Страница 62, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.130. а) Каким должен быть знаменатель обыкновенной дроби, чтобы её можно было представить в виде десятичной?

б) Какие дроби можно представить в виде десятичной дроби:

35, 1225, 13, 712, 1115, 624?

2.130

а) Знаменатель должен быть кратным 10.

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{3}{5}= \frac{6}{10}$- можно

$\frac{12}{25}= \frac{48}{100}$- можно

$\frac{1}{3}$- нельзя

$\frac{7}{12}$- нельзя

$\frac{11}{15}$- нельзя

$\frac{6}{24}=\frac{6 : 6}{24 : 6}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$- можно.

а)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель, после сокращения дроби до несократимого вида, не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Это правило вытекает из определения десятичной дроби. Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет иметь в своём разложении на простые множители только 2 и 5 (например, $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$).

Таким образом, чтобы обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ можно было привести к знаменателю, равному степени 10, необходимо, чтобы знаменатель $n$ исходной несократимой дроби имел вид $n = 2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа.

Ответ: Знаменатель несократимой обыкновенной дроби должен раскладываться на простые множители, содержащие только числа 2 и 5.

б)

Применим правило из пункта а) к каждой из предложенных дробей. Для этого сначала сократим дробь, если это возможно, а затем разложим её знаменатель на простые множители.

• $\frac{3}{5}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 5. Его единственный простой множитель — это 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$.
• $\frac{12}{25}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 25, а его разложение на простые множители $25 = 5^2$. В разложении присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 0,48$.
• $\frac{1}{3}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 3. В разложении его знаменателя присутствует простой множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3)$.
• $\frac{7}{12}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 12, а его разложение на простые множители $12 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{7}{12} = 0,58333... = 0,58(3)$.
• $\frac{11}{15}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 15, а его разложение на простые множители $15 = 3 \cdot 5$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{11}{15} = 0,7333... = 0,7(3)$.
• $\frac{6}{24}$: дробь сократимая. Сначала сократим её: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 4, а его разложение на простые множители $4 = 2^2$. В разложении присутствует только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Ответ: В виде конечной десятичной дроби можно представить дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{12}{25}$ и $\frac{6}{24}$.

2.131. Запишите в виде десятичной дроби:

а) 24, 25, 3050;

б) 14, 1720, 925, 4950;

в) 38, 13125, 161250, 173500.

2.131

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{4}=\frac{2 : 2}{4 : 2}=\frac{1}{2}=\frac{1 · 5}{2 · 5}=\frac{5}{10}=0,5;$

$\frac{2}{5}=\frac{2 · 2}{5 · 2}=\frac{4}{10}=0,4;$

$\frac{30}{50}=\frac{30 : 10}{50 : 10}=\frac{3}{5}=\frac{3 ·2}{5 · 2}=\frac{6}{10}=0,6;$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{4}=\frac{1 · 25}{4 · 25}=\frac{20}{100} = 0,25;$

$\frac{17}{20} = \frac{17 · 5}{20 · 5}=\frac{85}{100}=0,85;$

$\frac{9}{25}=\frac{9 · 4}{25 · 4}=\frac{36}{100} = 0,36;$

$\frac{49}{50}=\frac{49 · 2}{50 · 2}= \frac{98}{100}=0,98;$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{8}=\frac{3 · 125}{8 · 125}=\frac{375}{1000}=0,375;$

$\frac{13}{125}=\frac{13 · 8}{125 · 8}=\frac{104}{1000}=0,104;$

$\frac{161}{250}=\frac{161 · 4}{250 · 4}=\frac{644}{1000}=0,644;$

$\frac{173}{500}= \frac{173 ·2}{500 · 2}= \frac{346}{1000}=0,346$

а)

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо привести ее к знаменателю, равному степени десяти (10, 100, 1000 и т.д.), либо разделить числитель на знаменатель.

Для дроби $\frac{2}{4}$ сначала сократим ее: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Затем приведем к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5: $\frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = 0,5$.

Для дроби $\frac{2}{5}$ приведем ее к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Для дроби $\frac{30}{50}$ приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{30 \times 2}{50 \times 2} = \frac{60}{100} = 0,6$.

Ответ: 0,5; 0,4; 0,6.

