Страница 66, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.156. Запишите шесть дробей с числителем 7, меньших 711.

2.156

$\frac{7}{12};\frac{7}{13};\frac{7}{19};\frac{7}{20};\frac{7}{36};\frac{7}{51}$

(можно брать любой знаменатель больше 11)

Для решения этой задачи необходимо найти шесть дробей с числителем 7, которые будут меньше, чем дробь $\frac{7}{11}$.

Воспользуемся основным правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Мы ищем дроби вида $\frac{7}{x}$, которые удовлетворяют неравенству:
$\frac{7}{x} < \frac{7}{11}$

Чтобы это неравенство было верным, знаменатель $x$ искомой дроби должен быть больше знаменателя дроби $\frac{7}{11}$, то есть больше 11. Математически это записывается как $x > 11$.

Нам нужно указать шесть таких дробей. Для этого выберем любые шесть целых чисел, которые больше 11. Самый простой способ — взять первые шесть целых чисел, идущих после 11:
12, 13, 14, 15, 16, 17.

Теперь запишем дроби с числителем 7 и этими знаменателями:
$\frac{7}{12}, \frac{7}{13}, \frac{7}{14}, \frac{7}{15}, \frac{7}{16}, \frac{7}{17}$.

Все эти дроби удовлетворяют условию задачи, так как их числитель равен 7, а знаменатель каждой из них больше 11. Стоит отметить, что можно было выбрать и любые другие шесть чисел, больших 11 (например, 20, 50, 100, 200, 500, 1000).

Ответ: $\frac{7}{12}, \frac{7}{13}, \frac{7}{14}, \frac{7}{15}, \frac{7}{16}, \frac{7}{17}$.

2.157. Запишите все дроби со знаменателем 13, меньшие 1513 и большие 713. Отметьте эти дроби на координатной прямой.

2.157

$\frac{8}{13};\frac{9}{13};\frac{10}{13};\frac{11}{13};\frac{12}{13};\frac{13}{13};\frac{14}{13}– \mathrm{меньшие} \frac{15}{13} \mathrm{и} \mathrm{большие}\frac{ 7}{13}$

Запишите все дроби со знаменателем 13, меньшие $\frac{15}{13}$ и бóльшие $\frac{7}{13}$

Нам нужно найти все дроби вида $\frac{n}{13}$, где $n$ — целое число, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$\frac{7}{13} < \frac{n}{13} < \frac{15}{13}$

Поскольку все дроби в неравенстве имеют одинаковый знаменатель (13), мы можем сравнить их числители. Неравенство для числителей будет выглядеть так:

$7 < n < 15$

Это означает, что нам нужно найти все целые числа $n$, которые строго больше 7 и строго меньше 15. Перечислим эти числа:

$n = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$

Теперь подставим эти значения $n$ обратно в дробь $\frac{n}{13}$, чтобы получить искомые дроби:

$\frac{8}{13}, \frac{9}{13}, \frac{10}{13}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}, \frac{13}{13}, \frac{14}{13}$

Обратите внимание, что дробь $\frac{13}{13}$ равна 1.

Ответ: $\frac{8}{13}, \frac{9}{13}, \frac{10}{13}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}, \frac{13}{13}, \frac{14}{13}$.

Отметьте эти дроби на координатной прямой

Для того чтобы отметить эти дроби на координатной прямой, мы сначала начертим прямую и выберем единичный отрезок. Разделим этот отрезок (от 0 до 1) на 13 равных частей. Каждая такая часть будет соответствовать $\frac{1}{13}$.

Затем отложим от начала координат (точки 0) соответствующее количество таких частей для каждой дроби. Например, дробь $\frac{8}{13}$ будет находиться на расстоянии 8 таких частей от нуля. Дробь $\frac{13}{13}$ совпадет с точкой 1.

На координатной прямой ниже искомые дроби отмечены красными точками.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками представлена на рисунке выше.

2.158. В новом парке 1120 всех деревьев занимают саженцы берёзы, а 1335 — ясеня. Каких саженцев в парке больше: берёзы или ясеня?

2.158

сравним дроби $\frac{11}{20}$ и $\frac{13}{35}$

$\mathrm{НОК} (20; 35) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140$

$\frac{11}{20}=\frac{11 · 7}{20 · 7}=\frac{77}{140}$– саженцы березы

$\frac{13}{35}=\frac{13 · 4}{35 · 4}=\frac{52}{140}$– саженцы ясеня

$\mathrm{т}.\mathrm{к}. \frac{77}{140} >\frac{52}{140},$ то саженцев березы больше, чем саженцев ясеня

Ответ: саженцев березы

Чтобы определить, каких саженцев в парке больше, необходимо сравнить дроби, которые представляют долю каждого вида деревьев от общего количества: $\frac{11}{20}$ для саженцев берёзы и $\frac{13}{35}$ для саженцев ясеня.

Для сравнения дробей с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 20 и 35.

1. Нахождение наименьшего общего знаменателя.
Разложим знаменатели на простые множители:
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$35 = 5 \cdot 7$
Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители, взяв каждый в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(20, 35) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
Таким образом, общий знаменатель для дробей равен 140.

2. Приведение дробей к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{11}{20}$ (берёзы) найдем дополнительный множитель: $140 \div 20 = 7$.
$\frac{11}{20} = \frac{11 \times 7}{20 \times 7} = \frac{77}{140}$.
Для дроби $\frac{13}{35}$ (ясеня) найдем дополнительный множитель: $140 \div 35 = 4$.
$\frac{13}{35} = \frac{13 \times 4}{35 \times 4} = \frac{52}{140}$.

3. Сравнение дробей и вывод.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{77}{140}$ и $\frac{52}{140}$.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравниваем числители: $77 > 52$.
Следовательно, $\frac{77}{140} > \frac{52}{140}$, а это значит, что $\frac{11}{20} > \frac{13}{35}$.
Это означает, что доля саженцев берёзы в парке больше, чем доля саженцев ясеня.

Ответ: саженцев берёзы в парке больше.

2.159. Мастер делает необходимое количество деталей за 6 ч, а ученик — за 8 ч. Кто 11 делает больше деталей: ученик за 7 ч или мастер за 5 ч?

2.159

$7 : 8 =\frac{ 7}{8}$деталей – сделает ученик за 7 часов

$5 : 6 = \frac{5}{6}$деталей – сделает мастер за 5 часов

сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{5}{6}$

НОК ( 8: 6) = 24

$$\begin{gathered} \frac{7}{8}=\frac{7 · 3}{8 · 3}=\frac{21}{24} \\ \frac{5}{6}=\frac{5 · 4}{6 · 4}=\frac{20}{24} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{21}{24} >\frac{20}{24}$, то больше сделает ученик

Ответ: больше сделает ученик.

Для решения этой задачи необходимо сравнить объемы работы, которые выполнят мастер и ученик за указанное время. Для этого сначала найдем их производительность (какую часть всей работы каждый из них выполняет за 1 час). Примем все необходимое количество деталей за 1 (одну целую).

Производительность мастера

Мастер делает все детали за 6 часов. Следовательно, его производительность $P_М$ составляет:
$P_М = \frac{1}{6}$ всей работы в час.

Производительность ученика

Ученик делает все детали за 8 часов. Следовательно, его производительность $P_У$ составляет:
$P_У = \frac{1}{8}$ всей работы в час.

Кто делает больше деталей: ученик за 7 ч или мастер за 5 ч?

Теперь рассчитаем, какую часть работы выполнит каждый за отведенное ему время.

Часть работы, которую выполнит мастер за 5 часов:
$N_М = P_М \times 5 = \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$ всей работы.

Часть работы, которую выполнит ученик за 7 часов:
$N_У = P_У \times 7 = \frac{1}{8} \times 7 = \frac{7}{8}$ всей работы.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сравнить две дроби: $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 8 равно 24.

Преобразуем первую дробь:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$

Преобразуем вторую дробь:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}$

Теперь сравним полученные дроби:
$\frac{21}{24} > \frac{20}{24}$

Отсюда следует, что $\frac{7}{8} > \frac{5}{6}$.

