Страница 68, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.180. Периметр треугольника АВС равен 1720 м. Сторона АВ равна 1750 м, сторона ВС на 350 м длиннее АВ. Найдите сторону АС.

2.180

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{17}{50}+\frac{3}{50}=\frac{20}{50}$(м) – сторона ВС;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{17}{20}-\left(\frac{17}{50}+\frac{20}{50}\right)={\frac{17}{20}}^{\overline{)·5}}-{\frac{37}{50}}^{\overline{)·2}}=$

$=\frac{85}{100}-\frac{74}{100}=\frac{11}{100}=0,11$(м) – сторона АС.

Ответ: 0,11 м.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найти длину стороны BC.
Из условия известно, что сторона $AB = \frac{17}{50}$ м, а сторона BC на $\frac{3}{50}$ м длиннее стороны AB.
Чтобы найти длину BC, нужно к длине AB прибавить $\frac{3}{50}$ м:
$BC = AB + \frac{3}{50} = \frac{17}{50} + \frac{3}{50} = \frac{17 + 3}{50} = \frac{20}{50}$ м.

2. Найти сумму длин сторон AB и BC.
Сложим длины известных сторон:
$AB + BC = \frac{17}{50} + \frac{20}{50} = \frac{37}{50}$ м.

3. Найти длину стороны AC.
Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$.
Чтобы найти длину стороны AC, нужно из периметра вычесть сумму длин двух других сторон.
$AC = P - (AB + BC)$.
По условию, периметр $P = \frac{17}{20}$ м. Выполним вычитание:
$AC = \frac{17}{20} - \frac{37}{50}$.
Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 50 — это 100.
$\frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100}$
$\frac{37}{50} = \frac{37 \times 2}{50 \times 2} = \frac{74}{100}$
Теперь найдем разность:
$AC = \frac{85}{100} - \frac{74}{100} = \frac{85 - 74}{100} = \frac{11}{100}$ м.

Ответ: сторона AC равна $\frac{11}{100}$ м.

2.181. В первый день дорожно-строительной бригадой было отремонтировано 425 всей дороги, во второй день — на 320 больше, чем в первый, а в третий день — на 150 меньше, чем за два предыдущих дня вместе. Какую часть дороги отремонтировала бригада за три дня?

2.181

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{4}{25}}^{\overline{)·4}}+{\frac{3}{20}}^{\overline{)·5}}=\frac{16}{100}+\frac{15}{100}=\frac{31}{100}$дороги – отремонтировали во второй день;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{4}{25}}^{\overline{)·4}}+\frac{31}{100}=\frac{16}{100}+\frac{31}{100}=\frac{47}{100}$дороги – отремонтировали за 1 и 2 день вместе;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{47}{100}-{\frac{1}{50}}^{\overline{)·2}}=\frac{47}{100}-\frac{2}{100}=\frac{45}{100}$дороги – отремонтировали в 3 день;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{47}{100}+\frac{45}{100}=\frac{92}{100}=0,92$ дороги – отремонтировали за три дня.

Ответ: 0,92 дороги

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Вычислим, какую часть дороги отремонтировала бригада во второй день.

По условию, во второй день было отремонтировано на $\frac{3}{20}$ больше, чем в первый. В первый день отремонтировали $\frac{4}{25}$ дороги. Чтобы найти часть дороги, отремонтированную во второй день, сложим эти дроби. Приведем их к общему знаменателю 100.

$\frac{4}{25} + \frac{3}{20} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{16}{100} + \frac{15}{100} = \frac{31}{100}$

Таким образом, во второй день бригада отремонтировала $\frac{31}{100}$ всей дороги.

2. Найдем, какую часть дороги бригада отремонтировала за первые два дня вместе.

Для этого сложим части дороги, отремонтированные в первый и во второй день.

$\frac{4}{25} + \frac{31}{100} = \frac{16}{100} + \frac{31}{100} = \frac{47}{100}$

За первые два дня было отремонтировано $\frac{47}{100}$ всей дороги.

3. Вычислим, какую часть дороги отремонтировала бригада в третий день.

В условии сказано, что в третий день было отремонтировано на $\frac{1}{50}$ меньше, чем за два предыдущих дня вместе. Вычтем $\frac{1}{50}$ из результата, полученного в предыдущем шаге. Приведем дроби к общему знаменателю 100.

$\frac{47}{100} - \frac{1}{50} = \frac{47}{100} - \frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{47}{100} - \frac{2}{100} = \frac{45}{100}$

В третий день бригада отремонтировала $\frac{45}{100}$ всей дороги.

4. Найдем, какую часть дороги бригада отремонтировала за все три дня.

Для этого сложим часть дороги, отремонтированную за первые два дня, и часть, отремонтированную в третий день.

$\frac{47}{100} + \frac{45}{100} = \frac{92}{100}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4.

$\frac{92}{100} = \frac{92 \div 4}{100 \div 4} = \frac{23}{25}$

Ответ: за три дня бригада отремонтировала $\frac{23}{25}$ всей дороги.

2.182. Первый мастер может выполнить заказ по пошиву карнавальных костюмов за 14 ч, а второй — за 18 ч. Какую часть заказа выполнят оба мастера, если первый будет работать 5 ч, а второй — 7 ч?

2.182

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5 : 14 = \frac{5}{14}$заказа – выполнит первый мастер за 5 часов

$\mathbf{2}\mathbf{)} 7 : 18 = \frac{7}{18}$ заказа – выполнит второй мастер за 7 часов

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{14}}^{\overline{)·9}}+{\frac{7}{18}}^{\overline{)·7}}=\frac{45}{126}+\frac{49}{126}=\frac{{\displaystyle \stackrel{47}{\cancel{94}}}}{{\displaystyle \underset{63}{\cancel{126}}}}=\frac{47}{63}$ заказа – выполнят они вместе

Ответ: $\frac{47}{63}$заказа.

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть всего заказа выполняет каждый мастер за указанное время, а затем сложить эти части.

1. Сначала найдем, какую часть заказа выполняет первый мастер за 1 час (его производительность). Если весь заказ он выполняет за 14 часов, то за 1 час он выполнит $\frac{1}{14}$ заказа.Соответственно, за 5 часов работы первый мастер выполнит:$5 \times \frac{1}{14} = \frac{5}{14}$ часть заказа.

2. Аналогично найдем, какую часть заказа выполняет второй мастер за 1 час. Если весь заказ он выполняет за 18 часов, то его производительность составляет $\frac{1}{18}$ заказа в час.За 7 часов работы второй мастер выполнит:$7 \times \frac{1}{18} = \frac{7}{18}$ часть заказа.

3. Теперь сложим части заказа, выполненные обоими мастерами, чтобы найти общую выполненную часть.$\frac{5}{14} + \frac{7}{18}$Для сложения этих дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 14 и 18.$14 = 2 \times 7$$18 = 2 \times 3^2$$\text{НОК}(14, 18) = 2 \times 3^2 \times 7 = 126$Теперь приведем дроби к знаменателю 126:$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 9}{14 \times 9} = \frac{45}{126}$$\frac{7}{18} = \frac{7 \times 7}{18 \times 7} = \frac{49}{126}$Сложим полученные дроби:$\frac{45}{126} + \frac{49}{126} = \frac{45 + 49}{126} = \frac{94}{126}$

4. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2:$\frac{94 \div 2}{126 \div 2} = \frac{47}{63}$Эта дробь является несократимой, так как 47 — простое число.

Ответ: $\frac{47}{63}$.

2.183. Вычислите.