б)

Для дроби $\frac{1}{4}$ приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 25: $\frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Для дроби $\frac{17}{20}$ приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 5: $\frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} = 0,85$.

Для дроби $\frac{9}{25}$ приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 4: $\frac{9 \times 4}{25 \times 4} = \frac{36}{100} = 0,36$.

Для дроби $\frac{49}{50}$ приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{49 \times 2}{50 \times 2} = \frac{98}{100} = 0,98$.

Ответ: 0,25; 0,85; 0,36; 0,98.

в)

Для дроби $\frac{3}{8}$ приведем ее к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 125: $\frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$.

Для дроби $\frac{13}{125}$ приведем ее к знаменателю 1000, умножив числитель и знаменатель на 8: $\frac{13 \times 8}{125 \times 8} = \frac{104}{1000} = 0,104$.

Для дроби $\frac{161}{250}$ приведем ее к знаменателю 1000, умножив числитель и знаменатель на 4: $\frac{161 \times 4}{250 \times 4} = \frac{644}{1000} = 0,644$.

Для дроби $\frac{173}{500}$ приведем ее к знаменателю 1000, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{173 \times 2}{500 \times 2} = \frac{346}{1000} = 0,346$.

Ответ: 0,375; 0,104; 0,644; 0,346.

2.132. Запишите в виде:

а) десятичной дроби 34, 750, 1325, 18, 17250, 101200;

б) обыкновенной несократимой дроби 0,3; 0,5; 0,25; 0,28; 0,45; 0,80; 0,04; 0,125; 0,25; 0,75; 0,765.

2.132

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4}=\frac{3 · 25}{4 · 25}= \frac{75}{100}=0,75;$

$\frac{7}{50}=\frac{7 · 2}{50 · 2}= \frac{14}{100}=0,14;$

$\frac{13}{25}=\frac{13 · 4}{25 · 4}= \frac{52}{100}=0,52;$

$\frac{1}{8}=\frac{1 · 125}{8 · 125}= \frac{125}{1000}=0,125;$

$\frac{17}{250}=\frac{17 · 4}{250 · 4}= \frac{68}{1000}=0,068;$

$\frac{101}{200}=\frac{101 · 5}{200 · 5}= \frac{505}{1000}=0,505;$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }0,3 = \frac{3}{10};$

$0,5 = \frac{5}{10}=\frac{5 : 5}{10 : 5} = \frac{1}{2};$

$0,25 = \frac{25}{100}=\frac{25 :\hspace{0.17em}25}{100 : 25}=\frac{1}{4}$

$0,28 = \frac{28}{100}=\frac{28 :\hspace{0.17em}4}{100 : 4}=\frac{7}{25};$

$0,45 = \frac{45}{100}=\frac{45 :\hspace{0.17em}5}{100 : 5}=\frac{9}{20};$

$0,80 = \frac{80}{100}=\frac{80 :\hspace{0.17em}20}{100 : 20}=\frac{4}{5};$

$0,04 = \frac{4}{100}=\frac{4 :\hspace{0.17em}4}{100 : 4}=\frac{1}{25};$

$0,125 = \frac{125}{1000}=\frac{125 :\hspace{0.17em}125}{1000 : 125}=\frac{1}{8};$

$0,25 = \frac{25}{100}=\frac{25 :\hspace{0.17em}25}{100 : 25}=\frac{1}{4};$

$0,75 = \frac{75}{100}=\frac{75 :\hspace{0.17em}25}{100 : 25}=\frac{3}{4};$

$0,765 = \frac{765}{1000}=\frac{765 :\hspace{0.17em}5}{1000 : 5}=\frac{153}{200}.$

а)

Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Альтернативный способ — привести дробь к знаменателю, равному степени числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.), домножив числитель и знаменатель на одно и то же число.

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 $

$ \frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{14}{100} = 0,14 $

$ \frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 0,52 $

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125 $

$ \frac{17}{250} = \frac{17 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{68}{1000} = 0,068 $

$ \frac{101}{200} = \frac{101 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{505}{1000} = 0,505 $

Ответ: 0,75; 0,14; 0,52; 0,125; 0,068; 0,505.