Таким образом, ученик за 7 часов сделает больше деталей, чем мастер за 5 часов.

Ответ: ученик за 7 ч сделает больше деталей.

2.160. Части какого бруса длиннее: пятиметрового, распиленного на 7 равных частей, или шестиметрового, распиленного на 10 равных частей?

2.160

$5 : 7 = \frac{5}{7}$(м) – длина части пятиметрового бруса

$6 : 10 = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{3}{5}$(м) – длина части шестиметрового бруса

сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{5}$

НОК (7; 5) = 35

$$\begin{gathered} \frac{5}{7}=\frac{5 · 5}{7 · 5}=\frac{25}{35} \\ \frac{3}{5}=\frac{3 · 7}{5 · 7}=\frac{21}{35} \end{gathered}$$

т.к. $\frac{25}{35}>\frac{21}{35}$, то длиннее часть пятиметрового бруса.

Ответ: часть пятиметрового бруса.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо найти длину одной части для каждого из двух брусьев, а затем сравнить полученные значения.

Первый брус имеет длину 5 метров и распилен на 7 равных частей. Длина одной такой части вычисляется делением общей длины на количество частей:

$5 \div 7 = \frac{5}{7}$ метра.

Второй брус имеет длину 6 метров и распилен на 10 равных частей. Длина одной его части равна:

$6 \div 10 = \frac{6}{10}$ метра.

Теперь нам нужно сравнить две дроби: $\frac{5}{7}$ и $\frac{6}{10}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 10 является их произведение, то есть 70.

Приведем первую дробь к знаменателю 70, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 10}{7 \times 10} = \frac{50}{70}$

Приведем вторую дробь к знаменателю 70, умножив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{6}{10} = \frac{6 \times 7}{10 \times 7} = \frac{42}{70}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сравнить их числители:

$50 > 42$

Это означает, что:

$\frac{50}{70} > \frac{42}{70}$, и следовательно, $\frac{5}{7} > \frac{6}{10}$

Таким образом, части пятиметрового бруса длиннее частей шестиметрового.

Ответ: части пятиметрового бруса, распиленного на 7 равных частей, длиннее.

2.161. Выполните построение по алгоритму:

1) Начертите координатную прямую с единичным отрезком 24 клетки. Отметьте точку М(34) .

2) Отложите влево от точки М отрезок MN, равный 524 единичного отрезка. Запишите координату точки N.

3) Отложите от точки N вправо отрезок NK, равный 512 единичного отрезка. Запишите координату точки К.

Как можно найти координаты точек N и К, не выполняя построений?

2.161

$\frac{3}{4}=\frac{3 · 6}{4 · 6}=\frac{18}{24}$

${\frac{3}{4}}^{\overline{)·6}}-\frac{5}{24}=\frac{18}{24}-\frac{5}{24}=\frac{13}{24}$– координата точки N

$\frac{13}{24}+{\frac{5}{12}}^{\overline{)·2}}=\frac{13}{24}+\frac{10}{24}=\frac{23}{24}$– координата точки К.

1) Начертите координатную прямую с единичным отрезком 24 клетки. Отметьте точку M(3/4).

Чтобы отметить точку M на координатной прямой, нужно определить ее положение в клетках от начала координат (точки 0). Единичный отрезок равен 24 клеткам, а координата точки M — $ \frac{3}{4} $. Найдем, скольким клеткам это соответствует:

$ 24 \cdot \frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18 $ клеток.

Это означает, что точка M должна быть отмечена на расстоянии 18 клеток вправо от начала координат.

Ответ: Точка M($\frac{3}{4}$) находится на расстоянии 18 клеток вправо от начала координат.

2) Отложите влево от точки M отрезок MN, равный 5/24 единичного отрезка. Запишите координату точки N.

Чтобы найти координату точки N, нужно из координаты точки M вычесть длину отрезка MN, так как он откладывается влево (в сторону уменьшения координат). Длина отрезка MN составляет $ \frac{5}{24} $ от единичного отрезка.

Вычислим координату точки N:

$ N = M - \frac{5}{24} = \frac{3}{4} - \frac{5}{24} $

Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 24:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24} $

Теперь выполним вычитание:

$ N = \frac{18}{24} - \frac{5}{24} = \frac{18 - 5}{24} = \frac{13}{24} $

Ответ: Координата точки N равна $ \frac{13}{24} $.

3) Отложите от точки N вправо отрезок NK, равный 5/12 единичного отрезка. Запишите координату точки K.

Чтобы найти координату точки K, нужно к координате точки N прибавить длину отрезка NK, так как он откладывается вправо (в сторону увеличения координат). Длина отрезка NK составляет $ \frac{5}{12} $ от единичного отрезка.

Вычислим координату точки K:

$ K = N + \frac{5}{12} = \frac{13}{24} + \frac{5}{12} $

Приведем дробь $ \frac{5}{12} $ к знаменателю 24:

$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $

Теперь выполним сложение:

$ K = \frac{13}{24} + \frac{10}{24} = \frac{13 + 10}{24} = \frac{23}{24} $

Ответ: Координата точки K равна $ \frac{23}{24} $.

Как можно найти координаты точек N и K, не выполняя построений?

Найти координаты точек N и K, не выполняя построений, можно с помощью арифметических действий с дробями.

1. Нахождение координаты точки N. Движение влево по координатной прямой соответствует вычитанию. Поэтому, чтобы найти координату точки N, нужно из координаты точки M вычесть длину отрезка MN:

$ N = M - MN = \frac{3}{4} - \frac{5}{24} = \frac{18}{24} - \frac{5}{24} = \frac{13}{24} $

2. Нахождение координаты точки K. Движение вправо по координатной прямой соответствует сложению. Поэтому, чтобы найти координату точки K, нужно к координате точки N прибавить длину отрезка NK:

$ K = N + NK = \frac{13}{24} + \frac{5}{12} = \frac{13}{24} + \frac{10}{24} = \frac{23}{24} $

Таким образом, зная начальную координату и величины смещений, можно вычислить конечные координаты с помощью сложения и вычитания.

Ответ: Координату точки N можно найти, вычтя из координаты M($\frac{3}{4}$) длину отрезка MN ($\frac{5}{24}$). Координату точки K можно найти, прибавив к полученной координате N длину отрезка NK ($\frac{5}{12}$).

2.162. Вычислите:

а) 12 + 15; б) 121 + 17; в) 35 + 217; г) 17 + 79; д) 57 + 0; е) 23 - 25; ж) 12 - 113; е) 35 - 47; и) 57 - 29; к) 421 - 0; л) 47 + 45; м) 712 + 1321.

2.162

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{2}}^{\overline{)·5}}+{\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{21}+{\frac{1}{7}}^{\overline{)·3}}=\frac{1}{21}+\frac{3}{21}=\frac{4}{21}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·17}}+{\frac{2}{17}}^{\overline{)·5}}=\frac{51}{85}+\frac{10}{85}=\frac{61}{85}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{7}}^{\overline{)·9}}+{\frac{7}{9}}^{\overline{)·7}}=\frac{9}{63}+\frac{49}{63}=\frac{58}{63}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{7}+0=\frac{5}{7}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}}-{\frac{2}{5}}^{\overline{)·3}}=\frac{10}{15}-\frac{6}{15}=\frac{4}{15}$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{2}}^{\overline{)·13}}-{\frac{1}{13}}^{\overline{)·2}}=\frac{13}{26}-\frac{2}{26}=\frac{11}{26}$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·7}}-{\frac{4}{7}}^{\overline{)·5}}=\frac{21}{35}-\frac{20}{35}=\frac{1}{35}$

$\mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{7}}^{\overline{)·9}}-{\frac{2}{9}}^{\overline{)·7}}=\frac{45}{63}-\frac{14}{63}=\frac{31}{63}$

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{21}-0=\frac{4}{21}$

$\mathbf{л}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{7}}^{\overline{)·5}}+{\frac{4}{5}}^{\overline{)·7}}=\frac{20}{35}+\frac{28}{35}=\frac{48}{35}=1\frac{13}{35}$

$\mathbf{м}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{12}}^{\overline{)·7}}+{\frac{13}{21}}^{\overline{)·4}}=\frac{49}{84}+\frac{52}{84}=\frac{101}{84}=1\frac{17}{84}$

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{5} $, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 5 равен их произведению, то есть 10. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 5, а второй дроби на 2: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} $. Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений: $ \frac{5+2}{10} = \frac{7}{10} $.
Ответ: $ \frac{7}{10} $.

б) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{21} $ и $ \frac{1}{7} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 7 это 21, так как 21 делится на 7. Домножим вторую дробь на 3: $ \frac{1}{21} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{1}{21} + \frac{3}{21} $. Сложим числители: $ \frac{1+3}{21} = \frac{4}{21} $.
Ответ: $ \frac{4}{21} $.

в) Для сложения дробей $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{2}{17} $ найдем общий знаменатель. Так как 5 и 17 — простые числа, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 5 \cdot 17 = 85 $. Приведем дроби к этому знаменателю: $ \frac{3 \cdot 17}{5 \cdot 17} + \frac{2 \cdot 5}{17 \cdot 5} = \frac{51}{85} + \frac{10}{85} $. Сложим числители: $ \frac{51+10}{85} = \frac{61}{85} $.
Ответ: $ \frac{61}{85} $.

г) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{7}{9} $, найдем общий знаменатель, который равен $ 7 \cdot 9 = 63 $. $ \frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{9}{63} + \frac{49}{63} $. Сложим числители: $ \frac{9+49}{63} = \frac{58}{63} $.
Ответ: $ \frac{58}{63} $.

д) Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. $ \frac{5}{7} + 0 = \frac{5}{7} $.
Ответ: $ \frac{5}{7} $.

е) Чтобы вычесть дробь $ \frac{2}{5} $ из дроби $ \frac{2}{3} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15. $ \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} $. Вычтем числители: $ \frac{10-6}{15} = \frac{4}{15} $.
Ответ: $ \frac{4}{15} $.

ж) Для вычитания дробей $ \frac{1}{2} - \frac{1}{13} $ найдем общий знаменатель. Он равен $ 2 \cdot 13 = 26 $. $ \frac{1 \cdot 13}{2 \cdot 13} - \frac{1 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{13}{26} - \frac{2}{26} $. Вычтем числители: $ \frac{13-2}{26} = \frac{11}{26} $.
Ответ: $ \frac{11}{26} $.

з) Для вычитания дробей $ \frac{3}{5} - \frac{4}{7} $ найдем общий знаменатель, который равен $ 5 \cdot 7 = 35 $. $ \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} - \frac{20}{35} $. Вычтем числители: $ \frac{21-20}{35} = \frac{1}{35} $.
Ответ: $ \frac{1}{35} $.

и) Для вычитания дробей $ \frac{5}{7} - \frac{2}{9} $ найдем общий знаменатель, который равен $ 7 \cdot 9 = 63 $. $ \frac{5 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{45}{63} - \frac{14}{63} $. Вычтем числители: $ \frac{45-14}{63} = \frac{31}{63} $.
Ответ: $ \frac{31}{63} $.

к) Вычитание нуля из любого числа не изменяет это число. $ \frac{4}{21} - 0 = \frac{4}{21} $.
Ответ: $ \frac{4}{21} $.

л) Чтобы сложить дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{5} $, приведем их к общему знаменателю, который равен $ 7 \cdot 5 = 35 $. $ \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{20}{35} + \frac{28}{35} = \frac{20+28}{35} = \frac{48}{35} $. Так как числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Выделим целую часть: $ \frac{48}{35} = 1 \frac{13}{35} $.
Ответ: $ 1 \frac{13}{35} $.

м) Чтобы сложить дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{13}{21} $, найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 21. Разложим знаменатели на простые множители: $ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 $ и $ 21 = 3 \cdot 7 $. Наименьшее общее кратное равно $ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 $. Приведем дроби к знаменателю 84: $ \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7} + \frac{13 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{49}{84} + \frac{52}{84} $. Сложим числители: $ \frac{49+52}{84} = \frac{101}{84} $. Выделим целую часть: $ \frac{101}{84} = 1 \frac{17}{84} $.
Ответ: $ 1 \frac{17}{84} $.

2.163. На координатной прямой отмечен N(1n), M(1m) и K(1k) (рис. 2.5).

Отметьте на координатной прямой точку с координатами:

а) 1m + 1n; б) 1k - 1m; в) 1k - 1n; г) 1n + 1k.

2.163

а)

б)

в)

г)

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания чисел на координатной прямой. Нам даны точки $ M(\frac{1}{m}) $, $ N(\frac{1}{n}) $ и $ K(\frac{1}{k}) $. Координата каждой точки представляет собой расстояние от начала координат (точки 0) до этой точки. Таким образом, длина отрезка OM равна $ \frac{1}{m} $, длина отрезка ON равна $ \frac{1}{n} $, а длина отрезка OK равна $ \frac{1}{k} $.

Чтобы найти точку, соответствующую сумме двух координат, нужно от точки, соответствующей первому слагаемому, отложить вправо отрезок, равный по длине расстоянию от нуля до точки, соответствующей второму слагаемому. Для нахождения разности нужно откладывать отрезок влево.

а) $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} $

Чтобы найти точку с координатой $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} $, мы можем взять точку N с координатой $ \frac{1}{n} $ и прибавить к ней величину $ \frac{1}{m} $. Геометрически это означает, что нужно от точки N сдвинуться вправо (в сторону увеличения чисел) на расстояние, равное $ \frac{1}{m} $. Это расстояние равно длине отрезка OM (от начала координат до точки M).

Таким образом, для нахождения искомой точки необходимо от точки N отложить вправо отрезок, равный по длине отрезку OM.

Ответ: Отметить точку, которая находится справа от точки N на расстоянии, равном длине отрезка OM.

б) $ \frac{1}{k} - \frac{1}{m} $

Чтобы найти точку с координатой $ \frac{1}{k} - \frac{1}{m} $, мы должны из координаты точки K, равной $ \frac{1}{k} $, вычесть величину $ \frac{1}{m} $. Геометрически это соответствует сдвигу от точки K влево (в сторону уменьшения чисел) на расстояние, равное $ \frac{1}{m} $. Это расстояние равно длине отрезка OM.

Следовательно, для нахождения искомой точки нужно от точки K отложить влево отрезок, равный по длине отрезку OM.

Ответ: Отметить точку, которая находится слева от точки K на расстоянии, равном длине отрезка OM.

в) $ \frac{1}{k} - \frac{1}{n} $

Чтобы найти точку с координатой $ \frac{1}{k} - \frac{1}{n} $, мы должны из координаты точки K, равной $ \frac{1}{k} $, вычесть величину $ \frac{1}{n} $. Геометрически это соответствует сдвигу от точки K влево на расстояние, равное $ \frac{1}{n} $. Это расстояние равно длине отрезка ON (от начала координат до точки N).

Таким образом, для нахождения искомой точки нужно от точки K отложить влево отрезок, равный по длине отрезку ON. Также можно заметить, что искомая координата $ \frac{1}{k} - \frac{1}{n} $ в точности равна длине отрезка NK. Значит, можно отложить отрезок длиной NK от начала координат вправо.

Ответ: Отметить точку, которая находится слева от точки K на расстоянии, равном длине отрезка ON.

г) $ \frac{1}{n} + \frac{1}{k} $

Чтобы найти точку с координатой $ \frac{1}{n} + \frac{1}{k} $, мы можем к координате точки K, равной $ \frac{1}{k} $, прибавить величину $ \frac{1}{n} $. Геометрически это означает, что нужно от точки K сдвинуться вправо на расстояние, равное $ \frac{1}{n} $. Это расстояние равно длине отрезка ON.

Следовательно, для нахождения искомой точки нужно от точки K отложить вправо отрезок, равный по длине отрезку ON.

Ответ: Отметить точку, которая находится справа от точки K на расстоянии, равном длине отрезка ON.

2.164. Найдите сумму:

а) 16 + 58;

б) 78 + 514;

в) 710 + 325;

г) 2770 + 16105;

д) 1118 + 181;

е) 512 + 344;

ж) 1556 + 1184;

з) 1121 + 349.