2.183

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }84 : 6 = 14 \\ 14 · 3 = 42 \\ 42 + 13 = 55 \\ 55 : 5 = 11 \\ 11 + 49 = 60 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }16 · 5 = 80 \\ 80 – 14 = 66 \\ 66 : 11 = 6 \\ 6 + 92 = 98 \\ 98 : 14 = 7 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2,3 + 3,7 = 6 \\ 6 : 3 = 2 \\ 2 – 0,8 = 1,2 \\ 1,2 : 0,6 = 12 : 6 = 2 \\ 2 · 1,2 = 2,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,75 : 3 = 0,25 \\ 0,25 + 0,15 = 0,40 \\ 0,4 · 8 = 3,2 \\ 3,2 – 1,7 = 1,5 \\ 1,5 : 3 = 0,5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} 3,9 – 2,5 = 1,4 \\ 1,4 · 2 = 2,8 \\ 2,8 + 2,8 = 5,6 \\ 5,6 : 0,8 = 56 : 8 = 7 \\ 7 · 0,3 = 2,1 \end{gathered}$$

а) Выполним вычисления по порядку:
1) $84 : 6 = 14$
2) $14 \cdot 3 = 42$
3) $42 + 13 = 55$
4) $55 : 5 = 11$
5) $11 + 49 = 60$
Ответ: 60

б) Выполним вычисления по порядку:
1) $16 \cdot 5 = 80$
2) $80 - 14 = 66$
3) $66 : 11 = 6$
4) $6 + 92 = 98$
5) $98 : 14 = 7$
Ответ: 7

в) Выполним вычисления по порядку:
1) $2,3 + 3,7 = 6$
2) $6 : 3 = 2$
3) $2 - 0,8 = 1,2$
4) $1,2 : 0,6 = 2$
5) $2 \cdot 1,2 = 2,4$
Ответ: 2,4

г) Выполним вычисления по порядку:
1) $0,75 : 3 = 0,25$
2) $0,25 + 0,15 = 0,4$
3) $0,4 \cdot 8 = 3,2$
4) $3,2 - 1,7 = 1,5$
5) $1,5 : 3 = 0,5$
Ответ: 0,5

д) Выполним вычисления по порядку:
1) $3,9 - 2,5 = 1,4$
2) $1,4 \cdot 2 = 2,8$
3) $2,8 + 2,8 = 5,6$
4) $5,6 : 0,8 = 7$
5) $7 \cdot 0,3 = 2,1$
Ответ: 2,1

2.184. В летнем оздоровительном лагере 90 детей. На роликовых коньках умеют кататься 25 человек, на сноуборде умеют кататься 14 человек, а на скейтборде — 37 человек. На скейтборде и сноуборде умеют кататься 5 человек, на роликовых коньках и на скейтборде 10 человек, на роликовых коньках и сноуборде — 8, на всех трёх — 4 человека. Сколько детей не умеют кататься ни на роликовых коньках, ни на сноуборде, ни на скейтборде?

2.184

$\mathbf{1}\mathbf{)} 25 + 14 + 37 = 76$(ч) – катаются;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 76 – (5 + 10 + 8) + 4 = 80 – 23 = 57$(ч) – умеют на чем-то кататься;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 90 – 57 = 33$(ч) – не умеют ни на чем кататься.

Ответ: 33 человека.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Цель состоит в том, чтобы найти общее количество детей, которые владеют хотя бы одним из трех навыков, а затем вычесть это число из общего количества детей в лагере.

Введем следующие обозначения для множеств детей:

• $Р$ — множество детей, умеющих кататься на роликовых коньках.
• $Сн$ — множество детей, умеющих кататься на сноуборде.
• $Ск$ — множество детей, умеющих кататься на скейтборде.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Общее количество детей в лагере: $N = 90$
• Мощность множества $Р$: $|Р| = 25$
• Мощность множества $Сн$: $|Сн| = 14$
• Мощность множества $Ск$: $|Ск| = 37$
• Количество детей, умеющих кататься на скейтборде и сноуборде (пересечение $Ск$ и $Сн$): $|Ск \cap Сн| = 5$
• Количество детей, умеющих кататься на роликовых коньках и скейтборде (пересечение $Р$ и $Ск$): $|Р \cap Ск| = 10$
• Количество детей, умеющих кататься на роликовых коньках и сноуборде (пересечение $Р$ и $Сн$): $|Р \cap Сн| = 8$
• Количество детей, умеющих кататься на всех трех видах (пересечение $Р$, $Сн$ и $Ск$): $|Р \cap Сн \cap Ск| = 4$

Для нахождения общего числа детей, которые умеют кататься хотя бы на одном из трех видов инвентаря (объединение множеств $Р$, $Сн$ и $Ск$), применим формулу включений-исключений:

$|Р \cup Сн \cup Ск| = |Р| + |Сн| + |Ск| - (|Р \cap Сн| + |Р \cap Ск| + |Сн \cap Ск|) + |Р \cap Сн \cap Ск|$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия:

$|Р \cup Сн \cup Ск| = 25 + 14 + 37 - (8 + 10 + 5) + 4$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сумма мощностей всех трех множеств: $25 + 14 + 37 = 76$

2. Сумма мощностей попарных пересечений: $8 + 10 + 5 = 23$

3. Подставим результаты в основную формулу: $|Р \cup Сн \cup Ск| = 76 - 23 + 4 = 53 + 4 = 57$

Итак, 57 детей в лагере умеют кататься хотя бы на одном из видов: на роликах, сноуборде или скейтборде.

Теперь, чтобы найти количество детей, которые не умеют кататься ни на одном из этих трех видов, нужно из общего числа детей вычесть количество тех, кто умеет кататься хотя бы на одном:

Количество детей без навыков = Общее количество детей - $|Р \cup Сн \cup Ск|$

$90 - 57 = 33$

Ответ: 33 ребенка не умеют кататься ни на роликовых коньках, ни на сноуборде, ни на скейтборде.

2.185. Вычислите:

а) 0,5² - 0,4²; б) 4³ - 14,5; в) 0,6² · 7; г) 3,9 · 0,1³.

2.185

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 0,5^2 – 0,4^2 = 0,5 · 0,5 – 0,4 · 0,4 = \\ =0,25 – 0,16 = 0,09 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{4}^3 – 14,5 = 4 · 4 · 4 – 14,5 = 64 – 14,5 = \\ =49,5 \end{gathered}$$

$\mathit{в}\mathbf{)} 0,6^2 · 7 = 0,6 · 0,6 · 7 = 0,36 · 7 = 2,52$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 3,9 : 0,1^3 = 3,9 : (0,1 · 0,1 · 0,1) = \\ =3,9 : 0,001 = 3900 : 1 = 3900 \end{gathered}$$

а) Данное выражение представляет собой разность квадратов, которую можно вычислить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ или путем прямого вычисления.
Вычислим квадраты чисел:
$0,5^2 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$
$0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$
Теперь выполним вычитание:
$0,25 - 0,16 = 0,09$
Ответ: 0,09

б) Сначала необходимо возвести число 4 в третью степень (в куб), а затем из результата вычесть 14,5.
Возводим в степень:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$
Выполняем вычитание:
$64 - 14,5 = 49,5$
Ответ: 49,5

в) Сначала необходимо возвести число 0,6 во вторую степень (в квадрат), а затем умножить результат на 7.
Возводим в степень:
$0,6^2 = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$
Выполняем умножение:
$0,36 \cdot 7 = 2,52$
Ответ: 2,52

г) Сначала необходимо возвести число 0,1 в третью степень (в куб), а затем разделить 3,9 на полученный результат.
Возводим в степень:
$0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \cdot 0,1 = 0,001$
Выполняем деление:
$3,9 : 0,001$
Чтобы разделить на десятичную дробь, можно перенести запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом. В данном случае переносим запятую на 3 знака:
$3,9 : 0,001 = 3900 : 1 = 3900$
Ответ: 3900

2.186. Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по следующему алгоритму:

а) 1,23 ÷ 0,6 – 2,041 × 1001 = ;

б) 0,16 × 0,75 + 2,48 ÷ 1,3 = .