б)

Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной несократимой дроби, следует представить её в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от количества знаков после запятой. Затем нужно сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

$ 0,3 = \frac{3}{10} $ (дробь несократимая, так как НОД(3, 10) = 1)

$ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $

$ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $

$ 0,28 = \frac{28}{100} = \frac{28 \div 4}{100 \div 4} = \frac{7}{25} $

$ 0,45 = \frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20} $

$ 0,80 = \frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5} $

$ 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{4 \div 4}{100 \div 4} = \frac{1}{25} $

$ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8} $

$ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $

$ 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4} $

$ 0,765 = \frac{765}{1000} = \frac{765 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{153}{200} $ (дробь несократимая, так как НОД(153, 200) = 1)

Ответ: $ \frac{3}{10} $; $ \frac{1}{2} $; $ \frac{1}{4} $; $ \frac{7}{25} $; $ \frac{9}{20} $; $ \frac{4}{5} $; $ \frac{1}{25} $; $ \frac{1}{8} $; $ \frac{1}{4} $; $ \frac{3}{4} $; $ \frac{153}{200} $.

2.133. Даны углы, равные 30º, 45º, 60º. Какую часть прямого угла составляют эти углы?

2.133

прямой угол равен 90°

$30° =\frac{ 30}{90}=\frac{30:30}{90:30}=\frac{1}{3}$– часть прямого угла

$45°= \frac{45}{90}=\frac{45:45}{90:45}=\frac{1}{2}$– часть прямого угла

$60° =\frac{60}{90}=\frac{60:30}{90:30}=\frac{2}{3}$– часть прямого угла

Для решения задачи необходимо определить, какую долю от величины прямого угла ($90^\circ$) составляет каждый из данных углов. Для этого мы разделим величину каждого угла на $90^\circ$.

Угол 30°
Чтобы найти, какую часть прямого угла составляет угол в $30^\circ$, нужно разделить $30^\circ$ на $90^\circ$:
$\frac{30^\circ}{90^\circ} = \frac{30}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 30:
$\frac{30 \div 30}{90 \div 30} = \frac{1}{3}$
Таким образом, угол в $30^\circ$ составляет $\frac{1}{3}$ прямого угла.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Угол 45°
Чтобы найти, какую часть прямого угла составляет угол в $45^\circ$, нужно разделить $45^\circ$ на $90^\circ$:
$\frac{45^\circ}{90^\circ} = \frac{45}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 45:
$\frac{45 \div 45}{90 \div 45} = \frac{1}{2}$
Таким образом, угол в $45^\circ$ составляет $\frac{1}{2}$ прямого угла.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

Угол 60°
Чтобы найти, какую часть прямого угла составляет угол в $60^\circ$, нужно разделить $60^\circ$ на $90^\circ$:
$\frac{60^\circ}{90^\circ} = \frac{60}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 30:
$\frac{60 \div 30}{90 \div 30} = \frac{2}{3}$
Таким образом, угол в $60^\circ$ составляет $\frac{2}{3}$ прямого угла.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.134. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) 716 и 38; б) 920 и 2160; в) 1475 и 1330; г) 1720 и 725; д) 1255 и 1722; е) 2542 и 55147; ж) 13750 и 7450; з) 21255 и 14375.

2.134

а) $$\begin{gathered} \frac{7}{16} \mathrm{и} \frac{3}{8} \\ \frac{3}{8} = \frac{3 · 2 }{8 · 2} = \frac{6}{16} \\ \frac{7}{16} \mathrm{и} \frac{6}{16} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \frac{9}{20} \mathrm{и} \frac{21}{60} \\ \frac{9}{20} = \frac{9 · 3}{20 · 3} = \frac{27}{60} \\ \frac{27}{60} \mathrm{и} \frac{21}{60} \end{gathered}$$

в) $\frac{14}{75} \mathrm{и} \frac{13}{30}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(75; 30) = 3 · 5 · 5 · 2 = 150 \\ \frac{14}{75} = \frac{14 · 2}{75 · 2} = \frac{28}{150} \\ \frac{13}{30} = \frac{13 · 5}{30 · 3} = \frac{65}{150} \\ \frac{28}{150} \mathrm{и} \frac{65}{150} \end{gathered}$$

г) $\frac{17}{20} \mathrm{и} \frac{7}{25}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(20; 25) = 2 · 5 · 5 · 2 = 100 \\ \frac{17}{20} = \frac{17 · 5}{20 · 5} = \frac{85}{100} \\ \frac{7}{25} = \frac{7 · 4}{25 · 4}=\frac{28}{100} \\ \frac{85}{100} \mathrm{и} \frac{28}{100} \end{gathered}$$