2.164

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{1}{6}}^{\overline{)·4}}+{\frac{5}{8}}^{\overline{)·3}}=\frac{4}{24}+\frac{15}{24}=\frac{19}{24}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{8}}^{\overline{)·7}}+{\frac{5}{14}}^{\overline{)·4}}=\frac{49}{56}+\frac{20}{56}=\frac{69}{56}=1\frac{13}{56}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{10}}^{\overline{)·5}}+{\frac{3}{25}}^{\overline{)·2}}=\frac{35}{50}+\frac{6}{50}=\frac{41}{50}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{27}{70}}^{\overline{)·3}}+{\frac{16}{105}}^{\overline{)·2}}=\frac{81}{210}+\frac{32}{210}=\frac{113}{210}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{18}}^{\overline{)·9}}+{\frac{1}{81}}^{\overline{)·2}}=\frac{99}{162}+\frac{2}{162}=\frac{101}{162}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{12}}^{\overline{)·11}}+{\frac{3}{44}}^{\overline{)·3}}=\frac{55}{132}+\frac{9}{132}=\frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{64}}}}{{\displaystyle \underset{33}{\cancel{132}}}}=\frac{16}{33}$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{15}{56}}^{\overline{)·3}}+{\frac{11}{84}}^{\overline{)·2}}=\frac{45}{169}+\frac{22}{168}=\frac{67}{168}$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{21}}^{\overline{)·7}}+{\frac{3}{49}}^{\overline{)·3}}=\frac{77}{147}+\frac{9}{147}=\frac{86}{147}$

а) $\frac{1}{6} + \frac{5}{8}$
Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 6 и 8 равен 24. Дополнительный множитель для первой дроби $24 \div 6 = 4$, для второй $24 \div 8 = 3$.
$\frac{1}{6} + \frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 4}{24} + \frac{5 \cdot 3}{24} = \frac{4 + 15}{24} = \frac{19}{24}$.
Ответ: $\frac{19}{24}$.

б) $\frac{7}{8} + \frac{5}{14}$
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(8, 14) = 56. Дополнительные множители: 7 для первой дроби и 4 для второй.
$\frac{7}{8} + \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 7}{56} + \frac{5 \cdot 4}{56} = \frac{49 + 20}{56} = \frac{69}{56}$.
Ответ: $\frac{69}{56}$.

в) $\frac{7}{10} + \frac{3}{25}$
Наименьший общий знаменатель для 10 и 25 равен 50. Дополнительный множитель для $\frac{7}{10}$ это 5, а для $\frac{3}{25}$ это 2.
$\frac{7}{10} + \frac{3}{25} = \frac{7 \cdot 5}{50} + \frac{3 \cdot 2}{50} = \frac{35 + 6}{50} = \frac{41}{50}$.
Ответ: $\frac{41}{50}$.

г) $\frac{27}{70} + \frac{16}{105}$
Находим наименьший общий знаменатель для 70 и 105. НОЗ(70, 105) = 210.
$\frac{27}{70} + \frac{16}{105} = \frac{27 \cdot 3}{210} + \frac{16 \cdot 2}{210} = \frac{81 + 32}{210} = \frac{113}{210}$.
Ответ: $\frac{113}{210}$.

д) $\frac{11}{18} + \frac{1}{81}$
Наименьший общий знаменатель для 18 и 81 равен 162.
$\frac{11}{18} + \frac{1}{81} = \frac{11 \cdot 9}{162} + \frac{1 \cdot 2}{162} = \frac{99 + 2}{162} = \frac{101}{162}$.
Ответ: $\frac{101}{162}$.

е) $\frac{5}{12} + \frac{3}{44}$
Приведем дроби к общему знаменателю. НОЗ(12, 44) = 132.
$\frac{5}{12} + \frac{3}{44} = \frac{5 \cdot 11}{132} + \frac{3 \cdot 3}{132} = \frac{55 + 9}{132} = \frac{64}{132}$.
Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4.
$\frac{64 \div 4}{132 \div 4} = \frac{16}{33}$.
Ответ: $\frac{16}{33}$.

ж) $\frac{15}{56} + \frac{11}{84}$
Находим наименьший общий знаменатель. НОЗ(56, 84) = 168.
$\frac{15}{56} + \frac{11}{84} = \frac{15 \cdot 3}{168} + \frac{11 \cdot 2}{168} = \frac{45 + 22}{168} = \frac{67}{168}$.
Ответ: $\frac{67}{168}$.

з) $\frac{11}{21} + \frac{3}{49}$
Наименьший общий знаменатель для 21 и 49 равен 147.
$\frac{11}{21} + \frac{3}{49} = \frac{11 \cdot 7}{147} + \frac{3 \cdot 3}{147} = \frac{77 + 9}{147} = \frac{86}{147}$.
Ответ: $\frac{86}{147}$.

2.165. Найдите разность:

а) 56 – 510;

б) 320 – 328;

в) 34 – 114;

г) 715 – 239;

д) 2633 – 744;

е) 1121 – 314;

ж) 922 – 726;

з) 3340 – 715.

2.165

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{6}}^{\overline{)·5}}-{\frac{5}{10}}^{\overline{)·3}}=\frac{25}{30}-\frac{15}{30}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{30}}}}=\frac{1}{3}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{10}}^{\overline{)·7}}-{\frac{3}{28}}^{\overline{)·5}}=\frac{21}{140}-\frac{15}{140}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{70}{\cancel{140}}}}=\frac{3}{70}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{4}}^{\overline{)·7}}-{\frac{1}{14}}^{\overline{)·2}}=\frac{21}{28}-\frac{2}{28}=\frac{19}{28}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{15}}^{\overline{)·13}}-{\frac{2}{39}}^{\overline{)·5}}=\frac{91}{195}-\frac{10}{195}=\frac{{\displaystyle \stackrel{27}{\cancel{81}}}}{{\displaystyle \underset{65}{\cancel{195}}}}=\frac{27}{65}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{26}{33}}^{\overline{)·4}}-{\frac{7}{44}}^{\overline{)·3}}=\frac{104}{132}-\frac{21}{132}=\frac{83}{132}$

$\mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{21}}^{\overline{)·2}}-{\frac{3}{14}}^{\overline{)·3}}=\frac{22}{42}-\frac{9}{42}=\frac{13}{42}$

$\mathbf{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{9}{22}}^{\overline{)·13}}-{\frac{7}{26}}^{\overline{)·11}}=\frac{117}{286}-\frac{77}{286}=\frac{{\displaystyle \stackrel{20}{\cancel{40}}}}{{\displaystyle \underset{143}{\cancel{286}}}}=\frac{20}{143}$

$\mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{33}{40}}^{\overline{)·3}}-{\frac{7}{15}}^{\overline{)·8}}=\frac{99}{120}-\frac{56}{120}=\frac{43}{120}$

а) Чтобы найти разность дробей, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6 и 10 равно 30. Дополнительный множитель для первой дроби – 5 ($30 \div 6 = 5$), для второй – 3 ($30 \div 10 = 3$).

$ \frac{5}{6} - \frac{5}{10} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{5 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{25}{30} - \frac{15}{30} = \frac{25 - 15}{30} = \frac{10}{30} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{10}{30} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

б) Приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на простые множители: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$. НОК(20, 28) = $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$. Дополнительный множитель для первой дроби – 7 ($140 \div 20 = 7$), для второй – 5 ($140 \div 28 = 5$).

$ \frac{3}{20} - \frac{3}{28} = \frac{3 \cdot 7}{20 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 5}{28 \cdot 5} = \frac{21}{140} - \frac{15}{140} = \frac{21 - 15}{140} = \frac{6}{140} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{6}{140} = \frac{3}{70} $

Ответ: $ \frac{3}{70} $

в) Найдем общий знаменатель для дробей. НОК(4, 14) = 28. Дополнительный множитель для первой дроби – 7 ($28 \div 4 = 7$), для второй – 2 ($28 \div 14 = 2$).

