Страница 67, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.166. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и вычислите:

а) 0,2 + 17;

б) 56 – 0,25;

в) 2325 + 0,4;

г) 0,75 – 742.

2.166

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }0,2 + \frac{1}{7}={\frac{2}{10}}^{\overline{)·7}}+{\frac{1}{7}}^{\overline{)·10}}=\frac{14}{70}+\frac{10}{70}=\frac{{\displaystyle \stackrel{12}{\cancel{24}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{70}}}}=\frac{12}{35}$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{6} - 0,25=\frac{5}{6}-\frac{25 : 25}{100 : 25}={\frac{5}{6}}^{\overline{)·2}}-{\frac{1}{4}}^{\overline{)·3}}= \\ =\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{23}{25}+0,4 =\frac{23}{25}+\frac{4 : 2}{10 : 2}=\frac{23}{25}+{\frac{2}{5}}^{\overline{)·5}}= \\ =\frac{23}{25}+\frac{10}{25}=\frac{{\displaystyle 33}}{{\displaystyle 25}}=1\frac{8}{25} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,75 - \frac{7}{42}=\frac{75 : 25}{100 : 25}- \frac{7}{42}={\frac{3}{4}}^{\overline{)·21}}-{\frac{7}{42}}^{\overline{)·2}}= \\ =\frac{63}{84}-\frac{14}{84}=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{49}}}}{{\displaystyle \underset{12}{\cancel{84}}}}=\frac{7}{12} \end{gathered}$$

Для вычисления суммы $0,2 + \frac{1}{7}$ сначала представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной. $0,2$ — это две десятых, то есть $\frac{2}{10}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2, и получим $\frac{1}{5}$.

Теперь задача сводится к сложению двух обыкновенных дробей: $\frac{1}{5} + \frac{1}{7}$.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 — это их произведение, равное $35$.

Приводим дроби к знаменателю $35$: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{35}$ и $\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{35}$.

Теперь складываем полученные дроби: $\frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7 + 5}{35} = \frac{12}{35}$.

Ответ: $\frac{12}{35}$.

Для вычисления разности $\frac{5}{6} - 0,25$ представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной. $0,25$ — это двадцать пять сотых, то есть $\frac{25}{100}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 25, и получим $\frac{1}{4}$.

Теперь задача сводится к вычитанию двух обыкновенных дробей: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — это $12$.

Приводим дроби к знаменателю $12$: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ и $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.

Теперь вычитаем полученные дроби: $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

Для вычисления суммы $\frac{23}{25} + 0,4$ представим десятичную дробь $0,4$ в виде обыкновенной. $0,4$ — это четыре десятых, то есть $\frac{4}{10}$. Сократим эту дробь на 2 и получим $\frac{2}{5}$.

Теперь задача сводится к сложению дробей: $\frac{23}{25} + \frac{2}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25 и 5 — это $25$.

Приводим вторую дробь к знаменателю $25$: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{10}{25}$.

Теперь складываем дроби: $\frac{23}{25} + \frac{10}{25} = \frac{23 + 10}{25} = \frac{33}{25}$.

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{8}{25}$.

Ответ: $\frac{33}{25}$.

Для вычисления разности $0,75 - \frac{7}{42}$ представим десятичную дробь $0,75$ в виде обыкновенной. $0,75$ — это семьдесят пять сотых, то есть $\frac{75}{100}$. Сократим эту дробь на 25 и получим $\frac{3}{4}$.

Также упростим дробь $\frac{7}{42}$, сократив ее на 7: $\frac{7 \div 7}{42 \div 7} = \frac{1}{6}$.

Теперь задача сводится к вычитанию дробей: $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это $12$.

Приводим дроби к знаменателю $12$: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ и $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$.

Теперь вычитаем полученные дроби: $\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9 - 2}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

2.167. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и вычислите:

а) 3,45 + 34; б) 1120 – 0,25; в) 2,7 + 2325; г) 1,1 – 78.

2.167

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3,45 +\frac{3}{4}= 3,45 +\frac{3 · 25}{4 · 25}= \\ =3,45 + \frac{75}{100}= 3,45 + 0,75 = 4,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11}{20}- 0,25 = \frac{11 · 5 }{20 · 5}- 0,25 = \\ =\frac{55}{100}- 0,25 = 0,55 - 0,25 = 0,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2,7 +\frac{23}{25}= 2,7 +\frac{23 · 4}{25 · 4}= \\ =2,7 + \frac{92}{100}= 2,7 + 0,92= 4,62 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }1,1 -\frac{7}{8}= 1,1 -\frac{7 · 125}{8 · 125}= \\ =1,1 - \frac{875}{1000}= 1,1 - 0,875 = 0,225 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить сумму, сначала представим обыкновенную дробь $ \frac{3}{4} $ в виде десятичной. Для этого можно привести дробь к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 $.
Теперь выполним сложение:
$ 3,45 + 0,75 = 4,2 $.
Ответ: 4,2

б) Представим дробь $ \frac{11}{20} $ в виде десятичной. Для этого приведем ее к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{11}{20} = \frac{11 \times 5}{20 \times 5} = \frac{55}{100} = 0,55 $.
Теперь выполним вычитание:
$ 0,55 - 0,25 = 0,3 $.
Ответ: 0,3

в) Сначала преобразуем обыкновенную дробь $ \frac{23}{25} $ в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 4, чтобы получить в знаменателе 100:
$ \frac{23}{25} = \frac{23 \times 4}{25 \times 4} = \frac{92}{100} = 0,92 $.
Теперь сложим полученную десятичную дробь с числом 2,7:
$ 2,7 + 0,92 = 2,70 + 0,92 = 3,62 $.
Ответ: 3,62

г) Для выполнения вычитания представим дробь $ \frac{7}{8} $ в виде десятичной. Для этого можно привести дробь к знаменателю 1000, умножив числитель и знаменатель на 125:
$ \frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0,875 $.
Теперь выполним вычитание:
$ 1,1 - 0,875 = 1,100 - 0,875 = 0,225 $.
Ответ: 0,225

2.168. Вычислите сначала в обыкновенных дробях, а потом в десятичных:

а) 720 + 1950; б) 425 + 34; в) 35 – 125; г) 45 – 99125.

2.168

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{20}}^{\overline{)·5}}+{\frac{19}{50}}^{\overline{)·2}}=\frac{35}{100}+\frac{38}{100}=\frac{73}{100}$

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\frac{7}{20}+\frac{19}{50}=\frac{7 · 5}{20 · 5}+\frac{19 · 2}{50 · 2}= \\ =\frac{35}{100}+\frac{38}{100}=0,35 + 0,38 = 0,73 \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{25}}^{\overline{)·4}}+{\frac{3}{4}}^{\overline{)·25}}=\frac{16}{100}+\frac{75}{100}=\frac{91}{100}$

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\frac{4}{25}+\frac{3}{4}=\frac{4 · 4}{25 · 4}+\frac{3 · 25}{4· 25}= \\ =\frac{16}{100}+\frac{75}{100}=0,16 + 0,75 = 0,91 \end{gathered}$$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{3}{5}}^{\overline{)·5}}-\frac{1}{25}=\frac{15}{25}-\frac{1}{25}=\frac{14}{25}$

$$\begin{gathered} \frac{3}{5}-\frac{1}{25}=\frac{3 · 2}{5 · 2}-\frac{1 · 4}{25· 4}= \\ =\frac{6}{10}-\frac{4}{100}=0,6 - 0,04 = 0,56 \end{gathered}$$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{5}}^{\overline{)·25}}-\frac{99}{125}=\frac{100}{125}-\frac{99}{125}=\frac{1}{125}$

$$\begin{gathered} \frac{4}{5}-\frac{99}{125}=\frac{4 · 2}{5 · 2}-\frac{99 · 8}{125· 8}= \\ =\frac{8}{10}-\frac{792}{1000}=0,8 - 0,792 = 0,008 \end{gathered}$$

а) $\frac{7}{20} + \frac{19}{50}$

Вычисление в обыкновенных дробях:
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 50 равен 100.
$\frac{7}{20} + \frac{19}{50} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} + \frac{19 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{35}{100} + \frac{38}{100} = \frac{35 + 38}{100} = \frac{73}{100}$.