д) $\frac{12}{55} \mathrm{и} \frac{17}{22}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(55; 22) = 2 · 5 · 11 = 110 \\ \frac{12}{55} = \frac{12 · 2}{55 · 2} = \frac{24}{110} \\ \frac{17}{22} = \frac{17 · 5}{22 · 5}=\frac{85}{110} \\ \frac{24}{110} \mathrm{и} \frac{85}{110} \end{gathered}$$

е) $\frac{25}{42} \mathrm{и} \frac{55}{147}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(42; 147) = 3 · 7 · 7 · 3 = 294 \\ \frac{25}{42} = \frac{25 · 7}{42 · 7} = \frac{175}{294} \\ \frac{55}{147} = \frac{55 · 2}{147 · 2} = \frac{110}{294} \\ \frac{175}{294} \mathrm{и} \frac{110}{294} \end{gathered}$$

ж) $\frac{13}{750} \mathrm{и} \frac{7}{450}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(750; 450) = 2 · 3 · 5 · 5 · 5 · 3 = = 2250 \\ \frac{13}{750}= \frac{13 · 3}{750 · 3}= \frac{39}{2250} \\ \frac{7}{450} = \frac{7 · 5}{450 · 5} = \frac{35}{2250} \\ \frac{39}{2250} \mathrm{и} \frac{35}{2250} \end{gathered}$$

з) $\frac{21}{225} \mathrm{и} \frac{14}{375}$

$$\begin{gathered} \mathrm{НОК}(225; 375) = 3 · 5 · 5 · 5 · 3 = 1125 \\ \frac{21}{225} = \frac{21 · 5}{225 · 5} = \frac{105}{1125} \\ \frac{14}{375} = \frac{14 · 3}{375 · 3} = \frac{42}{1125} \\ \frac{105}{1125} \mathrm{и} \frac{42}{1125} \end{gathered}$$

а) $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{3}{8} $

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 16 и 8.

Поскольку 16 делится на 8 без остатка ($16 = 8 \times 2$), то НОК(16, 8) = 16. Таким образом, НОЗ равен 16.

Первая дробь $ \frac{7}{16} $ уже имеет знаменатель 16, поэтому она остается без изменений.

Для второй дроби $ \frac{3}{8} $ найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $16 \div 8 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{3}{8} $ на дополнительный множитель 2:

$ \frac{3 \times 2}{8 \times 2} = \frac{6}{16} $

Ответ: $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{6}{16} $.

б) $ \frac{9}{20} $ и $ \frac{21}{60} $

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. Он равен НОК знаменателей 20 и 60.

Так как 60 делится на 20 ($60 = 20 \times 3$), НОК(20, 60) = 60. Значит, НОЗ равен 60.

Вторая дробь $ \frac{21}{60} $ уже приведена к этому знаменателю.

Для первой дроби $ \frac{9}{20} $ дополнительный множитель равен $60 \div 20 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{9}{20} $ на 3:

$ \frac{9 \times 3}{20 \times 3} = \frac{27}{60} $

Ответ: $ \frac{27}{60} $ и $ \frac{21}{60} $.

в) $ \frac{14}{75} $ и $ \frac{13}{30} $

Найдем НОК знаменателей 75 и 30. Для этого разложим их на простые множители:

$75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2$

$30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5$

НОК(75, 30) вычисляется как произведение всех простых множителей, взятых в наибольшей степени: $2^1 \times 3^1 \times 5^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150$.

НОЗ равен 150.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{14}{75} $ равен $150 \div 75 = 2$.

$ \frac{14 \times 2}{75 \times 2} = \frac{28}{150} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{13}{30} $ равен $150 \div 30 = 5$.

$ \frac{13 \times 5}{30 \times 5} = \frac{65}{150} $

Ответ: $ \frac{28}{150} $ и $ \frac{65}{150} $.

г) $ \frac{17}{20} $ и $ \frac{7}{25} $

Найдем НОК знаменателей 20 и 25. Разложим их на простые множители:

$20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$

$25 = 5^2$

НОК(20, 25) = $2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$.

НОЗ равен 100.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{17}{20} $: $100 \div 20 = 5$.