$ \frac{3}{4} - \frac{1}{14} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{21}{28} - \frac{2}{28} = \frac{21 - 2}{28} = \frac{19}{28} $

Дробь несократима, так как 19 – простое число.

Ответ: $ \frac{19}{28} $

г) Найдем общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$. НОК(15, 39) = $3 \cdot 5 \cdot 13 = 195$. Дополнительный множитель для первой дроби – 13 ($195 \div 15 = 13$), для второй – 5 ($195 \div 39 = 5$).

$ \frac{7}{15} - \frac{2}{39} = \frac{7 \cdot 13}{15 \cdot 13} - \frac{2 \cdot 5}{39 \cdot 5} = \frac{91}{195} - \frac{10}{195} = \frac{91 - 10}{195} = \frac{81}{195} $

Сократим дробь на 3:

$ \frac{81}{195} = \frac{27}{65} $

Ответ: $ \frac{27}{65} $

д) Найдем общий знаменатель. Разложим знаменатели на множители: $33 = 3 \cdot 11$, $44 = 4 \cdot 11$. НОК(33, 44) = $3 \cdot 4 \cdot 11 = 132$. Дополнительный множитель для первой дроби – 4 ($132 \div 33 = 4$), для второй – 3 ($132 \div 44 = 3$).

$ \frac{26}{33} - \frac{7}{44} = \frac{26 \cdot 4}{33 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3}{44 \cdot 3} = \frac{104}{132} - \frac{21}{132} = \frac{104 - 21}{132} = \frac{83}{132} $

Дробь несократима, так как 83 – простое число.

Ответ: $ \frac{83}{132} $

е) Найдем общий знаменатель. НОК(21, 14) = 42. Дополнительный множитель для первой дроби – 2 ($42 \div 21 = 2$), для второй – 3 ($42 \div 14 = 3$).

$ \frac{11}{21} - \frac{3}{14} = \frac{11 \cdot 2}{21 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{22}{42} - \frac{9}{42} = \frac{22 - 9}{42} = \frac{13}{42} $

Дробь несократима, так как 13 – простое число.

Ответ: $ \frac{13}{42} $

ж) Найдем общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$, $26 = 2 \cdot 13$. НОК(22, 26) = $2 \cdot 11 \cdot 13 = 286$. Дополнительный множитель для первой дроби – 13 ($286 \div 22 = 13$), для второй – 11 ($286 \div 26 = 11$).

$ \frac{9}{22} - \frac{7}{26} = \frac{9 \cdot 13}{22 \cdot 13} - \frac{7 \cdot 11}{26 \cdot 11} = \frac{117}{286} - \frac{77}{286} = \frac{117 - 77}{286} = \frac{40}{286} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{40}{286} = \frac{20}{143} $

Ответ: $ \frac{20}{143} $

з) Найдем общий знаменатель. НОК(40, 15) = 120. Дополнительный множитель для первой дроби – 3 ($120 \div 40 = 3$), для второй – 8 ($120 \div 15 = 8$).

$ \frac{33}{40} - \frac{7}{15} = \frac{33 \cdot 3}{40 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{99}{120} - \frac{56}{120} = \frac{99 - 56}{120} = \frac{43}{120} $

Дробь несократима, так как 43 – простое число.

Ответ: $ \frac{43}{120} $

4.358. Можно ли дробь 1а если а = 4; а = 25; а = 6; а = 8:
а) представить в виде десятичной дроби;
б) привести к знаменателю 100?

4.358

а) можно при а = 4; а = 25; а = 8

б) можно при а = 4; а = 25

а) представить в виде десятичной дроби;

Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Проверим это для каждого значения а.

При $a = 4$: дробь $\frac{1}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. Его единственный простой делитель — это 2. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0.25$.

При $a = 25$: дробь $\frac{1}{25}$. Знаменатель $25 = 5^2$. Его единственный простой делитель — это 5. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} = 0.04$.

При $a = 6$: дробь $\frac{1}{6}$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. В разложении знаменателя на простые множители присутствует 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической:
$\frac{1}{6} = 0.1666... = 0.1(6)$.

При $a = 8$: дробь $\frac{1}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. Его единственный простой делитель — это 2. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0.125$.

Ответ: при $a=4$ — можно; при $a=25$ — можно; при $a=6$ — нельзя; при $a=8$ — можно.

б) привести к знаменателю 100?

Дробь $\frac{1}{a}$ можно привести к знаменателю 100, если 100 делится на $a$ без остатка, то есть если $a$ является делителем числа 100.

При $a = 4$: $100 \div 4 = 25$. Так как 100 делится на 4 нацело, дробь можно привести к знаменателю 100.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$. Можно.

При $a = 25$: $100 \div 25 = 4$. Так как 100 делится на 25 нацело, дробь можно привести к знаменателю 100.
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100}$. Можно.

При $a = 6$: $100 \div 6 = 16$ (остаток 4). Так как 100 не делится на 6 нацело, дробь нельзя привести к знаменателю 100. Нельзя.

При $a = 8$: $100 \div 8 = 12$ (остаток 4). Так как 100 не делится на 8 нацело, дробь нельзя привести к знаменателю 100. Нельзя.

Ответ: при $a=4$ — можно; при $a=25$ — можно; при $a=6$ — нельзя; при $a=8$ — нельзя.

4.359. Вычислите:
1) –3,78 : 4,2 + 49,49 : 4,9;
2) 1,35 : (–1,5) + 98,98 : 9,8;
3) (1 – 1,2 · 1,7) · (–3,5);
4) (1 – 1,4 · 1,8) · (–1,5);
5) (23 – 79) : 129;
6) (– 34 + 1516) : (–118).

4.359

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-3,78 : 4,2 + 49,49 : 4,9 = -(3,78 : 4,2) + \\ + 494,9 : 49 = -(37,8 : 42) + 10,1 = - 0,9 + \\ + 10,1 = 10,1 – 0,9 = 9,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1,35 : (-1,5) + 98,98 : 9,8 = -(1,35 : 1,5) + \\ + 989,8 : 98 = -(13,5 : 15) + 10,1 = \\ =- 0,9 + 10,1 = 10,1 – 0,9 = 9,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }(1 – 1,2 · 1,7) · (-3,5) = (1 – 2,04) · (-3,5) = \\ = (1 + (-2,04)) · (-3,5) = - (2,04 -1) · (-3,5) = \\ = - 1,04 · (-3,5) = 3,64 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }(1 – 1,4 · 1,8) · (-1,5) = (1 – 2,52) · (-1,5) = \\ = (1 +(– 2,52)) · (-1,5) = - (2,52 – 1) · (-1,5) = \\ = - 1,52 · (-1,5) = 2,28 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} \left({\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}} - \frac{7}{9}\right) : 1\frac{2}{9} = \left(\frac{6}{9} - \frac{7}{9}\right) : \frac{11}{9} = \\ = - \left(\frac{7}{9} - \frac{6}{9}\right) · \frac{9}{11} = -\frac{1}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{11} = -\frac{1}{11}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)} \left({-\frac{3}{4}}^{\overline{)·4}} + \frac{15}{16}\right) : \left(-1\frac{1}{8}\right) = \left(-\frac{12}{16} + \frac{15}{16}\right) : \left(-\frac{9}{8}\right)= \\ = \left(\frac{15}{16} - \frac{12}{16}\right) · \left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{16}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{9}}}}\right) = \\ = \frac{1}{2} · \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{6} \end{gathered}$$

1) $-3,78 : 4,2 + 49,49 : 4,9$

Решение: Порядок действий предписывает сначала выполнить деление, а затем сложение.

1. Выполним первое деление: $-3,78 : 4,2$. Для удобства избавимся от дробей в делителе, умножив делимое и делитель на 10: $-37,8 : 42 = -0,9$.

2. Выполним второе деление: $49,49 : 4,9$. Умножим делимое и делитель на 10: $494,9 : 49 = 10,1$.

3. Выполним сложение результатов: $-0,9 + 10,1 = 9,2$.

$-3,78 : 4,2 + 49,49 : 4,9 = -0,9 + 10,1 = 9,2$.