Вычисление в десятичных дробях:
Сначала переведем обыкновенные дроби в десятичные, а затем выполним сложение.
$\frac{7}{20} = 7 \div 20 = 0.35$
$\frac{19}{50} = 19 \div 50 = 0.38$
$0.35 + 0.38 = 0.73$.

Ответ: $\frac{73}{100}$ или $0.73$.

б) $\frac{4}{25} + \frac{3}{4}$

Вычисление в обыкновенных дробях:
Приведем дроби к общему знаменателю 100.
$\frac{4}{25} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{16}{100} + \frac{75}{100} = \frac{16 + 75}{100} = \frac{91}{100}$.

Вычисление в десятичных дробях:
Переведем дроби в десятичный формат и сложим их.
$\frac{4}{25} = 4 \div 25 = 0.16$
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75$
$0.16 + 0.75 = 0.91$.

Ответ: $\frac{91}{100}$ или $0.91$.

в) $\frac{3}{5} - \frac{1}{25}$

Вычисление в обыкновенных дробях:
Приведем дроби к общему знаменателю 25.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{25} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{1}{25} = \frac{15}{25} - \frac{1}{25} = \frac{15 - 1}{25} = \frac{14}{25}$.

Вычисление в десятичных дробях:
Переведем дроби в десятичный формат и выполним вычитание.
$\frac{3}{5} = 3 \div 5 = 0.6$
$\frac{1}{25} = 1 \div 25 = 0.04$
$0.6 - 0.04 = 0.56$.

Ответ: $\frac{14}{25}$ или $0.56$.

г) $\frac{4}{5} - \frac{99}{125}$

Вычисление в обыкновенных дробях:
Приведем дроби к общему знаменателю 125.
$\frac{4}{5} - \frac{99}{125} = \frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 25} - \frac{99}{125} = \frac{100}{125} - \frac{99}{125} = \frac{100 - 99}{125} = \frac{1}{125}$.

Вычисление в десятичных дробях:
Переведем дроби в десятичный формат и выполним вычитание.
$\frac{4}{5} = 4 \div 5 = 0.8$
$\frac{99}{125} = 99 \div 125 = 0.792$
$0.8 - 0.792 = 0.800 - 0.792 = 0.008$.

Ответ: $\frac{1}{125}$ или $0.008$.

2.169. Вычислите:

а) 2324 – (16 + 14);

б) 435 + (35 – 47);

в) 1115 – (23 – 320);

г) 518 + (29 + 127).

2.169

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{23}{24}-\left({\frac{1}{6}}^{\overline{)·4}}+{\frac{1}{4}}^{\overline{)·6}}\right)=\frac{23}{24}-\left(\frac{4}{24}+\frac{6}{24}\right)= \\ =\frac{23}{24}-\frac{10}{24}=\frac{13}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{35}+\left({\frac{3}{5}}^{\overline{)·7}}-{\frac{4}{7}}^{\overline{)·5}}\right)=\frac{4}{35}+\left(\frac{21}{35}-\frac{20}{35}\right)= \\ =\frac{4}{35}+\frac{1}{35}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{35}}}}=\frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{15}}^{\overline{)·4}}-\left({\frac{2}{3}}^{\overline{)·20}}-{\frac{3}{20}}^{\overline{)·3}}\right)=\frac{44}{60}-\left(\frac{40}{60}-\frac{9}{360}\right)= \\ =\frac{44}{60}-\frac{31}{60}=\frac{13}{60} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{18}}^{\overline{)·3}}+\left({\frac{2}{9}}^{\overline{)·6}}+{\frac{1}{27}}^{\overline{)·2}}\right)=\frac{15}{54}+\left(\frac{12}{54}+\frac{2}{54}\right)= \\ =\frac{15}{54}+\frac{14}{54}=\frac{29}{54} \end{gathered}$$

а) $\frac{23}{24} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4})$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 равен 12.
$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12}$.
Теперь выполним вычитание. Приведем дроби $\frac{23}{24}$ и $\frac{5}{12}$ к общему знаменателю 24.
$\frac{23}{24} - \frac{5}{12} = \frac{23}{24} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{23}{24} - \frac{10}{24} = \frac{23 - 10}{24} = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$.

б) $\frac{4}{35} + (\frac{3}{5} - \frac{4}{7})$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$ к общему знаменателю 35.
$\frac{3}{5} - \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{35} = \frac{21 - 20}{35} = \frac{1}{35}$.
Теперь выполним сложение.
$\frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{4 + 1}{35} = \frac{5}{35}$.
Сократим полученную дробь на 5.
$\frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) $\frac{11}{15} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{20})$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{20}$ к общему знаменателю 60.
$\frac{2}{3} - \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 20}{60} - \frac{3 \cdot 3}{60} = \frac{40 - 9}{60} = \frac{31}{60}$.
Теперь выполним вычитание. Приведем дроби $\frac{11}{15}$ и $\frac{31}{60}$ к общему знаменателю 60.
$\frac{11}{15} - \frac{31}{60} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} - \frac{31}{60} = \frac{44}{60} - \frac{31}{60} = \frac{44 - 31}{60} = \frac{13}{60}$.
Ответ: $\frac{13}{60}$.

г) $\frac{5}{18} + (\frac{2}{9} + \frac{1}{27})$
Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{27}$ к общему знаменателю 27.
$\frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{6 + 1}{27} = \frac{7}{27}$.
Теперь выполним сложение. Приведем дроби $\frac{5}{18}$ и $\frac{7}{27}$ к общему знаменателю 54.
$\frac{5}{18} + \frac{7}{27} = \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{15}{54} + \frac{14}{54} = \frac{15 + 14}{54} = \frac{29}{54}$.
Ответ: $\frac{29}{54}$.

2.170. Найдите значение выражения:

а) 740 + 1160;

б) 2756 – 542;

в) 1172 – 754;

г) 1645 + 1760.