$ \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{7}{25} $: $100 \div 25 = 4$.

$ \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} $

Ответ: $ \frac{85}{100} $ и $ \frac{28}{100} $.

д) $ \frac{12}{55} $ и $ \frac{17}{22} $

Найдем НОК знаменателей 55 и 22. Разложим их на простые множители:

$55 = 5 \times 11$

$22 = 2 \times 11$

НОК(55, 22) = $2 \times 5 \times 11 = 110$.

НОЗ равен 110.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{12}{55} $: $110 \div 55 = 2$.

$ \frac{12 \times 2}{55 \times 2} = \frac{24}{110} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{17}{22} $: $110 \div 22 = 5$.

$ \frac{17 \times 5}{22 \times 5} = \frac{85}{110} $

Ответ: $ \frac{24}{110} $ и $ \frac{85}{110} $.

е) $ \frac{25}{42} $ и $ \frac{55}{147} $

Найдем НОК знаменателей 42 и 147. Разложим их на простые множители:

$42 = 2 \times 21 = 2 \times 3 \times 7$

$147 = 3 \times 49 = 3 \times 7^2$

НОК(42, 147) = $2 \times 3 \times 7^2 = 2 \times 3 \times 49 = 294$.

НОЗ равен 294.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{25}{42} $: $294 \div 42 = 7$.

$ \frac{25 \times 7}{42 \times 7} = \frac{175}{294} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{55}{147} $: $294 \div 147 = 2$.

$ \frac{55 \times 2}{147 \times 2} = \frac{110}{294} $

Ответ: $ \frac{175}{294} $ и $ \frac{110}{294} $.

ж) $ \frac{13}{750} $ и $ \frac{7}{450} $

Найдем НОК знаменателей 750 и 450. Разложим их на простые множители:

$750 = 75 \times 10 = (3 \times 25) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^3$

$450 = 45 \times 10 = (9 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3^2 \times 5^2$

НОК(750, 450) = $2^1 \times 3^2 \times 5^3 = 2 \times 9 \times 125 = 18 \times 125 = 2250$.

НОЗ равен 2250.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{13}{750} $: $2250 \div 750 = 3$.

$ \frac{13 \times 3}{750 \times 3} = \frac{39}{2250} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{7}{450} $: $2250 \div 450 = 5$.

$ \frac{7 \times 5}{450 \times 5} = \frac{35}{2250} $

Ответ: $ \frac{39}{2250} $ и $ \frac{35}{2250} $.

з) $ \frac{21}{225} $ и $ \frac{14}{375} $

Найдем НОК знаменателей 225 и 375. Разложим их на простые множители:

$225 = 25 \times 9 = 5^2 \times 3^2$

$375 = 3 \times 125 = 3 \times 5^3$

НОК(225, 375) = $3^2 \times 5^3 = 9 \times 125 = 1125$.

НОЗ равен 1125.

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{21}{225} $: $1125 \div 225 = 5$.

$ \frac{21 \times 5}{225 \times 5} = \frac{105}{1125} $

Дополнительный множитель для дроби $ \frac{14}{375} $: $1125 \div 375 = 3$.

$ \frac{14 \times 3}{375 \times 3} = \frac{42}{1125} $

Ответ: $ \frac{105}{1125} $ и $ \frac{42}{1125} $.

2.135. Вычислите.

2.135

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 14 + 0,8 = 14,8 \\ 14,8 : 4 = 3,7 \\ 3,7 – 0,7 = 3 \\ 3 · 1,5 = 4,5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 3 – 0,5 = 2,5 \\ 2,5 : 0,5 = 25 : 5 = 5 \\ 5 + 2,1 = 7,1 \\ 7,1 · 3 = 21,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 39 · 0,02 = 0,78 \\ 0,78 : 3,9 = 7,8 : 39 = 0,2 \\ 0,2 · 50 = 10 \\ 10 – 0,7 = 9,3 \\ 9,3 : 3 = 3,1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }4 : 0,5 = 40 : 5 = 8 \\ 8 · 1,2 = 9,6 \\ 9,6 – 5,2 = 4,4 \\ 4,4 : 0,4 = 44 : 4 = 11 \\ 11 – 6,7 = 4,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }3 – 2,4 = 0,6 \\ 0,6 : 0,5 = 6 : 5 = 1,2 \\ 1,2 + 3,8 = 5 \\ 5 · 0,6 = 3 \\ 3 : 0,2 = 30 : 2 = 15 \end{gathered}$$