Ответ: 9,2

2) $1,35 : (-1,5) + 98,98 : 9,8$

Решение: Сначала выполняем деление, затем сложение.

1. Выполним первое деление: $1,35 : (-1,5)$. Результат будет отрицательным. Умножим делимое и делитель на 10: $13,5 : (-15) = -0,9$.

2. Выполним второе деление: $98,98 : 9,8$. Умножим делимое и делитель на 10: $989,8 : 98 = 10,1$.

3. Выполним сложение: $-0,9 + 10,1 = 9,2$.

$1,35 : (-1,5) + 98,98 : 9,8 = -0,9 + 10,1 = 9,2$.

Ответ: 9,2

3) $(1 - 1,2 \cdot 1,7) \cdot (-3,5)$

Решение: Сначала выполняем действия в скобках (умножение, затем вычитание), после чего выполняем умножение за скобками.

1. Выполним умножение в скобках: $1,2 \cdot 1,7 = 2,04$.

2. Выполним вычитание в скобках: $1 - 2,04 = -1,04$.

3. Выполним умножение результата на число за скобками: $-1,04 \cdot (-3,5)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $1,04 \cdot 3,5 = 3,64$.

$(1 - 1,2 \cdot 1,7) \cdot (-3,5) = (1 - 2,04) \cdot (-3,5) = -1,04 \cdot (-3,5) = 3,64$.

Ответ: 3,64

4) $(1 - 1,4 \cdot 1,8) \cdot (-1,5)$

Решение: Аналогично предыдущему примеру, сначала выполняем действия в скобках.

1. Умножение в скобках: $1,4 \cdot 1,8 = 2,52$.

2. Вычитание в скобках: $1 - 2,52 = -1,52$.

3. Умножение за скобками: $-1,52 \cdot (-1,5)$. Результат будет положительным: $1,52 \cdot 1,5 = 2,28$.

$(1 - 1,4 \cdot 1,8) \cdot (-1,5) = (1 - 2,52) \cdot (-1,5) = -1,52 \cdot (-1,5) = 2,28$.

Ответ: 2,28

5) $(\frac{2}{3} - \frac{7}{9}) : 1\frac{2}{9}$

Решение: Сначала выполняем вычитание в скобках, затем деление.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$.

$\frac{6}{9} - \frac{7}{9} = \frac{6-7}{9} = -\frac{1}{9}$.

2. Преобразуем смешанное число $1\frac{2}{9}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$-\frac{1}{9} : \frac{11}{9} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{11} = -\frac{1 \cdot 9}{9 \cdot 11} = -\frac{1}{11}$.

Ответ: $-\frac{1}{11}$

6) $(-\frac{3}{4} + \frac{15}{16}) : (-1\frac{1}{8})$

Решение: Сначала выполняем сложение в скобках, затем деление.

1. Выполним сложение дробей в скобках. Общий знаменатель - 16: $-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = -\frac{12}{16}$.

$-\frac{12}{16} + \frac{15}{16} = \frac{-12+15}{16} = \frac{3}{16}$.

2. Преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = -\frac{9}{8}$.

3. Выполним деление:

$\frac{3}{16} : (-\frac{9}{8}) = \frac{3}{16} \cdot (-\frac{8}{9}) = -\frac{3 \cdot 8}{16 \cdot 9} = -\frac{24}{144}$.

Сократим дробь на 24: $-\frac{24 : 24}{144 : 24} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$

4.360. Представьте в виде рационального числа pq значение выражения:

а) – 18 + 316; б) 4,8 – 5,9; в) – 49 · 1711; г) –4,8 · (–1,4); д) –1,25 : (–0,25); е) –1,6 : (–1,2).

4.360

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{1}{8}}^{\overline{)·2}} + \frac{3}{16} = -\frac{2}{16} + \frac{3}{16} = \\ = \frac{3}{16} - \frac{2}{16} = \frac{1}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 4,8 – 5,9 = 4,8 + (-5,9) = -(5,9 – 4,8) = \\ = -1,1 = -1\frac{1}{10} = -\frac{11}{10} = \frac{-11}{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{4}{9} · 1\frac{7}{11} = -\frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{18}}}}{11} = -\frac{4}{1} · \frac{2}{11} = \\ = -\frac{8}{11}=\frac{-8}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} -4,8 · (-1,4) = 4,8 · 1,4 = 4\frac{8}{10} · 1\frac{4}{10}= \\ = 4\frac{4}{5} · 1\frac{2}{5} = \frac{24}{5} · \frac{7}{5} = \frac{168}{25} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-1,25 : (-0,25) = 1,25 : 0,25 = \\ =125 : 25 = 5 =\frac{5}{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -1,6 : (-1,2) = 1,6 : 1,2 = 16 : 12 = \\ = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 16 это 16. Домножим первую дробь на 2.

$-\frac{1}{8} + \frac{3}{16} = -\frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16} = -\frac{2}{16} + \frac{3}{16} = \frac{-2+3}{16} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) Выполним вычитание десятичных дробей.

$4,8 - 5,9 = -1,1$.

Чтобы представить результат в виде рационального числа $\frac{p}{q}$, запишем десятичную дробь в виде обыкновенной:

$-1,1 = -\frac{11}{10}$.

Ответ: $-\frac{11}{10}$.

в) Для выполнения умножения сначала представим смешанное число $1\frac{7}{11}$ в виде неправильной дроби.

$1\frac{7}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{18}{11}$.

Теперь выполним умножение. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно. Сократим 9 и 18.

$-\frac{4}{9} \cdot \frac{18}{11} = -\frac{4 \cdot 18}{9 \cdot 11} = -\frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 11} = -\frac{8}{11}$.

Ответ: $-\frac{8}{11}$.

г) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и выполним умножение.

$-4,8 = -\frac{48}{10} = -\frac{24}{5}$.

$-1,4 = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}$.

$-4,8 \cdot (-1,4) = \left(-\frac{24}{5}\right) \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = \frac{24 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{168}{25}$.

Ответ: $\frac{168}{25}$.

д) Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, $-1,25 : (-0,25) = 1,25 : 0,25$.

Для удобства деления можно умножить делимое и делитель на 100:

$1,25 : 0,25 = 125 : 25 = 5$.

Представим результат в виде рационального числа $\frac{p}{q}$:

$5 = \frac{5}{1}$.

Ответ: $\frac{5}{1}$.

е) Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, $-1,6 : (-1,2) = 1,6 : 1,2$.

Представим деление в виде дроби и умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной запятой.

$\frac{1,6}{1,2} = \frac{1,6 \cdot 10}{1,2 \cdot 10} = \frac{16}{12}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\frac{16 : 4}{12 : 4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

4.361. Справедливо ли равенство:

а) 0,777... = 79; б) 0,208(3) = 524?

4.361

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,777\dots = \frac{7}{9} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 0,208(3) = \frac{5}{24} – \mathrm{верно}$

а)

Чтобы проверить, справедливо ли равенство $0,777... = \frac{7}{9}$, необходимо преобразовать бесконечную периодическую десятичную дробь $0,777...$ в обыкновенную дробь.
1. Обозначим число через $x$:
$x = 0,777...$
2. Поскольку в периоде дроби одна цифра (7), умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 7,777...$
3. Теперь вычтем из второго равенства первое. Это позволит избавиться от бесконечной дробной части:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
4. Найдем $x$:
$x = \frac{7}{9}$
В результате преобразования мы получили, что $0,777...$ равно $\frac{7}{9}$. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: равенство справедливо.