2.170

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{7}{40}}^{\overline{)·3}}+{\frac{11}{60}}^{\overline{)·2}}=\frac{21}{120}+\frac{22}{120}=\frac{43}{120}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{27}{56}}^{\overline{)·3}}-{\frac{5}{42}}^{\overline{)·4}}=\frac{81}{168}-\frac{20}{168}=\frac{61}{168}$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{11}{72}}^{\overline{)·3}}-{\frac{7}{54}}^{\overline{)·4}}=\frac{33}{216}-\frac{28}{216}=\frac{5}{216}$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{16}{45}}^{\overline{)·4}}+{\frac{17}{60}}^{\overline{)·3}}=\frac{64}{180}+\frac{51}{180}= \\ =\frac{115}{180}=\frac{115 : 5 }{180 : 5}=\frac{23}{36} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{7}{40} + \frac{11}{60}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 40 и 60. Разложим их на простые множители:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(40, 60) будет произведением всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени: НОК(40, 60) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $120 \div 40 = 3$, для второй — $120 \div 60 = 2$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{7}{40} + \frac{11}{60} = \frac{7 \cdot 3}{120} + \frac{11 \cdot 2}{120} = \frac{21}{120} + \frac{22}{120} = \frac{21 + 22}{120} = \frac{43}{120}$.
Число 43 является простым, поэтому полученная дробь несократима.
Ответ: $\frac{43}{120}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{27}{56} - \frac{5}{42}$, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК для 56 и 42.
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОК(56, 42) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.
Дополнительные множители: для первой дроби $168 \div 56 = 3$, для второй $168 \div 42 = 4$.
Выполним вычитание:
$\frac{27}{56} - \frac{5}{42} = \frac{27 \cdot 3}{168} - \frac{5 \cdot 4}{168} = \frac{81}{168} - \frac{20}{168} = \frac{81 - 20}{168} = \frac{61}{168}$.
Число 61 является простым, поэтому дробь несократима.
Ответ: $\frac{61}{168}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{11}{72} - \frac{7}{54}$, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК для 72 и 54.
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$
$54 = 6 \cdot 9 = 2 \cdot 3^3$
НОК(72, 54) = $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.
Дополнительные множители: для первой дроби $216 \div 72 = 3$, для второй $216 \div 54 = 4$.
Выполним вычитание:
$\frac{11}{72} - \frac{7}{54} = \frac{11 \cdot 3}{216} - \frac{7 \cdot 4}{216} = \frac{33}{216} - \frac{28}{216} = \frac{33 - 28}{216} = \frac{5}{216}$.
Дробь несократима, так как 216 не делится на 5.
Ответ: $\frac{5}{216}$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{16}{45} + \frac{17}{60}$, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдем НОК для 45 и 60.
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$60 = 6 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(45, 60) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Дополнительные множители: для первой дроби $180 \div 45 = 4$, для второй $180 \div 60 = 3$.
Выполним сложение:
$\frac{16}{45} + \frac{17}{60} = \frac{16 \cdot 4}{180} + \frac{17 \cdot 3}{180} = \frac{64}{180} + \frac{51}{180} = \frac{64 + 51}{180} = \frac{115}{180}$.
Полученную дробь можно сократить, так как числитель и знаменатель делятся на 5.
$\frac{115}{180} = \frac{115 \div 5}{180 \div 5} = \frac{23}{36}$.
Число 23 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{23}{36}$.

2.171. Выполните действия:

а) 1924 – 2532 + (248 + 196);

б) (1112 – 315) + (720 – 130) – 23.

2.171

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{19}{24}\stackrel{2}{-}\frac{25}{32}\stackrel{3}{+}\left(\frac{2}{48}\stackrel{1}{+}\frac{1}{96}\right)=\frac{1}{16}$

$1) {\frac{2}{48}}^{\overline{)·2}}+\frac{1}{96}=\frac{4}{96}+\frac{1}{96}=\frac{5}{96}$

$2) {\frac{19}{24}}^{\overline{)·4}}-{\frac{25}{32}}^{\overline{)·3}}=\frac{76}{96}-\frac{75}{96}=\frac{1}{96}$

$3) \frac{1}{96}+\frac{5}{96}=\frac{6}{96}=\frac{6 : 6 }{96 : 6}=\frac{1}{16}$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(\frac{11}{12}\stackrel{1}{-}\frac{3}{15}\right)\stackrel{3}{+}\left(\frac{7}{20}\stackrel{2}{-}\frac{1}{30}\right)\stackrel{4}{-}\frac{2}{3}=\frac{11}{30}$

$1) {\frac{11}{12}}^{\overline{)·5}}-{\frac{3}{15}}^{\overline{)·4}}=\frac{55}{60}-\frac{12}{60}=\frac{43}{60}$

$2) {\frac{7}{20}}^{\overline{)·3}}-{\frac{1}{30}}^{\overline{)·2}}=\frac{21}{60}-\frac{2}{60}=\frac{19}{60}$

$3) \frac{43}{60}+\frac{19}{60}=\frac{{\displaystyle \stackrel{31}{\cancel{62}}}}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{60}}}}=\frac{31}{30}$

$4) \frac{31}{30}-{\frac{2}{3}}^{\overline{)·10}}=\frac{31}{30}-\frac{20}{30}=\frac{11}{30}$

а) $\frac{19}{24} - \frac{25}{32} + (\frac{2}{48} + \frac{1}{96})$

Решим задачу по действиям. Сначала выполним действие в скобках, затем вычитание и сложение слева направо.

1. Выполним сложение в скобках: $\frac{2}{48} + \frac{1}{96}$.
Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 48 и 96 это 96, так как $96 = 48 \cdot 2$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $96 \div 48 = 2$.
$\frac{2}{48} = \frac{2 \cdot 2}{48 \cdot 2} = \frac{4}{96}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{4}{96} + \frac{1}{96} = \frac{4+1}{96} = \frac{5}{96}$.

2. Теперь исходное выражение выглядит так: $\frac{19}{24} - \frac{25}{32} + \frac{5}{96}$.
Чтобы выполнить вычитание и сложение, приведем все дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 24, 32 и 96.
Разложим знаменатели на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$
НОК(24, 32, 96) = $2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$.
Общий знаменатель – 96.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к знаменателю 96:
Для $\frac{19}{24}$ дополнительный множитель: $96 \div 24 = 4$. Получаем $\frac{19 \cdot 4}{24 \cdot 4} = \frac{76}{96}$.
Для $\frac{25}{32}$ дополнительный множитель: $96 \div 32 = 3$. Получаем $\frac{25 \cdot 3}{32 \cdot 3} = \frac{75}{96}$.
Дробь $\frac{5}{96}$ уже имеет нужный знаменатель.

4. Перепишем выражение с общим знаменателем и выполним действия:
$\frac{76}{96} - \frac{75}{96} + \frac{5}{96} = \frac{76 - 75 + 5}{96} = \frac{1 + 5}{96} = \frac{6}{96}$.

5. Сократим полученную дробь $\frac{6}{96}$. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6.
$\frac{6 \div 6}{96 \div 6} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

б) $(\frac{11}{12} - \frac{3}{15}) + (\frac{7}{20} - \frac{1}{30}) - \frac{2}{3}$

Решим по действиям, сначала выполняя операции в скобках.

1. Первое действие в скобках: $\frac{11}{12} - \frac{3}{15}$.
Сначала можно сократить дробь $\frac{3}{15}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$.
Получим выражение: $\frac{11}{12} - \frac{1}{5}$.
Найдем общий знаменатель для 12 и 5. НОК(12, 5) = $12 \cdot 5 = 60$.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$\frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{55}{60} - \frac{12}{60} = \frac{55 - 12}{60} = \frac{43}{60}$.