а) Решим пример по действиям, выполняя вычисления последовательно сверху вниз:
1) Сложение: $14 + 0,8 = 14,8$
2) Деление: $14,8 : 4 = 3,7$
3) Вычитание: $3,7 - 0,7 = 3$
4) Умножение: $3 \cdot 1,5 = 4,5$
Ответ: 4,5

б) Решим пример по действиям, выполняя вычисления последовательно сверху вниз:
1) Вычитание: $3 - 0,5 = 2,5$
2) Деление: $2,5 : 0,5 = 5$
3) Сложение: $5 + 2,1 = 7,1$
4) Умножение: $7,1 \cdot 3 = 21,3$
Ответ: 21,3

в) Решим пример по действиям, выполняя вычисления последовательно сверху вниз:
1) Умножение: $39 \cdot 0,02 = 0,78$
2) Деление: $0,78 : 3,9 = 0,2$
3) Умножение: $0,2 \cdot 50 = 10$
4) Вычитание: $10 - 0,7 = 9,3$
5) Деление: $9,3 : 3 = 3,1$
Ответ: 3,1

г) Решим пример по действиям, выполняя вычисления последовательно сверху вниз:
1) Деление: $4 : 0,5 = 8$
2) Умножение: $8 \cdot 1,2 = 9,6$
3) Вычитание: $9,6 - 5,2 = 4,4$
4) Деление: $4,4 : 0,4 = 11$
5) Вычитание: $11 - 6,7 = 4,3$
Ответ: 4,3

д) Решим пример по действиям, выполняя вычисления последовательно сверху вниз:
1) Вычитание: $3 - 2,4 = 0,6$
2) Деление: $0,6 : 0,5 = 1,2$
3) Сложение: $1,2 + 3,8 = 5$
4) Умножение: $5 \cdot 0,6 = 3$
5) Деление: $3 : 0,2 = 15$
Ответ: 15

2.136 Найдите число по схеме алгоритма, если х = 27; х = 45; х = 72.

2.136

$$\begin{gathered} х = 27: 27 : 9 = 3 \\ 3 + 28 = 31 \\ \mathrm{нет} \\ 31 + 27 = 58 \\ 58 : 2 = 29 \\ 29 · 4 = 116 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} х = 45: 45 : 9 = 5 \\ 5 + 28 = 33 \\ \mathrm{нет} \\ 33 + 27 = 60 \\ 60 : 2 = 30 \\ 30 · 4 = 120 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} х = 72: 72 : 9 = 8 \\ 8 + 28 = 36 \\ \mathrm{да} \\ 36 : 2 = 18 \\ 18 + 47 = 65 \\ 65 · 10 = 650 \end{gathered}$$

Чтобы найти число по схеме алгоритма, необходимо последовательно выполнить указанные действия для каждого значения $x$.

x = 27

1. Сначала выполним первые два действия: разделим $x$ на 9, а затем прибавим 28.

$27 : 9 = 3$

$3 + 28 = 31$

2. Теперь проверим, является ли полученное число 31 чётным. 31 — нечётное число, поэтому мы следуем по ветке "нет".

3. Выполняем действия из нижней ветки: прибавляем 27, делим на 2 и умножаем на 4.

$31 + 27 = 58$

$58 : 2 = 29$

$29 \cdot 4 = 116$

Ответ: 116

x = 45

1. Выполним первые два действия:

$45 : 9 = 5$

$5 + 28 = 33$

2. Проверяем число 33. Это нечётное число, поэтому снова следуем по ветке "нет".

3. Выполняем действия из нижней ветки:

$33 + 27 = 60$

$60 : 2 = 30$

$30 \cdot 4 = 120$

Ответ: 120

x = 72

1. Выполним первые два действия:

$72 : 9 = 8$

$8 + 28 = 36$

2. Проверяем число 36. Это чётное число, поэтому следуем по ветке "да".

3. Выполняем действия из верхней ветки: делим на 2, прибавляем 47 и умножаем на 10.

$36 : 2 = 18$

$18 + 47 = 65$

$65 \cdot 10 = 650$

Ответ: 650

2.137. Сократите дробь:

а) 120224; б) 2641540; в) 4050486; г) 44554725.