б)

Чтобы проверить, справедливо ли равенство $0,208(3) = \frac{5}{24}$, преобразуем смешанную периодическую дробь $0,208(3)$, которая равна $0,208333...$, в обыкновенную дробь.
1. Обозначим число через $x$:
$x = 0,208333...$
2. Умножим обе части равенства на 1000, чтобы непериодическая часть (208) оказалась слева от запятой:
$1000x = 208,333...$
3. Теперь умножим исходное равенство на 10000, чтобы сдвинуть запятую так, чтобы слева от нее оказалась непериодическая часть вместе с одной цифрой периода:
$10000x = 2083,333...$
4. Вычтем из второго полученного равенства первое, чтобы убрать периодическую часть:
$10000x - 1000x = 2083,333... - 208,333...$
$9000x = 1875$
5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:
$x = \frac{1875}{9000}$
Сократим дробь, последовательно деля числитель и знаменатель на общие делители. Наибольший общий делитель для 1875 и 9000 это 375.
$x = \frac{1875 \div 375}{9000 \div 375} = \frac{5}{24}$
Можно также сокращать пошагово:
$\frac{1875}{9000} = \frac{1875 \div 25}{9000 \div 25} = \frac{75}{360} = \frac{75 \div 15}{360 \div 15} = \frac{5}{24}$
В результате преобразования мы получили, что $0,208(3)$ равно $\frac{5}{24}$. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: равенство справедливо.

4.362. Представьте дроби 513, 1943, 617 в виде десятичных дробей, округленных до тысячных.

4.362

$\frac{5}{13}= 0,3846\dots \approx 0,385$

$\frac{19}{43} = 0,4418\dots \approx 0,442$

$\frac{6}{17} = 0,3529\dots \approx 0,353$

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Для округления до тысячных (третьего знака после запятой) нужно вычислить результат деления как минимум до четвертого знака после запятой и применить правило округления: если четвертая цифра после запятой 5 или больше, то третья цифра увеличивается на 1; если же она меньше 5, то третья цифра остается без изменений.

$\frac{5}{13}$
1. Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив 5 на 13:
$5 \div 13 = 0,384615...$
2. Округлим результат до тысячных. Разряд тысячных — это третья цифра после запятой, то есть 4. Следующая за ней цифра — 6.
3. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $4+1=5$.
$0,3846... \approx 0,385$
Ответ: 0,385

$\frac{19}{43}$
1. Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив 19 на 43:
$19 \div 43 = 0,44186...$
2. Округлим результат до тысячных. Третья цифра после запятой — 1. Следующая за ней цифра — 8.
3. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $1+1=2$.
$0,4418... \approx 0,442$
Ответ: 0,442

$\frac{6}{17}$
1. Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив 6 на 17:
$6 \div 17 = 0,352941...$
2. Округлим результат до тысячных. Третья цифра после запятой — 2. Следующая за ней цифра — 9.
3. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $2+1=3$.
$0,3529... \approx 0,353$
Ответ: 0,353

4.363. Между двумя мотоциклистами 44 км и скорость одного из них составляет 56 скорости другого. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что они едут навстречу друг другу и через 16 мин встретятся.

4.363

S = 44 км.

Пусть х км/ч – скорость второго мотоциклиста, тогда $\frac{5}{6} х$ км/ч – скорость первого мотоциклиста, $\left(х + \frac{5}{6}х\right)$ км/ч – скорость сближения мотоциклистов. Зная, что они встретятся через 16 минут, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \left(х + \frac{5}{6} х\right) · \frac{4}{15} = 44; \\ 1\frac{5}{6} х · \frac{4}{15} = 44; \\ 1\frac{5}{6} х = 44 : \frac{4}{15}; \\ 1\frac{5}{6} х = \stackrel{11}{\cancel{44}} · \frac{15}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}; \\ 1\frac{5}{6} х = 11 · 15; \\ \frac{11}{6} х = 165; \\ х = 165 : \frac{11}{6}; \\ х = \stackrel{15}{\cancel{165}} · \frac{6}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}; \\ х = 15 · \frac{6}{1}; \\ х = 15 · 6; \end{gathered}$$

х = 90 км/ч – скорость второго мотоциклиста

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{6}}}} · \stackrel{15}{\cancel{90}} = \frac{5}{1} · 15 = 5 · 15 = 75$ км/ч – скорость первого мотоциклиста.

Ответ: 90 км/ч; 75 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $v_2$ (в км/ч) — скорость второго мотоциклиста. Тогда, согласно условию, скорость первого мотоциклиста $v_1$ составляет $\frac{5}{6}$ от скорости второго, то есть $v_1 = \frac{5}{6}v_2$.

Мотоциклисты движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{5}{6}v_2 + v_2 = \frac{5}{6}v_2 + \frac{6}{6}v_2 = \frac{11}{6}v_2$

Общее расстояние, которое они проедут до встречи, равно начальному расстоянию между ними $S = 44$ км. Время до встречи $t = 16$ мин.

Для согласованности единиц измерения переведем время из минут в часы:

$t = 16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч}$

Расстояние, время и скорость сближения связаны формулой $S = v_{сбл} \times t$. Подставим известные значения и выражения в эту формулу:

$44 = \frac{11}{6}v_2 \times \frac{4}{15}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_2$:

$44 = \frac{11 \times 4}{6 \times 15}v_2$

$44 = \frac{44}{90}v_2$

Выразим $v_2$:

$v_2 = \frac{44 \times 90}{44} = 90$ км/ч.

Мы нашли скорость второго мотоциклиста. Теперь найдем скорость первого мотоциклиста:

$v_1 = \frac{5}{6}v_2 = \frac{5}{6} \times 90 = 5 \times 15 = 75$ км/ч.

Таким образом, скорость одного мотоциклиста равна 75 км/ч, а другого — 90 км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 75 км/ч, скорость другого мотоциклиста 90 км/ч.

4.364. Выполните действия:

6,93 · 58,5 · 3 + 6,54 · 711,9 · 6.

4.364

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \stackrel{2,31}{\bcancel{6,93}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1,7}{\cancel{8,5}}} ·{\displaystyle \underset{1}{ \bcancel{3}}}} + \frac{{\displaystyle \stackrel{1,09}{\bcancel{6,54}}} · {\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1,7}{\cancel{11,9}}} · {\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}}} = \frac{2,31 · 1}{ 1,7 · 1} + \frac{1,09 · 1}{1,7 · 1} = \\ =\frac{2,31}{1,7} + \frac{1,09}{1,7} = \frac{23,1}{17} + \frac{10,9}{17} = \frac{23,1 + 10,9}{17}= \\ = \frac{34}{17} = 2 \end{gathered}$$

Для решения данного примера выполним действия по порядку. Сначала вычислим значение каждого слагаемого, а затем сложим их.

1. Упростим первое слагаемое $\frac{6,93 \cdot 5}{8,5 \cdot 3}$
Заметим, что в числителе есть число 6,93, а в знаменателе 3. Мы можем сократить дробь на 3, так как сумма цифр числа 6,93 ($6+9+3=18$) делится на 3.
$6,93 \div 3 = 2,31$
После сокращения выражение примет вид:
$\frac{2,31 \cdot 5}{8,5} = \frac{11,55}{8,5}$
Чтобы упростить деление десятичных дробей, можно избавиться от запятых, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{11,55 \cdot 100}{8,5 \cdot 100} = \frac{1155}{850}$
Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, 1155 и 850, оканчиваются на 5 и 0, следовательно, они делятся на 5.
$1155 \div 5 = 231$
$850 \div 5 = 170$
Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{231}{170}$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{6,54 \cdot 7}{11,9 \cdot 6}$
Здесь мы можем сократить 6,54 и 6. Сумма цифр в числе 6,54 равна $6+5+4=15$, что делится на 3, и число является четным, значит, 6,54 делится на 6.
$6,54 \div 6 = 1,09$
Выражение примет вид:
$\frac{1,09 \cdot 7}{11,9}$
Теперь обратим внимание на знаменатель 11,9. Его можно представить как $119 \div 10 = (7 \cdot 17) \div 10 = 7 \cdot 1,7$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{1,09 \cdot 7}{1,7 \cdot 7}$
Сократим дробь на 7:
$\frac{1,09}{1,7}$
Как и в первом случае, избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{1,09 \cdot 100}{1,7 \cdot 100} = \frac{109}{170}$
Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{109}{170}$.

3. Сложим полученные результаты
Теперь, когда мы упростили оба слагаемых, мы можем их сложить. Так как у них одинаковый знаменатель, это сделать очень просто:
$\frac{231}{170} + \frac{109}{170} = \frac{231 + 109}{170}$
Выполним сложение в числителе:
$231 + 109 = 340$
Получаем:
$\frac{340}{170}$
Разделим числитель на знаменатель:
$340 \div 170 = 34 \div 17 = 2$

Ответ: 2

1. Выберите неверное утверждение.
а) Сумма любых рациональных чисел равна нулю.
б) Произведение любых рациональных чисел есть рациональное число.
в) Любое целое число является рациональным числом.