2. Второе действие в скобках: $\frac{7}{20} - \frac{1}{30}$.
Найдем общий знаменатель для 20 и 30. НОК(20, 30) = 60.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$\frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{21}{60} - \frac{2}{60} = \frac{21 - 2}{60} = \frac{19}{60}$.

3. Подставим результаты в исходное выражение:
$\frac{43}{60} + \frac{19}{60} - \frac{2}{3}$.

4. Выполним сложение и вычитание. Приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(60, 3) = 60.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 60: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{40}{60}$.
Выполним действия:
$\frac{43}{60} + \frac{19}{60} - \frac{40}{60} = \frac{43 + 19 - 40}{60} = \frac{62 - 40}{60} = \frac{22}{60}$.

5. Сократим полученную дробь $\frac{22}{60}$. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.
$\frac{22 \div 2}{60 \div 2} = \frac{11}{30}$.

Ответ: $\frac{11}{30}$

2.172. Решите уравнение:

а) t – 1118 = 1112 – 59;

б) 45 – (910 – z) = 15;

в) (z + 512) – 920 = 1115;

г) 45 – (х + 160) = 23.

2.172

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} t-\frac{11}{18}={\frac{11}{12}}^{\overline{)·3}}-{\frac{5}{9}}^{\overline{)·4}}; \\ t-\frac{11}{18}=\frac{33}{36}-\frac{20}{36}; \\ t-\frac{11}{18}=\frac{13}{36}; \\ t=\frac{13}{36}+{\frac{11}{18}}^{\overline{)·2}}; \\ t=\frac{13}{36}+\frac{22}{36}; \\ t=\frac{35}{36}. \\ Ответ: \frac{35}{36}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{5}}^{\overline{)·2}} -\left(\frac{9}{10}-z\right)={\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}}; \\ \frac{8}{10} -\left(\frac{9}{10}-z\right)=\frac{2}{10}; \\ \frac{9}{10}-z=\frac{8}{10}-\frac{2}{10}; \\ \frac{9}{10}-z=\frac{6}{10}; \\ z=\frac{9}{10}-\frac{6}{10}; \\ z = \frac{3}{10}. \\ Ответ: \frac{3}{10}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} \left(z+{\frac{5}{12}}^{\overline{)·5}}\right)-{\frac{9}{20}}^{\overline{)·3}}={\frac{11}{15}}^{\overline{)·4}}; \\ \left(z+\frac{25}{60}\right)-\frac{27}{60}=\frac{44}{60}; \\ z+\frac{25}{60}=\frac{44}{60}+\frac{27}{60}; \\ z+\frac{25}{60}=\frac{71}{60}; \\ z = \frac{71}{60}-\frac{25}{60}; \\ z=\frac{{\displaystyle \stackrel{23}{\cancel{46}}}}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{60}}}}; \\ z=\frac{23}{30}. \\ Ответ: \frac{23}{30}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{4}{5}}^{\overline{)·12}} -\left(х+\frac{1}{60}\right)={\frac{2}{3}}^{\overline{)·20}}; \\ \frac{48}{60} -\left(х+\frac{1}{60}\right)=\frac{40}{60}; \\ х+\frac{1}{60}=\frac{48}{60}-\frac{40}{60}; \\ х+\frac{1}{60}=\frac{8}{60}; \\ х=\frac{8}{60}-\frac{1}{60}; \\ х = \frac{7}{60}. \\ Ответ: \frac{7}{60}. \end{gathered}$$

а) $t - \frac{11}{18} = \frac{11}{12} - \frac{5}{9}$
Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 12 и 9 равно 36.
$\frac{11}{12} - \frac{5}{9} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{33}{36} - \frac{20}{36} = \frac{33 - 20}{36} = \frac{13}{36}$
Теперь уравнение имеет вид:
$t - \frac{11}{18} = \frac{13}{36}$
Чтобы найти $t$ (уменьшаемое), нужно к разности прибавить вычитаемое:
$t = \frac{13}{36} + \frac{11}{18}$
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$t = \frac{13}{36} + \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{13}{36} + \frac{22}{36} = \frac{13 + 22}{36} = \frac{35}{36}$
Ответ: $t = \frac{35}{36}$.

б) $\frac{4}{5} - (\frac{9}{10} - z) = \frac{1}{5}$
В этом уравнении выражение в скобках является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$\frac{9}{10} - z = \frac{4}{5} - \frac{1}{5}$
$\frac{9}{10} - z = \frac{3}{5}$
Теперь неизвестное $z$ является вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$z = \frac{9}{10} - \frac{3}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$z = \frac{9}{10} - \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{9-6}{10} = \frac{3}{10}$
Ответ: $z = \frac{3}{10}$.

в) $(z + \frac{5}{12}) - \frac{9}{20} = \frac{11}{15}$
Выражение в скобках является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$z + \frac{5}{12} = \frac{11}{15} + \frac{9}{20}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 20 равно 60.
$z + \frac{5}{12} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{44}{60} + \frac{27}{60} = \frac{44 + 27}{60} = \frac{71}{60}$
Теперь, чтобы найти $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$z = \frac{71}{60} - \frac{5}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$z = \frac{71}{60} - \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{71}{60} - \frac{25}{60} = \frac{71 - 25}{60} = \frac{46}{60}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$z = \frac{23}{30}$
Ответ: $z = \frac{23}{30}$.

г) $\frac{4}{5} - (x + \frac{1}{60}) = \frac{2}{3}$
Выражение в скобках является вычитаемым. Найдем его, вычтя из уменьшаемого разность:
$x + \frac{1}{60} = \frac{4}{5} - \frac{2}{3}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15.
$x + \frac{1}{60} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{12}{15} - \frac{10}{15} = \frac{2}{15}$
Теперь, чтобы найти $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = \frac{2}{15} - \frac{1}{60}$
Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$x = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} - \frac{1}{60} = \frac{8}{60} - \frac{1}{60} = \frac{7}{60}$
Ответ: $x = \frac{7}{60}$.

2.173. Вычислите:

а) 1425 + 0,09 – 14;

б) 0,9 – 0,4 – 720;

в) 0,8 – 23 + 15;

г) 79 – 0,4 – 415.

2.173

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{14}{25}+0,09 -\frac{1}{4}=\frac{14 · 4}{25 · 4}+0,09 -\frac{1· 25}{4 · 25}= \\ =\frac{56}{100}+0,09 -\frac{25}{100}=0,56 + 0,09 - 0,25= \\ =0,65 - 0,25 = 0,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 0,9 - 0,4 -\frac{7}{20}=0,9 - 0,4 -\frac{7· 5}{20 · 5}= \\ 0,9 - 0,4 -\frac{35}{100}=0,9 - 0,4 -0,35= \\ =0,5 - 0,35 = 0,15 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,8 -\frac{2}{3}+\frac{1}{5}={\frac{8}{10}}^{\overline{)·3}}-{\frac{2}{3}}^{\overline{)·10}}+{\frac{1}{5}}^{\overline{)·6}}= \\ =\frac{24}{30}-\frac{20}{30}+\frac{6}{30}=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{10}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{30}}}}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} \frac{7}{9}-0,4-\frac{4}{15}=\frac{7}{9}-\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}-\frac{4}{15}= \\ ={\frac{7}{9}}^{\overline{)·5}}-{\frac{2}{5}}^{\overline{)·9}}-{\frac{4}{15}}^{\overline{)·3}}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}-\frac{12}{45}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{9}{\cancel{45}}}}=\frac{1}{9} \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $ \frac{14}{25} + 0,09 - \frac{1}{4} $ приведем все слагаемые к общему знаменателю. Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной:
$ 0,09 = \frac{9}{100} $
Получаем выражение: $ \frac{14}{25} + \frac{9}{100} - \frac{1}{4} $
Общий знаменатель для дробей со знаменателями 25, 100 и 4 равен 100. Приведем дроби к этому знаменателю:
$ \frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{56}{100} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} $
Теперь выполним действия:
$ \frac{56}{100} + \frac{9}{100} - \frac{25}{100} = \frac{56 + 9 - 25}{100} = \frac{65 - 25}{100} = \frac{40}{100} = 0,4 $
Ответ: 0,4