2.186

$\mathit{а}\mathbf{)} 1,23 : 0,6 – 2,041 · 1001 = 9,009$

$\mathit{б}\mathbf{)} (0,16 · 0,75 + 2,48) : 1,3 = 2$

а) Алгоритм вычислений на простом калькуляторе предполагает последовательное выполнение операций слева направо, без учета стандартного приоритета операций. Это означает, что после каждой операции (деления, вычитания) сразу же вычисляется промежуточный результат. Таким образом, порядок действий соответствует выражению, записанному со скобками: $((1,23 \div 0,6) - 2,041) \times 1001$.
Выполним вычисления по шагам:
1) Первое действие — деление: $1,23 \div 0,6 = 2,05$
2) Второе действие — вычитание из результата первого действия: $2,05 - 2,041 = 0,009$
3) Третье действие — умножение результата второго действия: $0,009 \times 1001 = 9,009$
Ответ: 9,009

б) Аналогично предыдущему пункту, вычисления выполняются строго в том порядке, в котором они записаны. Сначала выполняется умножение, затем к результату прибавляется следующее число, и, наконец, полученная сумма делится на последнее число. Порядок действий можно записать так: $((0,16 \times 0,75) + 2,48) \div 1,3$.
Выполним вычисления по шагам:
1) Первое действие — умножение: $0,16 \times 0,75 = 0,12$
2) Второе действие — сложение с результатом первого действия: $0,12 + 2,48 = 2,6$
3) Третье действие — деление результата второго действия: $2,6 \div 1,3 = 2$
Ответ: 2

2.187. Запишите смешанные числа так, чтобы их дробная часть не была неправильной дробью:

а) 31411, 17185, 9274;

б) 91414, 271528, 1412111.

2.187

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{14}{11}=3+1\frac{3}{11}=4\frac{3}{11}$

$17\frac{18}{5}=17+\frac{18}{5}=17+3\frac{3}{5}=20\frac{3}{5}$

$9\frac{27}{4}=9+\frac{27}{4}=9+6\frac{3}{4}=15\frac{3}{4}$

$\mathit{б}\mathbf{)} 9\frac{14}{14} = 9 + \frac{14}{14} = 9 + 1 = 10$

$27\frac{152}{8} = 27 + \frac{152}{8}= 27 + 19 = 46$

$14\frac{121}{11}= 14 + \frac{121}{11} = 14 + 11 = 25$

а)
Чтобы записать смешанное число так, чтобы его дробная часть не была неправильной дробью, необходимо выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к существующей целой части смешанного числа.

1) $3\frac{14}{11}$
Дробная часть $\frac{14}{11}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Выделим из нее целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$14 \div 11 = 1$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}$.
Теперь прибавим полученную целую часть к целой части исходного числа:
$3\frac{14}{11} = 3 + 1\frac{3}{11} = 4\frac{3}{11}$.

2) $17\frac{18}{5}$
Дробная часть $\frac{18}{5}$ является неправильной. Выделим целую часть:
$18 \div 5 = 3$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.
Прибавим целую часть:
$17\frac{18}{5} = 17 + 3\frac{3}{5} = 20\frac{3}{5}$.

3) $9\frac{27}{4}$
Дробная часть $\frac{27}{4}$ является неправильной. Выделим целую часть:
$27 \div 4 = 6$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$.
Прибавим целую часть:
$9\frac{27}{4} = 9 + 6\frac{3}{4} = 15\frac{3}{4}$.

Ответ: $4\frac{3}{11}$; $20\frac{3}{5}$; $15\frac{3}{4}$.

б)

1) $9\frac{14}{14}$
Дробная часть $\frac{14}{14}$ является неправильной, так как числитель равен знаменателю. Эта дробь равна 1:
$\frac{14}{14} = 1$.
Прибавим 1 к целой части:
$9\frac{14}{14} = 9 + 1 = 10$.

2) $27\frac{152}{8}$
Дробная часть $\frac{152}{8}$ является неправильной. Вычислим значение этой дроби делением. В данном случае дробь преобразуется в целое число без остатка:
$152 \div 8 = 19$.
Прибавим 19 к целой части:
$27\frac{152}{8} = 27 + 19 = 46$.

3) $14\frac{121}{11}$
Дробная часть $\frac{121}{11}$ является неправильной. Вычислим значение этой дроби:
$121 \div 11 = 11$.
Прибавим 11 к целой части:
$14\frac{121}{11} = 14 + 11 = 25$.

Ответ: $10$; $46$; $25$.

2.188. Запишите в виде неправильной дроби дробную часть числа, равного данному, уменьшив целую часть на единицу:

а) 4817; б) 31101; в) 101423.

2.188

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{8}{17}= 3 + 1\frac{8}{17}= 3 + \frac{25}{17}= 3\frac{25}{17}$

$\mathit{б}\mathbf{)} 3\frac{1}{101}= 2 + 1\frac{1}{101}= 2 + \frac{102}{101}= 2\frac{102}{101}$

$\mathit{в}\mathbf{)} 10\frac{14}{23} = 9 + 1\frac{14}{23}= 9 + \frac{37}{23}= 9\frac{37}{23}$

а) Рассматривается смешанное число $4 \frac{8}{17}$.

Задача состоит в том, чтобы представить это же число, но с целой частью, уменьшенной на единицу. Это означает, что мы должны "занять" единицу у целой части и добавить ее к дробной.

Исходная целая часть равна $4$. Уменьшаем ее на единицу: $4 - 1 = 3$.

Исходная дробная часть равна $\frac{8}{17}$. Мы добавляем к ней единицу, которую "заняли" у целой части. Новая дробная часть будет равна $1 + \frac{8}{17}$.

Чтобы выполнить сложение, представим $1$ в виде дроби со знаменателем $17$: $1 = \frac{17}{17}$.

Теперь сложим дроби: $1 + \frac{8}{17} = \frac{17}{17} + \frac{8}{17} = \frac{17 + 8}{17} = \frac{25}{17}$.

Полученная дробь $\frac{25}{17}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Это и есть искомая дробная часть.

Таким образом, число $4 \frac{8}{17}$ можно переписать как $3 \frac{25}{17}$, где $\frac{25}{17}$ — это дробная часть, записанная в виде неправильной дроби.

Ответ: $\frac{25}{17}$

б) Рассматривается смешанное число $3 \frac{1}{101}$.

Мы должны переписать это число так, чтобы его целая часть была на единицу меньше. Для этого мы "занимаем" $1$ у целой части и прибавляем ее к дробной.

Новая целая часть будет: $3 - 1 = 2$.

Новая дробная часть будет: $1 + \frac{1}{101}$.

Для сложения представим $1$ как дробь со знаменателем $101$: $1 = \frac{101}{101}$.

Складываем дроби: $1 + \frac{1}{101} = \frac{101}{101} + \frac{1}{101} = \frac{101 + 1}{101} = \frac{102}{101}$.

Дробь $\frac{102}{101}$ является неправильной. Это и есть искомая дробная часть.

Таким образом, число $3 \frac{1}{101}$ эквивалентно числу $2 \frac{102}{101}$.

Ответ: $\frac{102}{101}$

в) Рассматривается смешанное число $10 \frac{14}{23}$.

Чтобы уменьшить целую часть на единицу, мы "занимаем" $1$ у целой части и добавляем эту единицу к дробной части.

Новая целая часть будет: $10 - 1 = 9$.

Новая дробная часть будет: $1 + \frac{14}{23}$.

Представим $1$ в виде дроби со знаменателем $23$: $1 = \frac{23}{23}$.

Выполним сложение: $1 + \frac{14}{23} = \frac{23}{23} + \frac{14}{23} = \frac{23 + 14}{23} = \frac{37}{23}$.

Дробь $\frac{37}{23}$ является неправильной. Это и есть искомая дробная часть.

Таким образом, число $10 \frac{14}{23}$ можно представить как $9 \frac{37}{23}$.

Ответ: $\frac{37}{23}$

2.189. 1) Из посёлка выехал велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через 0,2 ч за ним выехал автомобилист со скоростью 55 км/ч. Через какое время после своего выезда автомобилист обгонит велосипедиста на 10 км?