Проверочная работа

1.

Ответ: а)

Для того чтобы выбрать неверное утверждение, необходимо проанализировать каждое из них.

а) Сумма любых рациональных чисел равна нулю.

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести один контрпример. Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное. Возьмем два рациональных числа, например, $2$ и $3$. Оба являются рациональными, так как $2=\frac{2}{1}$ и $3=\frac{3}{1}$. Их сумма равна $2+3=5$. Так как $5 \neq 0$, утверждение, что сумма любых рациональных чисел равна нулю, является ложным.

Ответ: Утверждение неверно.

б) Произведение любых рациональных чисел есть рациональное число.

Это утверждение верно. Пусть есть два любых рациональных числа $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$, где $p_1, p_2$ — целые числа, а $q_1, q_2$ — натуральные числа. Их произведение $a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}$. Результат является рациональным числом, так как произведение целых чисел ($p_1 \cdot p_2$) является целым числом, а произведение натуральных чисел ($q_1 \cdot q_2$) — натуральным. Это свойство называется замкнутостью множества рациональных чисел относительно операции умножения.

Ответ: Утверждение верно.

в) Любое целое число является рациональным числом.

Это утверждение верно. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем $1$: $z = \frac{z}{1}$. Такое представление полностью соответствует определению рационального числа (отношение целого числа к натуральному). Следовательно, множество всех целых чисел ($\mathbb{Z}$) является подмножеством множества всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

Ответ: Утверждение верно.

Таким образом, неверным утверждением из предложенных является а).

2. Вычислите:

а) – 34 + 67; б) 355 – 25; в) 123 · 310; г) 38 : 214.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{3}{4}}^{\overline{)·7}} + {\frac{6}{7}}^{\overline{)·4}} = -\frac{21}{28} + \frac{24}{28} = \\ = \frac{24}{28} - \frac{21}{28} = \frac{3}{28} \end{gathered}$$

$\mathit{б}\mathbf{)} 3\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 3\frac{3}{5}$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{2}{3} · \frac{3}{10} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{\cancel{3}} · \frac{\cancel{3}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} = \frac{1}{1} · \frac{1}{2} = \\ = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8} : 2\frac{1}{4} = \frac{3}{8} : \frac{9}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}} = \\ = \frac{1}{2} · \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $-\frac{3}{4}$ и $\frac{6}{7}$ наименьшим общим знаменателем будет $4 \cdot 7 = 28$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7: $-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = -\frac{21}{28}$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 4: $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{24}{28}$.

Теперь выполним сложение полученных дробей: $-\frac{21}{28} + \frac{24}{28} = \frac{-21 + 24}{28} = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$.

б) В выражении $3\frac{5}{5} - \frac{2}{5}$ первое число $3\frac{5}{5}$ можно упростить, так как дробная часть $\frac{5}{5}$ равна 1. Следовательно, $3\frac{5}{5} = 3 + 1 = 4$.

Задание сводится к вычитанию: $4 - \frac{2}{5}$.

Представим 4 как смешанное число $3\frac{5}{5}$: $3\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 3 + (\frac{5}{5} - \frac{2}{5}) = 3 + \frac{5-2}{5} = 3\frac{3}{5}$.

Ответ: $3\frac{3}{5}$.

в) Для выполнения умножения $1\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10}$ необходимо сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь умножим полученные дроби: $\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{10}$.

Можно сократить дроби перед умножением: числитель первой дроби (5) и знаменатель второй (10) сокращаются на 5; знаменатель первой дроби (3) и числитель второй (3) сокращаются на 3.

$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для выполнения деления $\frac{3}{8} : 2\frac{1}{4}$ сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $\frac{3}{8} : \frac{9}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9}$.

Сократим дроби перед умножением: числитель первой дроби (3) и знаменатель второй (9) сокращаются на 3; числитель второй дроби (4) и знаменатель первой (8) сокращаются на 4.

$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

3. Выберите среди чисел 23; -18; 0; 223; –12,6; 4,8; –741; 525; 1934; –14; 12,14:
а) натуральные;
б) целые;
г) положительные;
д) дробные неотрицательные.

3.

а) натуральные числа: 23; 525

б) целые числа: 23; -18; 0; -741; 525; -14

в) положительные числа: 23; $\frac{2}{23}$; 4,8; 525; $19\frac{3}{4}$; 12,14

г) дробные неотрицательные числа: $\frac{2}{23}$; 4,8; $19\frac{3}{4}$; 12,14

а) натуральные;
Натуральные числа — это числа, используемые для счета, то есть целые положительные числа (1, 2, 3 и так далее). Из данного ряда чисел 23; -18; 0; $ \frac{2}{23} $; -12,6; 4,8; -741; 525; $ 19\frac{3}{4} $; -14; 12,14 выберем те, которые удовлетворяют этому определению.
Числа 23 и 525 являются целыми и положительными, следовательно, они натуральные.
Ответ: 23; 525.

б) целые;
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль. Они не имеют дробной части. Из исходного списка выберем все числа без дробной составляющей.
Такими числами являются 23, -18, 0, -741, 525, -14.
Ответ: 23; -18; 0; -741; 525; -14.

г) положительные;
Положительные числа — это все числа, которые строго больше нуля. Ноль не является положительным числом. Выберем из списка все числа, которые больше 0.
К ним относятся: 23; $ \frac{2}{23} $; 4,8; 525; $ 19\frac{3}{4} $; 12,14.
Ответ: 23; $ \frac{2}{23} $; 4,8; 525; $ 19\frac{3}{4} $; 12,14.

д) дробные неотрицательные.
Это числа, которые не являются целыми (имеют дробную часть) и при этом больше или равны нулю ($ \geq 0 $). Сначала найдем все неотрицательные числа в списке: 23; 0; $ \frac{2}{23} $; 4,8; 525; $ 19\frac{3}{4} $; 12,14. Затем из этой группы исключим целые числа (23, 0, 525).
В результате остаются следующие числа: $ \frac{2}{23} $; 4,8; $ 19\frac{3}{4} $; 12,14.
Ответ: $ \frac{2}{23} $; 4,8; $ 19\frac{3}{4} $; 12,14.

4. Запишите в виде десятичной дроби (конечной или периодической) число:

а) 716; б) 56.

4.

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{7}{16}= 0,4375$

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{6} = 0,8333\dots = 0,8(3)$

а)

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Дробь $ \frac{7}{16} $ будет конечной десятичной дробью, так как её знаменатель $ 16 $ является степенью числа 2 ($ 16 = 2^4 $), и в его разложении на простые множители отсутствуют числа, отличные от 2 и 5.

Выполним деление 7 на 16:

$ 7 \div 16 = 0.4375 $

Процесс деления в столбик выглядит так:

_7,0 | 16
6 4 | 0,4375
_60
48
_120
112
_80
80
0

Также можно домножить числитель и знаменатель на $ 5^4 = 625 $, чтобы в знаменателе получить степень десяти:

$ \frac{7}{16} = \frac{7}{2^4} = \frac{7 \cdot 5^4}{2^4 \cdot 5^4} = \frac{7 \cdot 625}{(2 \cdot 5)^4} = \frac{4375}{10^4} = \frac{4375}{10000} = 0.4375 $

Ответ: $0.4375$

б)

Для дроби $ \frac{5}{6} $ разложим знаменатель на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $. Так как в разложении присутствует множитель 3, данная дробь при переводе в десятичную станет бесконечной периодической.

Разделим 5 на 6 в столбик:

_5,0 | 6
4 8 | 0,833...
_20
18
_20
18
2

При делении мы видим, что остаток 2 начинает повторяться. Это означает, что в частном будет бесконечно повторяться цифра 3. Повторяющаяся цифра (или группа цифр) называется периодом и при записи числа заключается в скобки.

Ответ: $0.8(3)$