 3$.
Вычитание дробных частей: $\frac{5}{7} - \frac{2}{3}$.
НОК(7, 3) = 21.
$\frac{5}{7} - \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{21} - \frac{2 \cdot 7}{21} = \frac{15 - 14}{21} = \frac{1}{21}$.
Складываем полученные результаты: $3 + \frac{1}{21} = 3\frac{1}{21}$.
Ответ: $3\frac{1}{21}$.

д) $3\frac{2}{3} - 3\frac{4}{11}$
Вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитание целых частей: $3 - 3 = 0$.
Вычитание дробных частей: $\frac{2}{3} - \frac{4}{11}$.
НОК(3, 11) = 33.
$\frac{2}{3} - \frac{4}{11} = \frac{2 \cdot 11}{33} - \frac{4 \cdot 3}{33} = \frac{22 - 12}{33} = \frac{10}{33}$.
Ответ: $\frac{10}{33}$.

е) $7\frac{5}{12} - 3\frac{2}{9}$
Вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитание целых частей: $7 - 3 = 4$.
Вычитание дробных частей: $\frac{5}{12} - \frac{2}{9}$.
НОК(12, 9) = 36.
$\frac{5}{12} - \frac{2}{9} = \frac{5 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36} = \frac{15 - 8}{36} = \frac{7}{36}$.
Складываем полученные результаты: $4 + \frac{7}{36} = 4\frac{7}{36}$.
Ответ: $4\frac{7}{36}$.

2.208. Выполните действие:

а) 1415 – 1720; б) 7415 – 79; в) 2512 – 78; г) 1112 – 31118; д) 9211 – 759; е) 2625 – 1710; ж) 312 – 234; з) 12512 – 91318.

2.208

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}{ 1\frac{4}{15}}^{\overline{)·4}}-{\frac{17}{20}}^{\overline{)·7}}=1\frac{16}{60}-\frac{51}{60}= \\ =\frac{60}{60}+\frac{16}{60}-\frac{51}{60}=\frac{76}{60}-\frac{51}{60}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{12}{\cancel{60}}}}=\frac{5}{12}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}{ 7\frac{4}{15}}^{\overline{)·3}}-{\frac{7}{9}}^{\overline{)·5}}=7\frac{12}{45}-\frac{35}{45}= \\ =\left(6+1\right)+\frac{12}{45}-\frac{35}{45}=6+\frac{45}{45}+\frac{12}{45}-\frac{35}{45}= \\ =6+\frac{57}{45}-\frac{35}{45}=6\frac{22}{45}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}{ 2\frac{5}{12}}^{\overline{)·2}}-{\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}}=2\frac{10}{24}-\frac{21}{24}= \\ =\left(1+1\right)+\frac{10}{24}-\frac{21}{24}=1+\frac{24}{24}+\frac{10}{24}-\frac{21}{24}= \\ =1+\frac{34}{24}-\frac{21}{24}=1\frac{13}{24}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}{ 11\frac{1}{2}}^{\overline{)·9}}-3\frac{11}{18}=11\frac{9}{18}-3\frac{11}{18}= \\ =\left(11-3\right)+\frac{9}{18}-\frac{11}{18}=8+\frac{9}{18}-\frac{11}{18}= \\ =(7+1)+\frac{9}{18}-\frac{11}{18}=7+\frac{18}{18}+\frac{9}{18}-\frac{11}{18}= \\ =7+ \frac{27}{18}-\frac{11}{18}=7+ \frac{16}{18}=7\frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{18}}}}=7\frac{8}{9}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}{ 9\frac{2}{11}}^{\overline{)·9}}-{7\frac{5}{9}}^{\overline{)·11}}=9\frac{18}{99}-7\frac{55}{99}= \\ =\left(9-7\right)+\frac{18}{99}-\frac{55}{99}=2+\frac{18}{99}-\frac{55}{99}= \\ =(1+1)+\frac{18}{99}-\frac{55}{99}=1+\frac{99}{99}+\frac{18}{99}-\frac{55}{99}= \\ =1+ \frac{117}{99}-\frac{55}{99}=1+ \frac{62}{99}=1\frac{62}{99}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}{ 2\frac{6}{25}}^{\overline{)·2}}-{1\frac{7}{10}}^{\overline{)·5}}= 2\frac{12}{50}-1\frac{35}{50}= \\ =\left(2-1\right)+ \frac{12}{50}-\frac{35}{50}=1+\frac{12}{50}-\frac{35}{50}= \\ =\frac{50}{50}+\frac{12}{50}-\frac{35}{50}=\frac{62}{50}-\frac{35}{50}=\frac{27}{50}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)}{ 3\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}-2\frac{3}{4}= 3\frac{2}{4}-2\frac{3}{4}= \\ =\left(3-2\right)+\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=1+\frac{2}{4}-\frac{3}{4}= \\ =\frac{4}{4}+\frac{2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}{ 12\frac{5}{12}}^{\overline{)·3}}-{9\frac{13}{18}}^{\overline{)·2}}= 12\frac{15}{36}-9\frac{26}{36}= \\ =\left(12-9\right)+\frac{15}{36}-\frac{26}{36}=3+\frac{15}{36}-\frac{26}{36}= \\ =(2+1)+\frac{15}{36}-\frac{26}{36}=2+\frac{36}{36}+\frac{15}{36}-\frac{26}{36}= \\ =2+\frac{51}{36}-\frac{26}{36}=2+\frac{25}{36}=2\frac{25}{36}. \end{gathered}$$