2) Байдарка отплыла от пристани со скоростью 6 км/ч. Через 0,6 ч за ней отправилась моторная лодка со скоростью 44 км/ч. Через какое время моторная лодка обгонит байдарку на 4 км?

2.189

1)

$1) 13 · 0,2 = 2,6$(км) – будет между ними, когда выехал автомобилист;

$2) 2,6 + 10 = 12,6$(км) – нужно опередить;

$3) 55 – 13 = 42$(км/ч) – скорость сближения автомобилиста и велосипедиста;

$4) 12,6 : 42 = 0,3$(ч) – потребуется автомобилисту.

Ответ: 0,3 ч

2)

$1) 6 · 0,6 = 3,6$(км) – была впереди байдарка в момент отплытия; моторной лодки

$2) 3,6 + 4 = 7,6$(км) – нужно опередить;

$3) 44 – 6 = 38$(км/ч) – скорость сближения моторной лодки и байдарки;

$4) 7,6 : 38 = 0,2$(ч) – потребуется моторной лодке.

Ответ: 0,2 ч.

1)

Для решения этой задачи используется понятие относительной скорости (скорости сближения). Сначала найдем, какое расстояние успел проехать велосипедист до выезда автомобилиста. Это расстояние станет начальной дистанцией между ними.

1. Найдем начальное расстояние между велосипедистом и автомобилистом. Велосипедист ехал 0,2 часа со скоростью 13 км/ч:

$S_{нач} = 13 \text{ км/ч} \times 0,2 \text{ ч} = 2,6 \text{ км}$

2. Определим скорость сближения. Так как автомобилист догоняет велосипедиста, их относительная скорость равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{авто} - v_{вело} = 55 \text{ км/ч} - 13 \text{ км/ч} = 42 \text{ км/ч}$

3. Автомобилисту нужно не только догнать велосипедиста (т.е. сократить разрыв в 2,6 км), но и обогнать его на 10 км. Таким образом, общее расстояние, которое автомобилист должен "выиграть" у велосипедиста, составляет сумму начального расстояния и расстояния обгона:

$S_{общ} = S_{нач} + S_{обгона} = 2,6 \text{ км} + 10 \text{ км} = 12,6 \text{ км}$

4. Теперь найдем время, которое потребуется автомобилисту, чтобы преодолеть это общее расстояние с относительной скоростью 42 км/ч. Это время и будет ответом на вопрос задачи, так как отсчет времени идет с момента выезда автомобилиста.

$t = \frac{S_{общ}}{v_{сбл}} = \frac{12,6 \text{ км}}{42 \text{ км/ч}} = 0,3 \text{ ч}$

Ответ: через 0,3 часа после своего выезда автомобилист обгонит велосипедиста на 10 км.

2)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Сначала определим, какое расстояние успела проплыть байдарка до того, как отчалила моторная лодка.

1. Найдем начальное расстояние между байдаркой и моторной лодкой. Байдарка плыла 0,6 часа со скоростью 6 км/ч:

$S_{нач} = 6 \text{ км/ч} \times 0,6 \text{ ч} = 3,6 \text{ км}$

2. Определим скорость сближения моторной лодки и байдарки:

$v_{сбл} = v_{лодки} - v_{байдарки} = 44 \text{ км/ч} - 6 \text{ км/ч} = 38 \text{ км/ч}$

3. Моторной лодке нужно догнать байдарку (преодолеть 3,6 км) и обогнать ее на 4 км. Общее расстояние, которое лодка должна "выиграть", равно:

$S_{общ} = S_{нач} + S_{обгона} = 3,6 \text{ км} + 4 \text{ км} = 7,6 \text{ км}$

4. Найдем время, которое потребуется моторной лодке для создания такого опережения, двигаясь с относительной скоростью 38 км/ч:

$t = \frac{S_{общ}}{v_{сбл}} = \frac{7,6 \text{ км}}{38 \text{ км/ч}} = 0,2 \text{ ч}$

Ответ: через 0,2 часа моторная лодка обгонит байдарку на 4 км.

4.367. Вычислите значение алгебраической сумм:
а) –23 + 72 + 37 – 21 – 36 + 51;
б) 3,26 – 4,34 – 4,01 + 6,28 + 1,36 – 5,55;
в) 313 + 516 – 258 – 714 – 118;
г) 0,7 – 712 – 16 + 0,5 – 14 + 0,3.

Какие свойства рациональных чисел вы использовали?

4.367

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-23 + 72 + 37 – 21 – 36 + 51 = \\ = (-23 – 21 – 36) + (72 + 37 + 51) = \\ =-80 + 160 = 80 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3,26 – 4,34 – 4,01 + 6,28 + 1,36 – 5,55 = \\ = (3,26 + 6,28 + 1,36) + (– 4,34 – 4,01 – 5,55) = \\ = 10,9 + (-13,9) = - (13,9 – 10,9) = -3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} -2\frac{5}{8} -7\frac{1}{4} - 1\frac{1}{8} = \\ =\left({3\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} + 5\frac{1}{6}\right) + \left(-2\frac{5}{8} -{7\frac{1}{4}}^{\overline{)·2}} - 1\frac{1}{8} \right)= \\ = \left(3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6}\right) + \left(-2\frac{5}{8} -7\frac{2}{8} - 1\frac{1}{8} \right)= \\ =8\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{6}}}} + \left(-10\frac{8}{8}\right) = 8\frac{1}{2} + \left(-11\right) = -\left(11 - 8\frac{1}{2}\right)= \\ = -2\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,7 - \frac{7}{12} - \frac{1}{6} + 0,5 - \frac{1}{4} + 0,3= \\ = \left(0,7 + 0,5 + 0,3\right) + \left(- \frac{7}{12} - {\frac{1}{6}}^{\overline{)·2}} -{ \frac{1}{4}}^{\overline{)·3}}\right)= \\ = 1,5 + \left(- \frac{7}{12} - \frac{2}{12} - \frac{3}{12}\right)=1,5 + \left(-\frac{12}{12}\right)= \\ = 1,5 + \left(-1\right) = 0,5 \end{gathered}$$

использовано переместительное и сочетательное свойства сложения

а) $-23 + 72 + 37 - 21 - 36 + 51$

Чтобы упростить вычисление, сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые. Это возможно благодаря переместительному и сочетательному свойствам сложения.

Выражение можно переписать так: $(72 + 37 + 51) + (-23 - 21 - 36)$

Сначала сложим все положительные числа:

$72 + 37 + 51 = 109 + 51 = 160$

Затем сложим все отрицательные числа:

$-23 - 21 - 36 = -(23 + 21 + 36) = -(44 + 36) = -80$

Теперь найдем конечную сумму:

$160 - 80 = 80$

Ответ: 80

б) $3,26 - 4,34 - 4,01 + 6,28 + 1,36 - 5,55$

Сгруппируем положительные и отрицательные десятичные дроби:

$(3,26 + 6,28 + 1,36) + (-4,34 - 4,01 - 5,55)$

Найдем сумму положительных чисел:

$3,26 + 6,28 + 1,36 = 9,54 + 1,36 = 10,90$

Найдем сумму отрицательных чисел:

$-4,34 - 4,01 - 5,55 = -(4,34 + 4,01 + 5,55) = -(8,35 + 5,55) = -13,90$

Вычислим итоговый результат:

$10,90 - 13,90 = -3$

Ответ: -3

в) $3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} - 2\frac{5}{8} - 7\frac{1}{4} - 1\frac{1}{8}$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений, в частности те, у которых дробные части имеют одинаковые или легко приводимые знаменатели:

$(3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6}) - (2\frac{5}{8} + 1\frac{1}{8}) - 7\frac{1}{4}$

1. Вычислим сумму в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6} = 3\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + 5\frac{1}{6} = 3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6} = (3+5) + (\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) = 8\frac{3}{6} = 8\frac{1}{2}$