б) В выражении $ 0,9 - 0,4 - \frac{7}{20} $ сначала вычтем десятичные дроби, а затем преобразуем все числа в обыкновенные дроби для дальнейших вычислений.
$ 0,9 - 0,4 = 0,5 $
Теперь выражение имеет вид: $ 0,5 - \frac{7}{20} $
Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.
Приведем дроби к общему знаменателю 20:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} $
Выполним вычитание:
$ \frac{10}{20} - \frac{7}{20} = \frac{10 - 7}{20} = \frac{3}{20} $
Переведем результат в десятичную дробь: $ \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15 $
Ответ: 0,15

в) В выражении $ 0,8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} $ присутствует дробь $ \frac{2}{3} $, которая является бесконечной периодической десятичной дробью, поэтому все вычисления будем производить в обыкновенных дробях.
Представим $0,8$ в виде обыкновенной дроби: $ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $
Выражение принимает вид: $ \frac{4}{5} - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} $
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$ (\frac{4}{5} + \frac{1}{5}) - \frac{2}{3} = \frac{5}{5} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} $
Выполним вычитание:
$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $

г) В выражении $ \frac{7}{9} - 0,4 - \frac{4}{15} $ дробь $ \frac{7}{9} $ является бесконечной периодической, поэтому переведем все числа в обыкновенные дроби.
$ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $
Получаем выражение: $ \frac{7}{9} - \frac{2}{5} - \frac{4}{15} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 9, 5 и 15. Наименьшее общее кратное $НОК(9, 5, 15) = 45$.
Приведем все дроби к знаменателю 45:
$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45} $
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{18}{45} $
$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{12}{45} $
Подставим значения в выражение и вычислим:
$ \frac{35}{45} - \frac{18}{45} - \frac{12}{45} = \frac{35 - 18 - 12}{45} = \frac{17 - 12}{45} = \frac{5}{45} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{5}{45} = \frac{1}{9} $
Ответ: $ \frac{1}{9} $

2.174. Найдите сумму:

а) 16 + 316 + 56 + 516;

б) 511 + 23 + 19 + 611.

2.174

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{6}+\frac{3}{16}+\frac{5}{6}+\frac{5}{16}=\left(\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{3}{16}+\frac{5}{16}\right)= \\ =\frac{6}{6}+\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{16}}}}=1 + \frac{1}{2}=1\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \frac{5}{11}+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}+\frac{6}{11}=\left(\frac{5}{11}+\frac{6}{11}\right)+\left({\frac{2}{3}}^{\overline{)·3}}+\frac{1}{9}\right)= \\ =\frac{11}{11}+\left(\frac{6}{9}+\frac{1}{9}\right)=1+\frac{7}{9}=1\frac{7}{9} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти сумму $\frac{1}{6} + \frac{3}{16} + \frac{5}{6} + \frac{5}{16}$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения и сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями.

$(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}) + (\frac{3}{16} + \frac{5}{16})$

Сложим дроби в каждой из скобок:

1. Сумма дробей со знаменателем 6:

$\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

2. Сумма дробей со знаменателем 16:

$\frac{3}{16} + \frac{5}{16} = \frac{3+5}{16} = \frac{8}{16}$

Сократим полученную дробь $\frac{8}{16}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$\frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$

Теперь сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б) Чтобы найти сумму $\frac{5}{11} + \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{6}{11}$, также сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями.

$(\frac{5}{11} + \frac{6}{11}) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{9})$

Сначала сложим дроби со знаменателем 11:

$\frac{5}{11} + \frac{6}{11} = \frac{5+6}{11} = \frac{11}{11} = 1$

Теперь сложим оставшиеся дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{9}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 9 равно 9. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 9, домножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9}$

Наконец, сложим все полученные части:

$1 + \frac{7}{9} = 1\frac{7}{9}$

Ответ: $1\frac{7}{9}$

2.175. С помощью свойства вычитания числа из суммы вычислите значение выражения:

а) (916 + 56) – 116;

б) (518 + 1127) – 227;

2.175

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \left(\frac{9}{16}+\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{16}=\left(\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\right)+\frac{5}{6}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{16}}}}+\frac{5}{6}={\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}}+\frac{5}{6}=\frac{3}{6}+\frac{5}{6}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{6}}}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} \left(\frac{5}{18}+\frac{11}{27}\right)-\frac{2}{27}=\left(\frac{11}{27}-\frac{2}{27}\right)+\frac{5}{18}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{27}}}}+\frac{5}{18}={\frac{1}{3}}^{\overline{)·6}}+\frac{5}{18}=\frac{6}{18}+\frac{5}{18}=\frac{11}{18} \end{gathered}$$

В задании требуется использовать свойство вычитания числа из суммы, которое гласит: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из любого слагаемого (если это возможно), а затем к результату прибавить второе слагаемое. Формула: $(a + b) - c = (a - c) + b$ или $(a + b) - c = a + (b - c)$. Это свойство позволяет упростить вычисления, если у вычитаемого и одного из слагаемых есть общий знаменатель.

а) $(\frac{9}{16} + \frac{5}{6}) - \frac{1}{16}$

Заметим, что у дробей $\frac{9}{16}$ и $\frac{1}{16}$ одинаковый знаменатель. Удобно применить свойство, сгруппировав их.

$(\frac{9}{16} + \frac{5}{6}) - \frac{1}{16} = (\frac{9}{16} - \frac{1}{16}) + \frac{5}{6}$

1. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac{9-1}{16} = \frac{8}{16}$

2. Сократим полученную дробь:

$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

3. Теперь сложим результат с оставшимся слагаемым:

$\frac{1}{2} + \frac{5}{6}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6}$

5. Выполним сложение:

$\frac{3+5}{6} = \frac{8}{6}$

6. Сократим дробь и выделим целую часть:

$\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $(\frac{5}{18} + \frac{11}{27}) - \frac{2}{27}$

Здесь у дробей $\frac{11}{27}$ и $\frac{2}{27}$ одинаковый знаменатель. Применим свойство вычитания числа из суммы.

$(\frac{5}{18} + \frac{11}{27}) - \frac{2}{27} = \frac{5}{18} + (\frac{11}{27} - \frac{2}{27})$

1. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{11}{27} - \frac{2}{27} = \frac{11-2}{27} = \frac{9}{27}$

2. Сократим полученную дробь:

$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

3. Теперь выполним сложение:

$\frac{5}{18} + \frac{1}{3}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{5}{18} + \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{5}{18} + \frac{6}{18}$

5. Выполним сложение:

$\frac{5+6}{18} = \frac{11}{18}$

Дробь $\frac{11}{18}$ является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{11}{18}$

2.176. С помощью свойства вычитания суммы из числа вычислите значение выражения:

а) 57 – (37 + 314);

б) 2336 – (130 + 536).