2.137

а)

$$\begin{gathered} \mathrm{НОД} (120; 224) = 2 · 2 · 2 = 8 \\ \frac{120}{224} = \frac{120 : 8}{224 : 8}=\frac{15}{28} \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} \mathrm{НОД} (264; 1540) = 2 · 2 · 11 = 44 \\ \frac{254}{1540}= \frac{254 : 44}{1540 : 44}= \frac{6}{35} \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} \mathrm{НОД} (4050; 486) = 2 · 3 · 3 · 3 · 3 =162 \\ \frac{4050}{486}= \frac{4050 : 162}{486 : 162}= \frac{25}{3} \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} \mathrm{НОД} (4455; 4725) = 3 · 3 · 3 · 5 = 135 \\ \frac{4455}{4725} = \frac{4455 : 135}{4725 : 135} = \frac{33}{35} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{120}{224}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Можно делать это пошагово, находя общие делители.

Оба числа, 120 и 224, четные, поэтому их можно разделить на 2:

$\frac{120}{224} = \frac{120 \div 2}{224 \div 2} = \frac{60}{112}$

Полученные числа 60 и 112 также четные. Продолжим сокращение на 2:

$\frac{60}{112} = \frac{60 \div 2}{112 \div 2} = \frac{30}{56}$

И снова делим на 2:

$\frac{30}{56} = \frac{30 \div 2}{56 \div 2} = \frac{15}{28}$

Теперь рассмотрим числа 15 и 28. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Общих делителей, кроме 1, у них нет. Значит, дробь $\frac{15}{28}$ несократимая.

Ответ: $\frac{15}{28}$

б) Сократим дробь $\frac{264}{1540}$.

Числитель и знаменатель — четные числа. Сократим на 2:

$\frac{264}{1540} = \frac{264 \div 2}{1540 \div 2} = \frac{132}{770}$

Снова сократим на 2:

$\frac{132}{770} = \frac{132 \div 2}{770 \div 2} = \frac{66}{385}$

Теперь найдем общие делители для 66 и 385. Разложим их на простые множители. $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$. Знаменатель 385 оканчивается на 5, значит, он делится на 5: $385 = 5 \cdot 77$. Число 77 это $7 \cdot 11$. Таким образом, $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$. Общий множитель для 66 и 385 — это 11. Сократим дробь на 11:

$\frac{66}{385} = \frac{66 \div 11}{385 \div 11} = \frac{6}{35}$

У чисел 6 и 35 нет общих делителей, кроме 1. Дробь сокращена.

Ответ: $\frac{6}{35}$

в) Сократим дробь $\frac{4050}{486}$.

Оба числа четные, делим на 2:

$\frac{4050}{486} = \frac{4050 \div 2}{486 \div 2} = \frac{2025}{243}$

Проверим делимость на 3 или 9, найдя сумму цифр. Для 2025: $2+0+2+5=9$. Число делится на 9. Для 243: $2+4+3=9$. Число делится на 9. Сократим дробь на 9:

$\frac{2025}{243} = \frac{2025 \div 9}{243 \div 9} = \frac{225}{27}$

Числа 225 и 27 также делятся на 9 ($2+2+5=9$ и $2+7=9$). Снова сократим на 9:

$\frac{225}{27} = \frac{225 \div 9}{27 \div 9} = \frac{25}{3}$

Числа 25 и 3 являются взаимно простыми. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{25}{3}$

г) Сократим дробь $\frac{4455}{4725}$.

Оба числа оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5:

$\frac{4455}{4725} = \frac{4455 \div 5}{4725 \div 5} = \frac{891}{945}$

Проверим делимость на 9 по сумме цифр. Для 891: $8+9+1=18$. Число делится на 9. Для 945: $9+4+5=18$. Число делится на 9. Сократим дробь на 9:

$\frac{891}{945} = \frac{891 \div 9}{945 \div 9} = \frac{99}{105}$

Проверим делимость на 3. Для 99: $9+9=18$. Делится на 3. Для 105: $1+0+5=6$. Делится на 3. Сократим дробь на 3:

$\frac{99}{105} = \frac{99 \div 3}{105 \div 3} = \frac{33}{35}$

У чисел 33 ($3 \cdot 11$) и 35 ($5 \cdot 7$) нет общих делителей, кроме 1. Дробь сокращена.