2. Вычислим сумму во вторых скобках:

$2\frac{5}{8} + 1\frac{1}{8} = (2+1) + (\frac{5}{8} + \frac{1}{8}) = 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$

3. Подставим полученные значения в выражение:

$8\frac{1}{2} - 3\frac{3}{4} - 7\frac{1}{4}$

4. Сгруппируем два последних слагаемых:

$8\frac{1}{2} - (3\frac{3}{4} + 7\frac{1}{4}) = 8\frac{1}{2} - ((3+7) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})) = 8\frac{1}{2} - (10 + \frac{4}{4}) = 8\frac{1}{2} - (10 + 1) = 8\frac{1}{2} - 11$

5. Найдем окончательный результат:

$8\frac{1}{2} - 11 = 8,5 - 11 = -2,5 = -2\frac{1}{2}$

Ответ: $-2\frac{1}{2}$

г) $0,7 - \frac{7}{12} - \frac{1}{6} + 0,5 - \frac{1}{4} + 0,3$

Сгруппируем отдельно десятичные дроби и обыкновенные дроби:

$(0,7 + 0,5 + 0,3) - (\frac{7}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4})$

1. Найдем сумму десятичных дробей:

$0,7 + 0,5 + 0,3 = 1,2 + 0,3 = 1,5$

2. Найдем сумму обыкновенных дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{7}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7+2+3}{12} = \frac{12}{12} = 1$

3. Вычислим итоговое значение:

$1,5 - 1 = 0,5$

Ответ: 0,5

Какие свойства рациональных чисел вы использовали?

При решении данных примеров были использованы следующие свойства и правила действий с рациональными числами:

• Переместительное (коммутативное) свойство сложения: $a + b = b + a$. Это свойство позволило менять слагаемые местами для удобной группировки.
• Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволило объединять слагаемые в группы (например, сначала сложить все положительные, а затем все отрицательные числа).
• Правило вычитания: вычитание числа $b$ равносильно прибавлению противоположного ему числа $-b$, то есть $a - b = a + (-b)$. Это позволяет рассматривать алгебраическую сумму как сумму положительных и отрицательных чисел и применять к ней свойства сложения.
• Распределительное свойство умножения относительно сложения: $c(a+b) = ca + cb$. Это свойство, в частности, использовалось при вынесении знака "минус" за скобки: $-a - b = -(a + b)$.
• Основное свойство дроби: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ при $c \ne 0$. Оно применялось для приведения дробей к общему знаменателю.
• Правила сложения и вычитания дробей, смешанных чисел, десятичных дробей, а также чисел с разными знаками.

4.368. Вычислите, используя свойство противоположных чисел:
а) 256 – 121 – 236 – 256 + 121;
б) –4,42 + 4,3 – 4,8 + 4,42 – 4,3;
в) 457 + 338 – 418 – 457 – 338;
г) 0,2 + 325 – 6,6 – 3,4 – 15 + 6,6.

4.368

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }256 – 121 – 236 – 256 + 121 = (256 – 256) + \\ + (-121 + 121) – 236 = 0 + 0 – 236 = -236 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-4,42 + 4,3 – 4,8 + 4,42 – 4,3 = \\ = (-4,42 + 4,42) + (4,3 – 4,3) – 4,8 = \\ = 0 + 0 – 4,8 = -4,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }4\frac{5}{7} + 3\frac{3}{8} - 4\frac{1}{8} - 4\frac{5}{7} - 3\frac{3}{8} = \\ = \left(4\frac{5}{7} - 4\frac{5}{7}\right) + \left(3\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8}\right) - 4\frac{1}{8}= \\ = 0 + 0 - 4\frac{1}{8}=- 4\frac{1}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} 0,2 + {3\frac{2}{5}}^{\overline{)·2}} – 6,6 – 3,4 – {\frac{1}{5}}^{\overline{)·2}} + 6,6 = \\ =0,2 + 3,4 – 6,6 – 3,4 – 0,2 + 6,6 = \\ = (0,2 – 0,2) + (3,4 – 3,4) + (-6,6 + 6,6) = \\ = 0 + 0 + 0 = 0 \end{gathered}$$

а)

Для вычисления значения выражения $256 - 121 - 236 - 256 + 121$ воспользуемся свойством противоположных чисел. Противоположные числа в сумме дают ноль. В данном выражении это пары $256$ и $-256$, а также $-121$ и $121$. Сгруппируем их, используя переместительное свойство сложения: $(256 - 256) + (121 - 121) - 236$. Так как сумма в каждой из скобок равна нулю, получаем: $0 + 0 - 236 = -236$.
Ответ: $-236$

б)

В выражении $-4,42 + 4,3 - 4,8 + 4,42 - 4,3$ находим и группируем пары противоположных чисел: $-4,42$ и $4,42$, а также $4,3$ и $-4,3$. Запишем выражение в сгруппированном виде: $(-4,42 + 4,42) + (4,3 - 4,3) - 4,8$. Сумма каждой пары противоположных чисел равна нулю, поэтому выражение упрощается до $0 + 0 - 4,8$, что равно $-4,8$.
Ответ: $-4,8$

в)

В выражении $4\frac{5}{7} + 3\frac{3}{8} - 4\frac{1}{8} - 4\frac{5}{7} - 3\frac{3}{8}$ сгруппируем противоположные слагаемые: $4\frac{5}{7}$ и $-4\frac{5}{7}$, а также $3\frac{3}{8}$ и $-3\frac{3}{8}$. Перепишем выражение: $(4\frac{5}{7} - 4\frac{5}{7}) + (3\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8}) - 4\frac{1}{8}$. Сумма чисел в каждой из скобок равна нулю. Выражение принимает вид: $0 + 0 - 4\frac{1}{8}$, что равно $-4\frac{1}{8}$.
Ответ: $-4\frac{1}{8}$

г)

В выражении $0,2 + 3\frac{2}{5} - 6,6 - 3,4 - \frac{1}{5} + 6,6$ для удобства вычислений сначала преобразуем обыкновенные дроби в десятичные: $3\frac{2}{5} = 3,4$ и $\frac{1}{5} = 0,2$. Подставив эти значения в исходное выражение, получим: $0,2 + 3,4 - 6,6 - 3,4 - 0,2 + 6,6$. Теперь мы можем сгруппировать все пары противоположных чисел: $(0,2 - 0,2) + (3,4 - 3,4) + (-6,6 + 6,6)$. Сумма в каждой из скобок равна нулю, поэтому итоговый результат: $0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$

4.369. Упростите выражение:
а) а + 9 – а – 13;
б) –n – m + 29 + m – 29;
в) х – n + 5 – 11 + n;
г) 7,5 – s + 3,9 + х – 9,4 + s – х.

4.369

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{а} + 9 – \mathrm{а} – 13 = (\mathrm{а} – \mathrm{а}) + (9 – 13) = \\ = 0 + (-4) = -4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{n} – \mathrm{m} + 29 + \mathrm{m} – 29 = -\mathrm{n} + \\ + (-\mathrm{m} + \mathrm{m}) + (29 – 29) = -\mathrm{n} + 0 + 0 = -\mathrm{n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \mathrm{x} – \mathrm{n} + 5 – 11 + \mathrm{n} = \mathrm{x} + (-\mathrm{n} + \mathrm{n}) + \\ + (5 – 11) = \mathrm{x} + 0 + (-6) = \mathrm{x} – 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }7,5 – \mathrm{s} + 3,9 + \mathrm{x} – 9,4 + \mathrm{s} – \mathrm{x} = \\ = (7,5 + 3,9 – 9,4) + (-\mathrm{s} + \mathrm{s}) + (\mathrm{x} – \mathrm{x}) = \\ = 2 + 0 + 0 = 2 \end{gathered}$$

а) $a + 9 - a - 13$

Для упрощения данного выражения необходимо сгруппировать и привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются те, которые имеют одинаковую буквенную часть или являются числами. В данном выражении это слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые.