2.176

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{5}{7}-\left(\frac{3}{7}+\frac{3}{14}\right)=\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{7}\right)-\frac{3}{14}= \\ ={\frac{2}{7}}^{\overline{)·2}}-\frac{3}{14}=\frac{4}{14}-\frac{3}{14}=\frac{1}{14} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{23}{36}-\left(\frac{1}{30}+\frac{5}{36}\right)=\left(\frac{23}{36}-\frac{5}{36}\right)-\frac{1}{30}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{18}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{36}}}}-\frac{1}{30}={\frac{1}{2}}^{\overline{)·15}}-\frac{1}{30}=\frac{15}{30}-\frac{1}{30}= \\ =\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{30}}}}=\frac{7}{15} \end{gathered}$$

а)

Для вычисления значения выражения $ \frac{5}{7} - (\frac{3}{7} + \frac{3}{14}) $ воспользуемся свойством вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа вычесть каждое слагаемое по отдельности.

Формула этого свойства: $a - (b + c) = a - b - c$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$ \frac{5}{7} - (\frac{3}{7} + \frac{3}{14}) = \frac{5}{7} - \frac{3}{7} - \frac{3}{14} $

Сначала выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, что упрощает вычисление:

$ \frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{5-3}{7} = \frac{2}{7} $

Теперь вычтем из полученного результата третью дробь:

$ \frac{2}{7} - \frac{3}{14} $

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 14 равен 14. Дополнительный множитель для первой дроби равен $14 \div 7 = 2$.

$ \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{3}{14} = \frac{4}{14} - \frac{3}{14} $

Выполним вычитание:

$ \frac{4}{14} - \frac{3}{14} = \frac{4-3}{14} = \frac{1}{14} $

Ответ: $ \frac{1}{14} $

б)

Для вычисления значения выражения $ \frac{23}{36} - (\frac{1}{30} + \frac{5}{36}) $ также используем свойство вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.

$ \frac{23}{36} - (\frac{1}{30} + \frac{5}{36}) = \frac{23}{36} - \frac{1}{30} - \frac{5}{36} $

Для удобства вычислений сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$ (\frac{23}{36} - \frac{5}{36}) - \frac{1}{30} $

Выполним вычитание в скобках:

$ \frac{23}{36} - \frac{5}{36} = \frac{23-5}{36} = \frac{18}{36} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 18:

$ \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $

Теперь вычтем оставшуюся дробь:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{30} $

Приведем дроби к общему знаменателю 30. Дополнительный множитель для первой дроби равен $30 \div 2 = 15$.

$ \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} - \frac{1}{30} = \frac{15}{30} - \frac{1}{30} $

Выполним вычитание:

$ \frac{15-1}{30} = \frac{14}{30} $

Сократим итоговую дробь на 2:

$ \frac{14 \div 2}{30 \div 2} = \frac{7}{15} $

Ответ: $ \frac{7}{15} $

2.177. Вычислите значение выражения с25 + с15, при с = 1; с = 3; с = 6; с = 8.

2.177

$\frac{с}{25}+\frac{с}{15}$

$с = 1 {\frac{1}{25}}^{\overline{)·3}}+{\frac{1}{15}}^{\overline{)·5}}=\frac{3}{75}+\frac{5}{75}=\frac{8}{75}$

$$\begin{gathered} с = 3 \frac{3}{25}+\frac{3 : 3}{15 : 3}=\frac{3}{25}+{\frac{1}{5}}^{\overline{)·5}}= \\ =\frac{3}{25}+\frac{5}{25}=\frac{8}{25} \end{gathered}$$

$с = 6 {\frac{6}{25}}^{\overline{)·3}}+{\frac{6}{15}}^{\overline{)·5}}=\frac{18}{75}+\frac{30}{75}=\frac{{\displaystyle \stackrel{16}{\cancel{48}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{75}}}}=\frac{16}{25}$

$с = 8 {\frac{8}{25}}^{\overline{)·3}}+{\frac{8}{15}}^{\overline{)·5}}=\frac{24}{75}+\frac{40}{75}=\frac{64}{75}$

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение: $\frac{c}{25} + \frac{c}{15}$.

1. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 25 и 15.

Разложим числа на простые множители:

$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(25, 15) равен произведению всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени: $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю 75. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{c}{25}$ равен $75 \div 25 = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{c}{15}$ равен $75 \div 15 = 5$.

$\frac{c}{25} + \frac{c}{15} = \frac{3 \cdot c}{75} + \frac{5 \cdot c}{75} = \frac{3c + 5c}{75} = \frac{8c}{75}$.

Теперь будем использовать полученное упрощенное выражение $\frac{8c}{75}$ для вычисления его значения при каждом заданном значении $c$.

при c = 1;

Подставим $c = 1$ в выражение $\frac{8c}{75}$:

$\frac{8 \cdot 1}{75} = \frac{8}{75}$.

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{8}{75}$.

при c = 3;

Подставим $c = 3$ в выражение $\frac{8c}{75}$:

$\frac{8 \cdot 3}{75} = \frac{24}{75}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{24 \div 3}{75 \div 3} = \frac{8}{25}$.

Ответ: $\frac{8}{25}$.

при c = 6;

Подставим $c = 6$ в выражение $\frac{8c}{75}$:

$\frac{8 \cdot 6}{75} = \frac{48}{75}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{48 \div 3}{75 \div 3} = \frac{16}{25}$.

Ответ: $\frac{16}{25}$.

при c = 8.

Подставим $c = 8$ в выражение $\frac{8c}{75}$:

$\frac{8 \cdot 8}{75} = \frac{64}{75}$.

Числитель ($64 = 2^6$) и знаменатель ($75 = 3 \cdot 5^2$) не имеют общих делителей кроме 1, поэтому эта дробь несократимая.

Ответ: $\frac{64}{75}$.

2.177. Вычислите значение выражения n14 – 1n, при n = 6; n = 7.

2.178

$\frac{n}{14}-\frac{1}{n}$

$n=6 \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{14}}}}-\frac{1}{6}= {\frac{3}{7}}^{\overline{)·6}}-{\frac{1}{6}}^{\overline{)·7}}=\frac{18}{42}-\frac{7}{42}=\frac{11}{42}$

$n=7 \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}}-\frac{1}{7}= {\frac{1}{2}}^{\overline{)·7}}-{\frac{1}{7}}^{\overline{)·2}}=\frac{7}{14}-\frac{2}{14}=\frac{5}{14}$

при n = 6;

Подставим значение $n=6$ в выражение $\frac{n}{14} - \frac{1}{n}$:

$\frac{6}{14} - \frac{1}{6}$

Сначала сократим первую дробь $\frac{6}{14}$, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{3}{7} - \frac{1}{6}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 6 это их произведение: $7 \times 6 = 42$.

Приведем дроби к знаменателю 42:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 6}{7 \times 6} = \frac{18}{42}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 7}{6 \times 7} = \frac{7}{42}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{18}{42} - \frac{7}{42} = \frac{18 - 7}{42} = \frac{11}{42}$

Ответ: $\frac{11}{42}$.

при n = 7.