а) $1\frac{4}{15} - \frac{17}{20}$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{19}{15}$
Теперь найдем общий знаменатель для дробей $\frac{19}{15}$ и $\frac{17}{20}$. Наименьшее общее кратное (НОК) для 15 и 20 равно 60.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{19}{15} = \frac{19 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{76}{60}$
$\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{51}{60}$
Выполним вычитание:
$\frac{76}{60} - \frac{51}{60} = \frac{76 - 51}{60} = \frac{25}{60}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{25}{60} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

б) $7\frac{4}{15} - \frac{7}{9}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. НОК для 15 и 9 равно 45.
$7\frac{4}{15} = 7\frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = 7\frac{12}{45}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45}$
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{12}{45}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{35}{45}$), "займем" единицу у целой части:
$7\frac{12}{45} = 6 + 1 + \frac{12}{45} = 6 + \frac{45}{45} + \frac{12}{45} = 6\frac{57}{45}$
Теперь выполним вычитание:
$6\frac{57}{45} - \frac{35}{45} = 6\frac{57-35}{45} = 6\frac{22}{45}$
Ответ: $6\frac{22}{45}$

в) $2\frac{5}{12} - \frac{7}{8}$
Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК для 12 и 8 равно 24.
$2\frac{5}{12} = 2\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 2\frac{10}{24}$
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$
Так как $\frac{10}{24} < \frac{21}{24}$, "займем" единицу у целой части:
$2\frac{10}{24} = 1 + 1 + \frac{10}{24} = 1 + \frac{24}{24} + \frac{10}{24} = 1\frac{34}{24}$
Выполним вычитание:
$1\frac{34}{24} - \frac{21}{24} = 1\frac{34-21}{24} = 1\frac{13}{24}$
Ответ: $1\frac{13}{24}$

г) $11\frac{1}{2} - 3\frac{11}{18}$
Вычтем целые части: $11 - 3 = 8$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{1}{2} - \frac{11}{18}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$
Получаем: $11\frac{9}{18} - 3\frac{11}{18}$.
Так как $\frac{9}{18} < \frac{11}{18}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$11\frac{9}{18} = 10 + 1 + \frac{9}{18} = 10 + \frac{18}{18} + \frac{9}{18} = 10\frac{27}{18}$
Теперь выполним вычитание:
$10\frac{27}{18} - 3\frac{11}{18} = (10-3) + (\frac{27-11}{18}) = 7\frac{16}{18}$
Сократим дробную часть: $\frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $7\frac{8}{9}$

д) $9\frac{2}{11} - 7\frac{5}{9}$
Найдем общий знаменатель для дробных частей. НОК для 11 и 9 равно 99.
$9\frac{2}{11} = 9\frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = 9\frac{18}{99}$
$7\frac{5}{9} = 7\frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} = 7\frac{55}{99}$
Так как $\frac{18}{99} < \frac{55}{99}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$9\frac{18}{99} = 8 + 1 + \frac{18}{99} = 8 + \frac{99}{99} + \frac{18}{99} = 8\frac{117}{99}$
Теперь выполним вычитание:
$8\frac{117}{99} - 7\frac{55}{99} = (8-7) + (\frac{117-55}{99}) = 1\frac{62}{99}$
Ответ: $1\frac{62}{99}$

е) $2\frac{6}{25} - 1\frac{7}{10}$
Найдем общий знаменатель для дробных частей. НОК для 25 и 10 равно 50.
$2\frac{6}{25} = 2\frac{6 \cdot 2}{25 \cdot 2} = 2\frac{12}{50}$
$1\frac{7}{10} = 1\frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 5} = 1\frac{35}{50}$
Так как $\frac{12}{50} < \frac{35}{50}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$2\frac{12}{50} = 1 + 1 + \frac{12}{50} = 1 + \frac{50}{50} + \frac{12}{50} = 1\frac{62}{50}$
Выполним вычитание:
$1\frac{62}{50} - 1\frac{35}{50} = (1-1) + (\frac{62-35}{50}) = 0 + \frac{27}{50} = \frac{27}{50}$
Ответ: $\frac{27}{50}$

ж) $3\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4}$
Приведем дробные части к общему знаменателю 4.
$3\frac{1}{2} = 3\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 3\frac{2}{4}$
Получаем выражение: $3\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4}$.
Так как $\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$3\frac{2}{4} = 2 + 1 + \frac{2}{4} = 2 + \frac{4}{4} + \frac{2}{4} = 2\frac{6}{4}$
Выполним вычитание:
$2\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = (2-2) + (\frac{6-3}{4}) = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

з) $12\frac{5}{12} - 9\frac{13}{18}$
Найдем общий знаменатель для дробных частей. НОК для 12 и 18 равно 36.
$12\frac{5}{12} = 12\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 12\frac{15}{36}$
$9\frac{13}{18} = 9\frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 9\frac{26}{36}$
Так как $\frac{15}{36} < \frac{26}{36}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$12\frac{15}{36} = 11 + 1 + \frac{15}{36} = 11 + \frac{36}{36} + \frac{15}{36} = 11\frac{51}{36}$
Выполним вычитание:
$11\frac{51}{36} - 9\frac{26}{36} = (11-9) + (\frac{51-26}{36}) = 2\frac{25}{36}$
Ответ: $2\frac{25}{36}$