Сгруппируем их: $(a - a) + (9 - 13)$.

Теперь выполним вычисления в каждой группе:

$a - a = 0$

$9 - 13 = -4$

Результатом является сумма полученных значений: $0 - 4 = -4$.

Ответ: $-4$

б) $-n - m + 29 + m - 29$

Сгруппируем подобные слагаемые. В этом выражении у нас есть слагаемые с переменной $n$, слагаемые с переменной $m$ и числовые слагаемые.

Перепишем выражение, сгруппировав их: $-n + (-m + m) + (29 - 29)$.

Вычислим значения в каждой группе:

Слагаемые с $m$: $-m + m = 0$.

Числовые слагаемые: $29 - 29 = 0$.

Слагаемое с $n$ остается без изменений.

Подставим полученные значения обратно: $-n + 0 + 0 = -n$.

Ответ: $-n$

в) $x - n + 5 - 11 + n$

Сгруппируем подобные слагаемые. Это слагаемые с переменной $x$, слагаемые с переменной $n$ и числовые слагаемые.

Сгруппированное выражение будет выглядеть так: $x + (-n + n) + (5 - 11)$.

Произведем вычисления в группах подобных слагаемых:

Слагаемые с $n$: $-n + n = 0$.

Числовые слагаемые: $5 - 11 = -6$.

Слагаемое с $x$ остается без изменений.

Собираем выражение: $x + 0 - 6 = x - 6$.

Ответ: $x - 6$

г) $7,5 - s + 3,9 + x - 9,4 + s - x$

Сгруппируем подобные слагаемые: числовые слагаемые, слагаемые с переменной $s$ и слагаемые с переменной $x$.

Сгруппированное выражение: $(7,5 + 3,9 - 9,4) + (-s + s) + (x - x)$.

Выполним вычисления для каждой группы:

Числовые слагаемые: $7,5 + 3,9 - 9,4 = 11,4 - 9,4 = 2$.

Слагаемые с $s$: $-s + s = 0$.

Слагаемые с $x$: $x - x = 0$.

Сложим полученные результаты: $2 + 0 + 0 = 2$.

Ответ: $2$

4.370. Вычислите наиболее удобным способом:
а) 9,9 + 457 – 3,9 – 237;
б) 216 – 5511 – 10,5 + 713;
в) 51118 – 724 – 4318 – 3 524 + 2118;
г) 345 – 1,6 – 213 + 3,2 + 0,4 + 1715.

4.370

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 9,9 + 4\frac{5}{7} – 3,9 – 2\frac{3}{7} = (9,9 – 3,9) + \\ + ( 4\frac{5}{7} – 2\frac{3}{7}) = 6 + 2\frac{2}{7} = 8\frac{2}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{1}{6} -5\frac{5}{11} - 10,5 +{ 7\frac{1}{3}}^{\overline{)·2}} = 2\frac{1}{6} -5\frac{5}{11} - \\ - 10\frac{1}{2} + 7\frac{2}{6} = \left(2\frac{1}{6} + 7\frac{2}{6} - {10\frac{1}{2}}^{\overline{)·3}}\right) - 5\frac{5}{11}= \\ =\left(9\frac{3}{6} - 10\frac{3}{6}\right) - 5\frac{5}{11}= -1 - 5\frac{5}{11}=-6\frac{5}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{11}{18} - \frac{7}{24} - 4\frac{3}{18} -3\frac{5}{24} + 2\frac{1}{18}= \\ = \left(5\frac{11}{18} +2\frac{1}{18}-4\frac{3}{18} \right)+ \left(-\frac{7}{24} - 3\frac{5}{24}\right)= \\ = 3\frac{9}{18} + \left(-3\frac{12}{24}\right) = 3\frac{1}{2} + \left(-3\frac{1}{2}\right) =0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{4}{5} - 1,6 -2\frac{1}{3} + 3,2 + 0,4 + 1\frac{7}{15} = \\ = \left(\mathbf{ }{3\frac{4}{5}}^{\overline{)·3}} + 1\frac{7}{15} -{2\frac{1}{3}}^{\overline{)·5}} \right) + \left(3,2 + 0,4 - 1,6\right)= \\ = \left(\mathbf{ }3\frac{12}{15} + 1\frac{7}{15} -2\frac{5}{15} \right) + 2 = 2\frac{14}{15} + 2 = \\ = 4\frac{14}{15} \end{gathered}$$

а) Для удобства вычислений сгруппируем отдельно десятичные дроби и отдельно смешанные числа: $(9,9 - 3,9) + (4\frac{5}{7} - 2\frac{3}{7})$.
Вычислим разность десятичных дробей: $9,9 - 3,9 = 6$.
Вычислим разность смешанных чисел: $4\frac{5}{7} - 2\frac{3}{7} = (4-2) + (\frac{5}{7}-\frac{3}{7}) = 2 + \frac{2}{7} = 2\frac{2}{7}$.
Сложим полученные результаты: $6 + 2\frac{2}{7} = 8\frac{2}{7}$.
Ответ: $8\frac{2}{7}$

б) Перегруппируем слагаемые для удобства. Сначала сложим дроби, которые легко приводятся к общему знаменателю: $2\frac{1}{6} + 7\frac{1}{3} = 2\frac{1}{6} + 7\frac{2}{6} = 9\frac{3}{6} = 9\frac{1}{2}$.
Теперь выражение выглядит так: $9\frac{1}{2} - 5\frac{5}{11} - 10,5$.
Заметим, что $10,5 = 10\frac{1}{2}$. Сгруппируем числа с дробной частью $\frac{1}{2}$: $(9\frac{1}{2} - 10\frac{1}{2}) - 5\frac{5}{11}$.
Вычислим разность в скобках: $9\frac{1}{2} - 10\frac{1}{2} = -1$.
Итоговое выражение: $-1 - 5\frac{5}{11} = -6\frac{5}{11}$.
Ответ: $-6\frac{5}{11}$

в) Сгруппируем члены выражения по знаменателям их дробных частей. Сначала сгруппируем числа со знаменателем 18, а затем со знаменателем 24: $(5\frac{11}{18} - 4\frac{3}{18} + 2\frac{1}{18}) - (\frac{7}{24} + 3\frac{5}{24})$.
Вычислим первую группу: $5\frac{11}{18} - 4\frac{3}{18} + 2\frac{1}{18} = (5-4+2) + (\frac{11-3+1}{18}) = 3 + \frac{9}{18} = 3\frac{1}{2}$.
Вычислим вторую группу: $\frac{7}{24} + 3\frac{5}{24} = 3 + (\frac{7+5}{24}) = 3 + \frac{12}{24} = 3\frac{1}{2}$.
Вычтем результат второй группы из результата первой: $3\frac{1}{2} - 3\frac{1}{2} = 0$.
Ответ: $0$

г) Сгруппируем отдельно десятичные дроби и отдельно смешанные числа: $(3,2 + 0,4 - 1,6) + (3\frac{4}{5} - 2\frac{1}{3} + 1\frac{7}{15})$.
Вычислим сумму десятичных дробей: $3,2 + 0,4 - 1,6 = 3,6 - 1,6 = 2$.
Вычислим сумму смешанных чисел. Для этого приведем их дробные части к общему знаменателю 15: $3\frac{4}{5} = 3\frac{12}{15}$, $2\frac{1}{3} = 2\frac{5}{15}$.
Получаем: $3\frac{12}{15} - 2\frac{5}{15} + 1\frac{7}{15} = (3-2+1) + (\frac{12-5+7}{15}) = 2 + \frac{14}{15} = 2\frac{14}{15}$.
Сложим результаты обеих групп: $2 + 2\frac{14}{15} = 4\frac{14}{15}$.
Ответ: $4\frac{14}{15}$

4.371. С помощью букв m и n запишите переместительное свойство умножения. Подставьте значения букв:

а) m = –1,5, n = 2,4; б) m = – 415, n = – 317.