Подставим значение $n=7$ в выражение $\frac{n}{14} - \frac{1}{n}$:

$\frac{7}{14} - \frac{1}{7}$

Сократим первую дробь $\frac{7}{14}$, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 7 это их произведение: $2 \times 7 = 14$.

Приведем дроби к знаменателю 14:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$

$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{7}{14} - \frac{2}{14} = \frac{7 - 2}{14} = \frac{5}{14}$

Ответ: $\frac{5}{14}$.

2.179. Одна сторона прямоугольника равна 320 м, а другая на 215 м больше. Найдите периметр прямоугольника.

2.179

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{3}{20}}^{\overline{)·3}}+{\frac{2}{15}}^{·4}=\frac{9}{60}+\frac{8}{60}=\frac{17}{60}$(м) – другая сторона;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }Р=\left({\frac{3}{20}}^{\overline{)·3}}+\frac{17}{60}\right)·2=\left(\frac{9}{60}+\frac{17}{60}\right)·2=$

$=\frac{26}{{\displaystyle \underset{30}{\cancel{60}}}} · \stackrel{1}{\cancel{2}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{26}}}}{{\displaystyle \underset{15}{\cancel{30}}}}=\frac{13}{15}$(м) – периметр прямоугольника

Ответ: $\frac{13}{15}$ м.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти длину второй стороны прямоугольника, а затем вычислить его периметр.

1. Нахождение длины второй стороны

Известно, что одна сторона прямоугольника равна $a = \frac{3}{20}$ м. Другая сторона, обозначим ее $b$, на $\frac{2}{15}$ м больше первой. Чтобы найти ее длину, нужно к длине первой стороны прибавить $\frac{2}{15}$ м.

$b = \frac{3}{20} + \frac{2}{15}$

Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 20 и 15. НОК(20, 15) = 60.

Приведем каждую дробь к знаменателю 60:

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$

$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$

Теперь сложим полученные дроби:

$b = \frac{9}{60} + \frac{8}{60} = \frac{17}{60}$ м.

Таким образом, длина второй стороны прямоугольника составляет $\frac{17}{60}$ м.

2. Нахождение периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Подставим известные значения сторон в формулу:

$P = 2 \cdot (\frac{3}{20} + \frac{17}{60})$

Сначала вычислим сумму в скобках. Мы уже приводили дробь $\frac{3}{20}$ к знаменателю 60:

$\frac{3}{20} + \frac{17}{60} = \frac{9}{60} + \frac{17}{60} = \frac{9+17}{60} = \frac{26}{60}$

Теперь умножим полученную сумму на 2:

$P = 2 \cdot \frac{26}{60} = \frac{2 \cdot 26}{60} = \frac{52}{60}$

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$P = \frac{52 \div 4}{60 \div 4} = \frac{13}{15}$ м.

Ответ: периметр прямоугольника равен $\frac{13}{15}$ м.

Вопросы:

Приведите примеры, показывающие справедливость свойств сложения и умножения рациональных чисел.

Когда произведение чисел равно нулю; единице?

36. Свойства действий с рациональными числами

Вопросы к параграфу

• 5 + 2 = 2 + 5 = 7; 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1 = 8; 5 ∙ 2 = 2 ∙ 5 = 10;
  5 ∙ (2 ∙ 3) = (5 ∙ 2) ∙ 3 = 30; (5 + 2) ∙ 3 = 5 ∙ 3 + 2 ∙ 3 = 21; 6 + 0 = 6;
  6 + (-6) = 0; $8 · 1 = 8$; $8 · \frac{1}{8} =1$; 15 • 0 = 0;

• произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из чисел равно нулю; произведение двух обратных чисел равно единице

Примеры, показывающие справедливость свойств сложения и умножения рациональных чисел

Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Например, для рациональных чисел $a = -2.5$ и $b = \frac{3}{2}$:

$a + b = -2.5 + \frac{3}{2} = -2.5 + 1.5 = -1$

$b + a = \frac{3}{2} + (-2.5) = 1.5 - 2.5 = -1$

Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Результат сложения трех и более чисел не зависит от порядка действий. Например, для $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{5}{3}$ и $c = -4$:

$(a + b) + c = (\frac{1}{3} + \frac{5}{3}) + (-4) = \frac{6}{3} + (-4) = 2 - 4 = -2$

$a + (b + c) = \frac{1}{3} + (\frac{5}{3} + (-4)) = \frac{1}{3} + (\frac{5}{3} - \frac{12}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

Переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$. От перестановки множителей произведение не меняется. Например, для $a = -0.4$ и $b = 15$:

$a \cdot b = -0.4 \cdot 15 = -6$

$b \cdot a = 15 \cdot (-0.4) = -6$

Сочетательное свойство умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Результат умножения трех и более чисел не зависит от порядка действий. Например, для $a = -\frac{3}{4}$, $b = -2$ и $c = 1.2$:

$(a \cdot b) \cdot c = (-\frac{3}{4} \cdot (-2)) \cdot 1.2 = \frac{6}{4} \cdot 1.2 = 1.5 \cdot 1.2 = 1.8$

$a \cdot (b \cdot c) = -\frac{3}{4} \cdot (-2 \cdot 1.2) = -\frac{3}{4} \cdot (-2.4) = \frac{3 \cdot 2.4}{4} = \frac{7.2}{4} = 1.8$

Распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = ab + ac$. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить. Например, для $a = 10$, $b = \frac{1}{2}$ и $c = -0.3$:

$a \cdot (b + c) = 10 \cdot (\frac{1}{2} + (-0.3)) = 10 \cdot (0.5 - 0.3) = 10 \cdot 0.2 = 2$

$ab + ac = 10 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot (-0.3) = 5 - 3 = 2$

Ответ: Приведенные примеры с рациональными числами демонстрируют справедливость переместительного, сочетательного и распределительного свойств.

Когда произведение чисел равно нулю

Произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Формально: $a \cdot b \cdot c \cdot ... = 0$ если и только если $a=0$ или $b=0$ или $c=0$ и т.д.

Примеры:

$12.8 \cdot 0 = 0$

$0 \cdot (-\frac{5}{9}) = 0$

$(-3) \cdot 1.5 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$

Ответ: Произведение чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Когда произведение чисел равно единице

Произведение двух чисел равно единице, если эти числа являются взаимно обратными. Для любого ненулевого рационального числа $a$ существует обратное ему число $\frac{1}{a}$, такое что их произведение равно 1.

Формально: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ для любого $a \neq 0$.

Примеры:

$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

$(-\frac{7}{2}) \cdot (-\frac{2}{7}) = 1$

$0.25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Произведение также может быть равно 1, например, при умножении единицы на саму себя ($1 \cdot 1 = 1$) или при умножении четного числа минус единиц ($(-1) \cdot (-1) = 1$).

Ответ: Произведение двух чисел равно единице, если они взаимно обратные. Также произведение может быть равно единице в других случаях, например, при умножении единицы на саму себя или при умножении четного числа минус единиц.

4.365. С помощью букв m и n запишите переместительное свойство сложения. Подставьте значения букв:

а) m = 0,9, n = 2,4; б) m = –214, n = – 418.

Проверьте получившиеся равенства.