Ответ: $\frac{33}{35}$

2.138. Найдите, на сколько процентов увеличится площадь поля прямоугольной формы, если длину поля увеличить на 20 %, а ширину — на 35 %.

2.138

Пусть х – первоначальная длина поля, у – первоначальная ширина поля.

$S = 1,2х · 1,35 у = 1,62 ху$

$\frac{1,62 ху}{ху}· 100\% = 162 \%$- стала площадь;

$162 \% - 100 \% = 62 \%$- увеличится площадь поля

Ответ: на 62%.

Решение:

Пусть первоначальная длина поля равна $l$, а первоначальная ширина — $w$. Тогда его первоначальная площадь $S_1$ равна произведению длины на ширину: $S_1 = l \times w$.

Длину поля увеличили на 20%. Новая длина $l_2$ составит 100% + 20% = 120% от первоначальной. В виде десятичной дроби это 1,2. $l_2 = l \times 1.2 = 1.2l$.

Ширину поля увеличили на 35%. Новая ширина $w_2$ составит 100% + 35% = 135% от первоначальной. В виде десятичной дроби это 1,35. $w_2 = w \times 1.35 = 1.35w$.

Новая площадь поля $S_2$ будет равна произведению новой длины и новой ширины: $S_2 = l_2 \times w_2 = (1.2l) \times (1.35w) = (1.2 \times 1.35) \times (l \times w)$.

Вычислим произведение $1.2 \times 1.35$: $1.2 \times 1.35 = 1.62$.

Таким образом, новая площадь $S_2$ связана с первоначальной площадью $S_1$ следующим образом: $S_2 = 1.62 \times (l \times w) = 1.62 S_1$.

Это означает, что новая площадь составляет 162% от первоначальной. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, вычтем из новой процентной величины первоначальную (100%): $162\% - 100\% = 62\%$.

Или можно найти разницу между площадями и выразить ее в процентах от начальной площади: $\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{1.62 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{0.62 S_1}{S_1} \times 100\% = 0.62 \times 100\% = 62\%$.

Ответ: на 62 %.

2.139. Вычислите, составив алгоритм вычисления на калькуляторе, значение выражения:

а) 3,75 · (4,39 - 2,33);

б) 7,26,34 + 17,66.

2.139

$\mathit{а}\mathbf{)} 3,75 · (4,39 – 2,33) = 7,725$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7,2}{6,34+17,66}= \frac{7,2}{24}= 0,3$

а) Для вычисления выражения $3,75 \cdot (4,39 - 2,33)$ на калькуляторе, необходимо следовать правильному порядку действий. Сначала выполняется действие в скобках (вычитание), а затем результат умножается на 3,75.

Алгоритм вычисления на простом калькуляторе:

1. Ввести число 4,39.

2. Нажать кнопку вычитания «-».

3. Ввести число 2,33.

4. Нажать кнопку равно «=». На дисплее появится результат вычитания: $2,06$.

5. Нажать кнопку умножения «×».

6. Ввести число 3,75.

7. Нажать кнопку равно «=». На дисплее появится окончательный результат.

Проверим вычисления по действиям:

1) $4,39 - 2,33 = 2,06$

2) $3,75 \cdot 2,06 = 7,725$

Ответ: $7,725$.

б) Для вычисления выражения $\frac{7,2}{6,34 + 17,66}$ следует помнить, что дробная черта означает деление, а также то, что выражение в знаменателе вычисляется в первую очередь. То есть, выражение эквивалентно записи $7,2 \div (6,34 + 17,66)$.

Алгоритм вычисления на простом калькуляторе:

1. Сначала вычислим значение знаменателя. Ввести число 6,34.

2. Нажать кнопку сложения «+».

3. Ввести число 17,66.

4. Нажать кнопку равно «=». На дисплее появится результат сложения: $24$. Этот результат нужно запомнить или записать.

5. Теперь выполнить деление. Ввести число 7,2.

6. Нажать кнопку деления «÷».

7. Ввести вычисленное ранее значение знаменателя: 24.

8. Нажать кнопку равно «=». На дисплее появится окончательный результат.

Проверим вычисления по действиям:

1) $6,34 + 17,66 = 24$

2) $7,2 \div 24 = 0,3$

Ответ: $0,3$.