Проверьте получившиеся равенства.

4.371

$\mathrm{m} · \mathrm{n} = \mathrm{n} · \mathrm{m}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} = -1,5; \mathrm{n} = 2,4 \\ -1,5 · 2,4 = 2,4 · (-1,5) ; \\ -(1,5 · 2,4) = -(2,4 · 1,5) – \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} \mathrm{m} = -4\frac{1}{5}; \mathrm{n} = -3\frac{1}{7} \\ -4\frac{1}{5} · \left(-3\frac{1}{7}\right) = -3\frac{1}{7} ·\left(-4\frac{1}{5}\right); \\ 4\frac{1}{5} · 3\frac{1}{7} = 3\frac{1}{7} · 4\frac{1}{5} ; \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{5} · \frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \cancel{\frac{22}{{\displaystyle \underset{1}{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{5}; \\ \frac{3}{5} · \frac{22}{1} = \frac{3}{5} · \frac{22}{1}; \\ \frac{66}{5} = \frac{66}{5} - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Переместительное (или коммутативное) свойство умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. С помощью букв $m$ и $n$ это свойство записывается в виде равенства:

$m \cdot n = n \cdot m$

Проверим это свойство для заданных значений.

a) $m = -1,5$, $n = 2,4$
Подставим данные значения в формулу переместительного свойства:
$(-1,5) \cdot 2,4 = 2,4 \cdot (-1,5)$
Вычислим значение левой части равенства:
$(-1,5) \cdot 2,4 = -3,6$
Вычислим значение правой части равенства:
$2,4 \cdot (-1,5) = -3,6$
Так как левая и правая части равны ($-3,6 = -3,6$), полученное равенство является верным.
Ответ: равенство $(-1,5) \cdot 2,4 = 2,4 \cdot (-1,5)$ верно.

б) $m = -4\frac{1}{5}$, $n = -3\frac{1}{7}$
Подставим данные значения в формулу переместительного свойства:
$( -4\frac{1}{5} ) \cdot ( -3\frac{1}{7} ) = ( -3\frac{1}{7} ) \cdot ( -4\frac{1}{5} )$
Для выполнения вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$m = -4\frac{1}{5} = -\frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{21}{5}$
$n = -3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7}$
Вычислим значение левой части равенства. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-\frac{21}{5}) \cdot (-\frac{22}{7}) = \frac{21 \cdot 22}{5 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 22}{5 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 22}{5} = \frac{66}{5} = 13\frac{1}{5}$
Вычислим значение правой части равенства:
$(-\frac{22}{7}) \cdot (-\frac{21}{5}) = \frac{22 \cdot 21}{7 \cdot 5} = \frac{22 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{22 \cdot 3}{5} = \frac{66}{5} = 13\frac{1}{5}$
Так как левая и правая части равны ($13\frac{1}{5} = 13\frac{1}{5}$), полученное равенство является верным.
Ответ: равенство $( -4\frac{1}{5} ) \cdot ( -3\frac{1}{7} ) = ( -3\frac{1}{7} ) \cdot ( -4\frac{1}{5} )$ верно.

4.372. С помощью букв m, n и k запишите сочетательное свойство сложения. Подставьте значения букв:

а) m = 0,4, n = –0,5, k = 4,8; б) m = – 34, n = – 127, k = –213.

Проверьте получившиеся равенства.

4.372

$\mathrm{m} · (\mathrm{n} · \mathrm{k}) = (\mathrm{m} · \mathrm{n}) · \mathrm{k}$

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \mathrm{m} = 0,4; \mathrm{n} = -0,5; \mathrm{k} = 4,8 \\ 0,4 · (-0,5 · 4,8) = (0,4 · (-0,5)) · 4,8 \\ 0,4 · (-2,4) = -0,2 · 4,8 \\ -0,96 = -0,96 – \mathrm{верно} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{m} = -\frac{3}{4}; \mathrm{n} = -1\frac{2}{7}; \mathrm{k} = -2\frac{1}{3} \\ -\frac{3}{4} · \left(-1\frac{2}{7} · \left(-2\frac{1}{3}\right)\right) = \left(-\frac{3}{4} · \left(-1\frac{2}{7}\right)\right) · \left(-2\frac{1}{3}\right); \\ -\frac{3}{4} · \left(1\frac{2}{7} · 2\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{3}{4} · 1\frac{2}{7}\right) · \left(-2\frac{1}{3}\right); \\ -\frac{3}{4} · \left(\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{9}}}}{\cancel{7}} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{3}}}}\right) = \left(\frac{3}{4} · \frac{9}{7}\right) · \left(-\frac{7}{3}\right); \\ -\frac{3}{4} · \left(\frac{3}{1} · \frac{1}{1}\right) = \left(\frac{3}{4} · \frac{9}{7}\right) · \left(-\frac{7}{3}\right); \\ -\frac{3}{4} · 3 = \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{28}}}} · \left(-\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}\right); \\ -\frac{9}{4} = \frac{9}{4} · \left(-\frac{1}{1}\right); \\ -\frac{9}{4} = -\frac{9}{4} - \mathrm{верно} \end{gathered}$$

Сочетательное свойство умножения для букв m, n и k записывается следующей формулой:

$(m \cdot n) \cdot k = m \cdot (n \cdot k)$

Проверим получившиеся равенства, подставив заданные значения.

а) $m = 0,4$, $n = -0,5$, $k = 4,8$

Подставляем значения в левую и правую части формулы сочетательного свойства умножения:

$(0,4 \cdot (-0,5)) \cdot 4,8 = 0,4 \cdot ((-0,5) \cdot 4,8)$

Вычисляем левую часть равенства:

1) $0,4 \cdot (-0,5) = -0,2$

2) $-0,2 \cdot 4,8 = -0,96$

Вычисляем правую часть равенства:

1) $-0,5 \cdot 4,8 = -2,4$

2) $0,4 \cdot (-2,4) = -0,96$

Сравниваем результаты: $-0,96 = -0,96$. Равенство верно.

Ответ: $(0,4 \cdot (-0,5)) \cdot 4,8 = 0,4 \cdot ((-0,5) \cdot 4,8)$; $-0,96 = -0,96$.

б) $m = -\frac{3}{4}$, $n = -1\frac{2}{7}$, $k = -2\frac{1}{3}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:

$n = -1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$

$k = -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Подставляем значения в формулу:

$(\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{9}{7}\right)) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\left(-\frac{9}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)\right)$

Вычисляем левую часть равенства:

1) $\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 7} = \frac{27}{28}$

2) $\frac{27}{28} \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = -\frac{27 \cdot 7}{28 \cdot 3} = -\frac{9 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{7}}{4 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{3}} = -\frac{9}{4}$

Вычисляем правую часть равенства:

1) $\left(-\frac{9}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{\cancel{9}^3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{3}_1} = 3$

2) $\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot 3 = -\frac{3 \cdot 3}{4} = -\frac{9}{4}$

Сравниваем результаты: $-\frac{9}{4} = -\frac{9}{4}$. Равенство верно. Можно представить результат в виде смешанного числа: $-\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4}$.

Ответ: $(\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-1\frac{2}{7}\right)) \cdot \left(-2\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\left(-1\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-2\frac{1}{3}\right)\right)$; $-2\frac{1}{4} = -2\frac{1}{4}$.

4.373. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
а) 2 · (–50) · 8 · 11;
б) 15 · 4 · (–2) · (–25);
в) 0,4 · (–0,08) · (–1,5) · 12,5;
г) – 27 · (– 1118) · (– 78) · 911;
д) –214 · (–159) · (–4) · (–9);
е) –0,2 · 258 · (–0,5) · (– 821).