4.365

$$\begin{gathered} \mathrm{m} + \mathrm{n} = \mathrm{n} + \mathrm{m} \\ \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{m} = 0,9, \mathrm{n} = 2,4 \\ 0,9 + 2,4 = 2,4 + 0,9 \\ 3,3 = 3,3 – \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} m = -2\frac{1}{4}, n = -4\frac{1}{8} \\ {-2\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} + \left(-4\frac{1}{8}\right) = \left(-4\frac{1}{8}\right) + \left({-2\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}}\right) \\ -2\frac{2}{8} + \left(-4\frac{1}{8}\right) = \left(-4\frac{1}{8}\right) + \left(-2\frac{2}{8}\right) \\ -\left(2\frac{2}{8} + 4\frac{1}{8}\right) = - \left(2\frac{2}{8} + 4\frac{1}{8}\right) \\ -6\frac{3}{8} = -6\frac{3}{8} - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Переместительное свойство сложения, также известное как коммутативное свойство, гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. С помощью букв m и n это свойство записывается в виде формулы:

$m + n = n + m$

Подставим заданные значения и проверим получившиеся равенства.

а) При $m = 0,9$ и $n = 2,4$ получаем равенство:

$0,9 + 2,4 = 2,4 + 0,9$

Выполним сложение в левой части равенства:

$0,9 + 2,4 = 3,3$

Выполним сложение в правой части равенства:

$2,4 + 0,9 = 3,3$

Получаем верное равенство:

$3,3 = 3,3$

Ответ: равенство $0,9 + 2,4 = 2,4 + 0,9$ верно, так как $3,3 = 3,3$.

б) При $m = -2\frac{1}{4}$ и $n = -4\frac{1}{8}$ получаем равенство:

$(-2\frac{1}{4}) + (-4\frac{1}{8}) = (-4\frac{1}{8}) + (-2\frac{1}{4})$

Для выполнения сложения приведем дробные части смешанных чисел к общему знаменателю 8:

$-2\frac{1}{4} = -2\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -2\frac{2}{8}$

Теперь вычислим левую часть равенства:

$(-2\frac{2}{8}) + (-4\frac{1}{8}) = -(2\frac{2}{8} + 4\frac{1}{8}) = -( (2+4) + (\frac{2}{8} + \frac{1}{8}) ) = -(6 + \frac{3}{8}) = -6\frac{3}{8}$

Вычислим правую часть равенства:

$(-4\frac{1}{8}) + (-2\frac{2}{8}) = -(4\frac{1}{8} + 2\frac{2}{8}) = -( (4+2) + (\frac{1}{8} + \frac{2}{8}) ) = -(6 + \frac{3}{8}) = -6\frac{3}{8}$

Получаем верное равенство:

$-6\frac{3}{8} = -6\frac{3}{8}$

Ответ: равенство $(-2\frac{1}{4}) + (-4\frac{1}{8}) = (-4\frac{1}{8}) + (-2\frac{1}{4})$ верно, так как $-6\frac{3}{8} = -6\frac{3}{8}$.

4.366. С помощью букв m, n и k запишите сочетательное свойство сложения. Подставьте значения букв:

а) m = –1,2, n = –1,8, k = 0,5; б) m = –229, n = –259, k = –249.

Проверьте получившиеся равенства.

4.366

$m + (n + k) = (m + n) + k$

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} m = -1,2, n = -1,8, k = 0,5 \\ -1,2 + (-1,8 + 0,5) = (-1,2 + (-1,8)) + 0,5 \\ -1,2 + (-(1,8 - 0,5)) = (-1,2 + (-1,8)) + 0,5 \\ -1,2 + (-1,3) = -3 + 0,5 \\ - (1,2 + 1,3) = -(3 – 0,5) \\ -2,5 = -2,5 – \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} m = -2\frac{2}{9}, n = -2\frac{5}{9}, k = -2\frac{4}{9} \\ -2\frac{2}{9} + \left(-2\frac{5}{9} + \left(-2\frac{4}{9}\right)\right) = \left(-2\frac{2}{9} + \left(-2\frac{5}{9}\right)\right) + \left(-2\frac{4}{9}\right) \\ -2\frac{2}{9} + \left(-4\frac{9}{9}\right) = -4\frac{7}{9} + \left(-2\frac{4}{9}\right) \\ -2\frac{2}{9} + \left(-5\right) = -4\frac{7}{9} + \left(-2\frac{4}{9}\right) \\ -7\frac{2}{9} = -6\frac{11}{9} \\ -7\frac{2}{9} = -7\frac{2}{9} - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Сочетательное свойство сложения для чисел $m$, $n$ и $k$ записывается следующей формулой:

$(m + n) + k = m + (n + k)$

Подставим в эту формулу заданные значения и проверим получившиеся равенства.

а) $m = -1,2$, $n = -1,8$, $k = 0,5$

Запишем равенство с данными значениями:

$( -1,2 + (-1,8) ) + 0,5 = -1,2 + ( -1,8 + 0,5 )$

Вычислим значение левой части равенства:

$( -1,2 + (-1,8) ) + 0,5 = (-1,2 - 1,8) + 0,5 = -3,0 + 0,5 = -2,5$.

Вычислим значение правой части равенства:

$-1,2 + ( -1,8 + 0,5 ) = -1,2 + (-1,3) = -1,2 - 1,3 = -2,5$.

Сравним результаты: $-2,5 = -2,5$. Равенство верно.

Ответ: $( -1,2 + (-1,8) ) + 0,5 = -1,2 + ( -1,8 + 0,5 )$, что равносильно $-2,5 = -2,5$.

б) $m = -2\frac{2}{9}$, $n = -2\frac{5}{9}$, $k = -2\frac{4}{9}$

Запишем равенство с данными значениями:

$( -2\frac{2}{9} + (-2\frac{5}{9}) ) + (-2\frac{4}{9}) = -2\frac{2}{9} + ( -2\frac{5}{9} + (-2\frac{4}{9}) )$

Вычислим значение левой части равенства:

$( -2\frac{2}{9} + (-2\frac{5}{9}) ) + (-2\frac{4}{9}) = - (2\frac{2}{9} + 2\frac{5}{9}) - 2\frac{4}{9} = -4\frac{7}{9} - 2\frac{4}{9} = -(4\frac{7}{9} + 2\frac{4}{9}) = -( (4+2) + (\frac{7}{9}+\frac{4}{9}) ) = -(6 + \frac{11}{9}) = -(6 + 1\frac{2}{9}) = -7\frac{2}{9}$.

Вычислим значение правой части равенства:

$-2\frac{2}{9} + ( -2\frac{5}{9} + (-2\frac{4}{9}) ) = -2\frac{2}{9} + (-(2\frac{5}{9} + 2\frac{4}{9})) = -2\frac{2}{9} + (-( (2+2) + (\frac{5}{9}+\frac{4}{9}) )) = -2\frac{2}{9} + (-(4 + \frac{9}{9})) = -2\frac{2}{9} + (-(4+1)) = -2\frac{2}{9} - 5 = -7\frac{2}{9}$.

Сравним результаты: $-7\frac{2}{9} = -7\frac{2}{9}$. Равенство верно.

Ответ: $( -2\frac{2}{9} + (-2\frac{5}{9}) ) + (-2\frac{4}{9}) = -2\frac{2}{9} + ( -2\frac{5}{9} + (-2\frac{4}{9}) )$, что равносильно $-7\frac{2}{9} = -7\frac{2}{9}$.