4.373

$\mathit{а}\mathbf{)} 2 · (-50) · 8 · 11=-100 · 88=-8800$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }15 · 4 · (-2) · (-25)=15 · (-2) · (-25) · 4= \\ =- 30 · (-100)=3000 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 0,4 · (-0,08) · (-1,5) · 12,5= \\ = (-0,08) · 12,5 · (-1,5) · 0,4 = 1 · 0,6 = 0,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{2}{7} · \left(-\frac{11}{18}\right) · \left(-\frac{7}{8}\right) · \frac{9}{11} = \\ = -\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\cancel{7}} · \left(-\frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{8}}}}\right) · \left(-\frac{\cancel{11}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{18}}}}\right) · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{\cancel{11}}= \\ = -\frac{1}{1} · \left(-\frac{1}{4}\right) · \left(-\frac{1}{2}\right) · \frac{1}{1} = -\frac{1}{4} · \frac{1}{2} = \\ =-\frac{1}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} -2\frac{1}{4} · \left(-1\frac{5}{9}\right) · \left(-4\right) · \left(-9\right) = \frac{9}{\cancel{4}} · \cancel{4} \times \\ \times \frac{14}{\bcancel{9}} · \bcancel{9} =\frac{9}{1} · 1 · \frac{14}{1} · 1 = 9 · 14 = 126 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} -0,2 · 2\frac{5}{8} · \left(-0,5\right) · \left(-\frac{8}{21}\right) = \\ = -0,2 · \left(-0,5\right) · \frac{\bcancel{21}}{\cancel{8}}· \left(-\frac{\cancel{8}}{\bcancel{21}}\right) = \\ =0,1 · \frac{1}{1} · \left(-\frac{1}{1}\right) = 0,1 · \left(-1\right) =-0,1 \end{gathered}$$

а) $2 \cdot (-50) \cdot 8 \cdot 11$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители $2$ и $-50$, а также $8$ и $11$.

$(2 \cdot (-50)) \cdot (8 \cdot 11) = -100 \cdot 88$

Умножение на $-100$ выполняется легко:

$-100 \cdot 88 = -8800$

Ответ: $-8800$

б) $15 \cdot 4 \cdot (-2) \cdot (-25)$

Сгруппируем множители так, чтобы получить "круглые" числа. Удобно умножить $4$ на $-25$ и $15$ на $-2$. В произведении два отрицательных числа, что дает положительный результат.

$(4 \cdot (-25)) \cdot (15 \cdot (-2)) = (-100) \cdot (-30)$

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$(-100) \cdot (-30) = 3000$

Ответ: $3000$

в) $0,4 \cdot (-0,08) \cdot (-1,5) \cdot 12,5$

Сгруппируем множители так, чтобы упростить вычисления. Заметим, что $8 \cdot 125 = 1000$, поэтому произведение $0,08$ и $12,5$ будет удобным для расчета. Произведение двух отрицательных чисел ($-0,08$ и $-1,5$) даст положительный результат.

Сгруппируем: $((-0,08) \cdot 12,5) \cdot (0,4 \cdot (-1,5))$

Вычислим значение в каждой группе:

$(-0,08) \cdot 12,5 = -1$

$0,4 \cdot (-1,5) = -0,6$

Теперь перемножим результаты:

$(-1) \cdot (-0,6) = 0,6$

Ответ: $0,6$

г) $-\frac{2}{7} \cdot \left(-\frac{11}{18}\right) \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) \cdot \frac{9}{11}$

В выражении три отрицательных множителя, поэтому результат будет отрицательным. Переставим множители для удобства сокращения дробей.

$-\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{8}\right) \cdot \left(\frac{11}{18} \cdot \frac{9}{11}\right)$

Запишем под общими чертами дроби и сократим:

$-\left(\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 8}\right) \cdot \left(\frac{11 \cdot 9}{18 \cdot 11}\right) = -\left(\frac{2}{8}\right) \cdot \left(\frac{9}{18}\right) = -\left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Перемножим полученные дроби:

$-\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

д) $-2\frac{1}{4} \cdot \left(-1\frac{5}{9}\right) \cdot (-4) \cdot (-9)$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{1}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{9}{4}$

$-1\frac{5}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = -\frac{14}{9}$

Выражение принимает вид: $\left(-\frac{9}{4}\right) \cdot \left(-\frac{14}{9}\right) \cdot (-4) \cdot (-9)$.

В выражении четыре отрицательных множителя, значит результат будет положительным. Сгруппируем множители для удобства сокращения:

$\left(\frac{9}{4} \cdot 4\right) \cdot \left(\frac{14}{9} \cdot 9\right)$

Выполним умножение в каждой группе:

$9 \cdot 14 = 126$

Ответ: $126$

е) $-0,2 \cdot 2\frac{5}{8} \cdot (-0,5) \cdot \left(-\frac{8}{21}\right)$

Для удобства вычислений преобразуем все множители в обыкновенные дроби.

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

$-0,5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Выражение принимает вид: $\left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \frac{21}{8} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{8}{21}\right)$.

В произведении три отрицательных множителя, поэтому результат будет отрицательным. Перегруппируем множители для сокращения:

$-\left(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{21}{8} \cdot \frac{8}{21}\right)$

Произведение взаимно обратных чисел $\frac{21}{8}$ и $\frac{8}{21}$ равно $1$.

$-\left(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 1 = -\frac{1}{10}$

Результат можно записать в виде десятичной дроби: $-0,1$.

Ответ: $-0,1$

4.374. Положительное или отрицательное число получится при умножении:
а) трёх отрицательных чисел и двух положительных чисел;
б) двух отрицательных чисел и трёх положительных чисел;
в) девяти отрицательных чисел и нескольких положительных чисел;
г) сорока отрицательных и нескольких положительных чисел?

Сколько отрицательных множителей может быть в произведении, если оно: положительное; отрицательное?

4.374

а) отрицательное

б) положительное

в) отрицательное

г) положительное

Если произведение положительное, то отрицательных чисел должно быть четное количество: 2, 4, 6, …

Если произведение отрицательное, то отрицательных чисел должно быть нечетное количество: 1, 3, 5, …

Для определения знака произведения чисел необходимо руководствоваться следующим правилом: знак произведения зависит от количества отрицательных множителей. Умножение на положительные числа не изменяет знак.

• Если количество отрицательных множителей чётное (0, 2, 4, ...), то произведение будет положительным, так как $(-) \cdot (-) = (+)$.
• Если количество отрицательных множителей нечётное (1, 3, 5, ...), то произведение будет отрицательным, так как после попарного умножения останется один множитель со знаком минус.

а) трёх отрицательных чисел и двух положительных чисел;

В произведении имеется 3 отрицательных множителя. Число 3 является нечётным, следовательно, результат произведения будет отрицательным. Два положительных множителя не влияют на знак.

Ответ: отрицательное число.

б) двух отрицательных чисел и трёх положительных чисел;

В произведении 2 отрицательных множителя. Число 2 является чётным, следовательно, результат произведения будет положительным. Три положительных множителя не влияют на знак.

Ответ: положительное число.

в) девяти отрицательных чисел и нескольких положительных чисел;

В произведении 9 отрицательных множителей. Число 9 является нечётным, поэтому результат произведения будет отрицательным, независимо от количества положительных множителей.

Ответ: отрицательное число.

г) сорока отрицательных чисел и нескольких положительных чисел?

В произведении 40 отрицательных множителей. Число 40 является чётным, поэтому результат произведения будет положительным, независимо от количества положительных множителей.

Ответ: положительное число.

Сколько отрицательных множителей может быть в произведении, если оно положительное:

Для того чтобы произведение было положительным, количество отрицательных множителей должно быть чётным. Это может быть 0 (когда отрицательных множителей нет), 2, 4, 6 и так далее. В общем виде это можно записать как $2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Ответ: чётное число (0, 2, 4, ...).

Сколько отрицательных множителей может быть в произведении, если оно отрицательное:

Для того чтобы произведение было отрицательным, количество отрицательных множителей должно быть нечётным. Это может быть 1, 3, 5, 7 и так далее. В общем виде это можно записать как $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Ответ: нечётное число (1, 3, 5, ...).